Facultad de Ingeniería y Ciencia Básicas Estadística II Modalidad Virtual La siguiente serie de ejercicios se dividirán en dos partes, la primera tendrá una fecha de realización hasta el jueves de la semana 4, y se abrirá nuevamente el jueves de la semana 5, y debe ser complementada con la parte 2. Tenga presente que para cada uno de los ejercicios debe ser explícito con la solución que obtiene, son necesarios procedimientos. 1. CONTEXTO DEL TEMA Una tarea frecuente en el campo de las finanzas es la evaluación de proyectos de inversión. El inversionista evalúa las alternativas que se le presentan, contra una expectativa de rendimiento, que se denomina su tasa de interés de oportunidad. Un método para estimar la tasa de interés de oportunidad es analizar la relación entre la tasa de rendimiento de “una compañía de referencia” y “el mercado de valores”, en el cual esa compañía transa su acción. En el caso colombiano, el mercado de valores está compuesto por las acciones de las empresas que se negocian en la Bolsa de Valores de Colombia. Una medición global del comportamiento de este mercado es el índice COLCAP, el cual registra la variación del precio de las 20 acciones de mayor nivel de negociación. Si la relación funcional entre la tasa de variación diaria del precio de la acción de la compañía de referencia y la tasa de variación diaria del índice COLCAP es lineal, se puede entonces construir un modelo de regresión lineal simple entre la acción de interés y el mercado de valores. Tal relación tendría entonces la siguiente especificación: 𝑅𝐴 = 𝛼 + 𝛽𝑅𝑀 + 𝜖 En la ecuación anterior se definen los siguientes conceptos: 𝑅𝐴 : Tasa de variación diaria del precio de la acción de la compañía de referencia. Este valor resulta de la diferencia entre el precio de la acción en un día cualquiera y el precio de la acción del día anterior, dividida sobre el precio de la acción del día anterior, expresada como porcentaje. 𝑅𝑀 : Tasa de variación diaria del índice COLCAP. Este valor resulta de la diferencia entre el valor del índice en un día cualquiera y el valor del índice del día anterior, dividido sobre el valor del índice del día anterior, expresada como porcentaje. ε: El error aleatorio del modelo o perturbación aleatoria, que se supone que es una variable distribuida normal con media cero y varianza constante. β: El parámetro que indica el impacto porcentual en el precio de la acción cuando el índice COLCAP varía un punto porcentual. α: El parámetro que indica la variación diaria del precio de la acción cuando la variación del índice COLCAP es cero por ciento.
A efectos de poder estimar los parámetros α y β del modelo, se dispone en el archivo Excel anexo: “Precios y Variaciones” https://goo.gl/4xmJWx, del precio diario de un grupo de acciones y del índice accionario COLCAP en el periodo comprendido entre el 23 de junio de 2016 y el 23 de junio de 2017.
Para la acción: ECOPETROL, atienda las siguientes solicitudes hechas al grupo de evaluadores financieros, al que usted pertenece. Parte 1: a. Muestre y analice el gráfico de dispersión de la tasa de variación diaria del precio de la acción contra el índice COLCAP. ¿Hay evidencia de una relación entre el par de variables? Escriba sus análisis. R\
Tasa de variación diaria Ecopetrol & tasa de variación diaria COLCAP 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.00 -1.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
-2.00 -3.00 -4.00
Tasa de variación diaria COLCAP (%)
-5.00
Tasa de variación diaria Ecopetrol (%)
Tasa de variación diaria Ecopetrol & tasa de variación diaria COLCAP 6.00 5.00 4.00
3.00 2.00 1.00 0.00 -1.00
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
-2.00 -3.00 -4.00
Series4
Series1
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
Tasa de variación diaria Ecopetrol & tasa de variación diaria COLCAP 8.00
6.00
4.00
2.00
0.00 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143 145 147 149 -2.00
-4.00
Series4
Series1
Tasa de variación diaria Ecopetrol & tasa de variación diaria COLCAP 3.00 2.00 1.00
0.00 151 153 155 157 159 161 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183 185 187 189 191 193 195 197 199 -1.00 -2.00 -3.00
Series4
Series1
Tasa de variación diaria Ecopetrol & tasa de variación diaria COLCAP 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00
-1.00
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247
0.00
-2.00 -3.00 -4.00
Series4
Series1
El índice COLCAP se calcula basada en el índice de las acciones de 20 empresas con las acciones más líquidas, sin que una de estas empresas exceda el 20% de la participación en el índice, así como se puede observar en la gráfica de las acciones de Ecopetrol contra el índice COLCAP se puede ver esta interrelación. En los picos más fuerte de cambios de valor de las acciones de Ecopetrol se ve la repercusión que este cambio tiene en el índice COLCAP. Por otra parte, cabe aclarar que, siendo el índice COLCAP un indicador
de las 20 empresas con acciones más líquidas, muchas veces el cambio en este índice depende también de la liquidez que hayan presentado las otras 19 empresas contempladas en el indicador. b. Muestre y analice los histogramas individuales de la acción y del COLCAP. ¿Son simétricos o asimétricos los comportamientos? Escriba sus análisis. R\
Histograma Ecopetrol Frecuencia 60 50
Frecuencia
40 30 20 10 0
Clase
Histograma COLCAP Frecuencia 50 45 40
Frecuencia
35 30 25 20 15 10 5 0
Clase
El histograma del valor de las acciones de Ecopetrol en el periodo 23 de junio de 2016 a 23 de junio de 2017 muestra una distribución aproximadamente normal, asimétrica hacia la izquierda, con un valor aislado y con moda 1335.3. Esto indica que los valores de las acciones se mantuvieron sobre la media. El histograma del índice COLCAP en el mismo periodo muestra una distribución aproximadamente normal, asimétrica hacia la derecha, sin valores aislados y con moda 1374.39. Esto indica que los valores se mantuvieron por debajo de la media. c. Genere y analice las estadísticas descriptivas que la opción “Análisis de datos” del botón “Datos” de Excel produce tanto para las tasas de variación diaria del precio de la acción y el índice accionario COLCAP. Escriba como tres puntos relevantes. R\ Ecopetrol
COLCAP Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95,0%)
0,03295333 0,03931508 0,03649698 #N/A 0,61663294 0,38023618 1,76543201 -0,59204553 4,18032122 -2,59618508 1,58413615 8,10651973 246 0,07743867
Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95,0%)
-0,00881152 0,09871373 0 0 1,54826439 2,39712263 1,47744364 0,47327207 10,2977667 -3,84615385 6,4516129 -2,16763489 246 0,19443584
Para el COLCAP se puede observar que se tiene una media positiva cercana a 0, lo que indica que el promedio de los datos para el periodo analizado tendió a ser de un ligero aumento. La desviación estándar indica que la mayoría de datos están cercanos a la media, ya que es una variación pequeña. Por último, con el rango se puede confirmar que los datos permanecieron más agrupados que los de Ecopetrol, ya que el rango es de apenas 4.1. Para Ecopetrol se tiene una media negativa cercana a 0, lo que indica que se tuvo en promedio un ligero descenso en la variación diaria de las acciones de la empresa. La desviación estándar de Ecopetrol es alta, por ello se puede ver que la variación de la tasa diaria de cambio se presentó más dispersa que la de COLCAP. Con el rango se confirma que los datos estuvieron mucho más dispersos que COLCAP ya que el rango de 10.29 es bastante elevado para los valores que se están manejando. d. Calcule e interprete el quinto percentil de la tasa de variación diaria del precio de la acción. Escriba la interpretación. R\ Para calcular los percentiles de la variación diaria del precio de la acción se utiliza la siguiente fórmula: 1 𝑘𝑁 ( − 𝑓𝑎 ) 𝐶1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓𝑖 100 𝑘: 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙. 𝐿𝑖 : 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑦𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 𝑓𝑖 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑦𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 𝑃𝑘 = 𝐿𝑖 +
𝑁: 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑓𝑎 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 𝐶1 : 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 Se debe utilizar la siguiente tabla de datos agrupados tomada de la base de datos dada Clase -3,85 -3,16 -2,47 -1,79 -1,10 -0,41 0,27 0,96 1,65 2,33 3,02 3,71 4,39 5,08 5,77 y mayor...
Frecuencia
Fa
1 3 11 17 19 38 51 46 29 17 8 2 0 1 2 1
1 4 15 32 51 89 140 186 215 232 240 242 242 243 245 246
Así, el procedimiento sería el siguiente: Se calcula
𝑘𝑁 100
para saber en qué lugar de los datos acumulados está el percentil, es decir, después de
cuántos datos se acumula el percentil 𝑘. 𝑘𝑁 5 ∗ 147 = = 7.35 100 100 Este resultado indica que después de 7.35 datos está ubicado el percentil 5%. En amarillo se puede observar el conjunto donde está ubicado el percentil 5% y en verde el conjunto anterior, así se obtienen 𝑘=5 𝐿𝑖 − 3.16 𝑓𝑖 = 11 𝑁 = 247 𝑓𝑎 = 4 𝐶1 = 1 Así: 1 5 ∗ 247 ( − 4) ∗ 1 11 100 𝑷𝒌 = −𝟐. 𝟒𝟎
𝑃𝑘 = −3.16 +
Esto nos indica que debajo del valor −2.40 se encuentra el 5% de los datos totales tomados en el año de la variación diaria del precio de la acción de Ecopetrol.
e. Obtenga e interprete la variabilidad relativa de la acción y del índice accionario. Escriba la interpretación. R\ El coeficiente de variación indica qué tan homogéneo o heterogéneo es el comportamiento de una variable, y la variabilidad relativa se obtiene comparando el comportamiento de dos variables. 𝐶. 𝑉. =
𝜎 ∗ 100% 𝑥̅
Para el comportamiento de Ecopetrol se tiene una media de 𝑥̅ = 1339.25 y una desviación estándar de 𝜎 = 51.1, así, el coeficiente de variación de Ecopetrol sería: 51.1 ∗ 100% 1339.25 𝑪. 𝑽.𝑬 = 𝟑. 𝟖𝟐%
𝐶. 𝑉.𝐸 =
Ahora, el coeficiente de variación de COLCAP, que tiene una media de 𝑥̅ = 1358.14 y una desviación estándar de 𝜎 = 40.99 y utilizando la misma fórmula se obtiene: 40.99 ∗ 100% 1358.14 𝑪. 𝑽.𝑪 = 𝟑. 𝟎𝟐%
𝐶. 𝑉.𝐶 =
Esto nos indica que los datos de Ecopetrol están un poco más dispersos que los datos de COLCAP, es decir, el índice COLCAP ha sido más estable durante el periodo evaluado que el valor de la acción de Ecopetrol, aunque la diferencia es de apenas 0.8%. f. ●
Asumiendo que la tasa de variación del precio de la acción (𝑅𝐴 ) se distribuye normal, obtenga las siguientes probabilidades: 𝑃(𝑅𝐴 > 0%) R\ Para calcular la probabilidad se utiliza la tabla de distribución normal; para utilizarla se requiere normalizar la variable de 𝑅𝐴 a 𝑍 de la siguiente forma: Teniendo que la media de la variación del precio de la acción es 𝑥̅ = 1.17 y una desviación estándar de 𝜎 = 1.02 se debe normalizar la variable así 𝑅𝐴 (1.17,1.02) 𝑅𝐴 − 1.17 𝑍= 1.02 Se calculan las probabilidades de esta forma: 0 − 1.17 ) 1.02 𝑃(𝑍 > −1.15)
𝑃(𝑅𝐴 > 0%) = 𝑃 (𝑍 >
Ahora se busca este valor en la tabla; cabe aclarar que la distribución normal es simétrica, lo que significa que los valores de la izquierda son iguales a los de la derecha, lo que significa que si busco el valor de un Z negativo basta con restarle a 1 el valor positivo encontrado en la tabla.
Tabla: Distribución normal tipificada
El valor de 𝑃(𝑍 < 1.15) en la tabla es 0.87493. 𝑃(𝑍 < −1.15) = 1 − 𝑃(𝑍 < 1.15) = 1 − 0.87493 = 0.12507 𝑃(𝑍 > −1.15) = 1 − 𝑃(𝑍 < −1.15) = 1 − 0.12507 = 0.87493 Este proceso demuestra que la probabilidad que Z sea mayor a un número negativo es igual a la probabilidad de que Z sea menor al mismo número positivo 𝑃(𝑍 > −𝑛) = 𝑃(𝑍 < |−𝑛|) Así, 𝑷(𝑹𝑨 > 𝟎%) = 𝟎. 𝟖𝟕𝟒𝟗𝟑 ●
𝑃(𝑅𝐴 ≥ 𝑅𝐴 ) R\
●
𝑃(−1% ≤ 𝑅𝐴 ≤ 1%) R\
𝑃(−1% ≤ 𝑅𝐴 ≤ 1%) = 𝑃(𝑅𝐴 ≤ 1%) − 𝑃(𝑅𝐴 ≤ −1%) 𝑃(𝑅𝐴 ≤ 1) = 𝑃 (𝑍 ≤
1 − 1.17 ) = 𝑃(𝑍 ≤ −0.16) 1.02
De la tabla se obtiene: 𝑃(𝑍 ≤ 0.16) = 0.56356 𝑃(𝑍 ≤ −0.16) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0.16) = 1 − 0.56356 = 0.43644 𝑷(𝑹𝑨 ≤ 𝟏) = 𝑷(𝒁 ≤ −𝟎. 𝟏𝟔) = 𝟎. 𝟒𝟑𝟔𝟒𝟒 𝑃(𝑅𝐴 ≤ −1) = 𝑃 (𝑍 ≤
−1 − 1.17 ) = 𝑃(𝑍 ≤ −2.13) 1.02
De la tabla se obtiene: 𝑃(𝑍 ≤ 2.13) = 0.98341 𝑃(𝑍 ≤ −2.13) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2.13) = 1 − 0.98341 = 0.01659 𝑷(𝑹𝑨 ≤ −𝟏) = 𝑷(𝒁 ≤ −𝟐. 𝟏𝟑) = 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟓𝟗
g. Construya e interprete un intervalo de confianza al 95% para la tasa de variación diaria media del precio de la acción: (𝑅𝐴 ). Escriba la interpretación del intervalo. R\ Para calcular el intervalo de confianza se utiliza la fórmula: 𝜎 𝑍𝛼 ∗ 2 √𝑛 Para un nivel de confianza del 95% hay que buscar el valor 𝑍𝛼 en la tabla. 2
𝑍𝛼 = 𝑍1−0.95 = 𝑍0.025 2
2
En la tabla no se encuentra el valor exacto entonces promediamos los valores de 0.02 y 0.03: 𝑍0.02 = 0.50798 𝑍0.03 = 0.51197 𝑍0.025 = 0.50998 Ahora se calcula el error estándar: 𝜎 √𝑛
=
1.5482 √245
= 0.0989
Ahora utilizando la fórmula 𝑍𝛼 ∗ 2
𝜎 √𝑛
= 0.50998 ∗ 0.0989 = 0.05044
Ahora, el intervalo de confianza se expresa con la siguiente fórmula 𝜎 𝑥̅ ± 𝑍𝛼 ∗ 2 √𝑛 −0.0088 ± 0.05044 Intervalo de confianza de 95%: [−𝟎. 𝟎𝟓𝟗𝟐𝟒, 𝟎. 𝟎𝟒𝟏𝟔𝟒]
h. Construya e interprete un intervalo de confianza al 95% para la tasa de variación diaria media del índice COLCAP: ( 𝑅𝑀 ). Escriba la interpretación del intervalo. R\ Para calcular el intervalo de confianza se utiliza la fórmula: 𝜎 𝑍𝛼 ∗ 2 √𝑛 Para un nivel de confianza del 95% hay que buscar el valor 𝑍𝛼 en la tabla. 2
𝑍𝛼 = 𝑍1−0.95 = 𝑍0.025 2
2
En la tabla no se encuentra el valor exacto entonces promediamos los valores de 0.02 y 0.03: 𝑍0.02 = 0.50798 𝑍0.03 = 0.51197 𝑍0.025 = 0.50998 Ahora se calcula el error estándar: 𝜎 √𝑛
=
0.6166 √245
= 0.03939
Ahora utilizando la fórmula 𝑍𝛼 ∗ 2
𝜎 √𝑛
= 0.50998 ∗ 0.03939 = 0.020089
Ahora, el intervalo de confianza se expresa con la siguiente fórmula 𝜎 𝑥̅ ± 𝑍𝛼 ∗ 2 √𝑛 0.03295 ± 0.020089 Intervalo de confianza de 95%: [𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟖𝟔𝟏, 𝟎. 𝟎𝟓𝟑𝟎𝟑𝟗]
Parte 2: a. Calcule e interprete el coeficiente de correlación entre la tasa de variación diaria del precio de la acción y la tasa de variación diaria del índice COLCAP. Escriba la interpretación. b. Obtenga las estimaciones de los parámetros del modelo de regresión lineal simple. ̂𝐴 = 𝛼̂ + 𝛽̂ 𝑅𝑀 𝑅 c. Escriba la interpretación de 𝛼̂y 𝛽̂en el contexto del modelo construido. d. Calcule e interprete el coeficiente de determinación del modelo construido. e. Plantee y realice las pruebas de hipótesis para evaluar la significancia individual de la variable tasa de variación del índice COLCAP para explicar el comportamiento de la tasa de variación diaria del precio de la acción. Escriba la interpretación de los resultados. f. Plantee y realice la prueba de hipótesis para evaluar la significancia del modelo de regresión lineal simple que relaciona la tasa de variación diaria del precio de la acción en función lineal de la variable tasa de variación diaria del índice COLCAP. Escriba los resultados de la prueba de hipótesis. g. Estime un intervalo de confianza al 95% para las estimaciones de la tasa de variación diaria del precio de la acción para los días 24, 25 y 26 de junio de 2017. Compare estas estimaciones contra las variaciones reales disponibles en www.bvc.com.co
