Trabajo Colaborativo 3 Calculo Integral

INTRODUCCIÓN

Los estudiantes desarrollamos la capacidad de abstracción y análisis teórico en relación con la teoría y la práctica para adquirir herramientas que nos permitan en el futuro solucionar problemas haciendo uso del cálculo diferencial, de la misma manera la búsqueda de soluciones a diferentes problemas aplicándolos en los campos donde tengamos la oportunidad de desarrollarnos como futuros profesionales. El presente trabajo contiene la solución de una serie de ejercicios propuestos para la profundización en los contenidos de la unidad numero tres referente al análisis y aplicación de las derivadas.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD FASE 1

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva: 1.

   

  para



Para encontrar la recta tangente a la curva en el punto dado debemos encontrar la su derivada.

Para

 



 tenemos que

     

En este punto encontramos un mínimo con lo cual la pendiente de la recta tangente al punto es 0. La recta tangente es una constante. A partir de la ecuación de la recta tenemos:

Con

  

       

Por último nos queda:

     

2. Si

      

 halle el valor de

 

.

Dada la función:

Calculamos su derivada

Evaluamos

 

                       

 con lo cual nos queda

           

Hallar la derivada de las siguientes funciones: 3.

          Sea

 con

Por definición tenemos que:

 y

 [ ]   ()()  Evaluando las derivadas tenemos:

             Con lo cual

      

FASE 2

4.

   

     

Usando las propiedades de los logaritmos nos queda

        Con lo cual

5.

              

Siendo

 y

    , podemos definir

      

            

  

Calculando las derivadas tenemos

                                             Derivadas de orden superior 6. Hallar la tercera derivada de:

  

Calculando la primera derivada tenemos

         con

Calculando la segunda derivada tenemos

  

  con

     

Calculando la tercera derivada tenemos

  

           

  con

7. Hallar la segunda derivada de:

Siendo

      y

, podemos definir

                          

Calculando la segunda derivada tenemos

                                con

Siendo

 y

, podemos definir

Calculando las derivadas tenemos

                                          Resolviendo

                     

            

 

FASE 3

8. Usando L Hopital hallar el límite de: ’

  

Evaluando el límite tenemos

                Esta forma indeterminada se puede resolver usando L Hopital ’

Si

                           y

Con lo cual

                             

    

9. De la curva   Hallar: a. Las coordenadas del punto crítico. Los valores críticos de son aquellos donde la primera derivada es igual a cero o no existe, con lo cual:

    

Con

  

  

                         

el valor de

 es:

La coordenada del punto crítico es

b. Los puntos de inflexión si los hay. Los puntos de inflexión son aquellos donde la segunda derivada es igual a cero, con lo cual:

Por lo cual la función

         

no tiene puntos de inflexión.

 Aplicaciones de derivadas. Problemas de optimización. 10. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo?

     

     Para que el costo sea mínimo se debe encontrar el punto de las graficas donde  con lo cual:

  

                              

Dado que los valores de x son enteros positivos se descarta el resultado negativo. Para comprobar que este punto corresponde a un mínimo y no a un máximo se evalúa la segunda derivada en este punto

                      EL mínimo costo total se logra con 1000 bultos y corresponde a:

     

CONCLUCIONES



"El análisis y la aplicación de las derivadas", importantísima en esta unidad ya que hace referencia al proceso de transferencia significativa de conceptos de cálculo diferencial.



A través del desarrollo de la actividad se afianzaron conocimientos adquiridos en la unidad 3 referente a la aplicación de las derivadas.



Se pudo comprobar las aplicaciones de las derivadas que van desde algo muy básico como lo es la tangente en una curva hasta problemas de optimización y minimización de recursos.



Se lograron obtener resultados producto del esfuerzo colectivo.

REFERENCIAS



RONDON, J.E (2006) Calculo Diferencial. Primera edición, UNAD Ciencias básicas.