DESINTEGRACION 1. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 gr y después de 2 horas se ve que ha perdido el 5% de su masa original, hallar: a) La ecuación que representa la cantidad restante en cualquier tiempo t. b) La cantidad de uranio después de 5 horas. 0.026t Respuestas: a) y 10 e b) y = 8.781 gr gr 2. En una reacción química, la sustancia M se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todavía. Si al inicio de la reacción había 200 gr de M y una hora más tarde 75 gr, calcular el porcentaje de M transformada después de 2 horas. Respuesta: 85.93 por ciento 3. Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que después de 3 horas, solamente el 80% de la masa permanecía en ese momento. Hallar: a. La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t. b. ¿Qué cantidad permanece cuando t = 5 horas? c. ¿Para qué valor de t, la cantidad de material es 1/4 de la cantidad inicial? t ln0,8 /3
Respuestas: a) y 60e b) y = 41.365 mg c) t = 18.6 horas 4. Cierto material radiactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si actualmente se cuenta con 300 gr del material y después de 2 años se observa que el 14% de la masa original se ha des integrado, hallar: a. Una expresión para la cantidad de material en un tiempo t . b. El tiempo necesario para que se haya desintegrado un 30 por ciento. a) y 300e b) t = 4.73 años 5. Se sabe que cierto material se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si después de una hora se observa que el 20% se ha desintegrado, hallar la vida media del material. Respuesta: 3.11 horas 6. Los experimentos demuestran que la rapidez de conversión del azúcar de caña en solución diluida es proporcional a la concentración de azúcar aún no diluida. Supongamos que en t = 0 1a concentración, de azúcar es 1/150 y en t =5 horas es 17120. Hallar la ecuación que da la concentración de de 200 azúcar sin diluir en función del tiempo. 1 0.058 t Respuesta: y e 150 7. Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad de radio presente. Su vida media es de 1600 años. ¿Qué porcentaje desaparecerá en un año? Respuesta: 0.043 por ciento 8. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la 'cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez de crecimiento? Respuesta: 8 veces más
Respuestas:
0.5t ln 43/50
9. La conversión de una sustancia A sigue la ley del "proceso de primer orden". Si al cabo de 20 segundos apenas una cuarta parte de la sustancia se transformó, hallar cuándo se transformarán nueve décimas partes de esa sustancia. Respuesta: t = 160 segundos 10. Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración de 40 horas. Hallar cuánto tiempo tardará en desaparecer el 90% de su radiactividad. Respuesta: 132.8 horas LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON 11. Era el mediodía en un frío día de diciembre en Tampa: 16°C. El detective Taylor llegó a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que había varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podrían reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sacó un termómetro y midió la temperatura del cuerpo: 34.5°C. Luego salió a comer. Al regresar, a la 1:00 P.M., halló que la temperatura del cuerpo era de 33.7°C. ¿En qué momento ocurrió el asesinato? [Sugerencia: La temperatura normal del cuerpo es de 37°C]. Rpta: 9:08 A.M. 12. En una calurosa mañana de sábado, cuando las personas trabajan dentro del edificio, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior en 24°C. A mediodía, el aire acondicionado se apaga y las personas se van a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 35°C durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del edificio es de 4 horas, ¿cuál será la temperatura dentro del edificio a las 2:00 P.M.? ¿Y a las 6:00 P.M.? ¿En qué momento llegará la temperatura interior del edificio a 27°C? Rpta: 28.3°C; 32.5°C; 1:16 P.M. 13. Se tienen dos recipientes con soluciones a temperaturas constantes, la primera a 30ºC, la segunda a 25ºC un termómetro que marca la temperatura de la primera solución es puesto en contacto con la segunda, cuatro minutos después marca 27ºC más adelante el termómetro es puesto nuevamente en contacto con la primera solución, 10 minutos después del comienzo del experimento el termómetro indica 28ºC. ¿Cuándo fue llevado el termómetro del segundo al primer recipiente? Rpta: t = 4.73 minutos 14. Se va a construir un almacén sin calefacción ni aire acondicionado. Según la cantida d de aislamiento, la constante de tiempo para este edificio puede variar de 1 a 5 horas. Para ilustrar el efecto del aislamiento sobre la temperatura dentro del almacén, suponga que la temperatura exterior varía como una onda senoidal, con un mínimo de 16°C a las 2:00 A.M. y un máximo de 32°C a las 2:00 P.M. Suponiendo que el término exponencial (que implica la temperatura inicialT 0) se ha extinguido, ¿cuál es la temperatura mínima dentro del edificio, si la constante de tiempo es1 hora? ¿Y si la constante de tiempo es 5 horas? ¿Cuál es la máxima temperatura dentro del edificio si la constante de tiempo es 1 hora? ¿Y si es 5 horas? Rpta: 16.3°C; 19.1°C; 31.7°C; 28.9°C. 15. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20°C, se deja caer en un recipiente de agua hirviendo. a) Calcule el tiempo que dicha barra demorará en alcanzar los 90°C si se sabe que su temperatura aumenta 2º en 1 seg. b) ¿Cuál será la temperatura de la barra al cabo de 45 seg? c) ¿Cuánto demorará la barra en alcanzar los 98ºC? Rpta: a) 83,16 seg b) 74,4°C c) 147,56 seg
16. Un objeto con temperatura inicial de 150°C, se coloca en el exterior donde la temperatura es de 35°C.Sus temperaturas a las 12:15 y 12:20 son de 120°C y de 90°C respectivamente. a) ¿a qué hora fue colocado el objeto en el exterior? b) ¿Cuándo registrara 40°C de temperatura? Rpta a) 12:11:32 y b)12:47:32 (guía de prácticas tercera edición ecuaciones diferenciales unas ). 17. Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea se obtiene también la fórmula de enfriamiento de Newton. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20°C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorará en alcázar los 90°C si se sabe que su temperatura aumento 2°C, en un segundo ¿Cuánto demorara la barra en alcázar los 98°C? Rpta: 82.1 segundos; 145.7 segundos (guía de prácticas tercera edición ecuaciones diferenciales unas). 18. Un químico desea enfriar desde 80°C hasta 60°C una sustancia contenido en un matraz se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 15°C . Se observa que después de 2 minutos la temperatura ha descendido a 70°C.Estimar el tiempo total d enfriamiento. Rpta t=4.45 minutos (espinosa – análisis matemático). 19. Supongamos que la razón a que se enfria un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del aire que lo rodea un cuerpo originalmente s 120°F se enfria hasta 100°F en 10 minutos en aire a 60°F: encuentra una expresión para la temperatura del cuerpo en un instante cualquiera t. 2
t
Rpta T 60 60( ) t (espinosa – análisis matemático). 3 20. Un termómetro que marca 15º F se lleva al interior de una habitación donde la temperatura es 81º F. Un minuto más tarde la lectura del termómetro es 30ºF. a. Determine la lectura del termómetro como una función del ti empo b. Encuentre cuánto marcará el termómetro 5 min después de haber sido llevado a la habitación c. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que le termómetro marque 45º F? 10
t
17 o Rpta: a) T t 81 66 b) 62.82 F 22
c) 2.35 min o 2 min 2 seg.
MEZCLAS QUIMICAS 21. Salmuera que contiene 2kgrs de sal por decalitro entra a un primer tanque a razón de 2 decalitros /min, del primer tanque pasa la salmuera a un segundo tanque a razón de 3 decalitros/min. En un principio, el primer tanque contiene un hectolitro de agua pura. Suponiendo las soluciones homogéneas en cada tanque. Hallar la cantidad de sal en el segundo tanque al cabo de 5 minutos. Rpta: 19.38 kgr a. Un tanque contiene 100 l de agua salada en el cual hay 2 kg de sal disueltos. Agua salada con 0.25 kg de sal por litro entra al tanque a razón de 16 l /min y la mezcla bien agitada sale a la misma razón. b. Obtener la cantidad de sal en el tanque después de t minutos. c. Determinar la cantidad de sal después de 10 min. d. Determinar la concentración de sal después de media hora. e. ¿Cuánta sal hay después de un tiempo largo?
22. Un tanque contiene 50 gal de agua pura. Una solución de agua salada con 1 lb de sal por galón entra al tanque a razón de 2 gal/min y la mezcla bien agitada sale a la misma razón. a. ¿Cuánta sal hay en el tanque después de t minutos? b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la mezcla del tanque tenga una concentración de 0.5 lb de sal por galón? c. ¿Cuál es la concentración de sal después de un tiempo largo? 23. Un tanque contiene 100 gal de agua salada con 10 lb de sal disuelta. Agua salada con 1.5 lb de sal por galón entra al tanque a razón de 3 gal/min y la mezcla bien agitada sale a razón de 4 gal/min. a. Obtener la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t 0. b. Determinar la cantidad de sal en el tanque después de 10 min. c. Calcular la concentración de sal en el tanque después de 20 min. d. Determinar la concentración de sal en el tanque, cuando hay solamente 10 gal de solución. 24. Un tanque con capacidad para 500 gal contiene inicialmente 10 lb de sal disueltas en 200 gal de agua. Se bombea al tanque salmuera que contiene 2 lb/gal a razón de 4 gal/min y se permite que la mezcla salga del tanque a razón de 3 gal/min. a. ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque después de t minutos? b. ¿Cuál es la concentración de sal después de una hora? c. ¿Cuánta sal contiene el tanque cuando se llena? d. ¿Cuál es la concentración de sal en el tanque cuando se llena? 25. Un tanque contiene inicialmente 60 gal de agua pura. A razón de 2 gal/min entra al tanque salmuera que contiene 1 lb de sal por galón y la solución uniformemente mezclada sale del tanque a razón de 3 gal/min. a. obtener la cantidad de sal en el tanque después de t minutos. b. Calcular la concentración de sal en el tanque después de media hora. c. Determinar la concentración de sal en el tanque cuando hay solamente 10 gal de solución. d. ¿Cuál es la máxima cantidad de sal que llega a tener el tanque? 26. Un depósito contiene 100 gal de salmuera en la que hay disueltas 40 lb de sal. Se desea reducir la concentración de sal hasta 0.1 lb/gal vertiendo agua pura en el depósito a razón de 5 gal/min y permitiendo que salga a la misma razón. La mezcla se mantiene uniforme. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que se logre lo deseado? 27. Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 gal de agua en los cuales hay 10 lb de sal disuelta. Una salmuera que contiene - lb de sal por galón se bombea al tanque con una rapidez de 6 gal/min. La solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera del tanque con una rapidez de 4 gal/min. Calcular el número de libras de sal que hay en el tanque después de 30 min. 28. Se bombea cerveza con un contenido de 8% de alcohol por galón a un tanque que inicialmente contiene 500 gal de cerveza con 6% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior a razón de 5 gal/min en tanto que el líquido mezclado se extrae del tanque a razón de 6 gal/min. a. ¿Qué cantidad de alcohol hay en el tanque después de t minutos? b. ¿Cuál es el porcentaje de alcohol en el tanque después de 1 h? 29. Un tanque de 100 gal contiene inicialmente agua pura. Una solución de colorante al 30% fluye hacia el tanque a una tasa de 5 gal/min y la mezcla resultante sale a la misma tasa. Después de 15 min el proceso se detiene y se hace fluir agua pura al
tanque a una tasa de 5 gal/min (la mezcla sale a la misma tasa). Encuentre la cantidad de colorante en el tanque después de 30 min. 30. Un tanque de 100 gal se llena inicialmente con 40% de solución colorante. Una solución colorante al 20% fluye hacia el tanque a una tasa de 5 gal/min. La mezcla sale del tanque a la misma tasa y pasa a otro tanque de 100 gal que se había llenado inicialmente con agua pura. La mezcla resultante sale del segundo tanque a una tasa de 5 gal/min. Obtener una expresión para la cantidad de colorante en el segundo tanque. ¿Cuál es la concentración de colorante en el segundo tanque después de 30 min?
CIRCUITOS ELECTRICOS 31. Un electroimán industrial se puede modelar como un circuito RL, cuando se energiza mediante una fuente de voltaje. Si la inductancia es 10H y el embobinado contiene 3Ω de resistencia, ¿Cuánto tiempo tarda un voltaje constante aplicado en energizar el electroimán hasta 90% de su valos final?
Rpta.- t
10ln 0,1 3
7,68
32. Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por E(t)=40cos2t , una resistencia de 2Ω un inductor de 1/4H y un condensador de 1/13F. Si la corriente inicial es igual a cero y la carga inicial en el condensador es 3,5c, determine la carga en el condensador para t>0.
1 4t Rpta.- q (t) e cos 2t 3cos 2t sen 2t 2 33. Un circuito LC en serie tiene una fuente de voltaje dada por E(t)=30sen50t , un inductor de 2H y un condensador de 0,02F ¿Cuál es la corriente en este circuito para t>0 si en t=0, I(0)=q(0)=0? 10 10 Rpta.- I (t) cos 5t cos 50t 33 33 34. Una f.e.m. de 100 sen (120 t ) volts se introduce en un circuito que contiene en serie 4
una resistencia de 100ohmnios y un condensador con capacitancia 5 10 faradios
se tiene una carga inicial en el condensador al tiempo t 0 , cuando la f.e.m. se introduce, tal que la corriente en el tiempo cero es 1amperio positiva encontrar la corriente 0.1 segundos más tarde. Rpta : 0.181amperios 35. Un circuito en serie consiste de una resistencia de 120ohmnios y una inductancia de 6
henrios
un generador de c.c. De 220voltios se encuentra en serie con un generador de c.a. de 220voltios (frecuencia de 60 ciclos) y de combinación conectada a un circuito por medio de un interruptor. Encontrar: a) La corriente en el tiempo t después que se ha cerrado el interruptor.
1
b) La corriente después de 20
segundos
. c) La corriente en estado permanente o estacionario. t
d) El voltaje en la inductancia y el voltaje en la resistencia cuando Rpta : a )i
11 1 6
1 37
sen (120 t arctg 6)
31 37
e
20 t
1 20
segundos
.
b )0.969 amperios c )i
11 1 6
1 37
sen (120 t arctg 6)
d )42.3voltios
36. Una resistencia de 10ohmnios se conecta en serie con una inductancia de L henrios. El circuito está conectado por medio de un interruptor a una fuente constante de E 3
voltios si la corriente alcanza las 4 partes de su valor de estado permanente en 0.1 segundos. Encontrar L. Rpta :0.721henrios 4
4 10 faradios descarga a través de una 37. Un condensador de capacitancia resistencia de 100ohmnios , si la corriente es 1amperio al final de 0.01 segundos . ¿Cuál era la carga inicial del condensador? ¿Cuánta resistencia debe sacarse del circuito para obtener la mitad de la corriente en el mismo tiempo? Rpta : q 0.0487 coulomb R 2.49ohmnios
38. A un circituto LR en serie en el cual la inductancia es de 0.1 henrios y la resistencia de 50 ohmios, se le aplica una tencion de 30 V. Hallar la corriente en un tiempo t, si I(0)=0. Determine la corriente cuando t→∞.
Rpta: I (t)
3 5
Amperios
39. Un circuito RC en serie, en el cual la resistencia es de 10 ohmios y el condensador de 3 100 t , consideremos Q=0 en un 10 faradios se le aplica una tencion de E 100 e tiempo igual a cero, encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. En que tiempo la carga es máxima, y cual es su valor? E 100 e 100 t
Rpta:
Q (t ) 10te
100 t
I (t) (10 1 000 t)e 100 t Qmax 0.037 C
40. En el siguiente circuito RC lleva inicialmente una carga de 0.03 C y el interruptor se cierra en t=0. Hallar la carga en cualquier instante t y la caída de voltaje atraves de R luego de 10 segundos
Datos: C 3 x103 F Rpta:
Q (t) 0.03e
t /3
V (10) 100 e
10/3
R 10000
