1.-La cantidad de
N (t ) de supermercados del país que están usando
sistemas de revisión
computarizados se describe por el problema con valores iniciales. dN
dt
N (0)
N (1
0.0 0.0005N ),
1
a) Use el concepto de esquema de fase para predecir cuantos supermercados supermercados se espera que adopten el nuevo procedimiento en un periodo prolongado. b) Resuelva el problema con valores iniciales y después grafique para comprobar y trazar la curva solución del inciso a). ¿Cuantas compañías se espera que adopten la nueva tecnología cuando t=10? RESOLUCION:
Según el modelo(ECUACION modelo(ECUACION LOGISTICA):
Según los datos del problema: dN
dP dt
P(0)
P(a
dt
bP )
N (0)
P 0
N (1
0.0 0.0005 N ),
1
a
1
b
0.0005
N (t ) : Cantidad de supermercados del país que están usando sistemas de revisión
computarizados. Separando variables e integrando: dN
dt N (1 0.00 .0005N )
(1 0.0005 N 0.0005 N ) dN .0005 N ) N (1 0.00 (1 0.0005 N ) dN
dt
0.0005 NdN
N (1 0.0.0005N ) N (1 0.0.0005 N ) dt dN
N
0.0005
dN
(1 0.00 .0005 N )
dt
Cambiado de variable:
1 0.00 0.0005 05N du 0.0005dN
u
du
dN
0.0005 ln( N )
0.0005
0.0005
du u
dt
Seguimos integrando:
ln( N ) ln(u ) t c ln( N ) ln(1 0.0005 N ) t c N
ln( ) t c 1 0.00 0.0005 05 N N
1 0.00 0.0005 05 N
e
c1e
N
1 0.00 0.0005 05 N N (t )
(t c )
t
c1 e
t
0.0005c1
La pregunta a) nos pide ver la cantidad de supermercados en un tiempo prolongado: N (t )
N ()
c1 e
t
0.0005c1
c1 e
c1
0 0.0005c1
b) Hallando N (0)
1
c
1
c1
0.0005c1
e
0.0005c1
1 0.9 0.9995c1
1 0.0005
:
c1 0
1
1 0.00 0.0005 05c1
c1
0.0005c1
1 0.9995
c1
c1
1 0. 0.0005c1
2000
Reemplazando:
1 t
N (t )
c1e
1 0.00 0.0005 05c1e
e
1 (0.0005)(
t
1 0.9995
)et
t
0.9995 0.9995 (0.0005 (0.0005))e
N (t )
t
0.9995
t
e
t
(2000)e
0.99 0.9995 95 (0. (0.00 0005 05))e (200 (2000) 0) t
2000et 1999 et
GRAFICANDO 2500
2000
1500
1000
500
0 1
3
5
7
Hallando el inciso b) N (10)
2000e10 1999 e10
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 t 10
1833.59 1834
2.-La cantidad N (t ) de personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anuncio está gobernada por la ecuación logística. Inicialmente N (0)
500 y se observa que N (1 (1) 1000 1000
.Dete Deterrmin mine N (t ) si se predi redice ce que que hab habrrá un un lím límiite de 50000 personas en la comunidad que verán el anuncio. RESOLVIENDO:
Según el modelo (ECUACION LOGISTICA):
Según los datos del problema: dN dt
dP dt
P(0)
P(a
N (0) 500
bP )
P 0
N (1)
1000 1000
N (t )
?
N () N (t ) : La cantidad de
dN
N (a bN ) dt 1 ( a bN bN )dN 1 a
1 a
N ( a bN )
(
(
( a bN )dN N ( a bN ) dN N
b
dt bNdN
N ( a bN )
dN
) (a bN )
Cambiado de variable:
u a bN bN du bN du
b 1
a
dN
(ln( N )
b du b
u
) dt
Seguimos integrando:
50000
personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anuncio.
Separando variables e integrando:
a
N (a bN ),
dt
)
dt
1 a
(ln(
(ln(
N
N a bN
N a bN
a bN
N (t )
N ()
)) at ac ( a t ac )
e
c1e
N
N (t )
)) t c
a bN
at
ac1 e
at
bc1
ac1 e
at
bc1
ac1 e
bc1
ac1
50000
0 bc1
ac1 bc1
a
50000
b
Hallando N (t ) :
N (0) 500 500
ac1 e bc1 0
ac1 1 bc1
500 500 (500 (500))bc1 ac1 500 (a (500)b)c1 500
c1
a 500b N (1) 1000 1000 1000
ac1 e
a
bc1
1000e
a
(1000)bc1 ac1
1000e
a
(a (1000)b)c1
c1
1000e a a 1000b
La pregunta a) nos pide hallar la función:
donde : a
50000
a c1
c1
b
50000b
500
a
500
500b
1000e
a
e
49500b
0.4949
1000e
e
0.000014
Ahora hallemos
a
49b
a
c
1
y así poder encontrar la ecuación requerida.
0.7033c1 0.7033t
e
e
0.000014 c1
(0.703 (0.7033 3)(c1 ) 0.7033(0)
500 0.007c1 c1
e
a
b
49000b
49500be
0.7033
N (t )
a
49b
a
a
N (t )
49500b
a
1000b
500
24500b
0.0000 0.000014( 14(c1 )
(0.7033)( c1)
718.08
Entonces : N (t )
N (t )
505 e
0.7033t
0.01 50000
99e
0.7033t
1
50000 99e
0.7033t
1
3.-Un modelo para la población P(t ) en un suburbio de una gran ciudad está descrito por el problema con valores iniciales. dP dt
1
P(10
P (0)
10
7
P )
5000
Donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuánto tardara la población en alcanzar la mitad de ese valor límite? RESOLVIENDO: Según el modelo (ECUACION LOGISTICA):
Según los datos del problema: dP
dP dt
P(0)
P(a
dt
bP )
P (0)
P 0
Separando variables e integrando:
1 101 1 101 1 10
(
( 1
dP 1
107 P )
dt
(101 107 P 107 P )dP P (10
1
107 P )
(101 107 P )dP
P(10 dP
P
1
107 P)
107
dP
107 PdP P (10
(101 107 P )
Cambiado de variable:
u 101 107 P du 107 P du
107
dP
1
107
10
107
(ln( P) 1
dt
du u
) dt
1
107 P )
)
dt
)
dt
P(10
1
5000
a
10
1
b
10
7
P (t ) :Cantidad población en el suburbio de una gran ciudad.
P(10
10
7
P ),
Seguimos integrando: 1
P
(ln( 10 10 1
1
(ln( 10
P 1
7
10
10 10
10
7
P
10
7
P
e
10
1
t
t
e
c1e
1
c
101 t
1
c1
10
10 10
(10 1 t 10 1 c)
10
P (t )
1
P
P 1
)) t c
P
)) 10
P 1
7
10
7
c1
La pregunta a) nos pide ver el valor límite de la población: P (t )
10
e P ()
10
1
0 10
10
e
c1 7
1
c1
c1
10
10 10
7
c1
1
c1
7
c1
1
10
10
7
1000000
:
c
1
10 e
0
1
10
7
c1 7
5000 (10
1
5000
0.0995
1
c1
5000 (5000)10
7
5000 000
5000
c1
c1
10
c1
b) Hallando P (0) (0)
t
10
1
1
10
c1
c1
1 10
7
1
c1
10
c1
7
(5000)10 ) c1
50251
Reemplazando: P (t )
10
e
10
NOS PIDE:
1
t
1
10
t ?
10 1 (50251)
c1 7
si
c1 P
e
10
1
t
500000
(10 7 )(50251)
5025.1
e
10
1
t
0.00505
5025.125
500000
0.005025 e 2512.5628 500000e 500000e e
10
1
10
t
t
1
10
1
t
10
10
1
1
t
t
5025.15
2512.5872
0.005025174
t
ln 0.00505174
52.8 52.88 8 52.9 52.9
4.a) En la tabla 3.1 se presentan los datos del censo delos Estados Unidos entre 1790 y 1950.Construya un modelo de población logístico usando los datos de 1790,1850y 1910. AÑO 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950
POBLACION (EN MILLONES) 3.929 5.308 7.240 9.638 12.866 17.069 23.192 31.433 38.558 50.156 62.948 75.996 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697
b) Construya una tabla en la que se compare la población real del censo con la población predicha por el modelo del inciso a).Calcule el error y error porcentual para cada par de datos.
RESOLUCION:
Según el modelo (ECUACION LOGISTICA):
Según los datos del problema: dP
dP
dt
P(0)
P(a
dt
bP )
(0) P (0)
P 0
P (a
(60) P (60)
P (t ) : Cantidad de población de Estados Unidos respecto al tiempo
Separando variables e integrando: dP
P(a bP ) dt 1 ( a bP bP )dP a
1 a
1 a
( (
P (a bP )
(a b bP P )dP P (a bP ) dP P
b
dt bPdP
P (a
bP bP )
dP
) (a bP )
Cambiado de variable:
a bP bP du bP
u
du
b 1 a
dP
(ln( P)
b
du
u ) dt b
dt
)
dt
bP ),
3.92 3.929 9
120) P (120)
23.1 23.192 92
91.97 91.972 2
Seguimos integrando:
1 a
(ln(
(ln(
P
)) t c
a bP P
)) at ac
a bP
P a bP
e
c1e
P a bP N (t )
( a t ac )
at
ac1
e
at
bc1
La pregunta a) nos pide hallar el modelo m odelo de población logística P (t )
P (0)
ac1 e
at
bc1
P (60)
ac1
e
3.929
0
c1
e
1 bc1
23.192e
ac1
c1
a 3.929b
23.192e
60 a
a 23.192b
91.972e
e
60 a
60 a
23.192bc1
ac1
91.972e
60 a
3.929 a 3.929b
c1
ac1 e
120 a
bc1
ac1
91.972
bc1
a 23.192b
120 a
a 91.972b
bc1
23.192e
P (120)
ac1
23.192
ac1
3.929
Donde :
ac1 60 a
bc1
3.92 3.929 9 3.92 3.929 9bc1 c1
e
120 a
120 a
91.972e
bc1
91.972bc1
120 a
a 91.972b
ac1
23.192e
c1
a
0.0313
b
0.000158
91.972e
23.192b
a
c1
60 a
a
120 a
91.972b
3.929
a
3.929b
128.31
%
Reemplazando : P(t )
P(t )
ac1 e
at
bc1
4.016 e
0.0313t
0.02
(4.016)49.21 (e
0.0313t
0.02)49.21
197.274 49.21e
0.0313t
1
b) Construcción de tabla: AÑO 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950
POBLACION (EN MILLONES) 3.929 5.308 7.240 9.638 12.866 17.069 23.192 31.433 38.558 50.156 62.948 75.996 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697
PREDICCION DE POBLACION 3.929 5.334 7.222 9.746 13.090 17.475 23.143 30.341 39.272 50.044 62.600 76.666 91.739 107.143 122.140 136.068 148.445
ERROR
%
0.000 -0.026 0.018 -0.108 -0.224 -0.406 0.049 1.092 -0.714 0.112 0.348 -0.670 0.233 -1.432 0.635 -4399 2.252
ERROR 0.00 -0.49 0.24 -1.12 -1.74 -2.38 0.21 3.47 -1.85 0.22 0.55 -0.88 0.25 -1.35 0.52 -3.34 1.49
5.a) Si se pesca un numero constante h de peces de una pesquería por unidad de tiempo, entonces un modelo para la población P(t ) de una pesquería al tiempo t dado por: dP dt
P (a
bP )
h
P(0)
P 0
Donde P0 , a, b, h son contantes positivas .Supongo que
a
=5,
b =1 y h =4.Puesto que la
ecuación
diferencial es autónoma, utilice utilice el concepto de esquema de fase para dibujar curvas solución solución correspondientes correspondientes a cada caso P 0 > 4, 1< P 0 <4,y 0< P 0 <1.Determine el comportamiento de la población a largo plazo en cada caso . b) Resuelve el PVI del inciso a) Compruebe los resultados de su esquema de fase del inciso a) utilizando programa de graficacion para trazar la gráfica de P (t ) con una condición inicial tomada de cada uno de los 3 intervalos dados. c) Utilice la información de los incisos a) y b) para determinar si la población de la pesquería desaparecerá desaparecerá en un tiempo finito .De ser así determine ese tiempo.
RESOLUCION
Según el modelo (ECUACION LOGISTICA):
Según los datos del problema: dP
dP dt
P(0)
P(a
bP)
dt
h
P 0
a
b
h
P 0 >4
P (t ) : Cantidad de pesca de
P (a
h,
5 1 4 1< P 0 <4
una población en una pesquería en un tiempo
Separando variables e integrando:
bP )
0< P 0 <1
t
dP
P(5 P ) 4 dt P
dP
5P 4
2
dt
dP
( P 1)( P 4) dt (
AdP
( P 1)
BdP
( P 4)
)
dt
Por fracciones parciales PA 4 A PB B
1
PA PB A B 4 A
A
(
1
B
1
1
3
B
dP
3 ( P 1)
1
dP
3 (P 4)
Por cambio de variable: u
P 1
du
dP
du 1
dP
w P 4 dw dP
(
1 1 3
du
u 1
1 3
dw w
)
dt
)
dt
1 3 1
ln u
3
P 4 P 1
P 4 P 1
P 4 P 1
P 4
P(t )
c
c
P 1
ln
ln
t
w
ln w t
3
u
ln
3 1
1
t
3t
c
3c
3 t 3c
e
c1e
3t
1 4c1e 3t c1e
3t
1
Utilizando P (0)
P (t )
P 0
c1
P 0
1 4c1e3t c1e
3t
1 4c1 c1
1
1 P 0 P 0
4
1 4( P (t )
1
1 P 0
P0
(
1 P 0 P 0
4
4
)e
3t
)e3t
1
( P0 4) 4(1 P0 ) e3t (1 P0 )e3t ( P 0 4)
a) Graficamos para ver su comportamiento
b) Comprobación y explicación del grafico en los intervalos dados CASO 1 P 0 >4 P 0 =5
Vemos que en la población decrece rápidamente, rápidamente, hasta estabilizarse en P(t )
4 .Esto
4 .Esto
ocurre dentro del intervalo de tiempo -0.5< t <1.5 y continua infinitamente. CASO 2: 2:1< P 0 <4 P 0 =3
Vemos que en la población crece paulatinamente hasta estabilizarse en P (t ) ocurre ocurre dentro dentro del intervalo intervalo de tiempo tiempo -2< t <2 y continua continua infinitamen infinitamente. te.
CASO 3: 0< P 0 <1 P 0 =0.5
Vemos que en la población vuelve a decrecer rápidamente rápidamente hasta desaparecer en P(t )
.Esto ocurr ocurre e dentro dentro del interv intervalo alo de tiempo tiempo -2
CASO 1 P 0 >4 P 0 =5
P(t )
P ()
( P0 4) 4(1 P0 )e3t (1 P0 )e3t e
3t
16
( P0 4)
e
1 4(4)e3t 4e3t
16
1
1 16e3t 1 4e3t
0 16
4 4 04 e 4 A largo plazo la población disminuirá a 4 peces.
e
3t
CASO 2: 2:1< P 0 <4 P 0 =3
P (t )
P ()
( P0 4) 4(1 P0 )e3t (1 P0 )e3t e
3t
8
( P0 4) 4) e
8
1 4(2)e3t
2e3t
1
1 8e3t
1 2e3t
0 8
4 2 e 2 0 2 A largo plazo la población de pesquería aumentara a 4 peces.
e
3t
CASO 3: 0< P 0 <1
P 0 =0.5 P (t )
P (0.5)
( P0
4) 4(1 P0 )e 3t
(1 P0 )e3t 3.5e
1.5
( P0 4)
2
3.5 4(0.5)e3t
0.5e 3t
3.5e
1.5
2
3.5
3.5 2e3t
3.5 0.5e 3t
4.33 3.5e 0.5 3.5e 0.5 A largo plazo la población se hace negativa es decir ya desapareció
1.5
1.5
0
P (t )
0
( P0 4) 4(1 P0 )e3
0
t
(1 P0 )e3t ( P 0 4)
0 ( P0 4) 4(1 P0 )e3t ( 4 P0 ) 4(1 P0 )e3t (4 P 0 ) 4(1 P 0 ) ln 1
(4 P 0 ) 4(1 P 0 )
ln
3
e
3t
(4 P 0 ) 4(1 P 0 )
3t
t
6.-Investigue el modelo de pesca del problema 5 tanto cualitativa como analíticamente en el caso que a =5,
b
=1 ,
h
25
4
.Determine si la población desaparecerá en un tiempo finito .De ser así,
determine ese tiempo. RESOLUCION Según el modelo (ECUACION LOGISTICA):
dP
dP dt
Según los datos del problema:
P(0)
P(a
bP)
h
dt
P 0
P (t ) : Cantidad de pesca de
a
b
h
P( a
bP )
5 1 25 4
una población en una pesquería en un tiempo
Separando variables e integrando:
t
h,
dP
25
P(5 P )
dt
4
dP
P 5P 2
25
dt
4
dP
( P 5P 2
dP
5
( P ) 2 ( P ) 2
4
dt )
dt
2
dP
5
25
dt
2
Cambiando variable u
du
P
5
2
dP
Regresando:
du u
2
dt
u 2 du dt 1 u
tc 1
P
P (t )
5
tc
2
1 t
c
5 2
Utilizando P(0)
P (t )
P 0
2cP0
P 0
1
t
1
c
5
c
2
5
2 2 5c
2c
2 5c
2 c (5 2 P 0 )
c
2
(5 2 P 0 )
P (t )
1
t
P (t )
P 0
P(t )
0 4 P0 t
2
1 5t 2tP 0 2
(5 2 P 0 )
P 0 <
5 2
0
4 P0 (25 10 P0 )t (10 4 P0 )t 4 (25 10 P0 )t 4 P 0
25 10 P 0
5 2
5 2 P 0 5t 2tP 0 2
5 2
(5 2 P 0 )
4 P0 (25 10 P0)t
(10 4 P0 )t 4
en estos momentos la población se extingue en base a :
10t 4tP0 4
2
5
10 4 P0 25t 10 10tP0 10
5
2
7.-Rep 7.-Repita ita el proble problema ma 6 en el caso caso a =5, b =1,
h
7
RESOLUCION Según el modelo (ECUACION LOGISTICA):
Según los datos del problema: dP
dP dt
P(0)
P(a
bP)
dt
h
P 0
P (t ) : Cantidad de pesca de
dP
P(5 P ) 7 dt dP 2
( P
u
5P 7
5P 7) 7)
dt
dP
5 3 2 ( P ) 2 ( ) 2 4 5
P
du
dt
dP 2
dt
2
dP du
(u ) 2 (
3 4
dt )2
b
h
P (a
bP )
5 1 7
una población en una pesquería en un tiempo
Separando variables e integrando:
P
a
t
h,
2
(
u
arctg (
3
)) t c
3 4
5 P 2 2 )) t c arctg ( ( 3 3 4 5 P 2) arctg ( 3
3
(t c )
2
4 5 P 2) arctg ( 3
3
(t c )
2
4 5
P
2 3
3
tg (
(t c ))
2
4 P
5
3
2
4
5
P (t )
2
5
P0
5
P0
5
2
2
2
3
2 3
2 3
2
tg (
(t c )) 3
2
3
2
3
2 3
2
(t c ))
(c)) (c))
2 P 0 5 2 3
tg (
3
2
( c ))
2 arctg ( arctg (
2 P 0 5
)
3 2 P 0 5 3 3
2
(t c ))
P 0
tg (
tg (
2
tg (
2
Ahora P(0) P (t )
3
3
tg (
3
2
)
c
( c)
Reemplazando:
5
P (t )
2 5
P (t )
2
3
2 3
2
tg (
3 2
(t c ))
tg (
3 2
2 P 0 5
arctg (
3
(t
) ))
3
2
5
P (t )
2
3
2
tg (
3 2
t
arctg (
2 P 0 5 3
Tiempo en que desaparece:
0
5 2
3
tg (
2
2
t ar arctg (
2 P 0 5
3
))
5
2 3 2
tg (
3 2
t ar arctg (
2 P 0 5 3
arctg ( t
3
2
3
5
3
) arctg (
(arctg (
5 3
2 P 0 5 3
)
) arctg (
))
3 2
t
2 P 0 5 3
))
))))