Norma o Módulo de un vector
Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espaci o métrico considerado. Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.
Efectuado el producto escalar, tenemos:
de modo que
Por componentes, tomando la base canónica en {i, j, k}
formada por los vectores unitarios
de modo que
La desigualdad de Cauchy-Schwarz
El producto escalar de dos vectores
se define mediante la expresión
Es fácil comprobar que el producto escalar es una forma bilineal simétrica definida positiva, es decir, que se cumplen las siguientes propiedades.
Proposición (Propiedades del producto escalar) 1. y además si y sólo si
2. 3. 4. La norma euclídea de un vector que
si y sólo si
se define como y que
Es evidente
Teorema (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si entonces Demostración. Consideramos la función definida por claro que para todo Observemos que
Está
es decir, que es una función polinómica de segundo grado con a lo sumo una raíz real, y por lo tanto su discriminante es no positivo:
Esta última desigualdad implica como queríamos demostrar.
Corolario (Desigualdad de Minkowski) Si entonces Demostración. Tenemos
y tomando raíces cuadradas se deduce la desigualdad.
La desigualdad de Cauchy-Schwarz
Además de la relación existe otra relación entre la norma y el producto interior llamada desigualdad de Cauchy-Schwarz: Proposition
Sean e cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
dos vectores en
. Entonces se
Demostraci\on. Tome valor absoluto en ambos lados de la igualdad
y recuerde que
En realidad esta desigualdad también es válida en . Para demostrar este aserto, primero debemos definir producto interior en este espacio más general, de modo tal que
esta definición coincida con la dada anteriormente para el caso particular de
es simple de hacer ya que hemos demostrado que en
Esto
se cumple la igualdad
. Por consiguiente tenemos la siguiente definición:
Sean
e
Diremos que su producto interior
dos vectores en
.
está definido por la siguiente igualdad:
Proposition
El producto interior siguientes propiedades:
cumple con las
1.
2.
3.
4.
5.
y
Demostraci\on. Ejercicio. Proposition
En el producto interior Schwarz:
también cumple con la desigualdad de Cauchy-
la cual, expresada usando coordenadas, es equivalente a:
Demostración. Debido a que cualquier número real (positivo o negativo) elevado al cuadrado en mayor o igual a cero, se deduce que para todo
Observe que hemos llegado a que para todo
en donde Esto significa que el gráfico de la curva:
y
se cumple:
, se cumple la desigualdad:
.
es una parábola abierta hacia arriba y corta al eje de las a lo más en un punto (ya que si cortara en dos puntos distintos, la parte de la parábola que quedaría entre estos dos
puntos asumiría valores negativos, lo cual contradeciría el hecho que
para todo real). Por lo tanto, recordando la relación que existe entre el discriminante de una ecuación de segundo grado y el número de soluciones, deducimos que dicho discriminante debe ser menor o igual a cero. Esto es:
Por lo tanto, dividiendo por 4, obtenemos que,
Extrayendo raíces cuadradas y recordando que
deduce que demostración.
y
son números no negativos, se
, vale decir
Esto termina la
1. Comenzaremos con la desigualdad triangular del valor absoluto de números reales Para x, y números reales se cumple
| x + y | ≤ | x | + | y |. Demostración: Para x e y se verifican las desigualdades: -|x|≤x≤|x| -|y|≤y≤|y| Sumando ambas desigualdades tenemos - (| x | +| y | ) ≤ x + y ≤ | x | + | y | y de aquí se obtiene el resultado. 2. Desigualdad del cuadrilátero. Si a, b, c y d son números reales, entonces se tiene a b + c d ≤ [( a2 + c2 ) ( b2 + d2) ]½
Demostración: Elevando al cuadrado el miembro izquierdo se tiene: ( a b + c d ) 2 = a2 b2 + 2 a b c d + c2 d2 ≤ a2 b2 + a2 d2 + c2 b2 + c2 d2 (1) haciendo uso de la desigualdad 2 x y ≤ x 2+ y 2 la cual es cierta para x e y números reales. Factorizando el segundo miembro de la desigualdad (1) obtenemos ( a b + c d ) 2 ≤ ( a2 + c2 ) ( b2 + d2) y de aquí se obtiene el resultado, al tomar raíces cuadradas en ambos lados. 3. Desigualdad triangular para los números complejos. Sean Z = a + bi y W = c + di , dos números complejos, entonces se tiene | Z + W | ≤ | Z | + | W |. Demostración: Tenemos las igualdades
|Z+W|
2
=(Z+W)(Z+W)=ZZ +WW+ZW+ZW = |Z|+ |W |+ ZW + ZW
Si logramos probar que ZW+ZW≤2|Z||W| se tendrá entonces | Z + W |
2
( 1)
≤ (| Z | + | W |)2 y de aquí se obtendrá el resultado.
Notemos que Z W + Z W = (a + bi )(c - di) + (a - bi )(c + di) = ac + bd - ( ad - bc ) i + ac + bd + ( ad - bc ) i = 2 ( ac + bd ) ≤ 2 [( a 2+ b 2)( c 2+ d 2)] ½ =2|Z||W| Nótese que hemos usado la desigualdad del cuadrilátero en la penúltima línea. 3. Desigualdad triangular para R 2. Sean V = (a ,b) , U = ( c, d) y W = ( e, f) tres vectores del plano. Entonces se tiene | U - V | ≤ | U- W| + | W- V|
Demostración. Tenemos
| U - V |2 = ( c - a )2 + ( d - b) 2 = [( c - e) + ( e - a )] 2 + [( d - f ) + ( f - b)]2 =
( c - e )2 + ( e - a)2 + 2 ( c- e)( e-a) + ( d - f )2 + ( f - b)2 + 2 ( d -f)( f- b).
Usando la desigualdad del cuadrilátero, se tiene : 2 ( c- e)( e-a) + 2 ( d -f)( f- b) ≤ 2 [ ( c - e )2 + ( d - f )2 ]½ [ ( e - a)2 + ( f - b)2 ]½ Nótese que
| U - W | = [ ( c - e ) 2 + ( d - f ) 2 ]½ y | W - V | = [ ( e - a)2 + ( f - b)2 ]½
Luego
| U - V |2 ≤ | U - W | 2+ 2 | U - W| | W - V | + | W - V | 2 = [ | U - W | + | W -V | ]2 y tomando maíces cuadradas en ambos lados nos produce el resultado desea do.
