= 1·L/ 4 (carga unitaria) 12 EI MAX M f = (despl. unitario) L2
QMAX =
24 EI L3
2) Viga bi-empotrada EI , m 12 EI
( L 2 )
M f MAX =
3
( L 2 ) 4
%12 = ω (*)
K M
=
6 EI
ω = 4.730 ⋅ 2 1
=
M
(*)
EI
Valor exacto para una una viga con masa uniformemente distribuida m.
K = 2
M
2
(despl. unitario)
M
192 EI L3
=
EI 4
24 EI
(*)
mL 192 EI ML3
L
L2
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
= 0.384 ⋅ mL
Valor exacto para para una una viga con masa uniformemente distribuida m.
M f MAX =
Q
MAX
=
24 EI L2
96 EI L3
(despl. unitario)
(despl. unitario)
Ejemplos Sea una viga simplemente apoyada (bi-articulada) con las siguientes propiedades: L = 4 m I =
E = 3 ⋅10 6 tn m 2
b ⋅ h3
K =
0.2 ⋅ 0.4 3
=
12 48 ⋅ EI L3
12
= 1.067 ⋅10 −3 m 4
EI = 3200 tn ⋅ m
2
= 2400 tn m
m = δ ⋅ b ⋅ h =
2.5 tn m3 9.81 m s
2
⋅ 0.2 m ⋅ 0.4 m = 0.02039 tn ⋅ s 2 m 2
M ≈ 0.50 ⋅ m ⋅ L = 0.04078 tn ⋅ s 2 m ω = K M = 2400 0.04078 = 242.6 rad / seg T=
2π ω
= 0.02590 seg
;
ξ =0
⇒ ω D = ω
Calcular los esfuerzos máximos producidos por las cargas impulsivas indicadas que poseen el mismo valor de impulso ( I), definido como: t D
∫
I = P ( t ) ⋅ dt = 0.10 tn ⋅ seg 0
Pt
Pt
Pt
PA
PC
PB [A] tD
tD
Caso 1: t D = 0.1 seg
Carga
[C]
[B]
t
t
tD
Caso 2: t D = 0.01 seg
Caso 3: t D = 0.001 seg
[A]
P A = 2 tn
P A = 20 tn
P A = 200 tn
[B]
P B = 2 tn
P B = 20 tn
P B = 200 tn
[C]
PC = 1tn
PC = 10 tn
PC = 100 tn
P A ⎡ t sin (ω t ) ⎤ 1 cos ω t − − + ( ) ⎢ ⎥ 2 ω M ⎣ t D ω t D ⎦
t ≤ t D
CASO 1 Carga [A] U (t ) =
{
U est
U (t ) =
γ ( t )
sin (ω ( t − t D ) ) sin (ω t ) ⎤ cos ω t − − + ( ) ⎢ ⎥ 2 ω M ⎢⎣ ωt D ω t D ⎥⎦ 1444444424444444 3
{
U est
14444 4244444 3
⎡ P A
γ ( t )
t ≥ t D
t
t D T = 3.86 MAX
U din
⇒
γ MAX = γ = 1.87
P A
= γ ⋅ U est = γ
K
= 1.87
2 2400
= 1.558 ⋅10 −3 m
Carga [B] U (t ) =
⎡ t P B ⎢
ω 2 M ⎣ t D 2
+
sin (ω t ) ⎤
t ≤ t D 2
⎥
ω t D 2 ⎦ 144 4244 4 3
{
U est
U (t ) =
γ ( t )
⎡ P B
t
ω 2 M ⎢⎣
t D 2
⎢2 −
{
U est
U ( t ) =
+2
sin (ω ( t − t D 2 ) ) ω tD 2
−
sin ( ω t ) ⎤
t D 2 ≤ t ≤ t D
⎥
ω t D 2 ⎥⎦
14444444244444443 γ ( t )
⎡ sin (ω ( t − t D 2 ) ) sin (ω ( t − t D ) ) sin (ω t ) ⎤ P B − + ⎢2 ⎥ 2 ω M ⎣⎢ ω t D 2 ω tD 2 ω t D 2 ⎦⎥ {
U est
144444444 42444444444 3 γ ( t )
t D T = 3.86
⇒
γ MAX = γ = 1.04
P 2 = γ B = 1.04 = 0.867 ⋅10 −3 m U MAX din K 2400 Carga [C] U (t ) =
P C
⎡1 − cos (ω t ) ⎤⎦ 4244 3 ω 2 M ⎣14 {
U est
U (t ) =
t ≤ t D
γ ( t )
P C
⎡⎣cos (ω ( t − t D ) ) − cos (ω t ) ⎤⎦ ω M 14444244443 2
{
γ ( t )
U est
t D T = 3.86
⇒
γ MAX = γ = 2.00
P C 1 = = = 0.833 ⋅10 −3 m U MAX γ 2.00 din K 2400
CASO 2 Carga [A] t D T = 0.386
⇒
γ = 1.01
P 20 = γ A = 1.01 = 8.417 ⋅10 −3 m U MAX din K 2400 Carga [B] t D T = 0.386 MAX
U din
P B
= γ
K
⇒ = 1.06
γ = 1.06 20
2400
= 8.833 ⋅10 −3 m
t ≥ tD
t ≥ t D
Carga [C] t D T = 0.386
⇒
γ = 1.87
P C 10 = = = 7.792 ⋅10 −3 m U MAX γ 1.87 din K 2400
CASO 3 Carga [A] t D T = 0.0386
⇒
γ = 0.121
P 200 = γ A = 0.121 = 10.08 ⋅10 −3 m U MAX din K 2400 Carga [B] t D T = 0.0386
⇒
γ = 0.121
P B 200 = = = 10.08 ⋅10 −3 m U MAX γ 0.121 din K 2400 Carga [C] t D T = 0.0386
⇒
γ = 0.242
P 100 = γ C = 0.242 = 10.08 ⋅10 −3 m U MAX din K 2400
Cargas consideradas como impulsos Cuando la duración de la carga es muy pequeña respecto al período, la respuesta sólo depende del “área bajo la curva” de la función de carga (impulso) que el sistema siente como una velocidad inicial: U& 0 = I M U (t ) =
U& 0 ω
sin ( ω t )
⇒
U
MAX din
=
& U 0
=
ω
Carga [A]
I=
P A ⋅ t D 2
U MAX = din
& U 0
ω
=
PA ⋅ t D 2 ⋅ω ⋅
2π ω ⋅T
{
1
U MAX = 0.121 ⋅ din
200 2400
=
π ⋅ t D
PA
T
ω 23 ⋅ M 1 2
{
γ
= 10.08 ⋅10 −3 m
U est
I ω ⋅
Carga [B]
I=
P B ⋅ t D 2
MAX din
U
=
& U 0
ω
=
PB ⋅ t D
2π
2 ⋅ω ⋅
=
ω ⋅T
{
π ⋅ t D
PB
T
ω 23 ⋅ M 1
MAX
= 0.121 ⋅
200
2
{
γ
1
U din
U est
= 10.08 ⋅10 −3 m
2400
Carga [C]
I = PC ⋅ t D
= U MAX din
U& 0 ω
=
PC ⋅ t D 2π ω⋅
ω ⋅T
=
{
1
= 0.242 ⋅ U MAX din
100 2400
2π ⋅ t D
PC
⋅ M T3 1 ω 23 12 2
γ
U est
= 10.08 ⋅10 −3 m
NOTA: Luego de analizar varias funciones de carga impulsivas se encuentra que para duraciones adimensionales t D T ≤ 0.20 las cargas pueden considerarse como impulsos que imponen al sistema una velocidad inicial. Los factores de amplificación resultan en este rango proporcionales a la duración adimensional: γ = α ⋅ t D T (donde α depende de la forma de la carga impulsiva). Los desplazamientos dinámicos calculados por esta vía para duraciones adimensionales mayores ( t D T > 0.20 ) resultan demasiado sobreestimados.
