CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARMEN ESCUELA PREPARATORIA CAMPUS II
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
COMPETENCIAS DISCIPLINARES
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados resultado s obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
97
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
Título: INTEGRALES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Objetivo: Aplicar las fórmulas de integración inversa en la solución de ejercicios.
Lectura 6.1 FORMULAS DE INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
du
a
a2 u2 du 1 2
u2
a
a
arctan
1
u a
C
arc sec
u
C
a a u2 a2 1 ua du C L u 2 a 2 2a u a
a
du
u
u
arcsen C
du 2
u2
du u2 a2
1 2a
L
au a u
C
L u u 2 a 2 C
6.2ALGUNOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
ejemplo: 1.
dx 9 x 2
para aplicar la fórmula
du a2 u2
u
arcsen C es necesario identificar los valores de a
a2, a, u2, u y calcular u(x) y du(x). u 2 x 2
a 2 9 u x a 3 u ( x) x du ( x) dx
El integrando está completo pues incluye la función multiplicada por su diferencial, en consecuencia podemos aplicar la fórmula de integración citada. 98
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL du
du
9 x 2
a2 u2
integrando x
arcsen C 3
2.
dx
3 4x
2
para aplicar la formula
1 u arctan C es necesario identificar los valores de a2, 2 2 a a a u du
a, u2, u y calcular u(x) y du(x). u 2 4 x 2 a 2 3 u 2 x 3 u ( x ) 2 x du ( x ) 2dx
a
Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir por 2.
1
2dx
2 3 4 x 2
sustituyendo en el integrando 1
du
2 a2 u2
integrando 1 1 u arctan 2 a a sustituyendo el valor de a y de u 1
2 3
arctan
2 x 3
C
6.3 EL INTEGRANDO SE EXPRESA COMO LA SUMA DE DOS COCIENTES
ejemplo:
x 4 9 x
2
dx
comun denominador
x 9 x
2
dx
4 9 x
2
dx
99
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL u 9 x
2 2 u x
2
u ( x) 9 x
a 2 9 u x
2
du ( x ) 2 x dx
a 3 u ( x) x du ( x) dx
multiplicando y dividiendo por -2 la primera integral 1
1 dx x9 x 2 2 (2) dx 4 2 9 x 2
integrando
1
1u 2 x 4arcsen C 2 1 3 2
sustituyendo el valor de u x
9 x 2 4arcsen C 3
6.4 EL INTEGRANDO ES UNA FRACCION DONDE EL NUMERADOR ES dx Y EL DENOMINADOR ES DE LA FORMA ax + bx + c
Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2 + bx. La integral resultante puede ser de cualquiera de las formas siguientes: du
a u
u2 a2 du
u2
2
du 2
a2
du
u
2
para completar el cuadrado se puede utilizar la siguiente expresión expr esión 2
2
b b x bx c x bx c 2 2 ejemplo: 2
x
2
6dx
dx 4 x 8 al completar el cuadrado del denominador, se tiene x 2 4 x 8 x 2 4 x 4 4 8 2
x 2 4 2
100
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL dx
6 u
2
x 22 4 2 x 2
u x 2
a2
u ( x) x 2 a 4 du ( x ) dx
sustituyendo en el integrando 6
dx u2 a2
integrando u 1 6 arctan C a a sustituyendo los valores a y u 6
x 2
2
2
arctan 3 arctan
x 2 2
C C 2
6.5 COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X ES NEGATIVO
Ejemplo: dx
3 x x
2
si se completa el cuadrado del denominador se tiene 3 x x 2 x 2 3 x 2 2 2 3 3 x 3 x 2 2 3 2 3 2 x 2 2 multiplicando por el signo menos 2
3 3 x 2 2
2
101
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 3 u x 2
2
2
u x
3 a 2
2
2
3 2
u ( x) x
a
3 2
3 2
du ( x) dx
sustituyendo en el integrando dx
2
3 3 x 2 2 du
a u 2
2
2
integrando u
arcsen C a
sustituyendo los valores de a y u x
arcsen
3
3 2 C
2 2 x 3
arcsen
2 3
C
2 22 x 3 arcsen C 2(3) 2 x 3 arcsen C 3 2
6.6 COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X NO ES LA UNIDAD
Ejemplo:
2 x
dx 2
8 x 9
Se factoriza la expresión 2 x 2 8 x antes de completar el cuadrado. 2 x 2 8 x 9 2 x 2 4 x 9
2 x 2 4 x 4 4 9
102
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL el factor 2 afecta toda le expresión que esta en el paréntesis 2 x 2 4 x 4 24 9 2x 22 1
sustituyendo en el integrando dx
2 x 2 1 2
u 2 2 x 2 u
2
2 x 2
u ( x)
2 x 2
du x
2dx
multiplicando y dividiendo en el integrando por 2 1
2
2dx
2
2 x 2 1
sutituyendo 1
2
u
du 2
a2
integrando 1 1 arctan u C 2 a sustituyendo el valor de u y a 1 2
arctan 2 x 2 C
1.
x
dx 2
9
u x 2
2
u x u ( x ) x du ( x) dx
a2 9 a3
sustituyendo
103
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
du
u a2 int egrado
1 2a
2
L
ua ua
C 1 x 3
sustituyendo el valor de a y u L
6 x 3
C
104
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL Saberes a reforzar: Integrales trigonométricas inversas Estrategias metodológicas: Resolución de ejercicios
Ejercicio de autoaprendizaje No 9 Calcula las siguientes integrales. 1.
3.
9 x
dx 2
16
5 y dy
y
4
25
2.
4.
dy 16 y 2
sen y dy 5 cos cos 2 y
105
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 5.
7.
dx x
y
1 Ln ( x ) 2
dy 2
8 y 20
6.
8.
sec y tan y dy 16 sec 2 y
dx
1 7x
2
106
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 9.
11.
x
dy
y 2 6 y 7
dx 2
2 x 10
dy
10.
y
12.
4 x
2
8 y 25
dx 2
8 x 5
107
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 13.
15.
x
e
1 e
2 x
dx
dx 4 6 x x 2
14.
16.
y
8dy 2
4 y 7
4 xdx 9 x 4
108
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 17.
cos xdx 2
a
sen
2
x
18.
sec y tan y dy 5 4 sec 2 y
109
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL Título: INTEGRAL DEFINIDA Objetivo: Aplicar Objetivo: Aplicar la integral definida para conocer los valores de las reas bajo una curva. LECTURA 10.1 La integra definida como limite de sumas de Reimann Si f una función definida en un intervalo cerrado a, b y si el limite de la suma d Reimann existe, entonces se dice que f es integrable en ese intervalo, se expresa. n
lim lim
x 0
f W 1 x1
i 1
b
f x dx a
El proceso de obtener el numero representado por el limite señalado se le llama calcular la integral. Si una función f es continua en un intervalo cerrado a, b entonces siempre f es integrable en a, b . Al usar el intervalo a, b condicionamos que a < b. Si a > b entonces se expresa como:
b
a
b
f x dx f x dx a
10.2 Teorema fundamental del calculo. Si una función es continua en un intervalo cerrado a, b entonces siempre f es integrable en a, b . b
f xdx F b F a a
Donde F es cualquier función tal que F(x) = f(x) para toda x en a, b 10.3 Procedimiento para calcular una integral de finida. El procedimiento para calcular una integral definida se resume en lo siguiente:
Integrar la expresión diferencial dada. Sustituir en el resultado obtenido inicialmente con el valor del extremo superior y restar después de sustituir con el valor del extremo inferior. No es necesario utilizar la constante de integración.
110
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL Problemas resueltos:
4
2 xdx
1
4
2 xdx 1
x 2 1
4
42 41 15
2
0
cos x dx
senx 02
sen sen0 2 1 0
1
0
3
2
x 2 dx 0
3 x 3 x 2 5 2 3 3 2 2 0 3 0 2 3 2 5 5
63 5
4
10.4 Propiedades de la integral definida. Si f es integrable en
a, b y
k s un numero real cualquiera, entonces kf es
integrable en a, b
b
a
b
kf x dx k f x dx a
Si f y g son integrables entonces: b
b
b
a f x g xdx a f xdx a g xdx Problemas resueltos:
111
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 3
3 x 4 x 1dx 3 x dx 4 xdx dx 2
0
3
2
0
3
3
0
0
x 3 0 2 x 2 0 x30 27 0 18 0 3 0 12 3
3
2
0
x x 2 1 dx
3
1
3
u du 2 3
0
2
u 4 8 0
2
x 2 14 8 0 4 14 0 14 8 8 78
3
2 0 6 x 13 x x dx = 2
3
u 2 du 0
3
u 3 3 0 27 0 3 3 9
2
x 1dx
0
2 x 2 x
2
1 1
2
1
2 x 1 x 1 2 dx 2 2 0 2
112
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
1
2
u 4
0
1 2
du
1
1 u2 4 1 2 2
12 u 2 0
2
1 2 x 2 x 2 2 0
12 12 4 4 0 0 2 0
8 2
113
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL Saberes a reforzar: Integral definida Estrategias metodológicas: Resolución de ejercicios EJERCICIO DE AUTOAPRENDIZAJE No 10
Calcular las integrales siguientes: 1.
3.
5.
xdx
3
2
x
3
1
1
3
e
1
2.
x dx
4.
4
4
0
3 x x 3 dx dx
3
dx x
xdx
6.
x 4dx 0
114
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 7.
0
3
2
x 2 dx
8.
9.
0
2 1 2 x 3 dx
11.
3
0
2
cos xdx
6
10.
3
sec xdx
x 2
1
3
2
2 x 3 4 x 2 5
3 x 12. 1
2
dx
2 x 1dx
115
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 13.
15.
17.
9
3 1
1
y 1
2
1
x dx
2
2dy
3 2 1dy y
14.
8 0
sec 2 2 xdx
1
2 y 1 dy 16. 2
0
1
18.
0
x 2 x
dx
116
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL Título: INTEGRACION POR PARTES Objetivo: conocer y aplicar la integración por partes como un método alterno de solución
en integrales. LECTURA 7.1 FORMULA DE INTEGRACION POR PARTES
La integración por partes tiene por objeto calcular la función primitiva del producto de una función por la diferencial d otra función de la misma variable. Se basa en la formula de la derivada de un producto de dos funciones: d uv udv vdu integrando ambos miembros uv udv vdu despejando se obtiene la formula de integración por partes udv uv vdu Para aplicar esta fórmula en un caso dado, debe descomponerse la diferencial dada en dos factores u y dv. Al momento de elegir estos factores se debe tomar en cuenta los siguientes puntos: a) dx es siempre una parte de dv b) debe ser posible integrar dv c) cuando la expresión para integrar es el producto de dos funciones, es mejor elegir la de apariencia más complicada. Se usa para integrar gran número de integrales no inmediatas que se plantean como producto de funciones algebraicas, logarítmicas y trigonométricas inversas tales como: cos x dx ln x dx x x cos
x 3 dx sen 2 x dx arc tan x dx
7.2 PROCEDIMINTO DE INTEGRACION POR PARTES
Problemas Resueltos cos x dx 1. x cos se descompone el integrando en dos factores u y v de la expresion dl integrando que sea igual a u, se calcula su diferencial u x du dx la función en apariencia mas complicada y contiene a dx se iguala a dv dv cos x dx para obtener el valor de v se integra la expresion expr esion que se igualo a dv u x du dx NOTA: La expresion del integrando que se igualo a dv debe ser facilmente integrable 117
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL Los valores obtenidos de u, du y de v, se sustituyen en la fórmula para proceder a integrar
udv uv vdu x cos x dx xsenx senx dx integrando xsenx cos x C xsenx cos x C
NOTA: La elección de cual expresión es u y cual dv del integrando es arbitraria y es acertada cuando la integral del segundo miembro resulta mas sencilla qu la función inicial. xsenx dx 2. xsenx dv senx dx
u x du dx
v senx dx
cos x
sustituyendo en la formula
udv uv vdu xsenx dx x cos x cos x dx xsenx x cos x cos x dx integrando x cos x senx senx C 3. x 2 cos x dx dv cos x dx u x
2
du 2 xdx
v cos x dx
senx
sustituyendo en la formula
udv uv vdu x cos x dx x senx senx2 x dx x senx 2 x senx dx 2
2
2
NOTA: en algunos casos es necesario aplicarle a una misma función varias veces este metodo. Si tomamos la segunda integral 2 x senx dx
118
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL dv senx dx
u 2 x du 2dx
v senx dx
cos x
sustituyendo en la formula 2 x cos cos x cos cos x2dx ahora sustituimos en la ecuación original
x
2
cos cos x dx x 2 senx senx 2 x cos cos x 2 cos cos x dx
integrando senx 2 x cos x 2 senx senx C x 2 senx
4. xe 2 x dx
dv e 2 x dx
u x du dx
1
e 2
v
2 x
dx
1
e 2 x 2
sustituyendo en la formula 1
xe 2 x 2 1
1
e 2
2 x
dx
1 1 xe 2 x e 2 x 2dx 2 2 2
integrando 1
1
2
4
xe 2 x e 2 x C
5. x sec2 x dx u x du dx
dv sec 2 x dx
v sec 2 x dx
tan x
sustituyendo en la formula x tan x tan x dx integrando x tan x L sec x C
119
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 6. ln x dx dv dx
u ln x du
1 x
dx
v dx v x
sustituyendo en la formula 1 x ln x x dx x x ln x x C
7. arctan x dx u arctan x dv dx du
v dx
dx 1 x
2
v x
sustituyendo en la formula arctan x x
x 1 x 2
dx
u 1 x 2 u ( x) 1 x 2 du ( x ) 2dx
integrando 1
x arctan x L 1 x 2 C 2
8. x x 3 dx 1
dv x 3 3 dx
u x
1
du dx
v
x 3 dx
v
2
3
3
3
x 3 2
sustituyendo en la formula
2 x 3
3
x 3 2
integrando
2 3
3
x 3 2 dx 5
2 x 3
3
x 32
2 x 3 2 C 5 3 2
120
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
2 x 3
4
3
x 3 2
5
15
x 3 2 C
9. x 2 ln x dx u ln x du
1
x
dx
dv x 2 dx
2
v x dx 1 v x 3 3
susituyendo en la formula 1
1
3
3
x 3 ln x x 2 dx
integrando 1 3
x 3 ln x
x 3 C 9
10. arctan 3 x dx u arctan 3 x dv dx du
v dx
3dx 1 9 x
2
v x
sustituyendo en la formula x arctan 3 x 3
x 1 9 x 2
dx
u 1 9 x 2 u ( x ) 1 9 x 2 du ( x ) 18 x 2 dx
integrando 1
x arctan 3 x L 1 9 x 2 C 6
11. e x cos x dx dv cos xdx
u e x du e dx x
v cos xdx v senx
sustituyendo en la formula senx dx e x senx e x senx realizamos una segunda integración por partes 121
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL dv senx dx
ue
x
v senx dx
du e x dx
v cos x
sustituyendo en la formula tenemos x cos x dx e x senx e x cos cos x e x cos cos x dx e cos sumamos e x cos x dx en ambos miembros de la ecuación
2 e cos cos xdx xdx e senx senx cos cos x e senx cos x e cos xdx C 2 2 e x cos xdx e x senx e x cos x x
x
x
x
12. 7 x 3e x dx 2
como x 3 x 2 x 7 x 3 e x dx 7 x 2 e x x dx 2
2
2
dv e x x dx
u x
2
v e x x dx
2
1 x 2 v e 2 x dx du 2 x dx 2 1 2 v e x 2
sustituyendo en la formula 7
1
x 2 e x 7 2 x e x dx 2 7
2
2
2
2
7
2
x 2 e x e x dx 2
2
senx dx senxe x dx x e dv e x dx u senx v 1 e x dx du cos xdx v e x
13.
sustituyendo en la formula e x senx e x cos xdx xdx realizamos una segunda integración por partes
122
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL dv e x dx
u cos x
v 1 e x dx
du sen x dx
v e x
x x x e cos co s x dx e e sen xdx sustituyendo n la formula e x senx senx e x cos cos x sen x e x dx
sen x e x dx e x senx senx e x cos cos x sen x e x dx
sumamos sen x e dx en ambos miembros de la ecuación x
2 sen x e x dx e x senx senx e x cos cos x
sen x e
x
sen x e
x
cos x e x sen x cos x
dx
2 sen x cos x
dx
2e x
14. x 2e axdx u x
dv e ax dx
2
du 2 x dx
v e dx v
ax
e ax a
sustituyendo en la formula e ax e ax 2 x dx x a a ax 2 2 e x xe ax dx a a
2
la integral del segundo miembro puede hallarse integrando nuevamente por partes
x 2 e ax a
2e ax 1 x C a 2 a
15. sec3 z dz dv sec z dz 2
u sec z du sec z tan z dz
v sec z dz 2
v tan z
sustituyendo en la formula sec z tan z sec z tan2 z dz en la nueva integral tenemos tan2 z sec2 z 1 sustituyendo y afectando los productos obtenemos 123
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL sec z tan z sec z sec 2 z 1 dz
sec z dz sec z tan z sec z dz sec z dz transponemos al primer miembro la integral sec z dz y efectuamos la integración faltante 3
3
3
y despejamos 1
1
2
2
sec z tan z lnsec z tan z C
124
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL SABERES A REFORZAR: Integración por partes ESTRATEGIAS METODOLOGICAS: Resolución de ejercicios EJERCICIOS DE AUTOAPRENDIZAJE No 11
Calcular las integrales siguientes: 1.
x x cos dx 2
2.
x xsen dx 2
3.
cos nx dx x cos
4.
u sec
2
u du
125
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 5.
y sen ny dy
6.
u sec
7.
x
8.
xa dx
2
n
ln xdx
2
3u du
x
126
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 9.
arc
tan x dx
cos 2 x dx 11. arc cos
10. arc sen x dx
12. arc sec y dy
127
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 13. arc tan x dx
14. arc csc
15. x arc tan x dx
16. x 2 e x dx
t 2
dt
128
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 17. x 2 arc sen x dx
19. ln x 1dx x 1
cos d 18. e cos
20.
xe x
1 x
2
dx
129
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL Título: INTEGRAL POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA Objetivo: Resolver integrales usando los métodos de integración. Lecturas:
Si un integrando contiene expresiones del tipo
a 2 x 2 , a 2 x 2 , x 2 a 2 donde a > 0 y
otras como x 2 a 2 , x 2 a 2 semejante a las citadas, inicialmente deben tratarse de resolver por sustitución algebraica, si este procedimiento no es posible aplicarlo, se puede realizar la integración transformando la integral en una integral trigonometrica, aplicando las sustituciones siguientes: a 2 x 2 a cos cos x a sen n
n
a 2 x 2 a sec x a tan
sec x 2 a 2 a tan x a sec cos 8.1 Desarrollo de la expresión a x a cos se sustituye x con a sen θ para obtener al expresión trigonométrica a cos θ de la expresión 2
2
algebraica a 2 x 2 Por el teorema Pitágoras:
x a
θ
x a θ
b a 2 x 2
a 2 x 2 b 2 b 2 a 2 x 2 b
a 2 x 2
función trigonométrica que relaciona x y a 130
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL sen
x a
x a sen
se elevan al cuadrado ambos terminos x 2 a 2 sen sen 2 sustituyendo en el valor de x2 b a 2 a 2 sen 2 factorizando a2 b a 2 1 sen 2 b a 1 sen 2
cos 2 1 sen sen 2 como cos 2 b a cos cos b a cos cos por lo tanto a 2 x 2 a cos cos 8.2 Desarrollo de la expresión a x a sec Se sustituye x con a tan θ para obtener al expresión trigonométrica a sec θ de la expresión 2
2
algebraica a 2 x 2 Por el teorema Pitágoras:
x b θ
a x θ
a b 2 a 2 x 2 b a 2 x 2
función trigonométrica que relaciona x y a 131
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL tan
x a
x a tan
se elevan al cuadrado ambos terminos 2 2 2 x a tan sustituyendo en el valor de x2 b a 2 a 2 tan 2 factorizando a2 b a 2 1 tan 2 b a 1 tan 2
sec 2 1 tan2 como sec 2 b a sec b a sec por lo tanto a 2 x 2 a sec 8.3 Desarrollo de la expresión x a a tan Se sustituye x con a sec θ para obtener al expresión trigonométrica a tan θ de la expresión 2
2
algebraica x 2 a 2 Por el teorema Pitágoras:
b x θ
a x θ
a x 2 a 2 b 2 b x 2 a 2
función trigonométrica que relaciona x y a 132
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL sec
x a
x a sec
se elevan al cuadrado ambos terminos 2 2 2 x a sec sec sustituyendo en el valor de x2 b a 2 sec 2 a factorizando a2 b a 2 sec 2 1 b a 1 tan 2
sec 1 como tan sec b a tan 2 b a tan por lo tanto x 2 a 2 a tan 2
2
8.4 Procedimiento para resolver una integral por sustitución trigonométrica.
Se deben calcular los valores de a, x, x2, dx. Y realizar las sustituciones correspondientes. En el desarrollo de las operaciones se pueden aplicar, según proceda, alguna de las identidades trigonométricas.
8.5 En el integrando incluye una expresión de la forma Ejemplo:
1.
dx
3
9 x
2 2
a 2 x 2
dx
9 x
2 3
a2 = 9 a = 3 x2 = a2 sen2θ x = a senθ dx = a cos θ dθ
sustituyendo en
dx
9 x
2 3
2
como cos
a cos d
a
2
a 2 sen 2
3
a cos d
a 1 sen 2
2
3
1 sen sen 2
133
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL a cos d
a
2
cos 2
3
a cos d a 6 cos 6
a cos d a 3 cos 3
simplificando la ultima expresión
a
d 2
cos 2
como sec
1 cos
elevando al cuadrado sec2
1 cos 2
sustituyendo 1 a
2
sec d 2
integrando 1 a2
tan C
Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de original. Como x = a sen θ entonces sen
x a
1 a2
tan en función de la variable x
co h
x a θ
b a 2 x 2
si la tan
co
podemos sustituir
ca 1 1 x tan 2 2 a a a 2 x 2
colocando los valores correspondientes 1
x C 9 9 x 2
2.
du
a
3
2
u 2 2
du
a
2
u2
3
a2 = a2 a = a u2 = a2 sen2θ u = a senθ du = a cos θ dθ
134
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL sustituyendo en du
a
2
u2
3
a cos d
a
2
a 2 sen 2
3
a cos d
a 1 sen 2
3
2
2 sen como cos2 1 sen
a cos d
a
2
cos 2
3
a cos d a 6 cos 6
a cos d a 3 cos 3
simplificando la ultima expresión
a
d 2
cos 2
como sec
1 cos
elevando al cuadrado sec2
1 cos 2
sustituyendo 1 a
2
sec d 2
integrando 1 a2
tan C
Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de original. Como u = a sen θ entonces sen
x a
1 a2
tan en función de la variable u
co h
u a θ
b a u 2
2
si la tan
co
podemos sustituir
ca 1 1 u tan 2 2 a a a2 u2
8.6 En el integrando incluye una expresión de la forma Ejemplo:
a 2 x 2
135
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
1. x
x
2
4dx
a2 = 4 a = 2 x2 = a2tan2θ x = a tan θ dx = a sec2θdθ sustituyendo en x 2 4 dx a tan a 2 tan 2 a 2 a sec 2 d a tan a 2 tan 2 1a sec 2 d
x
sec como sec
a tan
2
tan 1 2
a 2 sec 2 a sec 2 d a tan a sec a sec 2 d
simplificando la ultima expresión
a
3
tan sec sec2 d
u sec u sec du sec tan d
entonces
a 3 u 2 du
integrando a 3
u3 sec 3 a3 C 3 3
3 sec en la función de la variable x original. ahora calcularemos el valor algebraico de a3 sec
Como x = a tan θ entonces tan
x a
co ca
x θ
a b
si la sec podemos sustituir a
136
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL 3
3
a a x 2 4 a 3 x 2 42 3 sec a 3 3 3 a 3 3
3
colocando los valores correspondientes y simplificando 1
x
3
2.
2
4 C 3
dx x 4 x 2 9
haciendo u = 2x y a = 3, resulta 4 x 2 9 u 2 a 2 . Por tanto si hacemos 2x = u, entonces x = ½ u, dx = ½ du. Sustituyendo
x
dx 4 x 2 9
1 du du 2 1 u u2 a2 u u2 a2 2
a2 =4 a = 2 u2 = a2tan2θ u = a tan θ du = a sec2 θ dθ a sec2 d
a tan
2
a tan
2
a
2
a sec2 d a tan a tan 2
2
1
a sec2 d 2
a tan a sec
2
a sec2 d a tan a sec
simplificando la ultima expresión 1 sec d 1 d 1 csc d a tan a sen a
1
ctg C integrando lncsc ctg a
ahora calcularemos el valor algebraico de
1 a
lncsc ctg ctg C en la función de la variable
x original. Como x = a tan θ entonces tan
u a
co ca
u θ
a 137
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
si la csc
b u
a
ctg podemos sustituir y ctg u
a 2 u 2 a c ln a u u colocando los valores correspondientes y simplificando 1
1 9 4 x 2 3 1 9 4 x 2 3 ln ln 2 x 3 2 x 3 2 x
8.7 En el integrando incluye una expresión de la forma x a Ejemplo: 2
x 2
1.
x 2 9
2
dx
a2 = 9 a = 3 x2 = a2sec2θ x = a secθ dx = a tan θsecθdθ sustituyendo en x 2
x 2 9
dx
a 2 sec2 d
a 2 sec2 a 2
a 2 sec 2 d a sec 2
2
1
a tan sec d
a tan sec d
como tan2 sec 2 1
a 2 sec2 d 2
a tan
2
a tan sec d
a 2 sec2 d a tan
a tan sec d
simplificando la ultima expresión
a
2
sec3 d
sec tan 1 lnsec tan C integrando a 2 2 2
138
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL sec tan 1 lnsec tan C en la ahora calcularemos el valor algebraico de a 2 2 2
función de la variable x original. Como x = a sec θ entonces sec
x a
hp ca
x θ
a
si la sec
b tan podemos sustituir a a
x
x x 2 a 2 2 2 1 x x a 2 a a C ln a 2 2 a a
colocando los valores correspondientes y simplificando x x 2 a 2 x x 2 a 2 9 x x 2 9 C ln ln 2 a 2 2 3
x x 2 a 2
a2
2
2.
x 2 x 6 2
dx
a2 = 6 a = 3 x2 = a2sec2θ x = a secθ dx = a tan θsecθdθ sustituyendo en
x 2 x a 2
2
dx
a 2 sec2 d 2
a sec
2
a
2
a tan sec d
139
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
a 2 sec 2 d a sec 2
2
1
a tan sec d
como tan2 sec 2 1
a 2 sec2 d 2
a tan
2
a tan sec d
a 2 sec2 d a tan
a tan sec d
simplificando la ultima expresión
a
2
sec3 d
sec tan 1 lnsec tan C integrando a 2 2 2 sec tan 1 lnsec tan C en la ahora calcularemos el valor algebraico de a 2 2 2
función de la variable x original. Como x = a sec θ entonces sec
x a
hp ca
x θ
a
si la sec
b tan podemos sustituir a a
x
x x 2 a 2 2 2 1 x x a 2 a a C a ln 2 2 a a
colocando los valores correspondientes y simplificando x x 2 a 2 2
x x 2 a 2 x x 2 6 x x 2 6 C ln 3 ln 2 a 2 3 a2
140
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL Saberes a reforzar: Integración por sustitución trigonométrica Estrategias metodológicas: Resolución de ejercicios Ejercicios de Autoaprendizaje: No 12
Calcular las integrales siguientes: 1.
∫ ()⁄
2. ∫ √
( )⁄
4. ∫ √
3. ∫
141
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
5. ∫ ⁄ ( )
7. ∫ √
6. ∫ ( )⁄
8. ∫ √
142
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
9. ∫
11. ∫ √
10. ∫ √
12. ∫
√
143
EVALUACION FORMATIVA APLICACIÓN DE DIFERENCIALES E INTEGRALES Nombre: _________________________________ __________________________ _______ Fecha: _________________________ _____________________ ____ 1.- Resuelve la siguiente integral 1
2 y 1 dy 2
0
2.- Resuelve usando el método de fracciones parciales
x
dx 3
x 2 9
3.- Resuelve usando el método de sustitución trigonométrica
x
dx 3
x 2 9
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
GUIA DE OBSERVACION DIFERENICALES E INTEGRAL INDEFINIDA Nombre: ___________________________ __________________________ _ Fecha: ________________________ Entrega a tu profesor la evaluación formativa junto la presente guía de observación. Indicador El procedimiento seguido es el de la integración por partes. La integral obtenida es correcta. El procedimiento seguido es el de las fracciones parciales. La integral obtenida es la correcta. El procedimiento seguido es el de la sustitución trigonométrica. La integral obtenida es la correcta. Calificación final
Ejecución Ponderación Total 1.5 1 1.5
Observaciones
1 1.5 1 1.5 1
Escala Cumplió 1 No cumplió 0 Recomendaciones generales: __________________________________________________________ _____________________________ ____________________________________________ _______________ __________________________________________________________ _____________________________ ____________________________________________ _______________ __________________________________________________________ _____________________________ ____________________________________________ _______________ _________________________________________________________ _____________________________ ____________________________________________ ________________
145
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
GUIA DE OBSERVACION DIFERENCIALES Nombre: ___________________________ __________________________ _ Fecha: ________________________ Entrega a tu profesor la evaluación formativa junto la presente guía de observación. Indicador
Escala Ponderación
Observaciones
R1 El procedimiento seguido es correspondiente a la integral definida. R1 Sustituye de forma correcta a y b R1 El valor de la integral definida es correcto. R2 Realizo correctamente la elección de u y du R2 Realiza correctamente el proceso de sustitución en la fórmula de integral por partes. R2 Obtiene el resultado correcto de la integral R3 Realizo correctamente la elección del radical al cambio de variable de la función. R3 Encuentra correctamente la función trigonométrica que se debe usar mediante la ayuda del triángulo rectángulo. R3 Regresa correctamente la integral a su variable original Calificación final Escala Cumplió 1 No cumplió 0 Recomendaciones generales: __________________________________________________________ _____________________________ ____________________________________________ _______________ __________________________________________________________ _____________________________ ____________________________________________ _______________ __________________________________________________________ _____________________________ ____________________________________________ _______________ _________________________________________________________ _____________________________ ____________________________________________ ________________
146
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
AUTOEVALUACION
En los siguientes ejercicios, determina la diferencial de la función que se indica: 2. ∫
1. ∫
a) b) c) d)
( ) ) ( ) ( ) ( ) )
3.
4.
x
a) b) c) d)
x 2 cos cos x 2 xsenx xsenx 2 cos cos x C 2 x cos cos x 2 xsenx xsenx 2 cos cos x C 2 x cos cos x 2 xsenx xsenx 2 cos cos x C 2 x cos cos x 2 xsenx xsenx 2 cos cos x C
a) b) c) d)
x 2 senxdx
a) b) c) d)
5.
a) ln b) ln
9 x 2 x
dx
6.
3 9 x 2
9 x 2 c
x
a)
3 9 x
c) 3 ln d) 3 ln
2
2
x 3 3 x 3 9 x 3 3 x 3 3
ln 3 xdx xdx
ln 3 x ln 3 x ln 3 x ln x
y 1 2
3 9 x
x 3 9 x x
7. 2
9 x 2 c 1
ln 2
2
9 9
c c c
c
2
4 y 2 2
ln
y 4 y 2 2 y
9 x 2 c 1
3 x 3
x 3
4 y
b) 2 ln 2
9 x 3
dy
3 9 x 2 c
x
x 3
4 y 2 2
ln
2
4 y 2 2 y
c c
c
c
147
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
ESCALA DE MEDICION DEL APRENDIZAJE
Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. Si tienes de 6 a 8 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas. Si contestaste correctamente 5 ó menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.
RETROALIMENTACION
Como complemento a la autoevaluación realizada te encuentras en punto donde es importante analizar cuáles son tus dudas. Llena el siguiente cuadro que te servirá como guía al momento de exponer tus ideas al profesor. Tema
¿Qué aprendí?
¿Qué me falta?
148
