INDICE INTRODUCCION 1.-Historia…………………………………………………… 1.-Historia………………………… ……………………………………………………… ……………………………………5 ………5 2.- Definición………………………..6 2.1.- Características……………6 2.2.- Tipos e !rafos……………" #.-
Representación e !rafos…………$
%.- &p'icación e !rafos…………( %.1.- &p'icaciones a 'a )ioin*enieria %.2.- &p'icación a rees %.#.- &p'icación a 'a In*enieria Econo+ica %.%.5.- Conc',siones………………. 6.- )i'io*rafia
INTRODUCCION
Ho en ia poe+os /er +,c0as cosas ,e nos p,een parecer e 'o +as cotiianas cotiianas carreteras carreteras 'ineas te'efónicas 'íneas e te'e/isión por ca'e e' transporte co'ecti/o +etro circ,itos e'3ctricos e n,estras casas a,to+ó/i'es a,to+ó/i'es tantas cosas +4s 'o ,e no pensa+os frec,ente+ente frec,ente+ente es ,e estos for+an parte e a'*o ,e en +ate+4ticas se eno+ina co+o !R&O7. Un e8e+p'o c'aro e esto son 'as rees e'3ctricas. 7i a caa ,no e estos siste+as 'e ,ita+os ,na resistencia e'3ctrica o por e' contrario 'e ca+ia+os 'a resistencia por ,n conensaor in,a'e+ente estare+os a'terano a'*,nas e 'as f,nciones e' +is+o. Esto nos e+,estra ,e e' ese+pe9o e ,n siste+a esta ínti+a+ente re'acionao con 'as características e s,s co+ponentes. Una for+a +, senci''a e representar ,n siste+a es +eiante ia*ra+as. En este caso e' ia*ra+a ia*ra+a estar4 constit,io constit,io por p,ntos ''a+aos /3rtices o noos :,e representan 'as co+ponentes; por 'íneas 'as c,a'es conectaran a 'os /3rtices sie+pre c,ano e
?a Infor+4tica )ioin*eniería In*eniería Ci/i' In*eniería E'3ctrica &r,itect,ra In*eniería Econo+ía Ta+i3n se ,san 'os *rafos para est,iar 'a estr,ct,ra e ,na Re e Internet. @oe+os eter+inar si os orenaores est4n conectaos o no por ,n en'ace e+p'eano +oe'os e *rafos para rees infor+4ticas. @oe+os ,ti'i=ar *rafos poneraos para reso'/er pro'e+as co+o e' e 0a''ar e' ca+ino +as corto entre os ci,aes en ,na re e transportes. Ta+i3n se p,een ,ti'i=ar 'os *rafos para pro*ra+ar e<4+enes para asi*nar a si*nar cana'es a 'a e+isoras e te'e/isión. @ero antes e aentrarnos en este te+a necesita+os necesita+os conocer ,n poco e 0istoria 0istoria teoría e *rafos ,e nos a,ara a entener +,c0o +e8or 'as ap'icaciones ,e esta tiene.
HISTORIA E' co+ien=o e 'a 0istoria e *rafos se atri,e a' traa8o e ?eon0ar E,'er en 1"#6 sore e' pro'e+a e 'os p,entes e ABni*ser* es consierao e' pri+er res,'tao e 'a teoría e *rafos. Ta+i3n se consiera ,no e 'os pri+eros res,'taos topo'ó*icos en *eo+etría :,e no epene e nin*,na +eia;. Este e8e+p'o i',stra 'a prof,na re'ación entre 'a teoría e *rafos 'a topo'o*ía. E? @RO)?E& DE ?O7 @UENTE7 DE ANI!7)ER! @ara e' a9o 1"#6 'a ci,a a'e+ana e ABni*ser* estaa i/iia por e' rio @re*e' en c,atro re*iones> os ori''as ,na so'a is'a entre e''as ,n se*+ento e tierra. ?as ori''as ) C se encontraan ,nias con 'a is'a & con e' se*+ento tierra D por +eio e siete p,entes co+o en 'a i*.1. i*.1
E' pro'e+a ,e se p'anteaan 'os inte'ect,a'es e 'a 3poca era c,r=ar caa ,no e 'os siete p,entes ,na so'a /e= sin repetir'os. Es entonces c,ano E,'er 'o*ra e ,na for+a s,+a+ente senci''a reso'/er e' pro'e+a enfoc4no'o ese ,n p,nto e /ista +ate+4tico. Ree+p'a=o caa ,na e 'as c,atro re*iones &)CD por ,n p,nto 'os p,entes por 'íneas pro,cieno asi e' pri+er *rafo i*.2. i*.2
Es f4ci' /er ,e no es posi'e atra/esar caa ,na e 'as 'íneas e' *rafo sin repetir por 'o +enos ,na e e''as. !racias a este pro'e+a E,'er 'o*ra ,no e 'os criterios +4s i+portantes en 'a teoría e *rafos> Too *rafo p,ee ser recorrio /o'/ieno a' p,nto a' p,nto e partia si aparte e ser cone
E? @RO)?E& DE ?O7 CU&TRO CO?ORE7 En 1$52 rancis !,t0rie p'anteó e' pro'e+a e 'os c,atro co'ores ,e p'antea si es posi'e ,ti'i=ano so'a+ente c,atro co'ores co'orear c,a',ier +apa e países e ta' for+a ,e os países /ecinos n,nca ten*an e' +is+o co'or. E' +apa si*,iente +,estra ,e tres co'ores no astan> 7i se e+pie=a por e' país centra' a se esf,er=a ,no en ,ti'i=ar e' +enor nF+ero e co'ores entonces en 'a corona a'reeor e a a'ternan os co'ores. ?'e*ano a' país se tiene ,e intro,cir ,n c,arto co'or. ?o +is+o s,cee en i si se e+p'ea e' +is+o +3too.
Este pro'e+a ,e no f,e res,e'to 0asta ,n si*'o esp,3s por Aennet0 &ppe' o'f*an* Haen p,ee ser consierao co+o e' naci+iento e 'a teoría e *rafos. &' tratar e reso'/er'o 'os +ate+4ticos efinieron t3r+inos conceptos teóricos f,na+enta'es e 'os *rafos.
D!"INICION D! GRA"O Un *rafo ! :< E; consta e ,n con8,nto e e'e+entos
#$r%ice En teoría e *rafos ,n /3rtice o noo es 'a ,nia f,na+enta' e 'a ,e est4n for+aos 'os *rafos. Un grafo no dirigido est4 for+ao por ,n con8,nto e /3rtices ,n con8,nto e aristas :pares no orenaos e /3rtices; +ientras ,e ,n grafo dirigido est4 co+p,esto por ,n con8,nto e /3rtices ,n con8,nto e arcos :pares orenaos e /3rtices;.
#$r%ices & grados E' grado de 'n ($r%ice en ,n *rafo es e' nF+ero e aristas incientes a 3'. Un ($r%ice aislado es ,n /3rtice con *rao cero esto es ,n /3rtice ,e no es p,nto fina' e nin*,na arista. Un ($r%ice o)a es ,n /3rtice con *rafo ,no. En ,n *rafo iri*io se p,ee istin*,ir entre *rao e sa'ia :Go,te*reeG nF+ero e aristas ,e sa'en e' /3rtice; *rao e entraa :Gine*reeG nF+ero e aristas ,e ''e*an a' /3rtice; ,n ($r%ice f'en%e es ,n /3rtice con *rao e entraa cero +ientras ,e ,n ($r%ice 'ndido es ,n /3rtice con *rao e sa'ia cero.
Cone*iones de ($r%ices Un ($r%ice de cor%e es ,n /3rtice ,e a' re+o/er'o esconecta a' *rafo restante. Un con8,nto inepeniente es ,n con8,nto e /3rtices ta' ,e nin*,no es aacente a otro ,na coert,ra e /3rtices es ,n con8,nto e /3rtices ,e inc',e 'os p,ntos fina'es e caa arista en ,n *rafo.
Aris%a En teoría e *rafos 'as aristas 8,nto con 'os /3rtices for+an 'os e'e+entos principa'es con 'os ,e traa8a esta iscip'ina sieno consieraas 'as aristas 'as ,niones entre noos o /3rtices :/3ase 'a pri+era fi*,ra;. Us,a'+ente 'as aristas enotan re'aciones entre 'os /3rtices :/ecina 0erencia oren etc.; co+o e8e+p'o se ,san para e'i+itar re*iones en ,n p'ano a partir e ,na n,e e p,ntos :,e serían 'os noos;. ?as aristas no orientaas se consieran iirecciona'es para efectos pr4cticos :e,i/a'e a ecir ,e e
S'+grafo Un s,*rafo e ,n *rafo ! es ,n *rafo c,os con8,ntos e /3rtices aristas son s,con8,ntos e 'os e !. 7e ice ,e ,n *rafo ! contiene a otro *rafo H si a'*Fn s,*rafo e ! es H o es iso+orfo a H :epenieno e 'as necesiaes e 'a sit,ación;. E' s,*rafo in,cio e ! es ,n s,*rafo ! e ! ta' ,e contiene toas 'as aristas aacentes a' s,con8,nto e /3rtices e !. Definición> 7ea !K:J &;. !K:J&; se ice s,*rafo e ! si> 1- J inc',io J 2- & inc',io & #- :J&; es ,n *rafo 7i !K:J&; es s,*rafo e ! para too / P ! se c,+p'e *r :!/;Q *r :! /;
G es 'n s'+grafo de G-
Tipos de grafos. Grafos si/ples-0 Un *rafo es simple si a 'o +4s e
Grafo co/ple%o-0 Un *rafo es completo si e
Grafos +ipar%i%os-0 Un *rafo ! es ipartito si p,ee e #1 & # son is8,ntos no /acíos. Caa arista e & ,ne ,n /3rtice e J1 con ,no e J2. No e
Grafos 2lanos-0 Un *rafo ! es planar si a+ite ,na representación en e' p'ano e ta' for+a ,e 'as aristas no se cortan sa'/o en s,s e
Grafo cone*o-0 Un *rafo se ice ,e es cone
Grafos ponderados-0 ?'a+a+os *rafos poneraos a 'os *rafos en 'os ,e se asi*na ,n n,+ero a caa ,na e 'as aristas. Este n,+ero representa ,n peso para e' recorrio a tra/3s e 'a arista. Este peso por4 inicar por e8e+p'o 'a istancia e' costo +onetario o e' tie+po in/ertio entre otros. Deni+os 'a 'on*it, e ,n ca+ino en ,n *rafo ponerao co+o 'a s,+a e'os pesos e 'as aristas e ese ca+ino.
A23ICACI4N D! GRA"OS !N 3A ING!NI!RIA IN"OR5ATICA R'%eo Geo/$%rico Aplicado a las Redes de Co/p'%adoras Una e 'as características principa'es e 'as rees e co+p,taoras es e' interca+io e infor+ación ,e se ''e/a a cao entre 'as +4,inas ,e 'as co+ponen. ?a infor+ación ,e se esea trans+itir est4 i/iia en +ensa8es estos a s, /e= en pa,etes. ?os pa,etes son 'os ,e se trans+iten per+iten 'a rec,peración e 'a infor+ación por +eio e ,n proceso e ensa+'e. @ara en/iar ,n pa,ete ese ,na +4,ina ori*en a otra estino se necesita e ,n &'*orit+o e R,teo. E' a'*orit+o e r,teo es ,n softSare ,e se encar*a encontrar e' ca+ino e
&' ise9ar a'*orit+os e r,teo e' pro*ra+aor ee percatarse e ,e posea 'as si*,ientes propieaes> corrección senci''e= ro,ste= e,itati/ia opti+a'ia. ?a corrección es necesaria por,e ,n a'*orit+o ,e posea errores con,ce a ,n +a' f,nciona+iento e 'a re. ?a senci''e= es i+portante eio a ,e est4 ínti+a+ente 'i*aa con i+p'e+entaciones e 'os a'*orit+os e r,teo eficientes. ?as rees e co+p,taoras est4n s,8etas a ca+ios. Dic0os ca+ios p,een s,r*ir por 'a nat,ra'e=a e 'a re co+o por e8e+p'o 'os ca+ios constantes e topo'o*ías en ,na re +ó/i' +a' f,nciona+iento e 'os e,ipos :r,teaores ser/iores entre otros; fa''os en 'os s,+inistros e ener*ía ,e i+posii'itan e' en/ío recepción e pa,etes. Un a'*orit+o e r,teo ro,sto ser4 capa= e aaptarse a estos ca+ios sin re,erir acciones e
!(ol'ción de la Ar6'i%ec%'ra del !(al'ador & tra/3s e 'a e
7 ?a incorporación e a'*orit+os e r,teo se rea'i=aa con cierta faci'ia. 7 ?a incorporación e +3tricas res,'tó ser +4s co+p'e8a. E' poseer ,n Fnico +ó,'o para 'as +3tricas 0ace ,e 'as estr,ct,ras e atos a'*orit+os necesarios para 'a i+p'e+entación e 'os procei+ientos e e/a',ación se +e=c'en transfor+4nose ic0o +ó,'o en ,n pro*ra+a *rane ,e co+ina conceptos iferentes. 7 ?os tipos e *rafos 'i+itaan e' est,io. E' e/a',aor *enera *rafos a'eatorios ,ti'i=ano os t3cnicas> !eneración e *rafos a'eatorios con asi*nación e proai'iaes !eneración e !rafos &'eatorios por C4'c,'o e Distancia entre 'os noos. 7i ien e' est,io e esta c'ase e *rafos es i+portante 'as n,e/as tenencias e a'*orit+os e r,teo no f,ncionan para este tipo e *rafos por 'o ,e es necesario consierar 'a posii'ia e ,e e' e/a',aor per+ita *enerar iferentes c'ases e *rafos. Estas oser/aciones con,cen a' ca+io e 'a ar,itect,ra ori*ina' e' e/a',aor por 'a presentaa en 'a fi*,ra 1>
E' e/a',aor posee 'as f,nciona'iaes ori*ina'es ae+4s rina 'a posii'ia e pro/eer a'*orit+os ,e e/a'Fen +3tricas *eneren istintas c'ases e *rafos :'as c,a'es p,een ser /is,a'i=aos por +eio e 'a interfa= *r4fica e' e/a',aor; ae+4s per+ite confi*,rar 'os a'*orit+os para s, e/a',ación. Con esta +oificación ar,itect,ra' se 0i=o posi'e 'a incorporación no só'o e a'*orit+os sino ta+i3n e +3tricas c'ases e *rafos con cierta faci'ia.
Algori%/os de R'%eo ?os a'*orit+os e R,teo !eo+3trico a iferencia e 'os traiciona'es ,ti'i=an pocos rec,rsos poseen 'as si*,ientes características> i; Infor+ación 'oca'> en caa noo só'o se conoce 'a posición e s,s /ecinos ii; e+oria 'i+itaa> só'o se rec,era ,n nF+ero constante e noos a /isitaos así co+o 'as coorenaas e' ori*en e' estino iii; Eco'ó*ico> no se per+ite e8ar +arcas en 'os noos /isitaos i/; Decisiones 'oca'es> 'a e'ección e' ca+ino a se*,ir en caa noo se asa e
en 'a infor+ación 'oca' a'+acenaa en e' noo en 'a infor+ación ,e ''e/a e' o8eto ,e recorre e' ca+ino :e ta+a9o constante;. Un e8e+p'o e este tipo e estrate*ia e r,teo es e' R,teo Jora=. Este a'*orit+o per+ite en/iar pa,etes entre ,n noo ori*en otro estino en rees one 'a topo'o*ía es esconocia parcia' o tota'+ente co+o es e' caso e 'as rees +ó/i'es. 7,pon*a ,e e' noo s esea en/iar ,n pa,ete a' noo t. s so'o conoce 'a 'as coorenaas e s,s /ecinos e' estino. E' R,teo Jora= en/ía e' pa,ete a' /ecino e s ,e +ini+i=a 'a Distancia E,c'iiana con e' noo estino e' pa,ete. C,ano +4s e ,n noo se enc,entran a 'a +is+a istancia 0acia e' noo estino e' R,teo Jora= se'ecciona ,no e e''os a' a=ar. ?a fi*,ra 1 +,estra co+o actFa 'a f,nción e se'ección e' pró
7i ien e' R,teo Jora= es ,na estrate*ia si+p'e presenta e' incon/eniente e s,poner ,e e' *rafo s,acente es p'ano ae+4s no sie+pre enc,entra e' ca+ino entre ,n noo ori*en otro estino.
!l Grafo Unidad En 'as rees ina'4+ricas +ó/i'es caa noo tiene ,n raio e a'cance. De esta for+a os noos est4n conectaos si a+os se enc,entran entro e s, raio e trans+isión. or+a'+ente esta topo'o*ía p,ee ser escripta co+o ,n *rafo !K:@R; conocio con e' no+re e !rafo Unia 11 one representa 'a istancia e,c'iiana e' c,a' se efine e 'a si*,iente +anera> @K L < V < es ,n noo e 'a reM RK L:<; V E r W R X r es ,n raio e a'cance Y < W @ Y W @ Y :<; Z rM En 'a fi*,ra 2 se +,estra ,n *rafo ,nia e 1 noos co+o se p,ee oser/ar esta c'ase e *rafos no es p'ana :'os arcos se cr,=an;. i*,ra 2> !rafo Unia
7i ien e' +oe'o presentao por e' *rafo ,nia representa aec,aa+ente a 'as rees ina'4+ricas +ó/i'es no es posi'e s, ,ti'i=ación c,ano e' a'*orit+o e r,teo s,pone ,e e' *rafo s,acente es p'ano 121#15. ?os *rafos e !arie' Jecina Re'ati/a an ,na so',ción a este pro'e+a a ,e estos son p'anos p,een ser eri/aos a partir e' *rafo ,nia a tra/3s e ,n proceso e p'anari=ación. En 'as secciones si*,ientes se escrie 'a for+a en ,e caa ,no e estos *rafos p,ee ser otenio.
!l Grafo de Ga+riel Un !rafo e !arie' :!!; es a,e' en one 'os noos ,e se conectan c,+p'en con 'a si*,iente restricción> Un arco :,/; e [ S \ , /> 2:,/; ] 2:,S; ^ 2:/S; :1; Este *rafo p,ee ser otenio a partir e' *rafo ,nia e'i+inano 'os arcos ,e no c,+p'en con 'a restricción :1;. ?a e'i+inación e estos arcos no p,ee esconectar e' *rafo a ,e ,n arco :,/; se e'i+ina c,ano e !rafo e !arie'
!l Algori%/o de R'%eo #ora8 E' a'*orit+o e r,teo /ora= propone ,na for+a e en/iar ,n pa,ete ,e intenta +ini+i=ar e' ,so e a'+acena+iento. Este a'*orit+o traa8a e 'a si*,iente for+a> ese ,n /3rtice inicia' s se esea /ia8ar 0asta ,n /3rtice estino en ,n *rafo *eo+3trico p'ano. ?a infor+ación isponi'e en caa noo es 'oca' só'o se conoce 'as coorenaas e' p,nto 'as e s,s /ecinos in+eiatos en e' *rafo. C,ano se a'can=a ,n noo / continFa por e' noo /ecino , e / ,e +ini+i=a 'a istancia con e' noo estino . En caso e i*,a'a ,no e 'os noos se e'i*e aritraria+ente. Un pse,ocói*o para e' a'*orit+o e r,teo /ora= es e' si*,iente>
?as f,nciones>
7 a'ta:l, o; incorpora e' noo o a' *rafo 'inea' l . 7 /ecinos:o; retorna e' con8,nto e /ecinos e' noo o. 7 +ini+aDistancia:V, d ; retorna e' noo e' con8,nto V c,a istancia 0acia e' noo estino d es +íni+a. !*periencias & Res'l%ados O+%enidos Hasta e' +o+ento se rea'i=aron e _ !enerar n !rafos e !arie' con + noos en for+a a'eatoria. _ &p'icar ,n a'*orit+o e r,teo *eo+3trico e' a'*orit+o e Di8stra sore 'os noos e' *rafo *enerao ca'c,'ar 'a cantia e en'aces e
#isión de "'%'ro E' *r,po e traa8o en !eo+etría Co+p,taciona' e 'a UN7? con asesora+iento e ocentes e 'a U@ io inicio a ,n proecto e in/esti*ación con8,nto con e' o8eti/o principa' e conso'iar 'a 'ínea e traa8o en 'a UN7? aportano n,e/os enfo,es t3cnicas a'*orít+icas a 'as 'íneas e in/esti*ación a esta'ecias en s, Departa+ento e Infor+4tica. Co+o parte e esta 'ínea e in/esti*ación esarro''o se presentaron 'os a/ances rea'i=aos en e' est,io e' +oe'ao e rees +ó/i'es 'os a'*orit+os e r,teo conceios entro e' ca+po e 'a !eo+etría Co+p,taciona'. ?as in/esti*aciones rea'i=aas 0asta e' +o+ento inican ,e si ien e' co+porta+iento e estas estrate*ias e r,teo es acepta'e se necesitan otras +4s ro,stas. Esta ific,'ta per+ite e' esarro''o e iferentes traa8os e in/esti*ación ,e an ori*en a tesis e +aestría octora'es ,e tratan sore 'a a,to+ati=ación e' proceso e e/a',ación e a'*orit+os e r,teo creación e n,e/os +oe'os para rees +ó/i'es n,e/as estrate*ias e r,teo siste+as e 'oca'i=ación e noos $ para faci'itar 'a ap'icación e estrate*ias e r,teo.
A23ICACI4N D! GRA"OS !N 3A 9IOING!NI!RIA Aplicación de la Teoría de Grafos al An:lisis de la Ac%i(idad !l$c%rica del Cere+ro El cerebro humano es considerado uno de los objetos más complejos que existen. El entendimiento de su funcionamiento podría ser muy benecioso en muchos campos como la medicina y la bioingeniería. Saber como relaciona la actividad eléctrica de las neuronas corticales y las funciones cerebrales superiores como las emociones la memoria etc. !a llevado a desarrollar diferentes técnicas para su estudio. En este artículo se anali"a la actividad eléctrica del cerebro con el prop#sito de distinguir entre distintos estados mentales. $ara ello se aplica la teoría de grafos la cual consiste en el análisis matemático de diversas representaciones grácas de redes. %a se&al que se anali"# es el registro de un electroencefalograma 'EE() obtenido de una base de datos. *urante el registro la persona trata de controlar el movimiento vertical de un cursor que se despla"a sobre la pantalla de una computadora. Se observ# que el valor medio del coeciente de agrupamiento del grafo tiene menor variabilidad al igual que el desvío estándar con el entrenamiento.
1- 5a%eriales & 5$%odos 1-1- Ad6'isición de las se;ales de !!G ?as se9a'es ,ti'i=aas para rea'i=ar este an4'isis f,eron 'as proporcionaas por &'an a 'a ase e atos [)CI Co+petition 2#[. ?as se9a'es corresponen a re*istros e 'a acti/ia e'ectroencefa'o*r4fica e tres personas ,rante ie= ías en sesiones iarias e # +in,tos e ,ración. Caa sesión consistió e 6 re*istros separaos por 1 +in,to e escanso caa re*istro e #2 tria's. E' parai*+a ,ti'i=ao es 'a +o,'ación e' rit+o :+,; Vo e' rit+o b :eta;. @ara e' re*istro e 'a se9a' 'a persona se rec'ina en ,na si''a e frente a ,na panta''a se 'e pie ,e no se +,e/a. 7ore e' c,ero cae'',o se 'e co'ocan 6% e'ectroos caa ,no conectao a ,n cana' e re*istro con 'a confi*,ración prop,esta por 70arro,*0 en 1((1 :i*,ra 1;. ?a referencia se co'oca en e' 'ó,'o e 'a ore8a erec0a. Caa cana' presenta ,na a+p'ificación e 2. ,n fi'tro ana'ó*ico pasa ana e .1-6 H=. ?a se9a' ',e*o se i*ita'i=a con ,na frec,encia e +,estreo e 16H= es a'+acenaa i*ita'+ente. "ig'ra 1- Uicación e 'os e'ectroos prop,esta por 70arro,*0.
1-- !s%í/'lo (is'al ?os re*istros e EE! se a,irieron ,rante sesiones e entrena+iento ,e consistieron en contro'ar +eiante se9a'es e EE! e' +o/i+iento /ertica' e ,n o8eto ,e se esp'a=a sore ,na panta''a. E' protoco'o e re*istro f,e e' si*,iente> :1; D,rante ,n se*,no 'a panta''a se +ant,/o en 'anco. :2; Un
se*,no +4s tare aparece ,no e c,atro posi'es o8eti/os en e' ore erec0o e 'a panta''a. ?os o8eti/os se ,ican en posiciones fi8as e,iistantes sore 'a panta''a co+o se +,estra en 'a :i*,ra 2;. :#; Un se*,no +4s tare e' c,rsor aparece en 'a +ita e' 'ao i=,iero e 'a panta''a co+ien=a a esp'a=arse 0acia e' 'ao erec0o a /e'ocia constante. E' perioo e tie+po ,rante e' c,a' 'a persona e8erce contro' sore e' c,rsor es e # se*,nos :i*,ra #;. ?a persona tiene co+o +eta contro'ar e' +o/i+iento /ertica' e' c,rsor con e' o8eto e ''e*ar a' o8eti/o. @ara e''o se a'+acenaron 'os F'ti+os 2 +s e 'os cana'es 1 2 # ,e se ,ican sore 'a porción e' cr4neo corresponiente a 'a corte=a sensorio+otora e' cerero. Estos cana'es tienen co+o referencia ,na eri/ación ?ap'aciana. & 'os +is+os se 'es ap'icó ,n a'*orit+o a,to-re*resi/o para eter+inar 'a a+p'it, e 'a se9a' en 'a ana )eta e frec,encia. De 'os re*istros otenios e 'a ase e atos só'o se ana'i=aron 'os corresponientes a 'os o8eti/os 1 2 pertenecientes a ,na so'a persona.
1-<- Teoría de Grafos Un *rafo es ,na representación *rafica e ,na re. E' +is+o est4 co+p,esto por ,n con8,nto e /3rtices o noos ,n con8,nto e ra+as 'a presencia e ,na ra+a entre os /3rtices inica 'a e Grado de Vértice> es e' nF+ero tota' e ra+as ,e se conectan a ,n /3rtice i. @or 'o tanto ,n noo i con *rao est4 conectao con otros /3rtices. Coeficiente de agrupamiento> ao ,n noo i con ,n *rao se ''a+a coeficiente e *r,po e' noo i a Ci ,e se efine co+o 'a re'ación entre 'a cantia e ra+as ,e e
Us,a'+ente se rea'i=a ,n pro+eio e toos 'os Ci e ,n *rafo otenieno ,n ínice C :coeficiente e a*r,pa+iento; e' *rafo.
Done N inica e' nF+ero tota' e noos en e' *rafo. 1-=- 2rocesa/ien%o de las se;ales de !!G e i/ple/en%ación E' procesa+iento e 'a se9a'es e EE! 'a otención e ,n *rafo se rea'i=aron con e' softSare at?a :SSS.+at0Sors.co+;. & 'a se9a' i*ita'i=aa a'+acenaa se 'e ap'icó ,n fi'tro i*ita' pasa-ana ),tter e 1 t3r+inos c,a ana e paso correspone a 1%-#H= :frec,encias e ona eta;. ?,e*o se proceió a se*+entar e' re*istro en 'as partes pertenecientes a caa o8eti/o a8o an4'isis. & s, /e= a 'os re*istros corresponientes a caa +o/i+iento se 'os /o'/ió a se*+entar en inter/a'os e 6 +,estras caa ,no :#"5 +se*; sin so'apa+iento.
@ara efectos e i+p'e+entar 'a teoría f,e necesario constr,ir ,n *rafo a partir e 'as se9a'es e EE!. @ara e''o se i/iió a' re*istro en inter/a'os orenaos e 6 +,estras caa ,no sin so'apa+iento ',e*o para caa inter/a'o se constr,ó ,na +atri= e corre'ación entre 'os re*istros otenios por 'os istintos cana'es e a,isición. Caa se cana' se correspone con ,n /3rtice e' *rafo si 'a corre'ación entre 'os re*istros e os cana'es s,pera e' /a'or e referencia se co'oca ,na ra+a entre e''os ( 1. En este traa8o se ,ti'i=ó ,n /a'or e referencia e .$5 e +oo ,e 'a +atri= e corre'ación p,ee interpretarse co+o ,na +atri= e aacencia /3rtice-/3rtice. ?,e*o se proceió a se*+entar 'a +atri= e aacencia en 5 para otener 5 s,-*rafos. En esta se*+entación se t,/o en c,enta ,n criterio topo'ó*ico e' cr4neo a ,e se 'o i/iió en 5 4reas con so'apa+iento entre sí :i*,ra %;. & caa s,-+atri= e aacencia corresponiente a caa s,-*rafo se 'e ap'icaron istintos a'*orit+os ise9aos para ca'c,'ar e' *rao e 'os /3rtices e' coeficiente e a*r,pa+iento.
- Res'l%ados En 'a i*,ra 5 se 0a *raficao e' /a'or +eio e C s, es/ío est4nar para e' +o/i+iento 1 corresponientes a caa 4rea a8o an4'isis a caa ía e re*istro. 7e oser/a ,e en 'as 4reas 1 2 5 e' /a'or +eio e C s, es/ío est4nar tienen a is+in,ir s, /ariai'ia con e' transc,rso e 'os ías. En 'a i*,ra 6 se 0a *raficao para e' +o/i+iento 2 e' /a'or +eio e C s, es/ío est4nar para caa 4rea para caa ía e re*istro. Ta+i3n se p,ee oser/ar ,e para 'as 4reas 1 2 5 'as es/iaciones est4nar tienen a is+in,ir con e' transc,rso e 'os ías e entrena+iento.
"ig'ra >- Ja'or e' coeficiente e a*r,pa+iento en f,nción e' tie+po. E' o8eti/o ,rante este re*istro f,e e' o8eti/o 1. ?a 'ínea e co'or a=,' representa e' /a'or +eio e' coeficiente C ca'c,'ao a partir e %$ re*istros por ía. ?as 'íneas en co'or ne*ro representan e' es/ío est4nar. En 'a parte s,perior e caa co',+na se inica
e' ía corresponiente a' re*istro. ?os nF+eros en 'a parte i=,iera inican e' 4rea e 'a cae=a en 'a c,a' se rea'i=ó e' c4'c,'o e C.
<- Disc'sión En 'a i*,ra 5 se *raficó para e' +o/i+iento 1 e' /a'or +eio e C s, corresponiente es/ío est4nar para caa 4rea en f,nción e 'os ías e entrena+iento e 'a persona. 7e nota ,e para 'as 4reas 1 2 5 'as *raficas tienen a estai'i=arse en ,n /a'or ,rante e' re*istro c,ano 'as personas est4n +4s entrenaas. En 'a i*,ra 6 se *raficó 'o +is+o ,e en 'a i*,ra 5 pero para e' +o/i+iento 2. En e''a se p,ee oser/ar n,e/a+ente ,e para 'as 4reas 1 2 5 'os es/íos est4nar e' /a'or e C tienen a is+in,ir acerc4nose a' /a'or +eio e C. @ara a+os +o/i+ientos esto poría s,*erir os cosas> a; ,e 'os *r,pos e ne,ronas cortica'es pertenecientes a 'as 4reas 1 2 5 est4n in/o',craas en e' contro' e' +o/i+iento e' c,rsor ,e con +aor entrena+iento 'as escar*as ne,rona'es se 0acen +4s eficiente para e' +ane8o e' c,rsor. Esto F'ti+o se ref'e8aría con 'a tenencia e C a estai'i=arse is+in,ir s, ispersión en f,nción e 'os ías. ; ,e 'as 4reas 1 2 5 no est4n in/o',craas en e' contro' e' c,rsor por 'o ,e con +aor entrena+iento 'a /ariación e C is+in,e en esas 4reas ano ',*ar a ,e e' contro' e' c,rsor se rea'ice con 'as 4reas # %. Una e estas 0ipótesis es proa'e+ente cierta 'a otra no. Una estrate*ia para i',ciar esta c,estión poría ser 'a corre'ación entre n,estros res,'taos 'os otenios con +apas f,nciona'es e' cerero otenios por ne,roi+a*en. ?a ne,roi+a*en es ,na t3cnica ,e per+ite e
=- "inalidad ?a ap'icación e 'a teoría e *rafos a' an4'isis e 'a se9a' e EE! per+itió reconocer 2 4reas cortica'es ,e poseen istintos co+porta+ientos ,rante e' re*istro e 'a se9a'. Un 4rea co+p,esta por 'as s,4reas 1 2 5 :antes efinias; en one 'os /a'ores +eios e C s,s es/iaciones est4nar tienen a
estai'i=arse is+in,ir s, /ariación en f,nción e 'os ías e entrena+iento. Una se*,na 4rea co+p,esta por 'as s,-4reas # % one 'os /a'ores e C per+anece in/ariante con 'os ías e entrena+iento. ?a tarea peniente re,na en ana'i=ar +4s específica+ente e' co+porta+iento e 'os *r,pos ne,rona'es en estas os 4reas c,ano e' ini/i,o trata e contro'ar e' +o/i+iento /ertica' e ,n c,rsor ,e se esp'a=a sore 'a panta''a e ,na co+p,taora. A23ICACI4N D! GRA"OS !N 3A ING!NI!RIA !CONO5ICA Aplicación de la Teoría de Grafos para /e)orar la planificación de r'%as de %ra+a)o de 'na e/presa del sec%or de la dis%ri+'ción a'%o/:%ica En 'a act,a'ia 'a *estión e r,tas es ,n aspecto f,na+enta' en 'as e+presas c,a acti/ia se asa principa'+ente en e' transporte a ,e s,pone e'e/aos costes e car,rantes +ano e ora etc. En este artíc,'o se est,ia e' caso e 'a e+presa 7e+acaf 4,inas e Caf3 7.?. perteneciente a' sector e 'a istri,ción a,to+4tica ,e ,iere e/a',ar 'a efecti/ia e s, po'ítica act,a' e r,tas co+parar'a con 'a po'ítica opti+a otenia +eiante 'as ap'icaciones infor+4ticas !rafos R,tas asaas en a'*orit+os pertenecientes a 'a Teoría e !rafos. En este traa8o se ap'ica e' a'*orit+o e' @ro'e+a e' Jia8ante ,e se aapta a 'as características e' pro'e+a e 'a e+presa ,e c,+p'e 'os o8eti/os e +ini+i=ar 'os costes anterior+ente +encionaos así co+o e e/a',ar 'a po'ítica act,a' e *estión e r,tas e 'a e+presa. 1 Herra/ien%as prop'es%as En este traa8o se 0an ,ti'i=ao os 0erra+ientas para 'a otención e 'a r,ta ópti+a> Grafos Rutas. ?a 0erra+ienta Grafos es ,n softSare esarro''ao por Rorí*,e= Ji''a'oos :2$; para 'a constr,cción eición an4'isis e *rafos. &arca toa c'ase e pro'e+as re'acionaos con 'a Teoría e !rafos otras iscip'inas re'acionaas co+o 'a in*eniería e or*ani=ación in,stria' 'a 'o*ística e' transporte in/esti*ación operati/a ise9o e rees etc. por 'o ,e se p,ee ,ti'i=ar para e' +oe'ao reso',ción e pro'e+as rea'es. ?a 0erra+ienta Rutas :Rorí*,e=-Ji''a'oos 2$; per+ite capt,rar a'+acenar +anip,'ar ana'i=ar esp'e*ar /is,a'+ente en ,n +apa 'a infor+ación *eo*r4fica+ente intro,cia ,e ser/ir4 posterior+ente para reso'/er ,na parte e' pro'e+a p'anteao. E' o8eti/o e esta ap'icación es e' esarro''o e ,na 0erra+ienta infor+4tica e características profesiona'es ,e per+ita 'a reso',ción e pro'e+as rea'es e f'otas e /e0íc,'os capacitaos o CJR@ :Capacitated Vehicle Routing Prolems; e' c4'c,'o e r,tas s, *estión. &'*,nos e8e+p'os e s,s posi'es ap'icaciones son> 'oca'i=ación e c'ientes centros e tr4nsito a'+acenes c4'c,'o *estión e istancias tie+pos costes e transporte *estión e f'otas e /e0íc,'os re,cción e costes tie+pos e transporte e
precios e' car,rante en e' perioo est,iao :enero ferero +ar=o e 2"; a,n,e act,a'+ente 3stos se 0an incre+entao en ,n #` apro
5!DIA ANUA3 D! 3OS 2R!CIOS D! 3OS CAR9URANT!S-
-1 2lanificación ac%'al de las r'%as de %ra+a)o de la e/presa ?a p'anificación act,a' e 'as r,tas e traa8o epene e ,nos factores +, i+portantes> 'oca'i=ación e' c'iente cons,+o +ens,a' tipo e +4,ina. @osterior+ente e' operario rea'i=a ca+ios en esta r,ta as4nose en ,nos criterios pre/istos ,e an ',*ar a 'a r,ta rep'anificaa> 8ornaa 'aora' e 'os c'ientes +eia +ens,a' e cons,+o ,icación e 'as +4,inas i+ensión e 'a posición a+p'iación e' nF+ero e +4,inas insta'aas en ,n +is+o c'iente +oificación e 'a capacia e 'a +4,ina n,e/a 'ínea e ne*ocio e 'a e+presa perioo e ca,cia e 'os pro,ctos etc. 7in e+ar*o e
- 2rop'es%a de /e)ora & partir e 'a 0erra+ienta Rutas se otienen 'as +atrices DistanciaG :+; Tie+poG :+in;. Estas faci'itan 'a otención e ,na tercera +atri= CostesG :P; ,e es f,nción e 'as os anteriores +eiante 'a si*,iente fór+,'a> f K 'm dCu ^ t dCm ^ C(riutos :1; Co+o p,ee oser/arse e
'mi)> istancia en + e' noo i a' noo ). Cu. se otiene e 'a si*,iente for+a> en pri+er ',*ar se ca'c,'a 'os 'itros ,e cons,+e e' /e0íc,'o a'
recorrer ,n + :PV+; en se*,no ',*ar se ca'c,'a e' precio +eio e' *asó'eo ,rante e' perioo est,iao. ti)> istancia en +in,tos e' noo i a' noo ) . Cm. para ca'c,'ar este coste 0a sio necesario conocer e' tota' an,a' e 0oras traa8aas por e' operario :0oras orinarias esta'ecias por e' con/enio e
Dese e' p,nto e /ista e 'os costes Grafos proporciona ,n tota' e 16 /a'ores +íni+os. Esto si*nifica ,e e 'as /einte 8ornaas iarias ana'i=aas ,e co+ponen caa +es est,iao :7e+ana 1?,nes ó 71-?… 7e+ana %-Jiernes ó 7%-J; 'a ap'icación 0a otenio en iecis3is e 3stas costes +íni+os ópti+os. @or tanto e' coste *'oa' e esta r,ta is+in,e ao ,e se repite 'a +is+a sec,encia e /isitas ,rante 'a pri+era tercera se+ana ,rante 'a se*,na 'a c,arta se+ana para toos 'os +eses ana'i=aos. Estos res,'taos co+paraos con e' Fnico /a'or +íni+o ,e 0a *enerao 'a r,ta inicia' confir+an ,e 'as sec,encias pro/istas por ic0a ap'icación a,an a re,cir e' coste a 'a e+presa. ?a iferencia entre 'os /a'ores +íni+os otenios frente a 'os +4
?as fi*,ras anteriores +,estran os r,tas a si+p'e /ista si+i'ares a,n,e a' oser/ar 'a sec,encia se aprecia 'a iferencia. ?a i*,ra # +,estra 'a r,ta inicia' fi8aa por 'a e+presa ''e/aa a cao por e' operario ,rante 'a 8ornaa esco*ia 'os res,'taos otenios en e' an4'isis f,eron 'os si*,ientes> istancia e $" + tie+po e esp'a=a+iento efecti/o esti+ao e 1" +in,tos coste e 'a r,ta e 2#2 P. ?a i*,ra % +,estra 'a sec,encia otenia para 'a +is+a 8ornaa tras 0aer ap'icao e' a'*orit+o e' @ro'e+a e' Jia8ante. & contin,ación se res,+en 'os res,'taos otenios> istancia e "%6 + tie+po e esp'a=a+iento efecti/o esti+ao e $( +in,tos coste e 'a r,ta e 1"6# P. Una
/e= ,e se 0an est,iao toas 'as r,tas a,n,e se o+itan por ra=ones e espacio se oser/a ,e si*,ieno 'a +is+a r,ta pero ca+iano 'a sec,encia e /isitas a 'os c'ientes se consi*,e ,n a0orro en coste tie+po istancia recorria. < Res'l%ados ?a ap'icación Grafos 0a opti+i=ao 'a r,ta inicia' a tra/3s e' ca+io e 'a sec,encia e /isitas p'anteaa en 'a r,ta inicia' e+ostrano ,e p,ee +e8orarse ic0a r,ta +eiante e' a'*orit+o e' pro'e+a e' /ia8ante ,ti'i=ano 'os tres factores ana'i=aos en este traa8o :i'ó+etros tie+po coste en P;. &sí 0a poio e+ostrarse ,e 'a *estión e r,tas es ,na e 'as 4reas e *estión e 'a e+presa ,e per+ite re,cir costes si se opti+i=an efica=+ente. Una e 'as ,ti'iaes e 'as iferencias entre 'os /a'ores +íni+os +4 tener ,n operario ,e atiena 'as inciencias ,e s,r8an ,rante ,na 8ornaa es/i4nose e 'a r,ta o contratar ,n t3cnico para 'os a/isos e/itano ,e e' operario se es/íe e 'a r,ta inicia' p'anificaa. &,n,e 'os res,'taos otenios con 'as r,tas inicia'es e+,estran ,e 'a *estión e r,tas e 'a e+presa era efecti/a sería positi/o ,e esta se p'antease 'a posii'ia e rea8,star 'as r,tas inicia'es en f,nción e 'os res,'taos otenios con Grafos para opti+i=ar'as a ,e e' siste+a prop,esto faci'itaría a 'a e+presa poer p'anificar n,e/as r,tas o a9air n,e/os c'ientes a 'as r,tas e
