PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL INTEGRANTES: Alejandro Mora, Samanta Caroline Caroline Araujo Bautista, Miuel Anel Barrene!"ea Sarmiento, Brit"an# Da#anne Loarte Sana, $im%erl# &al"ia &al"ia Mal'as I()uierdo, Crist"ian Rojas A'ila, Cristian Ale*ander Ale*ander San!"e( Marin, Mari!el# +a(min Tineo Meo, +os Luis -m%ert Eui(a%al, .ernando DOCENTE: In/ PERE0 RAMIRE0, +os Luis MATERIA: In'estia!i1n de O2era!iones .AC-LTAD: Inenier3a Industrial Sistemas e In4orm5ti!a 6789
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INTROD-CCION La Prorama!i1n Lineal es una 2e)uea 2arte de de una una teor3a teor3a matem5ti!a matem5ti!a )ue se "a !onsolidado en el silo ;; !on el nom%re de O2timi(a!i1n/ En eneral, se trata de un !onjunto de t!ni!as matem5ti!as )ue intentan o%tener el ma#or 2ro'e!"o 2ro'e!"o 2osi%le 2osi%le de sistemas sistemas e!on1mi!o e!on1mi!os, s, so!iales, so!iales, te!nol1i!os, te!nol1i!os, /// !u#o 4un!ionamiento se 2uede des!ri%ir matem5ti!amente de modo ade!uado/
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PROGRAMACION LINEAL La Prorama!i1n Lineal !orres2onde a un aloritmo a tra's del !ual se resuel'en situa!iones reales en las )ue se 2retende identi4i!ar # resol'er di4i!ultades 2ara aumentar la 2rodu!ti'idad res2e!to a los re!ursos <2rin!i2almente los limitados # !ostosos=, aumentando as3 los %ene4i!ios/ El o%jeti'o 2rimordial de la Prorama!i1n Lineal es o2timi(ar, es de!ir, ma*imi(ar o minimi(ar 4un!iones lineales en 'arias 'aria%les reales !on restri!!iones lineales
Los "e!"os
•
La e*2erien!ia
•
La intui!i1n
•
La autoridad
>COMO RESOL&ER -N PROBLEMA MEDIANTE PROGRAMACI?N LINEAL@ El 2rimer 2aso 2ara la resolu!i1n de un 2ro%lema de 2rorama!i1n lineal !onsiste en la identi4i!a!i1n de los elementos %5si!os de un modelo matem5ti!o, estos son: •
.un!i1n O%jeti'o
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•
&aria%les
•
Restri!!iones
El siuiente 2aso !onsiste en la determina!i1n de los mismos, 2ara lo !ual 2ro2onemos seuir la siuiente metodolo3a:
LA .-NCI?N OB+ETI&O La 4un!i1n o%jeti'o tiene una estre!"a rela!i1n !on la 2reunta eneral )ue se desea res2onder/ S3 en un modelo resultasen distintas 2reuntas, la 4un!i1n o%jeti'o se rela!ionar3a !on la 2reunta del ni'el su2erior, es de!ir, la 2reunta 4undamental/ As3 2or ejem2lo, si en una situa!i1n se desean minimi(ar los !ostos, es mu# 2ro%a%le )ue la 2reunta de ma#or ni'el sea la )ue se rela!ione !on aumentar la utilidad en luar de un interroante )ue %us)ue "allar la
manera de disminuir los !ostos/
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LAS
&ARIABLES DE DECISI?N Similar a la rela!i1n )ue e*iste entre o%jeti'os es2e!34i!os # o%jeti'o eneral se !om2ortan las 'aria%les de de!isi1n res2e!to a la 4un!i1n o%jeti'o, 2uesto )ue estas se identi4i!an 2artiendo de una serie de 2reuntas deri'adas de la 2reunta 4undamental/ Las 'aria%les de de!isi1n son en teor3a 4a!tores !ontrola%les del sistema )ue se est5 modelando, # !omo tal, estas 2ueden tomar di'ersos 'alores 2osi%les, de los !uales se 2re!isa !ono!er su 'alor 12timo, )ue !ontri%u#a !on la !onse!u!i1n del o%jeti'o de la 4un!i1n eneral del 2ro%lema/
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LAS RESTRICCIONES Cuando "a%lamos de las restri!!iones en un 2ro%lema de 2rorama!i1n lineal, nos re4erimos a todo a)uello )ue limita la li%ertad de los 'alores )ue 2ueden tomar las 'aria%les de de!isi1n/ La mejor manera de "allarlas !onsiste en 2ensar en un !aso "i2otti!o en el )ue de!idiramos darle un 'alor in4inito a nuestras 'aria%les de de!isi1n, 2or ejem2lo, >)u 2asar3a si en un 2ro%lema )ue 2re!isa ma*imi(ar sus utilidades en un sistema de 2rodu!!i1n de !al(ado de!idiramos 2rodu!ir una !antidad in4inita de (a2atos@ Seuramente a"ora nos surir3an mlti2les interroantes, !omo 2or ejem2lo:
•
>Con !u5nta materia 2rima !uento 2ara 2rodu!irlos@
•
>Con !u5nta mano de o%ra !uento 2ara 4a%ri!arlos@
•
>Pueden las instala!iones de mi em2resa al%erar tal !antidad de 2rodu!to@
•
>Podr3a mi 4uer(a de mer!adeo 'ender todos los (a2atos@
•
>Puedo 4inan!iar tal em2resa@
Pues %ueno, enton!es "a%r3amos des!u%ierto )ue nuestro sistema 2resenta una serie de limitantes, tanto 43si!as, !omo de !onte*to, de tal manera )ue los 'alores )ue en un momento dado 2odr3an tomar nuestras 'aria%les de de!isi1n se en!uentran !ondi!ionados 2or una serie de restri!!iones/ E+ERCICIOS PROP-ESTOS 8/ Sal'aje Oeste 2rodu!e dos !lases de som%rero 'a)uero/ -n som%rero de la !lase 8 re)uiere el do%le de mano de o%ra )ue uno de la !lase 6/ Si toda pág. 6
la mano de o%ra se dedi!ara s1lo a la !lase 6, la em2resa 2odr3a 2rodu!ir diariamente 77 de esos som%reros/ Los l3mites de mer!ado res2e!ti'os son 87 # 677 som%reros diarios 2ara esas !lases/ La utilidad es 2or !ada som%rero de la !lase 8, # 2or !ada uno de la !lase 6/ a= A2li)ue la solu!i1n r54i!a 2ara determinar la !antidad de som%reros diarios de !ada !lase !on la )ue se ma*imi(a la utilidad/ PLANTEO DEL MODELO:
CLASES DE SOMBRERO 78
MANO DE OBRA
76
Ma* 0:
X 1 X 2
LIMITE DE PROD-CCION 87 677
-TILIDAD ; -NIDAD
8 x 1+ 5 x 2
S/A: X 1 ≤ 150
Restricción con respecto al límite de producción
X 2 ≤ 200
X 1 + X 2 ≤ 400
6/ -na em2resa 4a%ri!a dos 2rodu!tos, A # B/ El 'olumen de 'entas de A es, !uando menos, 7F de las 'entas totales de A # B/ Sin em%aro, la em2resa no 2uede 'ender m5s de 877 unidades de A 2or d3a/ Los dos 2rodu!tos usan una materia 2rima, !u#a dis2oni%ilidad diaria m5*ima es 67 l%/ Los !onsumos de la materia 2rima son 6 l% 2or unidad de A # l% 2or unidad de B/ Los 2re!ios unitarios de A # B son 67 # 7, res2e!ti'amente/ a= Determine la !om%ina!i1n 12tima de 2rodu!tos 2ara esta !om2a3a
PLANTEO DEL MODELO
PROD-CTOS
DEMANDA
MATERIA
PRECIOS pág. 7
A < X 1 = B< X 2 = Ma* 0:
ESTIMADA Cuando menos 7 Cuando menos 67
PRIMA ; -NIDAD ; -NIDAD 76 67 7
7
20 x1 + 50 x 2
S/A: X 1 ≤ 80 X 2 ≤ 20
x 1< 100
Restricción respecto a demanda estimada
2 X 1+ 4 X 2 ≤ 240
/ En Lim2ie(a, S/A/, se usan las materias 2rimas I # II 2ara 2rodu!ir dos solu!iones lim2iadoras domsti!as, A # B/ La dis2oni%ilidad diaria de las materias 2rimas I # II es 87 # 8 unidades, res2e!ti'amente/ -na unidad de solu!i1n A !onsume 7/ unidad de materia 2rima I # 7/H unidad de materia 2rima II una unidad de solu!i1n B re)uiere 7/ unidad de materia 2rima I # 7/ unidad de materia 2rima II/ Las utilidades unitarias de las solu!iones A # B son # 87, res2e!ti'amente/ La demanda diaria de la solu!i1n A est5 entre 7 # 87 unidades, # la de la solu!i1n B entre 7 # 677 unidades/ a) Cal!ule las !antidades 12timas de A # B )ue de%e 2rodu!ir Lim2ie(a/ b) Determine el 'alor 2or !am%io unitario en las materias 2rimas I # II/ PLANTEO DE MODELO
pág. 8
;8 J A
O2t 0 J ;8 K87;6
;6 J B 7/ ;8K 7/ ;6 87
Restri!!i1n !on res2e!to a la Materia Prima
7/H;8 K 7/;6 8
;8 7 87
Restri!!i1n !on res2e!to a la Demanda
;6 7 677
/ -na l3nea de ensam%le est5 4ormada 2or tres esta!iones !onse!uti'as, # 2rodu!e dos modelos de radio: Alta .idelidad 8 # Alta .idelidad 6/ En la siuiente ta%la se 'en los tiem2os de ensam%le en las tres esta!iones de tra%ajo/
El mantenimiento diario de las esta!iones 8, 6 # !onsume 87, 8 # 86F, res2e!ti'amente, de los 7 minutos m5*imos dis2oni%les en !ada esta!i1n 2or d3a/ a) La em2resa desea determinar la !om%ina!i1n 12tima de 2rodu!tos !on la )ue se minimi!en los tiem2os de 2aro
;8J Est 8
Mini 0 J 87;8 K 8;6 K 86; pág. 9
;6J Est 6 ;J Est H;8 K ;8 87F ;6 K ;6 8F ; K H; 86F / +uan a!a%a de entrar a la uni'ersidad, # se da !uenta )ue si s1lo estudia # no juea, su 2ersonalidad ser5 ris/ Desea re2artir su tiem2o dis2oni%le, a2ro*imadamente de 87 "oras 2or d3a, entre jueo # estudio/ Estima )ue el jueo es do%lemente di'ertido )ue el estudio/ Tam%in desea estudiar !uando menos un tiem2o iual al )ue 2asa juando/ Sin em%aro, se da !uenta )ue si de%e "a!er todas sus tareas es!olares, no 2uede juar m5s de "oras diarias/ >C1mo de%e re2artir +uan su tiem2o, 2ara ma*imi(ar su 2la!er de estudiar # juar@ Solu!i1n: &aria%les: X 1=Tiempoen estudiar
X 2=Tiempoen jugar
.un!i1n O%jeti'o: Max ( z )= X 1+ 2 X 2
Restri!!iones: X 1 + X 2 ≤ 10 X 2 ≤ 4
x 1 , x 2 ≥ 0
H/ A"orros S/A/ desea in'ertir una suma )ue enere un rendimiento anual m3nimo de 87,777/ Dis2one de dos ru2os a!!ionarios: a!!iones sele!tas # alta te!nolo3a, !on un rendimiento anual 2romedio de 87 # 6F, pág. 10
res2e!ti'amente/ Aun)ue las a!!iones de alta te!nolo3a dan m5s rendimiento, son m5s arriesadas, # A"orros desea limitar la !antidad in'ertida en ellas a un m5*imo de H7F del total/ >Cu5l es la !antidad m3nima )ue de%e in'ertir A"orros en !ada ru2o de a!!iones 2ara al!an(ar la meta de in'ersi1n@ Solu!i1n: &aria%les: X 1 = Acciones selectas
X 2 = Accionesde alta tecnologia
.un!i1n O%jeti'o: Max ( z )= X 1+ X 2
Pro!edimiento 2ara esta%le!er las restri!!iones: Se di!e )ue el rendimiento minimo, )ue se es2era si se in'ierte ; 8 al 87F # si se in'ierte al ; 6 del 6F anual, la restri!!i1n seria: 0.10 X 1 + 0.25 X 2 ≥ 10,000
Otra restri!!i1n )ue tendr3amos )ue esta%le!er, si se in'ierte no m5s del H7F de la in'ersi1n total en a!!iones de alta te!nolo3a, la restri!!i1n )ue esta%le!er3amos es: x2 x 1 + x 2
≤ 0.60
x 2 ≤ 0.60 ( x 1+ x2 )
−0.60 x 1 + x 2 ≤ 0
Restri!!iones: 7/87 ;8 K 7/6 ;6 87,777 7/H ;8 K 7/ ;6 7 ;8, ;6 7 pág. 11
7. LA COMPAÑÍA REDDY MIKKS Redd# Mis 2rodu!e 2inturas 2ara interiores # e*teriores, M 8 # M 6/ La ta%la siuiente 2ro2or!iona los datos %5si!os del 2ro%lema/
TON DE MATERIA PRIMA DE Pinturas Pinturas Materia
para exteriores 6
para interiores 4
prima M1 Materia
1
prima M !tilidad por
%
4
Disponibilidad diaria máxima 4 6
ton"miles de #$
-na en!uesta de mer!ado indi!a )ue la demanda diaria de 2intura 2ara interiores no 2uede ser ma#or )ue 8 tonelada m5s )ue la de 2intura 2ara e*teriores/ Tam%in, )ue la demanda m5*ima diaria de 2intura 2ara interiores es de 6 toneladas/ Redd# Mis desea determinar la me(!la 12tima
Definir las variables: X 1
JToneladas 2rodu!idas diariamente, de 2intura 2ara e*teriores/
X 2
JToneladas 2rodu!idas diariamente, de 2intura 2ara interiores/
Definir la funi!n "b#e$iv": Max Z =5 x 1+ 4 x 2
Es$ableer las res$rii"nes: Sen los datos del 2ro%lema pág. 12
H x 1 K x 2 6 //
x 1
K6 x 2 H //
X 2− X 1 ≤ 1 X 2 ≤ 2
< R=
X 1 , X 2 ≥ 0
< R=
%. PRO&LEMA DE LA DIE'A En Granjas Modelo se usa diariamente un m3nimo de 77 li%ras
Alimento Ma3( So#a
L% 2or l% de alimento Prote3nas .i%ras 7/7Q 7/76 7/H7 7/7H
!osto 7/7 7/Q7
Las ne!esidades dietti!as del alimento es2e!ial son un m3nimo de 7F de 2rote3nas # un m5*imo de F de 4i%ras/ Granjas Modelo desea determinar las 2ro2or!iones de alimento )ue 2rodu(!an un !osto diario m3nimo/ Definir las variables: X 1
J l% de ma3( en la me(!la diaria
X 2
J l% de so#a en la me(!la diaria
Definir la funi!n "b#e$iv":
pág. 13
Min Z =0.3 x 1+ 0.9 x 2
Es$ableer las res$rii"nes: x 1
K x 2 77 //
0.21 x 1
7/7 x 2 7 //
0.03 x1
7/78 x 2 7 //
X 1 , X 2 ≥ 0
< R=
(. La Di'isi1n de Edu!a!i1n Continua del Coleio Central o4re!e un total de 7 !ursos !ada semestre/ Los !ursos )ue se o4re!en suelen ser de dos ti2os: 2r5!ti!os, !omo modelado en madera, 2ro!esamiento de te*to # mantenimiento automotri( # "uman3sti!os, !omo "istoria, msi!a # %ellas artes/ Para satis4a!er las ne!esidades de la !omunidad, de%en o4re!erse al menos 87 !ursos de !ada ti2o en !ada semestre/ La di'isi1n estima )ue las utilidades 2or los !ursos 2r5!ti!os # "uman3sti!os son, a2ro*imadamente, 877 # 8777 2or !urso, res2e!ti'amente/ a) Determine la o4erta 12tima de !ursos 2ara ese !oleio/ b) Demuestre )ue el 'alor 2or !ada !urso adi!ional es 877, iual )ue la utilidad 2or !ada !urso 2r5!ti!o/ >u indi!a este resultado res2e!to a o4re!er !ursos adi!ionales@ ) -se la medida de 'alor 2or unidad 2ara determinar la utilidad )ue resulta de aumentar en un !urso el re)uisito m3nimo de !ursos 2r5!ti!os/ ) Re2ita la 2arte %= 2ara los !ursos "uman3sti!os/ &aria%les ;8 J !ursos de 2ra!ti!a ;6 J!ursos "uman3sti!os Ma*imi(ar 0 0J877;8K8777;6 pág. 14
Restri!!iones a= ;8K;6KS8 J7 ;8 S6 J87 ;6 S J87 ;;SSS7
%= 0J877S8K7S6K77SJ7777 != S6J87KD87 ;8J67KD87 ;6J87 87D8 d= S8J87D7 ;8J67D7 ;6J87KD7 87D87
*+. Modelos Al4a 4a%ri!a !amisas # %lusas 2ara las Tiendas Beta, )ue a!e2tan toda la 2rodu!!i1n de Al4a/ En el 2ro!eso de 2rodu!!i1n inter'ienen el !orte, !ostura # em2a!ado/ Al4a em2lea 6 tra%ajadores en el de2artamento de !orte, en el de2artamento de !ostura # en el de2artamento de em2a)ue/ Esa 45%ri!a tra%aja un turno de "oras, d3as 2or semana/ En la ta%la siuiente se muestran los tiem2os ne!esarios # las utilidades unitarias 2ara las dos 2rendas/
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a) Determine el 2rorama de 2rodu!!i1n semanal 12timo 2ara Al4a/ b) Determine el 'alor de !orte, !ostura # em2a)ue 2or "ora/ ) Su2ona )ue se 2ueda tra%ajar tiem2o e*tra en los de2artamentos de !orte # !ostura/ >u sueldos 2or "ora m5*imos 2uede 2aar Al4a 2or tiem2o e*tra la%orado@ &aria%les
a) ;8 J nmero de !amisetas Usemana ;6 Jnmero de %lusas 2or semana Ma*imi(ar 0 0J;8K86;6 Restri!!iones S/T/ 67;8KH7;66VH7V7JH7777 97;8KH7;6VH7V7J777 86;8K;6VH7V7J8677 ;8 ;67 %= S8J'alor de !orte S6J'alor de !ostura SJ'alor de em2a)ue 2or "ora 0J 86S8K7/S6K7SJ8Q67 88/ Re2resenta!i1n matem5ti!a/ La em2resa de%e de!idir la !antidad de unidades de !ada ti2o de 'i'ienda )ue 'a a !onstruir, # tam%in la !antidad de 5reas de re!reo )ue satis4aa el relamento muni!i2al/ Se de4inen *8 !antidad de !asas uni4amiliares *6 !antidad de !asas 2ara dos 4amilias * !antidad de !asas 2ara tres 4amilias * !antidad de 5reas de re!reo El o%jeti'o de la em2resa es ma*imi(ar el rendimiento total, esto es Las restri!!iones del 2ro%lema son: 8/ L3mite de uso de terreno/ 6/ L3mite de !antidad de !asas uni4amiliares en rela!i1n !on los dem5s ti2os/ pág. 16
/ L3mite de las 5reas de re!reo/ / Costo del !a2ital 2ara el ser'i!io de aua/ / L3mite del !onsumo diario de aua en tem2oradas 2i!o/ Estas restri!!iones se e*2resan matem5ti!amente !omo siue: 8/ -so del
terreno
6/ Casas uni4amiliares
o sea
/ Wreas de re!reo
o sea
/ Costo del !a2ital 2ara el ser'i!io de aua
/ Consumo de aua
H/ No neati'idad
pág. 17
86/ Ban!o Gane est5 desarrollando una 2ol3ti!a de 2rstamos 2or un m5*imo de 86 millones/ La ta%la siuiente muestra los datos 2ertinentes a!er!a de los distintos ti2os de 2rstamo/
Las deudas im2aa%les no se re!u2eran # no 2rodu!en inresos 2or intereses/ Para !om2etir !on otras institu!iones 4inan!ieras se ne!esita )ue el %an!o asine un m3nimo de 7F de los 4ondos a 2rstamos ar3!olas # !omer!iales/ Para a#udar a la industria de la !onstru!!i1n de su rei1n, los 2rstamos 4amiliares de%en ser iuales, !uando menos, al 7F de los 2rstamos 2ersonales, 2ara autom1'il # 2ara !asa/ Tam%in el %an!o tiene una 2ol3ti!a e*2l3!ita )ue no 2ermite )ue la rela!i1n eneral de 2rstamos im2aa%les entre todos los 2rstamos sea ma#or )ue 2or !iento/ Re2resenta!i1n matem5ti!a/ Se %us!a determinar la !antidad de 2rstamo en !ada !ateor3a, # en !onse!uen!ia se llea a las siuientes de4ini!iones de las 'aria%les
pág. 18
Ma*imi(ar ( J 7/887/Q*86 K 7/887/Q*66 K 7/8687/Q9*6 K 7/8687/Q*6
PROBLEMA 8 X 1 : costodelamaquina 1 X 2 : costodelamaquina 2
.un!i1n o%jeti'o :
f =500 X 1 + 300 X 2
S/a 2 X 1+ 3 X 2 ≤ 75 3 X 1 + 2 X 2 ≤ 70 4 X 1+ X 2 ≤ 55 2 X 1+ 2 X 2 ≤ 40
X 1 ≥ 0 X 2 ≥ 0
Rei1n o2tima
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Solu!i1n o2tima f =500 X 1 + 300 X 2
f =500 ( 0 ) + 300 ( 22.5 )=6750 f =500 ( 10.83 ) + 300 ( 11.67 )= 8916 f =500 ( 13.75 ) + 300 ( 0 )=6875
PREG-NTA B: Es !osto m5*imo )ue tendr5 la 2rodu!!i1n de las ma)uinas ser5 de Q8H, !uando el !osto es a2ro*imadamente de 87/ # 88/H9 2ara las m5)uinas 8 # 6 res2e!ti'amente/ PREG-NTA C: Para )ue el 2rodu!to sea m3nimo renta%le se de%e restar los !ostos 12timos !on el !osto 2or "ora de !ada m5)uina es de!ir: < 'er la e!ua!i1n 4 X + X ≤ 55 = 1
2
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Ma)uina 8: 87/ X 87 J 7/ Ma)uina 6: 88/H9 X J H/H9
PROBLEMA 8 La demanda de un art3!ulo 2ere!edero durante los !uatro meses 2r1*imos es 77, 77, 67 # 7 toneladas, res2e!ti'amente/ Las 2osi%ilidades de la o4erta durante los mismos meses son 77, H77, 677 # 77 toneladas/ El 2re!io de !om2ra 2or tonelada 'ar3a de un mes al otro, # se estima en 877, 87, 867 # 87, res2e!ti'amente/ Como el art3!ulo es 2ere!edero, se de%e !onsumir la o4erta del mes en !urso en menos de tres meses <)ue !uentan a 2artir del mes en !urso=/ El !osto de alma!enamiento 2or tonelada # 2or mes es de / La naturale(a del art3!ulo no 2ermite surtir 2edidos atrasados/ Resuel'a el 2ro%lema !omo modelo de trans2orte !on TORA, # determine el 2rorama 12timo de entrea durante los !uatro meses siuientes SOL-CI?N
COSTO TOTAL: 8Q7,77/ EL PROBLEMA TIENE OBTIMOS ALTERNATI&OS O.ERTA TOTAL: 8H77 TONELADAS DEMANDA TOTAL: 877 TONELADAS
M8 87
M8 7
M6 87
M6
H 8
7 M
M 87
M 87
O.ERTA 77
8
H77
86
677
Q 8
H 86
pág. 21
M
Prod u!to DEMAND 8 67 Prod u!to
A
8 M8 M6 M
778 6 Tiem 2o
M DEMAN DA
77
Minutos72or unidad Pro! Pro! Pro! 8 -tilida77 eso8 eso6 eso7 d -nitaria 7 87 7 H 6 6 7 787 7 67 Minutos 2or unidad -tilid M M M M M ad O.ER -nitaria 6 Pro! Pro! TA Pro! 8 eso8 8 8 7 77 eso68 eso 7 87 7H H 7Q 6 8 8 8 7 67 87 H77 7H77 H77 H H77 8 8 7 677 67 6 8 7 77 7 8 77 67 7 77
8/En dos 2rodu!tos se re)uieren tres 2ro!esos !onse!uti'os/ El tiem2o dis2oni%le 2ara !ada 2ro!eso es 87 "oras diarias/ La ta%la siuiente resume los datos del 2ro%lema: A/ Determine la !om%ina!i1n 12tima de 4a%ri!a!i1n de los dos 2rodu!tos/ Solu!i1n: B/&aria%les de de!isi1n Para el 2ro%lema se ne!esita determinar el nmero de "oras )ue demora !ada 2ro!eso 2ara 2rodu!ir los 2rodu!tos/ As3, las 'aria%les del modelo se de4inen !omo: ;8JNmero de "oras Produ!to8 ;6J Nmero de "oras Produ!to6 C/O%jeti'o Para 4ormar la 4un!i1n o%jeti'o, la em2resa desea aumentar sus utilidades todo lo 2osi%le/ 0 re2resenta la utilidad diaria total, el o%jeti'o de la em2resa se e*2resa as3 Ma* 0J 6;8K;6 pág. 22
a/ Restri!!iones Las restri!!iones )ue limitan el tiem2o 2or d3a son: 87;8 K ;6 H77//8 H;8 K 67;6 H77/6 ;8 K 87;6 H77/ ;8 ;6 7
8H/ Lu( del Centro es duea de una !entral tur%oeneradora/ Como en los alrededores "a# a%undantes de21sitos de !ar%1n, la !entral enera su 'a2or !on ese !om%usti%le/ Sin em%aro, eso 2uede !ausar una emisi1n )ue no !um2la !on las normas am%ientales, )ue limitan la des!ara de di1*ido de a(u4re a 6777 2artes 2or mill1n 2or tonelada de !ar%1n )uemado, # la des!ara de "umo 2or las !"imeneas a 67 li%ras 2or "ora/ La em2resa re!i%e dos !lases de !ar%1n 2ul'eri(ado, C8 # C6, )ue usa en sus !alderas/ Las dos !lases se suelen me(!lar antes de )uemarlas/ Para sim2li4i!ar, se 2uede su2oner )ue el di1*ido de a(u4re !ontaminante de la me(!la
Des!ara de a(u4re, 2artes 2or mill1n 877 6877
Des!ara de "umo, l%U"ora 6/8 7/Q
&a2or enerado l%U"ora 86777 Q777
a= Determine la rela!i1n 12tima de me(!la de las dos !lases de !ar%1n/ Solu!i1n: Clase de !ar%1n C8 C6 Total
Des!ara de a(u4re, 2artes 2or mill1n 877 6877 6777
Des!ara de "umo, l%U"ora 6/8 7/Q 67
&a2or enerado l%U"ora 86777 Q777
a= &aria%les de de!isi1n ;8JClase de !ar%1n C8 ;6J Clase de !ar%1n C6 pág. 23
%= O%jeti'o Ma* 0J 86777;8KQ777; 6 != Restri!!iones 877;8 K 6877;6 6777//8 6/8;8 K 7/Q;6 67////6 ;8 ;6 7/
ANWLISIS DE MODELOS SELECCIONADOS DE PROGRAMACI?N LINEAL Pro%lemas: Pol3ti!a %an!aria de 2restamos Ban!o Gane est5 desarrollando una 2ol3ti!a de 2rstamos 2or un m5*imo de 86 millones/ La ta%la siuiente muestra los datos 2ertinentes a!er!a de los distintos ti2os de 2rstamo/
Las deudas im2aa%les no se re!u2eran # no 2rodu!en inresos 2or intereses/ Para !om2etir !on otras institu!iones 4inan!ieras se ne!esita )ue el %an!o asine un m3ni mo de 7F de los 4ondos a 2rstamos ar3!olas # !omer!iales/ Para a#udar a la industria de la !onstru!!i1n de su rei1n, los 2rstamos 4amiliares de%en ser iuales, !uando menos, al 7F de los 2rstamos 2ersonales, 2ara autom1'il # 2ara !asa/ Tam%in el %an!o tiene una 2ol3ti!a e*2l3!ita )ue no 2ermite )ue la rela!i1n eneral de 2rstamos im2aa%les entre todos los 2rs tamos sea ma#or )ue 2or !iento/ REPRESENTACI?N MATEMWTICA: Se %us!a determinar la !antidad de 2rstamo en !ada !ateo r3a, # en !onse!uen!ia se llea a las siuientes de4ini!iones de las 'aria%les
*6 J 2rstamos 2ara autom1'il * J 2rstamos 2ara !asa * J 2rstamos ar3!olas * J 2rstamos !omer!iales El o%jeti'o de Ban!o Gane es ma*imi(ar su retorno neto, )ue es la di4eren!ia entre el retorno 2or intereses # los 2rstamos im2aa%les/ Con %ase en el "e!"o )ue las deudas im2aa%les no se 2ueden re!u2erar, tanto el 2rin!i2al !omo el inters, la 4un!i1n o%jeti'o ser5 la siuiente: Ma*imi(ar ( J 7/887/Q*86 K 7/887/Q*66 K 7/8687/Q9*6 7/8687/Q*6 K7/887/Q*6 7/8*8 7/79*6 7/7* 7/7* 7/76*
K
Esta 4un!i1n se sim2li4i!a # resulta Ma*imi(ar ( J 7/76H*8 7/79*
K 7/77Q*6
K 7/7H*
K 7/7H9*
K
El 2ro%lema tiene !in!o restri!!iones: 8/ .ondos totales *8 K *6 K * K * K * 86 6/ Prstamos ar3!olas # !omer!iales * K * Y 7/ V 86 o sea / Prstamos 2ara !asa o sea x Y 7/8 x 8 K x 6 K x 6 / L3mite de deudas im2aa%les * K * Y / * Y 7/8*8 K *6 K *6 7/*8 K 7/*6 7/* 7 o sea 7/8*8 K 7/79*6 K 7/7* K 7/7* K 7/76* pág. 25
*8 K *6 K * K * K *
/ No neati'idad 7/7H*8 K 7/7*6 7/78* K 7/78* 7/76* 7 *8 Y 7, *6 Y 7, * Y 7, * Y 7, * Y 7
-SO Z DESARROLLO DE BIENES RAICES Desarrollos Al4a 2osee 77 a!resV de terreno en un lao es!ni!o en el !ora(1n de una sierra/ An tes se a2li!a%an 2o!os o ninn relamento a los nue'os desarrollos en torno al lao/ Las orillas del mismo est5n "o# 2o%ladas !on !asas de !am2o, # de%ido a la !aren!ia de ser'i!ios de al!anta rillado, "a# mu!"as 4osas s2ti!as, en su ma#or 2arte mal instaladas/ A tra's de los aos, las 4il tra!iones de las 4osas s2ti!as "a o!asionado un ra'e 2ro%lema de !ontamina!i1n de aua/ Para mitiar el deradamiento de la !alidad del aua, las autoridades muni!i2ales a2ro %aron relamentos estri!tos 2ara todos los desarrollos en el 4uturo/ 8/ S1lo se 2ueden !onstruir !asas 2ara una, dos # tres 4amilias, # las !asas uni4amiliares de%en ser al menos el 7F del total/ 6/ Para limitar la !antidad de 4osas s2ti!as, se re)uieren tamaos m3nimos de lote de 6, # a!res 2ara las !asas !on una, dos # tres 4amilias, res2e!ti'amente/ / Se de%en esta%le!er 5reas de re!reo de 8 a!re !ada una, en una 2ro2or!i1n de una 2or 677 4amilias/ / Para 2reser'ar la e!olo3a del lao, no se de%e %om%ear aua su%terr5nea 2ara uso do msti!o ni de rieo/ El 2residente de Desarrollos Al4a estudia la 2osi%ilidad de desarrollar los 77 a!res de la em2resa/ El nue'o desarrollo in!luir5 !asas 2ara una, dos # tres 4amilias/ Se estima )ue el 8F de los a!res se de%e asinar a !alles # ser'i!ios !omunitarios/ Al4a estima )ue los inresos 2or las di'ersas unidades de "a%ita!i1n ser5n El !osto de !one!tar el ser'i!io del aua al 5rea es 2ro2or!ional a la !antidad de unidades !onstruidas/ Sin em%aro, el muni!i2io !o%ra un m3nimo de 877,777 2or el 2ro#e!to/ Adem5s, el aumento de la !a2a!idad a!tual del sistema de a%aste!imiento de aua se limita a 677,777 a lones 2or d3a, durante las tem2oradas 2i!o/ Los datos siuientes resumen el !osto de pág. 26
!one!tar el ser'i!io del aua, # tam%in el !onsumo de aua, su2oniendo 4amilias de tamao 2romedio: Re2resenta!i1n matem5ti!a/ La em2resa de%e de!idir la !antidad de unidades de !ada ti2o de 'i'ienda )ue 'a a !onstruir, # tam%in la !antidad de 5reas de re!reo )ue satis4aa el rela mento muni!i2al/ Se de4inen *8 *6
!antidad de !asas uni4amiliares !antidad de !asas 2ara dos 4amilias
VN/ del R/T/: 8 a!re J 7/7H "e!t5rea o 8 a!reJ 7H m6/ * !antidad de !asas 2ara tres 4amilias * !antidad de 5reas de re!reo El o%jeti'o de la em2resa es ma*imi(ar el rendimiento total, esto es Ma*imi(ar ( J 87,777*8 K 86,777*6 K 8,777* Las restri!!iones del 2ro%lema son: 8/ 6/ ti2os/ / / /
L3mite de uso de terreno/ L3mite de !antidad de !asas uni4amiliares en rela!i1n !on los dem5s L3mite de las 5reas de re!reo/ Costo del !a2ital 2ara el ser'i!io de aua/ L3mite del !onsumo diario de aua en tem2oradas 2i!o/
Estas restri!!iones se e*2resan matem5ti!amente !omo siue: 8/ -so del terreno 6*8 K *6 K * K 8* H7 8 J 7/ V 776 6/ Casas uni4amiliares o sea *8 *8 K *6 K * Y 7/ / Wreas de re!reo 7/*8 7/*6 7/* Y 7 *8 K 6*6 K * o sea * Y 677 677* *8 6*6 * Y 7 pág. 27
/ Costo del !a2ital 2ara el ser'i!io de aua 8777*8 K 8677*6 K 877* K 77* Y 877,777 / Consumo de aua 77 x 8 K H77 x 6 K 7 x K 7 x
P
677,777
H/ No neati'idad
77*8 K H77*6 K 7* K 7* 677,777 *8 Y 7, *6 Y 7, * Y 7, * Y 7
pág. 28
