INTRODUCCIÓN
La Programación Lineal son técnicas de programación matemática para resolver problemas de optimización de recursos, cuando existe más de una restricción lineal. Los modelos de programación lineal que tienen sólo dos variables de decisión se pueden resolver mediante el método gráfico. El Método Simplex de Programación Lineal es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.
El Método Simplex de programación lineal es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.
Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables. El Método Gráfico es poco poderoso ya que está limitado a resolver problemas de dos o máximo tres variables de decisión. Sin embargo, su importancia radica en que permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la Programación Lineal. Este método es de poca importancia en lo relacionado a una aplicación directa a problemas prácticos, debido a que los problemas prácticos significativos involucran más de dos variables.
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Programación Lineal La Programación Lineal es una técnica de programación matemática para resolver problemas de optimización de recursos, cuando existe más de una restricción lineal. Este consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Sus características son de: Se busca una combinación de recursos. Se deben satisfacer varios criterios. Se identifica un criterio como el objetivo.
Restricciones y Tipos Las restricciones es un conjunto de condiciones exigidas, relacionadas con los recursos involucrados en un problema, que debe satisfacer toda solución. Y los tipos de restricciones son las siguientes: Restricciones de Capacidad, esta se deben a la cantidad disponible de: Equipo. Espacio. Mano de Obra. Restricciones de Mercado, son límites de la cantidad de producto, ya sea un bien o servicio, que puede venderse o usarse, y puede ser: Inferior. Superior. Ambos. Restricciones de Disponibilidad, son límites ocasionados por la escasez de recursos, que pueden ser:
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Materias primas. Financiamiento. Fuerza de trabajo. Otros. Restricciones de Calidad, estas son restricciones que limitan la mezcla de ingredientes, y que por lo tanto determinan la calidad de los productos resultantes. Restricciones de Equilibrio, esta son restricciones de tecnología de producción o equilibrio de materiales. Determinan la salida de un proceso como una función de las entradas, muchas veces con una pérdida por desperdicios.
Restricciones de Definición, estas son restricciones que definen una variable, y muchas veces provienen de definiciones contables.
Análisis de Sensibilidad y Tipos Es el estudio del efecto de los cambios en los parámetros del problema, sobre la solución óptima de Programa Lineal. La importancia del análisis de sensibilidad, son las siguientes: Los modelos de Programa Lineal son con frecuencia grandes y costosos, debido a lo cual no es eficiente usarlos para un solo caso. Los elementos que se dan como datos para un problema, muchas veces son aproximaciones, debido a lo cual es necesario examinar más de un conjunto de circunstancias.
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Los tipos de análisis de sensibilidad, son los siguientes: Sensibilidad de la Función Objetivo, la cual se dividen en las siguientes: Cambios en los coeficientes: Determinar la gama de optimalidad para la pendiente de los parámetros de la función objetiva que mantendrá
inalterable
la
solución
óptima
de
un
modelo
determinado. Cambios en el término independiente.
Sensibilidad de las Restricciones, la cual se dividen en las siguientes: Cambios en los coeficientes de las restricciones. Cambios en el término independiente de las restricciones. Adicción de unas nuevas restricciones.
Sensibilidad de las limitaciones, la cual se dividen en las siguientes: Cambios en la limitación de las abscisas. Cambios en la limitación de las ordenadas. Adición de nuevas variables.
Método Simplex de Programación Lineal El método simplex de programación lineal, se han resuelto dificultades de programación lineal a través de un método geométrico. Este método no resulta práctico cuando el número de variables se aumenta a tres, y con más variables resulta imposible de utilizar. Ahora se examinará una técnica
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diferente, el método simplex, cuyo nombre está asociado en análisis más avanzados a un objeto geométrico al que se denomina simplex.
Este método comienza con una solución posible y prueba si es o no óptima. Si no lo es, el método sigue a una mejor solución. Se dice mejor en el sentido de nueva solución no es óptima, entonces se repite el procedimiento. En algún momento el método simplex conduce a una solución óptima, si es que existe la misma.
También este método es eficaz, es completamente mecánico. De esta manera, no implica el uso de geometría. Esto permite resolver problemas de programación lineal que tiene cualquier número de restricciones y variables del problema.
Objetivo del Método Simplex de Programación Lineal El objetivo del método simplex de programación lineal, es utilizado para resolver problemas en todo tipo de problema reales de programación lineal generalmente tienen variables de decisión y muchas restricciones. Tales problemas no pueden ser resueltos gráficamente. Se usan algoritmos tales como los simples.
El método simplex es un procedimiento iterativo que progresivamente permite obtener una solución óptima para los problemas de programación lineal. Existen numerosos programas tanto para computadoras centrales como para personales. Aunque el método simples es especialmente útil en problemas de gran escala.
Importancia del Método Simplex de Programación Lineal Este método pertenece a la programación lineal debido a que se requiere que todas las funciones matemáticas en este modelo sean funcionales
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lineales y como sinónimo de planificación de los recursos, es decir, un resultado que alcance la meta especificada en la mejor forma entre las alternativas factibles.
Es una técnica poderosa para tratar el problema de asignación de recursos limitados entre actividades, así como para otros problemas que tengan un planteamiento matemático semejante. El método simplex es un algoritmo, un proceso en que se repite, un procedimiento hasta lograr el resultado, determinando un proceso de arranque y un criterio para determinar cuándo debe detenerse.
El método simplex se ha convertido en una herramienta estándar de gran importancia para numerosas organizaciones comerciales e industriales. Además, casi cualquier organización social tiene que ver con la asignación de recursos en algún contexto y existe un reconocimiento creciente de la extremadamente amplia aplicabilidad de la técnica del método.
Este no solo aporta la solución óptima de las variables sino, su utilidad máxima, y costo mínimo, sino también una gran cantidad de valiosa información económica. Por esta razón resulta de vital importancia tanto el aprender las técnicas de solución a través de este método y además dominar ampliamente la interpretación de resultados.
Características del Método Simplex de Programación Lineal Algunas características de este método llamado simplex de programación lineal, son las siguientes: Es aplicable a problemas de Programación Lineal multidimensionales.
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Tiene como base el álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordán. Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendentemente eficiente para solucionar problemas muy grandes. Hoy en día puede aplicarse con eficiencia dad la diversidad de paquetes de software que facilitan el proceso de cálculo.
Pasos del Método Simplex de Programación Lineal Este proceso que se repite una y otra vez, siempre inicia en un punto extremo de la región factible que normalmente es el origen, en cada iteración se mueve a otro punto extremo adyacente hasta llegar a la solución óptima. Los pasos son los siguientes: Manejando la forma estándar, determinar una solución básica factible inicial igualando a la n - m variables iguales a cero o llamado también el origen. Elegir la variable de entrada de las variables no básicas que al incrementar su valor pueda mejorar el valor en la función objetivo. Cuando no exista esta situación, la solución actual es la óptima; si no, ir al siguiente paso. Elegir la variable de salida de las variables básicas actuales. Establecer la nueva solución al hacer la variable de entrada básica y la variable de salida no básica, ir de nuevo al paso 2.
Ventajas del Método Simplex de Programación Lineal Las ventajas de este método, son las siguientes:
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Es un método heurístico. Se basa en consideraciones geométricas y no requiere el uso de derivadas de la función objetivo. Es de gran eficacia incluso para ajustar gran numero de parámetros. Es fácil de implementar y usar, y sin embargo tiene una alta eficacia. Se puede usar con funciones objetivo muy sinuosas pues en las primeras iteraciones busca el mínimo más ampliamente y evita caer en mínimos locales fácilmente.
Desventajas del Método Simplex de Programación Lineal Las desventajas de este método, son las siguientes: Converge más lentamente que otros métodos pues requiere mayor número de iteraciones.
Nociones Básicos del Método Simplex de Programación Lineal Las nociones básicas de este método son las siguientes: Forma estándar: Es la igualación de las restricciones del modelo planteado, así como el aumento de variables de holgura, o bien la resta de variables de exceso. Forma canónica: En el método Simplex es de bastante utilidad la forma canónica, especialmente para explorar la relación de dualidad. Un problema de Programación Lineal se encuentra en la forma canónica si se cumplen las siguientes condiciones: Para el caso de la forma canónica de maximización:
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La función objetivo debe ser de maximización. Las restricciones son del tipo ≤. Las variables de decisión son mayores o iguales a cero. Para el caso de la forma canónica de la dieta: La función objetivo es minimizada. Las restricciones son de tipo ≥. Las variables de decisión son mayores o iguales a cero. Variable de holgura: Se usa para convertir en igualdad una desigualdad de tipo "≤". La igualdad se obtiene al adicionar en el lado izquierdo de la desigualdad una variable no negativa, que representa el valor que le hace falta al lado izquierdo para ser igual al lado derecho. Esta se conoce como variable de holgura, y en el caso particular en el que las restricciones de tipo ≤ se refieren al consumo máximo de un recurso, la variable adicionada cuantifica la cantidad sobrante de recurso al poner en ejecución la solución óptima. Variable de exceso: Se usa para convertir en igualdad una desigualdad del tipo "≥" Se realiza al restar en el lado izquierdo de la desigualdad, una variable no negativa, que representa el valor en el cual el valor del lado izquierdo excede al derecho.
A esta variable la llamaremos variable de exceso y en el caso particular en el que las restricciones de tipo ≥ se refieran al contenido mínimo de un ingrediente en una mezcla, la variable adicionada indica cuánto ingrediente en exceso sobre el mínimo exigido contendrá la mezcla.
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Variables De Holgura Y Exceso del Método Simplex de Programación Lineal El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción. El tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex.
Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".
Método Gráfico de Programación Lineal El Método Gráfico es poco poderoso ya que está limitado a resolver problemas de dos o máximo tres variables de decisión. Sin embargo, su importancia radica en que permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la Programación Lineal.
Es un método poderoso, utilizado para resolver problemas de "n" variables de decisión, aunque también se puede emplear para resolver problemas de dos variables. El método gráfico para solucionar a un problema de programación lineal es el siguiente: Dibuje la región factible de las restricciones. Calcule las coordenadas de los puntos extremos.
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Sustituya las coordenadas de los puntos de esquina en la función objetiva para ver cual da el valor óptimo. Este punto da la solución del problema de programación lineal. Si la región factible no es acotada, este método puede ser erróneo: soluciones óptimas siempre existen cuando la región factible está acotada, pero pueden no existir en el caso no acotado.
Si la región factible no es acotada, estamos minimizando una función objetiva cuyos coeficientes son no negativos, entonces existe una solución dado por este método.
Para determinar si existe una solución en el caso general no acotado: Acote la región por añadir una recta horizontal por encima del punto de esquina más arriba, y una recta vertical a la derecha del punto de esquina que esté mas hacia la derecha. Calcule las coordenadas de los puntos nuevos de esquina que se obtiene. Halle el punto de esquina donde ocurre el valor óptimo de la función objetiva. Si el valor óptimo se ocurre a un punto de esquina de la región original, entonces existe la solución óptima a aquel punto. Si ocurra el valor óptimo solo a un punto nuevo de esquina, entonces el problema de programación lineal no tiene soluciones.
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Objetivo de Método Gráfico de Programación Lineal El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de programación lineal, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables.
Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
Importancia de Método Gráfico de Programación Lineal La importancia de Método Gráfico de Programación Lineal, radica en que permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la Programación Lineal. Este método es de poca importancia en lo relacionado a una aplicación directa a problemas prácticos, debido a que los problemas prácticos significativos involucran más de dos variables.
Sin embargo el propósito es aprender una idea geométrica de la naturaleza del problema, que será valiosa cuando se considere el método algebraico más abstracto para el problema como veremos pueden ocurrir diversas situaciones diferentes en conexión con los problemas de dos variables y cada una tiene una solución para los de n variables, n>2.
Características de Método Gráfico de Programación Lineal Algunas de las características de este método, llamado Método Gráfico de Programación Lineal, son las siguientes: La metodología para la resolución de un problema de dos variables de decisión.
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Es poco poderoso ya que está limitado a resolver problemas de dos o máximo tres variables de decisión. Permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la Programación Lineal. Puede ser impráctico o imposible.
Pasos de Método Gráfico de Programación Lineal Los pasos necesarios para realizar el método son los siguientes: Ilustrar en forma de grafica las soluciones factibles, o el espacio de soluciones,
que
satisfagan
todas
las
restricciones
en
forma
simultánea. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. Delinear cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.
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Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
Ventajas de Método Gráfico de Programación Lineal Las ventajas que posee este método gráfico de programación lineal, son las siguientes: Fácil de aprender, ya que gran parte del proceso es materia de enseñanza media. Conocimiento de los conceptos básicos de la programación lineal. Facilita la comprensión de los métodos más complejos.
Desventajas de Método Gráfico de Programación Lineal Las desventajas que posee este método gráfico de programación lineal, son las siguientes: Solo resulta con modelos que tienen 2 ó 3 incógnitas. Sólo sirve para problemas con dos variables de decisión. La Solución para la desventaja de Método Gráfico es el Método Simplex.
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CONCLUSIÓN
La programación lineal es una manera o algoritmo matemático, por el cual se resuelve un problema indefinido, expresado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la situación objetivo, también lineal. El Método Simplex es utilizado para resolver problemas más complejos de Programación Lineal. Es un método poderoso, utilizado para resolver problemas de "n" variables de decisión, aunque también se puede emplear para resolver problemas de dos variables como lo hace el Método Gráfico. Es un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones lineales. El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.
El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de
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identificar el área de soluciones factibles, cuyas soluciones que cumplen con todas las restricciones. La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema. La metodología para la resolución de un problema de dos variables de decisión, la interpretación de la solución del problema modelado y la observación gráfica de cómo afectan los cambios a la solución del problema. El Método Gráfico es poco poderoso ya que está limitado a resolver problemas de dos o máximo tres variables de decisión.
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