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ANALISIS ANALIS IS CINEMATICO CINEMATICO DE MECANIS MECANISMOS MOS PLANOS PLANOS
ANALISIS DE ACELERACIONES.
1- CONCEPTOS PREVIOS.
2- ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES.
2.1- Polígono de aceleraciones: método de las aceleraciones relativas. 2.1.1- Aplicación a mecanismos articulados. 2.1.2- Aplicación a mecanismos con órganos deslizantes.
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ANALISIS CINEMATICO DE MECANISMOS PLANOS
1-CONCEPTOS PREVIOS.
Una vez realizado el estudio de posición y velocidad en mecanismos planos con un grado de libertad, se realizará, en el presente tema, el análisis de aceleraciones para el tipo de mecanismos mencionado.
Al igual que en los temas anteriores, antes de realizar cualquier tipo de análisis se supuso conocido el valor de la variable primaria o posición del eslabón de entrada o eslabón motor, así como su variación respecto al tiempo, se supondrá en este tema que la aceleración del eslabón de entrada es también conocida y, por lo tanto, un dato de partida.
Por otra parte, tal y como se ha venido realizando en los temas anteriores, se abordará el estudio de aceleraciones en los mecanismos mediante herramientas gráficas por una parte, y basadas en el cálculo numérico por otra.
Todas las consideraciones hechas hasta el momento sobre la conveniencia, o no, de la utilización de uno u otro método siguen siendo completamente válidas en el tema que a continuación se va a desarrollar.
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ANALISIS CINEMATICO DE MECANISMOS PLANOS
2-ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES.
Como se comentó en el tema anterior, los métodos gráficos empleados en el análisis cinemático de mecanismos están fundamentados en las relaciones geométricas existentes entre las diferentes magnitudes mecánicas. Por este motivo, y aún a riesgo de parecer redundante, se vuelve a insistir en la necesidad de que el alumno haya asumido debidamente los conceptos básicos de la cinemática para, así, poder hacer un uso coherente en su aplicación al estudio de mecanismos.
Hecho este pequeño inciso, se desarrollarán a continuación las bases necesarias para proceder al estudio de aceleraciones en mecanismos mediante la aplicación de métodos gráficos.
2.1-Polígono de aceleraciones: método de las
aceleraciones relativas.
El método gráfico de las aceleraciones relativas, guarda una gran similitud con el de las velocidades relativas, pues en los dos se trata de realizar gráficamente una suma vectorial.
En la figura 1 se muestra un eslabón genérico sobre el que, se supone, se ha realizado un análisis de velocidades, siendo por tanto conocidas las velocidades de los puntos
A y B y
la velocidad relativa
v BA, con lo que la velocidad angular del eslabón quedará determinada por: r
ω =
v BA B
n aBA
B
O
a A
t
α
a
n
aBA
aBA
ω
aB
t
aBA a
BA
a A Fig-1. Polígono de aceleraciones de un eslabón genérico.
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ANALISIS CINEMATICO DE MECANISMOS PLANOS
Por otra parte, se conoce la aceleración angular del eslabón, . Para calcular la aceleración del punto B
, así como la aceleración del punto
α
por medio del método de las aceleraciones relativas, se
planteará la igualdad vectorial: a B
=
a
+
a BA
y, puesto que la aceleración relativa puede ser a su vez descompuesta en las componentes tangencial y normal: a
r
n=
BA
+
t
aBA
r
a
r
BA
Donde: n
a BA r
t
a BA r
2
= ω
⋅ AB
= α⋅ AB
siendo su dirección la de la recta AB y su sentido de B a A.
con dirección perpendicular a la recta
AB y su
sentido el indicado por la
aceleración angular α. Luego el problema del cálculo de la aceleración del punto
B
quedará resuelto según se muestra
en la figura 1.
Más habitual que el caso estudiado suele ser el que a continuación se presenta, en el que no se conoce la aceleración angular del eslabón, pero sí la dirección de la aceleración del punto B. Para calcular esta aceleración, así como la aceleración angular del eslabón, se procederá como a continuación se indica, presentándose el resultado gráfico en la figura 2.
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A a
o
a Direcci¾n de AB
n aBA
aB
t
aBA Direcci¾n de la aceleraci¾n de B
b Direcci¾n normal a AB
Fig-2. Polígono de aceleraciones del eslabón AB.
Una vez planteada la ecuación de aceleraciones relativas utilizada anteriormente: a B
=
a
+
a BA
el procedimiento a seguir es el siguiente: a) Se elige un polo de aceleraciones
O
y se traza a escala el vector a
r
, obteniéndose el
punto a. n
b) Se calcula la aceleración a BA . n
c) Por el extremo de a se dibuja el vector a BA . r
d) Por el extremo de
n
a BA se traza un recta perpendicular a este vector. La dirección de t
esta recta coincidirá con la de la aceleración tangencial relativa a BA . e) Por el polo de aceleraciones se dibuja una línea paralela a la dirección, conocida, de la aceleración del punto B. f) Al tenerse que cumplir la relación expresada anteriormente de suma de aceleraciones, el punto donde se cruzan las dos últimas rectas determina el punto b, con lo que queda calculada la magnitud, la dirección y el sentido de la aceleración a B r
Por otra parte, si se desea calcular la aceleración angular del eslabón, puesto que: t
a BA r
= α⋅
AB
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ANALISIS CINEMATICO DE MECANISMOS PLANOS
se tiene directamente que: t
a BA r
α =
B
2.1.1- Aplicación
a mecanismos articulados.
A modo de ejemplo se aplicará el método descrito al mecanismo de cuatro eslabones mostrado en la figura 3. Como es habitual, antes de comenzar el análisis de aceleraciones se supondrá resuelto el problema de velocidades; de igual forma, la aceleración angular del eslabón motor (el eslabón 2 en el caso propuesto) deberá ser conocida.
La aceleración del punto
A puede
ser de inmediato conocida a través de sus componentes
normal y tangencial: n
a
r
= ω
2
⋅O
2
A 2
a
r
t
= α 2 ⋅O 2 A
Por otra parte, como es sabido: a
=
n
a BA
t
aBA
+
BA
de donde descomponiendo las aceleraciones del punto B obtiene: n
a B r
+
t
aB
r
=
a
y la relativa del punto B respecto del A, se
+
r
an
r
r
BA
+
t
aBA
Ambas aceleraciones normales pueden ser calculadas, ya que: n
a B r
2
⋅O
= ω
4
B 4
n
2
a BA r
⋅
BA
= ω
siendo la dirección de la aceleración normal del punto B
3
la de la recta
O 4B
y su sentido de
mientras que la dirección de la componente normal de la aceleración relativa es la de la recta
O 4
a B,
AB y
su
sentido desde B hacia A.
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o
n
a
n
a
B
n
a
3
a
A ωα
4 2 C
02
t A
n aBA
04
B
a A a
aB
t
aBA
t
aB
b
Fig-3. Análisis de aceleraciones del mecanismo de cuatro eslabones.
Por otra parte las direcciones de las aceleraciones tangenciales incógnita son también conocidas: t
- La dirección de a B es perpendicular a
O4 B.
t
- La dirección de a BA es perpendicular a BA.
Por lo tanto, operando como a continuación se indica se obtendrá la aceleración del punto B: a) Se elige una escala de aceleraciones, el polo y se traza a . n
b) Por el extremo de a se dibuja a BA . r
n se dibuja una perpendicular a la dirección BA. c) Por el extremo de a BA
d) Con origen en el polo se dibuja el vector dirección
n
a B y por su extremo una perpendicular a la
O4 B.
e) Donde se cruzan las perpendiculares trazadas a
BA y
a
O4B se
obtiene el punto
b y,
por
tanto, la aceleración del punto B.
Una vez conocidas las aceleraciones tangenciales, pueden ser calculadas las aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4, puesto que:
t
a BA
= α3 ⋅ BA ⇒ α3 =
t
a BA r
r
BA
t
a B
= α4 ⋅O 4 B ⇒ α4 =
t
a B r
r
O4B
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En el caso de que se quiera calcular la aceleración de otro punto del eslabón (por ejemplo el punto
C
del eslabón flotante 3 del mecanismo de la figura 3), al estar previamente calculada la
aceleración angular de dicho eslabón aplicando el método de las velocidades relativas, se tendrá: aC
Puesto que la aceleración del punto
=
a
+
aCA
es conocida, sólo falta por determinar la relativa;
A
descomponiendo esta en tangencial y normal: n
aCA = aCA
+
t
aCA
Siendo el valor de dichas componentes conocido al haberse calculado previamente
y α3:
ω
3 t
a CA r
n
a CA r
2.1.2-
⋅CA
= α 3 2
= ω
3
⋅CA
Aplicación a mecanismos con órganos deslizantes.
Cuando se trata de determinar la aceleración de un punto perteneciente a un eslabón que se desliza sobre otro eslabón que a su vez posee un movimiento determinado, aparece un problema de movimiento compuesto del punto, cuya solución mediante la aplicación de métodos gráficos será tratada en el presente apartado.
Un caso típico en el que se presenta este tipo de movimiento es el mecanismo de cruz de Malta mostrado en la figura 4.
Fig-4. Mecanismo de cruz de Malta
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Este mecanismo consta de una manivela con un tetón en el extremo que se desliza por las ranuras del eslabón en forma de cruz, al que comunica un movimiento rotativo intermitente.
En la figura 5 se muestra la representación esquemática del mecanismo (como se ve no es otro que el mecanismo de tres eslabones) junto con la solución gráfica al problema de cálculo de aceleraciones, cuya construcción a continuación se explica. A4
3 2
ω2 α2
4
a4
O2
O
A2
O4 2/4
a2
O n
a
2
n
a
Direcci¾n perpendicu
4
4
A2 a t
a
2
t
a a2
4
A4 a
acor
t
a
2/4
a4
Direcci¾n del movimiento relativo del punto A2 sobre el eslab¾n 4
Fig-5. Solución al problema de aceleraciones en el mecanismo de cruz de Malta.
Como en los casos anteriores se supondrá resuelto el problema de velocidades y conocida la aceleración angular del eslabón motor, el número 2 en este caso.
Puesto que son conocidos tanto
ω2
como
α
2,
se podrá calcular de forma inmediata la
aceleración del punto A del eslabón 2. a
=
n
a2
t
a2
+
A2
Siendo: a
r
a
r
n
2 2
t 2
⋅ A
= α = ω2
O2 ⋅ A O2
2
Por otra parte, teniendo en cuenta que el punto
A2 se
vez tiene un movimiento de rotación respecto al centro
2 2
desplaza según la dirección A 4O4 , que a su
O4:
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a
a
r
4
2
=
a
4+
a
2/4
+
acor
es la aceleración de arrastre, esto es, la aceleración de un punto perteneciente al eslabón 4
que, en el instante considerado, su posición es coincidente con el punto A
del eslabón 2. Luego su
valor será: a
=
n
a4
t
a4
+
A4
Puesto que, como se comentó con anterioridad, se supone resuelto el problema de velocidades, la velocidad angular del eslabón 4 será conocida y, por tanto, la aceleración normal del punto A4: a
r
n
2 4
⋅ A
O4
= ω4
en cuanto a la aceleración tangencial del punto
A 4 ,
sólo será4 conocida su dirección: perpendicular a la
de la aceleración normal. Por otra parte, el término a 2/4 es la aceleración del punto r
tal y como la percibe un
A 2
observador situado en el eslabón 4, es decir la aceleración relativa del punto respecto a un supuesto sistema de referencia unido de forma invariable a dicho eslabón. Para este observador, la aceleración del punto A2 sólo tendrá componente tangencial, puesto que la trayectoria desde su referencia es rectilínea por lo que esta componente será paralela a la dirección A
O4.
4
Por último, el término a cor representa la aceleración de Coriolis cuyo valor es: r
acor = 2ω
×
v A2/4
4
donde
r
ω4
es la velocidad del eslabón 4 (velocidad de rotación del sistema de referencia móvil) y v A2/4
la velocidad relativa del punto A del eslabón 2 tal y como la ve un observador situado en el eslabón 4; por tanto, se puede calcular el módulo de la aceleración de Coriolis mediante: acor
=
2ω
⋅
v A2/4
4
siendo su dirección perpendicular a la de la velocidad relativa y su sentido el obtenido al aplicar la regla de Maxwell en el producto vectorial (como regla nemotécnica, para mecanismos planos, la dirección y sentido de a cor será de la v A2/4 girada 90º en el sentido de r
ω 4
).
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En la figura 5 se ha representado la construcción gráfica del polígono de aceleraciones; para su realización se deben seguir los siguientes pasos: a) Se representa, a la escala elegida, a A2 desde un polo de aceleraciones
O.
b) Por el mismo polo se traza la componente normal de la aceleración a
4
r
recta perpendicular a a c) Por el extremo de a
n 4
r
2
y por su extremo una
, cuya dirección es la de a t 4 . se dibuja el vector que representa la aceleración de Coriolis, de forma
que su extremo coincida con el de a A2 . d) Por el origen de a cor se traza una línea cuya dirección será la de la aceleración tangencial r
relativa. e) Donde se cruzan las rectas trazadas por los extremos de los vectores que representan a aa
n 4
, se obtiene el punto que es el extremo del vector a
acor y
.
A4
Como en los casos anteriores, una vez conocido el valor de la aceleración tangencial de alguno de los punto pertenecientes al eslabón 4, su aceleración angular será calculada por medio de: a
r
α
4
t
=
4
O
4
4
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