Integral de Duhamel (Pag.17)

5

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

5.1 INTRODUCCIÓN Para el estudio de la vibración de sistemas estructurales es necesario hacer uso de algunos conceptos relativos a la respuesta de sistemas de un grado de libertad ( (1 GDL) que son aplicables a sistemas de muchos grados de libertad como son las estructuras de edificios por lo que es imprescindible comenzar por una revisión de estas ideas. La utilidad de un sistema tan simple reside en que permite establecer de manera muy directa y sencilla diversos conceptos útiles en la comprensión de sistemas dinámicos más complejos. Asimismo muchas estructuras simples pueden pueden ser represen representadas tadas razonablemente como un sistema de 1 GDL. La solución de sistemas complejos puede obtenerse reduciendo el problema a uno de 1 GDL, así como ser parte de la solución de problem problemas as con mayor número número de variable variabless que pueden reducir reducirse se a una combinació combinación n de sistemas de un GDL. "Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que sólo

es posible un tipo de movimiento, o sea, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida definida por la de una sola coordenada" [ Ref. 1 ] • El sistema idealizado de una masa concentrada y un resorte sin peso, aunque sencillo, es una herramienta muy conveniente.

•

Las [ Ref. # ] # ] indican las referencias bibliográficas listadas al final de cada Capítulo.

4

CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

la suma de la solución general de la ecuación homogénea (segundo miembro cero), que involucra dos constantes de integración, y cualquier solución particular de la ecuación completa o general. Las constantes de integración se determinan imponiendo las condiciones iniciales (desplazamiento u y velocidad du/dt ) en el origen del tiempo t = t o (normalmente t o = 0 ).

u

uo

Amplitud

−u o

5.4 VIBRACIÓN LIBRE

a) Desplazamiento inicial

Cuando la fuerza F(t) es igual a cero estamos ante el caso de la vibración libre. Esta puede producirse debido a ciertas condiciones iniciales (t=0) impuestas al sistema que resultan -a pesar de no haber fuerza excitadora- en un impulso inicial que se traduce en una vibración. La ecuación de movimiento es en este caso una ecuación homogénea cuya solución corresponde a la solución general de la ecuación diferencial. En este caso la solución de:

m.ü + k.u = 0 Haciendo ω =

5

SECC. 5.5: RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES

es

u = A sen

k k t + B cos t m m

(5.5)

u u& o Amplitud

ω

−

u& o ω

b) Velocidad incial

Fig. 5.4 Vibración libre de un grado de libertad (1 GDL)

k y los desplazamientos y velocidad iniciales: m

La Ec. (5.6) da la respuesta, el desplazamiento, en cualquier instante debido a un desplazamiento inicial, o velocidad, o ambos. Como se observa en la Fig. 5.4 el movimiento es periódico, o sea se repite cada cierto tiempo, o lo que es lo mismo podemos llamarlo armónico con una frecuencia natural o período dados por:

u (t = 0) = u 0 u& (t = 0) = u& 0

Frecuencia natural circular o angular ( ω ):

Evaluando las condicione iniciales se consigue:

& u = ( u 0 ) sen ω t + u 0 cos ω t ω

ω = (5.6)

k m

, radianes/segundo ( s- 1)

(5.7)

Frecuencia natural ( f ):

f =

ω 2π

=

1 2π

k , Hertz ( Hz) o m ciclos/segundo

(5.8)

m , segundos ( s) k

(5.9)

Período natural ( T ):

T =

1

f

= 2π

5.5 RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES Es útil analizar la respuesta de un sistema de 1 GDL a algunas excitaciones simples, que tienen una solución analítica, a fin de ganar familiaridad con el comportamiento del sistema y con la influencia del período en la respuesta.

10


y , es el desplazamiento relativo de la masa con respecto al terreno, o sea la distorsión del resorte requerida para el cálculo de la fuerza producida en el resorte al ocurrir el movimiento en la base de apoyo del sistema.

u

y = u − uG

m

m

mu &&

El movimiento de la base está definido por uG(t). Por facilidad podría descomponerse en una constante arbitraria uGo multiplicada por una función adimensional del tiempo, f(t). Por otro lado los desplazamientos absolutos y relativos se relcionan mediante y = u uG (ver Fig. 5.8), la cual al ser sustituida en la Ec. (5.22) resulta:

m

ky k

luego se cumple :

u( t ) = u G ( t ) + y( t ) u&& = u&&G + y&&

11

SECC. 5.7: AMORTIGUAMIENTO. TIPOS

m.ü + k.(u - uG ) = 0

(5.23)

m.ü + k.u = - k u Go f(t)

(5.24)

Esta ecuación es idéntica a la Ec. (5.4) en donde F(t) ha sido reemplazada por k.uG(t) o F 1 por k.uGo. Por consiguiente las soluciones analíticas obtenidas para fuerzas aplicadas pueden usarse directamente en este caso. Es interesante analizar los casos límite( Fig. 5.9). Veamos el comportamiento para: -

Sistemas muy flexibles( Fig. 5.9a), en este caso el suelo alcanzará su máximo desplazamiento antes de que la masa tenga tiempo de reaccionar y por consiguiente el desplazamiento relativo máximo será igual al máximo desplazamiento de la base ( ymáx.=uGo). Al mismo tiempo, la aceleración máxima de la masa será muy pequeña comparada con la aceleración de la base.

-

Por otro lado, para sistemas muy rígidos( Fig. 5.9b), la masa simplemente sigue a la base resultando en una aceleración máxima de la masa igual a la máxima aceleración de la base y el desplazamiento relativo es prácticamente cero.

uG (t ) = u Go . f (t ) Fig. 5.8 Sistema de 1 GDL sometido a movimiento de la base

Sistemas Flexibles

m

u&& →0 u&&G

k → 0

T → ∞ u = y máx. = u Go (a)

Sistemas Rígidos

m

m

k → ∞

T → 0 u (b) Fig. 5.9 Casos límites

u&& = u&&G

18


Fig 5.16 Vibración libre amortiguada

19

SECC. 5.7.2.1: VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO

Ecs..(5.45a) y (5.45b). Luego al resolver esta última, la cual es una ecuación polinómica de segundo grado, se tiene:

Recordando que el amortiguamiento viscoso al ser considerado como una resistencia proporcional a la velocidad de deformación es matemáticamente la forma más simple, procedemos a plantear la ecuación diferencial que define el movimiento del sistema mostrado en la Fig. 5.16 :

mü + cu& + ku = 0

(5.41)

la solución general supuesta y sus derivadas son:

u = Ce r t

(5.42)

2 ⎛ c ⎛ c ⎞ ⎞⎟ r 1 = ω ⎜⎜ − + ⎜ ⎟ −1 ⎟ ⎜ 2mω ⎝ 2mω ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

(5.47)

2 ⎛ c ⎛ c ⎞ ⎞⎟ − ⎜ r 2 = ω ⎜⎜ − ⎟ −1 ⎟ ⎜ 2mω ⎝ 2mω ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

(5.48)

reemplazando estas ecuaciones en la Ec. (5.46) y luego factorizandola, se tiene la

solución general de la vibración libre amortiguada: u& = C r e r t

(5.43)

u&& = C r 2 e r t

(5.44)

u=e

⎛ c ⎞ −ω ⎜ ⎟⋅t ⎝ 2 mω ⎠

donde C es una constante distinta a la constante c de amortiguamiento. En la sección anterior β

Al reemplazar las Ecs. (5.42), 5.43) y (1.44) en la Ec. (5.41) se tiene: (mr

2

+ cr + k ) ⋅ Ce r t = 0

⎡ ω ⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎢ ⎝ ⎢C 1e ⎢ ⎣

2 ⎞ ⎛ c ⎞ −1 ⎟⋅ t ⎜ ⎟ ⎝ 2 mω ⎠ ⎠⎟⎟

+ C 2 e

donde:

ó

mr + cr + k = 0

r 2 +

c r + ω 2 = 0 m

(5.45) (5.45a)

1

2

(5.49)

c 2mω = c c crítico fue definido. Entonces según esto,

−ω ⎛ ⎡ ω ⎛ ⎜ β −1 ⎞ ⎠⎟⋅t ⎜ β −1 ⎞⎟⋅t ⎤ ⎠ + C 2 e ⎝ u = e −ω β t ⎢C 1e ⎝ ⎥ ⎣ ⎦ 2

(5.49a)

A continuación veremos las ecuaciones que definen el movimiento de vibración (5.45b)

La Ec. (5.45) nos indica que en realidad la solución general sería la dada por la Ec..(5.46) y no como se supuso(Ec.(5.42)):

u = C 1e r t + C 2 e r t

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

la Ec..(5.49) quedaría como se muestra en la Ec. (5.49a): 2

2

2 ⎛ c ⎞ ⎞⎟ −ω ⎜⎜ ⎛ ⎜ ⎟ −1 ⎟⋅t ⎜ ⎝ 2 mω ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

(5.46)

donde r 1 y r 2 son las raíces de la Ec. (5.45), en la que la constante C i es distinta de cero ya que se desea una solución distinta de la trivial, desprendiendose así la

libre amortiguada como resultado del comportamiento de β . a) Sub Amortiguamiento ( β <1 , raíces imaginarias) La solución general para la Ec. (5.41) en este caso sería la Ec. (5.46), luego:

u = C 1e r t + C 2 e r t 1

2

(5.50)

20


pero como β <1 las raíces definidas por las Ec. (5.46) y (5.47) serían imaginarias. Con

21

SECC. 5.7.2.1: VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO

Como β =1 las raíces definidas por las Ecs. (5.47) y (5.48) serían iguales. Es decir :

i = − 1 dichas raíces serían ahora:

r = r 1 = r 2 = − β ω = −ω

r 1 = − β ω + i ω 1 − β

(5.51a)

Por consiguiente la forma de la solución general sería:

r 2 = − β ω − i ω 1 − β 2

(5.51b)

u = C 1 e r t + C 2 t e r t

2

1

2

(5.58)

(5.59)

siendo entonces ahora la ecuación general de la siguiente forma:

[

u = e − β ω t C 1e it ω (1− β ) + C 2 e −i t ω (1− β ) 2 1/ 2

2 1/ 2

]

reemplazando la Ec. (5.58) en la Ec. (5.59) se tiene ahora: (5.52)

u = (C 1 + C 2 t )e −ω t luego, con ω D

= ω 1 − β , T D = 2π ω D y con las siguientes relaciones de 2

números complejos:

(5.60)

simplificándo la Ec. (5.60) y evaluando en ella las condiciones iniciales u = u o y u& = u& o el movimiento queda definido como se muestra a

t o = 0 ,

continuación: iω D t

= cos ω D t + i sen ω D t

(5.53)

e −iω D t = cos ω D t − i sen ω D t

(5.54)

e

u = e −ω t {u o + (u& o + ω u o ) t } ω D

(5.61)

Se debe recordar al lector que habrá movimiento pero éste no será vibratorio ya que =0.

la Ec. (5.52) queda expresada de la siguiente manera:

u = e − β ω t [ A cos ω D t + Bsenω D t ]

c) Sobre Amortiguamiento ( β >1 , raíces reales) (5.55)

Las constantes A y B de la Ec. (5.55) quedan definidas cuando en ella se evaluan las condiciones iniciales. Veremos que cuando se tiene t o = 0 , u = u o y u& = u& o el

Como β <1 las raíces definidas por las Ec. (5.47) y (5.48) serían reales. Quedando entonces las raíces de la siguiente forma:

movimiento queda definido como se muestra a continuación:

⎧⎪ ⎫⎪ ⎡ (u& + β ω u o ) ⎤ u = e − β ω t ⎨u o cos ω D t + ⎢ o ⎥ senω D t ⎬ ω ⎪⎩ ⎪⎭ D ⎣ ⎦

(5.56)

Si t o fuese distinto de cero, entonces se tendría:

u=e

− β ω (t − t o )

⎧⎪ ⎫⎪ ⎡ (u& o + β ω u o ) ⎤ sen(ω D (t − t o ))⎬ (5.57) ⎨u o cos(ω D (t − t o )) + ⎢ ⎥ ω D ⎪⎭ ⎣ ⎦ ⎩⎪

b) Amortiguamiento Crítico ( β =1 , raíces iguales)

r 1 = − β ω + ω β 2 − 1

(5.62)

r 2 = − β ω − ω β 2 − 1

(5.63)

y como para este caso la ecuación que define el movimiento debido a que las raíces son reales y distintas, es :

u = C 1e r t + C 2 e r 1

luego, con ω D ' = ω β 2

2

t

(5.64)

− 1 , T D = 2π (ω D ') y con las siguientes relaciones del

seno y coseno hyperbólico:

e ω D 't = cos h ω D ' t + sen h ω D ' t

(5.65)

22


e −ω D 't = cos h ω D ' t − sen h ω D ' t

⎧⎪ ⎪⎩

(5.67)

(5.68) (5.69)

donde:

C 1 =

C 2 =

u& o + ⎡⎢ β + β 2 − 1 ⎤⎥ω u o ⎣ ⎦ 2 2ω β − 1

− u& o − ⎡⎢ β + ⎣ 2ω

− 1 ⎤⎥ω u o ⎦ 2 β − 1

(5.70)

β 2

(5.71)

Finalmente se recuerda al lector que tampoco habrá movimiento vibratorio retornando la masa a su posición original monotónicamente con velocidad decreciente como se indico en la sección anterior.

5.7.2.1.1 Decremento Logarítmico ( D.L. ). El decremento logarítmico es el logaritmo neperiano de la relación entre dos picos o amplitudes máximas sucesivas. O sea: . . = Ln D L

u (t = t ) u (t = t + T D )

(5.72)

donde T D es el periodo natural amortiguado. Para la vibración libre amortiguada y con β <1, ya que este tipo de sistemas sometidos a sismos es el caso de mayor interés, dicho movimiento viene definido por la Ec. (5.56):

⎧⎪ ⎫⎪ ⎡ (u& + β ω u o ) ⎤ u = e − β ω t ⎨u o cos ω D t + ⎢ o ⎥ senω D t ⎬ ω ⎪⎩ ⎪⎭ D ⎣ ⎦

⎫⎪ ⎡ (u&o + β ω uo ) ⎤ senω Dt ⎬ ⎥ ω D ⎪⎭ u( t = t ) ⎣ ⎦ D L . . = Ln = Ln u( t = t + T D ) ⎧ ⎫⎪ ⎡ ⎤ & β ω u + u ( ) ⎪ o e− β ω ( t +T ) ⎨uo cos ω D ( t + T D ) + ⎢ o ⎥ senω D ( t + T D )⎬ ω ⎪⎩ ⎪⎭ D ⎣ ⎦ e− β ω t ⎨uo cos ω Dt + ⎢

Las constantes A y B de la Ec. (5.67) quedan definidas cuando en ella se evaluan las condiciones iniciales t o = 0 , u = u o y u& = u& o . Entonces se tendría:

A = C 1 + C 2 B = C 1 − C 2

23

(5.66)

la Ec. (5.64) quedaría expresada como se muestra a continuación:

u = e − β ω t [ A cos h ω D ' t + Bsen h ω D ' t ]

SECC. 5.7.2.1.1: DECREMENTO LOGARÍTMICO ( D.L. ).

(5.73)

Aplicando la definición de decremento logarítmico (D.L.) a la Ec. (5.73) y teniendo en cuenta la Fig. 5.17 se tendrá:

D

24


. . ≈ 2πβ D L

u

u (t + T D )

u (t )

β

Material

t

t

t + T D

Acero 0,01 – 0,02 Concreto y 0,02 – 0,05 Albañilería Suelos 0,10 – 0,20

−u 0 Fig 5.17 Vibración libre amortiguada. Amplitudes sucesivas. Además, como el seno y coseno son funciones periodicas, con periodo amortiguado T D , tal como se aprecia en la Fig 5.17, la expresión anterior queda reducida de la siguiente manera:

D

D

1,07 – 1,13

,04 π -,10 π

1,13 – 1,37

72 – 88 %

,20 π -,40 π

1,87 – 3,51

28 – 53 %

Por otro lado, si se desea conocer la relación de amplitudes de la primera “ 1 ” (la máxima) con una amplitud genérica “ j ” ¿ Cual sería esta relación ? . Basados en el concepto de decremento logarítmico se podría hallar dicha relación. Sabemos que la Ec. (5.72) se puede rescribir de la manera indicada en la Ec. (5.78): u (t = t ) u (t = t ) . . = Ln (5.78) → = e D. L. ≈ e 2πβ D L u (t = t + T D ) u (t = t + T D )

<1, queda como sigue:

(5.79)

(5.74)

buscada: (5.80) u1 u j = e 2πβ ( j −1) 5.7.2.2 Vibración Forzada con Amortiguamiento. Fuerza constante ( F1 ).

= ω 1 − β 2 , T D = 2π ω D y que para coeficientes

de amortiguamiento pequeño se cumple que: ω D

= ω 1 − β 2 ≈ ω

(5.75)

u

c m

entonces: 2π

ω D

≈

2π

ω

→

ω T D

≈ 2π

1 ”.

u u u1 u = e 2πβ , 2 = e 2πβ , 3 = e 2πβ , .... , j −1 = e 2πβ u2 u3 u4 u j multiplicando las “ j-1”relaciones y simplificando, se consigue la relación

la cual finalmente, para el caso de las vibraciones libres amortiguadas y con β

T D =

,02 π -,04 π

de manera análoga para amplitudes consecutivas se puede lograr lo siguiente:

]

D. L. = β ω T D

e D.L.

u1 = e D. L. ≈ e 2πβ u2

al seguir simplificando esta última expresión se tiene:

⎡ e − β ω t ⎤ D. L. = Ln ⎢ − β ω t − β ω T ⎥ = Ln[e β ω T ⎣ e .e ⎦

D L . . ≈ 2πβ

% de disminución entre dos picos consecutivos para cada ciclo ( 1 / e D.L. ) 88 – 93 %

ahora si le asignamos sub índices a las amplitudes, siendo la mayor “ Entonces la Ec. (5.78) se rescribiría así:

⎧⎪ ⎫⎪ ⎡ (u& + β ω uo ) ⎤ e− β ω t ⎨uo cos ω Dt + ⎢ o ⎥ senω Dt ⎬ ω ⎪⎩ ⎪⎭ ⎡ e− β ω t ⎤ D ⎣ ⎦ = Ln ⎢ − β ω ( t +T D ) ⎥ D L . . = Ln ⎧⎪ ⎫⎪ ⎡ (u& + β ω uo ) ⎤ ⎣e ⎦ e− β ω ( t +T D ) ⎨uo cosω Dt + ⎢ o ⎥ senω D t ⎬ ω ⎪⎩ ⎪ D ⎣ ⎦ ⎭

Ahora si recordamos que ω D

(5.77)

A continuación presentamos una tabla en la que se muestra para el acero, concreto y albañilería, y para los suelos, el porcentaje de disminución entre dos picos consecutivos para cada ciclo:

T D

u0

25

SECC. 5.7.2.2: VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO. FUERZA CONSTANTE ( F 1 ).

(5.76)

luego al reemplazar la Ec. (5.76) en la Ec. (5.74) esta última queda como sigue:

k

F 1

cu&

mu && m

ku

Fig 5.18 Vibración forzada amortiguada. Fuerza constante ( F 1 ).

F 1

26




F 1 + B k

→

B = −

u&( t = 0 ) = 0 = − β ω B + A ω D

→

A = − β .

u( t = 0 ) = 0 =

F (t )

F 1

t

u=

Considerando el amortiguamiento viscoso de manera similar que en la Secc. 5.7.2.1, solo que en este caso el sistema es forzado, la ecuación diferencial que define el movimiento esquematizado en la Fig. 5.18 estaría dada por: (5.81)

la solución general de la Ec. (5.81) sería la suma de la solución homogenea, (igual a la de la Secc. 5.7.2.1, Ec.(5.55)) más la suma de una solución particular,

F 1 k

(5.86)

F . 1 ω D k ω

(5.87)

Finalmente, al reemplazar las Ec. (5.86) y (5.87) en la Ec. (5.88) se tiene:

Fig. 5.19 Fuerza constante ( F 1 ) aplicada al sistema con amortiguamiento.

mü + cu& + ku = F 1

27

SECC. 5.8: VIBRACIONES ARMÓNICAS. F 1.senΩ t.

uh ,

⎛ ⎞⎤ F 1 ⎡ ω .⎢1 − e − β ω t ⎜⎜ cos ω D t + β . senω D t ⎟⎟⎥ ω D k ⎣⎢ ⎝ ⎠⎦⎥

(5.88)

La gráfica que representaría a la Ec. (5.88) vendría a ser la Fig 5.20 :

u 2 u est

u p , que

la satisfaga. Es decir:

u = u h + u p

(5.82)

u h = e − β ω t [ A cos ω D t + Bsenω D t ]

(5.83)

u p = F 1 / k

(5.84)

uest

siendo:

y

t Fig. 5.20 Fuerza constante( F 1 ) aplicada al sistema con amortiguamiento.

5.8 VIBRACIONES ARMÓNICAS. F1.sen t. luego, el movimiento , reemplazando las Ecs. (5.83) y (5.84) en la Ec. (5.82), quedaría definido como sigue:

u = e − β ω t [ A cos ω D t + Bsenω D t ] + F 1 / k

(5.85)

Las constantes A y B de la Ec. (5.85) quedan definidas cuando en ella se evaluan las condiciones iniciales. Veamos cuando se tiene las siguientes condiciones iniciales t o = 0 , u = u o = 0 y u& = u& o = 0 , es decir cuando se parte del reposo. Entonces:

Pudo bien haberse tratado a los sistemas sometidos a fuerzas dinámicas F(t) de la forma F 1i senΩ t como un caso particular de los sistemas forzados amortiguados en la Secc..5.7.2, pero por ser las vibraciones armónicas un caso de particular interés, por ello es que se prefirió recién tratarlas en esta sección. Los sistemas sometidos a fuerzas dinámicas F(t) de la forma F 1i senΩ t corresponden a las excitaciones dinámicas impuestas por máquinas rotatorias con alguna excentricidad (diseño de cimentaciones de máquinas). F 1 , constante al igual que en la sección anterior, será proporcional al peso desbalanceado y Ω representa la frecuencia circular, o velocidad de la máquina. También es de utilidad para interpretar el caso de sismos en que un movimiento puede

30


Durante el tiempo en que el primer sumando todavía contribuye significativamente al movimiento, se dice que de la solución (Ec. (5.91), la suma de ambos términos representa un movimiento transitorio tal como lo indica la Ec. (5.94). Una vez que esta contribución se ha hecho insignificante, el segundo sumando (parte forzada de la respuesta) se dice que representa la respuesta estacionaria (permanente) o el estado estacionario de la respuesta, en otras palabras ahora la Ec. (5.94) quedará expresada como sigue:

valores muy altos. La respuesta en este rango está primariamente controlada por la magnitud del amortiguamiento del sistema.

10.0 9.0

u ≈ u ESTACIONAR IA = uVIBRACIÓN ARMÓNICA FORZADA

ó

u ESTACIONAR IA=

8.0 7.0

F 1 1 [cos δ . senΩ t − senδ . cos Ωt ] k ⎛ 2 ⎞ 2 2 ⎜⎜1- Ω2 ⎟⎟ +4 β 2 Ω2 ω ⎝ ω ⎠

β =0.05

Luego, esta última ecuación puede expresarse como:

u ESTACIONAR IA = u ESTÁTICO . FAD

(5.96)

donde F 1 / k es el valor de la amplitud si la fuerza se aplicara estáticamente, y el FAD está expresado tal como puede apreciarse en la Fig. 5.21 : (5.97)

1

FAD =

⎛ ⎜⎜1 ⎝

2

⎞ ⎟⎟ + 4 β 2 ⎠

Ω

2

ω

2

31

SECC. 5.8.1: RESONANCIA. MÁXIMA AMPLIFICACIÓN

x á m ) D A F (

6.0 β =0.1

5.0 4.0 3.0

β =0.2

2.0

β =0.3

2

Ω

2

ω

β =0.5 Puede observarse en la Fig. 5.21 lo siguiente: -

-

-

Si el sistema es rígido, o cuando los valores de Ω /ω son pequeños en que la carga tiene una variación lenta en relación al período natural del sistema, el factor de magnificación ( FAD ) es casi uno y la respuesta es controlada por la rigidez del resorte (la carga puede considerarse como estática). Si el sistema es muy flexible, o cuando los valores de Ω /ω son grandes de manera que la carga varía rápidamente en relación al período natural del

1.0

β =1.0 0

1.0

Ω

2.0

3.0

Ω ω /ω Fig. 5.21 Factor de amplificación dinámica . Cargas sinusoidales

sistema, éste no tiene tiempo de reaccionar y la aceleración de la masa se acerca a cero de manera que el factor de amplificación ( FAD ) tiene valores menores que la unidad y la respuesta es controlada por la inercia del sistema.

5.8.1 Resonancia. Máxima Amplificación

Hay un rango intermedio, cuando la frecuencia de la excitación está cercana a la del sistema ω , donde el factor de amplificación ( FAD ) puede alcanzar

La condición Ω = ω se refiere normalmente como resonancia. Al reemplazar dicha condición en la Ec. (5.47) se obtiene el factor de amplificación ( FAD ) es 1/2ß y la

34


procedimiento preferido es aplicar el análisis numérico directamente a la ecuación de movimiento. A continuación veremos los casos cuando se tienen la solución exacta y cuando se emplean soluciones numéricas:

i ) Solución Exacta La solución general dada por la Ec. (5.100) puede efectuarse de forma directa al evaluar la solución particualr definida por la Integral de Duhamel, o sea haciendo uso de la Ec. (5.98a). Supongamos que se tiene un registro de aceleraciones producto de un sismo, tal como se muestra en la Fig. 5.22. Ahora, si la aceleración sísmica u&&G (t ) es definida a trozos y además lineal en cada uno de los intervalos de tiempo desiguales es posible realizar un análisis por tramos tal como muestra la Fig. 5.23, ello significaría que la integral de Duhamel posee primitiva y por consiguiente podrá obtenerse la solución análitica de la ecuación del movimiento.

SECC. 5.9: EXCITACIÓN ARBITRARIA. INTEGRAL DE DUHAMEL

35

Fig. 5.23 Función de excitación o Aceleración lineal del registro de la figura anterior. Suponiendo además que son nulas las condiciones iniciales del sistema, el problema se reduce al cálculo de la primitiva de la integral de Duhamel de la Ec. (5.100). Según Craig 1981; Barbat y Miguel Canet 1994 la integral de duhamel queda convenientemente expresada si en la Ec. (5.98a) se desarrolla la diferencia de senos, es decir senω D ( t − τ ) . Finalmente al ordenar cada miembro de manera conveniente dicha ecuación, la Ec..(5.98a), queda expresada como sigue:

y= e

- β ω t

ω D

( P (t ) senω D t − Q(t ) cosω D t)

(5.101)

donde: t

P (t ) = ∫ u&&G (τ ) e β ωτ cos ω Dτ d τ

u&&G (t )

(5.102)

0

Ver detalle en la Fig. 5.23

t

Q(t ) = ∫ u&&G (τ ) e β ωτ senω Dτ d τ

(5.103)

0

t

De la Fig. 5.23, en el intervalo (t i-1, t ) i las Ecs. (5.102) y (5.103) quedan redefinidas en el mencionado intervalo de tiempo por las Ecs. (5.104) y (5.105) respectivamente: t i

P (t i ) − P (t i −1 ) = ∫ u&&G (τ ) e β ωτ cos ω Dτ d τ

Fig. 5.22 Registro de aceleraciones producto de un sismo.

(5.104)

t i −1 t i

Q(t i ) − Q(t i −1 ) = ∫ u&&G (τ ) e β ωτ senω Dτ d τ

(5.105)

t i −1

u&&G (t )

y además ya que u&&G (t ) en la Fig. 1.23 esta definido por una recta en dicho

u&&G (t i )

intervalo, es expresada como:

u&&G (τ )

u&&G (t i ) − u&&G (t i −1 )

u&&G (t i −1 ) t i −1 τ t i t i − t i −1

t

o también:

⎛ u&& (t ) − u&&G (t i −1 ) ⎞ ⎟⎟(τ − t i −1 ) u&&G (τ ) = u&&G (t i −1 ) + ⎜⎜ G i t i − t i −1 ⎝ ⎠

(5.106)

u&&G (τ ) = u&&G (t i −1 ) + s (τ − t i −1 )

(5.107)

38


39

SECC. 5.10: TIEMPO - HISTORIA

Fig. 5.24 Registro de aceleraciones. Sismo 17 Octubre de 1966, Lima.

En la Fig. 5.24 se muestra el registro de aceleraciones de una de las componentes del sismo del 17 de Octubre de 1966 registrado en el local del Instituto Geofísico del Perú en Lima. Este registro muestra una aceleración máxima del suelo de 0.27g.

Fig. 5.25 Espectro de Fourier. Sismo 17 Octubre de 1966, Lima.

Como cada terremoto tienen características particulares, sobretodo en cuanto a su

contenido de frecuencias se refiere, es útil conocer como amplifica un sismo dado determinadas frecuencias. Recordemos que los edificios tienen frecuencias de vibración propias que pueden ser excitadas mayor o menormente por el sismo si éste trae más energía en dicho rango. Una forma de apreciar el contenido de frecuencias de un sismo, a través de su registro de aceleraciones, es calculando su Espectro de Fourier . Este no es sino una transformada del registro de aceleraciones en una sumatoria de senos y cosenos y luego el cálculo de las máximas amplitudes para una frecuencia dada. Como cubre un rango de frecuencias, al gráfico de estos valores se le denomina "espectro". En la Fig. 5.25 se presenta el espectro de Fourier del mismo sismo del 17 de Octubre del 66 mostrado en la Fig. 5.24.

Una herramienta muy útil y común en el análisis dinámico sismorresistente es el

espectro de respuesta de un terremoto. Este espectro viene a ser el lugar geométrico de las máximas respuestas de un sistema de 1 GDL sometido a la excitación de un sismo en la base. Dichas respuestas para una frecuencia natural y amortiguamiento especificados puede obtenerse por integración numérica (en el dominio del tiempo o de frecuencias) de la ecuación de movimiento.

ó

m. y&& + 2 βω M. y& + k.y = - m. u&&G (t)

(5.112a)

y&& + 2 βω. y& + ω2 .y = - u&&G (t)

(5.112b)

Repitiendo estos cálculos para un juego completo de osciladores con la misma cantidad de amortiguamiento β y para "un espectro" de frecuencias naturales, ω , es posible graficar los diferentes parámetros de la respuesta contra la frecuencia o el período. Basados en la Ref. [11] mostraremos como es que se obtiene los Espectros Sísmicos de Respuesta y lo que se obtiene como resultado luego de algunas simplificaciones, es decir los Seudo-Espectros Sísmicos de Respuestas. Sabemos que la solución general de

44


45

SECC. 5.11: SISMOS, REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA

La Fig. 5.28 muestra un espectro graficado usando estas coordenadas logarítmicas. De este único gráfico se pueden leer los valores de los tres efectos para cualquier sistema de un grado de libertad (1 GDL).

Fig. 5.27 Espectro de respuesta de desplazamientos Fig. 5.28 Espectro de respuestas de desplazamientos Además también se dijo que a causa de estas relaciones directas entre los tres espectros, es costumbre graficar el espectro de seudo-velocidades como función del período o frecuencia en un papel con escalas logarítmicas triples.

A continuación haremos una síntesis de lo visto en esta sección. Veamos el sistema de 1GDL libre amortiguado sometido a un sismo u&&G ( t ) ( Fig. 5.29):

u

De la escalas logarítmicas triples:

y = u − u G m

m

- Las líneas horizontales corresponden a valores constantes de la seudo-velocidad. - Líneas inclinadas a 45° con pendiente positiva representan valores constantes de la seudo-aceleración.

c

mu &&

m

k . y c. y&

k

se cumple :

- Líneas inclinadas a 45° con pendiente negativa representan valores constantes del desplazamiento relativo. (si las abscisas son frecuencias las pendientes son inversas).

u&&G ( t )

u( t ) = u G ( t ) + y( t ) u&& = u&&G + y&&

u G ( t ) Fig. 5.29 Sistema de 1GDL libre amortiguado sometido a un sismo

46


la ecuación de movimiento en coordenadas relativas para el sistema de 1GDL sometido a un sismo sería:

m.u&& + c. y& + k.y = 0 ó escrito de otra manera:

ó

m. y&& + c. y& + k.y = - m. u&&G (t)

47


Y debido a que hay una relación directa entre los Seudo-Espectros, los cuales representan el lugar geométrico de las Respuestas Máximasde un sistema de 1GDL sometido a un sismo, pueden representarse los tres en una misma gráfica en escala trilogarítmica. Esto es:

y&& + 2 βω. y& + ω2 .y = - u&&G (t) S d , S v , S a

Dicho sismo es el que produce un registro de aceleraciones tal como se muestra en la Fig. 5.30:

u&&G (t )

S d S v S a

T

t

Periodo

Fig. 5.32 Lugar geométrico de las respuestas máximas de un sistema de 1 GDL sometido a un sismo Fig. 5.30 Registro de aceleraciones producto de un sismo. A su vez el registro de aceleraciones del mencionado sismo produce los Espectros Sísmicos. Aunque en realidad lo que se usa son las simplificaciones de los Espectros, es decir los Seudo- Espectros Sísmicos. Lo dicho se puede apreciar en Fig. 5.31:

y (t ) y máx = S d

Finalmente, para culminar con el presente capítulo se hará un breve comentario de la Norma Peruana de Diseño Sismorresistente E-030, en lo que concierne a espectros. El Espectro de Diseño de la Norma es una curva suavizada que resulta de normalizar con respecto a la aceleración máxima de la base los espectros de respuestas de sismos registrados en un determinado lugar (la Normalización se hace usando métodos estadísticos). Dicho de otra manera, todas las curvas que representan a los sismos registrados de una determinada zona se llevan a la máxima aceleración (ver Fig. 5.33). En el caso de la Norma Peruana define 3 zonas al territoio Peruano. Luego para la Zona 3 cooresponde una aceleración de 0,4g , para la Zona 2 cooresponde una aceleración de 0,3g y para la Zona 3 cooresponde una aceleración de 0,15g. En el año 74 en Perú se tuvo

0,20g. y& (t )

u&&(t ) = u&&G (t ) + y&&(t )

y& máx = S v

u&&máx = S a

Aceleració n

u

&&G máx Diseño

Espectros de respuestas de sismos registradosen el sitio. Espectros de diseño o curva suavizada producto de una normalización hecha con respecto a la aceleración máxima de la base.

T Fig. 5.31 Registro de aceleraciones producto de un sismo.

48


Fig. 5.33 Espectros de respuestas de sismos registrados y el espectro de diseño (curva suavizada)

49


El Espectro de Aceleraciones de la Fig. 5.33 llamado Espectro de Pseudo Aceleraciones según Norma Peruana de Diseño Sismorresistente E-030 esta definido por:

S a =

ZUSC g R

Espectro que debe ser empleado para cada una de las dirreciones analizadas. Para el análisis en la dirección vertical podrá usarse un espectro con valores iguales a los 2/3 del espectro empleado para las direcciones horizontales. La descripción de cada término puede ser vista en la Norma la cual se encuentra en el apéndice. Es necesario resaltar que las características del suelo influyen en la traducción de la onda, esto puede verse en la Fig. 5.34:

CS 3 ,50 3,00 2,50

T p = 0,4 T = 0,9 p T p = 0,6

S 3

( S = 1,4)

S 2

( S = 1,2)

S 1

( S = 1,0)

T

Fig. 5.34 Influencia del tipo de sueloen la traducción de la onda. En la Fig. 5.34, C es el coeficiente de amplificación sísmica. Los demás términos se definen a continuación en la Tabla N°2 correspondiente a la Norma Peruana E-030: Tabla Nº2 Parámetros del Suelo

Tipo de Suelo

Descripción

T p (s)

S

S1

Roca o suelos muy rígidos

0,4

1,0

S2

Suelos intermedios

0,6

1,2

S3

Suelos flexibles o con estratos de gran espesor

0,9

1,4

S4

Condiciones excepcionales

*

*

50


P 5-01) Se tiene un sistema masa-resorte (sin amortiguamiento) de un grado de libertad sometido a la fuerza excitadora F(t) = F1 x f(t). En la figura se muestra la variación de f(t) con el tiempo. Se pide determinar la máxima amplitud de la vibración en el tramo t > td. El tiempo td = 1.0 s . F1 = 1.579 t. El período del sistema es de 1 s y la rigidez K es 157.91 t/m. Debe justificar debidamente su respuesta.

51

PROBLEMAS

Solución .-

Modelo: φ =

P = 500kg P 500kg kg − s 2 m= = = 0.51 g 981 cm cm s 2

8

A = 1.98cm2 m

F(t)

f(t)

5"

M

m

1

EI EA K = K VIGA + K CABLE = 3 3 + L h 3 x 2100000 x 4000 2100000 x1.98 = + K 3

K t

td

400

Solución.t > t d → Vibración Libre & U U = U o cos ω (t − t d ) + o senω (t − t d ) ω

1er Tramo: U = T=

F 1 (1 − cos ω t ) = 1,579 (1 − cos ω t ) = 0,01 m (1 − cos ω t ) 157,91 k 2π

=1 →

ω = 2π

ω U = 0,01 (1 − cos 2π t )

U máx =

[U ( ) ]

2

t d

& ⎤ ⎡ U + ⎢ (t d ) ⎥ ⎣ ω ⎦

T = 2π

0.51 m = 2π K T 14253 .7

→

T = 0.038 s

U = 0,01 (1 − cos 2π ) = 0 & = 0,01 x 2π ( sen 2π ) = 0 U

t = t d = 1s t = 1s

& = 0,01 x 2π ( sen 2π t ) U

300

kg K = 393.7 + 13860 = 14253.7 cm Luego la ecuación de movimiento : mu&& + ku = F (t ) 0.51u&& + 14253 .7u = F 1 f (t ) Por lo tanto el período :

P 5-03)

2

∴ U =

0+0

U =0

8m 4m

Cuba P 5-02) Determine la ecuación de movimiento y el período natural de vibración del sistema de un grado de libertad, compuesto por una viga ( I = 4 000 cm4) con un peso concentrado de 500 kg. y una varilla de 5/8” de diámetro en uno de sus extremos, tal como se muestra en la figura 3. Ambos elementos son de acero (E = 2 100 000 kg/cm2 ). La viga se puede considerar sin masa.

Fuste

3m

15m

Se tiene un tanque elevado como el que se muestra en la figura adjunta. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos. Si se lo somete a una fuerza bruscamente aplicada de 20 t. calcular cuál es el máximo desplazamiento que puede producirse. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar, explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2 ).

Solución.L = 3m

L = 4m

Lo que se desea calculares el U máx debido a una fuerza aplicada súbitamente. Luego de la teoría concluimos que: F U máx = 2 1 con F 1 = 20t K Del modelo entonces debemos calcular:

52


EI K = 3 3 h 4 4 π ( De − Di ) π (34 − 2.6 4 ) I = = 64 Entonces :

K =

Solución permane y máx nte:

od

→

64

3 x 2300000 x1.733 15

3

I = 1.733m 4 m

→

K = 3542 .8

t m

-Tapa y fondo -Muros -Fuste -Agua

20

aG 2

ω

ymáx =

1 (1 − r )

2 2

aG ω 2

+ (2 β r )

1 (1 − r 2 ) 2

+ (2 β r )2

2

sen(2π t + φ ) , r = Ω

S a =

3542 .8

e=0.20m Vista de Planta del Fuste

Para el cálculo del periodo: m T = 2π K

Peso de la Tapa y Fondo: Muros: Fuste: Agua:

(1 − r 2 ) 2 + (2 β r ) 2

Reemplazando: aG = 100 cm / s 2 , Ω = 2π rad / s , ω = 2π / T , β = 0.05

⇒ r = Ω / ω = (2π ) /( 2π / T ) = T

P = 285.579 t

29.11 3542.8

→

T = 0.57 s

P 5-04) Calcular Sa: aceleraciones absolutas. Para un movimiento en la base definido por:

&&G = − ao sen( 2 π t ) cm / s 2 U Duración indefinida. Graficar solamente para un rango del periodo entre 0 y 2 segundos.

(Considerar β = 5% y la solución permanente o estacionaria) Solución.&& + 2 β ω y& + ω 2 y De la forma y

(1 − r 2 ) 2

T (s) 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

= 48.255t = 42.344t (8 − 0.2)π (4 − 2 x0.2) x 2.4 x0.2 = 31.667t (3 − 0.2)π (15 / 2) x 2.4 x0.2 (π (8 − 0.2 x 2) 2 / 4) x(4 − 2 x0.2) x1 = 163.313t

Por lo tanto: T = 2π

aG

S a =

(π 8 2 / 4) x0.2 x 2.4 x2

t − s 2 m

relación de espectros para β = 5%

aG

Di De

Calculando “m=P/g”

ω

= S d

ymáx = S d ⇒ Sa = ω 2 S d

x100 = 1.13cm

m = 29.111

y =

15m

Luego el desplazamiento máximo : U máx = 2

53

PROBLEMAS

&& = −(−100 sen (2π t )) = 100 sen (2π t ) = a sen Ω t = −U G G [ forma conocida ]

+ (2 β r ) 2 Sa (cm/s 2 ) 100 106.63 133.04 225.29 1000 175.54 79.43 48.31 33.26

Sa (cm/s2) 1200 1000 800 600 400 200 0 0

0.5

1

1.5

2

54


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Integral de Duhamel (Pag.17)

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