ESTADISTICA DESCRIPTIVA
ACTIVIDAD INICIAL: PASO 1 - ACTIVIDAD DE PRESABERES
Participantes EDER ANTONIO FERNANDEZ DAVID. Código: 1017178370 RONALD RAUL BELLO. Código: WILSON MARIN DIAZ. Código: 93449053
Curso: ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Grupo: 511004_7 Tutor: MARIA CAMILA GONZALEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD. ESCUELA Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN (ECEEDU)
SEPTIEMBRE – 2018 2018
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
INTRODUCCIÓN Este trabajo contiene el desarrollo inicial del curso de estadística descriptiva, en el cual se encuentran inmersos diferentes aspectos básicos los cuales serán fundamental en el ejercicio del curso e importantes en la formación académica y en nuestro rol como docentes o profesionales. Es tan significativa la importancia de la estadística descriptiva, que todos los campos del conocimiento la han convertido en un instrumento eficaz del criterio y la acción, ya que en la actualidad no se puede concebir una actividad cotidiana sin la presencia de ella.
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DEFINICIONES. 1. DEFINIR QUE ES LA ESTADÍSTICA Y DAR UN EJEMPLO DE ELLA. La estadística la podemos definir como una conjunción de datos sobre determinadas características de familias, animales, individuos, hogares o cualquier otro detalle de interés con la finalidad de estudiarlos y analizarlos para llegar a conclusiones que resulten útiles para prever o planear actividades de futuro. En la actualidad se pueden considerar como una rama de las ciencias matemáticas a través del empleo de métodos de forma científica. Existen tres clases de estadísticas: estadística descriptiva, estadística de probabilidad y estadísticas de experimentos y muestreo. E jemplo de estadística descriptiva: La estadística descriptiva es la que resume, organiza e
intenta simplificar un conjunto de datos de estilo numeroso o muy complicado. E jemplo de estadística deprobabilidad : Esta clase de estadística es la que analiza situaciones
donde el azar hace su presencia de manera importante. Un ejemplo de la estadística de probabilidad es cuando tiramos un dado y estudiamos las posibilidades que contamos en lograr un determinado número. Otro ejemplo es al poner a geminar una cantidad de semillas de una especie y analizamos cuántas plantas podrán crecer y desarrollarse correctamente. E jemplo de estadística de experimentos y muestreo: Esta estadística se representa en la
observación de una pequeña porción típica de una determinada población y después se usan los datos recogidos para ampliar las posibles conclusiones finales sobre el resto de los habitantes de la población. Un ejemplo de la estadística de experimentos y muestreo la observamos claramente en la actividad de los periodistas que paran a los peatones para realizarles una consulta puntual, así después podrán informar en relación a la opinión general de una temática importante.
2.
ESCRIBIR
CON
SUS
PROPIAS
PALABRAS
LAS
SIGUIENTES
DEFINICIONES DE MUESTRA Y DAR UN EJEMPLO DE CADA UNA DE ELLAS: a.
Muestra aleatoria: Considero que es la porción o fragmento de algo que se desea
estudiar y se selecciona de tal forma que cada uno de sus componentes se obtuvo completamente al azar.
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b.
Muestra estratificada: Considero que se puede definir como aquella muestra que se
se escoge aleatoriamente en número proporcional al de los componentes de cada clase o estrato en donde Se divide la población total a estudiar en clases homogéneas, determinados estratos; por ejemplo, por grupos de edades, por sexo, tamaño, etc.
c.
Muestra sistemática: Se puede definir como el muestreo que se realiza en donde se
ordenan previamente los individuos de la población a estudiar; Para después elegir uno de ellos al azar, y realizar el respectivo estudio, y así continuamente a intervalos constantes, se eligen todos los demás hasta completar la muestra.
d.
Muestra por conglomerados: Puedo decir que es la muestra que se realiza a las
diferentes unidades muéstrales a estudiar, en donde sus elementos no son individuales de la población a estudiar, sino que son grupos de elementos. Este se selecciona aleatoriamente una colección de conglomerados. Se muestrean entonces todos los elementos individuales de todos los conglomerados elegidos.
e.
Muestra por conveniencia: Se puede decir que es ese muestreo no probabilístico. El
cual Consiste en seleccionar a los individuos que convienen al investigador para la muestra.
3. DESCRIBIR CUALES SON LAS MEDIDAS DE POSICIÓN Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y EXPLICAR CADA UNA DE ELLAS. a. Las medidas de posición dividen un conjunto de valores o números en grupos con el mismo número de individuos, para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de mayor a menor. Entre ellos tenemos tres que son: los cuartiles, percentiles y deciles
CUARTILES: Son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales
,
Determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al
75% de los datos.
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Siempre coincide con la mediana Ejemplo: 12,13,15,17,19 Mediana
DECILES: Son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%,…..y al 9 0% de todos los datos.
Coincide con la mediana.
.
Por ejemplo, supongamos que el decil 3 (D3) del peso de un varón de 15 años es 53 kg. Esto significa que hay un 30% de varones de 15 años que pesan menos de 53 kg y un 70% que pesan más.
PERCENTILES:
.
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Estos dan los valores correspondientes al 1 %, al 2%, al 3%....98%, 99% de los datos.
Coincide con la mediana. Un ejemplo clásico de percentil está en la medida del peso y altura de los bebés para conocer si hay algún problema en su desarrollo.
Niña de 14 meses que mide 74 cm de altura: tiene un percentil aproximado de 50
)
Niña de 12 meses que pesa 10 Kg: tiene un percentil aproximado de 75
b. Medidas de dispersión: Son parámetros estadísticos que indican como se alejan los datos respecto de la media aritmética. Sirven como indicador de la variabilidad de los datos.
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Las medidas de dispersión más utilizadas son el rango, la desviación estándar y la varianza.
EL RANGO: El rango da la idea de proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor. Este dato permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto. R = x(n) - x (1) Dónde: x(n): Es el mayor valor de la variable. X(n): Es el menor valor de la variable. Ejemplo: A 12 familias se les ha preguntado cuantos computadores tenían en total, las respuestas fueron ordenadas en la siguiente tabla.
Número de
0
1
2
3
4
1
4
3
2
3
computadores Frecuencia absoluta
El rango lo hallamos restando el dato mayor del dato menor. 4-0=4; por lo tanto el rango sería 4.
DESVIACION MEDIA: La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. Esta se representa por:
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Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
= |9 9| |3 9| |8 9| |8 9| 8|9 9| |8 9| |9 9| |189| =2.25 VARIANZA: Esta medida es utilizada para medir la dispersión de los valores de una variable respecto a la media. Corresponde a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Su expresión matemática es:
Donde Xi es el dato i-ésimo y es la media de los N datos. Ejemplo: Calcular la varianza de las siguientes puntuaciones de un jugador de baloncesto en los últimos partidos: Puntuaciones: 18, 20, 20, 22, 20, 20 Varianza= [(18-20)2 + (20-20)2 + (20-20)2 + (22-20)2 + (20-20)2 + (20-20)2] / 6 = 16 / 6 = 8 /3 = 2,67
DESVIACION TIPICA: La desviación estándar o desviación típica es una medida de dispersión. La desviación típica nos dice lo alejados o cercanos que se encuentran los valores de su media.
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Ejemplo: Hallar la desviación típica de la siguiente serie. 2, 3, 6, 8, 11.
= √ ++++ 6 = 3.29 4. EXPLICAR EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN Y LOS DIFERENTES QUANTILES QUE EXISTEN.
Coeficiente de variación: El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su medida y esta suele expresarse en porcentajes. Esta además permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medidas sean positivas. Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí, la mayor dispersión corresponde al valor del coeficiente de variación mayor. Ejemplo:
̅
̅
̅
̅
Una distribución tiene =140 y =28.28 y otra =150 y =24 ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?
. = .*100= 20.2% 24 ∗100=16% ∗ = 150 Respuesta: La primera distribución presenta mayor dispersión.
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Quantiles: Son aquellos valores de la variable, que ordenamos de menor a mayor, dividen a la distribución en partes, de tal manera que cada una de ellas contiene el mismo número de frecuencias. Los cuantiles más conocidos son los cuartiles, Deciles, centiles y percentiles, los cuales fueron descritos anteriormente en el punto numero tres en las medidas de posición.
EJERCICIOS RESUELTOS
5. LOS SIGUIENTES DATOS REPRESENTA EL NÚMERO DE HIJOS QUE TIENE LOS FUNCIONARIOS DE UNA EMPRESA. 6. 1,2,4,1,0,0,4,2,1,3,4,1,0,0,0,0,4,3,2,4,5,1,0,3,2,3,1,0,1,0,2,3,0,2,1,4,0,1,1,2. CON BASE A LA INFORMACIÓN ANTERIOR, HALLA: a. LA TABLA DE FRECUENCIA b. MEDIA c. MODA d. HISTOGRAMA e. QUANTILES A) TABLA DE FRECUENCIA Variable Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia (XI ) absoluta absoluta relativa (F. relativa (F.ab) acumulada rel ) acumulada (F.ab.a) (F.rel.a) 0 11 11 0,275 0,275 1 10 21 0,25 0,525 2 7 28 0,175 0,7 3 5 33 0,125 0,825 4 6 39 0,15 0,975 5 1 40 0,025 1
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totales
40
-
1
-
B) MEDIA: PAR hallar la media debo hallar primero el producto de la variable por la frecuencia absoluta. Y utilizar la siguiente formula:
= ∑ XI ∗ .ab Donde: = media
∑ XI * F.ab = sumatoria del producto del valor que toma la variable por la
frecuencia absoluta. n= tamaño de la muestra
Variable Frecuencia Variable por (XI ) absoluta frecuencia (F.ab) absoluta (XI * F.ab ) 0 11 0 1 10 10 2 7 14 3 5 15 4 6 24 5 1 5 ∑ XI * F.ab 68
= ∑ XI ∗ .ab
Entonces remplazo
= =1,5 =1,5
E ntonces la media muestral es de 1,5
C) MODA: Para este caso la moda es la el cero (0) ya que es la variable que más se repite en la muestra, como se puede observar en la distribución de frecuencia. D) Histograma: Este es el histograma el cual nos permite visualizar la relación ente las variables y la frecuencia absoluta.
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HISTOGRAMA 12 11 10 10
0 8 7
1 6
2
6 5
3 4
4 5
2 1
0
E) CUANTILES:
7. Efectuar las siguientes operaciones: a.
simplificamos +
= = = ≈. + b. −
Desarrollamos la fracción Regla de los radicales
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+ (−) − (−)= El producto de las raíces con el mismo índice es igual a la raíz del producto en mención.
∗ ∗ ∗ =
Eliminamos los paréntesis
∗ √ ∗ =
8. HALLAR LA SOLUCIÓN O SOLUCIONES DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES: a. b.
= − + √
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a.
b.
= 2 = 74 = 74 2 = = ±√ = . − + √
= .
1273 √ 127 3 √ 126 3 √ 9. DESCRIBA LOS DIFERENTES TIPOS DE SOLUCIONES PARA UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA DE LA FORMA .
=
R//: Una ecuación cuadrática con coeficientes reales es una ecuación de la forma .
=0 Donde
a≠0
Para resolver una ecuación cuadrática debemos, hallar todas las raíces (soluciones) de la ecuación cuadrática. se han desarrollado diferentes métodos para solucionar una ecuación cuadrática. Las más usadas son: a) Factorización b) Completando el cuadrado de un binomio c) Fórmula cuadrática.
a) Método de Factorización: Este método se usa preferentemente cuando la expresión
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Se puede factorizar o descomponer en un producto de dos binomios lineales de manera rápida. 1. Multiplicamos el coeficiente “a” del factor “ ” por cada término del trinomio,
dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b(ax)”, y en . el término “a ” de la manera
2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término la que sería “a”. 3. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio. 4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”. 5. Se buscarán los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.
= Paso1: 33 3835 =30 Resolvemos 9 8315=0 Ejemplo 1: Resolver la ecuación
++ ∗
Paso2: descomponemos el primer término del trinomio, y los segundo términos serán dos números que multiplicados den 15 y sumados den 8 (5y3) Paso 3 (3x+5) (x +1) Dividimos el numerados entre 3 Paso 4 :(3x+5) (x +1) Para dar solución igualamos a “Cero” 3x+5=0 Y x+1=0
“Y” X= -1
R//: X=
Ejemplo 2: Resolver la ecuación Paso1:
=
66619610 =60 −− ∗
Resolvemos
36 61960=0
Paso2: descomponemos el primer término del trinomio, y los segundo términos serán dos números que multiplicados den 60 y sumados den -19 (15 y 4) Paso3
−∗− ∗
factor común
Paso 4 (2x-5) (3x -1) Dividimos el numerados entre 6= 3*2 Paso 5 :(2x-5) (3x -1) Para dar solución igualamos a “Cero” 2x-5=0 “Y” 3x - 1=0
R//: X= “Y” X=
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b) Método Completación de un binomio al cuadrado: Este método permite resolver cualquier ecuación cuadrática. Se aplica la siguiente propiedad: si entonces .
Para resolver
=0. Donde
=
= ∓√
a ≠ 0 completando el cuadrado:
1. Transforme la ecuación para que el término constante, c, esté solo en el lado derecho. 2. Si a, el coeficiente principal (el coeficiente del término x2), no es igual a 1, divida ambos lados entre a. 3. Sume el cuadrado de la mitad del coeficiente del término x, de la ecuación.
en ambos lados
4. Factorice el lado izquierdo como el cuadrado de un binomio. 5. Realice la raíz Cuadrada en ambos lados. Recuerde:
= es equivalente a ( = ∓√
6. Resuelva para x. Ejemplo 1: Resolver la ecuación
3 125=0
3 12= 5 Transformamos la ecuación −= Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente del término Paso 2 Paso 1
x
−
=4
44= 4 Factorizamos trinomio cuadrado perfecto del lado
Paso 3 izquierdo.
2= Sacamos raíces en tambor términos Paso 5 2 = Resolvemos X-2 = ± √ 21 Despejamos R// X= 2± √ + X=2 √ = √ Paso 4
X= =
+√
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√ = −√
X=2
X=
−√
Ejemplo 2: Resolver la ecuación
3 = 88 Paso 2 3 = 88 Paso 1
388=0
Transformamos la ecuación dividimos por a Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente del término x
=
3 =88 Factorizamos trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo. Paso 4 =88+ Sacamos raíces en tambor términos Resolvemos Paso 5 = X+ =± R// X = + = 8 Paso 3
X= 8 X=
= -11
X -11 c) Método de fórmula Cuadrática. El método de Completación de cuadrado aplicado a la ecuación general:
=0 Proporciona una fórmula con la cual se puede resolver de manera directa cualquier ecuación cuadrática. Resolver la ecuación =0. Donde a ≠ 0 DEMOSTRACIÓN
= Dividimos toda la expresión entre a = = Sumamos = en ambos lados
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=
Resolvemos del lado izquierdo un trinomio cuadrado perfecto y del lado derecho una suma de fracciones.
= −+ Sacamos raíces en ambos lados = −+ Resolvemos =√ −+ Despejamos x y organizamos los términos = ± √ − Por ley de fraccionarios tenemos como resultado
4 ±√ = 2
(escrita en la forma =0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación cuadrática
= −±√ −
canónica) se pueden obtener usando la fórmula
Ejercicio 1 7 −13 x −1
=
0
Reemplazamos en la formula a=7 b = -13 c = -1
−− ±√ + −−±− = = = R//
= −√ = +√ 10. HALLAR LOS VALORES DE LAS VARIABLES DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES:
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a.
= = =
R// Resolvemos por el método de Gauss 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el cómo coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas. En este caso ponemos z de primero
: 12 8 = 26 ∶ 2 4 = 10 :542=18 2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en z de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
´ = - 24=10 128=26 1412=36 3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en z.
´ = 5- 56040=130 542=18 6438=148 542=18 ´ 1412=36 ´ 6438=148 4º Tomamos las ecuaciones 1ª y 2ª , trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
´´ = 14-64 896532=2072 896768=2304
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236=232 = = Y=
5º Obtenemos el sistema equivalente Escalonado 6º Encontrar las soluciones. R//
Y=
´ 6438=148 reemplazamos 6438 5859=148 Resolvemos. 64 2204 59 =148 64=148 - 2204 59 = /64 = 542=18 58 = 18 54∗ 102 2 ∗ 59 59 116 = 18 5 408 59 59 5=18 292 59 770 = 595 = R//
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; = = Y= ;
b.
= = = Solución: Pasos:
1. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones, que quedará en función de la otra incógnita (seguiremos teniendo una ecuación).
= 4 35=1 32=4 ´ = 35=1 =4 26=3 2.
Despejar la misma incógnita en la otra ecuación
´ = 3 32=4 333=12 -54=8
3. Igualar los segundos miembros de las dos incógnitas despejadas, formando una nueva ecuación con una incógnita.
´´ =2´ 5´ 4. Despejar la única incógnita que nos quede. Obtenemos el valor numérico de una incógnita.
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30=15 8=16 38=31 = 10 -10
5. Sustituir la incógnita despejada en el paso 4 por su valor numérico en cualquiera de las dos ecuaciones originales
6 ∗ = 3 2 = 3 2 = = /2 Y= 2
6.
Operar para obtener el valor numérico de la otra incógnita.
=4 1819 3138 = 4 = + 4 = R// = ; Y= ; =
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CONCLUSIONES. 1. La estadística ejerce un campo de acción muy importante y cada es mucho más vigente en el desarrollo del pensamiento y la ciencia. 2. No podemos concebir ningún campo del conocimiento que no se encuentre presente la estadística ya que es pieza fundamental y una herramienta indispensable en el contexto mundial. 3. Esperamos realizar un importante ejercicio cognoscitivo a través del desarrollo del curso, ya que es un campo muy indispensable en nuestra labor como docentes.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS
Ejemplo de estadísticas; tomado de: https://www.ejemplode.com/5-matematicas/1342ejemplo_de_estadisticas.html Probabilidad y estadística: tomado de: http://electroonica.blogspot.com/2013/02/11 poblacion-y-muestra-aleatoria.html Muestreo tomado de: http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo6/B0C6m1t9.htm
