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Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ingeniería Aeronáutica
Dinámica Estructural
Ejemplo de Cálculo Numérico de la integral de Duhamel con MATLAB
José Iván Carrillo Lima
Objetivo
Visualizar los valores de la respuesta dinámica para diferentes valores de tiempo de una excitación aplicada a una torre, haciendo uso de MATLAB. Marco teórico
La vibración armónica es un caso muy especial de vibraciones forzadas, pero no es ni muy cerca el tipo de vibración que encontramos con frecuencia en la realidad de los sistemas estructurales. En los sistemas reales la fuente de excitación por lo general presenta un comportamiento caótico (caso sísmico) u otra forma que no es sinusoidal. Por ello es necesario un método de carácter general para encontrar la respuesta de un sistema dinámico ante una excitación cualquiera. Para el desarrollo de este método recordemos el concepto de impulso, que se relaciona con cargas aplicadas en períodos de tiempo muy cortos y que modifican la cantidad de movimiento del sistema.
Fig.1 Variación de una fuerza en el tiempo
Si consideramos un impulso aplicado al sistema en el tiempo en un intervalo corto de tiempo del sistema altera su cantidad de movimiento cambiando su velocidad. La cantidad de movimiento µ se relaciona con la fuerza por medio de la siguiente ecuación:
Nótese que en esta ecuación de movimiento no aparece el término ku , debido a que, como el impulso se aplica en un infinitesimal de tiempo la estructura no alcanza a reaccionar. El incremento de velocidad es entonces:
El impulso aplicado genera una pequeña vibración libre considerada solo para esta excitación.
En vista de que la carga desaparece en un instante infinitesimal podemos considerar que se producen vibraciones libres por la aplicación de cada uno de los impulsos. Donde las condiciones iniciales pueden obtenerse a partir del cambio de velocidad y posición del sistema.
Tomando condiciones iniciales:
Tenemos la siguiente ecuación:
En un sistema lineal podemos aplicar el concepto de superposición y obtener la respuesta completa sumando todos los impulsos:
Esta solución se conoce con el nombre de Integral de Duhamel. Solución numérica de la Integral de Duhamel En la práctica pocas situaciones presentan un comportamiento que pueda permitir una representación por medio de una expresión analítica explícita que facilite el cálculo de la integral de Duhamel. Por esto es necesario recurrir a métodos numéricos para el cálculo indirecto de la integral que representan el impulso de las fuerzas. Los métodos de cálculos aproximados de integrales más usados son el método de los trapecios y el método de Simpson. Un método alternativo para el cálculo de la integral de Duhamel se basa en obtener la solución analítica exacta de esta integral para la función de la excitación suponiendo que está representada por segmentos lineales sucesivos. Este método no introduce aproximaciones numéricas en la integración, aparte de las inherentes al error de redondeo, siendo, en este sentido, un método exacto.
Para aplicar este método, se supone que la función de la excitación puede ser representada aproximadamente por una función de segmentos lineales, como se muestra en la figura.
Fig 2 Función de excitación representada por segmentos lineales
Para determinar la historia completa de la respuesta es más conveniente expresar las siguientes integrales
Donde y representan valores de las integrales en la ecuaciones anteriores en el instante . Suponiendo que la función de la fuerza , pueda aproximarse mediante una función de segmentos lineales, podemos escribir:
La aplicación de la ecuación anterior y la integración previa dan:
Ejemplo ilustrativo
Una vez determinadas las ecuaciones pasaremos a usarla en un ejemplo Determine la respuesta dinámica de una torre sometida a la fuerza producida por una explosión en su vecindad. La idealización de la estructura y de la carga debida a la explosión se muestra en la figura siguiente. Ignore la amortiguación en el sistema
00000 31.62 / √ √ 11000 Ahora utilizaremos el programa de MATLAB para ingresar los datos y que nos de la solución de los coeficientes A Y B y a partir de estos sustituirlos en la ecuación
{ }/
Y el programa queda de la siguiente forma: clc clear all k=100000; m=100; w=sqrt(k/m); t=[0,0.02,0.04,0.06]; c=[0,0.6324,1.2649,1.8974]
Y los valores de la respuesta para cada tiempo son las siguientes: Para el t= 0 Y= 0 Para t= 0.020 es y= 0.078 Para t=0.040 es y=0.512 Para t=0.060 es y= 1.134 Conclusión
Se determinó la respuesta dinámica por medio del cálculo numérico de la integral de Duhamel con ayuda de matlab. Es necesaria la implementación de un ciclo for para que las operaciones sean iterativas y el programa las realice por sí mismo, para ello se tendrá que agre gar dicho bucle en el código anterior para llegar a una mejo ra del mismo. Pero se comprobó que co n este método no es necesario realizar los métodos de integración de tr apecios ni de Simpson 3/4. Bibliografía
Paz Mario.Dinámica Estructural Teoría y Cálculo. Editorial Reverté S.A .España. 2009
