Sistema de Ecuaciones de Primer Grado con Tres Incógnitas Método Grafico Introducción: Decimos que una ecuación algebraica lineal es aquella en donde en cada término de término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. Un término se define como toda expresión que consista de números o variables o el producto de números y variables; ejemplo: 8x, 5ab, 12, a11x1. Etc. Ejes coordenados en el espacio Si por un punto del espacio 0 trazamos tres eje 0X, 0Y, 0Z, de modo que cada eje sea perpendicular a los otros dos tenemos un sistema de ejes coordenados rectangulares en el espacio. Cada uno de estos ejes determina un plano: los ejes 0X y 0Y determinan el plano XY los ejes 0Y y 0Z determinan el plano YZ los ejes 0Z y 0X determinan el plano ZX
Coordenadas cartesianas de un punto del espacio Las posiciones de un punto del espacio quedan determinada por sus coordenadas en el espacio, que son las distancias a los planos coordenados: La abscisa x : : que es la distancia de P al plano YZ La ordenada y : que es la distancia del plano ZX La cota z : que es la distancia del plano XY
En la práctica para representar un punto del espacio, se mide la abscisa sobre el eje 0X y se trazan las líneas que representan la ordenada y la cota. El punto P dado sus coordenadas se expresa P (x, y, z). El punto (3, 2, 4) es un punto del espacio tal que para una unidad es escogida, su abscisa es 3, su ordenada es 2, y su cota es 4.
Representación de un punto cuando una a o más coordenadas son 0 1. Cuando una de las coordenadas es cero cer o y las otras no, el punto está situado en uno de los planos coordenados Si x = 0, el punto está situado en el plano YZ; P1 (0, 2, 3) Si y = 0, el punto está ubicado en el plano ZX; P2 (3, 0, 3) Si z = 0, el punto está ubicado en el plano XY; P3 (3, 2, 0)
2. Cuando dos de sus coordenadas son 0 y la otra está situado en uno de los ejes. Si x = 0 , y = 0, 0, el punto está situado en el eje 0Z; Si x = 0 , z = 0, el punto está situado en el eje 0Y; Si y = 0 , z = 0, el punto está situado en el eje 0X;
no, el punto P4 (0, 0, 3) P5 (0, 2, 0) P6 (3, 0, 0)
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El plano. Toda ecuación de primer grado con tres variables de la forma: Ax + By + Cz = D representan un plano. Los segmentos 0A, 0B y 0C son las trazas del plano sobre los ejes. En la figura:
La traza del plano sobre el eje 0X es 0A = a La traza del plano sobre el eje 0Y es 0B = b La traza del plano sobre el eje 0Z es 0C = c
Los puntos A, B, C, (donde el plano intersecta a los ejes, por ser puntos de los ejes) tienen dos coordenadas nulas. Representación gráfica de una ecuación de primer grado con tres incógnitas La ecuación: 4 x + 3y + 2z = 12 se llama ecuación lineal con tres incógnitas. Sus soluciones son ternas ordenadas de números (x, y, z). Para representar gráficamente esta ecuación vamos a hallar las trazas del plano que ella representa sobre los ejes.
La traza sobre el eje 0X se halla haciendo y = 0, z = 0 en la ecuación dada. Tenderemos: 4x = 12 , aplicando el Teorema de transposición de factores T: a.b = c a = c/b; b ≠ 0 , por lo tanto x = 3 . Se representa el punto (3, 0, 0) La traza sobre el eje 0Y se halla haciendo x = 0, z = 0 en la ecuación dada. Tenderemos: 3y = 12 , aplicando el Teorema de transposición de factores T: a.b = c a = c/b; b ≠ 0 , por lo tanto y = 4 . Se representa el punto (0, 4, 0) La traza sobre el eje 0Z se halla haciendo x = 0, y = 0 en la ecuación dada. Tenderemos: 2z = 12 , aplicando el Teorema de transposición de factores T: a.b = c a = c/b; b ≠ 0 , por lo tanto z = 6 . Se representa el punto (0, 0, 6)
Uniendo los tres puntos obtenemos el plano que es la representación gráfica de la ecuación: 4x + 3y + 2z = 12 Ejercicios. Representar gráficamente las ecuaciones 1.- 3x+6y+2z=6 2.- 2x+y+4z=4
3.- 4x+6y+3z=12 4.- 15x+6y+5z=30
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Sistema de ecuaciones: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que deben resolver simultáneamente. Ejemplo: 2 + 4 + 6 = 18 4 + 5 + 6 = 24 3 + − 2 = 4 Trataremos de profundizar y avanzar en este sistema más complejo. En el sistema de ecuaciones 3x3. Por medio del método graficó, en casos de sistemas 3x3 la solución grafica requiere de un software a fin de facilitar la construcción de los planos. (Microsoft Mathematics) Las ecuaciones lineales de tres incógnitas se expresan en un sistema tridimensional. Como no podemos dibujar un plano infinito, sólo dibujaremos una parte de los planos.
En el sistema de 3x3 se pueden representar los siguientes casos : Casos Sin solución
Infinitas soluciones
Una única solución
Tres planos que coinciden en pares, pero no tienen los tres simultáneamente una línea o un punto en común
Dos planos son paralelos y el otro los corta
Dos de los planos son coincidentes o bien se cortan según una recta
Los tres planos se intersecan en un punto
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Resolución y representación gráfica de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Resolver gráficamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es hallar el punto del espacio por el que pasan los tres planos, para ello el procedimiento a seguir es el siguiente: 1. Se representan gráficamente los tres planos que representan las tres ecuaciones del sistema, hallando sus trazas. 2. Se traza la intersección de los dos cualesquiera de ellos, que será una línea recta. 3. Se traza la intersección del tercer plano, cualquiera de los anteriores, que será otra línea recta. 4. Se busca el punto el punto donde se corten las dos rectas halladas y esa será el punto común a los tres planos. 5. Las coordenadas de este punto son las soluciones del sistema. Ejercicios: 24 + 4 + 6 = 18 + 5 + 6 = 24 3 −5 −12 = 4
(−15) + 10 + 6 = 30 14 + 19 + 5 = 35 3 + +2 = 10
+ + = 5 3 + 3 + = 8 2 + 2 + 3 = 14
+ 4 + 12 = 18 + 5 + 6 = 24 3 −5 −12 = 4
6 + 12 + 3 = 5 + + = 5 + + = 5
2 + 2 + 3 = 23 2 + 3 + 2 = 20 4 + 3 + 2 = 24
Resolución y representación gráfica de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas con Microsoft Matemáticas. Representación 1. Clic en la pestaña graficas 2. En la lista dimensiones ponemos 3D 3. En la lista de coordenadas seleccionamos las cartesianas 4. Ir a la opción agregar para insertar una nueva entrada 5. Ingrese los datos que desea representar 6. Clic en graficar
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Resolución 1. 2. 3. 4.
En la pestaña inicio, en herramientas clic en solver de ecuaciones Clic en el número de ecuaciones que desea resolver Escriba cada una de las ecuaciones Clic en resolver
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