Ejemplo de Calculo Numerico de La Integral de Duhamel Con MatlabDescripción completa
auditoriaDescripción completa
Descripción: Ejeercicio de dinamica estructural. Integral de Duhamel sin amortiguamiento.
pagare guatemalteco
Descripción completa
construccion de ascensorDescripción completa
Descripción completa
TAREASDescripción completa
7.1
EJEMPLOS
Integral de Duhamel para un sistema sin amortiguamiento
Ejemplo 7.1
Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.3, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de fuerza se muestra en la misma figura. histograma de carga
w=96.6 k
p(t)
p(t) 96.6 k
k=2700 k/ft
0.025 s
0.025 s
t
fs Figura 7.1
Solución
Para la resolución de este problema se utiliza a continuación “Mathcad 2000”, el cual es un programa de análisis matemático que hace más fácil la resolución de integrales de este tipo. Cálculos adicionales 2
Gravedad [ft/s ]: Frecuencia natural: Periodo natural:
g : 32.3 n
:
k g w
T n : 2 n
Primera fase, para 0
p ( x) :
d b c a
d : 96.6
( x a) b
3864.0 x
Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
1
Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13 ]
72
Conceptos generales en el análisis dinámico
t
A(t ) :
t
p ( x) cos(
x)dx
n
0
B(t ) :
p ( x) sen (
0
n
x)dx
La respuesta de desplazamiento es: 32.3
u (t ) :
w
A(t ) sen (
t ) B(t ) cos(
n
n
t )
n
La respuesta de fuerza elástica es: f (t ) : k u (t ) 2
La respuesta de velocidad es: v(t ) :
d u dt (t )
Segunda fase, para 0.025
h : 0.025 la ecuación de la recta resultante es:
p(
)
:
i
g
e)
(
h e
g
3864.0
96.6
las condiciones iniciales para esta fase son: tiempo inicial [s]:
tr : 0.025
desplazamiento inicial[ft]:
u (tr )
3.271 10
velocidad inicial [ft/s]:
v(tr )
0.385
3
3
Evaluación de C (t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel: j
C ( j ) :
0
j
p (
)
cos(
n
La respuesta de desplazamiento es: v(tr ) res ( j ) : sen ( n j ) u (tr ) cos(
)d
n
D( j ) :
32.3
j )
w
n
0
p (
)
sen (
C ( j ) sen(
n
n
)d
j ) D( j ) cos(
n
La respuesta de fuerza elástica es: fuerza ( j ) : k res ( j ) La respuesta de velocidad es: vel( j ) :
d dj
res ( j )
Tercera fase, para vibración libre t>0.05 las condiciones iniciales para esta fase son: tiempo inicial [s]: desplazamiento inicial[ft]:
2 3
ù(t)=v(t) C(t)=C(j)
to : 0.05 res (0.05 tr )
0.017
n
j)
73
Conceptos generales en el análisis dinámico
velocidad inicial [ft/s]:
vel(0.05
0.563
tr )
La respuesta de desplazamiento para vibración libre es: reslib ( s ) :
vel(0.05
tr )
sen(
n
s)
res (0.05
tr )
cos(
n
s)
n
La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es: flib( s ) : k reslib ( s )
las graficas de respuesta en las tres fases son: Respuesta de Fuerza Elástica 100 75 50 ] k [ a c i t s á l e a z e u f
25 0 25 50 75 100 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.2
0.25
tiempo [s]
Respuesta máxima:
Fuerza[k]=69.214
en un tiempo [s]=0.0772
Respuesta de Desplazamiento 0.04 0.03 0.02 ] t f [ o t n e i m a z a l p s e d
0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0
0.05
0.1
0.15 tiempo [s]
74
Conceptos generales en el análisis dinámico
Respuesta máxima: 4 Ejemplo 7.2
Desplazamiento[ft]=0.025635 en un tiempo [s]=0.0772 Integral de Duhamel para un sistema con amortiguamiento
Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.4 que tiene una razón de amortiguamiento =5%, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de fuerza se muestra en la misma figura. histograma de carga
w=96.6 k
p(t)
p(t) 96.6 k
k=2700 k/ft
0.025 s
0.025 s
t
fs Figura 7.2
Solución
Cálculos adicionales 2
Gravedad [ft/s ]: Frecuencia natural: Periodo natural:
g : 32.3 n
:
k g w
T n : 2 n
Razón de amortiguamiento: Frecuencia de amortiguamiento:
: 0.05 D
:
n
2
1
Primera fase, para 0
p ( x) :
d b c a
d : 96.6
( x a) b
3864.0 x
Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
4
Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13 ]
75
Conceptos generales en el análisis dinámico
t
A(t ) :
0
p ( x)
e
n
x
e
n
t
t
cos(
x)dx
D
B(t ) :
0
p ( x)
e
n
x
e
n
t
sen(
D
x)dx
La respuesta de desplazamiento es: 32.3
u (t ) :
w
A(t ) sen (
t ) B(t ) cos(
D
D
t )
D
La respuesta de fuerza elástica es: f (t ) : k u (t ) 5
La respuesta de velocidad es: v(t ) :
d u dt (t )
Segunda fase, para 0.025
p(
)
:
i: 0
i
g
h e
(
e)
g
3864.0
las condiciones iniciales para esta fase son: tiempo inicial [s]:
96.6
tr : 0.025
desplazamiento inicial[ft]:
u (tr )
3.211 10
velocidad inicial [ft/s]:
v(tr )
0.376
3
6
Evaluación de C (t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel: j
C ( j ) :
0
p(
)
e
n
e
n
j j
cos(
)d
D
D( j ) :
0
p (
)
e
n
e
n
j
sen(
D
)d
La respuesta de desplazamiento es: res ( j ) : e
n
j
u (tr ) cos(
D
j )
v (tr )
n
u (tr )
sen (
D
j )
D
La respuesta de fuerza elástica es: fuerza ( j ) : k res ( j ) La respuesta de velocidad es: vel( j ) :
Tercera fase, para vibración libre t>0.05 las condiciones iniciales para esta fase son: 5 6
ù(t)=v(t) C(t)=C(j)
d dj
res ( j )
32.3 w
D
C ( j ) sen (
D
j ) D( j ) cos(
D
j)
76
Conceptos generales en el análisis dinámico
tiempo inicial [s]: desplazamiento inicial[ft]:
to : 0.05 res (0.05 tr )
0.017
velocidad inicial [ft/s]:
vel(0.05
0.52
tr )
La respuesta de desplazamiento para vibración libre es: reslib ( s ) : e
n
s
res( 0.05
tr )
cos(
D
s)
vel(0.05
tr )
n
res (0.05
tr )
D
La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es: flib( s ) : k reslib ( s ) las graficas de respuesta en las tres fases son: Respuesta de Fuerza Elástica 100 75 50 ] K [ a c i t s á l e a z e u f
25 0 25 50 75 100 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
tiempo [s]
Respuesta máxima:
Fuerza[k]=64.1402
en un tiempo [s]=0.0758
Respuesta de Desplazamiento 0.03 0.0225 0.015 ] t f [ o t n e i m a z a l p s e d
