ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA -- CÁLCULO DIFERENCIAL--
TRABAJO COLABORATIVO 3
PRESENTADO POR:
TUTOR: EDGAR ALONSO BOJACA
UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD 14 NOVIEMBRE 2015
INTRODUCCION
Sabemos que en la vida cotidiana es necesarios poder realizar mediciones de la rapidez con la que se producen cambios en diferentes situaciones, por eso las derivadas se han utilizado como una herramienta o instrumento de cálculo fundamental en todos los estudios que necesita realizar el ser humano en las ciencias físicas, químicas y Biológicas. Es fundamental conocer los conceptos básicos de las derivadas para realizar su debida aplicación en la vida cotidiana, ayudando a resolver y medir problemas de gran importancia en el ser humano, la derivada en general tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana teniendo en cuenta que con la derivada podemos calcular la razón de cambio es decir la velocidad así como también nos ayuda a encontrar valores máximos y mínimos para problemas físicos reales, muchos profesionales las emplean para la construcción de edificios con una funciones que relacione los costos del edificio con el tamaño que tendría así como muchas otras aplicaciones muy importantes para el ser humano.
ANÁLISIS DE LAS DERIVADAS Y SUS APLICACIONES
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 1. para x=1
= 2 3
Primero se obtiene la imagen de esta función en el punto 1 y(1)=(1)2-2(1)-3=-4
= 2 2 1 = 21 2 = 0 = , = = 0 1 = = 4
Ahora se deriva la función
, evaluándola en x=1,
Finalmente se obtiene la ecuación de la recta:
2.
=
, hallar el valor de f’(1)
SOLUCIÓN Dado que:
La derivada será:
Evaluandola en 1
3.
= − 4 = 4 4 − = 41 41− = 8
Hallar la derivada de las siguientes funciones
= 2 → = 222 2 =
En el anterior caso cuando se tiene el sen al cuadrado de dos x, cuando derivo, derivo usando la regla de la cadena, por tanto primero bajo el exponente, y posteriormente, derivo lo interno que para nuestro caso es senx y 2x. 4.
=
La derivada será, aplicando la regla del cociente:
5.
=
3 7 =
La derivada aplicando la regla del cociente: teniendo en cuenta que la derivada de x es 1, y la de ex es ex, por tanto aplicando la regla del cociente queda de la siguiente manera:
= = 1
Derivadas de orden superior (Puntos 6 y 7) 6. Hallar la tercera derivada de:
Solución:
=
Derivamos la función:
′ = 2 ∗2 ∗ 2 ′ = 42 = 4[2]∗ 2 = 82 = 82 ∗ 2 = 162
Derivamos por segunda vez:
Derivamos por tercera vez:
7. Segunda derivada de: es un producto lo que se puede observar, por tanto, solo es aplicar la regla del producto, con ex: ex, y la derivada de Lnx=1/x
= = =
8. Usando L’Hopital hallar el límite de:
→ +− −−
Solución:
l→im 2 28 l→im 22 21 2 = 22 22 1 = 44 21 = 63 =2 8. De la curva
=
hallar:
a. Las coordenadas del punto crítico: Para determinar ello, lo que se debe es realizar la derivada de la función e igualar a cero:
= 2 1 = 0 2 = 1 → = 12 1 1 1 1 (2) = (2) 2 = 4 , á (12 , 14)
Por tanto el punto crítico estará en:
b. Puntos de inflexión: NO HAY
9. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo?
Solución:
= (100000000 ) 100 50
Para determinar el costo total de ese pedido sea mínimo, debe derivarse la anterior función e igualar a cero para determinar los puntos críticos:
Igualando a cero:
Se obtiene:
= 100000000 100000000 100 100 = 100000000 100 = 0
100000000 = 100 ±√ (100000000 100 ) = ±1000 = Deberá solicitar 1000 bultos para que el costo sea mínimo.
CONCLUSIÓN
Durante la realización del trabajo pudimos evidenciar como se puede calcular las derivadas de una función en un punto específico, indicándonos la variación de tal función en ese punto. Es importante desarrollar este tipo de trabajos en donde se puede reconocer la aplicación real del cálculo en la vida cotidiana aprendiendo conceptos básicos de los mismos, desarrollando habilidades analíticas e interpretación de los problemas a resolver, como vimos durante el trabajo la derivada es la tendencia a cero en el tamaño de un intervalo interpretándola geográficamente como la pendiente de la recta tangente. Hemos aprendido las reglas básicas para la derivación de una función y también identificando la regla l’Hôpital para la resolución de límites funciones. Esta regla, basada en la derivación, es una de las más comúnmente utilizadas para resolver límites.
BIBLIOGRAFÍA
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