INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
JUAN DAVID SERNA VALDERRAMA LAURA FRANCO RINCON ANGELA MARIA CASTA C ASTAÑO ÑO JORGE LUIS OSORIO
UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL INGENIERÍA INDUSTRIAL
GUADALAJARA DE BUGA 2016
2.1 Liste los elementos de cada uno de los siguientes espacios muéstrales: a) el conjunto de números enteros entre 1 y 50 que son divisibles entre 8; b) el conjunto ! "# $ #% & '# ( 5 ! 0; c) el conjunto de resultados cuando se lan*a una moneda al aire +asta que aparecen una cru* o tres caras; d ) el conjunto ! ,# $ # es un continente); e) el conjunto ! "# $ %# ( ' - 0 y # . 1/
a) S=8,16,24,32,40 y 48 b) S=1, -5 c) S=Cruz, cruz, cruz Cruz, cruz, cara Cruz, cara Cara d) S= América, Asia, Euroa, !"rica, #c$a%&a, A%'(r'ida. $) S= Co%u%'o *ac&o.
2.5 n e#perimento consiste en lan*ar un dado y después lan*ar una moneda una ve* si el número en el dado es par/ i el número en el dado es impar la moneda se lan*a dos veces/ se la notaci2n '3 por ejemplo para denotar el resultado de que el dado muestre ' y después la moneda caiga en cara y 43 para denotar el resultado de que el dado muestre 4 seguido por una cara y después una cru* en la moneda; construya un diagrama de 6rbol para mostrar los 18 elementos del espacio muestral /
a) b) c) d) $) ")
+i'r$%o, oi$%o, o'asio, ura%io. Cobr$, %i'r$%o, o'asio, sodio, ci%c. Cobr$, ci%c. Cobr$, ura%io, zi%c. Co%u%'o *ac&o. #&$%o.
2.26 n estudio en 7aliornia concluy2 que siguiendo siete sencillas reglas para la salud un +ombre y una mujer pueden prolongar su vida 11 y 9 aos en promedio respectivamente/ stas 9 reglas son: no umar +acer ejercicio de manera +abitual moderar su consumo de alco+ol dormir siete u oc+o +oras mantener el peso adecuado desayunar y no ingerir alimentos entre comidas/
b) =i la persona nunca bebe y siempre desayuna>
?o umar ,n) +acer ejercicio de manera +abitual ,+e) moderar consumo de alco+ol ,ma) dormir 8 +oras ,d8) mantener peso adecuado ,mp) desayunar ,d) no ingerir alimentos entre comidas,na)/
a) /$su'a% 2 "ormas d$ ado'aro, $%'r$ $sas as siui$%'$s +", $, ma, d8, m. +", $, ma, d8, d +", $, ma, d8, %a +", ma, d8, m, d +", ma, d8, m, %a +", $, d8, m, d +", $, d8, m, d +", $, ma, m, d b) /$su'a% 10 "ormas.
E$rcicio 2.2 / S$ d$b$r&a% r$aizar 210. 2.48 =7u6ntas ormas +ay en que dos estudiantes no tengan la misma ec+a de cumpleaos en un grupo de @0> Aplicamos la 2rmula de permutaci2n: nPr =
n! ( n – r )!
60 P 2 =
60 !
(60− 2) !
=3540
2.4 ncuentre los errores en cada una de las siguientes aseveraciones: a) Las probabilidades de que un vendedor de autom2viles venda 0 1 % o 4 unidades en un dBa dado de ebrero son 0/1C 0/48 0/%C y 0/15 respectivamente/ b) La probabilidad de que llueva maana es 0/'0 y la probabilidad de que no llueva es 0/5%/ c) Las probabilidades de que una impresora cometa 0 1 % 4 o ' o m6s errores al imprimir un documento son 0/1C 0/4' D0/%5 0/'4 y 0/%C respectivamente/
Coroario Si A1, A2, A% $s u%a r$ar'ici% d$ u% $sacio mu$s'ra S $%'o%c$s
P ( A 1 U A 2 U … An )= P ( A 1 ) + P ( A 2 ) … + P ( An )=1
a) La suma de las probabilidades es mayor a 1: 0,19 + 0.38 + 0,29+ 0,15=1,01
b) La suma de la probabilidades es menor que 1: 0,40 + 0,52 =0,92
c) na de las probabilidades es menor a cero/ d) 7ero ya que no e#isten cartas de cora*ones negras/
2.63 A continuaci2n se listan los porcentajes proporcionados por 7onsumer b) =7u6l es la probabilidad de que no esté en un dormitorio> c) uponga que de entre las casas que tienen una F7 se selecciona una al a*ar =en qué +abitaci2n esperarBa encontrar una F7> a)
1.3 + 0.15 + 0,14 =0,32 b) 1 – 0,32=0,68
c) #7ci%a o $s'udio
2.0 7onsidere la situaci2n del ejercicio %/@C/ uponga que se producen 50000 cajas de detergente por semana y que los clientes IdevuelvenJ las cajas que no est6n suHcientemente llenas y solicitan que se les reembolse lo que pagaron por ellas/ uponga que se sabe que el IcostoJ de producci2n de cada caja es de K'/00 y que se venden a K'/50/
a) =7u6l es la utilidad semanal cuando no +ay devoluciones de cajas deectuosas> b) =7u6l es la pérdida en utilidades esperada debido a la devoluci2n de cajas insuHcientemente llenadas> a) b)
(4,50 −4,00 )∗50000=¿ 25000 ganancia 50000∗0,001 =50 cajas deectuosas 50∗4,50= 225 Ferdida
25000−225 =24775 anancia total
2.3 i M es el evento de que un convicto cometa un robo a mano armada y < es el evento de que el convicto venda drogas e#prese en palabras lo que en probabilidades se indica como a) F,M$<); b) F,
a) a robabiidad d$ 9u$ $ co%*ic'o com$'a u% robo a ma%o armada dado 9u$ $ co%*ic'o *$%d$ droas. b) a robabiidad d$ 9u$ $ co%*ic'o %o *$%da droas dado 9u$ com$'$ u% robo a ma%o armada c) a robabiidad d$ 9u$ $ co%*ic'o %o com$'a u% robo armado dado 9u$ %o *$%d$ droas.
2. n A +oy ,5 de septiembre de 1CC@) se listaron los siguientes resultados de una encuesta sobre el uso de ropa para dormir mientras se viaja:
a) =7u6l es la probabilidad de que un viajero sea una mujer que duerme desnuda> b) =7u6l es la probabilidad de que un viajero sea +ombre> c) i el viajero uera +ombre =cu6l serBa la probabilidad de que duerma con pijama>
d ) =7u6l es la probabilidad de que un viajero sea +ombre si duerme con pijama o con camiseta>
a) 0.018 b) 0.020+0.002+0.160+0.102+0.046+0.084= 0.414 0.102 c) 0.414 = 0.25 (aproximando)
d)
(0.102 + 0.046 ) (0.175 + 0.134 )
= 0.479 (aproximando)
2.0 La contaminaci2n de los rBos de stados nidos +a sido un problema por muc+os aos/ 7onsidere los siguientes eventos: A: el rBo est6 contaminado/ O: al probar una muestra de agua se detecta contaminaci2n/ 7: se permite pescar/ uponga que F,A) ! 0/4 F,O$A) ! 0/95 F,O$AN) ! 0/%0 F,7$A P O ) ! 0/%0 F,7$AN P O ) ! 0/15 F,7$A P ON) ! 0/80 F,7$AN P ON) ! 0/C0/ a) 7alcule F,A P O P 7)/ b) 7alcule F,ON P 7)/ c) 7alcule F,7)/ d ) 7alcule la probabilidad de que el rBo esté contaminado dado que est6 permitido pescar y que la muestra probada no detect2 contaminaci2n/
a) P(A:;:C) b)
= <C >A :;)<; >A)<A)= 0.20)0.5)0.3)= 0.045
P(B’:
C) = P(A:;?:C)+P(A’:;?:C) = P(C >A:;?)<;? >A)<A) @ >A?)<A?)
P(C >A?:;?)
= (0.80)(10.75)(0.!)+ (0.90)(10.20)(10.!) = 0.564
c) <C)= P(A:;:C)@ P(A:;?:C)@ P(A’:;:C)@ P(A’:;?:C)= [email protected]@[email protected]=0.630
<;?
d)
< A > ;? :C) = P(A:;?:C) P(;?:C)= 0.06)0.564)=0.1064
2.4 n la situaci2n del ejercicio %/C4 se sabe que el sistema no unciona/ =7u6l es la probabilidad de que el componente A tampoco uncione> "# $" c%ando $& "i"'$ma %nciona
P
( ) A ’ ’ S
=
(( 0.3 ) )( 1−( 0.8 )( 0.8 )( 0.8 )) = 0.588 (1−0.75112 )
2. uponga que los cuatro inspectores de una 6brica de pelBcula colocan la ec+a de caducidad en cada paquete de pelBcula al Hnal de la lBnea de montaje/ Qo+n quien coloca la ec+a de caducidad en %0R de los paquetes no logra ponerla en uno de cada %00 paquetes; om quien la coloca en @0R de los paquetes no logra ponerla en uno de cada 100 paquetes; QeS quien la coloca en 15R de los paquetes no lo +ace una ve* en cada C0 paquetes; y Fat que ec+a 5R de los paquetes alla en uno de cada %00 paquetes/ i un cliente se queja de que su paquete de pelBcula no muestra la ec+a de caducidad =cu6l es la probabilidad de que +aya sido inspeccionado por Qo+n> ME
EE+B#S A in ec+a de e#piraci2n/ ;1 Qo+n es un inspector/ <;1) = 0.20 y <A > ;1) = 0.005. ;2 om es el inspector/ <;2) = 0.60 y <A > ;2) = 0.010. ;4. QeS es el inspector/ <;3) = 0.15 y <A > ;3) = 0.011. ;4 Fat es el inspector/ <;4) = 0.05 y <A > ;4) = 0.005. P ( B 1 ∨ A )=
(0.005 )( 0.20 ) (0.005 )( 0.20 )+( 0.010)( 0.60)+(0.011)( 0.15 )+(0.005 )( 0.05 ) = 0.1124.
2.102
1) E r$mio $s'( $% a A, $io a A.
Si cambio d$ u$r'a, i$rdo 2) E r$mio $s'( $% a A, y $io a ;.
Si cambio d$ u$r'a, a%o, u$s $ r$s$%'ador m$ abri a u$r'a C *ac&a) or o 'a%'o m$ 9u$da a A ara $$ir 3) E r$mio $s'( $% a A, $io a C.
Si cambio d$ u$r'a, a%o, $s $ mismo caso 9u$ $ %Dm$ro 2.
: 7ulpable de un crimen/ T: Tnocente de un crimen/ i: Qu*gado inocente de un crimen/ g/ Qu*gado culpable de un crimen/ !
g| I ) P ' ( I )
¿
P ( g ∨G ) P (G )+ P ¿ P ( g∨ I ) P ( I ) P ( I ∨ g )=
¿
2.115 7ierto organismo ederal emplea a tres empresas consultoras ,A O y 7) con probabilidades de 0/'0 0/45 y 0/%5 respectivamente/ e sabe por e#periencia que las probabilidades de que las empresas rebasen los costos son 0/05 0/04 y 0/15 respectivamente/ uponga que el organismo e#perimenta un e#ceso en los costos/ a) =7u6l es la probabilidad de que la empresa consultora implicada sea la 7> b) =7u6l es la probabilidad de que sea la A>
# invadir A 7onsultorBa A ; 7onsultorBa O C 7onsultorBa 7 O |B ) P ( B )+ P ( O|C ) P ( C )
¿ P ( O ∨ A ) P ( A )+ P ¿ a) 0.5515. P ( O∨C ) P ( C ) P ( C ∨O)= ¿
b)
( ∨O)=
P A
( 0 . 05 )( 0 . 40 ) = 0.241. (0 . 0680 )
2.118 e sabe que e#iste una probabilidad de 0/09 de que las mujeres de m6s de @0 aos desarrollen cierta orma de c6ncer/ e dispone de una prueba de sangre que aunque no es inalible permite detectar la enermedad/
La probabilidad es de 09CR ya que la prueba que se est6 +aciendo es muy segura/
