Trabajo de Elementos de Seccion Variable

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ

INGENIERIA CIVIL

ANALISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS DE SECCIONES VARIABLES VARIABLES ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE No siempre es posible o conveniente ampliar el sistema de coordenadas para los elementos de sección variable, tal es el caso de los elementos con una variación cont contin inua ua en sus sus prop propie ieda dade des, s, como como los los most mostra rado doss en las las foto fotoss y gur guras as a contin continua uació ción, n, para para estos estos resul resulta ta má máss conven convenien iente te calcu calcular lar los coeci coecient entes es de rigidez de la barra.

Pórticos metálicos con barras e sección !ariable RELACION ENTRE LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ DE BARRAS DE SECCION VARIABLE

ANALIS ESTRUCTURAL I


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Nótese que en la gura anterior se ha denido un nuevo termino, el factor de transpor transporte te (ft1 ! ft1". #os factores de transporte serán de utilidad para el m$todo de %ross, para el &$todo de 'igidez no son de mucha utilidad. #os factores de transporte, asociados con los grados de libertad de rotación de una barra, se denen del siguiente modo

)eorema )eorema de de *+))

+l resultado anterior conrma que los coecientes de rigidez de una barra son sim$tricos (-i/-i" y además proporciona la relación básica entre los coecientes de rigidez y los factores de transporte. 0ara una barra de sección constante, sin deformaciones por cortante, se tiene

COEFICIENTES DE RIGIDEZ DE BARRAS DE SECCION VARIABLE: VARIABLE: +isten muchos m$todos para calcular los coecientes de rigidez de una barra de sección variable (2rea de &omentos, 3iga conugada, 4nalog5a de la %olumna, etc." en esencia son variaciones de los mismos conceptos centrales .0ara el calculo de la rigidez al giro de barras de sección variable. 6no 6no de los los m$ m$to todo doss má máss gene genera rale les, s, para para una una viga viga de se secc cció ión n varia variabl ble, e, sin sin desplazamientos relativos entre sus etremos es el siguiente

a" 7e calcula la matriz de 8eibilidad 8eibilidad

de la barra para el sistema q ! d (en

este caso el sistema consiste consiste en las rotaciones rotaciones medidas medidas en los etremos etremos de la barra". 0ara el calculo de esta matriz conviene usar trabao virtual , en este caso fuerzas virtuales

#os coecientes de de la barra, las deformaciones por cortante, son


8eibilidad ignorando


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#a 9nica complicación que puede eistir en el cálculo de las integrales, radica en la compleidad de la variación del momento de inercia a lo largo de la barra (("". +n los casos en los cuales no sea posible una solución cerrada de la integral se debe emplear alguno de los momentos de integración num$rica (rectángulos, trapecios, parábolas, etc.". b" 7e invierte la matriz de 8eibilidad calculada en el paso anterior para hallar la matriz de la rigidez de barra.

4 continuación y a manera de eemplo, se muestran dos gracas (adaptadas de :hite" en las cuales se muestran los coecientes de rigidez al giro y los factores de transporte de una barra de sección variable. #a barra tiene una variación s9bita de su sección transversal al centro de tramo. 0ara la construcción de las gracas se han considerado 9nicamente deformaciones por 8eión.

Coe"cientes e ri#ie$ al #iro trans&orte

%actores e

#as gracas a continuación muestran los coecientes de rigidez al giro y los factores de transporte de una barra de sección variable. #a variación de la inercia de la barra a lo largo de su longitud es tal como se muestra en la gura que antecede alas gracas, el ancho de la barra es constante. 7e han considerado 9nicamente deformaciones por 8eión.



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RIGIDEZ AL GIRO MODIFICADA +n los casos en los cuales se desea ignorar algunos de los gdl de rotación en los apoyos de los etremos de viga y en los apoyos articulados de pórticos, es necesario modicar la rigidez al giro de la barra. +n la deducción que se presenta, se supone que se conoce la matriz de rigidez en el sistema q! d indicado a continuación

7uperposición 0ero %omprobemos los resultados aplicando la ecuación anterior a una barra de sección constante

COEFICIENTES DE RIGIDEZ  BARRAS CON DES!LAZAMIENTO RELATIVO 7i hay desplazamientos relativos entre los etremos, entonces es necesario ampliar el sistema q ! d de las barras para incluir los mencionados desplazamientos.



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+n la deducción que se presenta, se supone que se conoce la matriz de rigidez en el sistema q ! d indicado a continuación

7e desea calcular las fuerzas de etremo de barra que se producen por un desplazamiento relativo en los apoyos

7uperposición de desplazamientos

#as cortantes en la barra se pueden calcular por equilibrio de la misma a partir de los momentos &1 y & con los cortantes, y haciendo , se podrán calcular los coecientes ;<< y ;==. %omprobemos los resultados aplicando la ecuación anterior a una barra de sección constante

7i se hace , entonces obtendremos los coecientes de rigidez de la barra ;1=/>&1 y ;=/>& RIGIDEZ !ARA BARRAS CON ME!OTRAMIENTO DESLIZANTE +n la deducción que se presenta, se supone que se conoce la matriz de rigidez en el sistema q ! d indicado a continuación



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Nota ;11 y ft1 deben calcularse para el doble de la longitud de la barra (l".%omprobemos los resultados aplicando la ecuación anterior a una barra de sección constante MOMENTOS DE EM!OTRAMIENTO EN BARRAS DE SECCION VARIABLE +isten numerosos m$todos para calcular los momentos de empotramiento de una barra de sección variable, todos son en esencia variaciones de los mismos conceptos. 0ara el calculo de los momentos de empotramiento se puede usar el m$todo de 8eibilidad tomando como redundantes las fuerzas (cortante y momento"en uno de los empotramientos .4 continuación se muestra la secuencia necesaria para calcular los momentos de empotramiento utilizando el m$todo de 8eibilidad.

%ompatibilidad +n algunos casos conviene tomar como redundante los momentos de etremo de la barra, la estructura primaria seria la mostrada a continuación



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4 continuación y amanera de eemplo se muestran las gracas de los momentos de empotramiento de dos barras de sección variable con carga uniformemente distribuida de intensidad :.

MOMENTOS DE EM!OTRAMIENTO EN BARRAS DE SECCION VARIABLE  E"TREMO ARTICULADO

7uperposición %omprobemos los resultados aplicando las ecuaciones anteriores al cálculo de los momentos de empotramiento de una viga de sección constante que soporta una carga uniformemente distribuida de magnitud :.



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MOMENTOS DE EM!OTRAMIENTO EN BARRAS DE SECCION VARIABLE  E"TREMO EM!OTRAMIENTO DESLIZANTE 0resentamos solo el caso de una viga de sección variable sim$trica con carga tambi$n sim$trica.

A!LICACI#N DE ESTRUCTURAS COM!UESTAS !OR BARRAS DE SECCION VARIABLE #as estructuras compuestas por barras de sección variable son poco frecuentes en nuestro medio, pero podr5an presentarse por básicamente dos razones arquitectura (capillas, iglesias, etc." motivos estructurales, por eemplo en estructuras con grandes luces o con altas sobrecargas, puede colocarse cartelas (incremento gradual del peralte" +n los etremos de las vigas, con la nalidad de disminuir las de8eiones y los momentos positivos a costa de incrementar los momentos negativos. 4s5 mismo las cartelas incrementan la rigidez lateral de los pórticos ante acciones s5smicas. • •



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CARTELA

CON CARTELA

BARRAPRISMATICA

+stos casos tambi$n se presentan en losas armadas en dos sentidos que apoyan directamente sobre columnas, donde con la nalidad de evitar que las columnas perforen a la losas, se ensancha el etremo superior de las columnas formando capiteles (troncos cónicos o piramidales, los que las convierten en elementos de sección variable.

w

PLANTA


w capitel

FRANJA CENTRAL

PORTICO EQUIVALENTE


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6n elemento prismático de concreto armado cuya sección transversal se agriete, trabaa como una barra de sección variable, donde el momento de inercia en la zona gurada es menor al momento de inercia de la sección bruta correspondiente a la zona sin surar, pero tambi$n ocurre que en los nudos la barra cambia abruptamente de peralte (el peralte de la viga pasa a ser la altura de la columna".

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLECTOR EN VIGAS A CARTELADAS $ !RISM%TICAS +l m$todo de %ross resulta conveniente para resolver vigas de sección variable, o vigas no prismáticas. +stos cambios se originan por que los momentos de empotramiento perfecto, las rigideces angulares, los factores de transporte y las rigideces lineales no son iguales para vigas de sección constante y para las vigas de sección variable. DETERMINACI#N DE &I' $ FI'



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para determinar la rigidez al giro (-i" y el factor de transporte (" en las barras deformables por 8eión, cuyo momento de inercia varia a lo largo de su longitud (", se utilizara el segundo teorema área momento, que dice ? la distancia que eiste entre la prolongación de la pendiente en ?@ hasta tocar con la elástica en ?i@ (ti" es igual al momento estático del diagrama 2rea>&omento con respecto al etremo ?i@, y viceversa@.

L

(i)

I

(j)

'arra con e(e sensiblemente recto

+n la gura se observa 1.> ti/A, ya que giro en /A .>ti/#, ya que giro en /1 <.> por equilibrio 3/-i (1B"C# &("/ -i !3 &("/-i ((#>">"C#

4plicando el segundo teorema 2rea>&omento respecto a ?i@ (brazo de palanca /D", se obtiene

Eonde -i, , + y # son constantes que pueden salir de la integral, obteni$ndose nalmente



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Nota para calcular  se aplica la epresión que permite hallar , pero, deberá cambiarse el sentido de la integración (desde  hacia i". 4demás nótese que cuando la barra es prismática ( ("//constante", resulta /1C. +l cálculo de -i se realiza aplicando el segundo teorema 2rea>&omento respecto al etremo ?@C brazo de palanca /#>"

Eonde se obtiene

Notas 1.> se sobreentiende que  ha sido calculado previamente. 0ara determinar -i se aplica la epresión anterior, pero deberá invertirse el sentido de la integración (desde  hacia i"F asimismo deberá intercambiarse  por fi. <.> +n elementos prismáticos (("//constante", /1C, por lo que -i/=+C#. =.> solo en barras que cumplan simetr5a en forma se cumple /fi y -i /;i.

+l procedimiento para calcular ;i y  debe realizarse en forma tabulada, tal como se muestra en la gura.



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0or otro lado cuando se calcule ;i y , la integración se realiza desde  hacia i, manteni$ndose las columnas  y (#>" de la tabla, pero, los valores (" deberán intercambiarse as5 (A" por (n" (1" por (n>1", etc. TABLAS DE LA !CA 0ara los casos comunes de barras con sección rectangular, cuyas cartelas var5an linealmente o parabólicamente, mientras que su ancho permanece constante, eisten las tablas de la 0órtland %ement 4ssociation (0%4", que permiten calcular los tres parámetros -i,  y ui necesarios para aplicar ya sea el m$todo de %ross o el análisis matricial. #a nomenclatura que se utiliza en esta tabla es %arry>over factors 7tiGness Hactors /r1 -iC(+oC#"/c1 fi / r1 -iC(+oC#"/c1

Nota) en las barras &rismáticas) c*+,c+*,-. r*+,r+*,*/+

+n estas tablas tambi$n aparecen unos coecientes &1 y&1, que permiten calcular los momentos de empotramiento cundo la barra esta sueta a una carga repartida o concentrada.

0ara ingresar a estas tablas es necesario conocer 1.> el peralte de la cartela/ ddI



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.> la longitud de la cartela /a# Eonde d/menor peralte

%onociendo ?a@ y ?dI @ (coecientes a dimensionales" se ingresa a las tablas para calcular r,c y &, lo que permite obtener f,- y u, respectivamente. DETERMINACI#N DEL !ERALTE $ DE LA LONGITUD DE LA CARTELA 0ara determinar el peralte (ddI" y la longitud de la cartela (a#", se seguirá las siguientes recomendaciones VIGAS: a" cartelas lineales. 0rolongar la cartela hasta que toque con el ee de la columna.

b" viga inclinada. nterceptar el ee de la viga con el de la columnaF por este punto, trazar una l5nea perpendicular al ee de la viga, luego prolongar la cartela hasta que toque con esa l5nea.

c" cartelas que tocan tangencialmente a la columna. +n este caso, se reemplaza la cartela parabólica por una cartela lineal cticia cuya pendiente es 1
COLUMNAS:



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a" cuando la columna es muy peraltada en relación con la viga, o cuando las cartelas predominan hacia el lado de la viga, podrá trabaarse como si la columna fuese una barra prismática, mientras que la viga es el elemento de sección variable.

b" 0ara evitar la duplicidad de cartelas en el nudo (por el lado de la viga y de la columna", algunos autores recomiendan trabaar con cartelas cticias con pendientes1<, y otros proponen emplear un brazo r5gido(/ " solo en el lado de la columna, con una longitud igual a la mitad del peralte de la viga (EC", la parte inferior al brazo r5gido se trabaa como si fuese prismática (peralte/d"

VIGAS DE SECCION VARIABLE  METODO DE NE(MAR& +l m$todo de %ross resulta conveniente para resolver vigas de sección variable, o vigas no prismáticas, con pequeJos cambios a lo epuesto en las secciones anteriores. +stos cambios se originan porque los momentos de empotramiento perfecto, las rigideces angulares, los factores de transporte y las rigideces lineales no son iguales para vigas de sección variable. #as rigideces angulares, factores de transporte y rigideces lineales para secciones prismáticas suponen un valor constante del termino +. #os parámetros mencionados pueden calcularse fácilmente para vigas no prismáticos con el m$todo de N+:&4'-, ya que como se sabe, este m$todo permite tomar en cuenta de manera epedita la variación de + a lo largo de una viga. 4s5, la determinación de los momentos de empotramiento perfecto, combinando el m$todo de las fuerzas y el m$todo de NeKmar; para cálculo de deformaciones, puede hacerse de la siguiente manera, con referencia a la gura



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7upóngase que se tiene una viga doblemente empotrada de sección variable, con un sistema cualquiera de cargas 0, como se muestra en la gura L.M (a"7i las cargas son verticales, la viga tiene dos grados de indeterminación .Ee acuerdo con el m$todo de las fuerzas, para resolver esta viga se plantea primero una viga isostática fundamental en la que se hayan suprimido las dos redundancias como la de la gura L.M(b". 6sando el m$todo de NeKmar;, para que sea mas fácil el calculo de deformaciones, se determinan los giros en los etremos de la isostática fundamental sueta alas cargas 0. +stos giros se han denominado en la gura L.M(b". %ontinuando con el m$todo de las fuerzas, se introducen ahora momentos unitarios en los etremos de la isostática fundamental y se calculan, tambi$n con el m$todo de NeKmar;, los giros en los etremos indicados en las guras L.M(c y d".#a notación usada para estos giros es la misma que la usada en las secciones prismáticas. 4 continuación se plantean las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones, que para este caso deberán epresar que los giros nales en los etremos 4 y * son nulos, ya que están empotrados. 0or lo tanto

'esolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen las incógnitas

que son,

respectivamente, los momentos de empotramiento perfecto en los apoyos 4 y *. Eesde luego que este momento puede usarse tambi$n para vigas de sección prismática , pero para estas es mas fácil calcular los giros por el m$todo de la viga conugada o del área>momento. Ee manera similar pueden determinarse la rigidez angular y el factor de transporte en vigas de sección variable.



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#a rigidez angular es el

momento

hay que aplicar en el etremo 4 para la rotación

que

sea igual a 1, y el factor de

transporte es la relación (gura L.(a"".+stos momentos pueden obtenerse si se aplican momentos unitarios en cada etremo de la viga isostática fundamental, como se indica en las guras (L.(b" y L.(c"", y se plantea el sistema de ecuaciones de tal manera que eprese que las rotaciones nales en 4 y en * son, respectivamente, iguales a 1 y a A.

'esolviendo el sistema de ecuaciones se puede obtener la rigidez angular y el factor de transporte

. Ee nuevo se seJala que el cálculo de las rotaciones

se simplica en vigas de sección variable si se usa el m$todo de NeKmar;. Hinalmente, la rigidez lineal puede determinarse como se indica en la gura



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+n este caso, la rigidez lineal es el momento que se presenta en los empotramientos si ocurre un desplazamiento lineal unitario entre los etremos de la viga . %onviene plantear la isostática fundamental como un voladizo al que se aplican primero una carga unitaria y luego un momento unitario en el etremo libre (guras L.1A (b" y L.1A (c"". 0ara que la suma de las conguraciones de deformaciones de estas dos guras, multiplicada la primera por una incógnita y la segunda por otra incógnita , sea igual a la conguración de la gura (L.1A(a"", el sistema de ecuaciones de compatibilidad debe plantearse como

#a rigidez lineal será el valor de la incógnita que multiplica al momento unitario de la gura (L.1A(c"". 7e pueden obtener las rigideces correspondientes aplicando los mismos principios anteriores. +n el caso de la rigidez lineal, bastara aplicar un momento unitario en 4, calcular el giro que produce en este mismo apoyo, y por proporción, calcular el momento que producirá un giro unitario. +n el caso de la rigidez lineal basta aplicar una carga unitaria en *, calcular la de8eión que produce y por proporción determinar la fuerza necesaria para producir una de8eión unitaria .+l momento que es la rigidez lineal, puede obtenerse despu$s por estática. Oabiendo obtenido los parámetros mencionados, el &$todo de %ross se aplica de la manera usual. +s importante observar que las vigas de sección variable pueden resolverse tambi$n por los otros m$todos, por eemplo el m$todo de deformaciones se puede aplicar ya teniendo los momentos de empotramiento y las rigideces angulares y lineales .7i la isostática fundamental planteada en el m$todo de las fuerzas es de sección variable, sus deformaciones pueden calcularse por el m$todo de NeKmar; y seguir los otros pasos del m$todo como se eplicó.

VIGAS DE SECCION VARIABLE) METODO DE *ARD$ CROSS+USO DE TABLAS,



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+studiamos la solución de vigas de sección variable seg9n el m$todo de distribución de momentos de Oardy %ross y con la ayuda de tablas de coecientes para vigas de sección variable. #a mecánica es la misma salvo que los factores de transmisión, las rigideces y los momentos de empotramiento perfecto son calculados a trav$s de tablas. NP&+N%4#)6'4 / Hactor o coeciente de transmisión -/'igidez de distribución de la viga respecto a uno de sus etremos '/%oecientes de rigidez de la viga respecto a uno de sus etremos este factor afecta a C# %/ %oecientes de momentos de empotramiento E-e.p/o de 0so de ta1/a: 7upongamos la viga (estará empotrada en sus etremos y será ancho constante"

%omo el acartelamiento es a lo largo de toda la viga a#/Q , entonces a/QCQ/1RRRRRRRRRRR..(1" ddI/1.A > A.=A / A.MA pero d / A.=A entonces dI/A.MCA.= /RRRRRRRRR(" Ee (1" y (" vamos ala tabla RRRRRRR(<" +stos factores afectan a

RRRRRRRRRRRR.(=" correspondiente a la sección de la viga de

menor peralte. %omo suponemos que las vigas de toda la estructura son del mismo material y tienen el mismo ancho podemos emplear tan solo la rigidez relativa de la forma

#os valores de ' que nos da la tabla son supuestos que el etremo correspondiente esta empotrado .7i la viga esta articulada en cualquier etremo los 'e de empotramiento de la tabla deberán afectarse del coeciente para obtener los 'a de articulamiento



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7i el sistema tiene vigas de sección constante, ancho compatible con el de los otros elementos y es del mismo material, tendrá una 9nica - relativa calculable como Eonde

seg9n las restricciones del apoyo.

0or ultimo las tablas dan los valores para los momentos de empotramiento perfecto, eemplo 0 / 1S )PN 0#/ 1STQ/A )PN b# / < entonces b / A.S

TABLAS



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CONCLUSIONES:



#as estructuras compuestas por barras de sección variable son poco frecuentes en nuestro medio, pero podr5an presentarse por básicamente dos razones

>arquitectura (capillas, iglesias, etc." > motivos estructurales, por eemplo en estructuras con grandes luces o con altas sobrecargas, puede colocarse cartelas (incremento gradual del peralte" +n los etremos de las vigas, con la nalidad de disminuir las de8eiones y los momentos positivos a costa de incrementar los momentos negativos. 4s5 mismo las cartelas incrementan la rigidez lateral de los pórticos ante acciones s5smicas. 

+l m$todo de %ross resulta conveniente para resolver vigas de sección variable, o vigas no prismáticas. +stos cambios se originan por que los momentos de empotramiento perfecto, las rigideces angulares, los factores de transporte y las rigideces lineales no son iguales para vigas de sección constante y para las vigas de sección variable.



+stos casos de elementos de sección variable se presentan tambi$n en losas armadas en dos sentidos que apoyan directamente sobre columnas, donde con la nalidad de evitar que las columnas perforen a la losas, se ensancha el etremo superior de las columnas formando capiteles (troncos cónicos o piramidales, los que las convierten en elementos de sección variable.


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