Universidad Industrial de Santander
Escuela de Ingeniería Civil
Dinámica Estructural
Uso de la Integral de Duhamel para resolver un sistema de varios grados de libertad sometidos a una fuerza excitante.
resentado por! "erman Camilo arra C#digo! $%&%'()
resentado a! rof. "ustavo Chio Cho
*ucaramanga+ Santander Septiembre $ de $&%,
E-ercicio!
Resolver el sistema de ecuaciones de movimiento
[ M M ]∗{ Ü } + [ K K e ]c∗{ U }= F { F }
,
donde:
{ }{ }
F 4 F }= = { F F 7
20 10
∗sin ( 100∗t ) [ kN ]
Usando el método de la integral de Duhamel.
[
[ M M ] = 10,1937 0
0 10,1937
[
][ ton] ][ ]
528571,26 −523800 K ] = [ K 523800 00 5238 523800 00 −5238 e c
kN m
Soluci#n! Dado a que el ejercicio ejercicio es de la forma
{ F } [ M M ]∗{ Ü } + [ K K e ] c∗{ U }= F
nos
encontramos con un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas el cual es muy difícil de solucionar a menos que desacoplemos el sistema de la siguiente manera:
[ M M ]∗{ Ü } + [ K K e ] c∗{ U }= { F F }
{ U }= [ ϕ ]∗{ Z } { Ü }= [ ϕ ]∗{ Z } Reemp Reempla laand ando o las dos ultima ultima e!pre e!presio siones nes en la ecuac ecuación ión de movimi movimient ento, o, o"tenemos:
[ M { F } M ]∗[ ϕ ]∗{ Z }+ [ K K e ]c∗[ ϕ ]∗{ Z }= F # ahora multiplicando por la transpuesta de la matri phi $ ϕ % se llega a lo siguiente: T [ ϕ ] T ∗ M [ M ]∗[ ϕ ]∗{ Z } +[ ϕ ] T ∗ K { F } [ K e ]c∗[ ϕ ]∗{ Z }= [ ϕ ] ∗ F
Donde:
Resolver el sistema de ecuaciones de movimiento
[ M M ]∗{ Ü } + [ K K e ]c∗{ U }= F { F }
,
donde:
{ }{ }
F 4 F }= = { F F 7
20 10
∗sin ( 100∗t ) [ kN ]
Usando el método de la integral de Duhamel.
[
[ M M ] = 10,1937 0
0 10,1937
[
][ ton] ][ ]
528571,26 −523800 K ] = [ K 523800 00 5238 523800 00 −5238 e c
kN m
Soluci#n! Dado a que el ejercicio ejercicio es de la forma
{ F } [ M M ]∗{ Ü } + [ K K e ] c∗{ U }= F
nos
encontramos con un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas el cual es muy difícil de solucionar a menos que desacoplemos el sistema de la siguiente manera:
[ M M ]∗{ Ü } + [ K K e ] c∗{ U }= { F F }
{ U }= [ ϕ ]∗{ Z } { Ü }= [ ϕ ]∗{ Z } Reemp Reempla laand ando o las dos ultima ultima e!pre e!presio siones nes en la ecuac ecuación ión de movimi movimient ento, o, o"tenemos:
[ M { F } M ]∗[ ϕ ]∗{ Z }+ [ K K e ]c∗[ ϕ ]∗{ Z }= F # ahora multiplicando por la transpuesta de la matri phi $ ϕ % se llega a lo siguiente: T [ ϕ ] T ∗ M [ M ]∗[ ϕ ]∗{ Z } +[ ϕ ] T ∗ K { F } [ K e ]c∗[ ϕ ]∗{ Z }= [ ϕ ] ∗ F
Donde:
T
[ ϕ ] ∗ M [ M ]∗[ ϕ ] = I [ I ] K e ]c∗[ ϕ ] =[ w2 ] [ ϕ ] T ∗ [ K
[ ϕ ] T ∗ F { F }= P { P } &i reemplaamos tenemos lo siguiente:
[ ] { } [
I I ∗ Z + w
2
]∗{ Z } = P { P }
[ ]{ }[ 1 0
0 1
]{ }{ }
2 Z 1 w 1 0 Z 1 P 4 ∗ + ∗ = Z 2 0 w 22 Z 2 P 7
'n dond donde e los los su"ín su"índi dice ces s ( y ) repr represe esent ntan an los los modo modos s de vi"r vi"rac ació ión n de la estructura, adem*s si resolvemos la multiplicación de matrices llegamos a las siguientes ecuaciones:
Z 1 + w 12∗Z 1= P 4 Z 2 + w 22∗Z 2 = P 7 +omo +omo se pued puede e ver, ver, ahor ahora a tene tenemo mos s dos dos ecua ecuaci cion ones es cada cada una una con con una una incógnita, las cuales se pueden resolver aplicando la integral de Duhamel para cada caso, pero antes de hacer eso es necesario determinar la matri
[ϕ]
[w ] 2
y
T
.
ara eso se usa el siguiente sistema de ecuaciones deducido de un sistema de vi"ración li"re.
K e ] [ K M ] )∗{ a }=0 (¿¿ c − w ∗[ M ¿ 2
K ] −w ∗[ M M ] = 0 [ K 2
e c
[−
528571,26 523800
[
] [
−523800 − w 2∗ 10,1937 523800
528571,26 −10,1937 ∗w
2
−523800
0
0 10,1937
]=
0
]
−523800 2 =0 523800 −10,1937 ∗w w 2 , es necesario hallar el determinante de la
ara determinar los valores de
matri el cual sa"emos que de"e ser cero.
( 528571,26 −10,1937 ∗w )∗( 523800−10,1937 ∗w ) −(523800 ) =0 2
2
2
or lo tanto, si resolvemos o"tenemos dos valores de 2
w 1 =233,5
w2 .
[ ]
2 2
rad seg
w =103003,92
2
2
[ ] rad seg
-eniendo el valor de las frecuencias angulares para cada modo de vi"ración, el siguiente paso es determinar las amplitudes Determinación de
{a}
para
[
528571,26 −10,1937∗w1
[
526191,03 −523800
2
−523800
521419,77
para cada modo.
w1 :
]{ }
−523800 a11 ∗ =0 2 a21 523800 −10,1937∗w1
] { }=
−523800 ∗
{a}
a11 a21
0
'l sistema est* compuesto por dos ecuaciones con dos incógnitas pero dichas ecuaciones son linealmente dependientes, por lo que reemplaamos el valor de una amplitud y hallamos la otra. &i
a11=1 entonces a21=1,005
+on cualquiera de las dos ecuaciones da el mismo el valor de amplitud, así que usamos el so"rante para compro"ar. Determinación de
[
{a}
2
528571,26 −10,1937 ∗w 2
−523800
w2 :
para
]{ }
−523800 a ∗ 21 = 0 2 a22 523800 −10,1937 ∗w2
]{ }
[
−521419,8 −523800 ∗ a21 =0 −523800 −526191,06 a22
l igual que el anterior, tenemos un sistema de ecuaciones dependientes, así que suponemos el valor de una amplitud y determinamos la otra. &i
a21=1 entonces a22=−0,995
or lo tanto la matri de amplitudes queda de la siguiente manera.
[a a ] [
[ a ] = a11 a12 = 21
22
1 1,005
1 −0,995
]
Donde la primer columna representa el modo de vi"ración (, y la segunda el modo de vi"ración ). hora el siguiente paso es normaliar la matri de amplitudes para o"tener la matri phi, la cual es la que necesitamos para resolver los Duhamel. ara eso primero hallamos los valores n para cada modo y proceder a hacer la normaliación.
n =√ ∑ mi∗ai , j 2
n1= √ 10,1937 ∗12+ 10,1937∗1,0052 =4,5265 n2= √ 10,1937 ∗12+ 10,1937∗(−0,995)2 =4,5040 # de la siguiente manera o"tenemos la matri phi de amplitudes normaliadas.
[ ]
a11 [ ϕ ]= n1 a21 n1
a12 n2 ϕ ϕ = 41 42 = a22 ϕ 71 ϕ 72 n2
][
[
0,2209 0,2220
0,2220 −0,2209
]
Donde el primer su"índice signi/ca el nodo, y el segundo su"índice el modo de vi"ración. T
[ϕ] =
[
0,2209 0,2220
0,2220 −0,2209
] [ ϕ ] T
+on los valores de la matri
se halla el valor de la fuera
{ P }
.
{ P }=[ ϕ ] T ∗{ F }
{ }[ P 4 P7
=
0,2209 0,2220
0,2220 −0,2209
] { }∗ ∗
20 10
sin ( 100∗t )
P4 =4,418∗sin ( 100∗t ) + 2,22∗sin (100∗t ) P7= 4,44∗sin ( 100∗t )−2,209 ∗sin (100∗t ) or lo tanto las ecuaciones a resolver con la integral de Duhamel quedan de la siguiente manera:
Z 1 + 233,5∗Z 1= 4,418∗sin ( 100∗t )+ 2,22∗sin (100∗t ) Z 2 + 103003,92∗Z 2=4,44 ∗sin ( 100∗t )−2,209∗sin ( 100∗t ) 0ntegral de Duhamel para
Z 1
'l método de la integral de Duhamel nos permite hallar el valor del movimiento a lo largo del tiempo, usando un método numérico para encontrar el valor de dos constantes y 1 que varian en el tiempo, necesarias para la siguiente ecuación.
(
( )
)
A t ∗sin w 1∗t − B∗cos ( w 1∗t ) Z 1 t = m∗ w1
()
Donde:
w 12 =233,5
[ ] rad seg
m=10,1937 [ ton ] ara hallar $t% y 1$t% se usa la siguiente ta"la que muestra las iteraciones hechas para encontrar los valores de
%0t1 23/
t s/ 2 2,2( 2,2) 2,27 2,26 2,23 2,25 2,29 2,24 2,28 2,( 2,(( 2,()
Z 1 ( t ) .
40t1
*0t1
2 3,343546 789 5,2738(5 7(8 2,875936 5(6 3,2)7536 85 5,753778 76 (,436952 24
2 2,2)9953 5 2,246)43 98 2,((5465 65
2 2,22)4746 9 2,2(52462 4
6,75(299 26) 5,359752 26( ),97356) 323 7,5(()() (7 5,579876 88
2,276(54 2( 2,235629 5 2,258734 89
2,2(96247 6 2,2(447(8 7 2,2682756 7 2,274((39 3 2,2((9746 5 2,2357585 (
2,25856( (4
2,23(87(2 2,22267)67 ) 4
2,29(93 2,2424((
2,222999( 2,22263474 7 6 2,2226(45)
2,288558 ) 2,2334(5 29 2,2)9883 3
5%0t1 m/ 2 8,()(8)' 25 5,67773' 23
2,2)4655( 2,222(5424 2,222)9359 3 2,222773)2 ) 2,222776(3 ) 2,22272886 2,2227(653 5 2,22275569 8
7,35(99( 27 2,(7
2,234429 9 2,2)577( 77
2,26875(2 7 7 2,237)589 2,22277834 6 ( 2,2())588 2,222)9396 ( 3 2,27(7475 2,222)3888 9 )
2,2(4)46 76
2,26276)( 2,222)9785 9 (
2,23)7)) 64
2,2)4787 74
2,2(59)92 5 2,2282(99 6 2,2(38(22 8 2,2(2459) 4 2,2(2)998 3 2,2(73277 8 2,22636() 9
2,242582 64
2,2)29757 9 2,222(6646
2,(286)) )8 2,2869)) 29
2,27858)7 6 2,2)64))2 ( 2,2)2)222 ) 2,2336)49 ( 2,26)8377
36
),948254 2,24(777 98 84
2,(4
5,39353( 5)9 6,7(55(2 547 (,8(((2) )) 5,74(935 33 6,843237 76
2,(8
2,886446 2,()(565 8(4 93
2,)
5,252(72 2,24595) 396 58
2,(6 2,(3 2,(5 2,(9
2,(2)8)8 65
2,)5
3,3379)2 ()8 2,234936 88 3,5(9)(( 26 5,2(())8 (9 2,494332 8) 3,25(45) 886
2,)9
5,7646)7 2,238992 6(7 83
2,)( 2,)) 2,)7 2,)6 2,)3
2,)4 2,)8
2,2)493) 49 2,22(643 38
(,984)9) 2,27878) 5)7 48 2,267)24 6,623)2( 96
2,222)5392 3 2,222(8473 6 4,32347' 23 ),(897'23 9,4)39'23 4,554'23 8,739'23
2,222)6)39 2,22276(87 2,22278(75 2,22279826 2,22276)84
2,67
9) 5,334337 8) ),54)22( 48 7,552792 7( 5,5796(6 8)9 7,3()232 49 ),46))95 35 5,3476)4 27 6,)9(425 (7 (,859)86 5)3 5,789597 996 6,86525( (38 (,23)879 )4 5,247492 26 3,3)(7)2 96
2,66
2,((9323 798
2,7 2,7( 2,7) 2,77 2,76 2,73 2,75 2,79 2,74 2,78 2,6 2,6( 2,6)
2,63 2,65 2,69 2,64
3,564)89 385 3,84529( 23) 2,4)2)94 748 3,288596
5 2,236255 75
2,2(29)39 ( 2,22277363
2,235869 2,235985( 97 9 2,234)67 2,23)2(36 9 ) 2,29(3)9 2,22)7)22 87 9 2,28()(3 7) 2,2666228 2,28)723 2,2695535 3) 6 2,25((96 2,2()7625 78 (
2,22279665 2,2226)588 2,222678)( 2,222745(8 2,222)8323 2,222))238
2,2)2287 2,2)723(8 5( ) 2,222(8339 2,2(29(6 3( 2,2)8997( 2,222)2(6 2,2686(4 2,2(62(53 25 ) 2,222(45)7 2,(267() 7,76)3' 74 23 2,222((754 2,()7522 2,22)5)46 )5 6 ),3(73'25 2,244264 2,2237632 2,222(288) 47 4 ( 2,27(73( 2,2(96))5 2,222(5677 75 ( 6 2,223492 2,2)57384 2,222(58(6 86 5 8 2,272357 2,2((3(82 2,222(9288 8( 9 5 2,295(23 2,2)634)) 85 9 2,222)(354 2,2889)7 2,268269( 2,22272683 89 6 4 2,244736 2,2728)83 2,2227878) 55 3 8
2,68 2,3
66 5,77(2(2 2,2562)8 (( 64 (,96(566 2,23(879 )4 46
2,35
6,66484( )58 5,368)77 835 ),5)4(3( (69 7,928)6( 9( 5,575796 46 7,65)233 33
2,39
),483)5( 2,(2(934 563 88
2,3( 2,3) 2,37 2,36 2,33
2,34 2,38 2,5 2,5( 2,5) 2,57 2,56 2,53 2,55
5,382544 574 6,))5555 48( ),2)777) 8 5,6(7248 95 6,82554( 65 (,((2829 (78 5,(29(7) 46) 3,644644 996 2,(95)65 35
2,2)29)99 ( 2,238)223 3 2,2635857 4 2,228)727 9
2,22267(66 9 2,2226256) 8
2,237229 2,22273932 76 ) 2,23(446 2,222779() 25 7 2,266587 2,222757(9 28 2,2363298 9 2,269(57 2,22262)33 )) 2,2685743 7 2,29(247 (
2,2576)5 3) 2,2(3994 64
2,2274)47 3 2,279)5)3 3 2,2784664 6 2,2((849( 5 2,2(76892 4
2,223575 29
2,2(94678 2,222((884 3 5
2,269(85 54
2,2(243(( 2,222(2252 3 4
2,(22766 2)
2,22262(42 ( 2,22277559 7 2,222)73 2,222(3(43 ( 2,222((898 5
2,(279(6 2,228()68 ),39)74' 63 ( 23 2,())5)( 76 2,2(296(3 8,2677'23 2,244()8 2,222)(8( 84 ) 2,222(83)9 2,273698 (( 2,2)78))3 2,222)6686 2,2()863 2,2798375 7( 5 2,222)676
2,9
3,59486( 5) 3,852667 86 2,95(86( 38 3,(79245 766
2,9(
5,7(7(22 944
2,59 2,54 2,58
2,9) 2,97 2,96 2,93 2,95 2,99 2,94 2,98 2,4 2,4( 2,4) 2,47 2,46 2,43
(,546498 64) 6,68)6() )3 5,378622 44 ),396286 3 7,9394)) 686 5,5764(6 4(7 7,6((944 88( ),8642(8 48 5,38967) 44 6,(4((85 3( ),298)() 534 5,6)4227 )87 6,4558(9 763 (,(54948 89
2,276(76 )7
2,2(994(2 3 2,222)7953
2,2929(6 )(
2,2)96285 8 2,222)9766
2,244)(( 69 2,2352995 2,22273))5 2,242483 2,2736926 6 7 2,2226)8(8 2,2546(2 2,2)27639 73 ) 2,22263737 2,253277 2,252(34( 9( 6 2,2226(689 2,257244 2,265)696 69 5 2,22273)94 2,268856 7)
2,229)9)8 7
2,2227(85
2,277(46 83 2,2683878 2,222777(4 2,2758)) 2,26686(9 69 3 2,22275276 2,2926(6 2,223)953 97 8 2,22276983 2,(29963 23 2,2)4)536 2,222)9)63 2,(28)35 2,272(846 55 5 2,222(5)7) 2,253685 2,2(()343 67 7 9,)46)'23 2,2(75)( 64 2,227)99 94 2,2639(3 48 2,(2(()3 87
2,227(526 5 7,5734'23 2,223(7(4 3 7,7545'23 2,229787) ( (,)887'23 2,2(42)24 5,()49(' 6 23
2,((4953 7
2,2)73388 2,222(9664 6 7
2,45 2,49 2,44 2,48 2,8 2,8( 2,8) 2,87 2,86 2,83 2,85 2,89 2,84 2,88 (
5,()88(9 2,249264 (9 66 3,633))5 2,262894 4 2(
2,223392) 2,222)978) 3 6 2,2)86683 2,2227(5(5 9 4 2,2699)88 2,2227234) 6 ) 2,222)82)8 2,2)72334 4 2,2)82698 2,2227(377 3 7 2,25266(5 2,22274))( 5 7
2,)76897 876 3,928(62 9(5 3,876768 437 2,927363 (27 3,(96283 99 5,)86585 43 (,5)984) 54
2,2))754 99 2,274488 39 2,25696) 84 2,293677 25
6,37368( )5) 5,3)8233 636 ),3(8475 (9) 7,425(24 49 5,57)976 89 7,75()33 (7
2,29)892 45 2,264628 74 2,2))84( 97
2,274)579 3 2,2(82)65 ( 2,234)6)) 4 2,2665(32 3 2,2264892 8 2,26))923 3
2,2)9889 8
2,274(935 2,22272)62 5 4
2,2583)7 29
2,2255757 2,222)42)3 7 9 2,2(94))2 2,222(8538 9 6
2,29)9(9 36 2,29)9(5 (4 2,294236 65
2,((7266 76
2,2226652( 9 2,22263537 9 2,222626)7 9 2,2227)82) ) 2,222)4797 5 2,222)4385
'n donde se tomo un intervalo de tiempo de 2,2( segundos hasta completar un segundo completo, esto con el /n de tener una precisión mayor al calcular los desplaamientos de la estructura.
2
2
2
Desplazamiento 5 m/
2 2
2.)
2.6
2.5
2
2
2 tiempo s/
0ntegral de Duhamel para
(
( )
)
Z 2
A t ∗sin w 2∗t −B∗cos ( w 2∗t ) Z 2 t = m∗ w2
()
Donde:
w 22 =233,5
[ ] rad seg
m=10,1937 [ ton ]
2.4
(
(.)
t s/
$0t1 23/
40t1
*0t1
5$0t1 m/
2
2
2,2(
(,4997)(9 9
2,2)
),2)456)3 5
2,27 2,26 2,23 2,25 2,29 2,24 2,28 2,( 2,(( 2,() 2,(7
2,7(64749 6 (,5446)57 9 ),(787522 5 2,5)77938 4 (,653979(
2 2,226279 6( 2,22)687 89 2,222)58 26 2,223)38 (7 2,222985 85 2,22(267 86 2,2252)8 77
),)29)34) 2,222455 3 99 2,8(86757 2,22))7( 6 43 2,225)9( (,)(79((( 8( ),)72894( 2,22)7(7 3 95 (,(89286( 2,227582 4 )3 2,87978)5 2,223897 5 76
),)(22632 2,227743 2,(6 ( 63 (,63298)( 2,223)67 2,(3 9 97 2,223(46 2,(5 2,56)7()7 (4
2
2
2,2239() (,4)39' 67 25 2,225735 37 (,4))'25 2,22(6)4 7
6,66(8' 29
2,2265)( 9 2,225658 8
(,98(4' 25
2,22)59) (9
4,9574' 29
2,227))2 )) 2,225272 (4
(,9(98' 25
2,227358 2(
(,)468' 25
2,22(598 56 2,223298 6)
(,52)9' 25
2,227889 )6
(,538' 25
2,222(49 23 2,2279(8 (5
(,6639' 25
2,227482 9( 2,22(299 2)
(,8445' 25
(,9478' 25
(,9(3)' 25
(,5)2)' 25
(,327(' 25
(,)694' 25
2,227855 2,(9 ),(664994 49 (,59363)3 2,225926 2,(4 3 97 2,7767952 2,2262(7 2,(8 3 (( 2,) 2,)( 2,)) 2,)7 2,)6 2,)3 2,)5 2,)9 2,)4 2,)8 2,7 2,7( 2,7) 2,77
),2759424 2,226222 3 ( (,4553949 2,229483 7 57 2,2(8969) 2,22)5(6 9 2) (,4498(99 2,22768( ) (6 ),2)27637 2,224558 7 95 2,)83)959 2,22((59 3 4 2,22)328 (,92()598 28 2,2248)4 ),(775969 53 2,5267824 ( 2,222(78 2,22((99 (,642359) 88 ),)26)843 2,224577 3 93 2,82(6298 2,22((75 8 )8 (,)72)7)8 2,222779 7 4 ),)724277 2,2294(2 5 8)
2,22)284 64
(,7543' 25
2,227)65 34 2,22(838 88 2,222785 3(
),)536' 25
2,22)()3 58 2,22)733 (6
),64)6' 25 9,6225' 29
2,22((84 9
(,257(' 25
2,222563 66 2,22))(6 )4 2,22)3() )3 2,22(277 85 2,22(337 78 2,227627 2( 2,22)9)4 75 2,222632 99
),5766' 25
2,227942 (5 2,226)3( 77
3,5583' 29
(,2((3' 25 (,))23' 25
6,743)' 29 4,8846' 29 ),9(46' 25 (,()86' 29 9,7753' 29 ),977)' 25 ),)863' 29
),5986' 25
2,76 2,73 2,75 2,79 2,74 2,78 2,6 2,6( 2,6) 2,67 2,66 2,63 2,65 2,69 2,64 2,68 2,3 2,3(
(,(427476 9 2,833)933 6 ),)()5345 ) (,6739773 4 2,55((847
2,22(582 3( 2,22(437 29 2,225369 68
2,22285) )) 3,423'29 2,2275(7 48 2,223675 23
),35'25
2,22(9)2 64 2,227(47 34 2,22684( 83 2,22()25 89 2,226(59 4 2,227)49 58
2,22)3(5 56
8,7(77' 29
2,22)874 4) 2,225(36 84 2,2262)3 44
),7448' 29
2,22(468 44 2,225776 4(
9,85(5' 24
2,223729 9(
(,3864' 25
2,22268( 25 2,223853 28 2,225)23 94 2,22285( 56 2,223288 6)
9,34)3' 24
),(32))93 ( (,55)7696 5 2,737449( 9 ),2669383 9 (,4335486 2,222(83 3 28 2,27868)8 2,226545 8 2( (,4847539 2,22(53) 5 34
6,2(5' 29
),7986' 25 (,)9)5' 25
),(678' 25
(,45((' 25 (,4443' 25
),2((4484 2,22()(( 2,)9358(5 2,226596 ),)976' 6 74 29 (,9(7895( 2,222)35 (,3785' 3 44 25 ),()94))( 2,22)452 2,225524 ),(669' 9 7) 27 25 2,226(7) 7,932)' 2,3437347 35 2,22)7)( 29 (,683)4() 2,222969 (,(48'25 8 84 2,227468
26 2,3) 2,37 2,36 2,33 2,35 2,39 2,34 2,38 2,5 2,5( 2,5) 2,57 2,56 2,53 2,55 2,59 2,54
),)2((55( 2,22639) 5 98 2,4477282 2,227()7 ( 54 (,)655347 2,22()39 9 (4 ),)726379 2,225(52 8 6( (,(57342) 2,22(955 8 86 2,8972473 2,22())6 9 46 ),)(32844 2,229668 4 6) (,6)235)6 2,222))7 8 36 2,222558 2,54227)3 74 ),(336249 2,224722 6 53 (,568(()( 2,22(7)) 7 7) 2,7977923 2,2227)4 9 96 ),23)3942 2,2245)3 8 89 (,4665369 4 2,238)735 ) (,8245532 9
2,22)543 (4 2,22(575 37 2,224784 39 2,227922
2,225638 ),7337' 89 25 2,2276(2 96 3,(8'29 2,22)758 4,(83(' 95 29 2,22399( () 2,226245 73 2,222467 3
),3()8' 25
2,2265(7 8( 2,226)3) ) 2,222367 (9
),5((5' 25
5,387)' 29 6,6())' 29
9,8346' 29 5,6)84' 24
2,227((3 (8 2,22749) 43
),569)' 25
2,22(5)( 23
7,2(5' 29
2,22(66( )4 2,22)899 76
),5(54' 25
2,22))34 )8 2,222))( 35
5,6933' 29
8,)428' 29
(,233)' 25
),3(84' 25 (,(938'
2,58 2,9 2,9( 2,9) 2,97 2,96 2,93 2,95 2,99 2,94 2,98 2,4 2,4( 2,4) 2,47 2,46 2,43
),227)955 2,22(533 5 (4 99 25 2,)352468 2,227246 2,22)793 8,5334' ) )7 86 29 (,9)5332( 2,229535 2,22(548 ),739(' ( 28 29 25 ),()(42)8 2,226)6) 6,4994' (,)447' 7 36 23 25 2,355)988 2,226643 2,22(839 (,)648' ) 74 7 25 (,328494) 2,225685 2,22)422 ),(7(8' 6 (4 58 25 ),(8945(7 2,226)6) 2,22(558 (,782)' ( )5 2) 25 2,453(624 2,223534 2,22(268 (,68)(' 7 49 49 25 (,)5)845( 2,223256 2,227674 (,468(' 6 8 6 25 ),))88)86 2,22758) 2,227728 9 67 3( (,698'25 (,(655438 2,225632 2,222)62 (,58((' 6 7) )6 25 2,8824(37 2,227378 2,227362 (,3(36' 5 65 5( 25 ),)(97533 2,22)532 2,226587 (,33(5' 8 23 )9 25 (,623)42( 2,225932 2,22(952 (,4676' ) 78 98 25 2,5844(76 2,22)(29 2,227(28 (,(78(' ( 75 75 25 ),(526)(( 2,22())8 2,223592 (,5264' ( 7) 5) 25 2,225329 2,22777( (,8698' (,5739695 97 78 25 2,78)4)69 2,222866 2,22))(2 9,)847' ( (5 25 29
2,45 ),252)734 (,4776933 2,49 8 2,44
2,2948975 (
2,48
(,8(44(64 6
2,8 2,8(
(,8863253 5 2,)75634( 6
2,8) (,9748444 ),((35(96 2,87 5 2,369(39( 2,86 4 2,83
(,3)67354 8
2,85
),(86746) 5
2,89 2,84 2,88 (
2,2226(( 9) 2,223973 26 2,222(8) 43 2,22)248 48 2,226329 9) 3,7()9' 23 2,2275(4 7) 2,22)836 83 2,222)78 (4 2,2264)4 37 2,22()66 34 2,22(274 )5 2,223382 )(
2,4658264 9 (,)98)(68 5 ),))8)726 2,222675 3 5 (,()892(9 2,22))3( 3 44
2,225(78 )) 2,226956 95 2,222857 55
(,573(' 25 ),2268' 25 ),8473' 29
2,225235 (,5783' () 25 2,223444 47 ),2(5'25 2,222659 (,6743' 5) 29 2,22366) 99 2,225359 2(
(,5(69' 25
2,22(488 68
3,4644' 29
2,22674) 6( 2,2259(6 73
(,3346' 25
2,227(69 75
(,2()4' 25
2,2272(2 )6 2,225729 33
(,6547' 25
2,226264 ))
(,6(38' 25
(,846(' 25
(,8()4' 25
(,4254' 25
l igual que para el primer Duhamel, se uso el mismo intervalo de tiempo y se o"tuvo la siguiente gra/ca de
Z 2 a través del tiempo.
2 2 2 2 Desplazamiento 5 m/
2 2
2.)
2.6
2.5
2.4
(
(.)
2 2 2 2 tiempo s/
Z 1 ( t )
-eniendo los valores de
y
Z 2 (t ) , nos devolvemos en nuestro
procedimiento para hallar de esta manera los desplaamientos en la estructura.
{ U }= [ ϕ ]∗{ Z }
{ }[ U 4 U 7
= 0,2209 0,2220
0,2220 −0,2209
]{ } ∗
Z 1 Z 2
Resolviendo:
U 4 =0,2209∗Z 1 + 0,2220∗Z 2 U 7= 0,2220∗ Z 1+(− 0,2209∗ Z 2)
Donde el primer termino de cada uno representa el modo de vi"ración uno, y el segundo termino el modo de vi"ración dos. &i se halla los valores para
U 4 ( t )
y
U 7 (t ) tanto para el modo uno como
para el modo dos por separado, se puede aplicar la com"inación modal para hallar los valores m*!imos de desplaamiento, usando la siguiente ecuación.
U 4 =√ ( 0,2209∗Z 1 ) + ( 0,2220∗Z 2 ) 2
2
U 7= √ ( 0,2220 ∗Z 1 ) + ( −0,2209 ∗Z 2 ) 2
t ;seg< 2 2,2( 2,2) 2,27 2,26 2,23 2,25 2,29 2,24 2,28 2,( 2,(( 2,() 2,(7 2,(6 2,(3 2,(5
=( ;m<
2
=) ;m<
2 2 8,()(8' (,4)39' 25 25 5,6776' 23 (,4))'25 2,222(54 6,66(8' 24 29 2,222)93 (,98(4' 54 25 2,222773 (,9478' ) 25 2,222776 4,9574' (3 29 2,222728 (,9(98' 86 25 2,2227(6 (,9(3)' 55 25 2,222755 (,)468' 64 25 2,22267) (,52)9' 66 25 2,222634 (,5)2)' 74 25 2,2226(4 5) (,538'25 2,222778 (,6639' 34 25 2,222)93 (,327(' 93 25 2,222)38 (,8445' 88 25 2,222)97 (,)694' 85 25
U6 >odo U6 >odo ( U9 >odo ( ) 2 2 2 6,237(' ),2(3'25 ),2)3('25 29 (,6)((' 6,2664' 23 (,6)4)'23 29 7,9()8' 8,45(' 23 7,97(6'23 24 5,2489' 7,8994' 23 5,()'23 29 9,6265' 7,8527' 23 9,66(3'23 29 9,74(6' (,8635' 23 9,6(4)'23 29 5,4655' 7,4(74' 23 5,4429'23 29 5,8324' 7,4294' 23 5,8436'23 29 4,2833' ),43)5' 23 4,(734'23 29 8,33)5' 7,3398' 23 8,522('23 29 2,222(2( 2,222(2(9 7,3854' )5 5 29 8,)696' 7,54)8' 23 8,)876'23 29 9,32(7' 7,)286' 23 9,3749'23 29 5,28()' 7,7758' 23 5,()(3'23 29 3,967)' 6,6(69' 23 3,99(4'23 29 5,23(4' ),992)' 23 5,24(8'23 29
U9 >odo ) 2 6,277' 29 6,2)64' 29 8,4()(' 24 7,834(' 29 7,8629' 29 (,8738' 29 7,9868' 29 7,948' 29 ),4746' 29 7,3627' 29 7,3948' 29 7,5569' 29 7,(873' 29 7,7)26' 29 6,78)4' 29 ),9353' 29
2,(9 2,(4 2,(8 2,) 2,)( 2,)) 2,)7 2,)6 2,)3 2,)5 2,)9 2,)4 2,)8 2,7 2,7( 2,7) 2,77 2,76 2,73
2,222)53 (,7543' 9 25 2,222(84 ),)536' 73 25 4,3234' (,2((3' 23 25 ),(897' (,))23' 23 25 9,4)39' ),64)6' 23 25 4,554' 9,6225' 23 29 8,739' (,257(' 23 25 2,222(66 ),5766' 46 25 2,222)6) 6,743)' 39 29 2,22276( 4,8846' 87 29 2,22278( ),9(46' 75 25 2,222798 (,()86' 26 29 2,22276) 9,7753' 84 29 2,222773 ),977)' 63 25 2,222796 ),)863' 65 29 2,2226)5 3,5583' 88 29 2,222678 ),5986' )( 25 2,222745 (8 3,423'29 2,222)83 23 6,2(5'29
3,4586' 23 6,74(5' 23 (,4948' 23 6,4374' 25 (,9)49' 23 (,8(64' 23 ),259' 23
3,4845'23 6,6273'23 (,4447'23 6,494'25 (,9797' 23 (,8)67' 23 ),2997' 23
7,274' 7,2)7' 29 29 3,2)8(' 3,226)' 29 29 ),)636' ),)767' 29 29 ),9283' ),585(' 29 29 3,3(24' 3,6473' 29 29 (,56)8' (,5764' 29 29 ),752(' ),7646' 29 29
7,(885' 23
7,)(33' 3,4646' 23 29
3,4(83' 29
3,7346' 23
3,743(' 23
8,973(' 8,5454' 24 24
9,337)' 23
9,3824' 23
(,8899' (,8494' 29 29
4,563' 23
4,544(' 23
5,2768' 29
5,223' 29
4,797' 23
4,6(69' ),3297' 23 24
),6868' 24
9,3953' 23
9,5(6)' (,5)49' 23 29
(,5)25' 29
9,6(2(' 5,2595' 23 9,669'23 29
5,2795' 29
4,)9(8' 23
4,7(7(' 3,2874' 23 24
3,2543' 24
8,67)(' 23
8,698(' 23
(,)345' (,)3)6' 29 29
8,92)7' 23
8,9325' 23
3,8646' 3,8(48' 29 29
4,3728' 23
4,3977' 23
(,)449' (,)4)7' 29 29
5,3(95' 23
4,8(33' 5,33'23 24
4,49(7' 24
2,75 2,79 2,74 2,78 2,6 2,6( 2,6) 2,67 2,66 2,63
2,222))2 38 2,222(83 39 2,222)2( 6 2,222(45 )7 2,222((7 54 ),3(73' 25 2,222(28 8) 2,222(56 77 2,222(58 (3
2,35
2,222(9( 2,222)(3 54 2,222726 85 2,222787 87 2,22267( 63 2,222625 67 2,222739 3 2,222779 () 2,222757 (4 2,22262) 33 2,22262( 4 2,222775 59
2,39
2,222)73
2,65 2,69 2,64 2,68 2,3 2,3( 2,3) 2,37 2,36 2,33
),35'25
6,49)4' 23
6,489(' 3,547)' 23 29
3,533(' 29
8,7(77' 29
6,7)2(' 23
6,76(5' ),2595' 23 29
),2397' 29
),7448' 29
6,6644' 23 6,69('23
3,7277' 24
),7986' 25
6,((79' 23
6,(76)' 23
3,)4)6' 3,)35)' 29 29
(,)9)5' ),3(()' 25 23 9,85(5' 3,33)7' 24 29 ),(678' ),6)4(' 25 23 (,3864' 7,572(' 25 23 9,34)3' 7,9753' 24 23 (,45((' 7,9997' 25 23 (,4443' 6,9566' 25 23 ),)976' 5,9753' 29 23 (,3785' 4,92(8' 25 23 ),(669' 8,3729' 25 23 7,932)' 29 4,894'23 9,489)' (,(48'25 23 ),7337' 25 9,669'23 4,2))5' 3,(8'29 23 4,(83(' 4,48)6' 29 23 ),3()8' 4,4934' 25 23 5,387)' 9,679(' 29 23 6,6())' 3,(8()' 29 23
),3)79' 23 3,34'29 ),662)'23 7,564)'23 7,933('23 7,985('23 6,944('23 5,992('23 4,963)'23 8,394('23 8,2))9'23 9,8753'23 9,646('23 4,25)3'23 4,8759'23 4,8)'23 9,696('23 3,)(9'23
),4)3)' 29 (,9593' 24 6,9383' 29 7,3623' 29 (,5477' 24 6,(7(5' 29 6,(8)3' 29 3,269' 24 7,6(98' 29 6,95(7' 29 4,7)33' 24 ),5789' 29 3,))49' 29 (,(3))' 29 (,4(87' 29 3,3943' 29 (,6579' 29 8,983(' 24
3,)99' 24
),4(()' 29 (,9349' 24 6,9738' 29 7,3))8' 29 (,593' 24 6,((((' 29 6,(9(9' 29 3,2))' 24 7,62(' 29 6,9799' 29 4,)467' 24 ),5)55' 29 3,)2)4' 29 (,(653' 29 (,4(27' 29 3,3328' 29 (,6356' 29 8,9655' 24
2,34 2,38 2,5 2,5( 2,5) 2,57 2,56 2,53 2,55 2,59 2,54 2,58 2,9 2,9( 2,9) 2,97 2,96 2,93 2,95
2,222(3( ),5((5' 43 25 2,222((8 9,8346' 4 29 2,222((8 5,6)84' 88 24 2,222(22 ),569)' 5( 25 ),39)6' 8,)428' 23 29 8,2677' 23 7,2(5'29 2,222(83 ),5(54' )9 25 2,222)66 (,233)' 86 25 2,222)67 5,6933' 6 29 2,222)79 ),3(84' 53 25 2,222)97 (,(938' 66 25 2,22273) 8,5334' )5 29 2,2226)8 ),739(' (8 25 2,222637 (,)447' 37 25 2,2226(6 (,)648' 89 25 2,22273) ),(7(8' 94 25 2,2227(8 (,782)' 5 25 2,222777 (,68)(' (4 25 (,468(' 2,222752 25
7,7366' 23 ),5657' 23 ),5323' 23 ),)))6' 23 3,54)6' 25 (,8899' 23
3,9(29'25 ),2295' 23
3,9894' 3,958(' 29 29 (,9554' (,934' 29 29 (,6)96' (,6)27' 24 24 3,4959' 3,4695' 29 29 ),2526' ),232(' 29 29 5,5835' 5,55)6' 24 24
6,7(75' 23
6,773(' 23
3,4287' 3,9423' 29 29
3,6(29' 23
3,6799' 23
),76)3' ),7728' 29 29
3,7959' 23
3,6273' 23
(,6795' (,6726' 29 29
3,)689' 23
3,)934' 3,3878' 23 29
3,355(' 29
5,262)' 23
5,2927' ),5(26' 23 29
),3893' 29
9,94(6' 23
9,4)2(' ),(675' 23 29
),(77' 29
7,79(('23 ),5383'23 ),5579'23 ),)773'23
8,6424' 23 8,3)4'23 2,222(22 2,222(225 (8 4
3,)7)4' 3,)258' 29 29 ),4638' ),45'29 29
8,(554' 23
8,)()6' 23
),99)5' ),9348' 29 29
9,98)8' 23
9,47(9' 6,97)8' 23 29
6,9286' 29
9,25'23
9,283)' 7,2457' 23 29
7,29(' 29
9,75'23 9,8388' 23
9,7859' 7,7()3' 7,)85(' 23 29 29 9,8885' 6,(23' 6,2469' 23 29 29
2,99 2,94 2,98 2,4 2,4( 2,4) 2,47 2,46 2,43 2,45 2,49 2,44 2,48 2,8 2,8( 2,8) 2,87 2,86 2,83 2,85 2,89 2,84
76 2,222769 83 2,222)9) 63 2,222(5) 7) 9,)46)' 23 7,5734' 23 7,7545' 23 (,)887' 23 5,()49' 23 2,222(96 64 2,222)97 8) 2,2227(5 (9 2,222723 4) 2,222)82 7 2,2227(3 77 2,22274) )( 2,222665 2) 2,222635 36 2,222626 )6 2,2227)8 2) 2,222)47 96 2,222)43 85 2,22272) 6(
(,698'25
9,545)' 23
9,9)63' 23
7,)476' 7,)59(' 29 29
(,58((' 25
5,2(46' 23
5,2646' 23
7,9367' 7,9739' 29 29
(,3(36' 7,3435' 7,5273' 25 23 23 (,33(5' (,528(' (,5(9(' 25 23 23 (,4676' 4,27(6' 4,29(6' 25 25 25 (,(78(' 9,66((' 9,694)' 25 25 25 (,5264' ),492(' ),4466' 25 25 25 (,8698' (,7374' 25 23 (,7525'23 9,)847' 7,4367' 29 23 7,4973'23 (,573(' 25 5,23('23 5,24(('23 ),2268' 5,846(' 25 23 9,2(48'23 ),8473' 5,9335' 29 23 5,9487'23 (,5783' 5,6()9' 25 23 5,6665'23 5,8539' ),2(5'25 23 9,2226'23 (,6743' 4,667(' 29 23 4,643('23 (,5(69' 8,43)3' 25 23 8,82(5'23 (,846(' 2,222(22 2,222(2(7 25 43 3 3,4644' 4,8)85' 29 23 4,896('23 (,3346' 9,)54(' 25 23 9,7267'23 (,8()4' 5,)599' 25 23 5,)848'23 (,2()4' 5,7(58' 25 23 5,7647'23 (,6547' 5,542)' 25 23 5,9(76'23
7,756)' 7,7693' 29 29 7,6663' 7,6)93' 29 29 6,28)6' 6,29)(' 29 29 ),3)44' ),3(57' 29 29 7,35)3' 7,3668' 29 29 6,7)67' 6,72)8' 29 29 (,5)2)' (,5())' 29 29 7,5()' 7,57'29 29 6,6328' 6,6)44' 29 29 5,5)76' 5,3825' 24 24 7,5785' 7,5)(5' 29 29 6,6935' 6,6376' 29 29 7,(873' 7,(999' 24 24 7,3469' 7,359' 29 29 6,6269' 6,74)8' 29 29 (,)846' (,)8)' 29 29 7,6385' 7,66)6' 29 29 6,)653' 6,))36' 29 29 ),)647' ),)79)' 29 29 7,)389' 7,)673' 29 29
2,88 (
2,222)42 )5 2,222(85 38
(,4254' 25 (,6(38' 25
5,(828' 6,2((' 23 5,))(9'23 29 6,76)4' 7,(677' 23 6,7566'23 29
7,88((' 29 7,()99' 29
# /nalmente usando las ecuaciones de la com"inación modal, o"tenemos: U6 ;m<
U9 ;m<
2 ),2336' 25 (,6)(9' 23 7,9()8' 23 5,2484' 23 9,6269' 23 9,74(3' 23 5,4659' 23 5,8328' 23 4,2835' 23 8,33)5' 23 2,222(2( )5 8,)693' 23 9,32(6' 23 5,28(7' 23 3,9676' 23 5,23(8' 23 3,4583' 23 6,74(8' 23 (,498(' 23 6,45(6'
2 ),2564' 25 (,6)44' 23 7,97(6' 23 5,()2(' 23 9,66(5' 23 9,6(4)' 23 5,4424' 23 5,8433' 23 4,(738' 23 8,522)' 23 2,222(2( 95 8,)873' 23 9,3744' 23 5,()(5' 23 3,99)' 23 5,24)' 23 3,4849' 23 6,6274' 23 (,4446' 23 6,4436'
25 (,9)85' 23 (,8(64' 23 ),259(' 23 7,)22(' 23 3,7346' 23 9,337)' 23 4,5637' 23 4,797' 23 9,3953' 23 9,6(27' 23 4,)9(8' 23 8,67)(' 23 8,92)6' 23 4,3728' 23 5,3(95' 23 6,497)' 23 6,7)2(' 23 6,6648' 23 6,((6(' 23 ),3((6' 23 3,333(' 29 ),6)45' 23 7,5727' 23 7,9753' 23
25 (,974)' 23 (,8)66' 23 ),2996' 23 7,)(5' 23 3,743(' 23 9,3824' 23 4,5447' 23 4,6(69' 23 9,5(6)' 23 9,669)' 23 4,7(7(' 23 8,698(' 23 8,9329' 23 4,3976' 23 5,33'23 6,4896' 23 6,76(5' 23 6,69(' 23 6,(763' 23 ),3)78' 23 3,34)9' 29 ),6629' 23 7,5646' 23 7,933(' 23
7,9993' 23 6,9565' 23 5,9753' 23 4,92)' 23 8,3724' 23 4,894' 23 9,4897' 23 9,669)' 23 4,2))5' 23 4,48)6' 23 4,495' 23 9,679(' 23 3,(8()' 23 7,7368' 23 ),5656' 23 ),5323' 23 ),))7)' 23 3,545(' 25 (,8899' 23 6,7(6' 23 3,6(24' 23 3,7959' 23 3,)3'23 5,262)' 23 9,94(6'
7,9857' 23 6,9447' 23 5,992(' 23 4,9637' 23 8,394)' 23 8,2))9' 23 9,8755' 23 9,6467' 23 4,25)3' 23 4,8759' 23 4,8)2)' 23 9,696)' 23 3,)(9' 23 7,79(5' 23 ),5383' 23 ),5579' 23 ),)767' 23 3,9(66' 25 ),2295' 23 6,7733' 23 3,6799' 23 3,6273' 23 3,)95(' 23 5,2927' 23 9,4)2)'
23 8,6428' 23 2,222(22 (8 8,(554' 23 9,987' 23 9,252(' 23 9,752(' 23 9,85'23 9,5457' 23 5,2(43' 23 7,3434' 23 (,5283' 23 4,26(4' 25 9,6636' 25 ),48))' 25 (,7363' 23 7,4366' 23 5,23((' 23 5,8467' 23 5,9335' 23 5,6()4' 23 5,8538' 23 4,667(' 23 8,43)5' 23 2,222(22 43
23 8,3)4(' 23 2,222(22 54 8,)()3' 23 9,47(4' 23 9,283)' 23 9,7854' 23 9,8889' 23 9,9)63' 23 5,2643' 23 7,5275' 23 (,5(93' 23 4,24(9' 25 9,64)6' 25 ),825(' 25 (,75(7' 23 7,4975' 23 5,24()' 23 9,2(8(' 23 5,9487' 23 5,6669' 23 9,2223' 23 4,643(' 23 8,82(5' 23 2,222(2( 73
4,8)85' 23 9,)54)' 23 5,)598' 23 5,7(58' 23 5,5427' 23 5,(8(' 23 6,76)8' 23
4,896(' 23 9,7266' 23 5,)88(' 23 5,7647' 23 5,9(73' 23 5,))(4' 23 6,7563' 23
Desplazamiento U6 2
2
2
Desplazamiento m/
2
2
2
2 2
2.)
2.6
2.5
tiempo seg/
2.4
(
(.)
