METODO RIGIDEZ DE SECCION VARIABLE

DEDICATORIA: Con todo mi cariño y mi amor para las personas que hicieron todo en la vida para que nosotros cumplieramos nuestros sueños, por motivarnos y darnos su apoyo en todo momento. A nuestros padres con mucho Amor.

RESUMEN El Análisis Análisis Estructural Estructural es la parte del proceso de proyecto proyecto que comprende comprende el diseño, diseño, cálculo y comprobac comprobación ión de la estructura. Es esta una disciplina técnica y científica que permite establecer las condiciones de idoneidad de la estructura, respecto a su cometido o finalidad. Por tanto, tiene establecido su objeto en la estructura y su finalidad en el cálculo como comprobación de lo diseñado. En el presente trabajo se presentan las experiencias obtenidas durante el proyecto de desarrollo e implementación para la enseñanza del Método de la Rigidez de un programa de características didácticas que, funciona en el ambiente MATLAB, con capacidad para la resolución de estructuras de barras (reticulados y pórticos en 3D) .

Índice general

I PLANTEAMIEN PLANTEAMIENTO TO DEL PROBLEMA 0.1. El problema problema de la invest investigac igación ión 0.2. Objetiv Objetivos os . . . . . . . . . . . 0.2.1. Objetivo General . . . 0.2.2. Objetivos Específicos .

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II FUNDAMENTO TEÓRICO

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1. CONCEPTOS BASICOS DE DIFERENTES TIPOS DE ESTRUCTURA

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1.1. ANTECEDENTES TEORICOS TEORICOS PARA PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ . 1.1.1. Algunas visiones del conjunto conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Conv Convencion encion de Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Grados de Libertad Libertad (DOF) (DOF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Matrix Rigedez de Elemento Elemento[k e ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6. Matrix Rigedez Rigedez de La Estructura[K ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7. Vector Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.8. Desplazamiento del Vector Vector[U ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.9. Calculo Desconocido Desconocido Desplazamiento Desplazamiento y Reaccion Reaccion . . . . . . . . . . . . . . 1.1.10. Fuerzas en Los Miembros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. MATRIX MATRIX DE RIGIDEZ RIGIDEZ DE UNA UNA VIGA (BEAM) (BEAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. MATRIX MATRIX DE RIGIDEZ RIGIDEZ DE UN PORTICO PORTICO (FRAME 2D) . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. MATRIZ MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS (TRUSS 2D) . . . . . . . . . . . 1.4.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. MATRIZ MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO PORTICO ESPACIAL ESPACIAL (FRAME (FRAME 3D) . . . . . . . . . 1.5.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. MATRIZ MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ARMADURA ESPACIAL ESPACIAL (TRUSS (TRUSS 3D) . . . . . . . . 1.6.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. MATRIZ MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID) . . . . . . . . . . . . . . .

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III MEMORIA DE CALCULO DE LAS ESTR ESTRUCTURAS UCTURAS 2. APLICACION DE UNA BEAM POR EL METODO RIGIDEZ 2.1. EJEMPLO EJEMPLO DE UN VIGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

11 11 12 12 13 13 13 14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 18 18 19 19 19 20

23 24 24 25

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL

3. APLICACION DE UN FRAME 2D POR METODO REGIDEZ

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3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. APLICACION DE TRUSS 2D METODO RIGIDEZ

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47

4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. SOLUCION DE FRAME 3D METODO RIGIDEZ

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5.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. APLICACION DE TRUSS 3D METODO RIGIDEZ

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6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. APLICACION DE UN GRID POR METODO RIGIDEZ

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7.1. EJEMPLO DE UN GRID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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IV CONCLUSIONES

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V RECOMENDACIONES

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VI BIBLIOGRAFIA

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VII ANEXOS

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4

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

Índice de figuras

1.1. Sistema de Coordenadas Globales . . . . . . . . . 1.2. Sistema de Coordenadas Locales . . . . . . . . . . 1.3. Convension de Signos . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sistema de Grados de Libertad . . . . . . . . . . . 1.5. Viga Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . 1.6. Portico 2D Idealizada De Una Estructura Real . . 1.7. Armadura 2D Idealizada De Una Estructura Real . 1.8. Portico 3D Idealizada De Una Estructura Real . . 1.9. Armadura 3D Idealizada De Una Estructura Real . 1.10. Parrilla Idealizada De Una Estructura Real . . . . 1.11. Esquema Tipica de Una Parrilla . . . . . . . . . . 1.12. Elemento Sometido a Flexion y Corte . . . . . . . 1.13. Elemento de la Primera Columna . . . . . . . . . 1.14. Elemento de la Segunda Columna . . . . . . . . . 1.15. Elemento de la Tercera Columna . . . . . . . . . . 1.16. Elemento de la Cuarta Columna . . . . . . . . . .

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2.1. Viga con Diferentes Cargas en los Mienbros . . . . . . . . . . 2.2. Seccion de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Notacion de los Grados de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Caracterizacion de la Viga Para Obtener Vector de Cargas . . 2.5. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento I . . . . 2.6. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento II . . . . 2.7. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento III . . . 2.8. Viga Con Sus Respectivas Fuerzas Primarios . . . . . . . . . 2.9. Viga con Sus Respectivos Fuerzas y Momentos en Sus Nodos . 2.10. Seccion de Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Viga Con Sus Fuerzas Externas en Los Nodos . . . . . . . . . 2.12. Seccionamiento en Del Elemento I . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. Seccionamiento en Del Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Seccionamiento en Del Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Seccionamiento en Del Elemento III . . . . . . . . . . . . . . 2.16. Seccionamiento en Del Elemento III . . . . . . . . . . . . . . 2.17. Momento Flector de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.18. Fuerza Cortante De La Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19. Fuerzas Axiales De La Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Portico Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numeracion Grados y Elementos del Portico Plano . . . . . . . . . . . . Elemento Cargado con Una Fuerza Distribuida . . . . . . . . . . . . . . Portico Con Sus Cargas Puestas en su Nodos . . . . . . . . . . . . . . . Portico Con Sus Respectivas Reaciones y Desplazamientos en Sus Nodos Diagram Fuerza Cortante del Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Momento Flector del Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . Portico Con su Respectiva Fuerzas Axiales en Los Elementos . . . . . . .

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40 41 41 42 44 45 46 46

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8.

5

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ÍNDICE DE FIGURAS 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9.

ÍNDICE DE FIGURAS

Aramdura Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Designacion De Los Grados de Libertad de la Armadura . . . . . . . Elemento (1) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento (2) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento (3) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento (4) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento (5) y (6) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . Elemento (7) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . Armadura Con Sus Respectivas Fuerzas Internas y Externas Finales .

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5.1. Portico Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Numeracion de los Grados de Libertad de Portico Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6.1. Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Armadura Con Sus Respectivas Numeraciones en Los Nodos y Elementos 6.3. Elemento (1) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Elemento (2) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Elemento (3) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Elemento (4) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Elemento (5) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Elemento (6) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Elemento (7) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . 6.10. Deformada de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11. Equilibrio de Elementos de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . 6.12. Equilibrio de Nodos de (IV) y (VI) De Armadura Espacial . . . . . . . . 6.13. Equilibrio de Nodos de (I) y (II) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . 6.14. Equilibrio de Nodos de (V) y (VII) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . 6.15. Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (I) y (IV) DeArmadura Espacial . . . 6.16. Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (II) y (VI) DeArmadura Espacial . . . 6.17. Armadura Espacial Con Sus Fuerzas Internas en los Elemtos . . . . . . .

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7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

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Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momento de Empotramiento del Elemento (1-2) . Momento de Empotramiento del Elemento (1-3) . Diagrama de Fuerza Cortante de la Parrilla . . . Diagrama de Momento Flector de la Parrilla . . Diagrama de Fuerza Axial de la Parrilla . . . . .

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INTRODUCCIÓN

El análisis estructural es la columna vertebral de cualquier diseño de ingeniería al permitir que uno sabe de antemano el comportamiento de cualquier estructura de ingeniería bajo diferentes condiciones de carga a la que la estructura se encontrará a lo largo de su vida. Este informe muestra cómo podría ser definido y analizado una estructura usando el programa MATLAB por el método de la rigidez .Por otra parte cómo un usuario puede utilizar este programa como una herramienta de aprendizaje para método rigidez .Matlab ha desarrollado un análisis estructural estático elástica de porticos y armaduras en 2D y 3D asi como tambien de una parrillas. En la etapa de procesamiento, la entrada de datos se utiliza para preparar matrices elemento de rigidez y transformación de cada uno en sistema de coordenadas globales antes suma para obtener la matriz de rigidez estructural global. Carga y el desplazamiento matriz es preparada. A continuación, mediante el uso de la fuerza de desplazamiento estándar relación y matriz de particionamiento, desplazamientos desconocidos, reacciones y se calculan las fuerzas miembros.

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PARTE I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

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0.1. EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN

0.1. El problema de la investigación Elaborar una subrutina o programa que efectúe una adaptación al código en MATLAB, el cual resuelva los dierentes tipos de estructuras como: BEAM, PORTICO 2D, TRUUS 2D, PORTICO 3D,TRUSS 3D y GRID con el método matricial de la rigidez, de tal modo que este sea capaz de resolver

0.2. Objetivos 0.2.1. Objetivo General El objetivo de este trabajo es desarrollar un análisis estructural basado en un programa MATLAB, que pueda resolver cualquier tipo de estructura en 2D 3D y grid.

0.2.2. Objetivos Específicos

1 Calcular parámetros de rigideces, momento de empotramiento y deflexiones por el método de la rigideces. 2 Identificar las propiedades paramétricas de las vigas acarteladas y sus dimensiones 3 La adición de todas las matrices elemento de rigidez en DOF pertinente para formar una matriz de rigidez estructural (K).

4 Comparar los resultados de los momentos de empotramientos y flechas según cada elemento acartelado diseñado.

5 Formación de elemento de carga Vector (Po) en coordenadas locales para marcos solamente. 6 Transformación de carga de elementos del vector en coordenadas globales para marcos solamente. 7 Formación de Nodal vector de desplazamiento (U). 8 Resolviendo P=KU para conseguir desplazamientos desconocidos en las juntas sin restricciones. 9 Haciendo uso de desplazamientos para el paso 6 para obtener reacciones en constreñido articulaciones. 10 Transformación de los desplazamientos globales a los desplazamientos locales a calcular las fuerzas en los miembros.

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PARTE II FUNDAMENTO TEÓRICO

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CAPÍTULO 1

CONCEPTOS BASICOS DE DIFERENTES TIPOS DE ESTRUCTURA

1.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ 1.1.1. Algunas visiones del conjunto Para el análisis de cualquier estructura, se modela como un conjunto de simple, idealizada elementos conectados a los nodos. Análisis por el método de la rigidez puede ser directa dividido en pasos siguientes.

1 La formulación de la matriz de rigidez elemental en coordenadas locales (Ke). 2 Formación de elemento de matriz de transformación T. 3 Transformación de la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales (Ke). 4 La adición de todas las matrices elemento de rigidez en DOF pertinente para formar una matriz de rigidez estructural (K).

5 Formación del vector de carga nodal (P) en coordenadas globales. 6 Formación de elemento de carga Vector (Po) en coordenadas locales para marcos solamente. 7 Transformación de carga de elementos del vector en coordenadas globales para marcos solamente. 8 Formación de Nodal vector de desplazamiento (U). 9 Resolviendo P=KU para conseguir desplazamientos desconocidos en las juntas sin restricciones. 10 Haciendo uso de desplazamientos para el paso 6 para obtener reacciones en constreñido articulaciones. 11 Transformación de los desplazamientos globales a los desplazamientos locales a calcular las fuerzas en los miembros.

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1.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ

CAPÍTULO 1

1.1.2. Sistema de Coordenadas Global: Estructura nodos siempre se describen en coordenadas globales. podría ser expresada por las letras mayúsculas de X, Y y Z.

Figura 1.1: Sistema de Coordenadas Globales

Locales: fuerzas internas de elementos se describen en las coordenadas locales. Se representa por letras minúsculas de x, y y z.

Figura 1.2: Sistema de Coordenadas Locales

Estructuras 2D se definirán en el plano X-Y donde como estructuras 3D serán se define en X-Y-Z plano.

1.1.3. Convencion de Signo Fuerza horizontal es positiva si se dirige a la derecha, fuerza vertical es positivo hacia arriba y momento es positivo en la dirección hacia la izquierda como se muestra en la figura 3.3.

Figura 1.3: Convension de Signos

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CAPÍTULO 1

1.1.4. Grados de Libertad (DOF) Se define como un desplazamiento independiente de un nodo a lo largo de X, Y o Z axis.These desplazamientos son siempre independientes de cada other.For ejemplo, un soporte de la bisagra sólo puede tener un desplazamiento (rotación θ ) .Displazaniento Está siendo utilizado en un contexto generalizado aquí, ya que podría ser rotación, así como translation. Displazamiento en una estructura depende de tipo de estructura, ya que podría ser uno, dos o ninguno. DOF tanto en el sistema local y global de coordenadas sigue siendo igual para un particular, caso. Pero en el caso de armazones este no es el caso ya que sólo hay uno axial deformación en coordenadas locales y dos o tres traducciones en cada nodo en 2D y 3D cerchas respectivamente. Los grados de libertad asociados con cada tipo de elemento y su numeración se puede resumir como se muestra en la Fig (3.4)

Figura 1.4: Sistema de Grados de Libertad

1.1.5. Matrix Rigedez de Elemento[k e ] Cada elemento de propiedades de rigidez se calculan en función de la naturaleza del elemento DOF en cada nodo, estas propiedades se agrupan juntos para formar un elemento matriz de rigidez.

1.1.6. Matrix Rigedez de La Estructura[K ] Matrices de rigidez de elementos se luego se ha completado en una sola matriz que gobierna el comportamiento de toda la estructura idealizada, conocida como matriz de rigidez estructural. Esto se obtiene por multiplicación de elemento de matriz de rigidez a la matriz de transformación como en (3.1a) K = T T

  =  

K

UNSCH

K 11 K 21 K 31 .. . K m1

× k × T

K 12 K 22 K 32 .. . K m2

13

e

··· ··· ··· ..

.

···

K 1n K 2n K 3n .. . K mn

   

(1.1)

(1.2)



CAPÍTULO 1

1.1.7. Vector Carga Cargar vector se calcula de manera que las fuerzas conocidas y desconocidas son reacciones dispuestos como.

  =  ···  P f

P

(1.3)

Ps

P f :are the known forces P f :are the unknown rections

1.1.8. Desplazamiento del Vector[U ] El desplazamiento Vector se obtiene mediante la colocación de desplazamiento desconocido en la parte superior y después de que los desplazamientos conocidos como

  =  ···  U f

U

(1.4)

U s

U f :are the unknown displacements U f :are the known displacements

1.1.9. Calculo Desconocido Desplazamiento y Reaccion Matriz de rigidez estructural se reordena con respecto al desconocido desplazamientos y después se repartió con respecto a la desconocida y conocida de tal manera que los desplazamientos.

K f f

.. .

K s f

.. .

    ···  =  ··· ···  − ×  = P f Ps

U f

K f f

1

P f

  ···   ···  − 

K f s K ss

U f

(1.5)

U s

K f sU s

Ps = K s f U f + K ssU s

(1.6) (1.7)

1.1.10. Fuerzas en Los Miembros Una vez conocidos los desplazamientos nodales, fuerzas en los miembros son calculados por utilizando la siguiente ecuación estándar. P = K eU

(1.8)

Pe = T P

(1.9)

SOPe = T k eU

(1.10)

Whe are Pe denote the member forces

UNSCH

14


1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM)

CAPÍTULO 1

1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM) Una VIGA se define como una estructura larga y recta que se carga perpendicular a su eje longitudinal . Las cargas se aplican generalmente en un plano de simetría de la sección transversal de la viga, causando a sus miembros a ser sometido sólo a la flexión momentos y fuerzas cortantes

Figura 1.5: Viga Idealizada De Una Estructura Real

1.3. MATRIX DE RIGIDEZ DE UN PORTICO (FRAME 2D) Un marco plano se compone de elementos rectos unidos entre sí por rígido o conexiones articuladas. Tienen carga y reacciones que actúa siempre en el plano de la estructura. Debido a las cargas de la estructura puede ser sometida a una fuerza axial así como de corte y momentos de flexión. Así marco presenta el comportamiento de tanto barra y viga. Matriz de rigidez del bastidor se puede obtener combinación de viga y viga avión elemento rigidez. Una unión rígida puede transmitir axial, cortante y flexión fuerzas de momento. elemento puede ser cargado en los nodos, así como entre los nodos tanto por cargas puntuales como así como cargas distribuidas uniformemente que podrían ser transferidos a las cargas nodales por las fórmulas estándar.

Figura 1.6: Portico 2D Idealizada De Una Estructura Real

UNSCH

15


1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D)

CAPÍTULO 1

1.3.1. Matriz de rigidez del elemento En el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un marco de avión elemento puede ser denotado por: AE L

   − [ ]=  k

0 0 AE L

0 0

0

0

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 4 EI L

0

0

12 EI L3 6 EI L2

−

AE L

−

0 0

AE L

6 EI L2 2 EI L

−

0 0

0 12 EI L3 6 EI L2

− −

6 EI L2 2 EI L

0

12 EI L3 6 EI L2

−

0

0 6 EI L2 4 EI L2

−

   

1.3.2. Matriz de transformación Matriz de transformación de un bastidor planar se denota por la fórmula estándar como: 0 0 0 cos(θ ) sin(θ ) 0 0 0 0 sin(θ ) cos(θ ) 0 0 0 1 0 0 0 T = 0 0 0 cos(θ ) sin(θ ) 0 0 0 0 sin(θ ) cos(θ ) 0 0 0 0 0 0 1

{}

  −  

   

−

1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D) Una armadura de avión es una estructura articulada pin que se encuentra sólo en un único plano (XY). Braguero plano está formado por miembros conectados en bisagras. Por lo general, formar un patrón triangular con la carga y miembro acostado en el mismo plano en las juntas que se denominan como nodos.

Figura 1.7: Armadura 2D Idealizada De Una Estructura Real

1.4.1. Matriz de rigidez del elemento Una conexión de bisagra sólo puede transmitir fuerzas de un miembro a otro miembro, pero no el momento. Para fines de análisis, la armadura se carga en el articulaciones. En el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un plano elemento de armazón puede ser denotado por:

[k e ] =

UNSCH

EA L



1 1

−

16

−1 1


1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D)

CAPÍTULO 1

1.4.2. Matriz de transformación Matriz de transformación de una armadura plana se denota por la fórmula estándar como:

 { } =  − T

cos(θ ) sin(θ ) 0 0

sin(θ ) cos(θ ) 0 0

0 0 cos(θ ) sin(θ )

−

0 0 sin(θ ) cos(θ )

  

1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D) Marcos espaciales son las estructuras cuyos miembros podrían ser dirigidos en cualquier dirección en el espacio y podrían ser conectados por conexiones de ambos rígido y el tipo flexible. Carga externa sobre las articulaciones, así como en los miembros pueden estar en cualquier dirección arbitraria en el espacio tridimensional. Como resultado de aplicada carga externa estas estructuras son sometidas a momentos de flexión sobre su los dos ejes principales, las fuerzas axiales, de torsión y fuerzas de cizallamiento en tanto el capital direcciones. Debe remarcarse que esos parámetros son distintos a los calculados para las barras prismáticas; por ejemplo, en la viga mostrada se tiene:Cualquier articulación sin apoyo de un marco tridimensional puede traducir así como girar en cualquier dirección. Así seis grados de libertad siempre están asociadas a ninguna conjunta de una estructura de marco de los cuales tres son traducciones en X, Y y Z direcciones y otros tres son rotaciones alrededor de los ejes anteriores. Las articulaciones de un marco de espacio pueden numerarse de cualquier manera, sin embargo la grados de libertad están numerados tal que al primer nodo de cada elemento primer número saldrá a la traducción X, segundo número será para la traducción Y y tercer número se adjudicará a Z dirección de traducción. Del mismo modo cuarta número será para rotación alrededor de X, quinto número será para rotación alrededor de Y y sexto de numeración se le dará a la Z dirección de giro. Moda similar se llevarán a cabo en cada junta para numerar los grados de libertad

Figura 1.8: Portico 3D Idealizada De Una Estructura Real

UNSCH

17


1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D)

CAPÍTULO 1

1.5.1. Matriz de rigidez del elemento En el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un elemento de estructura espacial puede ser indicado por un elemento bisymmetric dimensiones 12x12 tres AE L

K e =

      −   

0

0

12 EI Z L3

0 0 0

0 0 0

0

6 EI Z L2

AE L

0 0 0 0 0

0 0

0 0

12 EI Y L3

0

0

−

6 EI Y L2

0 0 0

0

−

12 EI Z L3

−

0 0 0

6 EI Z L2

12 EI Y L3

−

0 6 EI Y L2

0

0 0

−

GJ L

6 EI Y L2

0 0 0

0

6 EI Y L2

GJ L

0

0

0

0 AE L

0

2 EI Y L

6 EI Z L2

0 0 0

0 0

12 EI Z L3

−

0 0 0

−

6 EI Z L2

0

0 0 0

0 0 0

0

6 EI Z L2

−

0 0

12 EI Y L3

−

12 EI Z L3

0

2 EI Z L

0

−

0 0 0

4 EI Z L

−

0

0

0 0 0

0

0 0 0

−

6 EI Z L2

4 EI Y L

0

AE L

−

0

0 0

−

0

−

0 6 EI Y L2

0 0 0

12 EI Y L3

GJ L

0 0

6 EI Z L2

0 0 0

0

0

2 EI Y L

0 0 0

0 0 0

0

6 EI Y L2

GJ L

6 EI Y L2

6 EI Y L2

0

0

0

4 EI Y L

0

0

2 EI Z L

0

−

6 EI Z L2

0 0 0

4 EI Z L

        

1.5.2. Matriz de transformación Matriz de transformación de un marco de espacio se denota por la fórmula estándar como:

  =  

r 0 0 0 0 r 0 0 0 0 r 0 0 0 0 r

T

  

Donde “r”es la matriz de rotación que depende el ángulo entre eje Y locales y Y-eje global del elemento. Nodo de inicio Elemento es “i” nodo final es “j” ,”z” Fórmula estándar para la rotación de un elemento de 3D con ángulo α = 0 entre eje local y global y Y está dada por:

L =



( X i X j )2 + (Y i

C X =

− −

X i X j L

C Y =

− Y ) j

−

Y i Y j L

 = + 2 C X

C XZ

  =  −

r

C X

2

+ ( Z i Z j )2

−

C Z =

−

Z i Z j L

2 C Y

C Y

(C X C Y cosα +C Z senα )

C Z

× cosα − ( −C × cosα − (

× × × C XZ − (C X ×C Y ×cosα +C Z ×senα )

C Y

Y

C XZ

C Y C Z cosα +C X senα ) C XZ C Y C Z cosα +C X senα ) C XZ

× × × ×

× ×

 

Fórmula estándar para la rotación de un elemento de 3D con ángulo de α = 90 o 270 entre eje local y globaly Y está dada por:

 =  −

r

UNSCH

0

C Y cosα 0 0 cosα

× ×

C Y C Y

18

0 senα cosα

  ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D)

CAPÍTULO 1

1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D) Una armadura de cubierta espacial es una estructura articulada pasador que se encuentra en una de tres dimensiones plano de cercha (X, Y, y Z) .espacio se compone de miembros prismáticos conectados en las juntas. Como cerchas planas cerchas espaciales también se cargan a sólo sus articulaciones con los miembros que tenga la tensión o compresión fuerzas en ella. El análisis estructural de cerchas espaciales y aviones es idéntico. En armadura de cubierta espacial, la ubicación de cada nodo está representado por tres mundial coordenadas (X, Y, y Z). Cada nodo en una armadura de cubierta espacial puede traducir en cualquier dirección en un espacio de tres dimensiones por lo que es importante encontrar los tres desplazamientos en X, Y y Z para definir completamente el desviado forma de la estructura. Significa una armadura espacial tiene tres grados de libertad en cada uno tres coordenadas estructurales conjuntas y en cada junta a completamente analizar la estructura. Las juntas de una armadura espacial pueden numerarse de cualquier manera, sin embargo la grados de libertad están numerados tal que al primer nodo de cada elemento primer número irá a X, el segundo número será de Y y tercer número será adjudicado a Z dirección. De manera similar se llevará a cabo en cada junta para numerar los grados de libertad.

Figura 1.9: Armadura 3D Idealizada De Una Estructura Real

1.6.1. Matriz de rigidez del elemento En el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un elemento de celosía espacial puede ser denotado por:

[k e ] =

EA L



1 1

−

−1 1

1.6.2. Matriz de transformación Matriz de transformación de una armadura espacial se representa por la fórmula estándar como: T =



cos(α x ) 0

cos(β x ) 0

cos(γ x ) 0

0 cos(α x )

0 cos(β x )

0 cos(γ x )



α :es el ángulo entre el elemento local de eje x y el eje X global β :es el ángulo entre el elemento de eje y local y Y-eje global γ :es el ángulo entre el elemento local de eje Z y el eje Z global

UNSCH

19


1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID)

CAPÍTULO 1

1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID) La parrilla son marcos planos cargado en el plano de la estructura, mientras que las cargas sobre las rejillas se aplican en la dirección perpendicular al plano de la estructura (Fig. 1.7). Los miembros de las redes pueden, por lo tanto, ser sometido a momentos de torsión, además de la flexión momentos y cizallas correspondientes que hacen que los miembros se doblen fuera de la plano de la estructura. Grids son comúnmente utilizados para apoyar los techos que cubren amplias zonas libres de columnas en este tipo de estructuras como estadios deportivos, auditorios, y hangares

Figura 1.10: Parrilla Idealizada De Una Estructura Real las estructuras tipo parrilla son estructuras reticulares sometidos a cargas que actúan perpendicularmente a su plano. podemos encontrar muchas de ellas en las estructuras industriales,en losas de entrepiso con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fabricas sometidas a la accion de viento. los nudos se suponen rigidos en consecuencia las acciones principales sobre sus mienbros son torsión,flexión y corte.

Figura 1.11: Esquema Tipica de Una Parrilla

UNSCH

20



CAPÍTULO 1

ELEMENTO SOMETIDO A FLEXION Y CORTE, ORIENTADO EN EL EJE “X”

Figura 1.12: Elemento Sometido a Flexion y Corte

PRIMERA COLUMNA

Figura 1.13: Elemento de la Primera Columna POR MANEY M i j =

2 EI (2θ i + θ j L

M i j =

2 EI L

M i j =

4 EI L

− 3ϕ ) (2 + 0 − 3 ∗ 0)

M ji =

ij

2 EI (θ i + 2θ j L

M ji = M ji =

V = V i =

4 EI L

2 EI L

− 3ϕ ) (1 + 2 − 0 − 3 ∗ 0) ij

2 EI L

+ 2 EI L L

6 EI L2

V j =

6 EI L2

SEGUNDA COLUMNA

Figura 1.14: Elemento de la Segunda Columna POR MANEY M i j =

2 EI (2θ i + θ j L

M i j =

2 EI L

M i j =

2 EI L

UNSCH

− 3ϕ ) 0 + 0 − 3 ∗  0 + 2 ∗ 0 − 3 ∗  ij

M ji =

1 L

2 EI (θ i + 2θ j L

M ji =

1 L

−

− 3ϕ ) ij

6 EI L2

M ji =

21

−

6 EI 2 L



V = V i =

CAPÍTULO 1

−6 EI −6 EI 2 + 2 L

L

L 12 EI V j = − L 2

12 EI L2

TERCERA COLUMNA

Figura 1.15: Elemento de la Tercera Columna POR MANEY M i j =

2 EI (2θ i + θ j L

M i j =

2 EI L

M i j =

2 EI L

− 3ϕ ) (0 + 1 − 3 ∗ 0)

M ji =

ij

2 EI (θ i + 2θ j L

M ji =

V = V i =

2 EI L

M ji =

4 EI L

− 3ϕ ) (0 + 2 ∗ 1 − 3 ∗ 0) ij

4 EI L

+ 2 EI L L

6 EI L2

V j =

6 EI L2

CUARTA COLUMNA

Figura 1.16: Elemento de la Cuarta Columna POR MANEY M i j =

2 EI (2θ i + θ j L

M i j =

2 EI L

M i j =

6 EI L2

− 3ϕ ) 0 + 0 − 3 ∗ 

M ji =

ij

1 L

2 EI (θ i + 2θ j L

M ji = M ji =

V =

6 EI L2

2 EI L

6 EI L2

− 3ϕ ) 0 + 2 ∗ 0 − 3 ∗

UNSCH

M Yi Z M Yi Z

4 EI L 6 EI L2 4 EI L 6 EI L2



L V j =

   =  −  

1 L

+ 6 L EI 2

12 EI V i = − L 2

  

ij

−6 EI 2

L 12 EI L2 6 EI L2 12 EI L2

− −

22

4 EI L 6 EI L2 4 EI L 6 EI L2

−

6 EI L2 12 EI L2 6 EI L2 12 EI L2

−

  ∗  

θ yi wi

θ j w j

12 EI L2

  


PARTE III MEMORIA DE CALCULO DE LAS ESTRUCTURAS

23

CAPÍTULO 2

APLICACION DE UNA BEAM POR EL METODO RIGIDEZ

2.1. EJEMPLO DE UN VIGA Use el análisis matricial de la rigidez para calcular las reacciones en los apoyos de la viga de tres claros que se muestra en la figura. De igual forma, determine las funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal, de pendiente y de deflexión, y detalle los resultados.

Figura 2.1: Viga con Diferentes Cargas en los Mienbros

Figura 2.2: Seccion de la Viga

24

2.1. EJEMPLO DE UN VIGA

CAPÍTULO 2

2.1.1. Solucion: NOTACION DE LA VIGA

Figura 2.3: Notacion de los Grados de la Viga

HALLANDO VECTOR DE CARGAS Obsérvese que sobre la longitud del elemento 1 se extiende una carga distribuida tipo parabólica, y que los elementos 2 y 3 soportan a la mitad de su claro y de forma respectiva, una carga puntual inclinada y un momento de par. El análisis matricial de la rigidez requiere que la carga externa se aplique en los nodos debido a que la matriz de rigidez del elemento ha sido deducida para cargas aplicadas en sus extremos. Para atender esta situación, se usa el principio de superposición. Suponemos que cada nodo está restringido de movimiento, motivo por el cual se les impone un empotramiento.

Figura 2.4: Caracterizacion de la Viga Para Obtener Vector de Cargas

UNSCH

25



CAPÍTULO 2

A continuación se calculan las fuerzas de fijación y momentos de empotramiento perfecto asociadas a cada elemento. Para ello remítase al tema 4.1 y note como los elementos 1 y 3 corresponden a vigas del tipo 4 y 7; además, el caso general para el elemento 2 ya fue resuelto en el tema 3.1.

ELEMENTO 1

Figura 2.5: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento I

R AY = R BY =

M A = M B =

wL

3

wL 2

15

=

=

∗

3 2 = 2T 3

↑

3 22 = 0.8T .m 3

∗

ELEMENTO 2

Figura 2.6: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento II

R AY = R BY =

R AX = R BX =

M A = M B =

UNSCH

Psinα

2

Pcosα

2

∗ ∗

=

P L sinα

8

=

5 sin500 = 1.915T 2

∗

↑

5 coos500 = 1.6070T = 2

∗

=

⇒

5 2 sin500 = 0.9576T m 8

26

∗ ∗



CAPÍTULO 2

ELEMENTO 3

Figura 2.7: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento III

R AY = R BY =

∗ ∗

3 M 3 2 = = 1.5T 2 L 2 2

M A = M B =

↑

2 M = = 0.5T m 4 4

Las fuerzas de fijación y momentos de empotramiento calculados existirían si restringiéramos de movimiento a todos los nodos, algo que en no ocurre. En consecuencia, las fuerzas y momentos elásticos o efectivos actúan sobre los nodos en sentido contrario al que definimos, por lo que para fines de análisis estas son las fuerzas que aparecen

Figura 2.8: Viga Con Sus Respectivas Fuerzas Primarios

Al hacer la suma algebraica de las fuerzas y momentos en cada nodo se obtiene la viga cargada que se analizará con el método de la rigidez.

Figura 2.9: Viga con Sus Respectivos Fuerzas y Momentos en Sus Nodos

UNSCH

27



CAPÍTULO 2

ORDENANDO LOS VECTORES DE CARGA

D=

          C D C C

=

C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C 10 C 11 C 12

             

       

0.5 0 1.4576 0.1576 1.6070 R DY 1.5 RCY 0.4151 RCX 1.6070 R BY 3.9151 R AY 2 R AX M A 0.8

− −

=

− − − − − −

ENSAMBLAJE DE MATRIX DE RIGIDEZ DE CADA ELEMEMTO

Figura 2.10: Seccion de Viga

bloque I o cm4 1 106.6667 2 1125 3 106.6667 1338.3334 ∑ t

A cm2 80 60 80 220

   

d(cm) 9.5 0 9.5

Ad 2 cm4 7220 0 7220 14440

 

Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene. Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene. I = ∑ I 0 + ∑ Ad 2 = 1338.3334 + 14440 = 15778.3334cm4 = 0.000157783

El área de la sección transversal y el módulo de elasticidad del acero son A = 220cm2 = 0.022

E = 2.1 107

∗

T m2

Se calcula la matriz de rigidez global para cada elemento aplicando la ecuación ( K ). Los números de código para cada columna y fila de estas matrices, que tienen la peculiaridad de ser siempre simétricas, deben establecerse apropiadamente

K 1

UNSCH

   =  

EA L

0 0 EA L

0 0

0

0

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 4 EI L

0

0

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 2 EI L

−

28

EA L

−

0 0

EA L

0 0

0 12 EI L3 6 EI L2

− −

0 6 EI L2 2 EI L

0

0

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 4 EI L

−

    ANÁLISIS ESTRUCTURAL II


CAPÍTULO 2

ELEMENTO 1

K 1 = 105

 .   − . 

2 31 0 0 2 31 0 0

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.0497

−

0 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0497

−2.31

0 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0497

−2.31

0 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0497

−2.31

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.0497

0 0 2.31 0 0

−

0 0.0497 0.0331 0 0.0497 0.0663

   

0 0.0497 0.0331 0 0.0497 0.0663

   

0 0.0497 0.0331 0 0.0497 0.0663

   

−

−

ELEMENTO 2

K 2 = 105

 .   − . 

2 31 0 0 2 31 0 0

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.0497

−

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.0497

0 0 . 2 31 0 0

−

−

−

ELEMENTO 3

K 3 = 105

 .   − . 

2 31 0 0 2 31 0 0

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.0497

−

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.0497

0 0 2.31 0 0

−

−

−

ENSAMBLAJE TOTAL DE LA MATRIX DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Ya que las matrices de rigidez de todos los elementos fueron determinadas, se ensamblan para calcular “K” la cual también debe ser simétrica y tiene un orden de 12X12 debido a que doce grados de libertad fueron designados para la viga.

K = 10

5

 .  .   − . ∗  .  

0 00663 0 0 0333 0 0 0 0497 0 0497 0 0 0 0 0

0 2.31 0 0 0 0 0 2.31 0 0 0 0

0.0331 0 0.1325 0.0331 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0 0

0 0 0.0331 0.1325 0 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0.0331

−

−

−

0 0 0 0 4.62 0 0 2.31 0 0 2.31 0

− −

K =



−0.0497 0 −0.0497 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 0

−

K 11 K 21

0.0497 0 0 0.0497 0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 0

0 2.31 0 0 2.31 0 0 4.62 0 0 0 0

−

− −

−

−

K 12 K 22

0 0 0 .0497 0 0 0 0.0497 0 0.0497 0.0497 0 0.0497

0 0 0 0.0497 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0497

−

0 0 0 0 2.31 0 0 0 0 0 2.31 0

0 0 0 0.0331 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663

−

      



CALCULOS DE LAS INCOGNITAS DE LA ESTRUCTURA Al hacer C = K*D se tiene

       

0.5 0 1.4576 0.1576 1.6070 R DY 1.5 RCY 0.4151 RCX 1.6070 R BY 3.9151 R AY 2 R AX M A 0.8

UNSCH

− − − − − − − −

     =   

105

    ∗    

0.00663 0 0.0333 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 0

−

0 2.31 0 0 0 0 0 2.31 0 0 0 0

−

0.0331 0 0.1325 0.0331 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0 0

−

0 0 0.0331 0.1325 0 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0.0331

−

0 0 0 0 4.62 0 0 2.31 0 0 2.31 0

− −

−0.0497 0 −0.0497 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 0

−

29

0.0497 0 0 0.0497 0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 0

− − −

0

−2.31 0 0 2.31 0 0 4.62 0 0 0 0

−

0 0 0.0497 0 0 0 0.0497 0 0.0497 0.0497 0 0.0497

0 0 0 0.0497 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0497

−

0 0 0 0 2.31 0 0 0 0 0 2.31 0

−

0 0 0 0.0331 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663

             

θ D

 HD θ C θ B

 HB 0 0 0 0 0 0 0

       



CAPÍTULO 2

El sistema matricial anterior es equivalente a

   C C C D

=

K 11 K 21

K 12 K 22

  D D DC

Se calculan los desplazamientos desconocidos al extraer y resolver un primer subsistema que corresponde a C C = K 11 D D + K 12 DC

Como DC vale cero, la ecuación anterior pasa a ser C C = K 11 D D

Por lo tanto:

 .   − . .

   =

05 0 1 4576 0 1576 1.6070

−

10

5

 .  ∗ .     

0 0663 0 0 0331 0 0

θ D HD

θ C θ B



HB

0.0331 0 0.1325 0.1325 0

0 2.31 0 0 0

0 0 0.0331 0.1325 0

  .    =  − . .

0 0000176rad 0 0 0001158rad 0 0000408rad 0.0000035m

−

0 0 0 0 4.62

     

θ D HD

θ C θ B



HB

  

  

Las reacciones se obtienen de resolver un segundo subsistema que es C D = K 21 D D + K 22 DC

Como ya se mencionó, DC = 0 , así que C C = K 21 D D

Al usar los desplazamientos calculados se tiene

    

R DY 1.5 RCY 0.4151 RCX 1.6070 R BY 3.9151 R AY 2 R AX M A 0.8

− − − − − −

 −.   .  =     

0 0497 0 0497 0 0 0 0 0

0 0 2.31 0 0 0 0

−

−0.0497 0 0 0.0497 0 0 0

0 0.0497 0 0 0.0497 0 0.0331

−

0 0 2.31 0 0 2.31 0

− −

   .   .   − .  −.

0 0000176 0 0 0001158 0 0000408 0 0000035

  − . .   .  =  − . .  .

0 6628 0 2902 0 8035 0 5755 0 2030 0 8035 0.1353

OPTENCION DE LAS RECCIONES R DY -1.5=-0.6628 = R DY = 0.6628 + 1.5 = 0.8372T ∴ R DY = 0.8372T RCY -0.4151=0.0902 = RCY = 0.2902 + 0.4151 = 0.7053T ∴ RCY = 0.7053T

⇒

−

⇒

↑

⇒ ⇒ ↑ R -1.6070=0.8035 =⇒ R = 0.8530 + 1.6070 = 2.4105T ⇒∴ R = 2.4105 → R -3.9151=0.5755 =⇒ R = 0.5755 + 3.9151 = 4.4906T ⇒∴ R = 4.4906 ↑ R -2=-0.2030 =⇒ R = −0.2030 + 2 = 1.797T ⇒∴ R = 1.7970T ↑ R =0.8035 =⇒ R = 0.8035 → R -0.8=-0.1353 =⇒ M = −0.1353 + 0.8 = 0.664T m. ⇒∴ M = 0.6647T CX

DY

CX

BY

BY

BY

AY

AX A

UNSCH

AY

AY

AX

A

A

30




    


CAPÍTULO 2

Se muestran los resultados obtenidos en el siguiente diagrama

Figura 2.11: Viga Con Sus Fuerzas Externas en Los Nodos

Se comprueba el equilibrio externo de la viga. Al resolver la fuerza de 5T en sus componentes x y y resulta F 1 X = 5 cos50o = 3.2139

F 1Y = 5 sin50o = 3.8302T

∗

∗

La fuerza resultante de la carga distribuida y su punto de aplicación son. C P =

2 3

 ( )( ) = 3 2

¯ = 1m. X

4T

+ ∑ FY = 1.7970

↑ − 4 + 4.4906 − 3.8302 + 0.7053 + 0.8372 = 0 OK + → ∑ FX = 0.8035 − 3.2139 + 2.4105 = 0 OK + ∑ MA = −0.6647 + 4 − 4.4906 (2) + 3.8302 (3) − 0.7053 (4) + 2 − 0.8372 (6) ≡ 0 OK 

Funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal. 0 ≤ X ≤ 2m.

Figura 2.12: Seccionamiento en Del Elemento I

AC =

−

4w 3 X + 2 LW X 2 3 L2

=

− ∗∗ X + 4 3 3 22

3

∗

2 3 2 2 X

= X 2 + 3 X 2

−

y su línea de acción se localiza a una distancia de ¯ = X

− LW 2 X 4+ 43W L X 3 − 232 X 4 + 43∗∗32 X 3 − 34 X 4+2 X 3 = − X 3 +3 X 2 = − X 3 +3 X 2 AC

UNSCH

31



CAPÍTULO 2

+  ∑ Mcorte = M 1

− − 0.6647 + 1.7970 X

M 1 =

X 4 4

− −

3

2

X + 3 X

−

3 4 3 4 X +2 X 3 2 X +3 X

−



= 0

3

− X + 1.7970 X − 0.6647 = X − 3 X + 1.7970 V = + → ∑ FX = 0 ⇒ N + 0.8035 = 0 ⇒ N = −0.8035 2m ≤ X ≤ 3m. 1

dM 1 dx

3

2

1

1

Figura 2.13: Seccionamiento en Del Elemento II

∑ Mcorte = 0

⇒ − M − 0.6647 + 1.7970 X − 4 ( X − 1) + 4.4906 ( X − 2) = 0 = 2.2876 M = 2.2876 X − 5.6459 V = + → ∑ FX = 0 ⇒ N + 0.8035 = 0 ⇒ N = −0.8035 3m ≤ X ≤ 4m. 2

2

2

2

dM 2 dx

2

Figura 2.14: Seccionamiento en Del Elemento II

UNSCH

32


2.1. EJEMPLO DE UN VIGA Mcort e = 0 ∑ Mcorte

CAPÍTULO 2

⇒ − M − 0.6647 + 1.7970 X − 4 ( X − 1) + 4.4906 ( X − 2) − 3.8302 ( X − 3) = 0 = −1.5426 M = 5.8447 − 1.5426 V = + → ∑ F X = = 0 ⇒ N + 0.8035 − 3.2139 = 0 ⇒ N = 2.4104 3

3

dM 3 dx

2

3

3

4m ≤ X ≤ 5m.

Figura 2.15: Seccionamiento en Del Elemento III

Mcort e = 0 ∑ Mcorte M 4 0.6647 + 1.7970 X

− 4 ( X − 1) + 4.4906 ( X − 2) − 3.8302 ( X − 3) + 0.7053 ( X − 4) = 0 = −0.8373 M = 3.0235 − 0.8373 X V = + → ∑ F X = = 0 ⇒ N + 0.8035 − 3.2139 + 2.4105 = 0 ⇒ N = 0 − − 4

4

dM 4 dx

4

4

5m ≤ X ≤ 6m. ∑ Mcort e = 0

⇒ − M 5 − 0.6647 + 1.7970 X − 4 ( X − 1) + 4.4906 ( X − 2) − 3.8302 ( X − 3) + 0.7053 ( X − 4) + 2 = 0

M 5 = 5.0235

− 0.8373 X + → ∑ F X = = 0 ⇒ N = 0

V 5 =

dM 5 dx

= 0.8373

−

5

Figura 2.16: Seccionamiento en Del Elemento III

UNSCH

33



CAPÍTULO 2

Se aplica el método de la doble integración. Al Aplicar la ecuación diferencial EI

d 2 y

= M

dx 2

e integrarla dos veces en cada tramo se obtiene

0m ≤ X ≤ 2m. d 2 y X 4 EI E I 2 = 4 dx

3

− X + 1.7970 X − 0.6647 4

ˆ d (dy) ˆ  X

EI E I

=

dx

4

dy EI E I = 0.05 x5 dx EI θ = = 0.05 x5

ˆ

EI E I

− 0.25 x

dy =

ˆ  

EIy E Iy 1 = 0.008333 x6

4

3

− X + 1.7970 X − 0.6647

− 0.25 x

4

+ 0.8985 x2 5

0.05 x

− 0.05 x

5



+ 0.8985 x2

dx

− 0.6647 x + C

1

− 0.6647 x + C ............................ (1)

− 0.25 x

1

4

+ 0.8985 x

+ 0.2995 x3

2

− 0.6647 x + C

1

− 0.33235 x

2



dx

+ C 1 + C 2 ............... (2)

2m ≤ X ≤ 3m. d 2 y EI E I 2 = 2.287 X dx

ˆ d (dy) ˆ

EI E I

EI θ 2 = 1.1438 x2

ˆ

EI E I

=

dx

dy =

− 5.6459

(2.2876 X 5.6459) dx

−

− 5.6459 x + C ............................ (3) 3

ˆ 

EIy E Iy 2 = 0.38127 x3

1.1438 x2

− 2.82295 x

2

− 5.6459 x + C  dx 3

+ C 3 X + + C 4 ............... (4)

3m ≤ X ≤ 4m. d 2 y EI E I 2 = dx EI

ˆ d (dy) ˆ dx

θ3 = 5.8447 X EI E I θ EI

ˆ

dy =

=

( 1.5426 X + + 5.8447) dx

−

2

− 0.7713 X + C ............................ (5)

ˆ 

EIy E Iy 3 = 2.92235 x2

UNSCH

+ 5.8447 −1.5426 X +

5

5.8447 X

2

− 0.7713 X + C  dx

3

5

+ C ............... (6) − 0.2571 X + C X + 34

5

6



CAPÍTULO 2

4m ≤ X ≤ 5m. d 2 y EI E I 2 = 3.0235 dx

ˆ d (dy) ˆ

EI E I

θ4 = 3.0235 X EI E I θ EI

ˆ

=

dx

dy =

− 0.8373 X

(3.0235 2

− 0.8373 X ) dx

............................ (7) − 0.41865 X + C ............................(

ˆ 

EIy E Iy 4 = 1.51175 x2

3.0235 X

7

2

− 0.41865 X + C  dx 3

7

+ C ............... (8) − 0.13955 X + C X + 7

8

5m ≤ X ≤ 6m. d 2 y EI E I 2 = 5.0235 dx

ˆ d (dy) ˆ

EI E I

dx

θ5 = 5.0235 X EI E I θ EI

ˆ

dy =

=

− 0.8373 X

(5.0235 2

− 0.8373 X ) dx

− 0.41865 X + C ............................( ............................ (9)

ˆ 

EI y5 = 2.51175 x2

5.0235 X

9

2

− 0.41865 X + C  dx 3

9

+ C − 0.13955 X + C X +

10 10 ............... (10)

9

Se plantean diez condiciones que permitan resolver el sistema de ecuaciones. Se sabe que en el empotre A no hay rotación ni deflexión, así que se tienen las siguientes dos condiciones de frontera

= 0enx = 0 1) si y = 0enx = 0 y 2)θ = Sustituyendo las condiciones 1) y 2) en (1) y (2) respectivamente, da EI ((0)) = 0.05 0

∗ − 0.25 ∗ 0 + 0.8985 ∗ 0 − 0.6647 ∗ 0 + C ⇒∴ C = 0 EI ((0)) = 0.008333 ∗ 0 − 0.05 ∗ 0 + 0.2995 ∗ 0 − 0.33235 ∗ 0 + C ⇒∴ C = 0 1

1

2

2

Las otras ocho constantes se pueden conocer a partir de establecer un mismo número de condiciones de continuidad, tal y como se efectúa a continuación

3) si θ 1 = θ 2 en x = 2m en ento tonc nces es 0.05 25

4

∗ − 0.25 ∗ 2

UNSCH

+ 0.8985 22

∗ − 0.6647 ∗ 2 + C ⇒∴ C = 6.5812 3

3

35



CAPÍTULO 2

4) si y1 = y2 en x = 2 te tene nemo moss 0.008333 26

5

∗ − 0.05 ∗ 2

+ 0.2995 23

2

3

2

∗ − 0.33235 ∗ 2 = 0.38127 ∗ 2 − 2.82295 ∗ 2 ∴ C = −4.920848

+ 6.5812 2 + C 4

∗

4


2

∗ − 5.6459 ∗ 3 + 6.5812 = 5.844 ∗ 3 − 0.7713 ∗ 3 + C ∴ C = −10.6547

5

5

6) si y2 = y3 en x = 3m en ento tonc nces es 0.38127 33

2

∗ − 2.82295 ∗ 3

2

+ 6.5812 3

3

∗ − 4.920848 = 2.92235 ∗ 3 − 0.2751 ∗ 3 − 10.6547 ∗ 3 + C

6

∴ C 6 = 12.3151

7) si θ 2 = θ 3 en x = 4m .entonces 5.8447 4

2

2

∗ − 0.7713 ∗ 4 − 10.6547 = 30.235 ∗ 4 − 0.41865 ∗ 4 ∴ C = −5.0123

+ C 7

7

8) si y3 = y4 en x = 4m .entonces 2.92235 42

3

2

3

∗ − 0.2571 ∗ 4 − 10.6547 ∗ 4 + 12.3151 = 1.51175 ∗ 4 − 0.13955 ∗ 4 − 5.0123 ∗ 4 + C

8

∴ C 8 = 4.7919


2

2

∗ − 0.41865 ∗ 5 − 5.0123 = 5.0235 ∗ 5 − 0.41865 ∗ 5 + C ∴ C = −15.0123

9

9

10) si y4 = y5 enXx = 5m en ento tonc nces es 1.51175 52

3

2

3

∗ − 0.13955 ∗ 5 − 5.0123 ∗ 5 + 4.792.51175 ∗ 5 − 0.13955 ∗ 5 − 15.0123 ∗ 5 + C

10 10

∴ C 10 10 = 29.7919

UNSCH

36



CAPÍTULO 2

Las funciones de la pendiente y la deflexión de la viga se obtienen al sustituir las constantes de integración en las ecuaciones correspondientes

= 2.1 107 (0.000157) = 3313.443T .m2 EI E I =





∗

0  x  2m



θ 1 = y1 =





1 3313.443

1 3313.443

0.05 x

5

4

− 0.25 x



0.008333 x6

− 0.05 x

+ 0.8985 x 5

2

− 0.6647 x

+ 0.2995 x3



− 0.33235 x

2



2m  x  3m

θ 2 = y2 =





1 3313.443

1 3313.443



1.1438 x2



0.38127 x3

− 5.6459 x + 6.5812

− 2.82295 x

2

+ 6.5812 x

− 4.920848

3m  x  4m

θ 3 =



y3 =



1 3313.443

1 3313.443





5.8447 x

2.92235 x2

2

− 0.7713 x − 10.6547 x 3

− 0.257 x − 10.6547 x + 12.3151

4m  x  5m

θ 4 = y4 =





1 3313.443

1 3313.443





3.0235 x

1.5117 x2

2

− 0.41865 x − 5.0123 3

− 0.13955 x − 5.0123 x + 4.7919

5m  x  6m

θ 5 = y5 =

UNSCH





1 3313.443

1 3313.443





5.0235 x

2.51175

2

− 0.41865 x − 15.0123 3

− 0.13955 x − 15.0123 x + 29.7919

37



CAPÍTULO 2

FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DE LA VIGA

Figura 2.17: Momento Flector de la Viga

Figura 2.18: Fuerza Cortante De La Viga

UNSCH

38



CAPÍTULO 2

Figura 2.19: Fuerzas Axiales De La Viga

UNSCH

39


CAPÍTULO 3

APLICACION DE UN FRAME 2D POR METODO REGIDEZ

3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D Analice el portico de la figura

Figura 3.1: Portico Plano 40

3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D

CAPÍTULO 3

3.1.1. Solucion: .Se adopta la siguiente numeración y orientación

Figura 3.2: Numeracion Grados y Elementos del Portico Plano

PROPIEDADES DE LOS MIEMBROS Miembro 1-2 4-1 2-3

θ o

λ

µ

AE L

26.56 53.13 -71.56

0.89443 0.60000 0.31623

0.44721 0.80000 -0.94868

44610 34200 27037

EI 2037 1282 1282

2 EI L 911 513 406

4 EI L 1822 1026 811

6 EI L2 611 308 192

12 EI L3 273 123 61

OPTENCION DE LAS FUERZAS DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Figura 3.3: Elemento Cargado con Una Fuerza Distribuida

UNSCH

41



CAPÍTULO 3

F F = X 21 = 0 X 12 F F = Y 21 = 2.8 Y 12

F M 12

× 2 = 5.60T 2.8 × 16 = − M = = 3.733T − m 12 F 21

Figura 3.4: Portico Con Sus Cargas Puestas en su Nodos

Aplicando las ecuaciones a cada miembro obtenemos:

BARRA 1

   

X 12 Y 12 M 12 X 21 Y 21 M 21

UNSCH

    −  =  −−  −

35743 17735 273 3574 17735 273

−

17735 9141 546 17735 9141 546

− −

−273 −35743 −17735 −273   U −17735 −9141 546   V 546 −546 911   θ 1822 273  U 273 35743 17735 273   −546 17735 9141 −546   V −546 1822 911 273 θ

1

1 1 2

2 2

42

     +   

0 5.60 3.733 0 . 5 60 3.733

−

   ( )  a



CAPÍTULO 3

BARRA 2

   

BARRA 3

X 41 Y 41 M 41 X 14 Y 14 M 14

   

X 23 Y 23 M 23 X 32 Y 32 M 32

     =   

0 0 0 0 0 0

−12391 −16357 −246   0 −16357 −21932 185   0 −185 513   0 246  U 12391 16357 246   −185   V 16357 21932 −185 1026 246 θ

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    −  =  −  

1

1 1

−8093

2758 8093 182 2758 8093 182

182 61 811 182 61 406

24339 61 8093 24339 61

− −

−

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

   ( )  b

   ( ) 

U 2 V 2

θ 2

c

0 0 0

Al ensamblar los términos correspondientes a los nudos libres se llega a :

   

X 1 Y 1 M 1 X 2 Y 2 M 2

= = = = = =

X 12 Y 12 M 12 X 21 Y 21 M 21

+ + + + + +

= = = = = =

X 41 Y 41 M 41 X 14 Y 14 M 14

1.5 0 0 0 0 0

48 134 34092 27 35743 17735 273

    −  =  −  − −

3 40 92 31073 362 17735 9141 546

− −

−27 −35743 −17735 −273 362 −17735 −9141 546 2848 273 −546 911 273 38502 9642 456 −546 9642 33480 −486 911 456 −486 2633

     

U 1 V 1

θ 1 U 2 V 2

θ 2

     +   

0 5.60 3.733 0 5.60 3.733

−

   

RESULTADO DE LOS DESPLAZAMIENTO U 1 V 1

θ 1 U 2 V 2

θ 2

= = = = = =

13.29 10.16 1.655 7.09 2.10 4.64

− −

× × × × × ×

10−3 10−3 10−3 10−3 10−3 10−3

m m rad ms m rad

→ ↓ → ↑





Reemplazando estos valores en las ecuacion (a), (b) y (c) se obtienen las fuerzas internas, referidas a coordenadas generales:

BARRA 1: X 12 Y 12 M 12

= = =

3.428 5.155 3.452

−

T T T

−m

→ ↑

X 21 Y 21 M 21



= = =

−3.429 6.045 −5.185

← ↑

T T T

−m



BARRA 2: X 41 Y 41 M 41

= X 4 = Y 4 = M 4

= 1.929 T = 5.156 T = 4.301 T m

−

→ ↑

X 14 Y 14 M 14



= = =

−1.929 −5.156 3.452

T T T

−m

← ↓



BARRA 2: X 23 Y 23 M 23

UNSCH

= = =

3.429 6.045 5.185

−

T T T

−m

→ ↓

X 32 Y 32 M 32



43

= = =

−3.429 6.045 3.303

T T T

−m

← ↑





CAPÍTULO 3

Figura 3.5: Portico Con Sus Respectivas Reaciones y Desplazamientos en Sus Nodos

ΣF x = 0.000 Ton ΣF y = 0.001 Ton

Para hallar las fuerzas internas referidas a coordenadas locales se utilizan las matrices de transformación

  = [ ][ ] F

T F

0 0 0 0.89443 0.44721 0

0 0 0 0.44721 0.89443 0

0 0 0 0.6 0.8 0

0 0 0 0 0 1

BARRA 1

   

X 12 Y 12 M 12 X 21 Y 21 M 21

  .   − .  =   

0 89443 0 44721 0 0 0 0

0.44721 0.89443 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

−

0 0 0 0 0 1

 .   .   −− ..  .

3 428 5 155 3 452 3 429 6 045 5.185

−

  .   .  =  −− ..   .

5 372 3 078 3 452 0 364 6 940 5.185

−

T T T

−m T T

T

−m

     





BARRA 2

   

UNSCH

X 41 Y 41 M 41 X 14 Y 14 M 14

  .   − .  =   

06 08 0 0 0 0

0 .8 0 .6 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

−

0 0 0 0.8 0.6 0

44

 .   .   −− ..  − .

1 929 5 156 4 301 1 929 5 156 3.452

  .   .  =  − . .  −.

5 282 1 550 4 301 5 282 1 550 3.452

T T T

−m T T

T

−m

     







CAPÍTULO 3

BARRA 3

   

X 23 Y 23 M 23 X 32 Y 32 M 32

     =   

0.31623 0.94868 0 0 0 0

−0.94868 0.31623 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0.31623 0.94868 0

0 0 0 0.94868 0.31623 0

−

0 0 0 0 0 1

 .   − .   − . .  .

3 429 6 045 5 185 3 429 6 045 3.303

  .   .  =  − . .  −.

6 819 1 342 5 185 6 819 1 342 3.303

T T T

−m T T

T

−m

     





FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DEL PORTICO

Figura 3.6: Diagram Fuerza Cortante del Portico

UNSCH

45



CAPÍTULO 3

Figura 3.7: Diagrama de Momento Flector del Portico

Figura 3.8: Portico Con su Respectiva Fuerzas Axiales en Los Elementos

UNSCH

46


CAPÍTULO 4

APLICACION DE TRUSS 2D METODO RIGIDEZ

4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D Empleando el método de la rigidez matricial, calcule las reacciones en los soportes y la fuerza en cada uno de los elementos de la armadura mostrada en la figura 1-1a. La sección transversal de los elementos 1, 2, 3, 4 y 5 es rectangular con un ancho de 30cm y una altura de 40cm, mientras que la sección transversal de los elementos 6, 7 y 8 es cuadrada de 40cm por lado. El módulo de elasticidad para todas las barras es el de las maderas duras, es decir, 2.1 106 mT 2 .

×

Figura 4.1: Aramdura Plana

47

4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D

CAPÍTULO 4.

4.1.1. Solucion: A = (0.3m) (0.4m) = 0.12m2

y para los elementos 6, 7 y 8 se sabe que A = (0.4m) (0.4m) = 0.16m2

 . ×  =  = ) . ×

AE = 0.12m2



AE = ( 0.16m

21

21

106 mT 2

106 mT 2

252000T

336000T

Figura 4.2: Designacion De Los Grados de Libertad de la Armadura

Se aislará cada elemento de la armadura, figuras 1-1c hasta 1-1j, con el objetivo de visualizar con mayor facilidad individualmente su longitud y número, así como sus nodos N y F con sus correspondientes coordenadas globales x N , y N y F x , F y , y sus debidos números de código de grado de libertad N x , N y y F x , F y . Además, con el único fin de esclarecer quienes son los cosenos directores de las barras, se coloca el sistema local x´, y´, y se identifican los ángulos θ x y θ y .

ELEMENTO 1

L = 3m λ x =

K 1

  =  −

3

− 0 = 1 3

84000 0 84000 0

10 0 0 0

λ y =

0

7 84000 0 84000

−

− 0 = 0 3

0 0 0 0

  

Figura 4.3: Elemento (1) Aislado de La Armadura

UNSCH

48



CAPÍTULO 4.

ELEMENTO 2 L

 √ = ( ) + ( ) =  .  . =  − . −

K 2

2m

2

3m

2

21505 8375 32262 2509 21505 8375 32262.2509

−

13m λ x =

√ −133 = 0.5547

5

32262.2509 48393.3764 32262.2509 48393.3764

−

λ y =

√ −130 = 0.8321

3

−21505.8375 −32262.2509  −32262.2509 −48393.3764   21505.8375 48393.3764

32262.2509 48393.3764




ELEMENTO 3 L = 2m λ x =

K 3

  =  −

5

− 3 = 1 2

126000 0 126000 0

0 0 0 0

λ y =

3

− 3 = 0

−126000 0 126000 0

2

0 0 0 0

  


UNSCH

49



CAPÍTULO 4.

ELEMENTO 4


L = 3m λ x =

K 4

3

− 0 = 1

λ y =

3

  =  −

84000 0 84000 0

0 0 0 0

3

− 3 = 0 3

−84000 0 84000 0

0 0 0 0

  


K 5

  =  

0 0 0 0

0

− 0 = 0

λ y =

3

0 84000 0 84000

−

0 0 0 0

3

− 0 = 1 3

0 84000 0 84000

−

  

Figura 4.7: Elemento (5) y (6) Aislado de La Armadura

UNSCH

50



CAPÍTULO 4.

ELEMENTO 6: L

 √ = ( ) + ( ) =  . − − . =  − . 3m

K 6

2

3m

2

3 2m λ x =

√

L = 3 2m =

K 7

39597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.9798

39597 9798 39597 9798 39597 9798 39597.9798

ELEMENTO 7

− 0 = 0.7071 √ 3 2

3

−

39597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.9798

−

−39597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.9798

−

− 3 = −0.7071 √ 3 2

0

39597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.9798

− −

  

− 0 = 0.7071 λ = 3 √ − 0 = 0.7071 √ 3 2 3 2  39597.9798 −39597.9798 −39597.9798 39597.9798 −39597.9798 −39597.9798   −39597.9798 39597.9798 39597.9798  −39597.9798 39597.9798 39597.9798

λ x =

  =  −

λ y =

3

y



K 8

UNSCH

  =  

0 0 0 0

3

− 3 = 0

λ y =

3

0 112000 0 112000

−

51

0 0 0 0

3

− 0 = 1 3

0 112000 0 112000

−

   ANÁLISIS ESTRUCTURAL II


CAPÍTULO 4.

OPTENCION DE LA MATRIX DE RIGIDEZ DE CADA ELEMENTO Como se designaron diez grados de libertad para la armadura, figura 1-1b, la matriz de rigidez tiene un orden de 10 10 y se obtiene al sumar algebraicamente los elementos correspondientes a las ocho matrices anteriores. Para visualizar el proceso de ensamble con mayor facilidad, se expanden con ceros las filas y columnas numéricas faltantes en cada K i . Los valores calculados previamente cuando se empleó la ecuación 1 − 4 aparecen de color azul con la finalidad de distinguirlos.

×

K 1

K 2

    =    

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K 3

    =    

K 4

UNSCH

    =    

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 21505.8375 32262.2509 21505.8375 32262.2509 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

   −  =    

0 0 0 0 0 0 84000 0 84000 0

−

− −

0 0 126000 0 126000 0 0 0 0 0

−

84000 0 84000 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 32262.2509 48393.3764 32262.2509 48393.3764 0 0

− −

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 84000 0 0 0 0 0 0 0

52

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

      

0 0 0 0 32262.2509 48393.3764 32262.2509 48393.3764 0 0

− −

−

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 84000 0 84000 0

0 0 0 0 21505.8375 32262.2509 21505.8375 32262.2509 0 0

0 0 126000 0 126000 0 0 0 0 0

−84000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

− −

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

      

      

      



K 5

K 6

K 7

    =    

  −   =   −  

39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 0

    =    

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 84000 0 0 0 0 0 0 0 84000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−39597.9798

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−39597.9798

0 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−

39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 0

−

0 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798

− −

K 8

CAPÍTULO 4.

    =    

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

− −

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 112000 0 0 0 112000 0 0

−

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 84000 0 0 0 0 0 0 0 84000

−

39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 0

−

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

      

0 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798

      

−

− −

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−

      

−

0 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798

0 0 0 112000 0 0 0 112000 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

− −

      

Una vez efectuado el procedimiento de expansión en todas las Ki , estas se suman. Por consiguiente, K = K 1 + K 2 + K 3 + K 4 + K 5 + K 6 + K 7 + K 8

    =   

K

UNSCH

123597.9798 0 0 0 0 0 39597.97 98 39597.9798 0 0

−

−39597.9798 123597.9798 0 0 0 0 3 95 97.9798 39597.9798 0 84000

−

−

−84000

0 249597.97 98 39597.9 79 8 126000 0 0 0 39597.9798 39597.9798

−

− −

0 0 3 95 97.9798 1 51 59 7.9798 0 0 0 112000 39597.9798 39597.9798

− −

−

0 0 126000 0 147505.8 35 7 32262.2509 21505.8375 32262.2509 0 0

−

− −

53

0 0 0 0 32 26 2.2 50 9 48393.3764 32262.2 50 9 48393.3764 0 0

− −

−39597.9 79 8 39597.9798 0 0 - 21 505.8 37 5 32262.2 50 9 1 45 10 3.8173 7335.7 28 9 84000 0

− −

−

3 95 97.9798

−39597.9798 0 -112000 - 32 26 2.2509 - 48 39 3.3764 7335.7289 1 99 99 1.3562 0 0

−

0 0 39597.9 79 8 -39597.9798 0 0 -84000 0 123597.9 79 8 39597.9 79 8

−

0 -84000 - 39 59 7.9798 39597.9798 0 0 0 0 3 95 97.9798 1 23 59 7.9798

−

     



CAPÍTULO 4.

Para no realizar el proceso de ensamble anterior, obsérvese como puede calcularse cada entrada de la matriz de rigidez de la estructura. Por ejemplo, para obtener K 1,1 , es decir, la entrada de K correspondiente a la fila 1 y columna 1, se detectan todas las entradas 1,1 que son visibles en las matrices K i sin expandir, en este caso, de los elementos 4,5 y 6 se tiene (K 1,1 )4 = 84000, ( K 1,1 )5 = 0 y ( K 1,1 )6 = 39597.9798. Luego, es obvio que las K i sin expandir restantes almacenan valores nulos en sus respectivas entradas 1,1 al no ser visibles, así que, ( K 1,1 )1 = (K 1,1 )2 = (K 1,1 )3 = (K 1,1 )7 = , ( K 1,1 )8 = 0, por lo que podemos ignorarlos. En consecuencia, K 1,1 = 84000 + 0 + 39597.9798 = 123597.9798. Se debe efectuar un procedimiento análogo para las demás entradas hasta obtener K en su totalidad. Ya que siete desplazamientos fueron identificados como desconocidos en la armadura, la matriz de rigidez de la estructura se seccionó de tal forma que en la parte izquierda quedaran siete columnas y en la porción superior se tuvieran siete filas; esta partición se efectuó con el fin de que sea compatible con las particiones de los vectores de desplazamientos y de cargas que en el próximo apartado se formularán. Entonces, K quedó dividida en cuatro submatrices que tienen la siguiente nomenclatura: K =



K 11 K 21

K 12 K 22



→ (1 − 5)

Vectores de desplazamientos y de cargas: Se plantea el vector total de desplazamientos externos D y se divide en dos vectores: el de desplazamientos desconocidos D D y el de desplazamientos conocidos DC . Como ya se había comentado en el apartado de notación, los desplazamientos codificados del 1 al 7 son desconocidos, por lo que D D comprende desde D1 hasta D 7 , en tanto, los desplazamientos codificados del 8 al 10 corresponden a los conocidos, así que evidentemente DC abarca D8 , D9 y D 10 .



Para denotar un desplazamiento en la dirección horizontal se usa H , mientras que para significar un desplazamiento vertical se emplea δ V ; en ambos símbolos aparece también como subíndice un número que indica el nodo donde ocurre el desplazamiento. Siendo así y con base en la figura 1-1b, obsérvese como, por ejemplo, el desplazamiento codificado con 1 es el desplazamiento horizontal en el nodo (5), es decir, D1 = H 5 , o bien, el desplazamiento 2 es el vertical del nodo ( 5), o sea, D 2 =δ V 5 . A su vez, recordemos que los desplazamientos codificados con 8,9 y 10 son nulos debido a que los soportes ( 2)y ( 1) los impiden de manera respectiva, dado que a esos apoyos no se les ha impuesto un desplazamiento, en consecuencia, D 8 = D9 = D10 =0



D

  → ( − ) = D D DC

1

6

D

    =    

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

        =         

H 5

δ V 5 H 4

δ V 4 H 3

δ V 3 H 2

0 0 0

      

Se procede a plantear el vector total de cargas externas C, el cual se secciona dando origen al vector de cargas conocidas C C y al vector de cargas desconocidas C D . De la figura 1-1b, nótese que las cargas externas en las direcciones 5 y 6 son de 5T y y 6T actuando en las direccciones x positiva y y negativa respectivamente, por consiguiente, C 5 = 5T y C 6 = −6T. También vease como no hay cargas externas aplicadas en las direcciones 1, 2, 3, 4 y 7, de ahí que C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C 7 = 0. Así mismo, por inspección, se puede apreciar que en las direcciones 8, 9 y 10 se presentan las reacciones en y del soporte (2), y en x y y del soporte (1); como se desconoce la magnitud y el sentido de ellas, estas fuerzas deben proponerse en el vector como positivas, es por eso que C 8 = R2 y , C 9 = R1 x ,C 10 = R1 y .

UNSCH

54



C =

CAPÍTULO 4.

  → ( − ) C C C D

1

7

    =    

C

C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C 10

       =    −    

0 0 0 0 5 6 0 R2 y R1 x R1 y

      

Cálculo de los desplazamientos incógnita y las reacciones en los soportes Luego de haber construido la matriz de rigidez de la estructura, las componentes de la carga global C que actúan sobre la armadura se vinculan con sus desplazamientos globales D por medio de la ecuación de rigidez de la estructura que es C = KD

→ (1 − 8)

Combinando las ecuaciones 1 − 5, 1 − 6 y 1 − 7 con la ecuación 1 − 8 da

   C C

=

C D

K 11 K 21

K 12 K 22

  D D DC

→ (1 − 9)

Ahora se infiere como este sistema de ecuaciones tiene la propiedad de que puede descomponerse en dos subsistemas de ecuaciones: el primero de estos sistemas relaciona únicamente los desplazamientos incógnita con las fuerzas conocidas y los desplazamientos conocidos, y constituye un sistema compatible determinado, mientras que el segundo subsistema contiene las reacciones incógnita y una vez resuelto el primer subsistema es de resolución trivial. Expandiendo la ecuación 1 − 9 se tiene C = K 11 D D + K 12 DC C D = K 21 D D + K 22 DC

→ (1 − 10) → (1 − 11)

Atendemos al subsistema 1. Puesto que para esta armadura el vector de desplazamientos conocidos es un vector nulo dado que los soportes no se desplazan, DC = 0. De ese modo, la ecuación 1 − 10 se reduce notablemente a C C = K 11 D D (1 12)

→ −

Despejando D D de la ecuación 1 − 12, se obtienen evidentemente los desplazamientos incógnita directamente. −1 (1 13) D D = ( K 11 ) C C

→ −

De inmediato nos ocupamos del subsistema 2. La ecuación 1 − 11 también se simplifica notoriamente por el hecho de que DC es nulo. Por lo tanto, las reacciones en los soportes se infieren con la siguiente expresión: C D = K 21 D D

→ (1 − 14)

Al plantear la ecuación 1 − 8 (o la ecuación 1 − 9) para esta armadura resulta

     

0 0 0 0 5 6 0 R2 y R1 x R1 y

−

       =     

123597.9798

−39597.9 79 8 −84000

0 0 0 39597.9 79 8 39597.9798 0 0

−

−39597.9798

1 23 59 7.9798 0 0 0 0 3 95 97.9798 39597.9798 0 84000

−

−

−84000

0 249597.9 79 8 39597.9 79 8 126000 0 0 0 39597.9798 39597.9798

−

− −

0 0 3 95 97.9798 15 15 97.9798 0 0 0 112000 39597.9798 39597.9798

− −

−

0 0 126000 0 147505.8357 32262.2509 21505.8375 32262.2509 0 0

−

− −

−39597.9 79 8

0 0 0 0 32262.2 50 9 48393.3764 32262.2 50 9 48393.3764 0 0

39597.9798 0 0 -2 15 05.8 37 5 32262.2 50 9 1 45 10 3.8173 7335.7 28 9 84000 0

− −

− −

−

3 95 97.9798

−39597.9798 0 -112000 - 32 26 2.2509 - 48 39 3.3764 7335.7289 1 99 99 1.3562 0 0

−

0 0 39597.9 79 8 -39597.9798 0 0 -84000 0 123597.97 98 39597.9 79 8

−

0 -84000 - 39 59 7.9798 39597.9798 0 0 0 0 3 95 97.9798 1 23 597.9798

−

          

 H 5 δ V H 54 δ V 4  H 3 δ V H 32 0 0 0

     

Se extrae el primer subsistema y se resuelve. Puede verse que la ecuación resultante es como la ecuación 1 − 12 y el despeje de la misma tiene la forma de la ecuación 1 − 13.

    −

0 0 0 0 5 6 0

UNSCH

123597.9798 39597.9798 84000 0 0 0 39597.97 98

    − −  =    −

−39597.9798 123597.9798 0 0 0 0 3 95 97.9798

−84000

0 249597.9 79 8 39597.9 79 8 126000 0 0

−

0 0 3 95 97.9798 1 51 59 7.9798 0 0 0

55

0 0 126000 0 147505.83 57 32262.2509 21505.8375

−

−

0 0 0 0 32 26 2.250 9 48393.3764 32262.2509

−

−39597.9798 39597.9798 0 0 -215 05.8375 32262.2509 145103.8173

−

         

H 5

δ V 5 H 4

δ V 4 H 3

δ V 3



H 2

   



      

H 5

δ V 5 H 4

δ V 4 H 3

δ V 3



H 2

123597.9798 39597.9798 84000 0 0 0 39597.97 98

    − −  =      −

−39597.9798

CAPÍTULO 4.

−84000

123597.9798 0 0 0 0 3 95 97.9798

0 249597.9 79 8 39597.9 79 8 126000 0 0

−

0 0 3 95 97.9798 1 51 59 7.9798 0 0 0

0 0 126000 0 147505.83 57 32262.2509 21505.8375

−39597.9798

0 0 0 0 32 26 2.250 9 48393.3764 32262.2509

−

−

39597.9798 0 0 -215 05.8375 32262.2509 145103.8173

−

−

        −

0 0 0 0 5 6 0

    

RESULTADOS FINALES DE LOS DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Y VERTICALES EN LOS NODOS

      

H 5

δ V 5 H 4

δ V 4 H 3

δ V 3



H 2

     =     

0.000135574m 4.4452 10−5m 0.000180026m −4.7024 10−5m 0.000251459m −0.000293739m −3.1742 10−6m

× × ×

    

Note como el nodo(5) se desplaza horizontalmente hacia la derecha 0.000135574m y verticalmente hacia arriba 4.4452 * 10−5 m, o percátese de la ocurrencia de un movimiento hacia la derecha y hacia abajo del nodo(4) de 0.000180026 m y 4.7024 * 10−5 m. También, vea como el nodo (3) tiene componentes horizontal y vertical de desplazamiento de 0.000251459 m hacia la derecha y de 0.000293739 m hacia abajo. Por su parte, el nodo ( 2) se desplaza 3.1742 * 10−6 m hacia la izquierda. Se escribe el segundo subsistema y se le da solución. Visualice como la ecuación originada que posee el aspecto de la ecuación 1 − 14 se simplifica sencillamente al realizar la multiplicación de matrices correspondiente y con ello se llega a los valores de las fuerzas reactivas en los soportes (1) y ( 2).

 

R2 y R1 x R1 y

  =

39597.9798 0 0

−39597.9798 0 −84000

0

−39597.9798 −39597.9798

−32262.2509

−112000 −39597.9798 −39597.9798

−48393.3764

0 0

0 0

−7335.7289199991.356200 −840000123597.979839597.9798 0039597.9798123597.9798

     

0.000135574m 4.4452 10−5m 0.000180026m −4.7024 10−5m 0.000251459m −0.000293739m −3.1742 10−6m

× × ×

    =  

15T

−5T −9T

 

Los signos negativos de R1 X y R1Y indican que estas reacciones actúan en las direcciones x negativa y y negativa respectivamente. Por consiguiente,

R2 y = 15T R1 x R1 y

↑ = 5T ← = 15T ↓

CALCULANADO LAS FUERZAS EN LOS ELEMENTOS Para determinar la fuerza de tensión q de un elemento i, se utiliza la ecuación que se muestra a continuación:

qi =

AE L

−

λ x

−λ

y

λ x

λ y

  

D Nx D Ny DFx DFy

  

→ (1 − 15)

donde A =área de la sección transversal del elemento. E = módulo de elasticidad del elemento. L =longitud del elemento. λ x , λ y = cosenos directores. D Nx , D Ny = desplazamientos horizontal y vertical del nodo N del elemento en turno. DFx , DFy = desplazamientos horizontal y vertical del nodo F del elemento en turno.

UNSCH

56



CAPÍTULO 4.

Finalmente se aplica la expresión 1 − 15 en cada elemento. Si se obtiene un resultado negativo, entonces el elemento está en compresión.

ELEMENTO 1 AE = 252000T , L = 3m , λ x = 1, λ y = 0 ,

q1 = 84000

−

1

0

1

0

   −.

  

0 0 3 1742 0

   =     =− . −  

D Nx D Ny DFx DFy

× 10

D9 D10 D7 D8

   =   

0 0 H 2

0

  

0 266633T

6

ELEMENTO 2

√ AE = 252000T , L = 13m,λ = 0.5547,λ = 0.8321 , x

−.

q2 = 69892.2247

0 5547

y

−0.8321

0.5547

  

   =     .   .

D Nx D Ny DFx DFy

0.8321

    =      × −   = − . 

D7 D8 D5 D6

H 2

0

H 3

δ V 3

3 1742 10 6 0 0 000251459 0.000293739

−

7 21114T


q3 = 126000

 −

1

0

1

0

  

 .   − . .

   =     −   = .

   =   

   =     −   = . −

   =   

D Nx D Ny DFx DFy

D3 D4 D5 D6

0 000180026 4 7024 10 5 0 000251459 0.000293739

×

−

H 4

δ V 4 H 3

δ V 3

  

9 00056T


q4 = 84000

UNSCH

−

1

0

1

0

  

  

D Nx D Ny DFx DFy

0.000135574 4.7024 10 5 0.000180026 4.7024 10 5

−

× ×

D1 D2 D3 D4

H 5

δ V 5 H 4

δ V 4

  

3 73397T

57



CAPÍTULO 4.


q5 = 84000

−

1

0

1

  

0

  

D Nx D Ny DFx DFy

0 0 0.000135574 4.4452 10−5

   =      = . 

D9 D10 D1 D2

   =   

  

0 0 H 5

δ V 5

3 73397T

×

ELEMENTO 6

√

AE = 336000T , L = 3 2m , λ x = 0.7071, λ y =

q6 = 79195.9595

−.

0 7071

0.7071

−0.7071 ,

0.7071

−0.7071

     =      .   . × −. × D Nx D Ny DFx DFy

   =     −  −  =− .

  

   =      = .  −

  

D1 D2 D7 D8

0 000135574 4 4452 10 5 3 1742 10 6 0

H 5

δ V 5 H 2

0

5 28054T

ELEMENTO 7

√

AE = 336000T , L = 3 2m , λ x = 0.7071, λ y = 0.7071 ,

q7 = 79195.9595

−.

0 7071

−0.7071

0.7071

  

0.7071

D Nx D Ny DFx DFy

  

   =   

0 0

D9 D10 D3 D4

H 4

δ V 4

0 0 0.000180026 4.4452 10 5

×

7 44804T


q8 = 112000



0

−1

0

1

  

     =   =      −   = − .  −

D Nx D Ny DFx DFy

D7 D8 D3 D4

3 1742 10 6 0 0 000180026 4.7024 10 5

−.   . −

× ×

H 2

0 H 4

δ V 4

  

5 26669T

En la figura (0.12.9) k se aprecian los resultados obtenidos para las reacciones en los soportes y las fuerzas internas de la armadura. Recuerde que un elemento en compresión “empuja” a la junta y un elemento en tensión “jala” a la junta.

UNSCH

58



CAPÍTULO 4.

ARMADURA CON SUS RESPECTIVAS FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS

Figura 4.9: Armadura Con Sus Respectivas Fuerzas Internas y Externas Finales

UNSCH

59


CAPÍTULO 5

SOLUCION DE FRAME 3D METODO RIGIDEZ

5.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3D Averigue la matriz de rotación de cada elemento y parte de la matriz de rigidez de la estructura

Figura 5.1: Portico Espacial

60


CAPÍTULO 7.

5.1.1. Solucion: La estructura espacial tiene seis grados de libertad, que son traducciones y las rotaciones de unión 1 en la global, X, Y y Z. Estos están numerados 1, 2,3,4,5 y 6 respectivamente. Grados de libertad restringidos se numeran a través de 7 a 24 en la figura.

Figura 5.2: Numeracion de los Grados de Libertad de Portico Espacial

PARA EL ELEMENTO 1 Conjunto 2 es el nodo de inicio y la articulación 1 es el nodo final de este elemento del modelo analítico. L

 = ( 

X 1

L =

(240

2

− 0)

C X =

X 1 X 2 L

−

=

C Y =

Y 1 Y 2 L

−

= 0

C Z =

Z 1 Z 2 L

−

= 0

 = +

C X Z

2

+ (Y 1

2

+ (0

− X )

2 C X

−

240 0 240

C Y 2 =

2

− Y ) 2

− 0)

2

+ ( Z 1 Z 2 )2

−

+ (0

− 0)

2

= 240in

= 1

√ 1

2 + 02

= 1

Ángulo entre el eje Y local y Y-eje global,α =0 cos α = cos0 = 1 sin α = sin 0 = 0

UNSCH

61



CAPÍTULO 7.

Mediante el uso de la matriz de rotación está dada por r 1

 = 

1 0 0

  =  

r 1 0 0 0

0 1 0

 

0 0 1

Matriz de transformación para el elemento 1 se calculará utilizando.

T 1

0 r 1 0 0

0 0 r 1 0

  

0 0 0 r 1


 = ( 

X 1

L =

− X ) 3

(240

2

=

−

=

−

= 0

X 1 X 3 L

C Y =

Y 1 Y 3 L

C Z =

Z 1 Z 3 L

−

0+240 240

2 C X

2

− Y ) 3

+ (0

240 240 240

 +

C X Z =

+ (Y 1

− 240)

−

C X =

2

+ ( Z 1 Z 3 )2

−

− 240)

2

+ (0

− 0)

2

= 240in

= 0

= 1

C Y 2 =

√ 0

2 + 12

= 1

Ángulo entre el eje Y local y Y-eje global,α =90 deg cos α = cos90 = 0 sin α = sin90 = 1

Mediante el uso de la matriz de rotación está dada por r 2

 = 

0 0 1

  =  

r 2 0 0 0

1 0 0

 

0 1 0

Matriz de transformación para el elemento 2 se calculará utilizando

T 2

0 r 2 0 0

0 0 r 2 0

  

0 0 0 r 2


 = ( 

L =

C X =

UNSCH

X 1

− X )

(240

−

X 1 X 4 L

4

2

+ (Y 1 2

− 240) =

−

+ (0

240 240 240

2

− Y ) 4

+ ( Z 1 Z 4 )2

2

− 0)

−

+ (0

− 240)

2

= 240in

= 0

62



−

=

−

= 0

C Y =

Y 1 Y 4 L

C Z =

Z 1 Z 4 L

C X Z =

0+0 240

 + 2 C X

CAPÍTULO 7.

= 1

C Y 2 =

√ 0

2 + 02

= 0

Ángulo entre el eje Y local y Y-eje global,α =30 deg cos α = cos30 = 0.86603 sin α = sin30 = 0.5

Mediante el uso de matriz de rotación es dada por r 2

 = 

−

0 0.5 0.86603

−

0 0.86603 0.5

−

1 0 0

 

Matriz de transformación para el elemento 3 se calculará utilizando

T 3

  =  

K f f

r 3 0 0 0

0 r 3 0 0

0 0 r 3 0

 .  − . =  − . − .

UNSCH

3990 3 5 2322 0 627 87 1075 4 712.92

0 0 0 r 3

  

−5.2322 4008.4 0 1800.4 627.87 2162.9

−

0 0 3987.3 712.92 712.92 0

−

−627.87 −1075.4 712.92  −2162.9  1800.4 627.87  −712.92 712.92 0 402860 100460 0

63

100460 286860 0

0 0 460860

 


CAPÍTULO 6

APLICACION DE TRUSS 3D METODO RIGIDEZ

6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D En la siguiente armadura espacial obtener los desplazamiento , fuerzas internas y externas de la estructura poer metodo de ridez.

Figura 6.1: Armadura Espacial

∑ E i = 2 × 107Kn /m2 ∑ Ai = 0.05m2

64


CAPÍTULO 6.

6.1.1. Solucion: Todas las posiciónes de cada nodo del sistema, puntos de vista y los coeficientes de desplazamiento nodal

Figura 6.2: Armadura Con Sus Respectivas Numeraciones en Los Nodos y Elementos

Elementos No I II III IV V VI VII

UNSCH

x(i)m 0.00 3.00 3.00 8.00 5.00 5.00 4.00

y(i) 4.00 0.00 0.00 4.00 0.00 0.00 8.00

z(i) 0.00 4.00 4.00 0.00 4.00 4.00 0.00

x(J)m 4.00 0.00 4.00 4.00 4.00 8.00 4.00

65

y(j)m. 8.00 4.00 8.00 8.00 8.00 4.00 0.00

Z(j)m 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -4.00

Desplasamientos 1-0-0 2-3-4 0-0-0 1-0-0 0-0-0 2-3-4 5-0-0 2-3-4 0-0-0 2-3-4 0-0-0 5-0-0 2-3-4 0-0-0



CAPÍTULO 6.

OPTENIENDO MATRIX DE TRANSFORMACION DE CADA ELEMENTO Matriz de trasformcion del elemento I

Figura 6.3: Elemento (1) Aislado de La Armadura Espacial

1 2 1 2

√ 12 √ 12

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0 00

0.00

1 2

√

0.00

0.00

0.00

0 00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 12 √ 12

0.00

0 00

√ 12 √ 12

 √  − √  . [ ] =   .  .

√ 12 1 m = cos (β ) = √ 2 1 n = cos (γ ) = √ 2 l = cos (α ) =

T I

0.00

0.00

0.00 0.00

    

Matriz de trasformcion del elemento II


√ 341 m = cos (β ) = √ 4 41 n = cos (γ ) = √ 4 41 l = cos (α ) =

UNSCH

3 41 4 41 4 41

√ 441 − √ 341

0 00

0.00

0 00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

 √  − √  √ [ ] =   ..  T II

66

0.00

4 41

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

3 41

0.00

0.00

0.00

3 41 4 41

4 41 3 41

4 41

− √ − √

0.00

− √ √ − √ − √ − √ 0.00 √ 0.00 − √ 4 41

3 41

    



CAPÍTULO 6.

Matriz de trasformcion del elemento III


1 9

l = cos (α ) = 91 m = cos (β ) = 98 n = cos (γ ) = 49

−

Matriz de trasformcion del elemento IV

[T ] III

  − =   .  .

4 9

8 9

0 00 0 00 0.00

8 9 1 9

−

4 9

0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

1 9

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

1 9

8 9

− 0.00 −

−

4 9

8 9

−

4 9

1 9

0.00

1 9

   


1 l = cos (α ) = √ 2 1 √ − m = cos (β ) = 2

n = cos (γ ) = 0.00

UNSCH

[T ] IV

   =   67

√ 12 √ 12

− √

1 2

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 12

0.00

0.00

0.00

1 2

√ 12

1 2 1 2

− √

0.00

0.00

√ 12

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ √

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 12

0.00

    



CAPÍTULO 6.

Matriz de trasformcion del elemento V


l = cos (α ) = m = cos (β ) = n = cos (γ ) =

1 9 8 9 4 9

− −

[T ]V

Matriz de trasformcion del elemento VI

−  − =  .  .

4 9

1 9 8 9

0 00 0 00 0.00

8 9

−

1 9

0.00 0.00 0.00 0.00

4 9

− 0.00 − 1 9

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

− −

4 9

1 9 8 9

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

8 9

− 0.00 −

−

4 9

1 9

1 9

0.00

   


√ 341 m = cos (β ) = √ 4 41 n = cos (γ ) = − √ 4 41 l = cos (α ) =

UNSCH

3 41 4 41 4 41

 √  − √  √ =   .. 

[T ]V I

√ 441 √ 341 0.00

− √

4 41

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 341

0.00

0.00

0.00

3 41 4 41 4 41

4 41 3 41

0 00

0.00

0.00

0 00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

68

√ − √ √

√ − √

0.00

4 41

− √

0.00

√ 341

    



CAPÍTULO 6.

Matriz de trasformcion del elemento VII


l = cos (α ) = 0.00 2 m = cos (β ) = √

− n = cos (γ ) = − √

1 5

0.00

0.00

0.00

√ 12

1 5

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

1 2

√

0.00

0.00

0.00

2 5

− √

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

− √ − √

√ 12 √ 15

[T ]V II

5

2 5

0.00

   =   

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 25 √ 15

    

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE CADA ELEMENTO Matriz de rigidez global del eje del elemento I

[K ] I =

  √   

AE

4 2

0.00

√ 12 √ 15

2 5

1 5

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 12

0.00

0.00

0.00

2 5

− √

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

− √ − √ √ 12

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 25 √ 15

    

Matriz de rigidez global del eje del elemento II

[K ] II =

UNSCH

AE √ 41

9 41 12 41 12 41 9 41 12 41 12 41

  −  − 

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 12 41

− − −

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− −

69

9 41 12 41 12 41 9 41 12 41 12 41

− − −

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− − −

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− − −

   



CAPÍTULO 6.

Matriz de rigidez global del eje del elemento III

[K ] III =

AE

9

1 81 8 81 4 81 1 81 8 81 4 81

   −− −

8 81 64 81 32 81 8 81 64 81 32 81

4 81 32 81 16 81 4 81 32 81 16 81

− − − −

1 81 8 81 4 81 1 81 8 81 4 81

−

−

−

8 81 64 81 32 81 8 81 64 81 32 81

4 81 32 81 16 81 4 81 32 81 16 81

− − − −

   

− −

Matriz de rigidez global del eje del elemento IV 1 2

[K ] IV =

  −  −. −

AE √ 4 42

1 2

0 00 1 2 1 2

0.00

− −

1 2 1 2

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 1 2

−

1 2

0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 1 2

− − 0.00 − 1 2

1 2

0.00

   

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Matriz de rigidez global del eje del elemento V

[K ]V =

AE

9

1 81 8 81 4 81 1 81 8 81 4 81

  −  −  −

8 81 64 81 32 81 8 81 64 81 32 81

4 81 32 81 16 81 4 81 32 81 16 81

− − − −

1 81 8 81 4 81 1 81 8 81 4 81

− − −

− − −

8 81 64 81 32 81 8 81 64 81 32 81

4 81 32 81 16 81 4 81 32 81 16 81

− − − −

− − −

   

Matriz de rigidez global del eje del elemento VI

[K ]V I =

AE √ 41

9 41 12 41 12 41 9 41 12 41 12 41

   −− −

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 12 41

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− −

− − −

−

9 41 12 41 12 41 9 41 12 41 12 41

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− −

− −

−

− −

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− − − −

   

Matriz de rigidez global del eje del elemento VII

[K ]V II =

UNSCH

AE √ 4 45

   

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00

0.00

4 5 2 5

2 5 1 5

0.00

−

2 5

4 5

70

0.00

− −

2 5 1 5

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00

− −

4 5 2 5

0.00 2 5

−

2 5

0.00 2 5 1 5

− − 0.00 − 1 5

2 5

   



K 11 = AE K 12 = AE K 13 = AE

CAPÍTULO 6.

DE MA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ∗ ∗OBTENCION  √ + ∗ = . ∗ − ∗ √  = .   ∗ − ∗ √ = . 1 2

1 4 2

9 41

1 41

0 12267 AE

1 2

1 4 2

0 08838 AE

1 2

1 4 2

0 08838 AE

K 14 = AE [0.00] = 0.00 K 15 K 22 K 23 K 24 K 25 K 33 K 34 K 35 K 36 K 44 K 45 K 55

∗ = AE ∗ [0.00] = 0.00   √ √ = AE ∗ ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + 0.00 = 0.17952 AE   = AE ∗ ∗ √ + ∗ + ∗ √ − ∗ + 0.00 = 0.000   = AE ∗ 0.00 − ∗ + 0.00 + ∗ + 0.00 = 0.00   = AE ∗ − ∗ √ = −0.08838 AE   = AE ∗ ∗ √ + ∗ + ∗ √ + ∗ + ∗ √ = 0.26869 AE   = AE ∗ 0.00 + ∗ + 0.00 + ∗ + ∗ √ = −0.043070 AE   = AE ∗ ∗ √ = 0.26869 AE   √ = AE ∗ 0.00 + ∗ + 0.00 + ∗ + ∗ = 0.066256 AE   = AE ∗ ∗ √ − ∗ √ = 0.122670 AE = AE ∗ [0.00] = 0.00   = AE ∗ ∗ √ − ∗ √ = 0.122670 EA 1 2

1 4 2

1 81

1 9

1 2

1 4 2

1 81

1 9

1 2

1 4 2

8 81

1 9

1 2

1 4 2

8 81

1 9

64 81

1 8

4 81

1 2

1 9

4 81

1 9

1 4 2

1 2

1 4 2

64 81

32 81

1 2

1 9

1 2

1 4 2

4 5

1 9

32 81

1 8

2 5

1 4 5

1 9

16 81

1 9

1 5

1 4 5

1 4 5

1 4 2

16 81

1 2

1 4 2

9 41

1 41

1 2

1 4 2

9 41

1 41

RESULTADO DE LOS DESPLAZAMIENTOS DEL SISTEMA GLOBA L [K ] D = P

{ } {}

 .  − .  − . .

−0.088388 −0.088388

0 122760 0 088388 0 088388 0 000 0.000

D1 =

42.3 AE

=

0.179250 0.000 0.000 0.00388

−

42.30 2 10 E +7 0.005

∗

∗

0.000 0.441802 0.04307 0.088388

−

0.000 0.000 0.04307 0.066256 0.000

−

0.000 0.088388 0.08838 0.000 0.122670

−

= 0.4230 E 4metro = 0.042mm

−

     ∗  

D1 D2 D3 D4 D5

  .   .  =  − . . − .

10 00 0 00 30 00 0 00 10 00

  

D2 = 0.00 .4444 = D3 = − 54 AE

54.4444 = 2 10 E +7 0.005

∗

−

∗

.380 = D4 = − 35 AE

35.380 2 10 E +7 0.005

.300 = D5 = − 42 AE

42.300 2 10 E +7 0.005

UNSCH

∗ ∗

− −

∗ ∗

−0.5443 E − 4metro = −0.054mm = 0.3538 E − 4metro = −0.035mm = 0.4230 E − 4metro = −0.042mm

71



CAPÍTULO 6.

DEFORMADA DE LA ARMADURA ESPACIAL

Figura 6.10: Deformada de La Armadura Espacial

OBTENCION DE LAS REACCIONES GLOBALES EN NODOS Y ELEMNTOS Reacciones en los nodos globales de elementos I 1 2

[Pg] I =

  − √  −.  −

AE

4 2

1 2

0 00 1 2 1 2

0.00

1 2 1 2

− − 0.00 − − 1 2 1 2

0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 1 2

− −

0.00 1 2 1 2

0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

  .   .   − . .   − . − .

42 300 0 000 0 000 54 444 35 380 42 300

  .   . . = −   − ..   .

8 54 8 5498 0 000 8 5498 8 5498 0 000

   

Reacciones en los nodos globales de elementos II

[Pg] II =

UNSCH

AE

√ 41

9 41 12 41 12 41 9 41 12 41 12 41

  −  − 

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 12 41

− − −

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− −

9 41 12 41 12 41 9 41 12 41 12 41

− − −

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− − −

72

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− − −

       

0.000 0.000 0.000 42.300 0.000 0.000

  − .   . −.   − . .  .

1 4502 1 9337 1 9337 1 4502 1 9337 1 9337

   



CAPÍTULO 6.

Reacciones en los nodos globales de elementos III

[Pg] III =

AE

9

1 81 8 81 4 81 1 81 8 81 4 81

8 81 64 81 32 81 8 81 64 81 32 81

4 81 32 81 16 81 4 81 32 81 16 81

− − − −

  −  −  −

1 81 8 81 4 81 1 81 8 81 4 81

8 81 64 81 32 81 8 81 64 81 32 81

− − −

− − −

4 81 32 81 16 81 4 81 32 81 16 81

− − − −

  .   .  ∗  ..   − . − .

  .   . −. =   −− ..   .

   

  − .   .   ..   − . − .

  − .   . . = .   − .   .

   

  .   .  ∗  ..   − . − .

  − .   . −. =   − . .   .

   

   

− − −

0 000 0 000 0 000 0 000 54 444 35 380

0 4031 3 2251 1 6126 0 4031 3 2251 1 6126

Reacciones en los nodos globales de elementos IV 1 2

[Pg] IV =

AE √ 4 42

  −  −. −

1 2 1 2

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

− − 0.00 − −

1 2

0 00 1 2 1 2

1 2 1 2

0.00

0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

− −

1 2 1 2

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 1 2 1 2

0.00

42 300 0 000 0 000 0 000 54 444 35 380

8 5498 8 5498 0 000 8 5498 8 5498 0 000

Reacciones en los nodos globales de elementos V

[Pg]V =

AE

9

1 81 8 81 4 81 1 81 8 81 4 81

8 81 64 81 32 81 8 81 64 81 32 81

4 81 32 81 16 81 4 81 32 81 16 81

− − − −

  −  −  −

1 81 8 81 4 81 1 81 8 81 4 81

8 81 64 81 32 81 8 81 64 81 32 81

− − −

− − −

4 81 32 81 16 81 4 81 32 81 16 81

− − − −

− − −

0 000 0 000 0 000 0 000 54 444 35 380

0 4031 3 2251 1 6126 0 4031 3 2251 1 6126

Reacciones en los nodos globales de elementos VI

[Pg]V I =

AE √ 41

9 41 12 41 12 41 9 41 12 41 12 41

  −  − 

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 12 41

− − −

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− −

9 41 12 41 12 41 9 41 12 41 12 41

− − −

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− − −

12 41 16 41 16 41 12 41 16 41 16 41

− − −

  .   .   − . .   . .

  .   . −.   −− ..  .

0.00

  .   − .  ∗  − . .   . .

  .   − . −. =   ..   .

0 000 0 000 0 000 42 300 0 000 0 000

1 4502 1 9337 1 9337 1 4502 1 9337 1 9337

Reacciones en los nodos globales de elementos VII

[Pg]V II =

UNSCH

AE √ 4 45

   

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00

0.00

4 5 2 5

2 5 1 5

0.00

− −

4 5 2 5

0.00

− −

2 5 1 5

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00

− −

4 5 2 5

− −

2 5 1 5

0.00

0.00

2 5 2 5

2 5 1 5

73

0 000 54 44 35 380 0 000 0 000 0 000

0 000 6 4502 3 2251 0 000 6 4502 3 2251

   



CAPÍTULO 6.

OBTENCION DE LAS REACCIONES DE NODO BORDE LOCALES DE CADA ELEMENTO

Figura 6.11: Equilibrio de Elementos de La Armadura Espacial

EQULIBRIO DE ELEMENTOS

Figura 6.12: Equilibrio de Nodos de (IV) y (VI) De Armadura Espacial

Figura 6.13: Equilibrio de Nodos de (I) y (II) DeArmadura Espacial

Figura 6.14: Equilibrio de Nodos de (V) y (VII) DeArmadura Espacial

UNSCH

74



CAPÍTULO 6.

PARA LOS APOYOS

Figura 6.15: Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (I) y (IV) DeArmadura Espacial

Figura 6.16: Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (II) y (VI) DeArmadura Espacial

OBTENCION DE LAS REACCIONES DE NODO BORDE GLOBALES DE CADA ELEMENTO Efectos nodo de frontera eje locales del elemento I 1 2 1 2

 √  − √  . ] =   .  .

[PL I

0 00

√ 12 √ 12 0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 12

0.00

0.00

0.00

√ − √

1 2 1 2

√ √

0.00

0.00

0.00

0 00

0.00

0.00

0 00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

1 2 1 2

0.00

0.00

   ..   .   −− ..  .

8 5498 8 5498 0 000 8 5498 8 5498 0 000

  .   . . =   − . .   .

12 0912 0 000 0 000 12 0912 0 000 0 000

   

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento II 3 41 4 41 4 41

 √  − √  √ ] =   .. 

[PL II

UNSCH

√ 441 √ 341 0.00

− √

4 41

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 341

0.00

0.00

0.00

3 41 4 41

4 41 3 41

4 41

0 00

0.00

0.00

0 00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

− √ √ − √ − √ − √ 0.00 √ 441

0.00

75

√ 341

   − . .  ∗  − .   − . .  .

1 4502 1 9337 1 9337 1 4502 1 9337 1 9337

  .   . . =   − ..   .

3 0954 0 000 0 000 3 0954 0 000 0 000

   



CAPÍTULO 6.

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento III 1 9

[PL] III

  − =   .  .

4 9

8 9

0 00 0 00 0.00

8 9 1 9

4 9

−

0.00 1 9

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

1 9

8 9

− 0.00 −

−

4 9

8 9

−

4 9

1 9

1 9

0.00

  .   .  ∗  −− ..   − . .

  .   . . =   − ..   .

   

   − . .  ∗  .   − . .  .

  .   . . = −   . .   .

   

  .   .  ∗  − . .   − . .

  .   . . =   − ..   .

   

0 4031 3 2251 1 6126 0 4031 3 2251 1 6126

3 6283 0 000 0 000 3 6283 0 000 0 000

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento IV 1 2 1 2

[PL] IV

 √  − √  . =  .. 

0 00

√ 12 √ 12 0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 12

0.00

0.00

0.00

√ − √

1 2 1 2

0.00

0 00

0.00

0.00

0 00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

1 2 1 2

0.00

√ √

0.00

√ 12

0.00

8 5498 8 5498 0 000 8 5498 8 5498 0 000

12 0912 0 000 0 000 12 0912 0 000 0 000

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento V 1 9

  − =  .  .

4 9

[PL]V

8 9

0 00 0 00 0.00

8 9 1 9

−

4 9

0.00 1 9

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

1 9

8 9

− 0.00 −

−

4 9

8 9

−

4 9

1 9

1 9

0.00

0 4031 3 2251 1 6126 0 4031 3 2251 1 6126

3 6283 0 000 0 000 3 6283 0 000 0 000

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento VI 3 41 4 41 4 41

 √  − √  √ =   .. 

[PL]V I

√ 441 √ 341

− √

4 41

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ 341

0.00

0.00

0.00

3 41 4 41

4 41 3 41

4 41

0.00

0 00

0.00

0.00

0 00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

− √ √ − √ − √ − √ 0.00 √ 441

0.00

√ 341

   ..  ∗  − .   −− ..  .

1 4502 1 9337 1 9337 1 4502 1 9337 1 9337

  .   . . =   − ..   .

3 0954 0 000 0 000 3 0954 0 000 0 000

   

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento VII

   =   

[PL]V II

UNSCH

0.00

√ 12 √ 15 0.00

2 5

0.00

0.00

0.00

√ 12

1 5

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

1 2

√

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

2 5

0.00

2 5 1 5

− √

0.00

0.00

0.00

0.00

− √ − √

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

√ √

76

   − ..  ∗  − .   ..  .

0 000 6 4502 3 2251 0 000 6 4502 3 2251

  .   . . ∗   − ..  .

7 2116 0 000 0 000 7 2116 0 000 0 000

   



CAPÍTULO 6.

TABLA DE RESULTADOS DE LAS FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS

Elemento I II III IV V V VII

Local Elemento 12.0912 3.0954 3.6283 12.0912 3.6283 3.0954 7.21156

Tipo comprencion(-) comprencion(-) comprencion(-) comprencion(-) comprencion(-) comprencion(-) comprencion(-)

ARMADURA CON SUS RESPECTIVAS FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMTOS

Figura 6.17: Armadura Espacial Con Sus Fuerzas Internas en los Elemtos

UNSCH

77


CAPÍTULO 7

APLICACION DE UN GRID POR METODO RIGIDEZ

7.1. EJEMPLO DE UN GRID Resuelva matricialmente la estructura descrita a continuación Ambos elementos tienen una sección de 300 mm y la relación de Poisson 0.20.

×400mm (b×h), el módulo de elasticidad vale 19 KN/mm2

Figura 7.1: Parrilla

78

CAPÍTULO ?? .

7.1. EJEMPLO DE UN GRID

7.1.1. Solucion: Cálculos previos: La constante torsional vale: J = Cbt 3 C =

1 3

t b

 −   = 1 12

− 0.21 × 1 J = 0.1800 × 400 × 300

3

t 4 b

= 1.944

1 3

− 0.21 ×

× 10 × 1.944 × 10− 6

3

 −   = . 1 12

1

300 4 400

× 10− mm = 1.944 × 10− m = 7.92 × 10 9

KN 19 G = 2(1E +µ ) = 2(1+0.2) = 7.920 mm2

GJ = 7.92

300 400

4

3

0 1800

4

6 KN m2

= 15400KN .m2 Fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento.

Para Elemento 1-2 M Y o 12 = M Y o 21

−

− PL8 = 50 ×8 2.4 = −15

o o = Z 21 = Z 12

P

2

=

50 = 25 2

o o M X 12 = M X 21 = 0

Figura 7.2: Momento de Empotramiento del Elemento (1-2)

UNSCH

79


CAPÍTULO ?? .


Para Elemento 1-3:

−

o o = Z 31 Z 13

2

− 2012× 9 = −15 W L 20 × 3 = = = 30

o o M X 13 = M X 31 =

− W12L

=

2

2

M Y o 13 = M Y o 31 = 0

Figura 7.3: Momento de Empotramiento del Elemento (1-3)

Reeeplazando en la ecuación orientado al eje X, para el elemento 1-2

   

M X 12 M Y 12 Z 12 M X 21 M Y 21 Z 21

0 15 25 0 15 25

    −  =   

6416.67 0 0 6416.67 0 0

     +  −  

0 50666.67 31666.67 0 25333.33 31666.67

−

0 31666.67 26388.89 0 31666.67 26388.89

−

−6416.67 0 0 6416.67 0 0

− −

0 25333.33 31666.67 0 50666.67 31666.67

−

0 31666.67 26388.89 0 31666.67 26388.89

  θ   θ   

   

20266.67 0 13511.11 20266.67 0 13511.11

  θ   θ   

   

−

X 1 Y 1

V 1 0 0 0

Reeeplazando en la ecuación orientado al eje Y, para el elemento 1-3

   

M X 13 M Y 13 Z 13 M X 31 M Y 31 Z 31

 −    =   

15 0 30 15 0 30

40533.33 0 20266.67 20266.67 0 20266.67

    −  +   

0 5133.33 0 0 5133.33 0

−

−20266.67 0 13511.11 0 31666.67 26388.89

20266.67 0 20266.67 40533.33 0 20266.67

−

− −

0 5133.33 0 0 5133.33 0

−

−

X 1 Y 1

V 1 0 0 0

ENSAMBLANDO LAS PARTES CORRESPONDIENTES AL NUDO LIBRE (1) Vector de fuerzas externas.

  UNSCH

0 0 40

−

80

  ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

CAPÍTULO ?? .


 

 −    =  − + − −     =

M X 1 = 0 M Y 1 = 0 Z 1 = 40

15 15 55

15 15 95

−

−

46950 0 20266.67

46950 0 20266.67

0 55800 31666.67

−

−20266.67   θ −31666.67   θ

X 1 Y 1

39900

V 1

−20266.67   θ −31666.67   θ

0 55800 31666.67

X 1 Y 1

−

39900

V 1

 

 

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:

−2.301 × 10− rad θ = −3.176 × 10− rad V = −6.070 × 10− m 3

θ X 1 =

3

Y 1

3

1

CALCULO DE LAS FUERZAS INTERNAS DE LA PARRILLA Para el elemento 1-2

   

M X 12 M Y 12 Z 12 M X 21 M Y 21 Z 21

    −  =   

0 15 25 0 15 25

    +  − 

6416.67 0 0 6416.67 0 0

   

0 50666.67 31666.67 0 25333.33 31666.67

−

M X 12 M Y 12 Z 12 M X 21 M Y 21 Z 21

0 31666.67 26388.89 0 31666.67 26388.89

− − −

 − .   .  =  − . .   .

14 76 16 30 34 61 14 76 126 76 84.61

   

−6416.67 0 0 6416.67 0 0

0 25333.33 31666.67 0 50666.67 31666.67

−

2 301 10−3 3 176 10−3 6 070 10−3 0 0 0

× × ×

   

2 301 10−3 3 176 10−3 6 070 10−3 0 0 0

   

0 31666.67 26388.89 0 31666.67 26388.89

 − .   − .   − . 

20266.67 0 13511.11 20266.67 0 13511.11

 − .   − .   − . 

−

− − − −

KN m KN m KN KN m KN m KN

Para el elemento 1-3

   

M X 13 M Y 13 Z 13 M X 31 M Y 31 Z 31

 −    =   

15 0 30 15 0 30

    +  − 

40533.33 0 20266.67 20266.67 0 20266.67

   

UNSCH

0 5133.33 0 0 5133.33 0

−

M X 13 M Y 13 Z 13 M X 31 M Y 31 Z 31

−20266.67 0 13511.11 0 31666.67 26388.89

− −

 − .   .  =  − ..   .

14 76 16 30 5 38 91 39 16 30 65.38

81

   

20266.67 0 20266.67 40533.33 0 20266.67

−

0 5133.33 0 0 5133.33 0

−

−

− − − −

KN m KN m KN KN m KN m KN


× × ×

CAPÍTULO ?? .


FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DE LA PARRILLA

Figura 7.4: Diagrama de Fuerza Cortante de la Parrilla

Figura 7.5: Diagrama de Momento Flector de la Parrilla

UNSCH

82


CAPÍTULO ?? .


Figura 7.6: Diagrama de Fuerza Axial de la Parrilla

UNSCH

83


PARTE IV CONCLUSIONES

84

CONCLUSIONES V.

CONCLUSIONES 1

La interfaz del programa UCMM ha sido desarrollada mediante MatLab, con el objetivo de que el usuario, de forma muy intuitiva y sin conocer en profundidad los procedimientos de cálculo, pueda definir y obtener los resultados de cualquier estructura plana que se plantee resolver.

2

El programa ha sido validado mediante comparación de resultados obtenidos con cálculos analíticos y otros programas informáticos.

3

Es importante considerar el caso de la viga acartelada de valor α a = 0 .5 , ya que los resultados de los momentos de empotramiento no se ajustan a los calculados por el método de análisis estructural.

4

MATLAB es capaz de analizar cualquier armadura en 2D / 3D y el marco con número n de elementos y el número n de nodos con cualquier sección transversal propiedades y diferentes condiciones finales.

5

El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable tanto a estructuras isostáticas como estructuras hiperestáticas de elementos que se comportan de forma elástica y lineal. Es también denominado método de los desplazamientos y en inglés se le conoce como direct stiffness method (DSM, método directo de la rigidez).

6

Con el avanzado desarrollo computacional en los últimos años, combinados con los resultados de las estudios del análisis matricial de estructuras, hoy se hace posible la realización de este trabajo en donde se expuso un software didáctico para el cálculo de estructuras plana,espacial y parilla mediante el uso del método de la rigidez.

UNSCH

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PARTE V RECOMENDACIONES

86

RECOMENDACIONES V.

RECOMENDACIONES 1

Se sugiere la continuación del estudio del comportamiento de las vigas acarteladas, haciendo el mismo procedimiento pero extendiendo hacia un modelo que represente vigas acarteladas de acero.

2

Se sugiere la continuación del estudio del comportamiento de las vigas acarteladas, haciendo el mismo procedimiento pero extendiendo hacia un modelo que represente vigas acarteladas de acero.

UNSCH

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PARTE VI BIBLIOGRAFIA

88

Bibliografía

[1] Tena-Colunga, A. (1994) Concerns regarding the seismic design of RC haunched beams. ACIStructural Journal, Vol. 91, No. 3, pp. 287-293. [2] Charon, P. (1962). El Método de Cross y el cálculo practico de las construcciones hiperestáticas. Teoría y práctica. , Madrid. Aguilar. [3] ARBULU, BIAGGIO, Cálculo de estructuras hiperestáticas – volumen I, II, III, Editorial Universal Nacional de Ingeniería. Lima. 1968. [4] SAN BARTOLOME, ANGEL. Análisis de edificios. Fondo editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú P.U.C.P. Lima 1999. [5] URIBE ESCAMILLA, JAIRO .Análisis de estructuras. Editorial de la escuela colombiana. 2004 [6] Hibbeler, R. (2012). Análisis estructural. México:PEARSON. [7] Magdaleno, C. (1978). Análisis Matricial de Estructuras Reticulares. México: INDEPENDIENTE. [8] Tena, A. (2007). Análisis de Estructuras con Métodos Matriciales. México: LIMUSA.

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METODO RIGIDEZ DE SECCION VARIABLE

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