EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar Hallar El espacio espacio muestra muestrall en los siguientes siguientes experim experimento entos. s. a) Resultad Resultado o del lanzam lanzamiento iento de un dado. dado. b) Resultad Resultado o de la Biopsia Biopsia (tipo (tipo de tumor) tumor) en un paciente paciente.. c) Resu Result ltad ado o de la eval evalua uaci ción ón del del tipo tipo de obes obesid idad ad,, en una una pers person ona a obesa. d) Sector productivo donde participa participa una empresa cualquiera. Solución: a) Ω 1= {1,2,3,4,5,6} b) Ω 2 = {maligno, benigno} c) Ω 3 = {leve, intermedio, avanzado} d) Ω 4 = {agricultura, pesquería, minería, manufactura…}
2. Sea el exper experime imento nto:: “Res “Result ultado ado del lanzamie lanzamiento nto de un dado”. dado”. Hallar Hallar la probabilidad de: a) Obtene Obtenerr el el numer numero o 5. 5. b) Obtene Obtenerr un númer número o impar impar.. c) Obtene Obtenerr un un númer número o par par.. Solución: Utilizaremos para el cálculo de cada uno de ellos, la probabilidad clásica cuya formula es:
a) b) = c) = 3. Sea el exper experime imento nto:: “Evalu “Evaluac ación ión del tipo de obesi obesidad dad en una perso persona na obesa? a) Son los evento eventos s mutuamente mutuamente excluye excluyentes ntes ¿Por ¿Por qué? b) Hallar la probabilidad de que la persona persona tenga sobrepeso. sobrepeso. c) Hallar Hallar la probabilidad probabilidad de que la persona persona tenga tenga sobrepe sobrepeso so u obesidad obesidad leve.
Solución: a) Si, porque porque una persona persona de obesi obesidad dad leve no puede puede tener tener obesidad obesidad avanzada. b) 1
c) Sea
Ω
= {leve, intermedio, avanzada} P(leve) =
4. Un experime experimento nto consist consiste e en elegir tres tres recién recién nacidos nacidos en un hospital hospital de maternidad, en un día determinado, determinado, y observar si son de sexo masculino (M)o femenino (F) a) Enuméres Enumérese e todos los elemento elementos s del espacio muestra muestral. l. b) Enuméres Enumérese e los elementos elementos contenido contenidos s en el suceso que el numero de varoncitos nacidos, sea cero. c) ¿Cómo ¿Cómo puede definirse definirse el suceso suceso A = {M, MF, MFM, F,M,M F,M,M}?
Solución
a)
Ω ={(M,M,M),
(M,M,F), (M,F,M), (M,F,F) (F,M,M), (F,M,F), (F,F,M),
(F,F,F)} b) S1={(F,F,F)} 5. Con respecto al problema anterior, calcular la probabilidad de encontrar: a) Dos recién nacidos del sexo masculino. b) Por lo menos 1 recién nacido del sexo femenino. c) A lo más 1 nacimiento varón. d) Ningún recién nacido del sexo femenino. Solución:
a) P (dos recién nacidos son de sexo masculino) = b) P (por lo menos un recién nacido sea de sexo femenino) = c) P (a lo más 1 nacimiento varón) = d) P (ningún recién nacido sea de sexo femenino 6. En la UNIFE el 5% de las estudiantes de Nutrición son casadas; el 10% de la clase son mayores de 21 años de edad, y el 15% de estas son casadas. Si se selecciona al azar una estudiante de Nutrición. ¿Cuál es la probabilidad que sea mayor de 21 años de edad o sea casada? Solución:
Casada No casada
No mayor que 21 3,5 86,5
Mayor es que 21 años 1,5 8,5
90
10
5 9,5 100
P (mayor que 21 o casada) = P (mayor que 21) + P(casada) – P(mayor que 21 casada) 10 + 5 - 1,5 = 0,135 100 100 100 7. Se convocó a un concurso para ocupar la plaza de especialista en planificación. A dicho concurso se presentaron 25 especialistas, de las cuales 12 son profesionales en economía, 8 sociólogos y 5 ingenieros. Si se selecciona un profesional al azar para la entrevista. ¿Cuál es la probabilidad que se elija? a) Un Sociólogo b) Un Economista o Ingeniero c) Un Sociólogo o Ingeniero a)
b) b) P(EUI) = P(E) + P(I) = c) P(SUI) = P(S) + P(I) =
+ +
= =
8. Los resultados de una encuesta efectuada entre 100 personas, dio como resultado respecto a la opinión que les merece el servicio de trasporte urbano en provincias. Los datos se consignan en el siguiente cuadro (las personas se clasifican previamente en Peruanos y Extranjeros). Nacionalidad / Opinión
Buen o
Regul ar
Mal o
No Opin a
8 4
38 5
30 10
4 1
Peruanos Extranjeros
Se elije una persona al azar. Hallar la probabilidad de que: a) Sea peruano. b) Sea extranjero. c) Opine que el servicio de transporte es malo. d) Sea peruano o extranjero. e) Que sea peruano o que opine que el servicio de transporte es bueno. f) Que sea peruano y opine que el servicio de transporte es malo. g) Que sea extranjero y opine que el servicio de transporte es malo. h) Que sea peruano, dado que opina que el servicio de transporte es regular i) Que sea peruano, dado que opina que el servicio de transporte es malo. j) Que sea extranjero, dado que opina que el servicio de transporte es bueno. k) ¿Son las variables en estudio, estadísticamente independiente? ¿Por qué? Solución:
30
No opin a 4
80
5
10
1
20
12
43
40
5
10 0
a)
=
= 0.80
b)
= 0,20
c)
= 0,40
Peruano s Extranjer os
Buen o
Regul ar
Mal o
8
38
4
d) 1 e) P(Peruano U Bueno) = P(Peruano) + P(Bueno) – P(Peruano ∩ Bueno)
f)
= 0,30
g)
= 0,10
h) P
+
-
=
=
= 0,84
=
= i) j)
=
k) Si Bueno y Peruano son independientes deber cumplir que P(B∩P) = P(B).P (peruano) lo cual no cumple entonces las variables en estudio no son independientes. 9. A continuación se presenta el consumo de algún tipo de carne en una muestra de 188familias en tres zonas geográficas de la capital. Tipo de carne Vacun o Pollo Corde ro
Zona geográfica Norte Centro Sur 50
14
2
40 45
18 12
4 3
Si se elige una familia al azar ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Resida en la zona norte. b) Resida en la zona centro. c) Resida en la zona sur. d) Consume carne de vacuno. e) Consume carne de pollo. f) Consume carne de cordero. g) Consume carne de vacuno o resida en la zona norte. h) Consume carne de pollo o reside en la zona centro. i) Consume carne de cordero o resida en la zona sur. j) Consume carne de vacuno y resida en la zona sur.
k) Consume carne de pollo y resida en la zona norte. l) Resida en la zona norte, dado que consuma carne vacuno. m) Resida en la zona centro, dado que consuma carne cordero. n) Consuma carne de pollo, dado que reside en la zona centro. o) Consuma carne vacuno, pollo y cordero. p) ¿Son las variables en estudio, estadísticamente independiente? ¿Por qué? Solución:
Vacun o Pollo Corde ro
Nort e 50
Centr o 14
Sur 2
66
40 45
18 12
4 3
62 60
135
44
9
188
a)
b)
c)
d)
e)
f) g) P(V∪ N) = P(V) + P(N) – P(V ∩N) =
+
-
=
h) P(pollo ∪ centro) = P(pollo) + P(centro) – P(pollo∩centro) =
+
-
=
i) P(C∪ S) = P(C) + P(S) – P(C ∩S) =
+
-
=
j) P(V∩S) = l) P(pollo
∩
norte) =
m) P(norte / vacuno) = n) P(centro / cordero) = o) P(pollo / centro) =
=
p) P(vacuno ∩ pollo ∩ cordero) = 0 q) No son estadísticamente independientes por que no cumple ∀A, B eventos, P(A∩ B) = P(A).P(B) 10.Si: p(A) = 1/3 y p(B) = 1/8; hallar: a) p(A∩B), sabiendo que A y B son eventos independientes. b) p(A∩B), sabiendo que A y B son eventos mutuamente excluyentes. Solución:
P(A) =
y P(B) =
a) P(A∩ B) = P(A) x P(B) = . = b) P(A∩ B) = ∅, porque A y B son eventos mutuamente excluyentes. 11.Sea p(A) = 0,6; p (A ∩B) = 0.25; p( ) = 0.7 a) Hallar p (B / A) b) ¿Son A y B eventos independientes? ¿Por qué? c) Hallar P( ) Solución:
A 0,35
B 0,35 0,05
0,25
a) P(B/A) = = = 0,4166… b) No, si lo fueron P(A∩ B) = P(A). P(B) c) P( ) = 1 - P(A) = 1 -0,6 = 0,4 12.A y B son sucesos independientes, donde p(A / B) = 0,35, p(B) = 0,6, hallar a) P(A ∪ b) P( Solución: P(A) = 0,35
P(B) = 0,6
A 0,14
B 0,21
0,26 0,39
a) P(A b) P(
= 0,61 = 0,39
∪
13.Sean los eventos A y B representados en el siguiente diagrama de Venn: Hallar. a) p(A∪B) b) p(A∩B) c) p(A) d) p(B) e) P(A / A) f) ¿Son los eventos A y B independientes? ¿Por qué? g) ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? ¿Por qué? Solución: a) p(A∪B)=p(A)+p(B) = p(A∩ B) =
+ –0= b) p(A∩B) = 0 c) p(A) =
=
d) p(B) =
=
e) f) g) h)
P(B / A) = = =0 No, si lo fueran p(A∩B) = p(A) ∩ p(B) ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? ¿Por qué? Si porque p(A∩B) = 0
14.Sean los eventos B y C, representados en el siguiente diagrama de Venn. Hallar. a) p( b) p(C) c) P(C∩ d) P( / C) e) P( / B) f) p( ∪ C) g) ¿Son los eventos B y C independientes? ¿Por qué? Solución:
a) p(
=
b) p(C) = c) P(C∩
=
d) P(
/ C) =
=
=
e) P(
/ B) =
=
=
f) p(
∪
C) =
=
g) p(B) = , p(C) = , p(B∩ C) = h) No, si lo fueran p(B∩ C) = p(B) p(C) 15.La probabilidad de que un paciente se recupere ingiriendo vitamina “X” es de 0.70, y sólo “Y” es de 0.69; y si ingiere ambas, es de 0.58. ¿Cuál es la posibilidad de que se recupere cuando: a) Ingiere la vitamina “X” ó “Y” b) Ingiere la vitamina “X” dado que ya ingirió “X” c) Ingiere la vitamina “Y” dado que ya ingirió “X” Solución:
a) P(R) =
x 0,70 +
x 0,58 P(R) = 0,656 b) 0,58 c) 0,58
= 0,69 +
