Ecuaciones Diferenciales y Sus Aplicaciones - M. Braun-FREELIBROS.org

y

dó (u) 3 t + cosy = — .

A continuación se calcula <¡>(t, y) con cada uno de los tres métodos descritos anterior­ mente. Primer Método: De (i) se sigue que <í>(t, y) - e' + 3ty + h( y) . Derivando esta ecua­ ción con respecto a y, y usando (ii) se obtiene que h' ( y) + 3/ = 3/ + cos>\ Así pues, h ( y ) - sen^ y tam bién 0(f, y) = e' + 3ty + sen y. (Estrictamente hablan­ do, h ( y ) = sen y + constante. Sin em bargo, esta constante de integración se incorpo­ ró ya a la solución al escribir 4>(t, y) = c.) Es necesario dejar la solución general de la ecuación diferencial en la form a e' + 3 ty + sen .y = c, ya que en esta ecuación no se puede despejar y explícitamente como una función de t. Segundo Método: De (ii) se sigue que $(f, y) = 3ty + sen .y + k(t). Derivando esta expresión con respecto a t y usando (i) se obtiene que 3y + k' (t) = 3y + e'. Así pues, k(t) - e ’ y 4>{t, y) = 3ty + sen .y + e r. Tercer Método: De (i) y (ii) se sigue que 4>(t,y) —e ‘ + 3ty + h ( y )

y

${t,y) = 3fy + sen .y + k(t).

C om parando estas dos expresiones para la misma función 4>{t, y) es obvio que h ( y ) = sen.y y k{t) = e r. Por lo tanto, (t,y) = e ‘ + 3ty -l-seny.

Ej e m p l o 4

Obtener la solución del siguiente problem a de valor inicial 3t 2y + Sty2 + ( t 3 + S t2y + I2y2)

dv

=0,

y ( 2 )= l.

SOLUCIÓN. En este caso M (/, y) = 3r.y + 8t y 2 y N(t, y) = t 2+ 8t 2y ecuación es exacta, ya que 3 A /_ ^ . 2 ^

..

3^

+ 12y 2. Esta

62

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Por lo que, existe una función 4>{t, y ), tal que (i)

3 t 2y + 8/y2=

.y

(ii) / 3 + 8 /2>- + 12y2= ^

.

Una vez más, se encontrará <£(/, .y) con cada uno de los tres métodos siguientes: Primer Método: De (i) se sigue que <}>(t, y) = t zy + 4t 2y 2 + h( y) . Derivando esta ecuación con respecto a y, y usando (ii) resulta que t 3 + 8 t 2y + h ' ( y ) = t 3 + 8 t zy + 12y 2. Por lo tanto, h ( y ) = 4>>3, y la solución general de la ecuación diferencial es (r, y) = t^y + At2y 2 + 4 y 3 = c. Tom ando t = 2 y y = 1 en esta ecuación se ve que c = 28. Así pues, la solución del problem a de valores iniciales está definida im plícitamente por la ecuación t 3y + 4t 2y 2 + 4>>3 = 28. Segundo Método: De (ii) se sigue que (t, y) - t 3y + 4 t 2y 2 + 4>’3 + k{t). Derivan­ do esta expresión con respecto a t y usando (i) se obtiene que 3 t 2y + 8 ty2+ k'( t) = 3 t 2y + 8 ty2. En consecuencia, k(t) = 0 y <¿>(/, y) = t }y + 4t 2y 2 + 4 y 3. Tercer Método: De (i) e (ii) se obtiene que $( t, y ) = v y + 4 t 2y 2+ h ( y )

y

(t,y) = t*y + 4 t 2y 2+ 4 y ’i + k( t) .

Al com parar estas dos expresiones con respecto a la misma función 4>(t, y) se ve que h { y ) = 4>'3 y k(t) = 0. Por lo tanto, (/, y) = t*y + 4 /2>-2 + 4>'3. Como se ve en los Ejemplos 3 y 4, en la m ayoría de los casos el m étodo de aplica­ ción más sencillo es el tercero. Sin em bargo, si es más fácil integrar N con respecto a y que integrar M con respecto a t se preferirá el segundo m étodo, y viceversa.

Eje m p l o 5

Encontrar la solución del siguiente problem a de valor inicial 4 r V +' + / V +' + 2r + ( / V +>' + 2 > ') ^ = 0 ,

>-(0)= 1.

S o l u c i ó n . Esta ecuación es exacta pues ( 4 / V + t*e‘+-v + 2 1) = ( t A+ 4 t 3) e ‘+>= Por lo tanto, existe una función (t, y) tal que

( t Ae r

+ 2y).

1.9 • Ecuaciones diferenciales exactas

63

Dado que es más sencillo integrar t 4e t+y + 2y con respecto a y que integrar 4 t2e ,+y + t 4e l+y + 2t con respecto a /, se elige el segundo m étodo. De (ii) se obtiene y) = t 4e t+y + y 2 + k(t). Derivando esta expresión con respecto a t, y usando (i) resulta ( t 4 + 4 t 3) e ' +y + k ’(t) = 4 t 3e ' +y + t4e ' +y + 2t. Así pues, k(t) = t 2, y la solución general de la ecuación diferencial es y) = t 4e ,+y + y 2 + t 2 = c. Tom ando t = 0 y y = 1, esta ecuación implica que c = 1. Así pues, la solución del problem a de valores iniciales está definida implícitamente por la ecuación t 4e t+y + t 2 + y 2 = 1. Supóngase ahora que se tiene una ecuación diferencial que no es exacta M(i,y) + N ( l , y ) ^ = 0

(7)

¿Se puede transform ar la ecuación en exacta? Dicho con más precisión: ¿Se puede encon­ trar una función /x(í, y ), tal que la siguiente ecuación ¡i (t ,y)M (t,y) + ¡ x ( t , y ) N ( t , y ) ^ = 0

(8)

equivalente a (7) sea exacta? Esta pregunta es, en principio, fácil de contestar. La condición para que (i) sea exacta es que

o bien

(Para simplificar la notación se ha om itido aquí la dependencia de ¡i, M y N con respec­ to a / y a y en (9). Así pues, la ecuación (8) es exacta si y sólo si y) satisface la ecuación (9).

DEFINICION. La función n(t, y) que satiface la ecuación (9) se llama f a c ­ tor integrante de la ecuación diferencial (7).

La razón de ser de esta definición es, por supuesto, que si ¡i satisface (9), entonces es posible escribir (8) en la form a (d/dt)4>(t, y) = 0 y tal ecuación puede integrarse direc­ tam ente para obtener la solución <£(/, y) = c. P or desgracia hay sólo dos casos en los que es posible encontrar una solución explícita de (9). Se trata de aquéllos en los que la ecuación (7) tiene un factor integrante que es únicam ente función de /, o bien sólo función de y. Obsérvese que si /z es función únicam ente de /, entonces la ecuación (9) se reduce ar

64

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Pero esta ecuación no tiene sentido a menos que la expresión

dM dN dy dt N

sea una función solamente de t, es decir si

dM dy

N

dN dt

= R(t)

Si tal es el caso, entonces fi(t) = e x p íJ R (O ^ je s un factor integrante para la ecuación diferencial (7).

O

b s e r v a c ió n .

Es importante notar que la expresión

dM dN dy dt N

es casi siempre una función tanto de t como de> \ Sólo para parejas muy especiales de funciones M{t, y) y N(t, y) es dicha expresión una función únicamente de t. Un caso análogo ocurre si ¡i es una función sólo de .y (Ejercicio 17). Ésta es la razón por la que no es posible resolver muchas ecuaciones diferenciales.

EJEMPLO 6

H allar la solución general de la siguiente ecuación diferencial: y2 dy - Y + 2 y e ‘ + {y + e ‘) ~ = 0 .

S o l u c i ó n . En este caso M{t , y) = (y 2/ 2 ) + 2y e 1 y N(t , y) = y + e'. Esta ecua­ ción no es exacta, ya que d M / d y = y + 2e’ y d N / d t - e ‘. Sin em bargo, se tiene que

1 ¡dM N \d y

dN\ y + e‘ d t) y-y + e‘ L

Por lo tanto, la ecuación tiene un factor integrante de la form a n(t) = exp I I \ d t y e r. Esto significa, por supuesto, que la ecuación diferencial equivalente ' ‘ y2 dy — e ‘ + 2ye2t + ( y e ‘ + e2t) — = 0 2 * dt es exacta. Por lo tanto, existe una función (t, y) tal que



65

1.9 • Ecuaciones diferenciales exactas

y , dó (n) y e ' + e 2t= — . De las ecuaciones (i) y (ii) se obtiene ^ ~ e ‘ + y e 2, + h ( y )

y y2

^ - e ' + y e 2t + k{t). De modo que, h ( y ) - 0 y k(t) = 0, y la solución general de la ecuación diferencial es y 2

~2 ~e‘ + y e 2t = c. Despejando y como función de t en esta ecuación resulta y ( t ) = - e ' ± [ e 2t + 2c e ~l] 1/2.

EJEMPLO 7 Aplicar los métodos de esta sección para obtener la solución general de la ecuación lineal (dy/dt) + a(t)y = b(t). S o l u c i ó n . Primero se escribe la ecuación en la forma M(t, y) + N ( t , y)(dy/dt) = 0, con M(t, y) = a(t)y - b(t) y N(t, y) = 1. Esta ecuación no es exacta, ya que d M / d y = a(t) y d N / d t = 0. Sin em bargo, se tiene ( ( d M / d y ) - ( d N / d t ) ) / N = a(t). Por tanto fi(t) = exp^ j a( t ) d t ^ es un factor integrante para la ecuación lineal de primer orden. De modo que existe una función (t, y) tal que (i) y

n(t)[a(t)y-b(t)] = ^

oo

m( 0

d = 0jr-

A hora bien, obsérvese de (ii) que (t, y) = n(t)y + k(t). Al derivar esta ecuación con respecto a t, y usar (i) se ve que H'(t)y + k'(t) = #i(0« ( 0 ^ “ /l ( 0 ¿ (0Pero /x'(/) = a(t)n(t). Por lo tanto, Ar'(r) = ~n(t)b(t) y < P(^y) = ^ ( 0 y ~ f n( t)b( t) dt. De aquí se sigue que la solución general de la ecuación lineal de primer orden es p ( t ) y - j Á t ) b ( t ) dt = c, y éste es el resultado que se obtuvo en la Sección 1.2.

66

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Ej e r c i c io s 1. Use el teorem a de igualdad de las derivadas parciales mixtas para dem ostrar que d M / d y = d N / d t si la ecuación M( t, y) + N (t , y)(dy/dt) = 0 es exacta. 2. Demuestre que la expresión M ( t , y) - J ( d N ( t , y ) / d t ) d y es una función solam en­ te de t si d M / d y = d N / d t . En cada uno de los Problem as 3 a 6 encuentre la solución general de la ecuación dife­ rencial dada. 3.

2/seny +

yV

+ (/2cosy + i

dy 3 y 1e t ) - ^

=0

dy

4. l+Cl + ó O ^ + O + í e ° ' ) ^ = 0 ->

5. y sec t -I- sec t tan t -I- (2y -I- tan /) y 2

dy

=0

dy

6. / L - - 2 y e ' + { y - e ' ) ^ = 0

En cada uno de los Problem as 7 a 11 resuelva el problem a de valor inicial dado. 7. 2ty3 + 3 t 2y 2^ = 0 ,

8. 2tcosy + 3 t 2y

> (1 )- 1 dy

+ (t* —t 2seny - y ) - ^

9. 3/2+ 4ry+ (2.y + 2/2) ^ - =0,

=0,

y ( 0) = 2

^ (0)= ! dy

10. >'(cos2/)e°' —2(sen2/)e0' + 2/ + (/(cos20
>-(0)=3

y ( 2)=1

En cada uno de los Problem as 12 a 14 determine el valor de la constante a para que la ecuación sea exacta, y resuelva la ecuación resultante. 12. / + y e 2ly + ate2ty - ^- —0 dt

,3. I + -L + /2

y2

yl

dt

14. e a,+y + 3 t 2y 2 + (2yt3 + e al+y) ^ = 0

15. Demuestre que toda ecuación separable de la form a M(t) + N ( y ) d y / d t = 0 es exacta. 16. Halle todas las funciones / ( / ) tales que la siguiente ecuación diferencial >»2sen/ + y f ( t ) ( d y / d t ) = ^ 0 sea exacta. Resuelva la ecuación diferencial para determ inar dichas f ( t ) .

1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard 17. Demuestre que si ( ( d i y / d t ) - ( d M / d y j ) / M =

67

Q(y ), entonces la ecuación

M ( t, y) + N(t , y ) d y / d t - 0 tiene un factor integrante n ( y ) = exp

Q(y)dy')-

18. Suponga que la ecuación diferencial f(t)(dy/dt) + t 2 + y = 0 tiene un factor inte­ grante fi(t) = t. Encuentre todas las posibles funciones /( /) . 19. Considere que la ecuación diferencial e 's e c y - tan.y + (dy/dt) = 0 tiene un fac­ tor integrante de la form a e~al eos y para a constante. Determine a y resuelva la ecuación diferencial. 20. La ecuación diferencial de Bernoulli es (dy/dt) + a(i)y = b ( t) yn. M ultiplicándo­ la por n(t) = e \p^J a(t )dt j se puede escribir en la forma d/dt(n(t)y) = b(t)n(t)yn. Obtenga la solución general de esta ecuación hallando un factor integrante apro­ piado. Sugerencia: Divida ambos miembros de la ecuación entre una función apro­ piada de y.

1 .1 0

Te o r e m a d e e x is t e n c ia y u n ic id a d ; ITERACIONES DE PlCARD

Considérese el siguiente problem a de valor inicial y ( ' 0) = yo

(0

donde / e s una función dada de t y de y. Como se indicó en las observaciones de la Sección 1.9, es posible que no pueda resolverse (1) explícitamente. Esto lleva a plan­ tearse las siguientes preguntas: 1. ¿Cóm o es posible saber si el problem a de valores iniciales (1) tiene realmente solución, si no se la puede exhibir? 2. ¿Cóm o puede saberse si (1) tiene una solución única.y(/‘)? Es posible que exis­ tan una, dos, tres o incluso un número infinito de soluciones. 3. ¿P or qué molestarse en plantear las preguntas 1 y 2? Después de todo, ¿qué sentido tiene determ inar si (1) tiene una solución única si no es posible exhi­ birla explícitamente? La respuesta a esta últim a pregunta consiste en la observación de que en las aplica­ ciones no es necesario conocer la solución de (1) con más de un núm ero finito de cifras decimales. En la mayoría de los casos es más que suficiente encontrar y ( t ) con una pre­ cisión de cuatro cifras. Com o se verá en las Secciones 1.13 a 1.17, esto puede hacerse fácilmente con la ayuda de una com putadora digital. De hecho, se calculará y(t) con una precisión de ocho e incluso dieciséis cifras decimales. Así pues, el hecho de saber que (1) posee una solución única es simultáneamente una “ autorización” para buscarla. P ara resolver la prim era pregunta es necesario establecer la existencia de una fun­ ción y(t) cuyo valor en í = r0 es Y cuya derivada en cualquier tiempo t es igual

68

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

a f(t> y(tj)- P ara lograr esto se necesita un teorem a que nos perm ita garantizar la exis­ tencia de una función con ciertas propiedades sin necesidad de tener que expresarla explí­ citamente. Buscando a través del Cálculo se ve que tal situación se presenta una vez, a saber, en el contexto de la teoría de límites. Com o se m uestra en el Apéndice B, es posible m ostrar que una sucesión de funciones y n(t) tiene un límite y(t), sin necesidad de expresar .y(T). Por ejemplo, puede probarse que la sucesión de funciones , N senu/ , sen2fl7 ,

. sennnt

tiene un límite y{t) aunque no se pueda expresar explícitam ente. Esto sugiere el siguien­ te algoritm o para probar la existencia de una solución y(t) de (1). (a) C onstruir una sucesión de funciones y n{!) que se hagan cada vez más peque­ ñas para resolver el problem a 1. (b) M ostrar que la sucesión de funciones y„(t) tiene un límite y(t) en un interva­ lo adecuado t0 < t < t0 + a. (c) P robar que y{t) es solución de (1) en dicho intervalo. A continuación se indica cómo form ular este algoritm o (a)

Obtención de la sucesión aproximatoria y n(t)

El problema de encontrar una sucesión de funciones que se hace cada vez más peque­ ña para resolver una cierta ecuación se presenta muy a menudo en matem áticas. La experiencia ha dem ostrado que con frecuencia es m ucho más fácil resolver el problem a si la ecuación puede escribirse en la form a especial y ( t ) = L{t,y(t)),

(2)

donde L puede depender explícitamente de y y de integrales de funciones de y. Por ejem­ plo, puede desearse hallar una función y(t) que satisfaga y ( t ) = \ + sen[t+y(t)], o bien y ( 0 = 1 + y 2( 0 + f y \ s ) d s . Jo En estos dos casos, L(t, y(t)) es una form a abreviada de 1 + sen[ t + y ( t ) ] + y 2( 0 + f y 3(s)<&> Jo

respectivamente. La clave para entender qué tiene de especial la ecuación (2) es ver L(t, y(t)) como una “ m áquina” que recibe una función y devuelve otra. Por ejemplo, tómese £ (* .> '(0 )a a l + >'2( 0 + •'o f

69

1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard

Si la función y(t) = t entra a la m áquina, es decir, si se calcula 1 + t 2 + f ‘s 3ds, Jo

entonces la m áquina devuelve la función 1 + t 2 + t 4/ 4. Si se introduce la función y(t) = eos t en la m áquina, entonces devuelve la función l + c o s 2/ + f eos25ds = 1 4- eos2t + senr — ■■■. Jo 3 De acuerdo con este enfoque puede caracterizarse a todas las solucionesy(t) de (2) como aquellas funciones que la m áquina L no cambia. En otras palabras, si introducimos una función y( t) en la m áquina y ésta devuelve la misma función, entonces y(t) es una solución de (2). El problem a de valor inicial (1) puede escribirse en la form a especial (2), integran­ do am bos lados de la ecuación diferencial y ' - f ( t , y) con respecto a t. Concretamente, si y(t) satisface (1), entonces se tiene

de tal m odo que 3 '( 0 - J 'o + f f(s,y(s))ds.

(3)

Recíprocam ente, si y(t) es continua y satisface (3), entonces d y / d t = f {t , .y(O)- Más aún, y ( t 0) es obviam ente y 0. Por lo tanto, y(t) es una solución de (1) si y sólo si es una solución continua de (3). La ecuación (3) es una ecuación integral, y está en la forma especial (2) si se toma L ( t , y ( t ) ) = y 0+ f f ( s , y ( s ) ) d s . J ‘o

Esto sugiere el siguiente m étodo para obtener una sucesión de “ soluciones aproxim a­ das” y n(t) de (3). Se inicia proponiendo una solución tentativa y 0(t) de (3). La elec­ ción más sencilla es y 0(t) = y 0. Para com probar si ^ 0(0 es una solución de (3) se calcula y \ 0 ) = yo+ f f ( s , y 0(s))ds, J ‘o

Si ^ 1(0 = ^ 0» entonces .y (0 = y 0 es de hecho una solución de (3). Si no, se utiliza y ^ t ) como siguiente opción. P ara com probar si y\(t) es una solución de (3) se calcula >'2 ( /)=>'o+

f / (s ,y l (s))ds,

y así sucesivamente. De esta m anera se define una sucesión de funciones y¡(t), yi(t)> . . . , donde J‘o Las funciones y n{t) se llam an aproximaciones sucesivas o iteraciones de. Picard, en

70

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

honor al m atem ático francés que las descubrió. Sorprendentem ente, las iteraciones (o iteradas) de Picard siempre convergen, en un intervalo adecuado, a una solución y(í) de (3).

Ej e m p l o 1 Calcular las iteraciones de Picard para el siguiente problem a de valor inicial y m ostrar que convergen a la solución y(t) = e ‘ y'=y>

y ( 0 ) = i,

S o l u c i ó n . La ecuación integral correspondiente al problem a de valor inicial es >>(0= 1+ f y ( s ) d s . Jo Por lo tanto, J qÍO = 1 y r 'i * _ i + , Jo f y \ ( s ) d s = \ + f ( \ + s ) d s = l + t +^rr

Jo

jo

y en general

^ ( 0 = 1+ ^ - i ( - s) ¿¿s=1 + J Í |

, n —1

(n -1 )!

ds

n\

2!

Dado que e l = 1 + t + / 2/2! + • • •, se ve que las iteraciones de Picard y n(t) conver­ gen a la solución y(í) del problem a de valor inicial.

Eje m p l o 2

inicial y

Calcular las iteraciones de Picard y¡(t), y 2{t) para el problem a de valor = 1 + y 2, >>(1) = 1.

Solución . La ecuación integral correspondiente a este problema de valores iniciales es +

[ 1 + >'3(j ) ] £¿s-

Por lo tanto, y 0(t) = 1 + f '( l + l ) ¿ s = l + 2 ( / - l )

J\

y ^ w = i+

( ' { í + t i + ^ - i ) ] 3} ^

= 1 + 2(/ —l) + 3(/ —l ) 2 + 4 (/ — l) 3 + 2(/ —l)4. Nótese que calcular y 3(t) resulta ya muy difícil.

71

1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard (b)

Convergencia de las iteraciones de Picard

Com o se mencionó en la Sección 1.4, las soluciones de ecuaciones diferenciales no lineales pueden no existir para todo valor del tiempo t. Por lo tanto, no es posible espe­ rar la convergencia de las iteraciones de Picard y n(t) de (3) para todo t. Para darse una idea de dónde convergen las iteraciones de Picard, puede tratarse de encontrar un inter­ valo en el cual las iteraciones y n(t) están uniformemente acotadas (es decir, \y„(t)\ < K para alguna constante K ) . De manera equivalente puede buscarse un rectángulo R que contenga las gráficas de todas las iteraciones de Picard y n(t). El Lema 1 muestra cómo encontrar un rectángulo así.

Lema 1 . Elíjanse dos números positivos cualesquiera a y b y considérese el rectángulo R : t0 < t < t0 + a , \y - y 0\ < b. Calcúlese M — máx |/(/,.y)l> y hágase a = m in ia, ( l , y ) en R

Entonces

\

M

f

(5)

\yn{ t ) - y 0\ < M ( t - t 0) para t0 < t < t0 + a.

El Lema l afirm a que lagráfica de y n(t)está contenida entre las rectas y = y 0 + M ( t - t0) y y = ~ M ( t ~ t0) para /0 < t < t0 + a . Estas rectas salen del rectán­ gulo R para / = t0 + a si a < b / M y para t = /0 + b / M si b / M < a (Eigs. la y Ib). En estos casos, por lo tanto, la gráfica d e y n(t) está contenida en R para /0 < / < t0 + o¿.

(a)

FIGURA 1. (a )a = a; (b)a = b / M

(b)

D e m o s t r a c ió n d el Lema 1 . La dem ostración de la relación (5) se hará por induc­ ción para n. Obsérvese prim ero q^ue (5) obviam ente se cumple para n - 0, ya que

72

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

y 0(í) = yo- A hora es necesario que (5) se cum pla para n = j + 1 si se cumple para n = j. Esto se deduce de inm ediato, ya que si |yj(t) - y 01 < M {t - t0) entonces

\yj+ 1 ( 0 -^ o l = II f'o f(s>yAs))*
lf(s,y/s))¡ds<

t0 + a . Por lo tanto, por inducción, (5) se cumple para toda n.

□

Ahora es posible dem ostrar que las iteraciones de Picard y„(t) de (3) convergen para toda / en el intervalo tQ < t < t0 + a si d f / d y existe y es continua. El prim er paso consiste en transform ar el problem a de indicar que la sucesión de funciones y„{t) con­ verge a un problem a más sencillo que consiste en probar que converge una cierta serie infinita. Esto se logra escribiendo y„(t) de la siguiente m anera >’n ( 0 = > ,o ( 0 + [> ,i ( 0 - > ,o ( 0 ] + ••• + [ > ' n ( 0 - ^ - i ( 0 ] -

Claram ente la sucesión y n(t) converge si y sólo si la siguiente serie converge [y\

( 0 ~ ^ o ( 0 ] + [ ^ ( 0 - ^ i ( 0 ] + ■•• +

[yM ~y*-\

( ' ) ] + •••

(6)

Para probar que la serie infinita (6) converge basta con dem ostrar que 2 b „ ( 0 1 (01 < ° ° /!= ]

(7)

Esto se logra de la siguiente m anera. Obsérvese que

f [f(s>yn-l(s))-f(s>yn-2(s))]¿s

Jto

<

/

f

J ‘o

\ f ( s , y „ - l ( s ) ) ~ / ( s , y n_ 2(s))\ds

dy

donde £(s) se encuentra entre y rt-i(5) y >V-2(5)- (Recuérdese que f { x x) - f ( x 2) = / ( £ ) ( * ] — x 2), donde £ es algún núm ero entre x x y x 2). Del Lema 1 se deduce inme­ diatam ente que todos los puntos (5, £(s)) se encuentran en el rectángulo R para s < t0 + a . Por lo tanto,

b „(0

yn—1 (01 < Lf \y*-1 ( 0 ~ ^ - 2( 0 l ^

'o <1< '<>+ «>

(8)

donde V(t,y) dy ( t,y ) en R

L — máx

( 9)

73

1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard La ecuación (9) define a la constante L. Tom ando n = 2 en (8) se obtiene

\y i(t)-y i(t)\ < ¿ f

l

J‘o

f

J‘6

m

L M (c — /0)2

”

Esto implica a su vez que < Lfr

(s —t0)ds

M L 2 J ¡q — 2 ^ ~ ds

M L 2(t — /0)3 3! Procediendo de m anera inductiva se ve que \ y . ( i ) - y . - i(')l

ri:

para í0 < t < t0+ a.

( 10)

Por lo tan to , para /0 < / < t0 + o; se tiene b i ( / ) - > ,o(OI + l> '2 (0 -> 'i(O I+ ••• M L ( t — iQ)2 M L 2( , - , 0f M ( t - t0) + -------—--------+ 2! 3! < Ma +

L

W L a 2 A/L2a 3 + fr + 2! 3!

( a L ) 2 (a L )3 a L + ——— + + 2! 3!

Esta cantidad es obviam ente m enor que infinito. Por lo tanto, las iteraciones de Picard y n(t) convergen para / en el intervalo tQ < t < /0 + a . (Un argum ento similar mues­ tra que y n(t) converge para toda t en el intervalo t0 - (3 < t < t0, donde B = mín (a, b / N ) y N es el valor máximo de \ f(t , y)\ para (t , y) en el rectángulo t0 - a < / < /0, \y — y 0 < ¿>|). Se denotará con y(t) al límite de y n(t). □ (c) Demostración de que y (t) satisface el problema de valor inicial (1) Se pondrá de relieve que y(t) satisface la ecuación integral ^ (0 = ^ 0 + / J{^y{s))ds

(H)

y que y(t) es continua. P ara esto recuérdese que las iteraciones de Picard y n(t) se defi­ nen en form a recurrente por medio de la ecuación y n + i( 0 = > 'o +

( 12)

74

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Tom ando límites en am bos lados de (12) se obtiene

f

T ( 0 = T o + línl

(13)

f ( s , y H(s))ds.

Para m ostrar que el lado derecho de (13) es igual a T o + / f(s>y(s))d?, ‘o

(esto es, para justificar el paso del límite a través del signo de integral) hay que dem os­ trar que

f

J ‘o

f ( s , y ( s ) ) d s - f f ( s , y n(s))ds

J ‘o

tiende a cero cuando n tiende a infinito. Esto se logra de la siguiente m anera. Obsérvese primero que la gráfica de y(t) se encuentra en el rectángulo R para t + « , ya que es el límite de funciones y n(t) cuyas gráficas se encuentran en R. Por lo tanto,

/

l0

f(s,y(s))ds-

j

l0

f ( s , y n(s))ds < f ¡ f ( s , y ( s ) ) - / ( s , y /t( s ) )¡ ds< L f \y(s)-y„(s) \ds J ‘o

J ‘o

donde L está definido en la ecuación (9). A hora obsérvese que y (s)-y M ) =

É

j —n + 1

[ y A s ) ~ y j - i(j )]

pues y { s ) = y 0+ 2

1

[T /O O -T z-iO r)]

T „(í)= > 'o + 2

j - 1

Por lo tanto, se tiene que (10)

j~ n +\

m 2

/-n+l

2

J

j-n

r> f } { s , y ( s ) ) d s - í f(s,y„(s))ds < M

J ‘o

J ‘o

<

(aL)¡ +1

j =n+ ,

( a L >J C — y ~ J ds J ' J‘o ( ccL)j

j ^ n +\

r-

(¡4)

75

1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard

Esta sum atoria tiende a cero cuando n tiende a infinito, ya que es el residuo del desa­ rrollo de la serie de Taylor convergente de e aL. Por lo tanto, f f ( s ' - y M ) ds= f f ( s ^ ( s ) ) ds’ Jr0

'o

e y(t) satisface (11). P ara poner de manifiesto que.y(0 es continua hay que m ostrar que para toda ¿ > 0 puede encontrarse 5 > 0 tal que si

\y(t + h ) - y ( t ) \ < e

|/z| < 5

A hora bien, no es posible com parar y ( t + h) con y{t) directamente, ya que no se co­ noce >^(0 de modo explícito. Para salvar esta dificultad se elige un entero N \ o bastante grande y se observa que y ( t + h ) - y ( t ) = [ y { t + h ) - y s {t + h)]

+ [ y N( ' +

h) - y j v ( 0

]+

[y*

( 0 - y ( 0 ]•

Con más detalle se elige N suficientemente grande como para que M_ L Entonces se sigue de (14) que

V ^ '

7 =/V+ 1

\ y ( t + h ) - y „ { t + h) | < {

( a L Y'J < e j\ " 3

J

y

\yN { t ) -.K O I < | ,

para / < t0 + a y h suficientemente pequeña (tal que t + h < t0 + a). Luego ob­ sérvese que y¡si{t) es continua, pues se obtiene después de N integraciones sucesivas de funciones continuas. Por lo tanto, puede elegirse 5 > 0 lo bastante pequeña de modo que l> v ( ' + ^ ) - > v ( ') l < f para \h\ < 8. Por consiguiente, \y{t + h ) - y { t ) \ < \ y { t + h ) - y N(t + h)\ + \ y„(t + h ) - y N (t)\ + l>V( 0 - > '( 0 l < ' | + ' | + ' | = e para \h\ < 5 . Por lo tanto, y(t) es una solución continua de la ecuación integral (11) y esto com pleta la dem ostración de que y(t) satisface (1). □ Resumiendo, lo que se ha probado es el siguiente teorema:

TEOREMA 2.

Sean f y d f / d y continuas en el rectángulo R t0 + a , \y - y 0\ < b. Calcúlese M -

máx

(f .X ) en R

: t0 <

t

<

y hágase a = m ín ( a ,- M . \

M

}

Entonces, el problema de valores iniciales y ' = / ( / , y), y ( t 0) = y 0 tiene al menos una solución y(t) en el intervalo t0 < t < t0 + a . Un resultado simi­ lar se cumple para t < t0.

76

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

O b s e r v a c ió n . El núm ero a en el Teorem a 2 depende directam ente de la elección de a y b . Una elección distinta de a y b lleva a un valor diferente de a . Más aún, a no necesariamente crece si a y b lo hacen, ya que un increm ento en a o en b produce tam bién un increm ento en M. Por últim o, es posible avocarse al problem a de la unicidad de las soluciones de (1). Considérese el siguiente problem a de valor inicial — = (se n 2/) 7 1/3,

7 ( 0) = 0.

(15)

Una solución de (15) es y (t) = 0. Pueden obtenerse soluciones adicionales si se hace caso omiso del hecho de que .y(O) = 0, y se escribe la ecuación diferencial en la form a siguiente

o bien

3

d d t

Entonces,

y

= sen2/.

2

3^ 2/3 j _ CQS 2( = sen2 1 ~ z — = ------

- ±V 8/27 sen3 t son dos soluciones adicionales de (15). A hora bien, los problem as de valor inicial que poseen más de una solución son cla­ ramente indeseables en las aplicaciones. Por lo tanto, es im portante encontrar cuál es exactamente la razón por la cual el problem a de valor inicial (15) tiene más de una solu­ ción. Si se observa con cuidado el segundo m iem bro de la ecuación diferencial se ve que no tiene derivada parcial con respecto a y e n y = 0. De hecho, este es precisamente el problem a, como lo m uestra el siguiente teorem a. y

TEO REM A 2 \y ~ yo \ ^

E n to n c e s ,

S ea n f b .

y

d f / d y

c o n tin u a s e n

tie n e

u n a

tQ

<

y

e l p r o b le m a

t

ú n ic a z t so n

<

tQ

+

R

:

t0

<

t

<

to

+

C a lc ú le s e

d e

v a lo r

in ic ia l

y '= f( t,y ) ,

si y (t)

e l r e c tá n g u lo

s o lu c ió n

en

e l in te r v a lo

d o s s o lu c io n e s d e

(16)

y ( t 0)= y o t0

<

t

<

t0

+

a .

E n

o tr a s p a la b r a s ,

(1 6 ), e n to n c e s y (t) d e b e s e r ig u a l a z { t ) p a r a

a .

D e m o s t r a c ió n . El Teorem a 2 garantiza la existencia de al menos una solución y ( t ) de (16). Supóngase que z ( t ) es una segunda solución de (16). Entonces,

y

1.10 • Teorema de existencia y unicidad; ¡nteraciones de Picard

77

Restando estas dos ecuaciones se obtiene f

[/(*
< / V C ^ C O W C ^ C 5) ) ! ^ *lo < L Í |^ (j) - 2 ( j) |¿ ¿ S donde L es el máximo de los valores de \ d f / d y \ para (/, y) en R. ElLema 2, que se enuncia a continuación, indica que esta desigualdad implica que _y(/) = z(t). Por lo tanto, el problem a de valor inicial (16) tiene una solución única y(t). □

Lema

2.

Sea w(t) una función no negativa, con w (r )< L Í " w(s)ds.

(17)

Entonces, w(r) es idénticamente igual a cero. D e m o s t r a c ió n

erró n ea .

^

Derivando ambos lados de (17) se obtiene

< Lw(t), o bien

^ - - L w ( / ) < 0.

Al multiplicar ambos miembros de esta desigualdad por el factor integrante e~L(,~h)) se obtiene A_e - L(t -t 0)w ( tj < o, de modo que e ~ L(l~ lo)w(t) < w (/0) para ( > tQ. Pero w(/0) debe ser nula si w(t) es no negativa y satisface (17). Por lo tan­ to, w(t) < 0 y esto implica que w(t) es idénticamente igual a cero. El error en esta dem ostración consiste, por supuesto, en que al derivar ambos miem­ bros de una desigualdad no es posible esperar que la desigualdad se conserve. Por ejem­ plo la fu n ció n /¡(f) = 2t - 2 es menor q u e /2(/) = t en el intervalo [0, 1] y, sin em bar­ go, f \ ( t ) es m ayor q u e / 2(0 en ese intervalo. Esta dem ostración puede corregirse con ayuda del siguiente artificio. Tómese

£/(/)= f ‘w (s )ds. J‘o

Entonces ^

—w(t)<

l

J' w (s ) d s = L V ( t ) .

Por lo tanto, e-¿('-,,,)£/(/) < U(t0) = 0 para t > /0, y por ello U(t) = 0. Esto a su vez implica que w(/) = 0, pues 0 < w(r) <

lJ

w(s)ds = L U ( t ) = 0.

□

78

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Eje m p l o 3

D em ostrar que la solución y(t) del problem a de valor inicial dy

=

-> +

i

y ( 0) = 0

existe para 0 < í < Vi, y que en este intervalo se cumple |7 ( 0 l < 1. SOLUCIÓN. Sea R el rectángulo 0 < t < Vi, \ y | < 1. Calculando máx r2 + e~y l = 1 + ( l ) 2 = 4,

M=

V,y)'*R

4

se ve que y(t) existe para

y que en este intervalo se cumple \y(t) | < 1.

Eje m p l o 4

D em ostrar que la solución y(t) del problem a de valor inicial 7 (0 )= 1

existe para 0 < t < SOLUCIÓN.

y que en este intervalo se tiene 0 < y < 2.

Sea R el rectángulo 0 < / < | , 0 < 7 < 2 . M=

máx

(/,_y) en R

Al calcular

e ~ ‘2+ y 3= 1 + 2 3= 9,

se ve que y(t) existe para

0<

t

< m í n ( |,|)

y que en este intervalo se cumple 0 < y < 2.

Eje m p l o 5 ¿Cuál es el máximo intervalo para el que el Teorem a 2 garantiza la exis­ tencia de la solución del problem a de valor inicial y ' = 1 + y 2, 7 (0) = 0? So l u c ió n .

Sea R elrectángulo 0 < / < a, \ y\ < b. Calculando M=

máx

( t , y ) en R

l+

7 2= l

+ ¿>2,

se ve que y(t) existe para 0 < t < a = m íní a , — V 1+ b 2 ) Claram ente el máximo valor de a que puede encontrarse es el valor para el cual la fun­ ción b/( 1 + b 2) alcanza su m áximo. Dicho valor máximo es Vi. Por lo tanto, el Teo­ rema 2 asegura que 7 (0 existe para 0 < t < Vi. El hecho de que 7 (0 = tan t existe para 0 < / < tv/ 2 destaca las limitaciones del Teorem a 2.

Eje m p l o 6

Hay que suponer que \f{t, y)\ ^ K en el semiplano t0 < t < <», < 7 < oo. Demostrar que la solución 7 (0 del problema de valor inicial 7 ' = f ( t , 7), 7(^o) = Tu existe para toda / > /0. -o o

79

1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard S o l u c i ó n . Sea R el rectángulo t0 < t < t0 + a, \ y - _y0| ^ b. La cantidad A/ =

máx \ f( t, y) \

( t , y ) en R

es a lo más AT. Por lo tanto, y(t) existe para t0 < / < t0 + m ín (a,b / K). A hora bien, la cantidad mín (a, b/ K) puede tom arse tan grande com o se desee, eligien­ do a y b suficientemente grandes. De modo que y(t) existe para t > t0.

Ej e r c i c i o s 1. Obtenga las iteraciones de Picard para el problem a de valor inicial^' = 2 t ( y + 1), .y(O) = 0 y demuestre que convergen a la solución y(t) = e r' ~ l . 2. Calcule las primeras dos iteraciones de Picard para el problema de valor inicial y ' = I2 + y 2, y ( 0) = 1. 3. Calcule las primeras tres iteraciones de Picard para el problem a de valor inicial y ’ = e ‘ + y 2, y ( 0) = 0.

En cada uno de los Problem as 4 a 15 demuestre que la solución y(t) del problema de valor inicial dado existe en el intervalo indicado. 4. y = y 2+ cos/2, y(0) = 0;

5. y = 1 + y + y 2cost,

0
y ( 0) = 0;

0
6. y = / + y 2, y (0) = 0; 0 < t < ( |) 2/3

7. y = e ~ ‘1+ y 2, y ( 0) = 0;

8. y

0
= e _,í + y 2, y ( O = 0; i < / <

9. y = e 1 + y , y (0 ) = l;

10. y 11. y

0
= y + e ~ y + e ~ ‘, y( 0) = 0; = y 2+ e ~ Sr, y( 0) = 0.4;

12. y = e ^ - ^ ,

y(0) = 1;

1+

V é /2 V2

1+0

+ V 2 )2

0
0
0 < t < ^ L = I e -((i + vsyzP

13. y = (4y w +. e- ~ ‘2)e2y, y ( 0) = 0; 14. y ' = e - , + ln(l + y 2), y (0 ) = 0;

0-----< /
15. y ' = i ( l + c o s 4 / ) > ' - g ¿ 5( l - c o s 4 / ) > ' 2, y ( 0 ) = 1 0 0 ;

0< /< 1

16. Considere el problema de valor inicial y' = t2+ y 2,

y ( 0) = 0,

Sea R el rectángulo 0 < t < a, - b < y < b.

(*)

80

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (a) Demuestre que la solución y(t) de (*) existe para 0 < / < mi nf a, —— —- V

V a +b )

(b) Demuestre que el valor máximo de b / ( a 2 + b 2), para a fija, es Via. (c) Demuestre que a - m ín (a, Via) alcanza su máximo para a = 1/V2. (d) Concluya que la solución y(t) de (*) existe para 0 < t < 1/V2. 17. Pruebe que y(t) = -1 es la solución única del problem a de valor inicial / = t ( l +y) ,

>'(0) = - 1.

18. Halle una solución no trivial del problem a de valor inicial y ' - t y u, j'(O) = 0, a > 1. ¿Contradice dicha solución al Teorem a 2'? Explique. 19. Encuentre una solución al problem a de valor inicial = t\¡ 1 - y~, y ( 0) = 1, que no sea y(t) = 1. ¿Contradice dicha solución al Teorem a 2'? Explique. 20. Aquí se presenta una dem ostración alternativa del Lema 2. Sea w(t) una función nesativa con w(t) < L f w(s)ds

(*)

en el intervalo /0 < t < t0 + a . Dado que w(t) es continua, es posible encontrar una constante A tal que 0 < w(t) < A , para tQ < / < /0 + a. (a) Demuestre que w(/) < L A ( t - tQ). (b) Use esta estimación de w(/) en (*) para obtener A L 2(t - í0)2

w ( / ) < -------=-------- . (c) Procediendo inductivam ente demuestre que para todo entero n, w(t) < A L n(t - t0)n/ n \ (d) Concluya que w(r) = 0 para

/0 <

/ < t0 + a .

1 .1 1 C á l c u l o de la s r a íc e s de l a s e c u a c io n e s __________POR ITERACIONES______________________________________ Supóngase que se desea encontrar las raíces de una ecuación de la siguiente forma * = /(* ). Por ejemplo, se podría desear encontrar las raíces de la ecuación x = senx + \ .

(I)

81

1.11 • C álculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones

Los m étodos descritos en la sección anterior sugieren el siguiente algoritm o para resol­ ver el problem a: 1. P robar con un prim er valor x 0 y usar este número para construir una suce­ sión de valores x lf x 2, x 3, . . . , donde x¡ = f ( x 0), x 2 = f ( x¡ ) , x 3 = f ( x 2), etcétera. 2. M ostrar que esta sucesión de iteraciones x n tiene un límite 77cuando n tiende a infinito. 3. P ro b ar que 77 es una raíz de (1), es decir, que 77 = f(r]). El siguiente teorem a responde a la pregunta de cuándo es aplicable el algoritmo.

3 . Sean f ( x ) y f \ x ) continuas en el intervalo a < x < b, con \f'{x) | < X < 1 en ese intervalo. Más aún, supóngase que todas las iteracio­ nes x n, definidas en f o r m a recurrente por la ecuación Teorem a

x n+\ = /( * „ )

(2)

se encuentran en el intervalo [a, b]. Entonces, las iteraciones x n convergen a un único valor tj que satisface (1). D e m o s t r a c i ó n . Puede cambiarse el problema de probar que la sucesión x n con­ verge, por el problem a más simple de probar que converge una serie infinita. Esto se hace escribiendo x n en la form a x „ ^ x 0 + ( x l - x Q) + ( x 2- x l) + . . . + ( x n - x n_ l). Claram ente, la sucesión x n converge si y solamente si la serie infinita 00

n» 1

lo hace. Para dem ostrar que la serie infinita converge basta con dem ostrar que 00

|* l - * o l + l* 2- * l l + ••• =

2

n ■« 1

Esto se logra de la siguiente m anera. Por definición, x n = /(x „ - i) y x n-\ = f ( x n- 2). Restando estas dos ecuaciones se obtiene X n - X n - \ = f ( Xn - \ ) - f ( Xn - 2 ) = f ' ( £ ) ( Xn - \ - X n - 2) ’

donde £ es un núm ero entre x„-¡ y x n- 2. En particular, £ se encuentra en el intervalo [a, b\. P o r lo tanto, | / ( £ ) | < X, y IXn Iterando esta desigualdad n —

x n_ 11^ X| Xn _ 1 Xn _ 2I•

1 veces

resulta < X2k - 2 - * „ - 3 l < X n- l|*i —* 0|-

(3)

82

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Por lo tanto, n —1

n =* 1

= i * i _jicoi[i + ^ + ^ 2 + • • • ] " '

; _ xo1 •

Esta cantidad es obviam ente m enor que infinito. P or lo tanto, la sucesión de iteracio­ nes x n tiene un límite . cuando n tiende a infinito. Tom ando límites en am bos lados de (2) se obtiene 71= n} — inL ►oo *"+i = nJí™ —>oo / ( * " ) = / ( r?)Por lo tanto, 77 es una raíz de (1). Finalmente, supóngase que 17 no es única, es decir, que existen dos soluciones y. 172 de (1) en el intervalo [a, b]. Entonces

17L

Vi ~ Vi = / ( T?i) - / ( t ) 2) = / ' ( 0 ( t?i ~ Vi)> donde £ es un núm ero entre rji y r)2 - Esto implica que 771 = rj2, o bien que / ' ( £ ) = 1. Pero / ' ( £ ) no puede ser igual a la unidad, ya que £ se encuentra en el intervalo [a , b]. Por lo tanto, 77, = 172. □ E je m p lo

1

D em ostrar que para todo valor inicial x 0, la sucesión de iteraciones x Q, x i = 1 + j a r e ta n x 0,

converge a un único núm ero

77 que

x 2— 1 + ja r c i a n * ,,...

satisface

7) = 1 +

^arc tanrj

S o lu c ió n . S e a /fx ) = 1 + Vi are tan x. Al calcular f '(x) = Vi 1/(1 + .x2) se ve que \ f \ x ) | siempre es m enor o igual que Vi. Por lo tanto, por el Teorema 3, la sucesión de iteraciones x 0 , x x, x 2, . . . converge a la raíz única rj de la ecuación .x = 1 + Vi are tan x , para cualquier elección de x 0. Hay muchas situaciones en las que a priori se sabe que la ecuación x = f ( x ) tiene una solución única 77 en un intervalo dado [a, b ]. En esos casos es posible utilizar el Teorem a 3 para obtener una muy buena aproxim ación de 7/. De hecho, el trabajo es especialmente simple en estos casos, ya que no es necesario controlar que todas las ite­ raciones x n se encuentren en el intervalo especificado. Si x Qestá suficientemente cerca de 77, entonces las iteraciones x n siempre convergen a 77, como se verá a continuación. T E O R E M A 4 . Supóngase que f ( y - 77, y que | / (.x)| < X < 1 en el inter­ valo \x - 771 < a . Elíjase un número x Qen dicho intervalo. Entonces la suce­ sión de iteraciones x n, definidas recurrentemente p or la ecuación x n+l = f ( x n) convergen siempre a 77.

83

1.11 • C álculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones

D e m o s tra c ió n . Denótese por / al intervalo |x - 171 < a. . Por el Teorema 3, es sufi­ ciente m ostrar que todas las iteraciones x n se encuentran en /. P ara esto, obsérvese que xj+ j - v = f ( x j ) —f(r¡) = /'(£ )(* , donde £ es algún número entre Xj y

17. En

17)

particular, £ está en / si Xj está en I. Así pues,

| ^ + I -T)|
(4)

si Xj está en /. Esto implica que xJ+ 1 está en / siempre que Xj esté en /. Por lo tanto, por inducción, todas las iteraciones x n están en I. □ La ecuación (4) también señala que x n +l está más cerca de 17 que x n . Concretamen­ te, el error que se comete al aproxim ar 77con x n decrece, al menos en un factor X, cada vez que se incrementa n. Así pues, si X es muy pequeña, entonces la convergencia de x„ a 77es muy rápida, mientras que si X es aproxim adam ente uno, entonces la conver­ gencia es muy lenta.

Ejem plo

2

(a) Dem ostrar que la ecuación x = sen x + j

tiene una raíz única

77 en

el intervalo

(5)

[ x / 4 , x /2 ].

(b) Dem ostrar que la sucesión de números Xq, converge a

77 si

x l =s enx0+

x 2= senjr 1 + J , . . .

x 54 < „v0 < x /2 .

(c) Escribir un program a de com putadora para calcular las primeras N iteraciones x lf x 2, . . . x N. So l u c ió n . (a) Tómese g(jc) = x - sen x - X A y obsérvese que g (x /4 ) es negativa, mientras que g ( 7r / 2) es positiva. Más aún, g(x) es una función m onótona creciente en x para x /4 < .v < x /2 , ya que su derivada es estrictamente positiva en dicho intervalo. Por lo tanto, la ecuación (5) tiene una raíz única jc = 77 en el intervalo x /4 < x < x/2. (b) Denótese por / el intervalo 77 - x /4 < jc < 77 + x /4 . El extremo izquierdo del inter­ valo es mayor que cero, mientras que el extremo derecho es m enor que 3 x /4 . Por lo tanto, existe un número X, con 0 < Xt< 1, ^al que COS Jt =

d_ - ^ ( s e n x + 1) dx

<\

para x en /. El intervalo [x /4 , x /2 ] está claram ente contenido en I. P or lo tanto, por el Teorem a 4, se tiene que la sucesión de números Xq, converge a

77 para

x l =s en x0 +

x 2=sen.x, + j , . . .

toda x'o en el intervalo [x/4, x/2].

84

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Programa en APL

(C) V

IT E R A T E

[1]

X^-NpO

[2]

X[1 ]^ -0 .2 5 + 1 O X 0

[3]

K<— 1

[4]

X [K + 1 ]* -0 .2 5 + lO X [ K ]

[5]

K ^ -K + 1

X ¿K < N

[6]

—>4

[7]

$ ( 2 ,pX )p(tp X ),X

V

O b s e r v a c i ó n . Si x es un vector con N com ponentes, entonces ¿pX es el vector 1, 2, . . N. Así pues, la instrucción [7] indica a la com putadora que debe imprimir los dos vectores 1, 2, . . . , N y X\ , x 2, . . . , x N en colum nas adyacentes.

Programa en Fortran D I M E N S I O N X (2 0 0 ) R E A D (5 ,1 0 ) X 0 , N

10

F O R M A T ( F 1 5.8,15) C O M P U T E X (1 ) F IR S T X (1 ) = 0 .25 + S IN (X O ) KA = 0 KB = 1 W R I T E (6 ,2 0 ) K A , X0, K B , X (1 )

20

F O R M A T (1 H 1 , 4 X, ‘N ’, 10X , ‘X ’/ ( 1 H, 3 X , 13,4X, F 1 5.9)) C O M P U T E X (2 ) T H R U X ( N ) DO 40 K = 2 ,N X (K ) = 0.25 + S IN ( X ( K — 1)) W R I T E (6 ,3 0 ) K , X ( K )

30

F O R M A T (1 H ,3 X , 13,4 X, F 1 5.9)

40

C O N T IN U E C A L L E X IT END

Los resultados de correr estos program as con .v0 = 1 y N = 15 se muestran en la Tabla 1. Esta inform ación implica que 77 = 1.17122965 hasta ocho cifras después del punto Ta b l a

i

.

n

0 1 2

3 4 5

6 7

n

1

1.09147099 1.13730626 1.15750531 1.16580403 1.16910543 1.17040121 1.17090706

8 9

10 11 12

13 14 15

1.17110411 1.17122962 1.17122964 1.17122965 1.17122965 1.17122965 1.17122965 1.17122965

85

1.11 • C álculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones

decimal. Más aún, se necesitaron solamente once iteraciones para encontrar 17con una precisión de ocho cifras decimales. En muchos casos se desea calcular una raíz de la ecuación x = f ( x ) con una cierta precisión. La manera más fácil y eficaz de hacerlo es dando a la com putadora la ins­ trucción de term inar el program a para k = j si x) + ] coincide con Xj dentro de la preci­ sión prescrita.

Ej e r c i c i o s 1. Sea 17 la raíz única de la ecuación (5). (a) Sea x0 = ir/4. Demuestre que se requieren 20 iteraciones para encontrar 8 cifras significativas. (b) Sea x 0 = x /2 . Demuestre que se requieren 20 iteraciones para obtener 8 cifras significativas. (c) Sea x 0 = 37r / 8. Pruebe que se requieren 16 iteraciones para encontrar 8 cifras significativas.

17con 17 con 17 con

2. (a) Determine valores adecuados de Xq para que las iteraciones x n, definidas por la ecuación x n + i ~ x n - \ ( x n2 - 2 )

converjan a 4 l . (b) Tómese xr0 = 1.4 y demuestre que se requiren 14 iteraciones para encontrar V2 con 8 cifras decimales significativas. (V2 = 1.41421356 a 8 cifras significa­ tivas.) 3. (a) Determine valores adecuados de Xq para que las iteraciones x n definidas por la ecuación Xn +\ - xn - T s( xn2- 2 ) (b)

converjan a V2. Tómese xr0 = 1.4 y demuestre que se requieren 30 iteraciones para evaluar y¡2 con 6 cifras significativas.

4. (a) Determine un valor adecuado de a para que las iteraciones x ny definidas por la ecuación x n + l m x n - < * ( x n2-3)>

(b)

converjan a V3. Encuentre V3 con

6 cifras

significativas.

5. Sea 17 la raíz única de la ecuación x = 1 + 'A arctanx:. O btenga nificativas.

6.

17con

5 cifras sig­

(a) Demuestre que la ecuación 2 - x = (lnx:)/4 tiene una raíz única x = intervalo 0 < x < (b) Sea x„ + 1= 2 -(ln x „ )/4 , Pruebe que 1 < x„ < 2 si 1 < x 0 < 2.

n = 0 ,1,2,...

17 en

el

86

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (c) Demuestre que x„ — 77 com o n -*• si 1 < x 0 < 2. (d) Calcule con 5 cifras significativas.

7.

(a) Demuestre que la ecuación x = eos x tiene una raíz única x = 17en el intervalo 0 < x < 1. (b) Sea x „ +) = cosx„, n - 0, 1, 2, . . . con 0 < x 0 < 1. Demuestre que 0 < x n < 1. Concluya que, por lo tanto, x n -»■ 17 cuando /7 -* °°. (c) O btenga 17 con 5 cifras significativas.

1.11.1

Método de Newton

El método de iteraciones que sirvió para resolver la ecuación x = /(x ) tam bién puede usarse para resolver la ecuación g(x) = 0. De hecho, cualquier solución x = 77 de g(x) = 0 es tam bién solución de la ecuación

x = /(x ) = x -g (x ), y viceversa. Más aún, cualquier solución x = ecuación

17 de g(x)

(1) = 0 es también solución de la

x = / r,( x )x = x - — —

(2)

h{ x)

para cualquier función h(x). Por supuesto que h{x) no debe ser cero para xcercanas a 77. La ecuación 2 contiene una función arbitraria h{x). Así pues, es posible intentar elegir h{x) de tal m anera que: (i) se cumplan las condiciones del Teorem a 4 de la Sec­ ción 1.11 y (ii) que las iteraciones x0, converjan a la raíz deseada calcular

g ( x 0)

X, = x 0- — —

h{x0)

17 tan

x 2= x , -

g ( x \)

/z(x,)

rápido como sea posible. Para tal fin, es conveniente

g(x)

g ' ( x)

h(x)

h (x )

+

h'(x)g(x) h 2(x)

y observar que g' ( v) h( v )

Esto sugiere tom ar h(x) = g'(x), ya que entonces f \ r /) = 0. Por lo tanto, las iteradas x„, definidas en form a recurrente por medio de la ecuación =

- - 7/ - . .

« = 0 ,1 ,2 ,...

(3)

convergen a 17si el valor inicial x 0está suficientemente cerca de 77. (S í/'( t 7) = 0, enton­ ces |/ '( x ) | < X < 1 para |x — 77¡ lo bastante pequeño.) De hecho, la elección de h(x) = f \ x ) es ópt ima, ya que la convergencia de x„ a 77 es en extremo rápida. Esto se sabe

1.11 • C álculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones

87

del hecho de que el núm ero X en la ecuación (4) de la Sección 1.11 puede tomarse arbi­ trariam ente pequeño al aproxim arse x n a 77. El método de iteración (3) se conoce como método de Newton para resolver la ecua­ ción g(;t) = 0. Es posible m ostrár que si # ( 17) = 0, y x 0 está suficientemente cerca de 77, entonces K +i - l \ < c \ x n - r ¡ \ \ para una constante positiva c. En otras palabras, el error cometido al aproximar 77con x n +¡ es proporcional al cuadrado del error cometido al aproxim ar tj con x„. Este tipo de convergencia se llama convergencia cuadrática e implica que las iteraciones x n con­ vergen extrem adam ente rápido a 77. En muchos casos se requiere sólo de cinco a seis iteraciones para encontrar 77 con ocho o más cifras decimales significativas.

Ej e m p l o

i Usar el m étodo de Newton para calcular V2.

SOLUCIÓN. La raíz cuadrada de 2 es una raíz de la ecuación g ( x ) = x 2-

2 = 0.

Por lo tanto, la fórm ula de Newton para este problem a es g ( Xn) Xn + ' ~ Xn

( Xn2~ 2)

2*„

g ' M ' Xn

- T + ” ’ ¿ Xn

rt = 0 , 1,2,—

(4)

A continuación se presentan program as en A PL y F ortran para calcular las primeras N iteraciones de un valor inicial x0.

Programa en APL V NEW TON [1] [2]

X *-N p 0 X [ 1 ] * - ( X 0 h- 2 ) + -í-X O

[3]

K ^ -1

[4]

X [K + 1 ]« -(X [K ] + 2 ) + + X [ K ]

[5]

K«— K + 1

X iK < N

[6]

—>4

[7]

<5(2 ,p X )p (tp X ) , X

V

Tab la 1 . n

n 0 1 2

1.4 1.41428571 1.41421356

3 4 5

1.41421356 1.41421356 1.41421356

Programa en Fortran

88

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Solamente se necesita cam biar las instrucciones en el program a en F ortran de la Sec­ ción 1.11, para calcular X(1) y X(K), por X (1 ) = ( X 0 / 2 ) + 1 / X 0

y X (K ) = (X (K - 1

)/2 ) + 1

/X (K - 1 )

En la Tabla 1 se m uestran los resultados obtenidos en corridas de estos program as con jc0 = 1.4 y N = 5. Nótese que el m étodo de Newton requiere solamente de dos itera­ ciones para evaluar V2 con 8 cifras decimales significativas.

Ej e m p l o 2 Usar el método de Newton para encontrar la velocidad de im pacto de los recipientes de la Sección 1.7. S o l u c i ó n . La velocidad de choque o im pacto de los recipientes satisface la siguiente ecuación: , 300cg x W - B , g ( v ) = v + — w ~ + — — In

W -B -cv W -B

=0

(5)

donde c=

0.08,

g=

JK= 527.436,

32.2,

Tom ando a - ( W - B ) / c y d = la siguiente m anera:

300

y

c g / W , la ecuación

5 = (5)

470.327.

se simplifica y queda de ( 6)

g ( v ) = v + d + al n( l —v / a ) —0. La fórm ula de Newton para este problem a es la siguiente: g(On) Vn +' ~ Vn

{ \ - V n / a ) [ v n+ d + a \ n ( \ - v J a ) ]

S 'K ) ~ Vn+

vn / a

= u„+ —- ^ - [ v n + d + a\n(\ - v j á)},

n = 0 ,1 ,2 ,....

A continuación, se presentan program as en A PL y F ortran para calcular las primeras N iteraciones de t>0.

Programó en APL V

NEW TON

{1]

V<— NpO

[2]

V 1 < -V 0 + D + A X ® 1 - V 0 + A

[3]

V[1 ]« -V 0 + (A - V 0 ) X V 1 - V 0

[4]

K « -1

[5]

VK < — V [K ] + D + A X ® 1 - V [ K ] A

[6]

V [ K + 1 ]<— V [K ] + (A — V [K ]) X V K

V [K ]

89

1.11 • C álculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones [7]

K<— K + 1

[9]

0 ( 2 , p V ) p ( £p V )I V

[8] —» 5 Xi K
Programa en Fortran Cámbiese X por V en el program a en Fortran de la Sección ciones para X(1) y X (K ), tómense

1.11

y e n vez de las instruc­

V(1) = V 0 + ((A — V 0 ) / V 0 ) * ( V 0 + D + A * A L O G (1 - ( V O / A ) ) )

y V (K ) = V (K — 1) + ((A — V (K — 1))/ V ( K — 1 ))* ( V ( K - 1 ) + D + A * A L O G (1 — (V (K — 1) / A )))

(Por supuesto que antes de correr estos programas hay que dar instrucciones a la compu­ tadora para evaluar a = ( W - B)/ c, y d = 300cg/fV.) Com o se m ostró en la Sección 1.7, c 0 = 45.7 es una muy buena aproximación de v. Haciendo t >0 = 45.7 en los program as anteriores se ve que las iteraciones v„ conver­ gen muy rápidam ente a t ' = 44.51 pie/s. Así pues, los recipientes realmente pueden que­ dar dañados con el im pacto. En general no es posible determ inar a priori cuántas iteraciones se requieren para lograr una cierta precisión. En la práctica N se tom a bastante grande, y se dan instruc­ ciones a la com putadora para term inar el program a si alguna de las iteraciones coincide con la anterior con la precisión deseada.

EJERCICIOS 1. Demuestre que las iteraciones x n definidas por (4) convergen a v^2 si V 2 7 3 < x 0< V 2 + ( V 2 - V l / 3 ) .

2. Use el m étodo de Newton para encontrar los siguientes núm eros con males significativas: (a) V3, (b) V5, (c) V7.

8 cifras deci­

3. El núm ero x es una raíz de la ecuación

tan 44 - c o 4t í =0. Aplique el método de Newton para encontrar x con

8 cifras decimales significativas.

Demuestre que cada una de las siguientes ecuaciones tiene una solución única en el in­ tervalo dado, y use el m étodo de Newton para encontrarla con 5 cifras decimales signi­ ficativas

4.

2x — ta n x * 0 ;

v < x <3x/2

5. \ — x + ysenjr=0; ^ < x < l

6. ln x + (jc+ 1)3 = 0; 0 < jc < 1

7. 2Vx = cos^ p; 0 < x < l

8.

9. x - e ~ x2= l ;

(x-lf-le'^O ;

0
0
90

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1 .1 2

E c u a c i o n e s en d if e r e n c ia s y c á l c u l o d e

LOS INTERESES EN PRESTAMOS PARA ESTUDIANTES

En las Secciones 1.13 a 1.16 se desarrollarán varias aproximaciones de la solución del problem a de valor inicial d y / d t = / ( / , y ), y{t0) = y 0. Al tratar de determ inar cuán buenas son tales aproximaciones se presenta el siguiente problem a: ¿Qué tam año pue­ den tener los números E x, . . . , £ jV si n=

E n+ l < A E n + B,

0 ,\,...,N -

1

(1)

para un par de constantes positivas A y B y £0= 0?. Este es un problem a muy difícil ya que involucra desigualdades más que igualdades. Sin embargo, afortunadam ente puede transform arse el problem a de resolver las desigualdades ( 1) en otro problem a más sen­ cillo consistente en resolver un sistema de igualdades. Eso es el contenido del lema siguiente. LEM A 1 . Supóngase que E x, . . . , £ „ satisfacen las siguientes desigualdades E „ + \< A E n + B,

£ 0= 0

para un par de constantes positivas A y B. Entonces E n es menor que o igual a y „ , donde

^ + 1= ^

+^

7o = 0-

(2)

D e m o s t r a c i ó n . La dem ostración del Lema 1 se hará por inducción para n. E nton­ ces, obsérvese que dicho Lema 1 es obviamente válido para n = 0. A hora, supóngase que el lema es válido para n = j . Entonces es necesario m ostrar que el Lema 1 es válido para n = j + 1. Es decir, hay que probar que Ej < yj implica que E j T |< yJJr!. De aquí se sigue inm ediatam ente, que si Ej < yj, entonces ej

+ 1 < A Ej + B < ¿y j + B = yj + 1.

Por lo tanto, por inducción, se tiene E n < y n, n - 0, 1, . . . , N.

□

El siguiente objetivo es resolver la ecuación (2), la cual se denom ina, frecuentemen­ te, ecuación en diferencias. Esto se hará en dos partes. Prim ero se resolverá la sencilla ecuación en diferencias +

7 o = 7 o-

(3 )

Después se reducirá la ecuación en diferencias (2) a la ecuación en diferencias (3) por medio de un hábil cambio de variables. La ecuación (3) se resuelve fácilmente. Obsérvese que

7 i~ 7 o 7 2- 7 1

= Bo

=5,

7/i—l 7/i-2= Bn - 2 7 „ - 7 „ - i = 5 „ -i-

91

1.12 • Ecuaciones en diferencias y cálculo de intereses Sum ando estas ecuaciones se obtiene i. y»

y » —\ ) ( y » —\

Por lo tanto,

y » —2)'^'

•••

+ { y \ ~ y o ) = Bo+ B \ +

•••

+ B„-i-

n —1 y n - y Q + BQ+ ••• + Bn - \ = y o + 2 Br y -0

A hora se reducirá la ecuación en diferencias (2) a la ecuación más sencilla (3), de la siguiente m anera: Hágase Zn

yn A n’

« = 0, 1,. .. , N.

Entonces z„ +\ = y n+\ / A n+K Pero y n+l = A y n + B. Por tanto, y" + Z„. i = -r-r

B

- z m+

B n+ l

y como consecuencia, n —1 A, = ¿o +

:.Vo +

y

y=o

1

-

B A - 1' - ( i )

y„ = A \ = A y 0+ - ^ j { A ' - l ) .

(4)

Finalmente, volviendo a las desigualdades (1) se ve que E- < Á Z T Í-4 " - 1 )’

n = l 2 ......N ■

W

AI estar reuniendo m aterial para este libro, un amigo presentó al autor el siguiente problem a. A cababa de recibir una nota del banco para el primer pago de un préstamo de estudiante de su esposa. Dicho préstamo debía ser pagado en 10 años en 120 men­ sualidades iguales. De acuerdo con sus estimaciones, el banco le estaba cargando al me­ nos 20% más de lo correcto. Sin embargo, antes de acudir al personal bancario quería calcular con precisión los pagos mensuales del préstamo. Este problem a puede considerarse en el siguiente contexto general. Supóngase que se obtiene un préstamo de valor P de un banco, con un tipo anual de interés de /?% . Dicho préstamo debe ser pagado en n años en mensualidades iguales de valor x. Deter­ m inar x. El primer paso hacia la solución del problem a es encontrar el m onto de los intere­ ses sobre el préstamo. Para esto, obsérvese que el interés que se debe en el momento del primer pago es I { - (r / \ 2 ) P , donde r - R / 100. El saldo insoluto durante el segun­ do mes del préstamo es (jr - I x) menos el saldo insoluto del primer mes. Por lo tanto el interés f 2 que se debe en el segundo mes del préstamo es

92

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

De manera similar, el interés 7y+1 que se debe en el mes j + 1 es («) donde /y es el interés que se debe en el mes j. La ecuación (6) es una ecuación en diferencias para los números

Su solución (Ejercicio 4) es y -i Por lo tanto, el m onto total de los intereses pagados por el préstam o es I = I { + I 2+ ... + / 12„ =

\ 2n

2

!j

j= i

=

t

2 /,S

j -1

(

i

+ i i ) 7

'

y -i

Ahora bien, 12 /»

Por lo tanto, I=P

12/» Pero I 2 nx - P debe ser igual a /, ya que 12«xes la cantidad de dinero pagada al banco, y P era el m onto del préstam o. P or lo tanto, 12 /»

'('♦ n f - T H O + n r - 1

=

0

y esta ecuación implica que x=

rA'+-k)a

(7)

E p í l o g o . Usando la ecuación (7), el autor calculó x para el préstam o que adeudaban su amigo y la esposa de su amigo. En ambos casos, el banco tenía razón hasta el último centavo.

93

1.12 • Ecuaciones en diferencias y cálculo de intereses

Ej e r c i c io s 1.

Resuelva la ecuación en diferencias y n +l - ~ l y n + 2, y 0 = 1.

2. Encuentre y }1 si y n +x = 3y„ + 1, y 0 = 0, n - 0, 3. Calcule los números E q , E \ , . . . , E s si (a) £„ + 1 < 3 £„ + 1, n —0 , \ , .. ., N —\ ; (b) E„ +\ < 2£„ + 2, n = 0 , \ , . . . , N —\.

E

q

1,. . . , 36.

= 0 y

4. (a) Demuestre que la tra n sfo rm a c ió n ^ = íJ+l lleva la ecuación en diferencias /; + 1= ( l + T 2 )/' - T2JC’

/ i " 7 2 />

a la ecuación en diferencias ñ ) yj~ ñ x ' (b)

Use la ecuación (4) para

yQ~ ñ P'

encontrar y j - x = /,.

5. Resuelva la ecuación en diferenciasy n +x = any n + bn, y x = a. Sugerencia: Haga Z\ - y\ y z„ = y „ / a x, . . a„-x para n > 2. Observe que .V/i+l

^/i

Zn+' ~ a x...a„ ~ a x. . . a n = 2 -+ |

b-

a ,...a ,,

a x. . . a n

.

Concluya que, por lo tanto, z„ = z x+' 2j Z\ bj / a x...aJ.

6.

Resuelva la ecuación en diferencias y„ +x - nyn =

1-

n, y x - 2.

7. Encuentre y 15 si y x — 1 y (n + l ^ + i — ny„ = 2", n =

8.

1,

. . . , 24.

Un estudiante obtiene un préstam o de m onto P con un tipo de interés anual de R^Io. Dicho préstamo debe ser pagado en n años en mensualidades iguales de valor x. Determine x si (a) P = 4 250, R = 3 y n = 5. (b) P = 5 000, R = 7 y n = 10.

9. El com prador de una casa obtiene un préstam o hipotecario de 30 000 (dólares) con un tipo de interés anual de 9% . El préstamo tiene que ser pagado en 20 años en 240 m ensualidades iguales con valor x. (a) Calcule x. (b) Encuentre x si el tipo de interés anual es 10%. 10.

La cantidad de un producto ofrecida en una sem ana dada es obviamente una-fun­ ción creciente de su precio en la semana anterior, mientras que la cam idad solicita­ da en una determ inada sem ana, es función de su precio actual. Denote por Sj y Dj las cantidades ofrecida y solicitada en la semana j , respectivamente, y por Pj el precio del articulo en la semana j . Suponga que existen constantes positivas a, b y c, tales que Sj = aPj

- 1

Y

Dj = b —cPj.

94

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (a) Demuestre que P} = b / ( a + c) + { - a / c ) x ] ( P0 - b / { a + c)) si la oferta y la dem anda son iguales. (b) Demuestre que Pj tiende a b ( a + c ) cuando j tiende a infinito si a / c < 1. (c) Pruebe que P = b / { a + c) representa una situación de equilibrio. Es decir, si la oferta es igual a la demanda y si el precio alguna vez llega al nivel b / ( a + c ), entonces se m antendrá dicho nivel.

1 .1 3 A p r o x i m a c i o n e s n u m é r i c a s ; MÉTODO DE EULER En la Sección 1.9 se m ostró que en general no es posible resolver el problem a de valor inicial > '(/o)=>'o-

(0

Por lo tanto, para que las ecuaciones diferenciales puedan tener valor práctico, es nece­ sario descubrir maneras de obtener buenas aproxim aciones de la solución y(t) de ( 1). En las Secciones 1.13 a 1.16 se deducirán algoritmos que pueden ser aplicables en una com putadora digital para obtener buenas aproximaciones de y(t). Ahora bien, una com putadora obviamente no puede aproximar una función en todo un intervalo i0 < / < /0 + a, ya que requeriría una cantidad infinita de inform ación. A lo más puede calcular valores aproxim ados y \ , . . ., y s de y(t) en un número finito de puntos t\, t2, ■- ., t.\. Sin embargo, esto es suficiente para efectos prácticos, ya que usando los números y | , . . . , y \ puede obtenerse una buena aproximación y(t) en todo el intervalo tQ < t < t0 + a. De hecho, tómese y(t) como la función cuya gráfica en cada intervalo [ry, es una recta que une los puntos (ry, yj) y ,yy+i) (Fig. 1). La función ^ ( 0 se puede expresar analíticam ente por medio de la ecuación ^

( 10

= yj

+

} ( 1~ ['¡){yj + 1-yj)>

FIGURA i . Com paración de y(t) y y(t)

‘j < t < tj + 1-

95

1.13 • Aproxim aciones numéricas; m étodo de Euler

Si y{t) está cerca de y(t) en t = ty, es decir, si yj está cerca de y{tj), y si tJ +x está cer­ ca de tj, entonces y(t) está cerca de y(t) en todo el intervalo fy- < f < tj+ x. Esto se sigue inm ediatam ente de la continuidad de ambas funciones y(t) y y(t). Así pues, sólo se requiere de un método para obtener buenas aproximaciones de.y(/) en un número dis­ creto de puntos t ¡ , . . . , tN en el intervalo t0 < t < t0 + a. Para simplificar los cálcu­ los se pide que los puntos / j , . . . , t y estén igualmente espaciados. Esto se logra tom an­ do N suficientemente grande y haciendo t k = t 0 + k ( a / N ) , k ~ 1, . . . , N . O tra m anera de hacerlo es escribir tk+l = tk + h, donde h = a/ N. A hora bien, lo único que se sabe de y(t) es que satisface una ecuación diferencial y que su valor en t - tQ es y 0. Esta inform ación se usará para obtener un valor apro­ ximado y¡ de y en t - t¡ = t0 + h. Luego puede usarse este valor aproxim ado^) para calcular un valor aproxim ado y 2 de y en t = t2 = t\ + h, y así sucesivamente. Para lograr esto se necesita un teorem a que permita calcular el valor de y en / = tk + h a partir de la inform ación de y en / = tk . Tal teorema es, por supuesto, el Teorema de Taylor, el cual establece que dy{t¿)

+

+

h 2 d 2y{tk)

+

(2)

Así pues, si se conoce el valor de y y de sus derivadas en t - tk , entonces es posible calcular el valor de y en t = tk + h. A hora bien, y(t) satisface el problema de valor inicial (1). P or lo tanto, su derivada evaluada en t = tk debe ser igual a f ( t k , y{tk)). Más aún, usando repetidas veces la regla de la cadena para derivación parcial (Apéndi­ ce A) es posible calcular d 2y ( t k)

dt2

di

J dy

y todas las derivadas de orden superior de y(t) en t = tk . Por lo tanto, se puede escri­ bir ( 2) en la siguiente form a y ( tk + i ) ssy ( Q + h f i ^ y O k ) ) h2 + '2!

dt

J dy

( ík>y(tk))+

••• •

(3)

La aproxim ación más sencilla de y ( t k+{) se obtiene truncando la serie de Taylor (3) después del segundo térm ino. Esto lleva al siguiente método numérico yi^yo+ hfi^yo),

+

y en general y k +i =y k + W(tk*yk)’

yo^yM -

(4)

Nótese cóm o se usa el valor inicial y 0 y el hecho de que y(t) satisface la ecuación dif .rencial d y / d t = / ( / , y) para calcular un valor aproxim ado y x de ^ ( 0 en t - ty. Des­ pués se emplea este valor aproxim ado de y¡ para calcular un valor aproxim ado y 2 de y(t) en t = t2, y así sucesivamente. La ecuación (4) se conoce com o el método de Euler. Es el procedimiento numérico más sencillo para obtener valores aproxim ados y ¡ , . . . , y N de la solución y{t) en los tiempos /¡, . . . , t y . Por supuesto que es también el método más inexacto, ya que se

96

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

conservarán solam ente dos térm inos del desarrollo de la serie de Taylor de j'(í). Como se verá a continuación, el m étodo de Euler no es lo suficientemente preciso para ser utilizado en muchos problem as. Sin em bargo, constituye una introducción excelente a métodos más com plicados que se expondrán a continuación.

Ejem plo

1

Sea y(t) la solución al problem a de valor inicial d y / d t = \ + ( y - t ) 2,

7 (0 ) = í-

Usar el m étodo de Euler para calcular valores aproxim ados y u . . . , y N de y(t) en los puntos = \ / N , t2 = 2 / N , . . ., /íV = 1S o l u c i ó n . La fórm ula de Euler para este problem a es y ^ ^ y k +

h [ ^ +

( y k - t kf

\

f t « o ,i

n

-

i,

h

- i / N

con y Q = Vi. A continuación se dan ejemplos de program as en APL y F ortran para calcular y¡, . . . , y N. Estos program as, al igual que los subsiguientes, tienen valores variables para /0, y Q, a y N, de m odo que pueden usarse para resolver el problem a de valor inicial d y / d t = 1 + ( y - t)2, y ( t 0) = y 0 en cualquier intervalo. Más aún, los mis­ mos program as funcionan bien cam biando la ecuación diferencial; si se cam bia la fun­ ción f ( t , y) entonces sólo es necesario m odificar las líneas 5 y 8 del program a en APL, y las expresiones para T(l ) y Y(k) en la Sección B del program a en F ortran. La Tabla 1 m uestra los resultados de estos cálculos con a = 1, N = 10, t0 = 0 y = Vi. Todos ellos y los que les siguen se hicieron en una com putadora IBM 360 usando doble precisión (16 cifras). Los resultados se redondearon a 8 cifras decimales significativas.

70

Ta b l a 1. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

7

/

0.5 0.625 0.7525625 0.88309503 1.01709501 1.15517564

0.6 0.7 0.8 0.9 1

7 1.29810115 1.44683567 1.60261202 1.76703063 1.94220484

La solución exacta de este problem a de valor inicial (Ejercicio 7) es 7 ( 0 = ' + 1 / ( 2 —0Así pues, el error que se comete al aproxim ar el valor de la solución en t = 1 con ^ es aproxim adam ente de 0.06, ya que 7(1) = 2. Si se corre el program a con N = 20 y /v = 40 se obtiene que 720 = 1.96852339 y 7 40 = 1.9835109. Por lo tanto, el error que se comete al aproxim ar ^(1) con y 4ü es ya m enor que 0.02.

97

1.13 • Aproxim aciones numéricas; m étodo de Euler Programa en APL V [1] [2]

EULER

T<— NpO Y<— NpO

[3]

H<— A + N

[4]

T[1]<— T 0 + H

[5]

Y[1 ]<— YO + H

X1+

[6]

K — >1

[7]

T [K + 1]<— T [K ] + H

[8]

Y [K + 1 ]<— Y [K ] + H

[9] [10]

K<— K + 1

[11] [12]

T<— T 0 ,T Y<— YO, Y

[13]

S > (2 ,p Y )p T ,Y

<— 7

X tK

(Y O - T 0 ) * 2

X1+

(Y [K ] - T[K ]) * 2

< N

V

Programa en Fortran Sección A Lectura d e datos

■

D I M E N S I O N T (1 0 0 0 ), Y (1 0 0 0 ) R E A D (5 ,1 0 ) T0, YO, A , N 10

Sección B Cálculos

F O R M A T (3 F 2 0 .8 ,15)

H=

r

A /N

T (1 ) = T 0

+H

H *(1

Y (1 ) = Y 0 +

DO 2 0 K = 2, N T (K ) = T ( K - 1 ) Y (K ) = Y (K 1

+H

1) +

H * (1

+ ( Y ( K — 1)

— T ( K — 1 ))* * 2 ) C O N T IN U E

. 20

Sección C Impresión d e los resultados

-

+ (Y 0 — T 0 )* *2 )

W R IT E 30

(6,3 0)

T0, YO, (T(J), Y (J ), J = 1 , N)

F O R M A T (1 H 1 , 3X, 1 H T, 4X, 1 H Y , / ( 1 H , 1 X, 1

F 1 0 .7 .2 X .F 2 0 .9 / ))

CALL E X IT END

Ej e r c i c i o s Usando el m étodo de Euler con incrementos h = 0.1, determine un valor aproximado de la solución en t - 1 para cada uno de los problem as de valor inicial 1 a 5. Repita los cálculos con h = 0.025 y com pare los resultados con el valor dado de la solución.

98

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

3. ^ - 1

y(0)-0;(y(i)-0

4. % - * - ' + - ! — , ^ ( O Í - O ^ ^ M - ln d + í2)) dt

1 + 12

5. ” = —1 + 2 / + — —— d‘ 0 + ' 2)

6.

A y-U CríO -l + ñ

Usando el método de Euler con h = 7r/40, determ ine un valor aproxim ado de la solución del problem a de valor inicial ^ = 2sec2/ —(1 + y 2),

y ( 0) = 0

en / = 7r / 4. Repita los cálculos con h = 7r/160 y compare los resultados con el número 1, el cual es el valor de la solución y( t) = tan / en / = 7t / 4. 7. (a) Demuestre que la sustitución y = t + z reduce el problema de valor inicial y ' = 1 + ( y - /)2, ^(0) = 0.5 al problem a de valor inicial más sencillo z = z 1, ¿(0) = 0.5. (b) Demuestre que z ( 0 = 1/(2 - /). Por lo tanto, y(t) = t + 1/(2 - /).

1.13.1

Análisis de error en el Método de Euler

Una de las características precisas del procedim iento de Euler es que es relativamente fácil estimar el error cometido al a p ro x im a ra is ) con y k . Sin embargo, esto sucede sólo bajo la rigurosa restricción de que S , . . ., ts no son mayores que t0 + a , donde a es el número definido en el teorem a de existencia y unicidad de la Sección 1.10. Más preci­ samente, sean a y b dos números positivos y supóngase que las funciones / , d f / d t y d f / d y están definidas y son continuas en el rectángulo t0 < t < t0 + a, y 0 - b < y < y 0 + b. Denótese este rectángulo con R. Sea M e 1 valor máximo de |f ( t , >’)| para (t, y) en R y hágase a = mín (cr, b / M ) . A continuación se calcula el error com etido al apro­ ximar y ( í k ) con y k para tk < t0 + a . Para esto, obsérvese que los núm eros y Qi y {, . . . , y s satisfacen la siguiente ecua­ ción en diferencias *=o,i

yk +i =y k + hf ( tk'yk)' mientras que los números

7 (/0), y ( t i),

. . .,

7 (/v)

y { ‘k-n)=y('k) + hf { ‘k-y('k)) + v donde £* es un número entre tk y tk +\. La ecuación (2) se deduce de la identidad

n

-

i

(i)

satisfacen la ecuación en diferencias

*±

dt

+

? - L

dv

99

113 • Aproxim aciones numéricas; m étodo de Euler y del hecho que dv{t)

fji

d 2\ ( t)

di

2

dt2

y ( t + h) = y ( t ) + h — -— + —----------- —

para algún número r entre / y / -t- h. Restando la ecuación (1) de la ecuación (2) se obtiene

y(tk+\)-yk +\=y(tk)-yk +h[fitk'y{tk))-f(tk'yk)] h2

+

d¿

.d¿

dt

A hora, obsérvese que d í ( t k ’Vk) r

-1

/ ( 'a A '( 'a ) ) -/('*■ >*) = — ^ — [ y ( i k) ~ y k ] donde rjk es algún número entre y ( t k ) y y k . Por lo tanto, \ y ( tk + \ ) - y k + i \ < \ y { lk ) - y k \ + h

+

d/( dy

h2 dt

y { t k ) - y k\

(tkJitk))

J dv

Antes de continuar es necesario estimar las cantidades ( d f ( t k , y x ) ) / d y

y

\ { d f / d t ) + f ( d f / d y ) ] ( $ i k , y ( £k )). Para ello, obsérvese que los puntos (&■> >'(&•)) y (fk ^}'k) están en el rectángulo R. [En la Sección 1.10 se mostró que los puntos

(sa >> (£; )) se hallan en R. Además, un sencillo argum ento de inducción (Ejercicio 9) muestra que todos los puntos (t k , y k ) están en /?.] Por lo tanto, los puntos (t k . rjk ) tam­ bién están en R. Sean L y D dos números positivos tales que max

K

( t . y ) en R

max

( t . y ) en R

dy

< L

d¿ d¿ < D. dt + dy

Dichos números siempre existen si / , d f / d t y d f / d y son continuas en R. Entonces

\ y ( ‘k + i ) - y k + i \ < \ y ( tk ) - y k \ + h L \ y ( tk ) - y k \ +

Dh2

(3)

Ahora bien, tómese Ek = \ y ( t k) - y k \, k = 0, 1, . N. El número Ek es el error que se comete en el paso k al aproxim ar y ( t k ) con y k . De (3) se sigue E k + 1 <( l + h L)Ek +

Dh7

k = 0,

1.

(4)

Más aún, £ 0 = 0, ya que y ( t 0) = y Q. Así pues, los números E0, £ , , .. ., Es satisfa­ cen el siguiente conjunto de desigualdades Ek +{ < A E k + B,

E0 = 0

100

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

con A = \ + h L y B

= Dh / 2. Por lo tanto, (Sección 1.12)

£ *< j r y í - ' * * - •)=

[(> + * * • ) * - >]•

(5)

También es posible obtener una estimación para Ek que es independiente de k. Obsérvese que 1 + hL < e hL. Esto proviene del hecho que ( hL ) 2 ( h L f e hL= \ + h L + —^ H ---- 2!— + ■“ = (l + /zL) + “ algo positivo” Por lo tanto, se tiene que Dh r / hL^k

.1

Dh

Finalmente, dado que kh < a , entonces

E^ T t { e' L - ^

* =1

N-

(6)

La ecuación (6) dice que el error que se comete al aproxim ar la solución y ( t ) en el tiempo t = tk es a lo más una constante fija m ultiplicada por h. Esto sugiere, como regla práctica, que el error debería dism inuir aproxim adam ente en '/: si se reduce h en Esto puede verificarse directam ente en el Ejem plo 1 de la sección anterior, donde el error en / = 1 para h = 0.1, 0.05 y 0.025 es 0.058, 0.032 y 0.017, respectivamente.

Eje m p l o

i Sea y(t) la solución del problem a de valor inicial

(a) Dem ostrar que.y(0 existe al menos para 0 < / < 1, y que en este intervalo se cumple - 1 < y(t) < 1 . (b) Sea N un entero positivo grande. Aplicar el método de Euler para encontrar valores aproxim ados de y en los puntos tk = k / N , k = 0, 1 , . . . , N. (c) Determ inar un incremento h = \ / N tal que el error que se comete al aproxi­ mar y ( t k) con y k no sea mayor que 0. 0001. So l u c ió n . (a) Sea R el rectángulo 0 < í < 1 , - 1 < y < 1. El valor máximo de (t 2 + y 2) / l con (/, y) en R es 1. Por lo tanto, por el teorem a de existencia y unicidad de la Sección 1.10, y(t) existe al menos para

0<

t < a = min ( 1, j ) = 1,

y en este intervalo se cumple, (b)

-1

< y <

1.

t 2+ y 2 \ 1 y k +\=yk + h \ — j — ) = y ^ + 2 Ñ con y'0 = 0. El entero k va de 0 a N - 1.

101

1.13 • Aproxim aciones numéricas; m étodo de Euler (c)

Hágase f ( t , y) - (t 2 + y 2) / 2 y calcúlese M. ay

at

J dy

De (6) se sigue \y{tk) ~ yk\ ^ ( D h / 2 L )( eL - 1), donde L y D son dos números positi­ vos, tales que máx

( t , y ) en R

max

{ t , y ) en R

|_y| < L

< + j ( ' 2+ y 2) < D.

Ahora bien, los valores máximos de las funciones \y\ y \t + ( y / 2 ) ( t 2 + ,v: )¡ para (t, y) en R son claramente 1 y 2, respectivamente. Por lo tanto,

Esto implica que el incremento h debe ser menor que 0.0001 /(e - 1). De manera equi­ valente, A'debe ser mayor que (e - 1)I04 = 17 183. Así pues, se debe iterar la ecuación 1

y k + \ = y k + 2(17,183)

17,183

17 183 veces para estar seguro de que el valor de,v(l) es correcto con cuatro cifras deci­ males.

Ej e m p l o 2

Sea y{t) la solución del problema de valor inicial ^ - l 2+ e - ' \

y(0)=¡.

(a) Demostrar que y(t) existe al menos para 0 < t < 1, y que en este intervalo se cumple' -1 < y < 3. (b) Sea A 'un entero positivo grande. Aplicar el método de Euler para encontrar valores aproxim ados de y{t) en los puntos tk = k / N , k = 0, 1, . . . , N. (c) Determinar un incremento h, tal que el error cometido al aproximar y{(k) con y k no sea mayor que 0.0001. So l u c ió n . (a) Sea R el rectángulo 0 < f < 1, |.y - 11 < 2 . El valor máximo de t 2 + e~r con (/, 7) en R es 2. Por lo tanto, y(t) existe al menos para 0 < t < mí n ( l , 2/2) = 1 y en ese intervalo se cumple -1 < y < 3. (b) y k ^ i = y k + h Uk2 + e ~ ykl) = y k + ( W ^ ) [ ( k / N ) 2- ¥ e - ^ 2] c o n . y o = l . EI eníero k tom a valores de 0 a iV - 1 . (c) Hágase / ( / , y) = t 2 + é~r y calcúlese |

= -

2

y

|

+/ | = 2 I- 2 ^ + e - V

' ’.

102

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

De (6) se sigue que | ( / a - ) ~ yk\ — (D h / 2 L ) { e L - 1), donde L y D son dos números positivos tales que máx

( t , y ) en R

\ - l y e ~ y2\< L

y máx

( t , y ) en R

\2t —2 y ( t 2 + e ~ y2)e~y2\ < D.

Ahora bien, se ve fácilmente que el valor máximo de \2ye~-v'\ para -1 < y < 3 es \^2/e. Así pues, se tom a L = \ f2/e. Desafortunadam ente, es muy difícil calcular el valor máximo de la función \2t — 2y ( t 2 + e~ y2)e~y2\ con que

(/, y) enR. A pesar de ello es posible encontrar un valor aceptable D observando para (/, y) en R m áx|2/ —2 v ( / 2 + e ~ y2)e~y2¡ < m áx|2/| + máx¡2_y(/2+ e~y2)e~y2\ < m áx|2/| + mé.x\2ye~y2\ Xmá x( / 2+ e ~yl) —2 + 2 \ ^ 2 / e = 2 ( l + V 2 / 7 ) .

Por lo tanto, se puede tom ar D = 2(1 + \ í2/e) y, como consecuencia, se tiene 2(1 + V 2 / e ) h \ e V ^ re - \ \ y ( tk ) - y k \ < ----------------------------- 7 = -2V 2/e Esto implica que el incremento h debe ser menor que V 2A 1+ V y ~ e

w 0.0001

X

1

- 1

.

Los Ejemplos 1 y 2 m uestran que el método de Euler no es muy preciso, ya que se requieren aproxim adam ente 20000 iteraciones para lograr una precisión de cuatro cifras decimales. La desventaja obvia de un m étodo que requiere tantas iteraciones es el costo. Los precios actuales del uso de la com putadora son de alrededor de 1200.00 dólares por hora. Una segunda desventaja aún más seria es q u e ^ puede estar muy lejos d e s i N es dem asiado grande. De hecho, una com putadora digital no puede reali­ zar los cálculos con precisión, ya que conserva solam ente un número finito de cifras decimales. Por lo tanto, cada vez que se realiza una operación aritmética en la com pu­ tadora hay que introducir un error de “ redondeo” . Por supuesto que tal error es pequeño. Sin embargo, si se realizan muchas operaciones entonces el error de redondeo acum ula­ do puede ser tan grande que los resultados obtenidos sean inservibles. El Ejercicio 8 muestra un ejemplo de esto para la aplicación del método de Euler.

103

1.13 • Aproxim aciones numéricas; m étodo de Euler

Ej e r c i c io s 1. Determine una cota superior para el error que se comete al usar el método de Euler con un incremento h, con objeto de encontrar un valor aproxim ado de la solución del problem a de valor inicial dy T t

.

*2+ y 2

2“ •

^(0)“ l

Sugerencia: Tómese R como el rectángu­

en cualquier punto del intervalo [0, 2/5]. lo 0 < / < I, 0 < .y < 2.

2. Determine una cota superior para el error que se comete al usar el método de Euler en un incremento h para encontrar un valor aproxim ado de la solución del valor inicial y ( o )-o

en cualquier punto / del intervalo [0, 1]. 0 < t < 1, -1 < y < 1.

Sugerencia: Tómese R como el rectángulo

3. Halle una cota superior para el error que se comete al usar el m étodo de Euler con ün increm ento h> a fin de encontrar un valor aproxim ado de la solución del proble­ ma de valor inicial 7(0) = 0

+ en cualquier punto / en el intervalo [0, el rectángulo 0 < / < 1 , - 1 < >' < 1.

l/(e

+ 1)].

Sugerencia: Tómese

R como

4. Halle un valor adecuado de h, de modo que el error que se comete al usar el méto­ do de Euler con incremento h para obtener un valor aproxim ado de la solución del problem a de valor inicial % = e ' ~ y 2'

y ( 0) ^0

en cualquier punto / en el intervalo [0, l/e] sea, a lo más, 0.0001. R com o el rectángulo 0 < / < 1 , - 1 < >' < 1. 5.

Determine un valor adecuado de h, de modo que el error que se comete alusar el m étodo de Euler con un incremento h para encontrar un valor aproximado de la solución del problem a de valor inicial ^ = / 2+ tan2.y,

>,(0) = 0

en cualquier punto t en el intervalo [0, Vi] sea, a lo más, 0.00001. se R com o el rectángulo 0 < t < Vi, —r / A < y < ir/4. 6.

Sugerencia: Tómese

Sugerencia: Tóme­

Determine un valor adecuado de h, de modo que el error que se comete alusar el m étodo de Euler con un incremento h para hallar un valor aproxim ado de la solución del problem a de valor inicial

l =

' <0)=0

CAPITULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN en cualquier punto t en el intervalo [0, 1] sea a lo sumo 0.0001. Sugerencia: Tóm e­ se R como el rectángulo 0 < t < 1 , - 1 ^ y < 1. 7.

Sea y(t) la solución del problem a de valor inicial dy

-v(0) = 0.

dt = / 0 , v ) ,

Suponga que \ f(t, y)\ < 1, \ d f / d y \ < 1 y | d f / d t ) + f ( d f / d y )| < 2 en el rec­ tángulo 0 < t < 1 , - 1 < >■ < 1.A1 usar la fórm ula de Euler yk+x^yk + V i t k ’ykX ii ' 5 - 1 , y el valor de y 6 es

con N = 10, el valor de y 5 es -0 .1 5 11 ' 6 0.12 . 1Q -

8

.

1

10

Demuestre que y( t) es cero, al menos una vez, en el intervalo

(Vi, 3'/5). Sea y(t) la solución del problem a de valor inicial y ,s=J ( t , y ) ,

yOo)=yo-

La fórm ula de Euler para encontrar valores aproxim ados de y( t) es y k+i = y k + h f ( t k , y k). Sin em bargo, la cantidad y k + h f ( t k , y k ) nunca se calcula exac­ tamente; siempre se introduce un error ek con | e*. | < e. Es decir, la com putadora calcula núm eros y x , y 2 , . . . , tales que

9k + 1 = /*

+ h f ( t k ^ k ) + ek

con y 0 = y 0. Suponga que \ d f / d y \ < L y | ( d f / d t ) + f ( d f / d y ) \ < D para toda / e y. (a) Demuestre que Ek+i = \ y ( l k + i ) - y k+\ \ < ( \ + h L ) E k + ^ h 2 + e

(b) Concluya de (a) que Ek < (c)

9.

Dh_ , £ 2 h

,aL - i

para kh < a . Elija h de m odo que se minimice el error E k . Nótese que el error E k puede ser muy grande si h es muy pequeño.

Sea y x, y 2, . . . , tales que satisfacen la relación de recurrencia yk+i=yk + hf ( tk’yk)Sea R el rectángulo /0 — í — (o + a> yo ~ b — y — yo + b y suponga que | / ( / , >^)| < M para (t, y) en R. P or último haga a - mín (a, b/ m) . (a) Demuestre que \yj ~ yo\ ^ j h M siempre que j h < a. Sugerencia: Aplique inducción. (b) Concluya de (a) que todos los puntos (/j, yj) están en R siempre que j < a/ h

105

1.14 • M étodo de los tres términos de la serie de Taylor

1 .1 4

M é t o d o d e l o s t r es t é r m in o s DE LA SERIE DE TAYLOR

El m étodo de Euler se obtuvo truncando la serie de Taylor

r v

y i

dt

dy

+ •••

(l )

después del segundo término. La manera más obvia de obtener mejores métodos de apro­ ximación numérica es conservar más términos de la ecuación (l). Si se trunca la serie de Taylor después de tres términos se obtiene la siguiente fórmula y k ^ \ = y k + hf {t k,yk) +

dt

J dy

Ok^kl

£ = 0,...,A-l

( 2)

con

= y ( t 0). La ecuación (2) se conoce como método de los tres términos de la serie de Taylor, el cual es obviamente más preciso que el método de Euler. Por lo tanto, se esperaría que, para h fija, los números y k generados por la ecuación (2) fueran mejores aproxi­ maciones de y ( t k) que los números y k generados por el método de Euler. De hecho, tal es el caso, pues se puede dem ostrar que \y{tk ) = y k \ es proporcional a h 1, mien­ tras que el error que se cometió al usar el método de Euler es sólo proporcional a h. La cantidad h 1 es mucho más pequeña que h si h es pequeña. Así pues, el método de los tres términos de la serie de Taylor constituye una notoria m ejora sobre el método de Euler.

EJEMPLO 1

Sea y(t) la solución del problem a de valor inicial dy ■> -£ = l + ( y ~ t) \

1 y{0 ) - I .

Emplear el m étodo de los tres términos de la serie de Taylor para calcular valores apro­ ximados de y(t) en los plintos tk = k / N , k = 1, . . . , N. SOLUCIÓN. Sea f ( t , y ) = 1 + ( y - o 2. Entonces • f + / |£ = - 2 ( y - t ) + 2 ( y - t) [ \ + ( y - t f \ = 2 ( y - t f . Así que la fórm ula de los tres términos de la serie de Taylor es -V*+ 1 = y k +

h[ 1+ (yk -

.3

lk)2] + h2(yk - tkf

con h - \ / N y _y0 = Vi. El entero k tom a valores de 0 a N - 1. A continuación, se dan ejemplos de programas en APL y Fortran para calcular y lt . . . , y N. Una vez más, los program as tienen valores variables para t$, y<¿, a y N.

106

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Programa en APL V TAYLOR [1]

[2J [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

T<— NpO Y<— NpO

H<—A -5- N

+H H X (YO — T 0 ) * 3 ]<—Y O + H X D 2 Y + 1 +

T[1 ]<— T 0 D2Y<— Y[1

*2

H H X (Y [K ] — T [K ]) * 3 1]<— Y [K ] + H X D 2 Y + + 1 tK < N

T [K + 1 ]<— T [K ] + D2Y<—

[10]

Y [K +

[11]

K<— K

[12] [13] [14] [15]

(Y O - T 0 )

K<— 1

—* 8 X

1 + (Y [K ] - T [K ]) * 2

T<— T 0 ,T Y<— YO, Y

U2,pY)pT,Y

V

Programa en Fortran Sustituir la sección B del program a en Fortran en la Sección 1.13 por lo siguiente:

20

T(1) = T0 + H D2Y = H * (YO —T0) * *3 Y(1) = Y0 + H*( D2Y+1 +(Y 0 —T0)* *2) DO 20 K = 2, N T(K) = T ( K - 1 ) + H D2Y = H *(Y(K —1) —T(K —1))* *3 Y(K) = Y(K —1) + H * (D2Y + 1 + ( Y ( K - 1 ) - T ( K - 1))* *2) CONTINUE

La Tabla 1 m uestra los resultados de estos cálculos para a = 1, N = 10, t0 = 0 e y 0 = 0.05. Ta b l a 1. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

y 0.5 0.62625 0.7554013 0.88796161 1.02456407 1.1660084

t 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y 1.31331931 1.4678313 1.63131465 1.80616814 1.99572313

El método de Euler con N = 10 predecía un valor de l .9422 para.y(l). Nótese cuánto rpás cercano está el núm ero 1.9957 al valor correcto 2. Si se corre este program a para

107

1.15 • M étodo de Euler m odificado

N = 20 y N = 40 se obtiene q u e y 20 = 1.99884247 y = 1.99969915. Estos núme­ ros son también mucho más precisos que los valores 1.96852339 y 1.9835109 predichos por el método de Euler.

EJERCICIOS Aplique el método de los tres términos de la serie de Taylor con h - 0.1 para determi­ nar un valor aproxim ado de la solución en t = 1 en cada uno de los problemas de valor inicial 1 a 5. Repita los cálculos con h = 0.025 y com pare los resultados con los valores dados de la solución. 1. d y / d t — \ + t —y , >'(0) = 0; >-(0) = 2;

( y ( 0 —0

2.

dy/dt^lty,

( y ( t ) = 2 e ‘2)

3.

d y / d t — \ + y 2 — t 2,

4.

d y / d t = t e - y + t / ( \ + t 2l

5.

d y / d t — — 1 + 2 t + y 2/ ( l + / 2)2, > -( 0 )= l;

(y(t)~ 0 y ( 0) = 0;

(>'(r) = Ln(l + 12)) ( y ( t ) = \ + t 2)

6. Use el método de los tres términos de la serie de Taylor con h = 7t/40 para deter­ minar un valor aproxim ado de la solución del problem a de valor inicial ^

= 2 s e c 2/ - ( l + y 2),

y (0) = 0

en f = 7t / 4 . Repita los cálculos con h - t/1 6 0 y com pare los resultados con el núm ero 1, que es el valor de la solución y ( 0 = tan t en t = 7t / 4 .

1 .1 5

M é t o d o d e E u l er m o d i f i c a d o

El método de los tres términos de la serie de Taylor es una notoria mejora sobre el método de Euler. Sin embargo, tiene la seria desventaja de requerir el cálculo de las derivadas parciales de f ( t , y) y esto puede ser difícil si la función y( t, y) es muy complicada. Por esta razón, es deseable obtener métodos numéricos que no requieran calcular las deri­ vadas parciales de f ( t , y). Un m odo de abordar el problem a es integrando en ambos lados de la ecuación diferencial y ' - f ( t , y) entre tk y tk + h, para obtener que ( ‘k+hf { ^ y U ) ) d t .

(1)

Esto reduce el problema de encontrar un valor aproxim ado d e ^ ^ ^ . i) al problema más sencillo de aproxim ar el área bajo la curva f ( t , y ( 0 ) entre tk y tk + h. Una aproxim a­ ción burda de tal área es h f ( t k , y ( t k)), que es el área del rectángulo R en la Figura la. Esto da origen a la fórm ula numérica que es, por supuesto, el m étodo de Euler.

108

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Una

aproxim ación aún m ejor de

esta área es

que es ladel trapecio T en la Figura Ib. Esto lleva a la siguiente fórmula numérica y'k +1~ y ' k +

t f ^ k ' y ' k ) f ( lk + + 1)]•

(2)

Sin embargo, no es posible usar esta fórm ula para determ inar y k r \ a partir de y k , ya que y k +\ también aparece en el lado derecho de (2). Una manera muy ingeniosa de sal­ var esta dificultad es sustituir y k ± i en el segundo miembro de (2) por el valor y k + hf((k , y k ) predicho por el m étodo de Euler. Esto lleva al siguiente procedimiento numérico:

y'k+i=yk +

y [f((k'yk)+f(lk+h,yk +hf(lk'yk))}'yo=y(ío)-

P)

La ecuación (3) se conoce com o método de Eider modificado. Se puede mostrar que | v(tk ) ~ y k \ es a lo más una constante fija por h 2. Por lo tanto, con el método de Euler m odificado se obtiene la misma precisión que con el de los tres términos de la serie de Taylor, y eso sin requerir del cálculo de las derivadas parciales.

Eje m p l o 1

Sea y(t) la solución del problem a de valor inicial ^

= 1+ ( y - i ) \

y(0 ) = j .

Usar el método de Euler m odificado para obtener valores aproxim ados de y(t) en los puntos tk = k / N , k = 1, . . . , N. S o l u c i ó n . La fórm ula para el m éiodo de Euler modificado de este problem a es y k + i =y k + y { 1 + (.v*_ '*)2+ 1 + [>>* +

+ ( y k ~ {k)2) ~ r*+i] }

con h = \ / N y y 0 - 0.05. El entero k toma valores de 0 a N - l . A continuación se

109

1.15 • M étodo de Euler m odificado dan ejemplos de program as en APL y en Fortran para calcular y {, . . más, los program as consideran valores variables para t0, y 0, a y N.

y s . Una vez

Programa en APL V IM P R O V E D

[1

T<— NpO

[2

Y < -N p 0

[3 [4 [5

T[1 ]<— T 0 + H

[6

Y[1 ]< -Y 0 + (H + 2) X R + 1 + (YO + (H X R ) - T[1 ]) * 2

[7

K<— 1

[8

T [K + 1 ]«— T [K] + H

[9

[10

[11 [12 [13 [14 [15

H < -A -N R<— 1 + (YO — T 0 ) * 2

R<— 1 + ( Y [ K ] - T [ K ] ) * 2 Y [K + 1 ]«— Y [K ] + ( H - 2 ) X R + 1 + ( Y [ K ] + ( H X R ) - T [ K + 1 ])* 2 K « -K + 1 — >8 X iK < N

T < -T 0 ,T Y<— YO, Y ^ (2 ,p Y )p T ,Y

V

Programa en Fortran Sustituir la sección B del program a en Fortran del Ejemplo 1 de la Sección 1.13 por las siguientes instrucciones

20

T(1) = T0 + H R = 1 + (Y0 —T0)* *2 Y(1) = YO + (H /2 ) * (R +1 + (YO + (H * R) —T(1)) * *2) DO20 K = 2,N T(K) = T(K —1) + H R = 1 + (Y(K —1) —T(K —1))* *2 Y(K) = Y ( K - 1 ) + (H /2)*(R + 1 + (Y (K -1 ) + (H *R )-T (K ))* *2) CONTINUE

La T abla 1 muestra los resultados de los cálculos con a - 1, N = 10, tQ = 0 y y 0 = 0.5. Si se corre el program a con N = 20 y N = 40 se obtiene que y 2o = 1.99939944 y y w = 1.99984675. Por lo tanto, los valores ^ 10, yio y calculados con el método de Euler m ejorado están aún más cerca del valor correcto 2 que los valores T a b la t

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1. y

0.5 0.62628125 0.75547445 0.88809117 1.02477002 1.16631867

*

0.6 0.7 0.8 0.9 1

y

1.31377361 1.46848715 1.63225727 1.80752701 1.99770114

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN c o r r e s p o n d i e n t e s 1 . 9 9 57 2 3 1 3 , 1 . 9 9 8 8 4 2 4 6 y 1 . 99 9 6 9 9 1 5 c a l c u l a d o s c o n el m é t o d o d e los t res t é r m i n o s d e la s er i e d e T a y l o r .

Ej e r c i c io s U s a n d o el m é t o d o d e E u l e r m o d i f i c a d o c o n h -

0.1, dete rm ine un valor a p r o x i m a d o

d e la s o l u c i ó n e n t -

1 p a r a c a d a u n o d e los p r o b l e m a s

d e v a l o r ini cial 1 a 5. R e p i t a

los c á l c u l o s c o n h -

0 . 0 2 5 y c o m p a r e los r e s u l t a d o s c o n

el v a l o r d a d o d e la s o l u c i ó n .

\ . d y / d t — \ + t —y , 2. dy / dt = 2ty,

y ( 0) ==0;

_y(0) = 2;

(y(t)

( y ( 0 = í)

= 2 e f2)

3. d y / d t = 1 + y 2— t 2, y( 0 ) = 0; 4. d y / d t = t e ~ y + t / { \ + r2),

( y ( t ) — ¿)

y(0) = 0;

( y ( t ) = ln(l + t 2))

5. d y / d t = - \ + 2 t + y 2/ ( \ + 1 2)2, y ( 0 ) = l ;

(y ( t ) = \ + t 2)

6. A p l i q u e el m é t o d o d e E u l e r m o d i f i c a d o c o n h = t t / 4 0 p a r a d e t e r m i n a r u n v a l o r a p r o x i m a d o d e la s o l u c i ó n del p r o b l e m a d e v a l o r inicial ~

= 2 s e c 2/ - ( l + y 2).

>-(0) = 0

e n / = 7 r / 4 . R e p i t a los c á l c u l o s c o n h = 7r/ 160 y c o m p a r e los r e s u l t a d o s c o n el n ú m e r o 1, q u e es el v a l o r d e la s o l u c i ó n v(r) = t a n t e n t = x / 4 .

1 .1 6

M é t o d o d e R u n g e -K u tta

A continuación se presenta, sin dem ostraciones, un método numérico muy poderoso que fue desarrollado alrededor de 1900 por los m atemáticos Runge y Kutta. Debido a su sencillez y gran precisión, el método de Runge-Kutta es uno de los procedimientos numéricos más ampliamente utilizados para resolver ecuaciones diferenciales. Está defi­ nido por la siguiente ecuación + donde

+\ [4.,+

2 4 ,; + 2

£ „ + A - 0 , l , . . . , / V - l

= y ( t 0), y ^k, i = f 0 k ^ k l

L k'2—f { t k "b \ h , y k + \ h L k ,)

^k .3 = f { lk "b \ h , y k + 2 ^ ^ , 2)’

Lk 4 —f ( t k + h, yk + hLk 3).

En la fórmula se usa un prom edio ponderado de los valores d e /(r , y) tom adas en dife­ rentes puntos. Por lo tanto, la sum a 1/611*. 1 + 2 ¿* i2 + 2 L k¿ + L kA] puede inter­ pretarse com o una pendiente prom edio. Es posible m ostrar que el error \ y{t k ) - y k \ es a lo más una constante fija multiplicada por h 4. Así pues, el método de Runge-Kutta es mucho más preciso que el m étodo de Euler, que el de los tres térm inos de la serie -de Taylor y que el de Euler m odificado.

111

1.16 • M étodo de Runge-Kutta

Ejem plo

1

S e a y ( t ) la s o l u c i ó n del p r o b l e m a d e v a l o r inicial

y( 0 ) = k. A p l i c a r el m é t o d o d e R u n g e - K u t t a p a r a e n c o n t r a r v a l o r e s a p r o x i m a d o s y x, . . . , y, \ d e y e n los p u n t o s (k = k / N , k = l, . . . . /V.

S o lu c ió n . A c o n t i n u a c i ó n se d a n e j e m p l o s d e p r o g r a m a s en A P L y en F o r t r a n p a r a c a l c u l a r y x, . . . , y s c o n el m é t o d o d e R u n g e - K u t t a . L o s p r o g r a m a s di f i e r e n d e los a n t e ­ r i or e s e n el h e c h o d e q u e n o e v a l ú a n y¡ p o r s e p a r a d o , s i n o q u e la c a l c u l a n en el m i s m o ci cl o en el q u e d e t e r m i n a n y 2 , . . . , v.v- E s t o se l o g r a d e n o m i n a n d o los n ú m e r o s /0 e y 0 co m o / 1 e y ¡ , respectivamente.

Programa en APL V RUNKUT [1] [2]

T « -,T 0 Y<— , YO

[3]

H *-A -N

[4]

K<— 1

[5]

T *-T ,T [K ] + H

[6]

LK1<— 1 + (Y [K ] — T [K ]) * 2

[7]

LK2<—1 + (Y[K] + (H x LK1 + 2) - T[K] + H i- 2) * 2

[8]

LK3<— 1 + (Y [K ] + (H X L K 2

[9]

LK4<— 1 + (Y [K ] + (H X L K 3 ) - T[K] + H ) * 2

2) — T[K] + H

2) * 2

[1 o]

Y<— Y, Y[KJ + (H - 6) X LK1 + L K 4 + 2 X L K 2 + L K 3

[11]

K<— K + 1

[12]

— >5 X íK < N

[13]

^ (2 ,p Y )p T ,Y

V

Programa en Fortran D I M E N S I O N T (1 000), Y ( 1 000) R E A D (5 ,1 0 ) T (1 ).Y (1 ),A ,N 10

F O R M A T (3 F 2 0 .8 ,15) H = A /N DO 20 K = 1, N T ( K - M ) = T (K ) + H REAL

LK1,

LK2,

LK3,

LK4

LK1 = 1 + ( Y ( K ) — T ( K ) ) * * 2 L K 2 = 1 + ((Y (K ) + ( H / 2 ) * L K 1 ) - (T (K ) + H / 2 ) ) * * 2 L K 3 = 1 + ( (Y (K ) + ( H / 2 ) * L K 2 ) - (T (K ) + H / 2 ) ) * * 2 L K 4 = 1 4- (( Y ( K ) + H * L K 3 ) - (T (K ) + H )) * * 2 Y ( K + 1 ) = Y ( K ) + ( H / 6 ) * (LK 1 + L K 4 + 2 * (L K 2 + L K 3 )) 20

C O N T IN U E NA = N + 1 W R IT E (6 ,3 0 ) (T(J), Y (J), J = 1, N A )

30

F O R M A T (1 H 1 , 3X, 1 H T, 4X, 1 H Y ,/ (1 H, 1X, F 1 0 .7 ,2X, F 2 0 .9 / )) C A L L E X IT END

112

CAPÍTULO 1

•

tCUACkjNES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

La Tabla 1 m uestra los resultados de los cálculos con a = 1, N = 10, t0 = 0 y yo = 0.5. T a b la t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1. y 0.5 0.62631578 0.75555536 0.88823526 1.02499993 1.16666656

t 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y 1.31428555 1.4692305 1.6333329 1.8090902 1.9999988

Nótese cuánto más cerca del valor correcto 2 está el número y {0 = 1.999998$ calculado por el método de Runge-Kutta, que los números v10 = 1.94220484, y l0 = 1.99572312 y y [0 = 1.997701 14 evaluados con el método de Euler, con el de los tres térm inos de la serie de Taylor y con el de Euler m odificado, respectivamente. Si se corre este pro­ gram a con N = 20 y N = 40 se obtiene que_y2o = 1.99999992 y y w - 2. Así pues, la aproxim ación d e ^ ( l ) ya es correcta a ocho cifras decimales cuando h = 0.025. De manera equivalente, sólo se necesita elegir N > 40 para obtener una precisión de ocho decimales. Para captar la precisión de los diversos métodos en la perspectiva correcta, se pue­ de decir que se tienen tres procedim ientos numéricos para resolver el problem a de valor inicial d y / d t = f ( t , y ) , y ( 0) = 0 en el intervalo 0 < t < 1, y que el error que se comete al usar dichos m étodos es 3h, 11 h 1 y 42/t4, respectivamente. Si el problem a es tal que se requieren ocho cifras decimales de precisión, entonces los incrementos h lt h2 y h} para los distintos métodos deben satisfacer las desigualdades 3h { < 10~8, 1\ h \ ^ 10-8 y 42 hj < 1 0 '8. Por lo tanto, el núm ero de iteraciones , N 2 y /V3 para los diferentes procedimientos debe satisfacer las desigualdades N, > 3 X 108 = 300,000,000,

N2> V u

X 104% 34,000

y A3 > (4 2 )1/4x l 0 2^ 2 6 0 . Este es un ejemplo im presionante de la diferencia que hay entre el m étodo de RungeKutta y el de Euler, el de Euler m odificado y el de los tres términos de la serie de Taylor. O b s e r v a c ió n . Nótese que en cada paso del método de Runge-Kutta se realizan cuatro evaluaciones funcionales, m ientras que en cada paso del método de Euler se realiza sola­ mente una evaluación. Sin em bargo, el método de Runge-Kutta supera claramente al de Euler, al de Euler m odificado y al de los tres térm inos de la serie de Taylor.

Ej e r c i c io s Utilice el m étodo de Kimge-Kutta con h = 0.1 para determ inar un valor aproximado de la solución en t = t para cada uno de los problem as de valor inicial 1 a 5. Repita los cálculos cor n - 0.025 y com pare los resultados con el valor dado de la solución.

1.17 • Qué hacer en la p rá ctica 1.

cf y/ dt = \ + t - y ,

2.

d y / d t = 2ty, y{ 0 ) - 2 ;

3.

d y / d t = \ + y 2- t 2, y(0)=*0;

4.

d y / d t = t e ~ y + t / ( \ + t 2),

5.

d y / d t = - 1 + 2 / + > ' 2/ ( ( l + f2)2).

6.

>(0) = 0;

113 (>'(/) = /)

(y(t) = 2 e ') (y ( t ) = t )

>'(0) = 0;

( > ( / ) - l n ( l + 12))

^ (0) = 1;

( y ( f ) = l + f2)

Use el método de Runge-Kutta con h = 7r/40 para determinar un valor aproxim a­ do de la solución del problem a de valor inicial ^ = 2sec2r - ( l

+ y 2),

y (0 ) = 0

en t - 7r / 4. Repita los cálculos con h - 7r/160 y compare los resultados con el núm ero 1, que es el valor de la solución y(t) = tan í en / = x /4 .

1 .1 7

Q ué h a c e r en l a p r á c t i c a

En esta sección se analizan algunos problemas prácticos que surgen cuando se intenta resolver ecuaciones diferenciales en com putadora. Prim ero y sobre todo está la estima­ ción del error que se comete. No es muy difícil señalar que el error que se cometió al usar el método de Euler, el de los tres términos de la serie de Taylor, el de Euler modifi­ cado y el de Runge-Kutta con increm ento h es, a lo más, c,/i, c2h 2, c2h 2 y c4/i4, res­ pectivamente. Sin em bargo, con una excepción, es prácticam ente imposible determinar las constantes c¡, c2, c3 y c4. La excepción es el método de Euler donde puede calcu­ larse de modo explícito el error com etido al a p r o x im a ra is ) c o n y k (Sección 1.13). Sin embargo, la estimación no es muy útil ya que sólo es válida para tk suficientemente cer­ cana a t0, y norm alm ente uno se interesa por valores de y en tiempos t bastante mayo­ res que t0. Así pues, por lo general no se sabe de antem ano qué tan pequeño hay que elegir el incremento h para lograr la precisión buscada. Lo único que se sabe es que los valores aproxim ados y k que se calculan tienden a y ( t k) conform e h se hace más pequeña. Una m anera de resolver el problem a es la siguiente: Usando uno de los métodos de la sección anterior se elige un incremento h y se calculan números y¡, . . . , y yv- Des­ pués se repiten los cálculos con un incremento h/2, y se com paran los resultados. Si los cambios son mayores que lo que se está dispuesto a aceptar, entonces se necesita un increm ento menor. Este procedim iento continúa hasta alcanzar la precisión desea­ da. Por ejem plo, supóngase que se busca la solución del problema de valor inicial y ' = / ( L 7 )> 7(0) = 7o en t - 1 con precisión de cuatro cifras decimales. Se elige un incre­ mento h = 1/100 y se calcula y x, . . . , y XQ0. Después se repiten los cálculos con h = 1/200 y se obtienen nuevas aproximaciones z ¡, . . . , Z200• Si 7100 y ^200 coinciden en sus prim eras cuatro cifras decimales, entonces se tom a z2oo como aproximación de 7 ( 1)*. * Esto no garantiza que ; :oo coincida con y{ I) a cuatro cifras decimales. Como precaución adicional se podría dividir este incremento nuevamente entre 2. Si las primeras cuatro cifras decimales permanecen igual, entonces es razonable suponer que z;oo coincide con v(l) en cuatro cifras decimales.

114

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Sí^kx) y £200 n0 coinciden en sus cuatro primeras cifras decimales, se repiten entonces los cálculos con un incremento h = 1/400.

Ejemplo

a Obtener la solución del problem a de valor inicial \ + e - y ) + e',

en t =

1 con

y(0) = 0

una precisión de cuatro cifras decimales.

S o l u c i ó n . Se ilustrará cómo plantear y resolver el problema con el método de Euler, con el de los tres términos de la serie de Taylor, con el de Euler m odificado y con el método de Runge-Kutta. i. Método de Euler.

Program a en APL V EULER [1] [2]

T<— ,T 0

[3]

H<— A + N

Y<— , YO

[4]

K<— 1

[5]

T<— T ,T [K ] + H

[6]

Y < - Y , Y [K ] + H X (Y [K ] X 1 + * - Y [K ]) + * T [K ]

[7]

K<— K + 1

[8]

- * 5 X iK < N

[9]

N , H , Y [ N + 1]

V

Program a en Fortran Sección A Lectura d e los Datos

10 •

Sección B Cálculos

D020 K= 1,N T(K + 1) = T(K) + H Y(K + 1) = Y(K) + H *(Y(K) *(1 + EXP( - Y(K))) 1 + EXP(T(K))) .20 CONTINUE r

Sección C Impresión d e los resultados

DIMENSION T(1000), Y(1000) READ (5,10) T(1), Y(1),A,N, FORMAT (3F20.8.I5) H= A/N

30

WRITE (6,30) N, H, Y(N +1) FORMAT (1H, 1X, 15,2X, F10.7,4X, F20.9) CALL EXIT END

Se tomó A = 1, T0 ~ 0, YO = 0 (en el program a en F ortran, 7X1) = T (l) = 0) y se corrieron los program as para N = 10, 20, 40, 80, 160, 320 y 640. Los resultados de los cálculos aparecen en la Tabla 1. Nótese que incluso con un incremento h tan peque-

115

1.17 • Qué hacer en la práctica T a b la N 10 20 40 80 160 320 640

1. h

yn

0.1 0.05 0.025 0.0125 0.00625 0.003125 0.0015625

2.76183168 2.93832741 3.03202759 3.08034440 3.10488352 3.11725009 3.12345786

ño como 1/640, puede garantizarse precisión solamente en la prim era cifra decimal. Esto subraya las limitaciones del método de Euler. Como /V es dem asiado grande, es recom endable usar un m étodo más preciso en vez de continuar con el método de Euler con incrementos cada vez menores. ii) Método de los tres términos de la serie de Taylor.

Programa en APL [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]

V TAYLOR T<—T0 Y*-, YO H<-A-N K<—1 T<—T,T[K] + H DY1 <—1 + (1 —Y[K]) X * - Y[K] DY2<—(Y[K] X 1 + * —Y[K]) + *T[K] Y<—Y, Y[K] + (H X DY2) + (H X H - 2) X (* T[K]) + DY1 X DY2 K<— K + 1 - ^ 5 X iK < N N, H, Y[N + 1 ] V Programa en Fortran

Sustituir la Sección B del program a en Fortran anterior por las siguientes instrucciones D020 K = 1, N T(K + 1) = T(K) + H DY1 = 1 + (1 —Y(K)) * E X P (

-

Y(K))

D Y 2 = Y ( K ) * (1 + E X P ( - Y (K ))) + E X P ( T ( K ) ) Y ( K + 1) = Y ( K ) + H * D Y 2 + (H * H / 2 ) * (E X P ( T ( K ) ) + D Y 1 * D Y 2 ) 20

C O N T IN U E

Se tom ó A = 1, 7*0 = 0 y YO = 0 (en el program a en F ortran, TO ) = 0, y F (l) = 0), y se corrieron los program as para N = 10, 20, 40, 60, 80, 160, 320. Los resultados de los cálculos se muestran en la Tabla 2. Obsérvese que y l60 y y^ 2o coinciden en sus primeras cuatro cifras decimales. Por lo tanto, la aproxim ación ^(1) = 3.12966689 es correcta con cuatro cifras decimales.

116

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN T a b la

2.

N 10 20 40 80 160 320

h

ys

0.1 0.05 0.025 0.0125 0.00625 0.003125

3.11727674 3.12645293 3.12885845 3.12947408 3.12962979 3.12966689

iii) Método de Euler modificado.

Program a en APL V IM P R O V E D

[1] [2] [3] 14] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

T<—,T0 Y«-,Y0 H<—A + N K<—1 T<—T,T[K] + H R<— H X (Y[K] x 1 + * - Y[K]) + *T[K] Y«-Y, Y[K] + (+ 2) X R + H X ((Y[K] + R ) X 1 + * -Y[K] +

R )+

^T[K + 1

K < -K + 1

-+ 5 X iK < N

N,H,Y[N +

1]

V

Program a en Fortran Sustituir la Sección instrucciones

B

del primer program a en F ortran de esta sección por las siguientes

D O 20 K = 1 ,N T (K + 1) = T (K ) + H R1 = Y ( K ) * (1 + E X P ( - Y (K ))) + E X P ( T ( K ) ) R 2 = (Y ( K ) + H * R 1 ) * (1 + E X P ( - ( Y ( K ) + H * R 1 ) ) ) + E X P ( T ( K + 1 ) )

20

Y ( K + 1) = Y ( K ) + ( H / 2 ) * (R 1 + R 2 ) C O N T IN U E

Ta b l a 3. N 10 20 40 80 160 320

h 0.1 0.05 0.025 0.0125 0.00625 0.003125

yn 3.11450908 3.12560685 3.1286243 3.12941247 3.12961399 3.12964943

117

1.17 • Qué hacer en la p rá ctica

Se tomó A = 1,71) = Oy 7 0 = 0 (en el program a en Fortran, 7~(1) = Oy 7(1) = 0), y se corrieron los program as para N = 10, 20, 40, 80, 160 y 320. Los resultados de los cálculos aparecen en la T abla 3. Obsérvese que y m y >320 coinciden en las prim e­ ras cuatro cifras decimales. P or lo tanto, la aproxim ación7(1) = 3.12964943 es correc­ ta con cuatro cifras decimales. iv) Método de Runge-Kutta.

Program a en APL V RUNKUT [1]

T < -,T 0

[2]

Y < -,Y 0

[3]

H<— A + N

[4]

K < -1

[5]

T<— T ,T [K ] + H

+ * —Y [K ]) + * T[K] 2) X L K 1 ) X 1 -I- * — Y [K ] + (H + 2) X L K 1 ) + * T[K] +

[6]

LK1 < -(Y [K ] X 1

[7]

LK2 <— ((Y [K ] + (H H + 2

[8]

L K 3 « -(( Y [ K ] + (H + 2) X L K 2 ) X 1 + * - Y [K ] + (H + 2 ) X L K 2 ) + * T [K ] + H + 2 L K 4 *-((Y [K ]

+ H X L K 3 ) X 1 + * - Y [K ] + H X L K 3 ) + * T (K ] + H

[9] (10]

Y * _ Y , Y [K ] + (H + 6 ) X LK 1 + L K 4 + 2 X L K 2 + L K 3

[11] [12]

—>5 X tK < N

[13]

N , H , Y [ N + 1]

K < -K + 1 V

Program a en Fortran Sustituir la Sección B del prim er program a en F ortran de esta sección por las siguientes instrucciones D 0 2 0 K = 1 ,N T (K + 1) = T (K ) + H LK1 = Y ( K ) * (1 + E X P ( - Y (K )) + E X P ( T ( K ) ) L K 2 = (Y ( K ) + ( H / 2 ) * L K 1 ) * (1 -I- E X P ( - (Y ( K ) + ( H / 2 ) * L K 1 ))) 1

+ E X P ( T (K ) + (H / 2)) L K 3 = (Y (K ) + ( H / 2 ) * L K 2 ) * (1 + E X P ( - ( Y (K ) + ( H / 2 ) * L K 2 )))

1

+ E X P (T (K ) + (H /2 )) L K 4 = (Y ( K ) + H * L K 3 ) * (1 + E X P ( - (Y (K ) + H * L K 3 )))

1 20

+ E X P (T (K + 1 )) Y ( K + 1) = Y ( K ) + ( H / 6 ) * (L K 1 + 2 * L K 2 + 2 * L K 3 + L K 4 ) C O N T IN U E

Se tomó A = 1, 7~0 = O y 7 0 = 0 (en el program a en Fortran, 7(1) = 0 y 7(1) = 0), y se corrieron los program as para N = 10, 20, 40, 80, 160 y 320. Los resultados de los cálculos se m uestran en la Tabla 4. Nótese que la aproxim ación de 7 ( 1) ya es correc­ ta con cuatro cifras decimales con h = 0.1, y que es correcta con ocho cifras decimales

118

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

con h = 0.00625 ( N = 160). Este ejemplo ilustra una vez más la fuerza del método de Runge-Kutta. Ta b l a 4. N

h

10 20 40 80 160 320

0.1 0.05 0.025 0.0125 0.00625 0.003125

ys 3.1296517 3.12967998 3.1296819 3.12968203 3.12968204 3.12968204

La sección concluye con dos ejem plos que ilustran algunas dificultades adicionales que surgen al resolver problem as de valor inicial en com putadoras digitales.

Ejemplo 2 Usar el método de Runge-Kutta para obtener valores aproxim ados de la solución del problem a de valor inicial

^ =/ 2+ > '2,

^ (0 ) = 1

en los puntos tk = k / N , k = 1, . . . , N. So l u c ió n .

Program a en APL V RUNKUT [1] [2]

T<— ,T 0

[3]

H<— A ■+■ N

Y<— , YO

[4]

K<— 1

[5]

T<— T ,T [K ] + H

[6]

LK1 <— (T[K ] * 2) + Y [K ] * 2

[7]

LK2<— ((T [K ] + H + 2 ) * 2 ) + (Y [K ] + H X LK1 -*-2 )*2

[8]

LK 3< — ((T [K ] + H + 2 ) * 2) + (Y [K ] + H X L K 2

[9] [10]

LK 4< — ((T [K ] + H ) * 2) + (Y [K ] + H X L K 3 ) * 2

[11] [12]

K<— K + 1

[13]

^ (2 ,p Y )p T ,Y

2) * 2

Y « - Y , Y [K ] + (H -f- 6) X L K 1 + L K 4 + 2 X L K 2 + L K 3 — >5 X tK < N

V

119

1.17 • Qué hacer en la prá ctica Programa en Fortran

Sustituir la Secciones B y C del primer program a en Fortran de esta sección por las siguientes instrucciones: D O 20 K = 1 ,N T ( K + 1) = T ( K ) + H LK1 = T ( K ) * * 2 + Y ( K ) * * 2

Sección B Cálculos

LK2 = (T(K) + ( H / 2 ))* * 2 + (Y(K) + ( H / 2 ) * LK1)* * 2 L K 3 = (T (K ) + ( H / 2 ) ) * * 2 + (Y (K ) + ( H / 2 ) * L K 2 ) * * 2 L K 4 = (T (K ) + H ) * * 2 + ( Y (K ) + H * L K 3 ) * * 2 Y ( K + 1 ) = Y ( K ) + ( H / 6 ) * (LK 1 + 2 * L K 2 + 2 * L K 3 + L K 4 )

.20

C O N T IN U E NA = N + 1 W R I T E (6 ,3 0 ) (T(J), Y(J), J = 1, N A )

Sección C Impresión de los resultados

30

1

F O R M A T (1 H 1 , 3X, 1HT, 4X, 1 H Y / ( 1 H, 1X, F9.7, 2X , F 2 0 .9 / )) C A L L E X IT

-

END

Se trató de correr los program as con A = I, 70 = 0, YO = 1 (en el program a en For­ tran 7(1) = 0 y 7(1) = 1) y N = 10, pero se recibió un mensaje de error consistente en que los números calculados excedían el dominio de la com putadora. Es decir, eran mayores de 1038. Esto indica que la solución y(t) tiende a infinito para algún valor en el intervalo [0, 1]. Esto puede dem ostrarse analíticam ente e incluso es posible obtener, con un artificio ingenioso, una estimación de dónde y(t) tiende a infinito. Obsérvese que para 0 < t < 1, y ( t ) nunca es menor que la solución = 1/(1 - 0 del pro­ blema de valor inicial

Y t = >'2’

=

Además, y (t) nunca es m ayor que la solución 0 2(0 - ta n (í + tt/4) del problema de valor inicial d y / d t = 1 + y 2, y(0) = 1. Por lo tanto, para 0 < / < 1 se tiene j Z T j < y ( / ) < t a n ( / + 7r/4). Esta situación se describe gráficam ente en la Figura 1. Como (/) y 2(0 tienden a infinito en t = 1 y t = tt/4 , respectivamente, se concluye q u e ^ ( 0 tiende a infinito en algún punto entre tt/4 y 1. Las soluciones de la m ayoría de los problemas de valor inicial que surgen en las aplicaciones de la física y de la biología existen para todo tiempo futuro. Así pues, no es necesario preocuparse dem asiado del problem a de las soluciones que tienden a infi­ nito en tiem po finito o del problem a de soluciones que son excesivamente grandes. Sin em bargo, hay algunos casos en economía en los que el problem a es de im portancia cru­ cial. En esos casos, se desea con frecuencia determ inar si ciertas ecuaciones diferencia­ les pueden m odelar con precisión un fenómeno económico dado. A m enudo, es posible eliminar algunas de estas ecuaciones, dem ostrando que permiten soluciones que son demasiado grandes para ser reales.

120

CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

F ig u ra

1.

Eje m p l o 3

Utilizar el método de Euler para determ inar valores aproxim ados de la solución del problem a de valor inicial = ^ |^ l -3 /4 + f s e n y ,

>-(0) = 0

(l)

en los puntos 1//V, 2 / N , . . 2 . S o l u c i ó n . La program ación de este problem a se simplifica mucho si se observa que y \ y \ 3/4 = ( s g n d o n d e

s gny =

I, >•>0 0, y = 0 - 1, y < 0

Program a en APL V [1] [2]

EULER

T<— NpO Y<— NpO

[3]

H<— 2 ■+■ N

[4]

T [1 ]« -H

[5]

K < -1

[6]

T [K + 1 ]<— T [K ] + H

[7]

Y [ K + 1 ]<— Y [K ] + H X ( ( X Y [K ]) X ([Y [K]) * 0.25) + T [K ] X 1 0 O + T [K ]

[8]

K<— K + 1 —>6 X iK < N

[9] [10]

T<— 0 ,T

[11] [12]

^ (2 ,p Y )p T ,Y

Y<— 0, Y

V

121

1.17 • Qué hacer en la práctica Program a en Fortran D I M E N S I O N T (1 0 00), Y (1 0 0 0 ) R E A D (5 ,1 0 ) N

10

F O R M A T (15) H = 2 /N T (1 ) = H Y (1 ) = 0 DO 20 K = 2, N T (K ) = T (K — 1) + H Y (K ) = Y ( K — 1) + H * ( S I G N ( Y ( K — 1 ) * * 0 . 2 5 , Y ( K - 1 ) ) + T ( K - 1 )* S IN (3 .1 4 1 5 9 2 6 5 4 / T (K — 1))

20

C O N T IN U E W R IT E ( 6 , 3 0 ) 0,0, (T(J), Y(J), J = 1, N ) F O R M A T (1 H 1 , 3X, 1 H T, 4X, 1 H Y / ( 1 H, 1X, F 1 0 .7 ,2X, F 2 0 .9 / ))

30

C A L L E X IT END

Tom ando N = 25 se obtuvo el valor 2.4844172 para >>(2), pero al tom ar N = 27 se obtuvo el valor -0.50244575 p ara^(2 ). Más aún, todos los valores fueron positivos para N = 25 y negativos para N = 27. Se repitieron los cálculos con N = 89 y N = 91, y se obtuvieron los valores 2.64286349 y -0.6318074, respectivamente. Además todas las y k fueron de nuevo positivas para N = 89 y negativas para TV = 91. De hecho, es posible, aunque más bien difícil, probar que todas las y k son positivas si N - 1 ,5 ,9 , 13, 17, . . . , y negativas si N = 3 ,7 , 11,15, . . . . Esto sugiere que la solución del pro­ blema de valor inicial (1) no es única. La afirm ación no puede probarse analíticamente, ya que no es posible resolver la ecuación diferencial de modo explícito. Sin embargo, hay que notar que el teorema de existencia y unicidad de la Sección 1.10 no se aplica aquí ya que la derivada parcial de la función \ y \ ~ v*y + t sen ir/t con respecto a y no existe en y = 0. La m ayoría de los problem as de valor inicial que surgen de las aplicaciones tienen solución única. Así pues, no es necesario preocuparse demasiado del problem a de falta de unicidad de las soluciones. Sin em bargo, hay que tener siempre en mente que los problemas de valor inicial que no cumplen las hipótesis del teorem a de existencia y uni­ cidad de la Sección 1.10, pueden tener más de una solución, ya que elegir la solución errónea en uno de estos casos raros puede ser desastroso.

Ej e r c i c io s En cada uno de los Problem as 1 a 5, encuentre la solución del problem a de valor inicial dado en t = 1 con una precisión de cuatro cifras decimales. 1. ^ = y + e ~ y + 2 t , 3. ^

dt

5.

=

1

1 + 1+y

y(0 ) = 0 y(0) = 0

7(0) =1

2. ^ 4. < ^

at

= 1 - t + y 2, = e ty 2 - 2 y ,

y ( 0) = 0

7 (0 )= 1

2diferenciales Ecuaciones lineales de undo

2.1

P r o p ie d a d e s a l g e b r a i c a s de l a s s o l u c i o n e s

Una ecuación diferencial de segundo orden es una ecuación del tipo d 2y l i 2

Por ejem plo, la ecuación

dy

,

/ dy V

dt2 =sen' +3'v + ( ^ )

es una ecuación diferencial de segundo orden. Una función y = y(t) es la solución de (1) si y(t) satisface la ecuación diferencial, es decir, d 2y ( t )

r¡

dy(t)\

Así pues, la función y(t) = eos t es la solución de la ecuación de segundo orden d 2y / d t 2 = ~ y , ya que d 2 (eos t ) / d t 2 = -e o s t. En las aplicaciones surgen con frecuencia ecuaciones diferenciales de segundo orden. La ecuación diferencial de este tipo más famosa es la segunda ley de Newton del movi­ miento (véase la Sección 1.7)

124

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

la cual rige el movimiento de una partícula de masa m que se mueve bajo la influencia de una fuerza F. En esta ecuación, m es la masa de la partícula, y = >>(0 es su posición en el tiempo t, d y / d t es su velocidad, y F e s la fuerza total que actúa sobre la partícula. Como ya la notación lo indica, la fuerza F puede depender de la posición y de la veloci­ dad de la partícula, así como tam bién del tiempo. Además de la ecuación diferencial (1), con frecuencia se imponen tam bién condi­ ciones iniciales sobre y(t) de tipo 0 ')

y(to)=yo>

La ecuación diferencial (1) junto con las condiciones iniciales (1') se conoce como un problem a de valor inicial. Por ejem plo, si y{t)* indica la posición en el tiem po t de una partícula que se mueve bajo la influencia de la gravedad, entonces y{t) satisface el pro­ blema de valor inicial d^y 2 = -g\ dt

. v W - j 'o .

yVo)=y'o>

donde y 0 es la posición inicial de la partícula y y'0 es su velocidad inicial. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden son muy difíciles de resolver. Lo cual no debiera sorprender a nadie después de la experiencia adquirida con las ecuaciones de primer orden. Solamente se pueden resolver las ecuaciones diferenciales de la form a especial

(2) A fortunadam ente, muchas de las ecuaciones diferenciales que surgen en las aplicacio­ nes son de este tipo. La ecuación diferencial (2) se conoce como ecuación diferencial lineal de segundo orden. Esta ecuación se distingue con la denom inación de lineal porque tanto y como d y/ dt aparecen por separado. Por ejemplo, lasecuaciones diferenciales d 2y dy — r + 3 /-J - + (sen/).y = e

dt

y

dt K

d2y , tdy dt1 dt

.

— - + e l— +2y — 1 son lineales, en tanto que las ecuaciones

y

dd 22yy -- d
dt2 +li

t r -

son no lineales, debido a la presencia de los términos sen.y y {dy/dt)2, respectivamente.

* La dirección positiva de y se toma hacia arriba.

125

2.1 • Propiedades algebraicas de las soluciones

Prim ero se analizará la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden d^ y

dy

+ p ( ‘) j ¡ + 9 ( i ) y - o

(3 )

la cual se obtiene de (2) haciendo g(t) = 0. En este m om ento, ciertamente, no es fácil encontrar todas las soluciones de (3) o resolver el problem a de valor inicial

^ ¡ + p { t ) c^ + q{t)y=Q\

y{to)=yo> y'Oo)=yo-

(4)

Por ello, antes de tratar de exponer cualquier procedimiento elaborado para resolver la ecuación (4), se necesita determ inar primero si en efecto tiene solución. Lainform a­ ción que se requiere está contenida en el siguiente teorema, cuya demostración se pre­ sentará en el C apítulo 4.

TEOREMA 1. (Teorem a de Existencia y Unicidad). Sean p(t) y q(t) f unci o­ nes continuas en el intervalo a < t < (3. Entonces existe una y solamente una fun ci ón y(t) que satisface la ecuación diferencial (3) en todo el intervalo a < t < (3 y las condiciones iniciales prescritas y (t0) = y 0, y ' ( t 0) = y'o- Concreta­ mente, cualquier solución y = y(t) de (3) que satisfaga y ( t 0) = 0 y y' (t 0) = 0 en un t = t0 debe ser idéntica a cero. El Teorem a 1 es muy im portante. Por una parte, constituye la “ autorización” para ir en busca de la solución única y(t) de (4). Por otra, el Teorema 4 también ayudará a encontrar todas las soluciones de (3). El análisis de la ecuación (3) se inicia con la im portante observación de que el lado izquierdo y" + p (t) y ' + q{t)y

=

de la ecuación diferencial puede considerarse como la definición de “ una función de función” : a cada función y que tiene dos derivadas se le asocia otra función que se lla­ ma L[y], por medio de la relación siguiente: L [ y ] 0 ) = y " ( ‘) + p ( t ) y ' { t ) + q { t ) y (t). En términos matem áticos, L es un operador que actúa sobre funciones, es decir, hay una regla precisa que asocia a cada función y una nueva función L [ y ).

EJEMPLO 1

Sea p(t) = 0 y q(t) = t. Entonces L [ y ] { t ) = y " { t ) + ty{t).

si y{t) = eos t, entonces ^ [ y ] ( 0 = (cos 1) ” + / cos t — { t - \ )cos t, y si y(t) = / 3, entonces ¿ [ . y ] ( ') = ( '3r + ' ( ' 3) = ' 4+ 6 '-

126

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Así pues, el operador L asigna la función (t - 1) eos / a la función eos / , y la función 6/ + l 4 a la función / 3. El concepto de un operador que actúa sobre funciones o el de “ función de una fun­ ción” es análogo al de una función de una sola variable /. Recuérdese la definición de la fu n c ió n /e n un intervalo / : donde a cada núm ero / en / se le asocia un núm ero llam a­ do /( /) . De m anera análoga, a cada función y que tenga dos derivadas se le asocia una nueva función llam ada L[ y] . Este es un concepto m atem ático muy com plejo, ya que —en cierto sentido— se trata a la función exactamente como si fuera un punto. Eviden­ temente, ésto es difícil de entender. P or ello, no es extraño que el concepto de “ función de función” haya sido form ulado sólo hasta principios de este siglo, y que muchos de los “ grandes y poderosos teorem as” del análisis m atem ático se hayan dem ostrado úni­ camente después de que surgió dicho concepto. A continuación, se deducen varias propiedades importantes del operador L, las cuales se aplicarán a continuación. L[cy] = c L [ y ] , para toda constante c.

D e m o s t r a c ió n . ¿[cy](/)=(cy)"(/)+p(0(o’)'(0 +

q o x c y x o

= cy " (t) + cp ( t)y'( t) + cq (/ )y ( l ) = c[ >•"(/) + p ( / ) / ( / ) + ?(/)> ’(/)] = cL[y](t).

Q

El significado de la Propiedad 1 consiste en que el operador L asigna a la función (cy) la función que asigna a y m ultiplicada por c. Por ejemplo, sea L[y](t)= y"(t) + ()y\t)-2y{t). Tal operador L asigna la función ( / 2)" + 6 (/2)' —2(r2) = 2 + 12 r —2 / 2 a la función t 1. Por lo tanto, L debe asignar la función 5(2 + 12/ - 212) a la función 512.

Pr o p ie d a d 2. D e m o s t r a c ió n . Z^[Tl+>'2](/) = (>'l+>,2)"(/)-*-/, (0 (T l+ > ’2)'(/) + 7(0(>; l+>;2)(0

sty ”( t ) + y ' ¡ ( t ) + p ( t ) y \ ( t ) + p(t)y' 2(t) + q ( t ) y l (t) + q ( t ) y 2(t)

= [ > 7 ( 0 + /»(')/! (/) + <7(/)¿-,(/)] + [y'í ( O + ^ Í O ^ i í O + ^ Í O ^ Í O ] = T [ y , ] ( : i - f L [ y 2]{t).

□

127

2.1 • Propiedades algebraicas de las soluciones

El significado de la Propiedad 2 consiste en que el operador L asigna a la función y j + y 2 la suma de las funciones asignadas a y¡ y a y 2. Por ejemplo, sea L [ y ] ( t ) = y " { t ) + 2 y ' { ( ) - y ( t ) .

El operador

L

asigna la función (eos/)" + 2(cos/)' —cos/ = —2 eos/ —2sen/

a la función eo s/, y la función (sen/)" + 2(sen/)' —sen/ = 2 co s/ —2sen/ a la función sen /. Por lo tanto,

L

asigna la función

( - 2 eos / - 2sen/) + 2 eos / —2sen/ = - 4sen/ a la función sen / + eos /. D E F IN IC IO N . Un operador L que asigna funciones a otras funciones y que satisface las Propiedades l y 2 se llama operador lineal. Todos los demás ope­ radores son no lineales. Un ejemplo de un operador no lineal es ^ [

t

](0 =

t

" ( 0 - 2 / [ > ' ( 0 ] 4-

Este operador asigna la función

a la función 1//, y la función 2

\ i ) a la función L [ c y )

*

c/t.

\ ti

Por lo tanto, como

c

2 c4

_ 2 c(l —c3) P

P

P

c

¿ 0, 1, y

y (t)

=

l/í,

puede verse que

c L [ y \ .

La utilidad de las Propiedades 1 y 2 se basa en la observación de que las soluciones de la ecuación diferencial (3) son exactamente las funciones y para las cuales se cumple

y (t)

L [ y ] { t ) = y " { t ) + p { t ) y ' { t ) + q { t ) y { t ) ^ Q .

En otras palabras, las soluciones y ( í ) de (3) son exactam ente las funciones >> a las que el operador L asigna la función cero*. Por lo tanto, si y ( t ) es una solución de (3), entonces cy(/) tam bién lo es, ya que L [c y ](/) = c E [ > ] ( /) = 0. Si T i(0 y ^2(0 son soluciones de (3), entonces jq (/) + y2Í0 tam bién es una solución de (3), ya que L [ y \ + T 2 ](0 = ^ [> ’i ] ( 0 + ¿ [ > ,2 ](') = 0 + 0 = 0. * La función cero es la función cuyo valor en todo tiempo t es cero.

128

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Al com binar las Propiedades 1 y 2, se ve que todas las combinaciones lineales c i y i ( 0 + c2y 2(t) de las soluciones de (3) son tam bién soluciones de (3). El razonam iento anterior m uestra que pueden utilizarse las dos soluciones conoci­ das y |(0 y y 2(t) de (3) para generar una infinidad de otras soluciones. Esta afirm a­ ción tiene algunas implicaciones muy interesantes. Considérese por ejemplo la siguiente ecuación diferencial

v, (/) = eos /, y y 2(t) = sen (/) son dos soluciones de (5). Por lo tanto, y { t ) — c, cos/ + c2sen/

( 6)

es también una solución de (5) para dos constantes cualesquiera c, y c2. A hora bien, la ecuación (6) contiene dos constantes arbitrarias, por lo que es fácil suponer que la expresión (6) representa la solución general de (5), es decir, que toda solución y(t) de (5) debe ser del tipo (6). De hecho, este es el caso, como se verá a continuación. Sea y(t) cualquier solución de (5). Por el teorem a de existencia y unicidad, y(t) existe para toda t. Sea y(0) = y Q, .y'(O) = y'0, y considérese la función
ci >'i ( 0

+ c2>'2(/)

(7)

es también una solución de (3). La pregunta es si la expresión (7) representa la solución general de (3). Es decir, si toda solución y(t) de (3) tiene la forma (7). El siguiente teore­ ma da la respuesta.

diferente de cero en el mismo intervalo. Entonces, T ( 0 = Cl T l ( 0 + C 2>'2(0 es la solución general de (3).

129

2.1 • Propiedades algebraicas de las soluciones

D e m o s t r a c ió n . Sea y ( t ) cualquier solución de (3). Se necesita encontrar las cons­ tantes C] y c2 tales que >>(0 = c xy f t ) + c 2 y 2 ( t ) . P ara ello, elíjase un tiempo t 0 en el intervalo (a , ( 3 ) y denótese por y y ' & a los valores de .y y y ' en t = t 0 . Las constantes C[ y c2, si existen, deben satisfacer las dos ecuaciones siguientes: c i y \ ( í o) + c 2y'2( t 0) = y ,Q.

Al m ultiplicar la prim era ecuación por y 2(í0), la segunda por y 2(t0) y restándolas lue­ go se obtiene c \ [ y y i M - y \ ( h ) y 2 ^ 0) ] = y Qy 2(tQ) - y Qy2{tQ). De manera similar, si se multiplica la primera ecuación por.yí(/0), la segunda p o r 7 ,(/0) y se restan resulta

Por lo tanto,

c2[ y\ ( ‘o)yi (to)-yÁ ^y'i ( O

] By0y\ ( 'o) -yby i ( 'o)-

y o y i { to)~ y o y i i h )

_

y i {h)yi{h) ~ y

y

i (^0)^2 (*o)

yb y M -y o y 'A h ) y A h ) y i { h ) ~ y \ { tQ) y i { to)

S¡ y i W y f t o ) - y\ (í o)y 2 Íh) *

0.

A hora bien, sea

para esta elección de las constantes c { y c2. Se sabe que 0(r) satisface a (3) ya que es una com binación lineal de las soluciones de (3). Más aún, por construcción se tiene que 0(¿o) = yo Y - y'o- Así pues, y(t) y 0 (0 satisfacen la misma ecuación lineal hom ogénea de segundo orden y las mismas condiciones iniciales. P or lo tanto, por el enunciado de unicidad del Teorem a 1, >>(0 debe ser idéntica a 0 ( 0 , es decir, y ( t ) sac i y \ ( t ) + c2y 2(t),

ct
□

El Teorem a 2 es muy útil ya que reduce el problem a de encontrar todas las solucio­ nes de (3), que son una infinidad, al problem a más sencillo de encontrar solamente dos soluciones y f t ) , ^ (O - La única condición que se impone a las soluciones y f t ) y y 2(t) es que la cantidad y x(t)y'2(t) - y \ ( t ) y 2(t) no sea igual a cero para a < t < /3. En este caso, se dice que_yf (0 y y-ff ) constituyen un conjunto fun da ment al de soluciones de (3), ya que todas las demás soluciones de (3) pueden obtenerse a partir de combinacio­ nes lineales de y f t ) y y 2(t).

DEFINICION. La cantidad y¡ (t)y'2(t ) - y \(t)y2(l ) se denom ina wronskiano de y { y y 2, y se denota por W(t) = W [ y x, y 2\(t). El Teorem a 2 requiere que W[y¡, y 2](t) no sea igual a cero en todos los puntos del intervalo ( a , ( 3 ) . De hecho, como se verá a continuación, el wrons­ kiano de cualesquiera dos soluciones y x(t), y 2(t) de (3) es idéntico a cero o nun­ ca igual a cero.

13ff

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Te o r e m a 3.

Sean p(t ) y q{t) continuas en el intervalo a < t < ¡3, y sean y i(0 Y 72(0 dos soluciones de (3). Entonces, W [ y {, y 2](t) es idéntico a cero, o bien, nunca es igual a cero en el intervalo a < t < fi. El Teorem a 3 se dem ostrará con la ayuda del lema siguiente.

Lema 1 . Sean y¡ (t) y y 2(t) dos soluciones de la ecuación diferencial lineal y " + p( t) y' + q(t)y = 0. Entonces, el wronskiano W ( t ) = W [ y x, y2] ( t ) = y x{t)y'2( t ) - y \ { t ) y 1{t) satisface la siguiente ecuación diferencial de primer orden W ' + p ( t ) t V = 0.

D e m o s t r a c i ó n . Obsérvese que ^ ( O - i i y ^ - y M ~ y 1y 2 + 7 Í 72 ~ y \ y'i ~ y ¡y 2 = 7 i 72 —7 í> 2Como y x y y 2 son soluciones de y " + p ( t ) y ’ + q(t)y = 0, se sabe que 72 = - P { t ) y ' 2- q { t ) y 2

y

7Í' = - p { t ) y \ - q { t ) y x.

Por lo tanto, W ' { t ) = y x[ - p {t )y' 2- q { t ) y 2\ - y 2[ - p ( t ) y \ - q { t ) y x] = - / > ( 0 [ 7 i 7 2 - 7 ' i 72] = -p(t)W (t).

□

A hora es posible presentar una dem ostración sencilla del Teorema 3. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3. Elíjase algún t0 en el intervalo (a, j8 ). Del Lema 1 se deduce que ^ [ 7 i.7 2 ]( 0 “

7i»72] ( ío)exp | —f '

A hora bien, exp | —£ p ( s ) d s ^ e s diferente de cero para a < t < (3. P or lo tanto, W [ y x, y 2\(t) es idéntico a cero o nunca igual a cero. La situación más simple en la que el wronskiano de dos funciones y¡ (t), y 2(t) es idéntico a cero se presenta cuando una de las dos funciones es idéntico a cero. De manera

2.1 • Propiedades aígebraícas de tas soluciones más géneral, el wronskiano de dos funciones y[{t), y 2(t) es idéntica a cero si una de las funciones es un m últiplo de la otra. Por ejemplo, si y 2 = cy ( , entonces

Recíprocam ente, supóngase que el wronskiano de dos soluciones y ,(/), y 2(t) de (3) es idéntico a cero. Entonces, una de las soluciones debe ser un múltiplo de la otra, como se verá a continuación.

TEOREMA 4.

Sean y¡ (t) y y 2(t) dos soluciones de (3) en el intervalo a < t < ¡3 y supóngase que W \ y ¡ , _y2](/0) = 0 Para alguna tQ en el intervalo. Entonces una de las soluciones es un múltiplo de la otra.

DEM OSTRACION 1. Supóngase que W [ y x, y 2](t0) = 0. Entonces, las ecuaciones

c i>,i(^o) + c2>'2(ío) = 0

c i y i ( lo) +

c2y 2 ( *o)=

o

tienen una solución no trivial c l5 c2; es decir, una solución q , c2 con |C]| + |c 2| + 0. Sea y(t) = c¡y¡ (t) + c2y 2{t) para esta elección de constantes c {, c2. Se sabe q u e>>(/) es una solución de (3), ya que es una com binación lineal d e y ^ t ) y y 2(t). Más aún, por construcción, y { t Q) = 0 y y ' { t 0) — 0. Por lo tanto, por el Teorem a 1, y(t) es idénti­ co a cero, así que

a
+

Si c¡ ? 0, entonces y t (t) = - ( c 2/ c })y2(t), y si c2 ^ 0, entonces y 2(t) = - ( c¡ /c2)y¡(t). En cualquier caso, una de estas soluciones es un múltiplo constante de la otra.

0. Entonces, por el Teorema 3 W [ y i, y 2] es idéntico a cero. Supóngase que y l (t)y2(t) ^ 0 para a < t < /3. Enton­ ces dividiendo am bos lados de la ecuación DEM OSTRACIÓN 2. Supóngase que W [ y x, ,y2](/o) =

-Vi (0-V2 ( 0 —^ 1 ( O-V2 ( 0 = 0 entre y\ {t )y2{t) se obtiene ^ 2 (0

yAO

Esta ecuación implica que y^{t) = cy2(t) para una constante c. A hora supóngase que y i ( t ) y 2(t) es igual a cero en algún punto t = t* en el inter­ valo a < t < {3. Sin que haya problemas puede suponerse que.y ,^* ) = 0, ya q u e ^ y y 2 pueden expresarse de otra manera. En ese caso se puede dem ostrar fácilmente (véa­ se el Ejercicio 19) q u e y x(t) = 0, o bien.y2(/) = [ yi (t *)/ y\ (t *) ]y{(t). Con esto finaliza la dem ostración del Teorem a 4. □

DEFINICION. Se dice que las funciones _y¡(/) y y 2{t) son linealmente depen­ dientes en el intervalo I si una de estas funciones es un múltiplo constante de la o tra en I. Se dice que las funciones yi(t) y y 2(t) son linealmente indepen­ dientes en el intervalo I si no son linealmente dependientes en I.

132

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

C o r o l a r io del t e o r e m a 4. Dos soluciones y x(t) y y 2{t) de (3) son linealmente independientes en el intervalo a. < t < (i si y sólo si el wronskiano no es igual a cero en el intervalo. A s í pues, dos soluciones y x{t) y v2(t) consti­ tuyen un conjunto fun da men ta l de soluciones de (3) en el intervalo a < t < fi si y solamente si son linealmente independientes en este intervalo.

EJERCICIOS 1. Sea L [>>](/) = y" (t ) - 3ty'(t) + 3y(t). Calcule (a) L{et), (b) L[cosV I /], (c) L(2é>' + 4 c o s V3 /], (d) L [ ( \ (e) L [ 5 t 2], (0 L[t), (g) L [ t 2 + 3t]. 2. Sea

(a) L [ e ‘i (e) L\¡),

= y" (t ) = 6y ’(t) + 5y(t). Calcule (b) L [ e 2‘\, (f) L [ t \

(c) Z.[e3'), (g) L[rJ + 2/].

(d) L \ e " \ ,

3. Demuestre que el operador L definido por £ [.y ](0 = f ‘s2y(s)ds es lineal; es decir, L[ cy] = cL[y] y L [ y x + y 2] = L [ y x\ + L [ y 2\. 4. Sea L[y](t) = y " ( t ) + p { t ) y \ t ) + q(t)y(t), y suponga que L [ t 2] = t + 1 y L[t] = 2t + 2. Demuestre que y[t] = t - 2 t 2 es una solución de y " + p(t )y ' + qU)y = 0. 5. (a) Demuestre que .>>](/) = 4t y v2(0 = rencial

son soluciones de la ecuación dife­

2t2y" + 3ty' —y —0

(*)

en el intervalo 0 < / < °°. (b) Evalúe W { y x, y 2]t. ¿Qué ocurre cuando t tiende a cero? (c) Demuestre q u e ^ í O y y 2(t) constituyen un conjunto fundam ental de solucio­ nes de (*) en el intervalo 0 < t < (d) Resuelva el problema de valor inicial 2 t 2y " + 3ty - y = 0; j^(l) = 2 , / ( l ) = 1. 6. (a) Pruebe q u e jq íO = e- 'v2 y y 2{f) =>e~‘2/2j ^ ^ d s son soluciones de >'" + ry'+>' = 0

(*)

en el intervalo < t < °°. (b) Evalúe W [ y x, y 2](t). (c) Pruebe que y¡ y y 2 constituyen un conjunto fundam ental de soluciones de (*) en el intervalo < / < °o. (d) Resuelva el problem a de valor inicial y " + ty' + y = 0; v(0) = 0, / ( 0 ) = 1. 7. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones (a) sen at, eos bt

(b)

sen2/, 1 - eos 2/

2.1 • Propiedades algebraicas de las soluciones (c) e al, e bt

(d) e at, tea‘

(e) t, t nt

133 (0 e at sen bt, e al eos bt

8. Sean y x(t) y y 2(t) soluciones de (3) en el intervalo < t < 00 con ^(O ) = 3, y \ ( 0 ) = 1, ^ 2(0) = 1, y ^ 2(0) = Vi. Demuestre q u e y¡(t) y y 2(t) son linealmente dependientes en el intervalo
=

yo,

y

y \ k ) = y'o-

10. Demuestre q u e ^ íO = t 2 no puede ser una solución de (3) si las funciones p(t) y q(t) son continuas en / = 0. 11. Sean .^(O = t 1, y y 2(t) = / | / | . (a) Pruebe q u e ^ ! y y 2 son linealmente dependientes en el intervalo 0 < i < 1. (b) P ru eb e que y x y y 2 son linealm ente independientes en el intervalo - 1 < / < 1. (c) Demuestre que W [ y x, y 2]{t) es idéntico a cero. (d) Demuestre que y¡ y y 2 nunca pueden ser dos soluciones de (3) en el intervalo —1 < / < 1 si tanto p como q son continuas en dicho intervalo. 12. Supóngase q u e ^ j y y 2 son linealmente independientes en el intervalo I. Demues­ tre que Z\ = y x + y 2 y z 2 = y x - y 2 son también linealmente independientes en I. 13. Sean y¡ y y 2 soluciones de la ecuación de Bessel í2y " + ty' + (í2- n 2)y = 0

en el intervalo 0 < / < °°, con O btenga W [y ¡, y 2\(t)-

(1) = 1, .y j(l) = 0, j^ O ) = 0 y ^ ^ (l) = 1.

14. Suponga que el w ronskiano de cualesquiera dos soluciones de (3) es constante con respecto al tiem po. Demuestre que p(t ) = 0. En los Problem as 15-18 suponga que p y q son continuas y que las funciones y x y y 2 son soluciones de la ecuación diferencial -V"+ / > ( ' ) / + <7(0>' = 0 en el intervalo a < t < 15. Demuestre que si y¡ y y 2 se anulan en un mismo punto del intervalo a < t < /3; entonces no pueden form ar un conjunto fundam ental de soluciones en dicho intervalo. 16. Demuestre que si y x y y 2 alcanzan un máximo o un mínimo en un mismo punto del intervalo a < t < entonces no pueden constituir un conjunto fundamental de soluciones en dicho intervalo. 17. Demuestre que si y x y y 2 form an un conjunto fundam ental de soluciones, enton­ ces no pueden tener un punto de inflexión com ún en a < t < /3, a no ser que/? y q se anulen sim ultáneam ente en dicho punto.

134

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

18. Suponga que y x y y 2 constituyen un conjunto ‘f undam ental de soluciones en el intervalo —00 < / < °°. Pruebe que hay un cero d e ^ , y sólo uno, entre ceros con­ secutivos de y 2. Sugerencia: Derive la expresión y 2/ y , y aplique el Teorem a de Rolle. 19. Suponga que W [ y x , y 2 ] ( t * ) = 0, y además que y x ( t * ) = 0. Demuestre que, y x ( t ) = 0, o bien y 2 ( t ) = [ y ' i ( t * ) / y \ ( / *)LVi(/“ )- Sugerencia: Si W { y x , y 2 ] ( t * ) = 0 y y\{t*) - 0» entonces y 2 ( t * ) y \ ( t * ) = 0.

2 .2

E c u a c i o n e s l in e a l e s c o n

COEFICIENTES CONSTANTES

En esta sección se estudiarán ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes cons­ tantes d 2y dy L i >' ] = a - t f + b - ¿ ¡ +cy = 0

o

donde a, b y c son constantes y a ¿ 0. El Teorem a 2 de la Sección 2.1 afirm a que es necesario encontrar sólo dos soluciones linealmente independientes.^ y y 2 de (1). Todas las demás soluciones de (1) se obtienen haciendo combinaciones lineales de y x y y 2. D esafortunadam ente el Teorem a 2 no dice cómo encontrar dos soluciones de (1). Por lo tanto, se intentará proponer algo sensato. P ara ello, obsérvese que una función y(t) es solución de (1) si una constante m ultiplicada por la segunda derivada más otra cons­ tante m ultiplicada por la prim era derivada, más una tercera constante m ultiplicada por la propia función es idéntico a cero. En otras palabras, los tres términos a y " , by' y cy tienen que anularse entre sí. En general, esto sólo'ocurre si las tres funciones y(t), y ( 0 y y " ( 0 son del “ mismo tip o ” . Por ejemplo, la función y(t) = / ' no puede ser solución de (1) pues los tres térm inos 20a t 3, 5bt* y c /5 son polinomios en / de distinto grado y por lo tanto no pueden cancelarse entre sí. Por otro lado, la función y(t) = e rt, con r constante, tiene la propiedad de que tanto y'(t) como y" (t ) son múltiplos de y(t). Esto sugiere tom ar y(t) = e rt com o solución de (1). Al calcular L [ e r,} = a ( e r,y + b ( e r,y + c { e rt) — (ar2+ br+ c) ert, se ve que y(t) = e rt es una solución de (1) si y sólo si ar2 + br + c = 0.

(2)

La ecuación (2) se conoce como ecuación característica de (1) y tiene dos raíces r x y r2 que están dadas por la fórm ula cuadrática _ —b + V¿>2 —4ac r'~ 2a ’

_ —b — y / b 2- 4 a c r>~ 2a

Si b - 4ac es positiva, entonces y r2 son reales y distintos. En ese caso _y; (/) = e r'! y y i ( 0 = e r‘ son dos soluciones distintas de (1). Dichas soluciones son en verdad

135

2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

linealmente independientes (en cualquier intervalo I), puesto que e 1"2' obviamente no es múltiplo de e r'1 si r x ^ r2. (Si el lector aún no se convence de ello: calcule W [ e r'{, e r2' ] = ( r 2- r x)e ( r , + r7)[ y observe que W nunca es cero. Por lo tanto, e r'( y e r2‘ son linealmente independien­ tes en cualquier intervalo I).

Ej e m p l o

i O btener la solución general de la ecuación §

+5|

+ 4 , = 0.

(3 )

S o l u c i ó n . La ecuación característica r 2 + 5r + 4 = (r + 4)(r + 1) = 0 tiene dos raíces diferentes o, = - 4 y r2 = - 1 . Así pues, y x(t) = e~At y y 2(t) = é~l forman un conjunto fundam ental de soluciones de (3) y cualquier solución y(t) de (3) es del tipo y ( t ) = c xe - 4l + c2e ~ l para cualesquiera constantes c x, c2.

Ejem plo

2

E ncontrar la solución y(t) del problem a de valor inicial d 2y

dy

y ( 0 )= 1 ,

- l + 4 ? L - 2 y = 0-

/ ( 0) = 2.

SOLUCIÓN. La ecuación característica r 2 + 4r - 2 = 0 tiene dos raíces r ,= ^ i ± ^ H ± l = _ 2 + V6

~ 4 - V . 16_+ 8_ = _ 2 _ v g Por lo tanto, y x(t) = e r'r y y 2(0 = e ri‘ form an un conjunto fundam ental de solucio­ nes de y " -1- 4y" - 2y = 0, de modo que > .(0 = c,e< -:!* V‘ )' + c2e< -2- v 5 >' para cualquier par de constantes Cj, c2. Tales constantes c¡ y c2 se determ inan a partir de las condiciones iniciales 0 , 4- 0 2 = 1

y

( — 2+

V6

)c, + ( - 2 -

V6

) c 2 = 2.

De la prim era ecuación se obtiene que c2 = 1 - c ¡. Sustituyendo el valor de c2 en la segunda ecuación se obtiene ( - 2 + V 6 je, —(2 + V ó )(1 —o ,) = 2,

o bien

2 V ó c, = 4 + V ó .

136

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Por lo tanto,

c {= 2 / V ó +

c2 = 1 - c, = ¿ - 2 / V ó , y

e j e r c ic io s Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. i1. d—*y —y = n0 dt2 *

■ dly —n7 — & + y = 0n 2.> ¿6 —dt2 dt 7

- d 2y ^dy 3. —7 - 3 -r- +y = 0 dt2 dt 7

d 2y dy 4 . 3 —- + 6 - ; - + 2 y = 0 dt 2 dt 7

Resuelva cada uno de los siguientes problem as de valor inicial 5.

,(0 ) - l,/( 0 ) = 0

d 2y dy 6. 2 ^ + ^ - 1 0 y = 0; > ( l ) - 5 , / ( l ) - 2 d 2y dy ~d^ + 5 ^ ~ y ~ 0'’ d 2y dy 8* ' d ¿ ~ 6 7 ¡ + y ~ 0; ^ (2) - , « / ( 2) - 1 N ota. Al resolver los Problem as 6 y 8 observe que es tam bién una solución de la ecuación diferencial a y " + b y' + cy - 0 si ar2 + br + c = 0. Así pues, para encontrar la solución >>(0 del problem a de valor inicial a y " + by' + cy = 0; y ( t 0) = yo y y ’Uo) = y ’ot se escribe y (t) = c xe rx(t~‘¿ + c2e ri(t~t¿ y se despejan Cj y c2 a partir de las condiciones iniciales. 9.

Sea y( t) una solución del problem a de valor inicial Í Z + S ^ + ó y -O ;

y (0 )-l, / ( 0 ) - K

¿P ara qué valores de V perm anece y{t) no negativa para toda t > 0? 10. La ecuación diferencial

L[y]** t2y ” + aty' + fty = 0

(•)

se conoce com o ecuación de Euler. Obsérvese que l 2y " , ty' y y son m últiplos de t r si y = t r. Esto sugiere que y = t r es solución de (* ). Demuestre que y = í r es una solución de (*) si r 1 + (a - l)r + /S = 0. 11. Encuentre la solución general de la ecuación

t2y* + 5ty' - 5 y —0,

t>

0

137

2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 12.

Resuelva el problem a de valor inicial / y - 0 > '~ 2 y - O ;

.K l) - 0 , / ( 1 ) - 1

en el intervalo 0 < t < °°.

2 .2 .1

Raíces complejas

Si b 2 - 4ac es negativo, entonces la ecuación característica ar2 + br + c = 0 tiene raíces com plejas ‘

b + i V 4 a c —b2 2a

Sería conveniente poder decir que

'

2

— —/V 4 a c —b2 2a

y e r'J como soluciones de la ecuación diferencial

a ^ + b ^ - + c y = 0. dt1 <*

(1)

Sin em bargo, esto presenta dos dificultades serias. Por un lado, la función e rl no ha sido definida hasta ahora para r com pleja y, por el otro, aun si se tuviera éxito defi­ niendo e r,/ y e r2‘ como soluciones de valores complejos de (1), quedaría todavía el pro­ blema de encontrar dos soluciones con valores reales de (1). Prim ero se resolverá la segunda dificultad, ya que de otro modo no tendría sentido tratar de resolver la prim era. Supóngase que.y(/) = u(t) + iv(t) es una solución con valores com plejos de (1). Lo que significa, por supuesto, que a [ u"(t) + /u " (í)] + ¿>[ u'(t) + ú / ( 0 ] + c [ u ( 0 + ,ü ( 0 ] = 0.

(2)

Esta solución con valores com plejos de (1), da lugar a dos soluciones con valores rea­ les, com o se verá a continuación.

+

Lema 1 . Sea y (í) = u{t) iv(t) una solución con valores complejos de (1) con a, b y c reales. Entonces, y {(t) = u(t) y y 2(t) = v(t) son dos soluciones con valores reales de ( 1). En otras palabras, tanto la parte real como la parte imaginaria de la solución con valores complejos de ( 1) son soluciones reales de ( 1). (La parte imaginaria del número complejo a + //3 es (3. De manera simi­ lar, la parte imaginaria de la f unci ón u(t) + iv(t) es v(t).) D e m o s t r a c i ó n . De la ecuación (2) se tiene que [au"(t) + bu'(t) + c u ( t ) ] + i [av" (t ) + bv'(t) + c v ( t ) ] = 0 .

(3)

A hora bien, si un núm ero com plejo es igual a cero, entonces tanto su parte real como su parte im aginaria deben ser nulas. P or lo tanto, a u ”{t) + b u f t ) * cu(t) = 0

y

av"(t ) + bv'{t) + cv{t) —0,

y con esto concluye la dem ostración del Lema 1. El problem a de definir e rt para r complejo tam bién puede resolverse fácilmente. Sea r = a + i(3. Según la regla de los exponentes, se tiene

(4)

138

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Así pues, se necesita definir solam ente la cantidad e 1®' para P real. Para ello, recuérde­ se que

" X=1 + ;C + f í + f í + - -

(5)

La ecuación (5) tiene sentido form alm ente incluso para .v complejo. Esto sugiere hacer

< m 2

e * = \ + ; / } ,+ ^ p

( //? /)3

+ i 3 r + ....

Después, obsérvese que 1 + i/?r +

(ifr)2 — \-... = \ + ifit

P 2t 2 i p 3t 3 P 4t4 i p st 5 —--------_ + _ + _ +

p 2,2 2t 2 p« 4 ,4 t 1 - —— + —— + ... 2! 4!

T

+/

r

« 3 ,3

o 5,5

= cos pt + i sen P¡. Por lo tanto, e (a + ¡P)t _ g ate >Pt — e al ( q q S f$[ + / s e n / ? / ) .

(6 )

Volviendo a la ecuación diferencial (1) se ve que y ( t ) = e [ - b+i^ Aac~ bl ]‘/ 2a = e bt/2a^cos \ / 4 a F - ^ t / 2 a ^ i s e n V 4 a c - b ^ t / 2 a j es una solución con valores com plejos de (1) si b 2 - 4ac es negativo. Por lo tanto, por el Lema 1 se tiene que y x{t) — e b,/2aeos Pt

y

>,2 (0 = e 6,/2asén pt,

P=

^ ac ^ 2a

son dos soluciones con valores reales de 1. Las dos funciones son linealmente indepen­ dientes en cualquier intervalo /, ya que su wronskiano (véase el Ejercicio 10) nunca es igual a cero. Por lo tanto, la solución general de (1) para b 2 ~ 4ac < 0 es y ( t ) — e ~ bt/2a[ c xco spt + c2sen/fr],

O b s e rv a c ió n

1.

P= —

^

En sentido riguroso, debe verificarse que la fórmula 4 - e rt = rert dt

también es válida para r com plejo, antes de poder afirm ar que e r'‘ y e r- son solucio­ nes con valores complejos de (1). P ara ello, calcúlese j L e (a +ip)t= j L e al[ Co s p t + /sen/Sr] = e a/[(acosy8r - PsenPt) + i(asenPt + yScosySr)]

2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

139

y esto es igual a (a + i(3)e{'ct +‘íi)l, ya que ( a + //?)e(a + ,/3)' = (a + i/3 ) e a‘[eos¡3t + isen/3t] = e a'[ ( a eos fit — fisenfit)+ /(asen/fr + /?cos/fr)]. Así pues, (d / d t ) e rí = rerl, incluso para r compleja. O b s e r v a c i ó n 2 . A prim era vista podría pensarse que er- daría lugar a dos solu­ ciones más de (1). Sin em bargo, tal no es el caso, ya que

£= V 4ac-b2J2a

er,t=e-(b/2a),e-ip,^

_ e - b,/ 2a[cos( - fit) + /s e n (- /?r)] = e ~ b,/2a[cos fit — /sen/3r]. Por lo tanto, R e{e''JÍ} = e ~ bl/2a eos j3t = y {(t)

y

Im { e r2' } = —e ~ b,/2asen/3t = —y 2(t)-

Eje m p l o i Encontrar dos soluciones con valores reales y linealmente independien­ tes de la ecuación diferencial d 2y

4^

dy

+ 4f

+s' - a

(7)

SOLUCIÓN. La ecuación característica 4r 2 + Ar + 5 = 0 tiene raíces complejas r x = - V i + / y r2 = —Vi - i. Por lo tanto, 1/ 2+ 0' —e ~ '/2cos t + i e~ l/'2sent

e r,t =

es una solución con valores complejos de (7). Por ello, con base en el Lema 1 R e{e'', í } = e ~ ,/2cost

y

Im { e/’1' } = e _,/2sent

son dos soluciones con valores reales, linealmente independientes de (7).

Ej e m p l o 2

Encontrar la solución y(t) del problem a de valor inicial d 2y

—

dt2

dy

+2-r

dt

+ 4y = 0;

> '(0 )= 1, / ( 0 ) = 1 .

SOLUCIÓN. La ecuación característica r 2 + 2r + 4 - 0 tiene raíces complejas r { = -1 + y¡3i y r2 = -1 - V3/. P or lo tanto, e r>'= e( ~ 1+ ^3 •)'= e - ' c o s V 3 t + i e~ 'sen V J t es una solución con valores complejos de .y" + 2y ' + 4y = 0. Por lo tanto, con base en el Lema 1, tanto R e{e'',í } = e - 'cos V J t como Im {e'v } = e~ 'sén V3 /

140

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

son soluciones con valores reales y, como consecuencia, y ( t ) = e '[ c , eos V 3 t + c2sin V 3 t ] para cualquier par de constantes q , c2. Las constantes C] y c2 se determ inan a partir de las condiciones iniciales l =_y(0) = c,

y

i = y ( 0 ) = —Cj + V3 c2.

Esto implica que c, = l,c 2 =

V3

y

y(t) = *

'

eos V3 t H

•y V3

senV3 t

EJERCICIOS Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones: í ^ + £ +, - 0 3.

di1

dt

dt2

dt

'

+ 3 ,-0 '

2 .2 4 + 3 £ + 4 ,- 0 di2

dt

4. 4 ^ - % dt2

dt

+y - 0

Resuelva cada uno de los siguientes problem as de valor inicial 5.

d 2y dy ^ í + ^ + 2 > -0 ;

<• ^ + 2 ^ + 5 y - 0 ; 7.

J'(O)* 1, .y'(0)= —2

y ( 0 ) = 0 ,/ ( 0 ) - 2

Suponga que ¿>2 - 4ac < 0. Demuestre que y i (/) “ e( “ í,/ 2fl)ú ~ '<>)eos f$(t —t0)

y .y2(/) = <'-'o>seny8(/-/0),

=

son soluciones de (1) para todo núm ero t0. Resuelva cada uno de los siguientes problem as de valor inicial. d 2y dy 8. 2 ¿ - - Í :+ 3 >'“ 0; ^ ( 0 - L / ( ! ) - ! 9. 3 ^ - 2 ^ + 4 , - 0 ;

10.

^ ( 2 ) - l , / ( 2 ) ----- 1

Verifique que W[ea‘cosfit, e a,senfit]-/He2*1.

141

2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

11. Demuestre que e ‘wt es una solución con valores complejos de la ecuación diferen­ cial y " + w 2y = 0. Encuentre dos soluciones con valores reales. 12.

Demuestre que (eos / + /s e n /)'- = cos/7 + / sen rt. Use este resultado para obte­ ner las fórmulas para el doble de un ángulo sen 2/ = 2 s e n / e o s / y eos 2/ = eos2 / - sen2 /.

13. Demuestre que (e o s /, + i sen /,) ( c o s /2 + /sen /2) = c o s ( /( + /2) + / se n (/, + t2).

Use este resultado para obtener las siguientes igualdades trigonométricas. c o s (/| + / 2) = c o s / ,c o s /2 —s e n /,s e n /2, s e n ( /| + / 2) = s e n / ,c o s /2 + c o s / ,s e n / 2. 14.

Demuestre que todo número complejo a + ib puede escribirse en la forma A e ' e, donde A = y/a2 + b 2 y tan 6 - b/a.

15.

Defina las dos posibles raíces cuadradas de un número complejo A e ,e como ± S Á e'e/2 y calcule las raíces cuadradas de /', 1 + /, - / , '/T.

16.

Aplique el Ejercicio 14 para encontrar las tres raíces cúbicas de /.

17.

(a) Sea r x = X + //x una raíz compleja de r 2 + (ct - l)r + /3 = 0. Demuestre que ( \ +
n jn i

4. ¡ s e n u In /]

es una solución con valores complejos de la ecuación de Euler

(b)

Demuestre que / xc o s/¿ ln / y / xsen /¿ln / son soluciones con valores reales de (*)•

Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. , d 2y

dy

dt2

di

18.

/2— - + t ~

+ y = 0,

19.

, d 2y dy t 2~ + 2 / - f + 2 ^ = 0. dt2 dt

t >0 /> 0

2.2.2 Raíces iguales; reducción de orden Si ¿r = 4ac, entonces la ecuación característica ar2 + br + c = 0 tiene raíces reales iguales r { = r2 = - b / 2 a . En este caso se obtiene solamente una solución y Á t ) = c - h' ^ de la ecuación diferencial

142

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

El problema es encontrar una segunda solución que sea independiente d e ^ j . Una mane­ ra de abordar este problem a es proponer alguna otra solución. O tro m odo, quizá más sensato, es utilizar la solución conocida y i(r) para tratar de hallar una segunda solu­ ción independiente. De manera más general, supóngase que se tiene una solución y = ^[(r) de la ecuación lineal de segundo orden d 2v

dy

:2)

La pregunta es si es posible utilizar esta solución para encontrar una segunda solución independiente. La respuesta es sí. Una vez que se conoce una solución y = y¡(t) de (2), puede reducirse el problem a de encontrar todas las soluciones de (2) al de resolver una ecuación lineal homogénea de primer orden. Esto se logra definiendo una nueva variable dependiente v por medio de la sustitución Entonces

dy

dt2

Por lo tanto,

= V

= L'

d 2y x

:—

dr

dy{

+.V

dv

dü&± d 2v h 2 —~ —j i — Py | dt dt dt2

d 2y i t ^ d v dy i d 2v , dy i r- + 2 — + y ,— - +p(t) v ~dF dt2 dt dt ' ' d t2 d 2v dr

= > 'lT T + d 2v + ~y\~7i + d t2

dy i

+/>(')>' i dt

dy i

2~¿¡- +p(<)yi

dv yxTt

d 2y

+ q(t)vy] +) y ,

dv dt ’

ya q u e >»,(/) es una solución de L[ y] = 0. Por ello, y{t) - y\(t)v{t) es solución de (2) si v satisface la ecuación diferencial dv, d 2c _u > 'i 7 T + 2 - ¿ + p ( ‘) y dt 2

dv dt

=

0.

(3)

Ahora obsérvese que la ecuación (3) es realmente una ecuación lineal de prim er orden para d v/ dt . Su solución es r dv — = cexp / dt

~

/i(0 yi( 0

= «xp(-/p(0<*)exp cexp( - f p ( O d ' ) yf(')

dt

(4)

143

2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

Ya que se necesita solamente una solución v(í) de (3), se tom a c = 1 en (4). Al integrar la ecuación con respecto a í y hacer que la constante de integración sea igual a cero, se obtiene que v(t) = j u { t ) d t ,

donde exp

“ ( ') =

TT\ yw)

•

(5)

Por lo tanto, > ' 2 ( 0 = ü ( 0 > ’ i ( 0 = > ' i ( 0 f “(0 dt

(6)

es una segunda solución de (2). Esta solución es independiente de y¡, porque si y 2(t) fuera un m últiplo de y\(t), entonces v(r) sería constante y, por lo tanto, su derivada sería igual a cero. Sin em bargo, de (4) se tiene que de

exp

/ P(Odt)

di

y}(t)

y esta cantidad nunca se anula.

O b s e rv a c ió n

1.

Al escribir v(t) = J u ( t ) d t se está tom ando la constante de inte­

gración igual a cero. Si se elige una constante diferente de cero sólo se le suma a y 2(t) un m últiplo de y\(t). De la misma m anera, elegir una constante diferente de uno en la ecuación (4) tendría como efecto m ultiplicar y 2(t) por c. O b s e r v a c i ó n 2 . El m étodo que acaba de presentarse para resolver la ecuación (2) se conoce com o m étodo de reducción de orden, ya que la sustitución, y(t) = y\(t)v(t) reduce el problem a de resolver la ecuación de segundo orden (2) al de resolver una ecua­ ción de primer orden. Aplicación al caso de raíces iguales: En el caso de raíces iguales se encontró que y¡ {t) = e ~bt/2a es una soiución de la ecuación d 2y dy ^ a — - + b — + cy —0. dt2 dt

(7)

Puede encontrarse una segunda solución a partir de lasecuaciones (5) y (6). Sin em bar­ go, es im portante resaltar que las ecuaciones (5) y (6) se obtuvieron bajo la suposición de que la ecuación diferencial estaba escrita en la form a d^y

dy

es decir, el coeficiente de y " es uno. En la ecuación (7) el coeficiente de y " es a. Por ello, se necesita dividir la ecuación entre a para obtener la ecuación equivalente

d2y , b dy

c

144

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

A hora, es posible sustituir p(t) = b / a en (5) para obtener

« ( ') =

exp( - / ! A)

----------------------

r e -t
= —— 7*7“ = 1-

e

/a

Por lo tanto, -V2( / ) = > 'i( 0 j dt = tyx{t) es una segunda solución de (7). Las funciones y¡ (/) y y 2(,t) son en verdad linealmente independientes en el intervalo < t < °°. Por lo tanto, la solución general de (7), en el caso de raíces iguales, es y { t ) = c xe ~ b,/2a + c1t e ~ b,/la = [c , + c2t ] e ~ bí/2a

Eje m p l o

\

Encontrar la solución y(t) del problem a de valor inicial ¿ k + 4 ^ + 4 y = 0; dt2 dt

>>(0)=1, / ( 0 ) = 3.

S o lu c ió n . La ecuación característica r 2 + 4r -h 4 = (r iguales r x - r2 = -2. Por lo tanto,

+

2)2 = 0 tiene dos raíces

y ( t ) = c xe ~ 2t + c2t e ~ 2' para cualquier par de constantes Cj, c2. Las constantes q y c2 se determ inan a partir de las condiciones iniciales 1=y (0) = c x

y

Esto implica que Cj = 1 y c2 = 5, de modo

Ejem plo

2 Obtener

3 = > ',(0 )= - 2 c , + c2. que y(t) = (1

+ 5t)e~2'.

la solución y( t) delproblem a de valor inicial

(1 - ñ ^ j + 2 t ^ - - 2 y = 0; di2 at

y ( 0) = 3, / ( 0 ) = - 4

en el intervalo -1 < í < 1. SOLUCIÓN. E s evidente que >^(0 = t es una solución de la ecuación diferencial

(8 ) Se aplicará el m étodo de reducción de orden para encontrar una segunda solución y 2{t) de (8). Para ello se dividen am bos lados de (8) entre 1 - t 2 con objeto de obtener la ecuación equivalente d 2y , 2 t dy 1---------dt 2 \ - t 2 dt

2 n y =0. i_ /2

2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

145

Entonces, de (5) se tiene que

exp( - / tV ' ) “(,)=

—

M

) —

es una segunda solución de (8). Por tanto, y ( t ) = c lt - c 2(\ + t 2)

para cualquier par de constantes q , c2. (Nótese que todas las soluciones de (9) son con­ tinuas en t = ±1 aun cuando la ecuación diferencial no está definida en esos puntos. Así pues, no necesariamente resulta que las soluciones de una ecuación diferencial sean discontinuas en un punto donde la ecuación diferencial no está definida aunque muchas veces tal es el caso). Las constantes q y c2 se determ inan a partir de las condiciones iniciales 3 = y (0 )= - c 2

y

- 4 = / ( 0 ) = q.

Por lo tanto, y(t) = - 4 / + 3(1 + t 2).

Ej e r c i c io s Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. i . f y - 4 dt2

dt

+9, _ 0 *

2. 4 ^ - 1 2 ^ + 9 , - 0 dt2

dt

Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial.

3. 9 ^ + 6 ^ + > ' ” 0; / < o ) - i . / ( 0) - o d 2y dy 4- 4-j^f -4 ^-+ > > = 0; y(0) = 0 ,/( 0 ) = 3 5. Suponga que b 2 = 4ac. Demuestre que y \(t ) = e - b«-'o)/i<’

y

y 2(/) = ( /- r o ) * - 6(' _ 'o)/2a

son soluciones de (1) para cualquier t0. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. d 2y

dy

6* ~ ¿ + 2 í ¡ +y = 0' > '( 2 ) = L / ( 2 ) * - l 7.

—\ 2 ~ +4y=0] y(ir)=0, / ( t t ) = 2

146

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

8. Sean a, b y c números positivos. Pruebe que cualquier solución de la ecuación diférencial ay" + by' + cy = 0 tiende a cero cuando t tiende a infinito. 9. Aquí se presenta un método alterno y com pleto para encontrar una segunda solu­ ción y 2{t) de (1). (a) Suponga que b 2 = 4ac. Pruebe que L[ert ] = a (e r')" + b (e rl)’+ cerl = a ( r - r ,) V ' para r x = ~b/2a. (b) Demuestre que ( d / d r ) L [ e " ] = L [ ( d / d r ) e r,] = L [ i e rl ] = 2 a ( r - r i ) e rl + a t ( r - r r f e " .

(c) Concluya de (a) y (b) que L [ te ri‘) = 0. Por lo tanto y 2(0 = r e '1' es una segunda solución de (1). Use el método de reducción de orden para encontrar la solución general de las siguien­ tes ecuaciones diferenciales. 10. U.

d 2y dt 2

2 ( r + 1)

r—

—

( t 2+ 2 t - l )

dy

2

+ - r —^------->-=0 (>-,(/)=/+ 1) ( t 2 + 2t - 1)

^ - 4 ( ^ + ( 4 l J -2 )> .= 0

( ,,( /) = e '!)

12. ( l - / ; ) ^ - 2 ( ^ + 2 / = 0 ( / , « ) = ') 13. (1 + ,!) ^ - 2 ( ^ + 2 / - 0

(>•,(')=')

14.

( l - / J) ^ - 2 / ^ + 6 / = 0 •(3>,(/)-3»j -1 )

15.

(2/ + 1 ) ^ - 4 ( I + l ) ^ + 4 , = 0 O-,(<)=<+!)

*«■ 'jS +4 +('2-5 > -° ( * « - ^ ) 17. Sabiendo que la ecuación d 2y

dy

, - 2 - < 1+3 , ) £ + 3, = 0 tiene una solución de la form a e a , para cualquier constante c, encuentre la solu­ ción general. 18. (a) Demuestre que t r es una solución de la ecuación de Euler

t2y " +
f> 0

si r2+ ( a —l)r + /?“ 0. (b) Suponga que (a - l) 2 = 4/3. Use el método de reducción de orden para m os­ trar que (ln t)t(X~a)/2 es una segunda solución de la ecuación de Euler.

147

2.3 • La ecuación no hom ogénea Halle la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones.

2 .3

La e c u a c i ó n n o h o m o g é n e a

Considérese ahora la ecuación no homogénea

donde las funciones p(t), q (t ) y g(t) son continuas en un intervalo abierto a < t < ¡3. La siguiente ecuación lineal de primer orden ofrece una noción conveniente de la naturaleza de las soluciones de (l)

La solución general de esta ecuación es y { t ) = ce,2+ \ . A hora bien, obsérvese que la solución es la suma de dos términos: el primero, c e '\ es la solución general de la ecuación homogénea

Í-2 0 --0

(3)

mientras que el segundo, Vi, es solución de la ecuación no hom ogénea (2). En otras palabras, toda solución y{t) de (2) es la suma de una solución particular, \¡/(t) = Vi, con una solución ce1' de la ecuación homogénea. En el caso de las ecuaciones de segun­ do orden, com o se verá a continuación, ocurre algo similar.

Te o r e m a 5. Sean y {(t) y y 2(t) dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea

L [ y ] = Í Z + p (t^ +

q ( t) y = 0

(4)

y sea \p(t) cualquier solución particular de la ecuación no homogénea (1). Enton­ ces, toda solución y(t) de (1) debe ser de la f o r m a ■y(0 = c i> 'i(0 + c2>,2 (0 + »K0 para cualquier par de constantes c it c2. La dem ostración del Teorem a 5 se basa, sobre todo, en el lema siguiente.

LEMA La diferencia de cualesquiera dos soluciones de la ecuación no homogénea (1) es una solución de la ecuación homogénea (4).

148

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

D e m o s t r a c i ó n . Sean i¿i (0 y 0 2(O dos soluciones de (1). Por la linealidad de L se tiene que £ [ V ',- 'f c ] ( ') = q > M ( 0 - q * 2 ] ( 0 - x ( 0 - y ( ' ) - o . Por lo tanto, 0 |(O -

02(0 es

una solución de la ecuación homogénea (4).

C

A hora es posible presentar una dem ostración muy sencilla del Teorem a 5. D e m o s t r a c ió n del Te o re m a 5 . Sea y(t) una solución cualquiera de (1). Por el Lema 1 se tiene que la función 0 (/) = y ( t ) - 0(0 es una solución de la ecuación hom o­ génea (4). Sin em bargo, toda solución 0 ( 0 de la ecuación homogénea (4) es de la forma 0 (/) = c , 7 ,(/) + c2yi(t) para dos constantes cualesquiera c j , c2. Por lo tanto, > '(0 = 'i ( 0 + c2> '2 (0 + '/'(')•

□

O b s e r v a c i ó n . El Teorem a 5 es extrem adam ente útil, ya que reduce el problem a de hallar todas las soluciones de ( 1) al problem a mucho más sencillo de encontrar sola­ mente dos soluciones de la ecuación homogénea (4) y una solución de la ecuación no homogénea ( 1).

E j e m p l o 1 E ncontrar la solución general de la ecuación d 2y

(5)

S o l u c i ó n . Las funciones y {(t) = e o s/ y y 2(t) - sen / son dos soluciones linealmen­ te independientes de la ecuación hom ogénea .y” + y - 0. Más aún, 0 (/) = / es obvia­ mente una solución particular de (5). Por lo tanto, por el Teorem a 5 toda solución y{t) de (5) debe ser del tipo y ( t ) = c i cos/ + c 2sen/ + t.

Ej e m p l o orden son

2 Tres soluciones de una cierta ecuación lineal no homogénea de segundo = l

^ 2(t ) = í + e ‘

y

'M / ) = i + * + e ‘-

Obtener la solución general de la ecuación. S o l u c i ó n . Por el Lema 1, las funciones ^ 2( 0 - ^ i ( 0 = e r

y

0 3 (0 -^ 2 1 0 = 1

son soluciones de la correspondiente ecuación hom ogénea. Más aún, estas funciones son en verdad linealmente independientes. Por lo tan to , por el Teorem a 5 se tiene que toda solución y(t) de la ecuación debe ser del tipo y { t ) = c le , + c2+t .

149

2.4 • M étodo de variación de parámetros

Ej e r c i c io s 1. Tres soluciones de una cierta ecuación lineal de segundo orden no homogénea son 0 i(O “ ' 2>0 :( 0 - f 2+ *2' ^

0 j ( O “ 1 + t 2 + 2 e 2'.

Encuentre la solución general de la ecuación. 2. Tres soluciones de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea son 0 i(O = 1 + e ‘\ 0 2( O = 1 + te>1

y

03(O=(r+l)e'J+l

Halle la solución general de la ecuación. t x( t ) = 3e, + e ,\ $ l {t) = l e ‘ + e'1

y

03(/) = 5e' + e - '3+ e '\

3. Tres soluciones de una ecuación lineal de segundo orden L [y] = g(t) son

L[y] = g\

7(0)= 1, / ( 0) = 2.

Encontrar la solución del problem a de valor inicial 4. Sean a, b y c constantes positivas. Demuestre que la diferencia de dos soluciones cualesquiera de la ecuación ay" + by' + cy = g ( t )

tiende a cero cuando t tiende a infinito. 5. Sea 0 (0 una solución de la ecuación no homogénea (1), y sea 0 ( 0 una solución de la ecuación homogénea (4). Demuestre que 0 (0 + 0 (0 también es solución de (1).

2.4 M é t o d o de v a r i a c i ó n de p a r á m e t r o s En esta sección se explica un m étodo muy general para encontrar una solución particu­ lar 0 (0 de la ecuación no hom ogénea

una vez que se conocen las soluciones de la ecuación homogénea =

0 0

+ ? ( >' =

(2)

El principio básico de este m étodo es usar la inform ación que se tiene sobre las solucio­ nes de la ecuación hom ogénea para tratar de encontrar una solución de la ecuación no homogénea. Sean >^(0 y 72(0 dos soluciones linealmente independientes de la ecuación hom o­ génea (2). Se tratará de encontrar una solución particular 0 (0 de la ecuación no hom o­ génea (1) del tipo M O = u i ( 0 y t( 0 + u2( t ) y 2(t);

(3)

150

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

es decir, se intentará encontrar funciones zqíO y u2(t) tales que la combinación lineal Ui(t)y\(t) + u2(Oy2U) sea una solución de (1). A prim era vista esto podría parecer una idea mala, ya que se está cam biando el problem a de encontrar una función desconocida iJ/(t) por el problem a aparentem ente más difícil de encontrar dos funciones desconoci­ das W](0 y u2(t). Sin em bargo, si se hace la elección adecuada, será posible encontrar a u¡(t) y u2(/) com o las soluciones de dos ecuaciones muy sencillas de primer orden. Esto se hará de la siguiente m anera. Obsérvese que la ecuación diferencial (1) impone solamente una condición sobre las dos funciones desconocidas w,(r) y u2(t). Por lo tan­ to, se tiene una cierta “ libertad” para seleccionar w,(r) y u2(t). El objetivo es imponer una condición adicional sobre u x(t) y u2(t) que simplifique la expresión L [u\y{ + u2y 2] lo más posible. Al calcular j y ( ' ) = j t [ u\ y \ + u iy i] = [ Ml>'i + “2>'2] + O i > 'l + “2^2] se ve que d 2\p/dt2, y por lo tanto L [t/'j no contiene derivadas de segundo orden de u , y «2 si (4)

y \ ( t )u\ ( t ) + y 2 ( t)u2(t ) = °-

Esto sugiere im poner la condición (4) a las funciones « j(0 y u2(t). En tal caso se obtiene ¿ M - [ Ml>'í + U2>'2]/ + /J( 0 ( > i > ' i + W2>'2] + <7(0Ol>'l + U2>'2]

= u \ y \ + u2y 2+ u x[ y r; + p { t ) y \ + q { t ) y x\ + u2[ y 2 + p ( t ) y 2’ + q ( t ) y 2] = «'1/1 + u2y 2 ya que ta n to y x(t) como y 2(t) son soluciones de la ecuación homogénea L [ y ] = 0. Por lo tanto, + u2y 2 es una solución de la ecuación no homogénea (1) si u {(t) y u2(t) satisfacen a las dos ecuaciones > 'l ( 0 Wí ( 0 + > '2 ( 0 M2 ( 0 = 0 > 'i ( 0 wi ( 0 + > '2 ( 0 u2 (0 = ^ (0 M ultiplicando la prim era ecuación por y'2(t), la segunda por y 2(t) y restándolas luego se obtiene

[-^1 (O -viíO —-ví (0 -V 2 (0 ]“ í ( 0

=“ —^ (0 ^ 2 (0 *

en tanto que m ultiplicando la prim era ecuación p o r^ jíO , la segunda por y^(t) y res­ tándolas luego se tiene, \ y \ ( t ) y ,2 ( < ) - y ' \ { < ) y Á t ) } u i ( t ) = g ( t ) y x{ty Por lo tanto, ,,,

¿(O M O

2] ( 0

y

“

g(')y,(0

» ' [ y l,y! ] ( o '

Finalmente, u¡{t) y u2{t) se obtienen al integrar los miembros derechos de (5).

(5)

151

2.4 • M étodo de variación de parámetros O

b s e r v a c ió n .

La solución general de la ecuación homogénea (2) es y ( 0 = c l y l { t ) + c 2y 2{t).

Al permitir que c { y c2 varíen en el tiempo se obtiene una solución de la ecuación no homogénea. P or eso se conoce como m étodo de variación de parám etros.

Ejem plo

1

(a) E ncontrar una solución particular

de la ecuación

d 2y — +.y = ta n / dt1

(6)

en el intervalo - x / 2 < t < x /2 . (b) Hallar la solucióny(t) de (6) que satisfaga la condición inicial.y(O) = l,.y'(0) = 1. So l u c ió n . (a) Las funciones y l (/) = eos t y y 2(t) = sen(/) son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación hom ogénea y " + y = 0, con ^ 1^2 ] ( 0

i /2 " / í

^2 = (cos Ocos / -

( -se n /)sen / = 1.

Así pues, de (5) se sigue que u\ ( / ) = - tan/sen/

« 2(0 = tan reos/.

y

(7)

Integrando la prim era ecuación de (7) se obtiene u ,(/) =

—

J

tan/sen t d t = — J*sei? 1 dt eos/

eos2/ — l •dt =sen / —lnjsec / + tan /|. cos / 7r = sen / —ln(sec / + tan /), —— < / < y - /

m ientras que al integrar la segunda ecuación de (7) se obtiene w2(/) = j ta n / co s/ dt — j s e n t d t = - eos/. P or lo tanto, \p(t) = cos /[sen / - ln(sec / + tan /) ] + sen / ( —cos /) = —cos / ln(sec / + tan /) (b)

es una solución particular de (6) en el intervalo -7 r/2 < t < x /2 . Del Teorem a 5 de la Sección 2.3, se deduce que y (/) = q cos / + c2sen/ —cos / ln(sec / + tan /) p ara constantes c lt c2. Las constantes c, y c2 se determ inan a partir de las condiciones iniciales 1 = ^ (0 ) = c,

y

l = / ( 0 ) = c2- 1.

152

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Por lo tanto, C| = 1, c2 = 2 y y ( t) = eos / + 2sen/ - eos / ln(sec / + tan /).

O b s e r v a c i ó n . La ecuación (5) determ ina u x{t) y u2{t) salvo por dos constantes de integración. Éstas se consideran usualm ente iguales a cero, ya que el efecto que supone tomar constantes diferentes de cero equivale a sum ar una solución de la ecuación hom o­ génea a

EJERCICIOS Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones: .1. —

+, y - S ' CI,

7T.

77

4. ^ - 3 ^ + 2 , - „ * + l dt2 dt Resuelva cada uno de los siguientes problem as de valor inicial. 5. 3>'" + 4 /+ > ' = (sen/)e~,; y(0)= 1, y'(0) = 0 6. y" + 4y’+ 4y = ts/2e~21; y(0)=>''(0) = 0 7* y " - 3 y ' + 2y —V /+ 1 ; y (0 )= y '(0 ) = 0

8. y " - y = f { t ) \

y(0)=>-'(0) = 0

Advertencia: Al resolver los Problem as 3 y 5 es necesario recordar que la ecuación (5) se obtuvo con el supuesto de que el coeficiente de y " era igual a 1. 9. Halle dos soluciones linealm ente independientes de r y " - 2 y = 0 de la forma y(t) = t r. Use las soluciones para encontrar la solución general de t 2y " —2y - t 2. 10.

(1 + t)z es una solución de la ecuación y" + p ( t ) y ' + < i ( t ) y =o

(*)

y el wronskiano de cualesquiera dos soluciones de (*) es constante. Encuentre la solución general de y “ + p ( t ) y ’ + q( t )y =

11.

1+ /.

Obtenga la solución general de y ” + ( V*t2)y = / e o s / , / > 0, sabiendo que = vT es una solución de la ecuación hom ogénea.

153

2.5 • El m étodo de la conjetura sensata 12. Halle la solución general de la ecuación di2

1+ l2 ¿I

1+ I2

13. Demuestre que sec t + tan / es positivo para -7r/2 < t < ir/2.

2.5 El m é to d o de l a c o n j e t u r a s e n s a t a Una desventaja seria que tiene el método de variación de parám etros es que las integra­ ciones que se requieren son, con frecuencia, muy difíciles. En ciertos casos es a veces más sencillo conjeturar una solución particular. En esta sección se presentará un méto­ do sistemático para conjeturar soluciones de la ecuación d 2y dy ü ~dt2 +t>~dt

+ c y z = g ( t)

donde a, b y c son constantes, y g(í) tiene una de varias formas especiales. Prim ero se considerará la ecuación diferencial L [ y ] =za~ ^ + b ~¡¡ + O ' = tfo + fli ' + ... +a„t n.

(2)

Se busca una función \p(t) tal que sumadas las tres funciones a\p", b\j/' y c\p sean iguales a un polinom io de grado n. La elección obvia para es un polinom io de grado n. Así pues, se propone 'P(t ) = A o + A \ t + . . . + A nt n

(3)

y se calcula + H '( 0 + r f i O = a [ 2 A 2+ ... + n { n - \ ) A nt n- 2] + b [ A {+ ... + n A nt n~ l ] + c [ A 0 + A xt + ... + A nt n] — cAnt n + (cAn_ \ + nbAn) t n~ l + ... + ( c A 0+ b A , + 2a A 2) . Al igualar los coeficientes de las potencias de t iguales de la ecuación L [ ^ ] { t ) = a0+ a xt + ... +a„ tn se obtiene cAn= a n>cAn_ x4-n6An= a n_ v ...,c A 04-6A x-t-2aA.1= a 0.

(4j

La prim era ecuación determ ina A„ = an/ c , para c # 0, y luego las ecuaciones restan­ tes determ inan sucesivamente A n- i , . . . , A 0. Así pues, la ecuación (1) tiene una solu­ ción particular \¡/(t) de la form a (3), para c # 0. P ara el caso c = 0 hay problem as, ya que la prim era ecuación de (4) no tiene solu­ ción A„. Sin em bargo, esto es de esperar para c = 0, pues L[\p] = a\¡/" + b\j/' es un polinomio de grado n - 1, mientras que el lado derecho de (2) es un polinomio de gra­

154

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

do n. Para garantizar que a ^ " + b es un polinom io de grado n es necesario tom ar a \p como un polinom io de grado n + 1. Así pues, se propone (5)

^ { t ) = t [ A o + A \ t + . . . + A nt n}.

En (5) se om iten los términos constantes, ya que y = constante es una solución de la ecuación hom ogénea ay" + by' = 0, y por ello puede ser restada de \¡/(t). Los coefi­ cientes A 0, A ¡ , . . . , A n están determ inados de m anera única (Ejercicio 19) a partir de la ecuación axp " + b\p'= aQ+ £7¡/+ ... + aní n si b ¥=■0. Por últim o, el caso b = c = 0 es fácil de resolver, ya que la ecuación diferencial (2) puede integrarse directam ente para.obtener una solución particular ^(O.de la forma * (/)-

1 ¿V 1*2

n+ 2 a j___________

a\t

2-3

(n + 1)(/? + 2)

Resumen: La ecuación diferencial (2) tiene una solución \p(t) del tipo: A q+ A |/ + ... + A nt n,

c^O

\¡,(t) = l t { A 0+ A xt + . . . + A nt n), t 2( A 0 + A |/ + ... + A nt n),

Eje m p l o 1

c = 0, b ^ O . c= b=0

E ncontrar una solución particular \¡/(í) de la ecuación

d2y dy L [ y } = -¿pr + ~di - r + >’ = r ■

SOLUCIÓN. Hágase

\p(t)

( 6)

= A 0 + A xí + A l t 2 y calcúlese —2 A 2 + (A ¡ + 2 A 2t) + A 0A- A — ( A q+ A | + 2/4 2)

+ A 2t 2

{A | -\-2A2)í + A 2t 2.

Al igualar los coeficientes de potencias iguales de t en la ecuación L[\¡/](t) = t 2, se obtiene A . + 2A-, = 0 y

A 0+ A , + 2 A 2 —0.

De la prim era ecuación se sabe que A 2 = 1, de la segunda se obtiene que A x = - 2 y de la tercera ecuación se tiene que A 0 = 0. Por lo tanto, ip(r) = - 2 í + t 2 es una solución particular de (6). A hora se resolverá el mismo problem a usando el m étodo de variación de paráme­ tros. Es fácil com probar que y i ( t ) = e ~ ‘/ 2 c o s V 3 t / 2

y

y 2(t) = e ~ t/2senV3 t / 2

155

2.5 • El m étodo de lo conjetura sensata son dos soluciones de la ecuación homogénea L[y] - 0. Por lo tanto, \p(t) = u {( t ) e ~ 1/2 eos V 5 t / 2 + u2( t ) e ~ ,/2sen\Í3 t / 2 es una solución particular de (6), donde r - t 2e ~ ‘/ 2 senV3 t / 2 - 2 f -> ,/-> r~ , u, (t ) = f dt = ------- [ t e 12senV y t 2dt

y í t 2e ~ ‘/ 2 COS VT t / 2 2 C ■> , n r~ , u2( t ) = I ------- :-----------------dt = —— ( t e /2 cos V3> t 2dt. J 0 V3 ■> Estas integrales son muy difíciles de calcular. Así pues, el m étodo de la conjetura es preferible sin duda, al menos en este problem a, al m étodo de variación de parámetros. Considérese ahora la ecuación diferencial =

+ 6 ^ + O ' = (a 0+ < V + ■■■+ant n) e at.

(7)

Sería deseable poder eliminar el factor e ar del segundo miembro de (7) para reducir la ecuación a la form a (2). Esto se logra definiendo y(t) = e°“v(t), pues entonces se tie­ ne que y ' = e°“ ( v r + av)

y

y " = e at ( u " + 2 a v ' + a 2v)

de modo que L [ y ] = e°“\ a v" + (2 aa + b) o' + ( a a 2 + ba + c)v j. Por lo tanto, y ( t ) = enl v(/) es una solución de (7) si y sólo si a ^ ~ +{2aa + b ) ~ + ( a a 2 + ba -I- c)u = a0+ a xt -I-... + a nt n. dt

(8)

Al buscar una solución particular v(/) de (8) hay que distinguir entre los siguientes casos: (i) a a 2 + ba + c ¿ 0; (ii) a a 2 + ba + c = 0, pero 2aa + b ^ 0; y (iii) tanto a a 2 + ba + c = 0 como 2aa + b = 0. El primer caso significa que a no es raíz de la ecuación característica ar2 + br + c = Q.

(9)

En otras palabras eat no es solución de la ecuación homogénea L\y] = 0. La segunda condición significa que a es una raíz simple de la ecuación característi­ ca (9). Eso implica que a al es solución de la ecuación homogénea, pero te**1 no lo es. Por últim o, la tercera condición significa que a es una raíz doble de la ecuación carac­ terística (9), de modo que, tanto e at como teat, son soluciones de la ecuación homogé­ nea. Por lo tanto, la ecuación (7) tiene una solución particular ^(í) de la form a (i) \£(0 = ( A0 + • • • + A nt n)eat si e at no es solución de la ecuación homogénea; (ii) \¡/{t) = t(A0 + • • • + A nt n)eat si e at es solución de la ecuación hom ogénea, pero teal no lo es; y (iii) ^ (/) = t 2( A0 + • • • + A nt n)eat si tanto e at como te°“ son soluciones de la ecuación homogénea.

156

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

O b s e r v a c i ó n . Hay dos maneras de calcular una solución particular \¡/(t) de (7). O bien se hace la sustitución y = e n‘ v y se encuentra v(t) a partir de (8), o se conjetura una solución \p{() del tipo e al por un polinomio adecuado en t. Si a es una raíz doble de la ecuación característica (9), o si n > z, entonces es recomendable hacer y = e (*'v, y luego encontrar v(/) a partir de (8). De otro m odo se conjetura \¡/(t) directam ente.

Eje m p l o 2

E ncontrar la solución general de la ecuación —7 - 4 “T + 4y = (l + / + ... + t 21)e2‘ dt2 dt

( 10)

S o l u c i ó n . La ecuación característica r 2 - 4r + 4 = 0 tiene raíces iguales r x = r2 = 2. Por lo tanto, y x{t) = e 2í y y 2(t) = t e 21 son soluciones de la ecuación homogénea y " - 4y ' + 4y = 0. Para hallar una solución particular \¡/(t) de (10) se propone y = e~l v. Entonces se cumple necesariamente que ^ £ = 1+ , + , ! + . . . + , ^ di2 Al integrar esta ecuación dos veces e igualar las constantes de integración a cero se obtiene t, 3J t, 2‘9 + ... + 1-2 + 2-3 ' " 28-29 ‘ ,2 V

Por lo tanto, la solución general de (10) es y ( t ) = c xe 2' + c2te2' + e 2‘ -£ L + ... + - £ Ü 1-2 28-29 #29 t2 = e 2í C i + C->t + 1 - 2 .............28-29 Sería un absurdo (y un desperdicio terrible de papel) sustituir la expresión \p(t) = t 2( A 0+ A xt + ... + A 21t 21)e2‘ en (10) y después despejar los coeficientes A 0t A ¡ , . . . , A 27.

Eje m p l o 3

E ncontrar una solución particular \¡/{t) de la ecuación: d 2y dy ¿ [>’] = ^ ? _ 3 d r + 2 >, = ( 1 + ' > '•

S o l u c i ó n . En este caso e 3/ no es una solución de la ecuación hom ogénea y " 3 y + 2y = 0. Así pues, se tom a ¿(t) = (A 0 + A xt)el1. Al calcular L[\¡>](t) =

+ 2\\>

= e3í£(9/40 + 6 A j + 9 A xt) —3 { 3 A 0 + A x-\- 3A xt) -\-2( A q + A xt)^ ^ e 2t[ ( 2 A 0 + 3 A l ) + 2 A lt ]

157

2.5 • El m étodo de la conjetura sensata y cancelar el factor e 3/ de ambos lados de la ecuación ¿ | > ] ( 0 = (l + 0 * 3'< se obtiene 2A ]t -f- (2/1o + 3A | ) = l + t. Esto implica que

2 A X

= 1 y

2 A Q

+ 3/1 1

=

1. Por lo tanto,

A ¡

=

V i

i¿ (0 = (-*/4 + r/2)
,

A 0

=

-

y

Considérese por último la ecuación diferencial L [ y ] m a t Z + b É¡. + t y . (a ° + f l | / + . . . + fl, , - ) x { ^ .

( ||)

El problem a de hallar una solución particular ^(r) de (11) puede reducirse al problema más simple de encontrar una solución particular de (7). La ayuda necesaria la aporta el siguiente lema que, aunque sencillo, es extremadamente útil.

L E M A 1 . Sea y{t) = u{() + iv{t) una solución con valores complejos de la ecuación L ^y } = a ~ ¿ + b ^ t + c y = 8 ( 0 = 8 i ( t) + ig2(t )

( l2)

donde a, b y c son reales. Esto significa, por supuesto, que a[ « " (') + it>"(0] + b[ u' (i ) + iV (í)] + c [ u{l) + iv(t) ] = g , ( l ) + ig2(t). Entonces, L[u](t) = g x{t) y I[v ](/) = g2(t).

(13)

D e m o s t r a c i ó n . Al igualar las partes reales e imaginarias en (13) se obtiene au"{t) + b u ( t ) + cu(t) = g, (/)

y

av"(t) + bv'(t) + cv{t) = g2(t).

□

A hora bien, sea ó(t) = u(t) + iv(t) una solución particular de la ecuación a í f + b ^ + cy = (a0+ . . . + a „ r ) e ‘“‘.

(14)

La parte real del lado derecho de (14) es (a0 + . . . + ant n) cos ut, mientras que la ima­ ginaria es (a0 + . . . + a„tn)sen ut. Por lo tanto, por el Lema 1, u(r) = Re{<í>(r)} es una solución de ay" + by’ + cy = (a 0+ ... + ant n) cos ut

158

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

mientras que u (r) = Im{<í>(í)} es una solución de ay " + by' + cy = (a0 + ... + a/I/ ', )seno?/.

Ejem plo

a Encontrar una solución particular ip(t) de la ecuación L \ y ] ~ —7 + 4 y = s e n 2 /. L J dt 2

(15)

S o l u c i ó n . Se hallará que \p(t) es la parte im aginaria de la solución con valores com­ plejos (t) de la ecuación ¿ [ .y ] = 3 7 + 4 y =
(16)

Para ello obsérvese que la ecuación característica r 2 + 4 = 0 tiene raíces complejas r = ±2/. Por lo tanto, la ecuación (16) tiene una solución particular (t) del tipo 0 (/) = A 0t e2l!. Al calcular
y

<*>"(/) = A 0( 4 i - 4 t ) e 2“

se ve que L [ <í>] ( 0 = ”( 0 + 4<í>( 0 = 4i/4 oe2uDe aquí que A 0= 1/ 4i = - i / 4 y ó (t) = — l- j e 2“ — — ^ ( e o s 2 1+ isen2t) = -jsen2t — i-j cos2r. v 4 4 4 4 Por

lotanto, y/(0 = Im{0(O} = -(T /4 )co s2 r esuna solución particular de (15).

Eje m p l o 5

Encontrar una solución particular ip(t) de la ecuación d 2y — - +4>> = cos2/. dt2

(17)

S o l u c i ó n . A partir del Ejem plo 4 se tiene que 4>{t) = (//4)sen2r - /(r/4)cos 2t es una solución con valores com plejos de (16). Por lo tanto, \p(/) = Re{<í>(/)} = ^-sen2/ es una solución particular de (17).

Eje m p l o 6

Encontrar una solución particular y'/(t) de la ecuación d 2y dy 4y -4 + 2 4 + y ~ t e ' c os t' ^ [ y ] - ~7T dt + ^~dt dt

08)

159

2.5 • El m étodo de la conjetura sensata

S o l u c i ó n . Obsérvese que t e 1 cos t es la parte real de te(X*1)1. Por lo tanto, es posi­ ble hallar \p(t) como la parte real de una solución con valores com plejos de 0 (0 de la ecuación L [ y ] = Q - + 2 ^ - + y = te(' +‘)'. L 1 dt2 dt

(19)

Para ello, obsérvese que 1 + i no es raíz de la ecuación característica r 2 + 2r + 1 = 0. Por lo tanto, la ecuación (19) tiene una solución particular 0(/) de la forma ó (0 = (Ao + A {t)e(]+i)l. Calculando L[] = 0 " + 20' + 0 y usando la identidad (1 + i)2 + 2(1 + /) + 1 = [(1 + / ) + 1] = ( 2 + /)2 se ve que £(2 + i)2A j / + (2 + i)2A o + 2(2 + /) + j j = /. Por igualación de los coeficientes de las potencias iguales en t de la ecuación se obtiene (2 + i)1A , = 1

y

(2 + i)AQ+ 2A | = 0 .

Esto implica que A¡ = 1/(2 + i)1 y A 0 = - 2 /( 2 + O3, de modo que

0 (/) =

-2 [ ( 2 + /)3

( 2 + i)2

y después de un poco de operaciones algebraicas se encuentra que 0 (/)=

{ [ ( 1 5 /- 4 ) c o s / + (2 0 /-2 2 )se n /] + /[ (22 —20/)cos/ + (15/ —4)sent] j.

Por lo tanto, 0 (/) = Re {0( /)} = O

b s e r v a c ió n .

[ (151- 4)cos t + (20¿- 22)sen / ].

El m étodo de la conjetura sensata también se aplica a la ecuación

y-

1

(20)

donde j = 1, . . n son polinomios en t. Sea 07(O una solución particular de la ecuación

160

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN n

Entonces, \p(t) -

S i pÁt) es una solución de (20), ya que

j=i

n

n

n

Así pues, para encontrar una solución particular de la ecuación y " + y ' + y = e' + ¿sen/ se buscan soluciones particulares ^ ( 0 y

de las ecuaciones y

y" +y' +y = e ‘

y " + y ' + y = tsent

respectivamente, y después se sum an.

Ej e r c i c io s Halle una solución particular de cada una de las siguientes ecuaciones. 1.

y " + 3y = / 3 — 1

2.

y " + 4y' + 4y = te°“

3.

y " - y = t 2e'

4.

y " + y' + y = 1+ / + / 2

5.

y " + 2y' + y = e ~ '

6.

y " + 5y ' + 4y — t V

7.

y " + 4y = /sen 2/

8.

y"

9.

_ y "-2 > '' + 5>' = 2 c o s 2/

10.

y " — 2y' + 5y = 2 (co s2/) e '

11.

y " + y ' - 6y = sen/ + te1'

12.

y " + y ' + 4y = t 2 + (2/ + 3)(1 + eo s/)

13.

y " - 3 y ' + 2y = e , + e 2'

14.

y " + 2 y ’ = 1 + t 2+ e ~ 2‘

15.

y " + y = c o s /c o s 2 /

16.

y " + y = c o s /c o s 2 /c o s 3 /.

17.

(a) Demuestre que

co s 3cj/

—

6y'

+

9y = ( 3t 1 — 5t*)e3'

= ^ R e { e 3'“ ' + 3 e ‘u l }.

Sugerencia: e o s u t = ( e' “‘ + e ~ iul) / 2 . (b)

Encuentre una solución particular de la ecuación 10y" + 0.2>,' + lOOOy = 5 + 2 0 c o s3 10/

18. (a) Sea L [ y \ = y ” - Ir^y' + r \ y . M uestre que L [ e r',v { t ) ] = e r'‘v "{ t ) .

(a)

O btenga la solución general de la ecuación y " — 6y' + 9y = / 3/2e 3'.

19. Sea ip(t) = t (A0 + . .. + A nt n) y suponga que b a\p" + b\p' = a0 + . . . + ant n determine A 0, . .

0. Pruebe que la eci A n de m anera única.

2.6 • V ibraciones m ecánicas

2.6

V

161

ib r a c io n e s m e c á n ic a s

Considérese el caso de un objeto pequeño de masa m que está sujeto al extremo libre de un resorte flexible de longitud /, el cual se halla suspendido de un soporte rígido hori­ zontal (Fig. 1). (Un resorte elástico tiene la propiedad de que si es estirado o comprimi­ do una distancia A/, la cual es pequeña com parada con su longitud natural, ejerce enton­ ces una fuerza de restitución de magnitud k Al. La constante k se conoce como la constante de f uerza del resorte y es una medida de la rigidez del mismo.) Además la masa y el resorte pueden estar sumergidos en un medio, como por ejemplo aceite, el cual se opone al movimiento del cuerpo a través de él. Con frecuencia, los ingenieros se refieren a un conjunto de este tipo como sistema masa-resorte-am ortiguador, o como sistema sismom étrico, ya que es similar en principio a un instrum ento sismográfico que se usa para detectar un movimiento de la superficie terrestre.

F ig u r a

1.

Los sistemas m asa-resorte-amortiguador tienen aplicaciones muy diversas; por ejem­ plo, los am ortiguadores de los automóviles son sistemas de esta clase. La mayoría de los emplazamientos de cañones pesados contienen tales sistemas para minimizar el efecto de retroceso del arm a. La utilidad de estos dispositivos se verá más claramente después de plantear y resolver la ecuación diferencial que describe el movimiento de la masa m. Al evaluar el movimiento de m es conveniente medir las distancias desde su posi­ ción de equilibrio, y no desde el soporte horizontal. La posición de equilibrio de la masa es el punto en el cual pende en reposo si no actúan fuerzas externas sobre ella. En la citada posición, el peso mg es com pensado exactamente con la fuerza de restitución del resorte. Así pues, en su posición de equilibrio, el resorte ha sido alargado una longitud A/, donde k A/ = mg. Se denotará por .y = 0 a esta posición inicial y se tom ará como positiva la dirección hacia abajo. Se denotará por>>(z) la posición de la masa en el tiem­ po t. Para calcular y(t) se necesita la fuerza total que actúa sobre la masa m. Ésta es la suma de las cuatro fuerzas independientes W, R, D y F. (i) La fuerza W = mg es el peso de la masa y tira de ella hacia abajo. Esta fuerza es positiva, ya que la dirección hacia abajo es la dirección positiva para y. (ii) La fuerza R es la fuerza de restitución del resorte, que es proporcional al alar­ gam iento o al acortam iento Al + y del resorte. Actúa siempre para restituir la longitud natural del resorte. Si A/ + y > 0, entonces R es negativa, así que R = - k ( A l + y),

162

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

y si Al + y < 0 entonces R es positiva, de m odo que R = - k ( A l + y). De cualquier modo R = -k(M + y). (iii) La fuerza D constituye el am ortiguam iento o efecto de fricción, y la ejerce el medio sobre la masa m. (La m ayoría de los fluidos, tales como aceite, agua y aire, tien­ den a oponerse al movimiento de un objeto a través de ellos.) Esta fuerza actúa siempre en dirección opuesta a la de m ovimiento y es, con frecuencia, proporcional a la magni­ tud de la velocidad d y /d t . Si la velocidad es positiva, es decir, si la m asa se mueve en dirección hacia abajo, entonces D = —c d y/ dt , y si la velocidad es negativa, entonces D - —c d y /d t . En cualquier caso, D = —cdy / dt. (iv) La fuerza F e s la externa que se aplica sobre la masa. Esta acción se dirige hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si la fuerza es positiva o negativa. En general, tal fuerza dependerá explícitam ente del tiempo. De la segunda ley de Newton del movimiento se tiene que (Sección 1.7) d 2y m —^ = W + R + D + F dt2 dy = m g - k ( M + y ) - c — + F(t) dy = - k y - c - ^ + F(t), ya que mg = k Al. P o r lo tanto, la posición >>(0 de la masa satisface la ecuación dife­ rencial lineal de segundo orden d 2y dy m ~dP--+c j ¡ + ky = F ( 0

0)

donde m, c y k son constantes no negativas. En este caso se usará el Sistema Internacio­ nal de Unidades SI, de m odo que F se medirá en new tons, y en m etros, y t en segundos. En tal caso, la unidad de k es N /m ; la unidad de c es N • s/m y la unidad de m es el kilogramo (N • s2/m ). (a) Vibraciones libres. Se considerará prim ero el caso más sencillo de m ovim iento libre, no am ortiguado. En tal caso la ecuación (1) se reduce a d 2y d 2y m — - + ky = 0, o bien, — - + <¿ly = 0 dt2 dt2

(2)

donde uo = k / m . La solución general de (2) es >>(/) = a eos co0/ + ¿>sen Pf-ra analizar las coseno. Esto se

ío0/.

(3)

soluciones de (3) es conveniente escribir la ecuación como una función logra con ayuda del siguiente lema.

163

2.ó • Vibraciones m ecánicas LEMA 1. Toda función y(t) de la f o r m a (3) puede expresarse en la f or ma

más sencilla

y { t ) = R cos(co0/ —5) donde R =

Va 2+ b 2

(4)

y 5 = tan 1b / a .

D e m o s t r a c i ó n . Se com probará que las expresiones (3) y (4) son iguales. Para ello se calcula R cos(coQt — 8 ) = R eos cc0t eos 8 + R sen u 0t sen 8 y de la Figura 2 se tiene que R e o s 8 = a y /?sen5 = b. De m anera que R cos(u0/ — 8) = a eo su 0/ + bsenw0t.

□

b

F ig u ra

a

2.

En la Figura 3 se gráfico la función y = Rcos(\ptít - 8). Hay que notar que y{t) siempre está entre —R y + /?, y que el movimiento de la masa es periódico (se repite en cualquier intervalo de m agnitud I tt/ üjq). Este fenómeno es conocido como movi­ miento armónico si mpl e; R se denom ina amplitud del movimiento; 8 es el ángulo de f ase del movimiento, T0 = 2-k/ wq es el período natural del movimiento y u 0 = -4k/m es la frecuencia natural del sistema. (b) Vibraciones libres amortiguadas. Si se incluye el efecto de am ortiguam iento, entonces la ecuación diferencial que descri­ be el movimiento de la masa es

( 5) Las raíces de la ecuación característica m r 2 + cr + k = 0 son

—c+ Vc 2—Akm

y

—c — V c 2 —Akm r2 = ---------- ^ ---------

164

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN y

2lj/ %

R t

-R F ig u r a

3 . Gráfica de y(t) = R cos(oo0/ - 5)

Así pues, hay tres casos que considerar, dependiendo de si c 2 - 4k m es positivo, negativo o igual a cero. (i) c 2 - 4km > 0. En este caso, tanto r { como r2 son negativos y toda solución y(t) de (5) tiene la forma y ( t ) = a er'‘ + be rC (ii) o2 - 4km = 0. En este caso, toda solución y(() de (5) es del tipo y ( t ) = (a + b t )e ~cl/2m. (iii) c 2 - 4k m < 0. En este caso, toda solución y(t) de (5) es del tipo

Los primeros dos casos se conocen como sobreamortiguamiento y críticamente amor­ tiguado, respectivamente, y representan movimientos en los cuales la masa, en una posi­ ción diferente de la de equilibrio, regresa lentam ente a ella. Dependiendo de las condi­ ciones iniciales, es posible pasar una vez por la posición de equilibrio, pero no en más de una ocasión (Ejercicios 2 y 3). El tercer caso, que se conoce como movimiento subamortiguaclo, ocurre con frecuencia en sistemas mecánicos y corresponde a una vibra­ ción am ortiguada. Con objeto de considerar esto, se aplica el Lema 1 para escribir la función y(t)~ e

c'//2m[acoSjiií + ¿>sen/ií]

en la forma y { t ) = R e - ct/2mc o s ( ( x t - S ) . El desplazamiento y oscila entre las curvas y = ±Re~a/lm, y representa una curva cose­ no con am plitud decreciente, com o se ve en la Figura 4. Ahora bien, obsérvese que el movimiento de la masa siempre tiende a decrecer si existe am ortiguam iento en el sistema. En otras palabras, cualquier perturbación inicial

165

2.6 • Vibraciones m ecánicas y v

t

FIGURA 4. G ráfica de Re cl/2ml eos (^ r - 5)

del sistema se disipa debido al térm ino de am ortiguam iento en el sistema. Ésta es la razón por la que los sistemas m asa-resorte-am ortiguador son tan útiles en los sistemas mecánicos; pueden servir para am ortiguar cualquier perturbación indeseable. Por ejem­ plo, el golpe que se transm ite a un automóvil debido a una irregularidad del camino es am inorado por los am ortiguadores del vehículo, y el ímpetu del retroceso del cañón de un arm a se disipa m ediante un sistema m asa-resorte-am ortiguador incorporado al dispositivo. (c) Vibraciones forzadas amortiguadas. Si ahora se introduce una fuerza externa F(t) = F0co sut , entonces la ecuación dife­ rencial que regula el movimiento de la masa es d 2y áy m — - + c —Hky — Fncosu)t. dt2 dt

( 6)

Con el m étodo de la conjetura sensata, es posible obtener una solución particular \J/(t) de (6) de la forma

( k — mu)2)2 + c2u)2

[ (k — m u 2) cos ío/ + cwsenw/j

f'o ( k — m u 2)2 + c2u)2 F0cos(u)t —ó )

( 7)

166

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

donde tañ ó = coj(k — mor). Por lo tanto, toda solución y(t) de (6) debe ser del tipo >'(O = 0(O + 'K 0 - 0 ( 0 +

F0cos(u>¡ — 8)

( 8)

donde 0 ( 0 es una solución de la ecuación hom ogénea

(9) Sin embargo, se ha visto que la solución 0 (0 de (9) tiende a cero cuando / tiende a infi­ nito. Así pues, para t grande, la ecuacióny(t) - \J/(t) describe con alta precisión la posi­ ción de la masa m, independientemente de su velocidad y posición iniciales. Por tal razón se denom ina a 0 (0 la parte estacionaria de la solución (8), mientras que 0 ( 0 es conoci­ da como la parte transitoria de la solución. (d) Vibraciones libres forzadas. A hora se considerará el caso sin am ortiguam iento y con una fuerza externa que es perió­ dica y tiene la form a F ( t ) = F 0 cos oj í (vibración libre forzada). En este caso, la ecua­ ción diferencial que describe el movimiento de la masa m es

( 10) El caso o) i* < júq no tiene interés; toda solución de y ( t) de (10) tiene la form a

y es, por tanto, la suma de dos funciones periódicas con periodos distintos. Se expone un caso interesante cuando o> = cj0; es decir, cuando la frecuencia u de la fuerza exter­ na es igual a la frecuencia natural del sistema. Este caso se conoce como el de resonan­ cia, y la ecuación diferencial del movimiento si la masa es m es: d 2y dt2

+

2 F0 COnV = ----- C O S lOnt. ™

(11)

Se encontrará una solución particular 0 (0 de (11) com o la parte real de una solución con valores com plejos 0 ( 0 de la ecuación

( 12) Dado que e lu°{ es una solución de la ecuación homogénea y " + coly = 0, se sabe que (12) es una solución particular 0 (0 = A t e iU[yl, para cualquier constante A . Calculando

167

2.6 • Vibraciones m ecánicas Por lo tanto, <í>(0= =

-

í F qí

2mu0

(cosw0/ + zsenw0/) sen u nt — i cos u Qt u 2mu0

es una solución particular de (12), y F0t iP(/) = Re {<>(,)) = — — sen u 0t ffl CÚq

es una solución particular de (11). Por lo tanto, toda solución y{t) de (11) es del tipo F0t y ( t ) = c, cosw0/ + c2sena30/ + — — senw0t

(13)

para las constantes c it c2. A hora bien, la suma de los prim eros dos términos en (13) es una función periódica del tiem po. Sin em bargo, el tercer térm ino representa una oscilación con amplitud cre­ ciente, como se ve en la Figura 5. Así pues, si la fuerza externa F0 cos ut está en reso­ nancia con la frecuencia natural del sistema, entonces provocará siempre oscilaciones no acotadas. Un fenómeno de esa naturaleza fue responsable del colapso del Puente de Tacom a (Sección 2.6.1.) y de muchas otras catástrofes mecánicas. y

F ig u r a 5. G ráfica de / ( / ) = >l/senoj0í-

Ej e r c i c io s 1.

Se ha encontrado experim entalm ente que una masa igual a 1 kg estira un resorte (49/320) m. Encuentre la am plitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resul­ tante si se desprecia la resistencia del aire y la masa es llevada a una posición (14) m más abajo de su posición de equilibrio y luego se suelta (úsese g = 9.8 m /s2).

168

CAPÍTULO 2

•

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

2. S eaj'ÍO = A e r'1 + B e ri‘, con \ A \ + |¿?| # 0. (a) Demuestre que y(t) es igual a cero a lo más una vez. (b) Com pruebe que y' (t) es igual a cero cuando m ucho una vez. 3. Sea ^ ( 0 = (A + Bt )erl, con |/1 | + |¿?| # 0. (a) Pruebe que y{t) es igual a cero a lo más una vez. (b) Demuestre que y \ t ) es igual a cero cuando mucho una vez. 4. Un pequeño objeto de masa igual a 1 kg se encuentra sujeto a un resorte con cons­ tante de restitución igual a 2 N /m . El sistema masa-resorte está inmerso en un medio viscoso con constante de am ortiguam iento igual a 3 N • s/m . En el tiem po t = 0, la m asa se encuentra lA m por abajo de la posición de equilibrio, desde donde es soltada. Demuestre que la masa regresará a la posición de equilibrio conform e t tiende a infinito. 5. Un pequeño objeto de masa igual a 1 kg se encuentra sujeto a un resorte con cons­ tante de restitución igual a 1 N /m y sum ergido en un medio viscoso con constante de am ortiguam iento igual a 2 N * s/m . En el tiem po / = 0, la masa es lanzada con una velocidad de 1 m /s en dirección hacia arriba desde una posición inicial lA m por abajo de la posición de equilibrio. Demuestre que la m asa sobrepasará una vez la posición de equilibrio para volver después lentam ente a dicha posición. 6. Un pequeño objeto de mas a iguala a 4 kg se encuentra sujeto a un resorte con constante de restitución igual a 64 N /m , y es afectado por una fuerza externa F(t) = A eos3 o)t. Calcule todos los valores de para los cuales hay resonancia. 7. El cañón de un tanque M60 (vehículo de com bate) se encuentra sujeto a un sistema con una constante de restitución de 100a2, y una constante de am ortiguam iento de 200a en las unidades apropiadas. La masa del cañón es igual a 100 kg. Suponga que el desplazam iento y(t) de dicho cañón con respecto a su posición de equilibrio satisface el siguiente problem a de valor inicial después de haber sido accionado en el tiem po / = 0. 1 0 0 / ' + 20 0a y ’ + 100a 2y = 0 ; y ( 0 ) = 0 , y ' ( 0 ) = 100 m / s .

Se desea que un segundo más tarde, la cantidad y 2 + ( y ' ) 2 sea m enor que 0.01. ¿Qué tam año debe tener a para garantizar que pase tal cosa? (Los sistemas masa-resorte-am ortiguador en tales tanques M60 que Estados Unidos surtió a Israel están críticam ente am ortiguados; por ello son los preferidos para combates en el desierto, donde se desea repetir los disparos lo más pronto posible. 8. Un sistema m asa-resorte-am ortiguador tiene la propiedad de que su constante de restitución k es nueve veces su m asa m , y su constante de am ortiguam iento c es 6 veces su masa. Al estar la m asa en la posición de equilibrio en el tiem po / = 0, actúa sobre ella una fuerza externa descrita por F{t) = (3 sen 30- El resorte se rompe si es estirado 5 m a partir de su posición de equilibrio. Demuestre que el resorte no se rom pe si m > 1/5 kg. 9. Un sistema m asa-resorte-am ortiguador con m = 1, k = 2 y c = 2 (en sus unida­ des respectivas) se halla en equilibrio. En el tiempo / = 0, una fuerza externa F(J) = t - t N actúa sobre el sistema durante un intervalo de tiem po igual a ir. Halle la posición de la masa para todo tiem po t > ir.

2.6 • Vibraciones m ecánicas

169

10. Una masa de 1 kg está sujeta al extremo de un resorte con constante de restitución k - 64 N /m . Al hallarse la masa en la posición de equilibrio en el tiempo t - 0, se le aplica una fuerza externa F(t) = ( Vit) N durante un intervalo de tiempo t x = 77r/16 segundos. Suponiendo que no hay am ortiguam iento, calcule la frecuencia y la am plitud de las oscilaciones resultantes. 11. Una masa de 1 kg se halla sujeta a un resorte con constantes de restitución k = 4 N /m . Al estar la m asa en la posición de equilibrio en el tiempo / = 0, se le aplica una fuerza externa F{t) = (1 + / + sen 2t) N. Si el muelle es estirado en una lon­ gitud ('A + 7r/4) m o más, desde su posición de equilibrio, se rom perá. Suponien­ do que no hay am ortiguam iento, halle el tiem po en el cual se rompe el resorte. 12. Un pequeño objeto de masa igual a 1 kg se encuentra sujeto a un resorte con una constante de restitución k = 1 N /m . El sistema masa-resorte se halla en un medio viscoso que tiene una constante de am ortiguam iento c. Además se aplica sobre el sistema una fuerza externa F(t) = (3 - eos t) N. Determine el mínimo valor positi­ vo de c, tal que la m agnitud de la solución de estado estacionario no exceda de 5 m. 13. Determine una solución particular \¡/(t) de m y " + cy' + ky = F0 eos w/ de la for­ ma \¡/{t) = A eos (o;/ - (/>). Demuestre que la am plitud A es máxima cuando w2 = u)q — Vz(c/m)2. Dicho valor se conoce como la frecuencia de resonancia del siste­ ma. ¿Qué ocurre cuando coq < lA ( c / m ) 2l

2.6.1

El desastre del Puente de Tacoma

El prim ero de julio de 1940 se term inó y abrió al público el Puente del Estrecho de Tacom a, en Puget Sound, W ashington, Estados Unidos. Desde el día de su inaugura­ ción el puente empezó a presentar oscilaciones verticales, y muy pronto fue bautizado como la “ yegua galopante” . Aunque parezca extraño, debido a su comportamiento tan peculiar, el tránsito sobre el puente aum entó considerablemente. La gente viajaba cien­ tos de millas en sus vehículos para disfrutar de la curiosa emoción de transitar sobre un puente que se estremecía. El puente fue un gran negocio por un lapso de cuatro meses. C onform e pasaban los días, las autoridades responsables iban adquiriendo más con­ fianza acerca de la seguridad del puente, hasta llegar a pensar, incluso, en la cancela­ ción de su póliza de seguro. Aproximadamente a las 7 de la m añana del 7 de noviembre de 1940, el puente comen­ zó a vibrar en form a persistente durante tres horas. Algunas partes de la construcción presentaban m ovimientos verticales de hasta 1 m (o 3 pie). Alrededor de las 10 de la m añana algo pareció dispararse y el puente comenzó a oscilar con furia. En un mismo instante una parte de la superficie del puente se encontraba más de 8 m más alto que otra; en el m om ento siguiente, la prim era se encontraba más de 8 m por abajo de la segunda. A las 10:30 de la m añana el puente empezó a crujir, antes de derrumbarse finalmente a las 11:10 de la m añana. Por fortuna, sólo se encontraba un automóvil sobre el puente en el m om ento del siniestro. Era el del reportero de un periódico local que tuvo que abandonar el vehículo con su único ocupante, un perro m ascota, al momento en que el puente iniciara sus violentas sacudidas. Aunque con algunas lesiones, el repor­ tero logró alcanzar un lugar seguro, arrastrándose de rodillas y asiéndose fuertemente

170

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

a la guarnición del puente. Su perro y el autom óvil cayeron al vacío junto con la estructrua. Esa fue la única vida que cobró el desastre. H ubieron m uchos incidentes irónicos y hum orísticos relacionados con el colapso del puente de Tacom a. C uando empezó a vibrar violentam ente, las autoridades notifi­ caron al profesor F.B. Farquharson, de la Universidad de W ashington. Dicho investi­ gador había realizado muchas simulaciones con un modelo del puente y aseguraba a todos que se trataba de un sistema estable. El profesor fue la última persona en aban­ donar el puente. Incluso cuando la estructura oscilaba más de 8 m hacia arriba y hacia abajo, él se hallaba realizando observaciones científicas, probablem ente sin percatarse del colapso inm inente de la estructura. C uando los movimientos increm entaron su vio­ lencia, el profesor se dirigió a un lugar seguro, siguiendo científicamente la línea am ari­ lla que se encontraba en el centro del cam ino. El fue una de las personas que más se sorprendieron cuando la estructura cayó al agua. Una de las pólizas de seguro que am paraban al puente había sido suscrita por un agente viajero local, quien se em bolsó el dinero de la prim a y no reportó la póliza por 800000 dólares a su com pañía. Al recibir, más adelante, su sentencia, señaló irónica­ mente que su fraude no hubiera sido descubierto nunca de haber aguantado el puente una semana más, ya que las autoridades que controlaban éste, tenían pensado cancelar todas las pólizas de seguro. Cerca del puente se encontraba un gran anuncio de un banco local, con la frase: “ Tan seguro com o el puente de T ac o m a". Inm ediatam ente después del colpaso, varios empleados del banco se apresuraron a quitar el rótulo. Después del derrum be del puente de Tacom a, el gobernador del estado pronunció un discurso muy emotivo en el cual declaró: “ Volveremos a construir exactam ente el mismo puente, y de la misma m anera que an tes". Al escucharlo el famoso ingeniero von Karman envió al citado gobernador un telegram a que decía: “ Si construyen exac­ tam ente el mismo puente, y exactam ente de la m isma m anera que antes, entonces se desplom ará exactam ente en el mismo río, y exactam ente del mismo modo que antes". El colapso del puente de T acom a se debió a un fenóm eno aerodinám ico conocido como golpeteo vibrante, el cual puede explicarse brevem ente de la siguiente manera. Si se tiene un obstáculo frente a una corriente de aire o líquido, entonces se form a una “ cauda de vórtices" después del obstáculo. Dichos remolinos fluyen con una periodici­ dad determ inada que depende de la form a y el tam año de la estructura, así como de la velocidad de la corriente (Fig. 1). Debido a que los vórtices se separan en form a alter­ nada hacia cada uno de los lados del obstáculo, éste se ve afectado por una fuerza perió­ dica perpendicular a la dirección de la corriente y de una m agnitud igual a F0 cosco/. El coeficiente F0 depende de la form a de la estructura. C uanto menos “ aerodinám i­ ca " sea ésta, tanto m ayor será el coeficiente F0 y, por lo tanto, la am plitud de la fuer­ za. Por ejemplo, el flujo de aire alrededor de un ala de avión con ángulo de ataque

F ig u r a 1.

171

2.ó • Vibraciones m ecánicas

pequeño es muy regular, de modo que la cauda de vórtices no está bien definida y el coeficiente F 0 es muy pequeño. La estructura nada aerodinám ica de la suspensión de un puente es otra cosa, y es de esperar que actúe una fuerza de m ayor amplitud. Así pues, una estructura suspendida en una corriente de aire sufré los efectos de dicha fuer­ za y pasa, por lo tanto, a un estado de vibraciones forzadas. El grado de peligrosidad del m ovimiento, dependerá de lo cerca que se encuentre la frecuencia natural del siste­ ma de la frecuencia respecto de la fuerza externa (recuérdese que los puentes están hechos de acero, un material altam ente elástico). Si las dos frecuencias coinciden, se presenta el fenómeno de resonancia y las oscilaciones destruirán el sistema, si éste no está sufi­ cientemente am ortiguado. Ya se ha visto el tipo de oscilaciones que fueron las respon­ sables del colapso del puente de Tacoma. También se ha observado resonancia produ­ cida por la separación de los vórtices en las chimeneas industriales de acero y en los periscopios de subm arinos. El fenómeno de resonancia fue también responsable del colapso del puente colgan­ te de Broughton, cerca de M anchester, Inglaterra, en el año de 1831. El derrumbe ocu­ rrió cuando una formación de soldados m archaba con ímpetu sobre el puente, aplican­ do una fuerza periódica de am plitud bastante grande. La frecuencia de dicha fuerza resultó ser igual a la frecuencia natural del puente, y se indujeron grandes oscilaciones que llevaron al puente al colapso. Esa es la razón por la cual ahora todos los soldados interrum pen la cadencia del paso al cruzar sobre un puente. E p í l o g o . El padre de uno de mis alumnos es un ingeniero que trabajó en la construc­ ción del puente Bronx W hitestone, en la ciudad de Nueva York. El me informó que los planos de este puente eran muy similares a los del de Tacom a. Inm ediatamente des­ pués del colapso del puente de Tacom a, los planos fueron modificados inmediatamente.

2 .6 .2 .

Redes eléctricas

A hora se analizará brevemente un circuito eléctrico simple, en serie, com o el que apare­ ce en la Figura 1. El símbolo E representa la tensión de una fuente de fuerza electromo-

AAAAA R

F ig u r a

1 . Un circuito simple en serie

172

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

triz. Puede tratarse de una batería o de un generador que produce una diferencia de potencial eléctrico (en volts), que hace fluir por el circuito una corriente / (en amperes) cuando se cierra el interruptor 5. El símbolo R (un resistor) representa una resistencia al flujo, como la que se produce en una lám para incandescente o en un tostador. Al pasar la corriente a través de una bobina L se produce un campo magnético que se opo­ ne a cualquier cambio en la corriente que circula a través de ella. El cambio en el voltaje inducido en la bobina es proporcional a la rapidez de variación de la corriente, y la constante de proporcionalidad se conoce como la inductancia L del citado elemento. Un capacitor C consiste norm alm ente en dos placas metálicas separadas por un m ate­ rial aislante que permite un flujo pequeño de corriente. Un capacitor tiene el efecto de detener el flujo de corriente cuando alguna de las placas se carga. Sea Q(í) la carga del capacitor en el tiempo t. P ara obtener una ecuación diferen­ cial que se cum pla para Q(t) se usará la siguiente inform ación: Segunda Ley de Kirchoff. En un circuito cerrado, la tensión aplicada es igual a la suma de las caídas de potencial en cada uno de los com ponentes del circuito. A hora bien: (i) La caída de tensión (en volts) a través de una resistencia de R ohms es igual a R I (ley de Ohm). (ii) La caída a través de una inductancia de L henrys es igual a L{dl/ dt ). (iii) La caída a través de una capacitancia de C farads es igual a Q / C . Por lo tanto, £ (0 = l f + « /+ § , y, dado que I{t) = dQ(t)/dt> se ve que d 2Q L ^

dQ

Q

- + R - £ +!é =

E M -

<■>

Nótese la semejanza de la ecuación (1) con la ecuación de una masa en vibración. Entre las semejanzas de los circuitos eléctricos con las vibraciones mecánicas se tiene la pro­ piedad de resonancia. Sin em bargo, contrariam ente a lo que pasa en los sistemas mecá­ nicos, la resonancia tiene aplicaciones deseables en los sistemas eléctricos. Por ejemplo, la perilla de sintonía de un radio se utiliza para variar la capacitancia en el circuito res­ pectivo. De tal modo se cam bia la frecuencia de resonancia (Ejercicio 13 de la Sección 2.6) hasta que coincide con la frecuencia de alguna de las señales de radio que se están recibiendo. La am plitud de la corriente producida por dicha señal será m ucho mayor que la de otras señales. De esta m anera, el circuito de sintonía selecciona la estación deseada.

Ej e r c i c io s 1. Suponga que en un circuito simple en serie no hay resistencia ni se ha aplicado ten­ sión. Demuestre que la carga Q en el capacitor es periódica en el tiem po con fre­

173

2.6 • Vibraciones m ecánicas

cuencia a>0 = VT/LC. La cantidad V i/ L C se conoce como frecuencia natural del circuito. 2. Suponga que está abierto un circuito simple en serie que consta de un inductor, un resistor y un capacitor, y que hay una carga inicial de Q0 = 1CT8 coulombs (C) en el capacitor. Halle la carga en el capacitor y la corriente que fluye en el circuito, después de que el interruptor se cierra en cada uno de los siguientes casos. (a) L = 0.5 henrys, c = 1CT5 farads, R = 1000 ohms. (b) L = 1 henrys, c = 10~4 farads, R = 200 ohms. (c) L - 2 henrys, c = 1CT6 farads, R = 2000 ohms. 3. Un circuito simple en serie tiene un inductor de 1 henry (H), un capacitor de 10~6 farads (F) y un resistor de 1000 ohms (fi). La carga inicial del capacitor es cero, si se conecta el circuito a una batería de 12 volts (V) y se cierra su interruptor en el tiempo t - 0, halle la carga del capacitor un segundo más tarde, y también la carga de estado estacionario. 4. Un capacitor de 10~3 F está en serie con una tensión inductor de 1 H. En el tiempo t = 0, tanto Q como (a) Calcule la frecuencia natural y el período de las (b) Halle la carga máxima del capacitor y la corriente cuito.

aplicada de 12 V y con un I son cero. oscilaciones eléctricas. máxima que fluye en el cir­

5. Demuestre que si no hay resistencia en un circuito y si la tensión que se aplica es de la forma E0 sen cw, entonces la carga en el capacitor será no acotada para / -* si cj = v l / ¿ C . Este es el fenómeno de resonancia. 6. Considere la ecuación diferencial L Q + R Q + Q ^ E o Co s u i .

(i)

Es posible obtener una solución particular ip(t) de (i) como la parte real de una solución particular
(ii)

(a) Demuestre que iux*>(() = ------- -— -------7~Te,u‘R + - -j.) (b) La cantidad Z = R + /(co¿ - 1/u C ) se conoce como im pedancia compleja del circuito. El reciproco de Z es conocido como adm itancia, y a las partes real e imaginaria de 1/Z se la llama conductancia y susceptancia. Determine la adm itancia, la conductancia y la susceptancia de dicho circuito. 7. Considere un circuito simple en serie con valores dados de L, R y C, y una tensión Z^sen cd/. ¿Para qué valores de será máxima la corriente de estado estacionario?

174 2 .7

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

U n m o d e lo p a r a l a d e t e c c ió n de l a d iab etes

La diabetes mellitus es un trastorno del m etabolism o que se caracteriza por el exceso de azúcar tanto en la sangre como en la orina. Un cuerpo con diabetes es incapaz de consumir los azúcares, almidones y carbohidratos debido a una insuficiencia en la can­ tidad de insulina disponible. La diabetes se diagnostica usualmente por medio de una prueba de tolerancia a la glucosa (PTG). P ara dicha prueba, el paciente se presenta des­ pués de un ayuno de toda la noche y recibe una dosis grande de glucosa (azúcar en la form a en que aparece norm alm ente en la corriente sanguínea). Se realizan mediciones durante las siguientes tres a cinco horas para determ inar la concentración de glucosa en la sangre de la persona. Dichas mediciones sirven para el diagnóstico de diabetes. Una seria dificultad que tiene que ver con este m étodo de diagnosis es la falta de crite­ rios universalmente aceptados para la interpretación de los resultados de la prueba de tolerancia a la glucosa. Tres médicos que interpreten los resultados de una PTG pueden dar tres diagnósticos diferentes. Recientemente un médico de la región de Rhode Island diagnosticó un caso de diabetes tras haber revisado los resultados de una PTG. Un segun­ do médico declaró que se trataba de una persona sana. P ara aclarar las dudas, se envia­ ron los resultados de la PTG a un especialista de Boston. Después de examinar los resul­ tados el especialista concluyó que el paciente tenía un tum or en la pituitaria. A mediados de la década de 1960, los doctores Rosevear y M olnar de la Clínica Mayo, y Ackerm an y Gatewood de la Universidad de M innesota, descubrieron un cri­ terio bastante confiable para interpretar los resultados de una PTG. Su descubrimiento surgió de un m odelo muy sencillo que desarrollaron para el sistema regulatorio de la glucosa en la sangre. Dicho modelo se basa en los siguientes principios sencillos y bien conocidos de biología elemental. 1. La glucosa desempeña un papel im portante en el metabolism o de todos los ver­ tebrados, ya que es una fuente de energía para todos los órganos y tejidos. En cada individuo hay una concentración glucósica óptim a en la sangre, y una desviación exce­ siva de dicho valor óptim o lleva a condiciones patológicas severas y, potencialmente, incluso a la muerte. 2. Los niveles de glucosa en la sangre tienden a constituir un proceso autorregulado, aunque tam bién influye en ellos una gran variedad de horm onas y otros metabolitos. Entre ellos se encuentran los siguientes: (i) Insulina. H orm ona secretada por las células (3 del páncreas. Después de haber ingerido carbohidratos en alguna form a, el tracto gastrointestinal envía un mensaje al páncreas para secretar más insulina. Además, la glucosa que está en nuestro cuerpo esti­ mula directam ente las células ¡3 del páncreas para que secrete insulina. Se cree que la insulina ayuda a que los tejidos reciban la glucosa fijándola en las m em branas celulares impermeables y perm itiendo así que la glucosa pase a través de la m em brana hacia el centro de la célula, lugar donde se llevan a cabo la m ayor parte de los procesos quími­ cos y biológicos. Sin la insulina necesaria el cuerpo no puede proveerse de la energía requerida. (ii) Glucagón. H orm ona secretada por las células a del páncreas. Cualquier exceso de glucosa se alm acena en el hígado en form a de glucógeno. C uando hace falta, esta sustancia se transform a nuevamente en glucosa. La horm ona glucagón aum enta la tasa de degradación de glucógeno en glucosa. La evidencia acum ulada hasta ahora indica que, tanto la hipoglucemia (bajo nivel de azúcar en la sangre) com o el ayuno, promue-

2.7 • Un m odelo para la detención de la diabetes

175

ven la secreción de glucagón, mientras que un alto nivel de glucosa en la sangre interrum ple su secreción. (iii) Epinefrina (adrenalina). H orm ona secretada por la médula adrenal. La epinefrina es parte de los mecanismos de emergencia para increm entar rápidam ente la con­ centración de glucosa en la sangre en momentos de hipoglucemia extrema. Al igual que el glucagón, la epinefrina acrecienta la tasa de degradación de glucagón en glucosa. Además inhibe la asimilación de glucosa por parte de los tejidos musculares; actúa direc­ tam ente sobre el páncreas para inhibir la secreción de insulina, y ayuda a la conversión de lactasa a glucosa en el hígado. (iv) Glucocorticoides. H orm onas como el cortisol que son secretadas por la corte­ za adrenal. Los glucocorticoides desempeñan un papel muy im portante en el metabolis­ mo de los carbohidratos. (v) Tiroxina. H orm ona secretada por la glándula tiroides. Esta horm ona ayuda al hígado a form ar glucosa a partir de fuentes distintas a los carbohidratos, tales como glicerol, lactasa y am inoácidos. (vi) Hormona del crecimiento (somatotropina). H orm ona secretada por la glándula pituitaria en la región denom inada anterior. La horm ona de crecimiento no sólo afecta directam ente a los niveles de glucosa, sino que también tiende a bloquear a la insulina. Se cree que la horm ona de crecimiento disminuye la sensibilidad de los músculos y las m em branas adiposas a la insulina, reduciendo así la efectividad de ésta para aum entar la captación de glucosa. El objetivo de Ackerm an y su equipo era construir un modelo que describiera con precisión el sistema regulador de la glucosa en la sangre durante una prueba de toleran­ cia a la glucosa, y en el cual uno o dos parám etros sum inistraron inform ación, para distinguir entre individuos sanos, casos leves de diabetes y prediabetes. Su modelo es muy simple y requiere solam ente un número limitado de m uestras de sangre durante una PT G . La atención se centra en dos concentraciones, la de glucosa en la sangre, denotada por G y la concentración horm onal de la red, denotada por H. Esta última se entiende com o el efecto acum ulado de todas las horm onas pertinentes. Hormonas como la insulina, que abaten las concentraciones de glucosa en la sangre, se consideran horm onas que increm entan / / , mientras que las que intensifican la concentración de glucosa, com o el cortisol, se consideran hormonas que hacen disminuir H. Hay dos razo­ nes por las cuales un modelo simplificado puede todavía constituir una descripción pre­ cisa del sistema regulador de glucosa en la sangre. Prim eram ente, algunos estudios han dem ostrado que en condiciones normales, o cercanas a ellas, la interacción de una sola horm ona, la insulina por ejem plo, con la glucosa de la sangre predom ina de tal manera que el uso de un modelo simple con parám etro globalizado es muy adecuado. Además, hay evidencia de que la normoglicemia no necesariamente depende de la normalidad de cada uno de los mecanismos cinéticos del sistema regulador de la glucosa en la san­ gre. Más bien, depende de cóm o responde el conjunto del sistema regulador de glucosa en la sangre y de si dicho sistema está dom inado por las interacciones insulina-glucosa. El m odelo básico se describe con las siguientes ecuaciones 4 £ - F , ( G . H ) + J(t)

(1)

™ = F 2 (G,H).

(2)

La dependencia de F { y F 2, con respecto a G y H significa que los cambios en G y en H están determ inados por los valores tanto de G como de H. La función J(t) es la

176

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SECUNDO ORDEN

rapidez externa a la cual aum enta la concentración de glucosa en la sangre. A hora bien, supóngase que al llegar el paciente en ayunas al hospital, G y H han alcanzado valores óptimos G0 y H q. E so implica que F\ (G0, H 0) = 0 y que F2(g0, 7/0) = 0. Dado que interesan las desviaciones de los valores de G y H respecto de los valores óptim os, se hace la siguiente sustitución g = G - G 0, Entonces

h = H — H 0.

, - £ = F ¡ (G0 + g , H 0+ h ) + J ( t ) , f

= F , ( G 0 + g , H 0 + h).

Ahora obsérvese que F , ( G 0 + g , H 0 + h) = F l ( G0, H 0 ) +

0 F ,(G o, H 0 ) dF¡(G0, H 0) ¿G g + ------- 3H ----- h + e '

3 F2 ( G q, H 0 ) 3 F2 (G0, H 0 ) S+~ ^ H H + e2 F2 (G0 + g , H 0 + h) = F2( G0, H 0 ) + ----- ^ donde e¡ y e2 son muy pequeñas com paradas con g y h. Por lo tanto, suponiendo que G y H no difieren mucho de G0 y H 0 y, por consiguiente, om itiendo los térm inos e¡ y e2, se ve que dg dt

3F ,( C 0.W0 ) 3 f , ( C 0. / / 0 ) 3G S+ 3H h + J (' )

dh

3 F2 (G0, H 0 )

T ,

3C

(3)

SF2 ( G0, H 0 ) g + ----- 3H ------- *'

W

Ahora bien, a priori no es claro cóm o determ inar los números 3 F , ( G 0, H 0 )

ac

3 F .ÍG o ./ío ) ’

dH

3/r2 (C „ ,//„ ) ’

0G

3 F2 (G0, H 0 ) y

dH

Sin embargo, es posible determ inar sus signos. Al referirse a la Figura 1 se ve que dg/dt es negativo para g > 0 y h = 0, ya que la concentración de glucosa en la sangre dismi­ nuirá debido a la acumulación de tal sustancia en los tejidos, así como al alm acena­ miento en el hígado de un exceso de glucosa en form a de glucógeno. Com o consecuen­ cia 3 F j(G 0,H 0) / d G debe ser negativa. De m anera similar, 3 F j(G 0, H 0) / d H es negativa, ya que un valor positivo de h tiende a dism inuir los niveles de glucosa en la sangre, lo que facilita la asimilación de la misma por parte de los tejidos e incrementa la tasa con la que la glucosa se convierte en glucógeno. El núm ero d F 2(G0, H 0) / d G debe ser positivo, ya que un valor positivo de g lleva a las glándulas endocrinas a secre­ tar aquellas horm onas que tienden a increm entar H. Por últim o, d F 2(G0, H 0) / d H debe ser negativa, ya que la concentración de horm onas en la sangre decrece mediante el metabolismo horm onal. Así pues, las ecuaciones (3) y (4) pueden escribirse en la forma -Jt

=

~ m \ g ~ m 2h + J (t)

= - m 3h + m4g

(5) (6)

177

2.7 • Un m odelo para la detención de la diabetes

Tracto gastro intestinal

Acumulación de glucosa

Hígado

G

-7 ^

y"

Fondo común de hormonas

Órganos endocrinos

Absorción por los tejidos

H

t i

Metabolismo hormonal

F ig u r a 1. M odelo simplificado del sistema regulador de la glucosa en la sangre donde m 2t m 3 y m4 son constantes positivas. Las ecuaciones (5) y (6) son dos ecua­ ciones de prim er orden para g y h. Sin embargo, dado que se mide únicamente la con­ centración de glucosa en la sangre, sería deseable eliminar la variable h. Eso se puede hacer de la siguiente m anera: derivando (5) con respecto a t se obtiene d 2g d t2

dg dt

dh ^ d J 2 dt dt

— r = - m , — - w 2— + - r - . Sustituyendo d h / d t a partir de (6) se tiene d2% dg -L. i. ^dJ ~d¡i = ~ mi-di +m2myh-m2 m4g+~¿¡-

V)

Obsérvese ahora que a partir de (5) se obtiene que m 2h = ( - d g/ d t) - m xg + J{t). Por lo tanto, g(t) satisface la siguiente ecuación diferencial lineal de segundo orden d2g + K +, w 3)\ dg ^ d—J . — - + ( m ]mi + m 2m 4)\ g = m 3Jj + Esta ecuación puede reescribirse de la siguiente forma:

^ ? +2a -¡¡¡+ u o g s s S ( t )

W

donde ce = (m, + m3) / 2, uq = m ,m 3 + m 2m 4 y S{t) = m3y + dJ/ dt . Nótese que el segundo miembro de (8) es idéntico a cero, excepto por un corto inter­ valo de tiem po en el que se ingiere la dosis de glucosa. En la Sección 2.12 se verá cómo se m aneja ese tipo de funciones. Para los propósitos del análisis, supóngase que / = 0 es el tiem po en el cual la dosis de glucosa se ingirió com pletam ente. Entonces, para t > 0, g(t) satisface la siguiente ecuación lineal homogénea de segundo orden

178

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Esta ecuación tiene coeficientes positivos. Por tanto, a partir del análisis de la Sección 2.6 (y el Ejercicio 8 de la Sección 2.2.2), g(t) tiende a cero cuando t tiende a infinito. Así pues, el modelo ciertamente concuerda con la realidad al predecir que las concen­ traciones de glucosa tienden a regresar en algún m om ento a sus niveles óptim os. Las soluciones g(t) de (9) son de tres tipos, dependiendo de si a 2 - wq es positivo, negativo o igual a cero. Por supuesto que estos tres tipos corresponden a los casos de oscilaciones sobream ortiguadas, críticam ente am ortiguadas y subam ortiguadas que se estudiaron en la Sección 2.6. Para el siguiente análisis se supondrá que a 2 - wq es nega­ tivo; los otros dos casos pueden analizarse en form a sim ilar. Si a 2 - u i < 0, entonces la ecuación característica de (9) tiene raíces com plejas. En este caso puede verificarse fácilmente (Ejercicio 1) que cualquier solución g(t) de (9) es del tipo co2 = Wq —a 2.

g ( t ) ~ Ae~°“ cos(ut - 8),

(10)

Por lo tanto, G ( t ) = G0 + A e ~ atcos(ul — 8).

( 11)

En la ecuación (11) hay cinco incógnitas G0, / l , a , o j 0 y 5. Una m anera de determ inar­ las es la siguiente: La concentración de glucosa en la sangre del paciente un momento antes de recibir la dosis de glucosa es G0. Por ello, es posible determ inar G0 midiendo la concentración de glucosa en la sangre del individuo inm ediatam ente después de su llegada a la clínica. Además, si se tom an cuatro mediciones adicionales G i, G2, G3 y G4 de la concentración de glucosa en la sangre del paciente en los tiempos /), /2, y r4, es posible determ inar A , a, üj0 y 8, a partir de las cuatro ecuaciones siguientes: Gj = G0 + A e ~ a‘j cos(<¡¿tj-8

),

, 2 , 3, 4 .

j —1

Un método mejor para determinar G0, A , a, u 0 y 8 es tom ar n mediciones G |, G2, . . . , Gn de la concentración de glucosa en la sangre del paciente en los tiempos t {, t2, . . . , tn. Un valor característico de n es de 6 ó 7. Después se encuentran valores óptimos para G(), A , a, ü)0 y 8, de modo que se minimice el error de mínimos cuadrados n £ = 2 \Gj - G0- A e - a,' c o s ( u t j - 8 ) f El problem a de minimizar E puede resolverse en una com putadora digital, y Ackerman y su grupo (véase la referencia al final de la sección) ofrecen un program a en Fortran para determ inar los valores óptim os para G0, -4, a , u 0 y 5. Este m étodo es preferible al primero, ya que la ecuación (11) es solamente una fórm ula aproxim ada para G(t). Consecuentemente, es posible encontrar valores G0, A , a, u 0 y 8, tales que satisfagan exactamente la ecuación (11) en cuatro puntos t lt t2, (} y í4> Pefo son una mala apro­ ximación de los datos para otros valores del tiempo. El segundo método ofrece, en gene­ ral, una mejor aproxim ación de los datos en el intervalo com pleto, ya que implica más mediciones. Ackerman y su grupo observaron en un gran número de experimentos que un peque­ ño error de medición en G podía producir un error muy grande en a. Por ello no es confiable cualquier criterio de diagnosis de diabetes que involucre al parám etro a. Sin embargo, el parám etro oj0» es decir, la frecuencia natural del sistema, fue relativam en­ te insensible a errores experimentales en las mediciones de G. Así pues, puede conside­ rarse a ojq como el descriptor básico de la respuesta a una prueba de tolerancia a la glu­

2.7 • Un m odelo para la detención de la diabetes

179

cosa o PTG . P ara los fines del análisis, es más conveniente usar el periodo natural correspondiente TQ = 27r/aj0. El hecho im portante es que los datos obtenidos de un gran núm ero de fuentes indican que un valor de menos de cuatro horas para T0 indica normalidad, mientras que un valor apreciablemente mayor de cuatro horas implica dia­ betes leve. O b s e r v a c i ó n 1 . En nuestra cultura, el periodo usual entre tom as de alimentos es de aproxim adam ente de 4 horas. Esto hace interesante y posible que algunos factores sociológicos puedan desempeñar tam bién un papel im portante en el sistema regulador de la glucosa en la sangre. O b s e r v a c i ó n 2 . Es im portante insistir en que el modelo descrito puede ser usado sólo para diagnosticar casos leves de diabetes o casos de prediabetes, pues se supuso en el análisis que era pequeña la desviación g que presentaba G con respecto a su valor óptim o G0. Desviaciones grandes de G con respecto a G0 indican normalmente casos severos de diabetes, o de diabetes insipidus, la cual es un trastorno del lóbulo posterior de la glándula pituitaria. Un grave inconveniente que tiene el modelo simplificado es que en ocasiones no se ajusta bien a los valores obtenidos en el periodo de tres a cinco horas después de la ingestión de la dosis de glucosa. Esto indica, por supuesto, que algunas variables como la epinefrina y el glucagón desempeñan un papel im portante en ese tiempo, de modo que dichas variables deberían ser incluidas por separado en el modelo, y no globalizadas ju n to con la insulina. De hecho, la evidencia indica que los niveles de epinefrina pueden aum entar fuertem ente durante la fase de recuperación de la respuesta a la PTG, una vez que los niveles de glucosa disminuyen más allá de los niveles en el periodo de ayuno. Esto tam bién puede verse directamente de la ecuación (9). Si a 2 - uq > 0, entonces g(t) puede tener la form a que se muestra en la Figura 2. Nótese que g(t) des­ ciende muy rápidam ente desde un valor bastante grande hasta tom ar valores negativos. Por ello, es posible que el cuerpo interprete la situación como emergencia y secrete enton­ ces grandes cantidades de epinefrina.

F ig u ra

2.

G ráfica de g(t) si a 2 - oj20 > 0.

180

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Los investigadores médicos reconocieron desde hace mucho la necesidad de incluir a la epinefrina com o una variable, por sí sola, en cualquier modelo del sistema regula­ dor de glucosa en la sangre. Sin em bargo, se vieron frenados por el hecho de que no había m étodos confiables para m edir la concentración de epinefrina en el fluido san­ guíneo, así que, para fines prácticos, suponían que el nivel de dicha sustancia permane­ cía constante durante una prueba de tolerancia a la glucosa. El autor fue inform ado recientemente de que algunos investigadores del Rhode Island Hospital han estructura­ do un método preciso para medir la concentración de epinefrina en la sangre. De modo que será posible en un futuro inm ediato desarrollar y probar modelos más extensos del sistema regulador de glucosa en la sangre. O jalá que esto lleve a criterios más confia­ bles para el diagnóstico de la diabetes.

Bib l io g r a f ía E. Ackerm an, L. Gatew ook, J. Rosevear y Gl. M olnar, Blood glucose regulation and diabetes, Concepts an d Models o f Biomathematics, F. Heinmets (cap. 4), Marcel Dekker (com p.), 1969, págs. 131-156.

Ej e r c i c io s 1. Deduzca la ecuación (10). 2. Un paciente que llegó al hospital después de una noche de ayuno presenta una con­ centración de glucosa en la sangre de 70 m g/100 mi (miligramos de glucosa por 100 mililitros de sangre). Sus concentraciones glucósicas en la sangre 1, 2 y 3 horas des­ pués de haber ingerido una cantidad grande de glucosa son 96, 65 y 75 m g/100 mi, respectivamente. Demuestre que el paciente es una persona sana. Sugerencia: En el caso subam ortiguado, el intervalo de tiem po entre dos ceros sucesivos de G G0 es m ayor que un medio del periodo natural. Según un fam oso especialista en diabetes, las concentraciones de glucosa en la sangre de un paciente no diabético que ingirió una gran cantidad de glucosa se encontraron en los niveles de ayuno, o más bajos, en un m áximo de 2 horas. Los Ejercicios 3 y 4 com paran sus diagnósticos con los de Ackerm an y su grupo. 3. Inm ediatam ente después de haber absorbido por com pleto una gran cantidad de glucosa, la desviación g(í) del nivel de glucosa en la sangre de un paciente con res­ pecto a la concentración óptim a, satisface la ecuación diferencial (d 2g / d t 2) + 2a(dg/dt) + a 2g = 0. El tiem po se mide en m inutos, de modo que la unidad de a es el inverso de m inuto. Demuestre que el paciente es normal de acuerdo con Ackerm an y su grupo, si a > ir/120(m in), y que el paciente es norm al según el famoso especialista si j'(O) < - ( & + «)*(<>).

181

2.8 • Soluciones en series 4.

La co n c en tració n de glucosa en la sangre de un paciente, después de haber absor­ bido por completo una gran cantidad de glucosa, satisface el problem a de valor inicial d 2G , 1 dG { 1 c dt2 20 (min) dt 2500 (min)2 = ------r75 mg gluc./lOO mi sang. 2500 (min) G(0) = 150 mg gluc./lOO mi sang. G'(0) - - a G (0 )/(min);

a

i

|

4

18/5

2ÓÓ “JT ^IiT r

La concentración óptim a del paciente es de 75 mg gluc./lOO mi sangre. Muestre que dicho paciente es diabético de acuerdo con Ackerm an y su grupo, pero normal según el famoso especialista.

2 .8

S o l u c i o n e s en s e r ie s

Se retom a ahora la ecuación lineal homogénea general de segundo orden L [ y ] - r ( 0 ^ + Q (t)% + R (t)y - o

0)

con P( t ) diferente de cero en el intervalo a < t < 0. En la Sección 2.1 se mostró que toda solución y (í) de (1) puede escribirse en la form a y ( t ) = C | ^ , ( 0 + c2^ 2( 0 » donde y i(0 y y 2(0 son d ° s soluciones linealmente independientes de (1). Así pues, el proble­ m a de hallar todas las soluciones de (1) se reduce al problem a de encontrar solamente dos soluciones. En la Sección 2.2 se trató el caso especial donde P, Q y R son constan­ tes. El siguiente caso más simple es cuando P(t), Q( t ) y R{t) son polinomios en t. Por lo tanto, la form a de la ecuación diferencial indica que se trata de una solución polinomial y ( t ) de (1). Si y( t ) es un polinomio en /, entonces las tres funciones P(t)y"(t), Q(t)y'(t) y R(t )y( t ) son tam bién polinomios en t. Así pues, es posible determinar en principio una solución p o lin o m ial^(0 de (1), igualando a cero la sum a de los coeficien­ tes de las potencias iguales de t en la expresión L [y\ t . En el siguiente ejemplo se ilustra el m étodo.

Ej e m p l o 1

Encontrar dos soluciones linealmente independientes de la ecuación

(2 ) S o l u c i ó n . Se tratará de hallar dos soluciones polinomiales de (2). A hora bien, no es evidente de antem ano cuál deba ser el grado de las soluciones polinomiales de (2).

182

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Ni siquiera es claro que pueda resolverse el problem a con un polinomio de grado finito. Por ello se propone y { t ) = a0+ a xt + a2t 2+ ... = ' Z ant n. n

» 0

Derivando dy

00

dt

n -0

- j - =a¡ + 2 a 2/ + 3 a 3t 2 + ... = Z

"¿V" 1

= 2a2 + 6a3t + ... = Z n ( n - \ ) a„[n 2> n—0

de donde y( t) es solución de (2) si ¿ |> ](')= 2

/t —0

= I n

« ( « - 1 ) ^ t ' * ~ 2- 2 / Z

/t «O

n(rt - \)al1rn~2 —2 f

—0

nant n~ [ - 2 f

/»—o

na„ / - - 2 f

n — 0

v "

a,t*-0.

(3)

/«««O

El paso siguiente es escribir los térm inos de la prim era sum atoria en (3) de modo que el exponente del térm ino general sea n y no n - 2. Esto se hace sum ando 2 a las n en la sum atoria, y restando 2 al límite inferior, es decir, Z n ( n - \ ) a nt n' 2 = Z ( n + 2 )(n n—0 n■»- 2

+ \)a„ +2t ñ.

(Esto se puede com probar escribiendo los primeros térm inos de cada una de las dos sum atorias. Una dem ostración más rigurosa es hacer m = n - 2. C uando n es cero, m es - 2 , y cuando n es infinito, m es también infinito. Por lo tanto,

Z n ( n - \ ) a n‘ n 2=

n—0

m

2 »

(m + 2)(m + \)am+2t m, — 2

y dado que m es una variable ficticia o m uda, se puede sustituir por n. Más aún, obsér­ vese que la contribución de esta sum a desde n = - 2 y n - -1 es cero, ya que el factor (n + )(n + 1) es igual a cero en am bos casos. Por lo tanto,

2

n —0

n { n - \ ) a nt H~ 2= Z {n + 2 ) ( n + \ ) a n+2t n /T—0

y puede escribirse (3) en la form a |

n «0

(* + 2 ) ( * + l ) W

- 2

f

/» —0

na./"-2 f

/«“ 0

(4 )

Igualando a cero la suma de los coeficientes de las potencias iguales de t en (4) se obtiene (n + 2 ) ( n + \ ) a n +2- 2 n a H- 2 a „ = 0

183

2.8 • Soluciones en series de m odo que a" +1

=

(n + 2)(n + 1)

=

n + 2'

(C, U

La ecuación (5) es una fórm ula de recurrencia para los coeficientes a0, , a2, a3, El coeficiente a„ determ ina al coeficiente a„ +2. Así pues, a0 determ ina a2 con la rela­ ción a2 = 2a0/ 2 = a0\ a2, a su vez, determ ina cr4 mediante la relación 2a2(2 + 2) = í7q/2; y así sucesivamente. De m anera similar, a { determ ina a3 por medio de la relación a3 = 2ax/{2 + l) = 2ax/2>\ a 3, a su vez, determ ina a5 por la relación a5 = 2 aj /(3 + 2) = 4fl|/3 * 5; y así sucesivamente. Por lo tanto, todos los coeficientes que­ dan determ inados de m anera única, una vez que se asignen valores para a0 y a¡. Los valores de a0 y a, son com pletam ente arbitrarios. Sin em bargo, eso era de esperar, ya que si y ( t ) = a0 + a lt + a2t 2+ ... entonces los valores de y y y ' en t = 0 son a0 y , respectivamente. Así pues, los coe­ ficientes a0 y serán arbitrarios hasta el m om ento en que se especifiquen condiciones iniciales para y. P ara encontrar dos soluciones de (2), se eligen dos valores diferentes para a0 y a ¡ . Las elecciones más sencillas son (i) a0 = 1, a¡ = 0, y (ii) a0 = 0 y a¡ = 1. (i)

a0= 1,

a¡=0.

En este caso todos los coeficientes impares a¡, a3, a5, . . . son iguales a cero, ya que a3 = 2a¡/3 = 0, a5 = 2a3/5 = 0, etcétera. Los coeficientes pares se determinan a par­ tir de las relaciones

y así sucesivamente. Procediendo por inducción, se encuentra que Ü2n

1 ^1 2*3' - - n ni'

Por lo tanto, y l ( í ) - \ + t 2+

^

-e 1

es una solución de (2). (ii)

tfo * 0»

En este caso, todos los coeficientes pares son iguales a cero, y los coeficientes impares se determ inan a partir de las relaciones ü3

_ 2a\ _ 2 3 3’

°s

_ 2a3 _ 2 2 5 5 3’

° 7=

2ai 2 2 2 7 “ 7 5 3’

y así sucesivamente. Procediendo por inducción, se encuentra que

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Asi pues, se tiene que . , 2 /3 , 22/ 5 , V ^ (0 = < + 1 - + 3 ^ + - = 2

2nt 2ñ +l

1 3.5 . : . (2 n + I)

n —0

es una segunda solución de (2). Obsérvese ahora q u e ^ íO y y 2(0 son polinomios de grado infinito, a pesar de que los coeficientes P(t) = 1, Q(t) = - 2 t y R(t) = - 2 son polinomios de grado finito. Este tipo de polinom ios se conoce com o series de potencias. Antes de continuar se repa­ sarán, brevem ente, algunas de las propiedades de las series de potencias. 1. Una serie infinita de la form a y { t ) = aQ+ a x{ t - t Q) + a2{ t - t Qf + . . . = ^ a n{ t - t Q)n /i —0

(6)

se conoce com o serie de potencias alrededor de t = t0. 2. Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia. Es decir, existe un número p no negativo tal que la serie infinita (6) converge para | / — /01 < p y diverge para | / — /01 > p . El núm ero p se denom ina radio de conver­ gencia de la serie de potencias. 3. La serie de potencias (6) puede ser derivada o integrada térm ino por térm ino, y la serie resultante tiene el mismo intervalo de convergencia. 4. El m étodo más sencillo (si es que es aplicable) para determ inar el intervalo de convergencia de la serie de potencias (6) es el criterio de Cauchy de la razón. Supóngase que el valor absoluto de an+\/an tiende a un límite X cuando n tiende a infinito. Entonces, la serie de potencias (6) converge para \ t - /0| < 1/X y diverge para \t - t0 \ > 1/X. oo oo 5. El producto de dos series de potencias ^L¿a„(t - t0)n y ]C bn(t - /0)" da n =0 n =0 por resultado una serie de potencias de la form a atíbn + a xbn-\ + . . . + anb0. El cociente

n —0

- t0)n, con c„ =

a n + a ,t + a ,t2+ ... ¿>0 + b^t + b^t2 + . . . de dos series de potencias es también una serie de potencias, para toda b0 ^ 0. 6.

M uchas de las funciones f ( t ) que surgen en las aplicaciones pueden desarro­ llarse en series de potencias, es decir, es posible encontrar coeficientes a0, a{, a2, . . . tales que 00 f ( t ) = a0+ a \ ( t - t 0) + a2( t - t 0)2+ ... = 2 'o)”(7) n» 0 Se dice que estas funciones son analíticas en t = t0, y la serie (7) se denomi­ na serie de Taylor de /a lre d e d o r de t - tQ. Es posible dem ostrar fácilmente que si / a d m i te un desarrollo tal, entonces necesariamente an = f {n)(to)/nl, donde f (n\ t ) = d nf ( t ) / d t n.

185

2.8 • Soluciones en series

7. El intervalo de convergencia de la serie de Taylor de una función/( /) alrede­ dor de t0, puede determinarse directamente por medio del criterio de la razón de Cauchy y otros m étodos similares, o bien, indirectamente por el siguiente teorem a de análisis complejo.

TEOREMA 6. Supóngase que la varióle t toma valores complejos, y sea Zq el p u n to más cercano a t0 para el cual no existe f o alguna de sus derivadas. Calcúlese en el plano complejo la distancia p entre t0 y Zq . Entonces la serie de Taylor de f alrededor de t0 converge para | / - /01 < p y diverge para U -to\

>

P-

C om o ejemplo del Teorem a 6, considérese la función f ( t ) = 1/(1 + t 2). La serie de Taylor de / alrededor de / = 0 es — = i - / 2+ í4 - í 6+ i+ f2

...,

y dicha serie tiene un radio de convergencia igual a 1. Aunque la función (1 + t 2)~l está definida para t real, tiende a infinito cuando t = ±/, y la distancia de cada uno de estos puntos en relación con el origen es igual a 1. Una segunda aplicación del Teorem a 6 consiste en que el radio de convergencia de la serie de Taylor alrededor de t = 0, del cociente de dos polinomios a(t) y b(t), es el valor del m enor de los ceros de b{t). Cabe m encionar que no fue realmente necesario suponer que eran polinomios las funciones P(t), Q(t) y R(t) en (1). El m étodo que se usa para resolver el Ejemplo 1 debe poderse aplicar tam bién a la ecuación diferencial más general

L i y ] “ p ( ' ) ^ í + <2 ( ') % + R 0 ) y = o donde P(t), Q(t) y R(t) son series de potencias alrededor de t0. (Por supuesto que para este caso, las operaciones algebraicas son más complicadas.) Si P (t)= P o + P \(‘ - t o ) +

R ( t ) = r0+ r l ( t - t

y

•••>

0)+ ...

£?(') = <7o+ <7i('-'o)+

•••.

...,

y(t) - a0 + a x(t - t0) + entonces L [y](t) será la suma de tres series de poten­ cias alrededor de t = t0. Por lo tanto, será posible encontrar una fórm ula de recurren­ cia para los coeficientes an igualando a cero la sum a de los coeficientes de potencias iguales en la expresión L[y\{t). Este es el contenido del siguiente teorem a, el cual se enunciará sin dem ostración.

)

TEOREMA 7. Supóngase que las funciones Q(t)/P(t) y R (t )/P(t tienen series

de Taylor convergentes alrededor de t = t0 para \t - /0| < P - Entonces toda solución y(t) de la ecuación diferencial d 2y dy P O ) - ¿ + Q ( ‘) % + R ( ‘) y ~ o

(8)

186

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN es analítica en t = t0, y el radio de convergencia de la serie de Taylor alrede­ dor de t = t0 es como mí ni mo p . Los coeficientes a2, ait . . . en la serie de Taylor y { t ) = aQ+ a f t - t 0) + a2( t - t0)2 + ... (9) se determinan sustituyendo las series (9) en la ecuación diferencial (8) e igua­ lando a cero la suma de los coeficientes de potencias iguales de t en la expre­ sión resultante.

O b s e r v a c i ó n . El intervalo de convergencia del desarrollo la serie de Taylor de cual­ quier solución y (t) de (8) está determ inado, usualm ente, por el intervalo de convergen­ cia de las series de potencias Q(t ) /P( t) y R(t )/ P( t) , más que por los intervalos de con­ vergencia de las series de potencias P(t), Q(t) y R(t). Esto se debe a que, siempre que se examina la cuestión de existencia y unicidad, la ecuación (8) debe estar expresada en la form a estándar.

Ejemplo

2

E ncontrar dos soluciones linealmente independientes de

( 10) (b) Hallar la solución y(t) de (10) que satisface las condiciones iniciales/(O) = 2, /( O ) = 3. So l u c ió n . (a) La m anera equivocada de resolver este problem a es desarrollar la función 3 //(l + t 2) y 1/(1 + t 2) en series de potencias alrededor de t = 0. La mane­ ra correcta es m ultiplicar por 1 + t 2 am bos lados de (10) para obtener la ecuación equivalente d 2y dy L [ y ] = ( \ + t )— + 3 t— +y=0. Esto se hace debido a que el álgebra resulta mucho más simple cuando son polinomios los coeficientes de la ecuación diferencial (8), que cuando son se­ ries de potencias. Al hacer y(t) = Y l a nt nt se calcula 00

L [ r ] ( ( ) - ( I + ' 2) 00

00

* 2

2

« ( « - l K < " - 2 + 3<

OO 2

00

n a . t ' - ' + 2 a,!'

00

00

(« + 2 ) ( f l + l K + I/" + 2

{n + l f antn-

187

2.8 • Soluciones en series

Igualando a cero la suma de los coeficientes de potencias iguales de t se obtie­ ne (n + 2)(n + l)an +2 + (n + 1)2an = 0. Por lo tanto, (ai.+

( n + \ ) 2a„ 0,1+ 2

(n + 2)(n + 1)

1K

n+2

, i|X

'

{

’

La ecuación (11) es una fórmula de recurrencia para los coeficientes a2, a^, . . . en términos de a0 y a ¡ . Para encontrar dos soluciones linealmente inde­ pendientes de (10), se eligen los dos casos más sencillos (i) a0 = 1, = 0 y (ii) a0 = 0, o, = 1 (i)

a0= h

a¡=0.

En este caso, todos los coeficientes impares son iguales a cero, ya que a3 = —2a¡/3 = 0, a5 = -Aa^/5 = 0, etcétera. Los coeficientes pares se determi­ nan a partir de las relaciones Ü1

2

2’

3a2 _ 1 -3 4 2 -4 ’

°4

°6

_ _ ^ 4 _ _ 1-3-5 6 2-4-6

y así sucesivamente. Procediendo de m anera inductiva se ve que “2"

*

^

2 - 4 - --2 n

^

^

2"n\

ASÍpUeS' .2 | .3 I -3- • • (2n — i) 2 ' . ( ' ) = l - y + y ^ ' 4+ - = E ( - > ) --------2^1--------' 2" n=0

(12)

es una solución de (10). La razón del térm ino (n + l)-ésimo al término nésimo de y x(t) es 1 - 3 • • • (2/2 — \ )(2n + \ ) t 2n +2

2nn\

~{2n+\)t2

2n + x( n + 1)!

1-3-• • ( 2 n - l ) t 2n

2(n+\)

y el valor absoluto de esta cantidad tiende a t 2 cuando n tiende a infinito. Por lo tanto, a partir del criterio de Cauchy de la razón, la serie infinita (12) converge para \ t ( < 1 y diverge para |/ | > 1 . <30= 0,

(ii)

a¡= 1.

En este caso, todos los coeficientes pares son iguales a cero y los coeficientes impares están determ inados por las relaciones. "3

_

2a,

3

j J.

“i

_

4a) _ 2 - 4 T _ 3 -5 ’

“7~

2-4-6 3 -5 -7 ’

7

y así sucesivamente. Por inducción se encuentra que

a2n+l~(

0

2-4- • • 2n 3 -5 ---(2 /i+ l)

( - O 'Z W 3 -5 ---(2 /i+ l)

Por consiguiente, 2-4 <

^ n »0

( - \ )n2nn\ v

'

(,3)

188

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

es una segunda solución de (10) y puede verificarse fácilmente que esta solución tam ­ bién converge para |f | < 1 y diverge para |f | > 1. Esto, por supuesto, no es sorprendente, ya que el desarrollo en series de Taylor alrede­ dor de t = 0 de las funciones 3 f/(l + t 2) y 1/(1 + t 2) converge solamente para u i < i. (b)

La solucióny x(t) satisface las condiciones iniciales>>(0) = 1 ,^ (0) = 0, mien­ tras q u e > 2(0 satisface las condiciones iniciales .y(O) = 0, .y'(0) = 1. P or lo tan to , y( t) = 2 y ,(0 + 3^2(0-

Ej e m p l o 3

Resolver el problem a de valor inicial i M

“ ^

+ ' 2| r + 2 9 '“ 0i

S o l u c i ó n . Al hacer y ( t ) =

l U a nt n

n- 0

'( O ) ” 1- / ( 0 ) - 0 .

se calcula

¿ M Í O » 2 n{n — \)aHt H~ 2+ t2 2 naHt n~ x+ 2t 2 aHt * «■0 /i “ 0 #i»0 = 2

«■O

-

n ( n - \ ) a ñt H~2+ 2

/i" * 0

nant n* x+ 2 2 a**”* 1 /»“ o

2 n ( / i - l ) a „ í ”- 2+ f (» + 2 )a ,r* + l. /i“ 0 «“ 0

El siguiente paso es escribir la prim era sum atoria de m odo que el exponente del término general sea n + 1 en vez de n - 2. Esto se logra sum ando 3 a las n de la sumatoria, y disminuyendo el límite inferior en 3; es decir: 2

«■0

« “ —3

oo

2

«“ - I

( '• + 3 ) ( n + 2 ) W

-1

(/. + 3 ) ( n + 2 ) < W +l.

Por lo tanto,

¿ M (0 -

2

* --1

=2a¡+

(» + 3)(n + 2)a„+,r"+l + 2 (« + 2 K ' ’*' «—0

oo

2 ('>+3)(n+2)
«■O

Al igualar a cero las sumas de los coeficientes de las potencias iguales de t se obtiene 2a2 = 0, y (n + 3)(n + 2)an +i + (n + 2)an = 0; n = 0, 1, 2, . . . Por lo tanto,

a2 = 0,

y

an+3= -

;

n > 0.

(14)

La fórm ula de recurrencia (14) determ ina a en térm inos de aQ\ a fl4,e n términos de f l,;a f f 5 en términos de a 2, y así sucesivamente. Dado que a2 = 0, entonces a5t a%, a1I(

189

2.8 • Soluciones en series

. . . son iguales a cero, independientemente de los valores de aQ y a \ . Para cumplir con las condiciones iniciales, se tom a a0 = 1 y crj = 0. Entonces a partir de (14) cr4, cr7, cr10, . . . son iguales a cero, mientras que

a = _ 3

= _ I

3

a = - — = —

3’

6

6

a = - — =

3 -6 ’

9

9

1

3-6-9

y así sucesivamente. Procediendo de m anera inductiva, resulta que

Ü3n

(-ir

(- ir

(-o "

3 -6 * * * 3/i

3" 1 •2• - • n

3 V

'

P or lo tanto, 3 . /6 3 3-6

3-6 -9

'*•

n »0

3V

Según el Teorema 7, estas series convergen para toda /, ya que las series de potencias t 2 y 2/ convergen obviam ente para toda /. (Este hecho puede verificarse también más directo usando el criterio de Cauchy de la razón).

Ej e m p l o 4

Resolver el siguiente problem a de valor inicial

¿ [ , ] = ( / 2- 2 / ) ^ + 5 ( / - l ) ^ + 3 y = 0;

/(l)-3 .

(15)

S o l u c i ó n . Dado que las condiciones iniciales están dadas para / = 1, los coeficien­ tes de la ecuación diferencial (15) se expresan com o polinomios en (/ - 1) y entonces se h allaráy{t) como una serie de potencias alrededor de t = 1. P ara ello, obsérvese que r2 - 2 r = r ( r - 2 ) = [ ( r - l ) + l ] [ ( r - l ) - l ] = ( r - l ) J - I .

P or lo tan to , la ecuación diferencial (15) puede escribirse en la form a t k H ( ' - l ) 2- l ] ^ + 5 ( f - l ) f + 3 , = 0 . co Haciendo y( t) = 1 2 a„(t - 1)", se calcula n =0

¿ | > ] ( 0 = [ ( ' - l ) 2- l ] 2

n —0

n ( n - \ ) a n( t - \ ) n~2

+ 5 ( / - l ) 2 /Iúr/i(/ — l) " ~ 1+ 3 2 n” 0

= - 2

n —0

+ 2

/i —0

= ~ 2

n —0

n —0

an( t - 1)'*

' » ( ' » - O" -2 n ( n - \ ) a ¿ t - \ ) n+ 2

n“0

(5'* + 3 K ( / ~ l)"

( 'i + 2)('»+ 1 K + 2( / - i ),,+ 2

«"0

( n 2 + 4n + 3)am(t - 1)".

190

CAPITULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Igualando a cero las sumas de los coeficientes de potencias iguales de t, se obtiene ~(n + 2)(n +1)an +2 + ( n2 + 4n + ?>)an = 0, de m odo que n+3 /7 + Z

n 2+ 4n + 3 an +2= (/7 ; + 2)(/7 + 1 )

^ ^ 'I > 0 -

( 16)

Para satisfacer las condiciones iniciales, se tom a a0 = 7 y o, = 3 . Entonces, a partir de (16) _ 3 3 Ü2~ 2 a° ~ 2 ’ 4 4 , a3

^

3 al

_ 5 _ 5 - 3 ^ ° 4'~ 4 fl2“ 4-2 ’ _ 6 6-4 ,

’

5^

a5

’

5.3

7 7-5-3 ú'6 _ 6 ° 4~ 6-4-2 8 8-6-4 , 7 -5-3

7 a5

y así sucesivamente. Procediendo dem anera inductiva, se encuentra que 3 -5 -• • (2/7+1) a 2n = ^ r - Á---- 77T “ ’7 2-4- • • (2/7)

4 -6 -•• (2/7 + 2) a 2, + i = T-7-7 , , 'i"V3 3-5- • • (2/7+ 1)

y

(p a ra /7 > l)

Por lo tanto, r (l) = 7 + 3 ( / - l ) + | - 7 ( / - l ) 2+ j - 3 ( l - l ) 3+ . . . ^

3-5- • • ( 2 / 7+ 1 )(/—1)2/T

~

2/7!

=7 +7 V

v ■

n—l

E je m p lo

- +

3( / - l )

v

^

2 /t ( / 7+ 1 ) ! ( / - 1)2,i + 1 + 3 V — i--—e-----

n *• l

3 -5 -•• (2/7+1) v 7

5 Resolver el problema de valor inicial L[y] = ( \ - t ) ^ + ^

+ ( \ - t ) y = 0-,

y ( 0 ) = l,

OO

SOLUCIÓN. Haciendo

y (t)

=

1 2 a nt n ,

n=0

2 « (h - O /i*=0

+2 n

= 2

«*0

naHt n

v

2

/i = 0

« (/i- 1 K /" -2 -

/ t ** 0

'1'

' + (1-0 2 V"

/I ” 0

+ 2

se calcula

2 /I= 0

« - . / * - '+ 2

/1 a* 0

v " -

f

/i = 0

= /12a*1'. («+2)(/7+ 1)^ +2^ - n2= 0 n ( n - 2 ) a ñt" - 1

/ ( 0 ) = 1.

191

2.8 • Soluciones en series + 2 ant n ~ 2

an*H+

= 2 (« + 2 )(/i+ 1 )^ + 2^ - 2 ( n + \ ) ( n - \ ) a n+xt n n=Q n=0 + 2 °„ r- 2 /i=»0 /i = 1 —2 a2 + a l + a0 + 2 { ( n + V { ^ + ^ ) a n +2- { n + \ ) { n - \ ) a n +l + an - a n_ l } t n. n=\ Igualando a cero los coeficientes de cada una de las potencias se obtiene a i + ao — l

y

( / i + l ) ( w - l ) an +l - a n + an_ i ----------- 1 an +2= -----------(n + 2)( n+ \)

„> ].

17)

Para satisfacer las condiciones iniciales se tom a aQ = 1 y a { = 1. Entonces a partir de (17) a 2- - l ,

o3-

— a |+

-

8a 4- a 3 + a 2

° 5=

20

-0 ,

i

= 60 ’

a4-

3 a 3 — a 2 + a,

-

I5as - a4+ a3

30

° 6=

i

j

360

y así sucesivamente. Sin em bargo, no es posible hallar una fórmula general para los coeficientes an, como en los ejemplos anteriores. (Ello se debe a que el coeficiente an +2 depende de los valores de an+ ,, an y an- \ , mientras que en los ejemplos anteriores el coeficiente an +2 dependía únicam ente de uno de sus antecesores.) Sin em bargo, el pro­ blema no es tan serio, ya que pueden encontrarse los coeficientes an fácil y rápido con la ayuda de una com putadora digital. A continuación, se dan ejemplos de programas A PL y F ortran para calcular los coeficientes a2, en términos de a0 y , y así calcular en cualquier punto t la solución “ aproxim ada” y ( t ) ^ a 0+ a it + . . . + a nt n en cualquier punto t se dan a continuación. Estos program as tienen distintos valores para a0 y a¡, de modo que pueden emplearse también para resolver el problema de valor inicial más general ( \ - t ) ^ + ^ + { \ - t ) y = Q;

y ( 0) = ao, / ( 0 ) = a,.

Programa en APL V S E R IE S [1]

A «— NpO

[2]

A[1]«— A1

[3]

A[2]«— — (A1 + A 0 )

2

192

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN [4]

A[3]<— (A O — A 1 ) + 6

[5]

S U M « - A 0 + (A1 X T ) + (A[2J X T * 2) + A [3] X T * 3

[6]

K<—2

[7]

A [ K + 2 M ( A [ K - 1 ] - A [ K ] ) + ( K - 1 ) X ( K + 1 ) X A [ K + 1]) + (K + 1 ) X

[8 ]

S U M < — S U M + A [K + 2 ] X T * K + 2

[9]

K<— K + 1

K + 2

[10]

-*7 X tK < N — 2

[11]

SUM

V

Programa en Fortran D I M E N S I O N A (2 0 0 )

10

R E A D (5, 10) A 0 , A (1 ), T, N F O R M A T (3 F15 .8 , 15) A (2 )= — 0 .5 *(A (1 ) + A 0 ) A (3 ) = (A 0 — A(1 ) ) / 2 . * 3 . SU M = A0 + A (1 )* T + A (2 )* T * *2 + A (3 )*T * *3 NA = N - 2 D O 20 K = 2 , N A A ( K + 2 ) = ( A ( K — 1) — A ( K ) + (K + 1 . ) * (K — 1.) * A ( K + 1 ) ) / ( K + 1 . ) * ( K + 2.)

20

S U M = S U M + A ( K + 2 ) * T * * ( K + 2) C O N T IN U E W R I T E (6 ,3 0 ) N .T , S U M

30

F O R M A T (1 H 1 , ‘F O R N = ', 13,

AND T =

F 1 0 .4 /1 H, T H E

S U M I S \ F 2 0 .9 ) C A L L E X IT END

Si en los program as A0 = 1,A1 = 1, (se tiene que A (l) = 1 para el program a en For­ tran), T = 0.5 y N = 20 resulta , ( i ) = ao + a , ( i ) + ... + a2„ ( i ) 2° “ 1-26104174. Esto es correcto hasta ocho cifras decimales, ya que cualquier valor m ayor que A con­ duce al mismo valor.

Ej e r c i c io s Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones.

ty' + y = 0 (2 + t2)y* —ty' —3y = 0

1. y" + 3.

y " —ty = 0 4. y " —t3y = 0 2.

193

2.8 • Soluciones en series Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial

5.

t ( 2 - t ) y " - 6 ( t - l)y'-4 y= 0 ;

6.

y " + t 2y = 0;

y(0) = 2, / ( O ) - - 1

7.

y"-py =

0;

y (0) = 0, y'(fi) ~ — 2

8.

y " + ( t 2 + 2 t + \ ) y ' — (4 + 4t) y

9.

y ( l ) - I, /( 1 ) = 0

y ( - 1) = 0, / ( - 1 )= 1

La ecuación y " - 2y t ' + Xy = 0, con X constante, se conoce como ecuación dife­ rencial de Hermite y se presenta en muchas áreas de lasmatem áticas y de la física. (a) Obtenga dos soluciones linealmente independientes para la ecuación de Hermite. (b) Demuestre que la ecuación mencionada tiene una solución polinomial de gra­ do n si X = 2/7. Si el polinomio se norm aliza adecuadam ente, es decir, si se multiplica por una constante apropiada, entonces se conoce como polinomio de Hermite H n(t).

10. La ecuación diferencial (1 - t 2) y ” - 2ty' + a (a + 1)y = 0, con a constante, es conocida como ecuación diferencial de Legendre y se presenta en muchas áreas de las m atem áticas y de la física. (a) Encuentre dos soluciones linealmente independientes para la ecuación de Legendre. (b) M uestre que la ecuación diferencial de Legendre tiene una solución polinomial de grado n si a = n. (c) Se define al polinomio de Legendre Pn(t) como la solución polinomial de la ecuación de Legendre con a = n que satisface Pn{ 1) = 1. Encuentre P0(t), P ¿ 0 . p ¿ 0 y P 3 (0* 11. A la ecuación (1 - t 2) y " — ty' + oc2y ( )= 0, con a constante, se le conoce como la ecuación diferencial de Chebyshev (o Tchebycheff) y se presenta en muchas áreas de las matem áticas y de la física. (a) Halle dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Chebyshev. (b) M uestre que la ecuación de Chebyshev tiene una solución polinomial de grado n si a = n. Estos polinomios, con una normalización adecuada, se llaman poli­ nomi os de Chebyshev. 12. (a) O btenga dos soluciones linealmente independientes de y " + t 3y ' + 3 t 2y = 0.

(b)

Halle los prim eros cinco términos del desarrollo en series de Taylor alrededor de t = 0 de la solución y(t) del siguiente problem a de valor inicial y" + Py' + 3t2y = e‘;

y ( 0) = 0, / ( 0 ) = 0.

En cada uno de los Problem as 13 a 17, (a) obtenga los primeros cinco términos del 00

desarrollo en serie de Taylor '12ant n para la solución y{t) del problem a de valor inin =0

cial dado, (b) Redacte un program a para que una com putadora halle los primeros N + 1 coeficientes a0, a {, . . . , aNf y evalúe el polinomio a0^+ a {t + . . . + aNt N. P or últirpo, obtenga una aproxim ación de y(Vi) calculando ^ an(Vi)n n=0

194

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

13.

(1 — t ) y " + t y' + y = 0;

14.

y " + y ' + t y = 0;

y ( 0 ) = I, / ( 0 ) = 0

.v(0) = - 1, y ' ( 0 ) =

2

15. y " + ty' + e ‘y = * 0;

,y(0)= 1, y ( 0 ) = 0

16. y " + y ' + e ‘y = : 0 ;

.y(0) = 0 , >>'(())= —1

17. y " + y ' + e ~ ‘y = 0 - ,

y ( 0 ) - 3 , y'(0) = 5

O b s e r v a c i ó n . La instrucción !N en A PL indica a la com putadora que calcule el factorial N!.

2.8.1

Puntos singulares — Ecuaciones de Euler

Se dice que la ecuación diferencial

( 1) es singular en / = t0 si P(t 0) = 0. Las soluciones de (1) con frecuencia, se hacen muy grandes, o bien, oscilan muy rápidam ente en un entorno del punto singular tQ. Así que las soluciones de (1) pueden incluso no ser continuas, ni mucho menos analíticas en t0, de modo que el método de solución en series de potencias, por lo general no se podrá aplicar. El objetivo es encontrar una clase de ecuaciones singulares que se pueda resolver para t cercano a t0 . Para ello, se iniciará con el estudio de una ecuación muy sencilla conocida como la ecuación de Euler, la cual, aunque es singular, puede resolverse fácil­ mente. Después se utilizará la ecuación de Euler para introducir una clase más general de ecuaciones singulares que tam bién es posible resolver en la vecindad de un punto singular.

D e f in ic ió n .

La ecuación diferencial

(2) donde a y

son constantes, se conoce como la ecuación de Euler.

Para simplificar el problem a se supondrá inicialmente que / > 0. Obsérvese que tanto t 2y " com o t y ’ son m últiplos de t r si y = t r. Esto sugiere que se utilice a y = t r como solución de (2). Calculando

195

2.8 • Soluciones en series se ve que L [ t r] = r ( r — \ ) t r + a r t r + f3tr = [r{r - \ ) +
(3)

donde F ( r ) = r ( r - \ ) + ar + fi = r 2 + ( a — \ ) r + p.

(4)

Por lo tanto y - t r es una solución de (2) si y sólo si r es solución de la ecuación cua­ drática r 2 + ( a - l ) r + /? = 0.

(5)

Las soluciones r x y r2 de (5) son r t = - { [ { a - \ ) + ] [ { a - \ ) 2- 4 p

= - í[(a - ! ) - / ( « - \y ~ 4 P Al igual que en el caso de coeficientes constantes, se deben examinar por separado los casos donde (a - l)2 - 4p es positivo, negativo o igual a cero. C a s o 1 . (<* - i)2 - 4/3 > 0. En este caso la ecuación (5) tiene dos raíces reales y dis­ tintas, y por ende la ecuación (2) tiene dos soluciones de la forma y¡(t) = t r' y y 2(t) = t r'. Por supuesto que t r' y t r- son linealmente independientes si # r2. Así que la solu­ ción general de (2) (para / > 0) es y { t ) = c xt ' x+ c2t r-.

Ejem plo

1

Encontrar la solución general de L [ y ] = t 2^ - + 4 t ^ f + 2 y = 0, dt2 dt

SOLUCIÓN. Al sustituir y = t r en (6) se obtiene L [ t r] = r ( r - \ ) t r + 4rtr + 2tr — [r(r — \) + 4r + 2]tr = ( r 2+ 3 r + 2 ) t r

= ( r + l ) ( r + 2 )/'

Por lo tan to ,

= - \ , r2 = - 2 y , ( 0 = < y - + c2r ’ = ^ + í f

es la solución general de (6).

t > 0.

(6)

196

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

C A S O 2. (a - l)2 - 4/3 = 0. En este caso r, = r-,

1 —a

y se tiene solam ente una solución y = / r' de (2). Es posible encontrar una segunda solución por el método de reducción de orden (Ejercicio 11). Sin em bargo se presentará aquí otro método para obtener y 2, el cual se generalizará explícitamente en la Sección 2.8.3. Obsérvese que en el caso de raíces iguales F(r) = (r - r {)2. Por lo tanto, L [ l ' ) = ( r - r , ) 2l'.

(7)

Al derivar parcialmente am bos lados de (7) con respecto a r, se obtiene

é ‘;

= Tr[(r - ^

‘\

Dado que d ( t r) / d r = t r \ nt , se ve que L [ r rln r ] = (r — rl )2t r\ n t + 2(r — r }) t r.

(8)

El lado derecho de (8) se anula para r = r¡. Por lo tanto, L [ r r,ln r] = 0 lo cual implica que y 2(0 = í r' ln t es una segunda solución de (2). Además, dado que t r' y t r' ln t son linealmente independientes, se tiene entonces que la solución general de (2) en el caso de raíces iguales es y ( í ) = ( c l + c2ln ( ) r r,

EJEMPLO 2

<>0.

E ncontrar la solución general de =

+ 9 y = 0,

(> 0 .

S o l u c i ó n . AI sustituir y = t r en (9) se obtiene que L [ t r] = r ( r — \ ) t r — 5rtr + 9t r = [r(r-\)-5 r+ 9 ]tr = (r2- 6 r + 9 ) t r = ( r - 3 ) 2
v2( 0 = ' 3In t

y la solución general de (9) es y (r ) = (c, + c2l n / ) r 3,

/> 0 .

(9)

197

2.8 • Soluciones en series C A S O 3. (a - l)2 - 4/3 < O. En este caso r, = X + ip

y

r2 = X — ip

con

son raíces com plejas. P or lo tanto,

(/) = /x+'>= /Y> = íx(
es una solución de (2) con valores complejos. Pero entonces (Sección 2.2.1) >>,(/) = Re{<>(/)} = / Ac o s (p ln í)

y y 2( t ) = lm{(t)} = t xsen(¡x\nt) son dos soluciones reales de (2) linealmente independientes. De modo que la solución general de (2), en el caso de raíces complejas, es y { t ) = / A[c,cos(/iln /) + c2sen(juln f )] con X y p dados por (10).

Ej e m p l o 3

E ncontrar la solución general de la ecuación L [ y ] — t 2y " —5ty' + 25y = 0,

/> 0 .

SOLUCIÓN. Sustituyendo y = t r en 11 se obtiene L [ t r] = r{r — \ ) t r —5rtr + 25tr = [r{r-\)-5r+ 25]tr = [r2- 6 r + 2 5 ] t r Las raíces de la ecuación r 2 - 6/- + 25 = 0 son 6 ± /3 6 —100 -------= 3±4/ de m odo que

= í 3e (Ui/)4í = í 3e i(41n /) = / 3[cos(41n /) + /sen(41n /)] es una solución de (11) con valores complejos. P or lo tanto, > ,(r) = Re{<>(/)} = r 3cos(41ní)

(11)

198

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN y 2{t ) = Im{<í>(r)} = r 3sen(4ln /)

son dos soluciones linealmente independientes de ( l l ) , y la solución general es y { t ) = / 3[c,cos(4ln r) + c->sen(4In /) ] ,

/ > 0.

De nuevo se analizará el caso t < 0. Una dificultad es que t r puede no estar defi­ nido si t es negativa. Por ejemplo (—1)'/: es igual a /, que es imaginaria. Una segunda dificultad es que In t no está definido si t es negativa. Aplicando el siguiente cambio de variable se pueden evitar am bos problemas. Se define t= -x,

x>0,

y sea y = u(x), x > 0. A partir de la regla de la cadena dy _ du dx _ dt dx dt d 2y _ dt2 dt

/ du \ _ _d_ ( dt\ dx) dx\

du dx d u \ dx _ d 2u d x ) dt d x 2

Así, la ecuación (2) puede reescribirse en la forma dhx dx‘ o bien d 2u du . + a x — + (5u = 0, dx2 dx

jc >

0

( 12 )

Sin embargo, la ecuación (12) es exactamente la misma que la ecuación (2) con t susti­ tuida por x y y reem plazada por u. Por lo tanto, la ecuación (12) tiene soluciones de la forma C,JCr '

u(x) =

+ c2x ri

(c, + c2ln Jt).xr'

(13)

[c,cos(/iln x ) + c £e n (n \ n x ) ] x x dependiendo de si (a - l)2 - 4/3 es positivo, igual a cero o negativo. Obsérvese ade­ más que

JC=-/ = |f| para t negativa. Así, para t negativa, las soluciones de (2) tienen alguna de las formas c .i/p + c z i/r [c, + c2l n | / | ] | / p [c ,c o s(/i.ln |/|) + c2s e n (/x ln |/|)] | / | x

199

2.8 • Soluciones en series O

b s e r v a c ió n .

La ecuación ( ' “ O 2“ ^ + « ( ' - ' o ) ^ | + 0 > ' = O

(14)

es tam bién una ecuación de Euler con una singularidad en t = í0, en vez de en / = 0. En este caso se buscan soluciones de la forma (/ - tQ)r. O tra manera de resolver el pro­ blema es reducir la ecuación (14) a la form a (2), con el cambio de variable x = t - t0.

Ej e r c i c i o s En los Problem as 1 a 8, halle la solución general de la ecuación dada. 1. t 2y " + 5 t y ' - 5 y = 0

2. 2 t 2y " + Z t y ' - y = 0

3. (/ —\)2y ' ' ~ 2(t —l)^ ' + 2 y = 0

4. t zy " + 3 t v ' + y = 0

5. t 2y ” - t y ’ + y = 0

6. ( t - 2) 1y ” + 5( / - 2) y ' + 4 v = 0

7. t 2y " + t y ' + y = 0

8. t 2y " + 3rv' + 2 y = 0

9. Resuelva el problem a de valor inicial t 2y ” — t y ' — 2 y — Q\

_y( 1) = 0,

en el intervalo 0 < t < 10. Resuelva el problem a de valor inicial t 2y " —3ty' + 4y = 0; >’(1) = 1,

y'( 1 )= 0

en el intervalo 0 < t < 11. Use el m étodo de reducción de orden para m ostrar que, en el caso de raíces igua­ les, y 2{t) = t r' ln /.

2 .8 .2

Puntos singulares regulares —el método de Frobenius

El objetivo ahora es encontrar una clase de ecuaciones diferenciales singulares que sea más general que la ecuación de Euler o pero que tam bién puedan resolverse con técnicas analíticas. P ara ello se escribe (1) en la form a

200

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Una generalización norm al de (2) es la ecuación

¿Lvl = ^ f + / > ( ') $ + 9(0> = o

(3)

donde p(t ) y q(t) pueden desarrollarse en series de la form a /> (/) = ~ + Pi + p 2t + P i ‘ 2 + ••• <7( t ) =

+ Í2 +

<Í 3 t +

Í4r

2+ ' ••

(4)

DEFINICIÓN. Se dice que la ecuación (3) tiene un p un to singular regular en t = 0, si p(t ) y (t) tienen desarrollos en serie del tipo (4). De m anera equiva­ lente, t = 0 es un punto singular regular de (3) si las funciones tp(t) y t 2q ( t ) son analíticas en / = 0. Se dice que la ecuación (3) tiene un punto singular regular en t = íq si las funciones ( t - to)p(t) y (t - to)2q(t) son analíticas en t = t0. Un punto singular de (3) que no es regular se llam a irregular. Ej e m p l o 1

Clasificar los puntos singulares de la ecuación de Bessel de orden v d 2y dt 2

.

dy dt

donde v es una constante. S o lu c ió n . En este caso P(t) = t 2 se anula en t = 0. Por lo tanto, t =0 esel único punto singular de (5). Al dividir am bos lados de (5) entre t 2 se obtiene dt2

Obsérvese que tanto

, ,

tp{t) = \

t dt

y

\

)r

, , .

,

t2q{t) = t2 - v 2

son analíticas en / = 0. P or lo tanto, la ecuación de Bessel de orden singular regular en / = 0.

Eje m p l o 2

v tiene un punto

Clasificar los puntos singulares de la ecuación de Legendre + o ( « + 1)y = 0

(6)

donde a es una constante. S o l u c i ó n . Dado que 1 - t 1 se anula para / = 1 y / = - 1 , entonces (6) es singular en / = ±1. Al dividir am bos lados de (6) entre 1 - t 2 resulta

201

2.8 • Soluciones en series Obsérvese que tanto

como

(t -

1 )2q ( t) = a ( a + 1 ) i j - - í y -

-

a (a + 1 ) y y y

son analíticas en / = 1. De m anera similar, (/ + 1)/?(/) y (t + l )2q(t) son analíticas en t = - 1 . Por lo tanto, t = 1 y t = -1 son puntos singulares regulares de (6).

Ej e m p l o 3

M ostrar que / = 0 es un punto singular irregular de la ecuación ' l f £ + 3 £ + 9- = 0. dt2 dt

(7)

S o l u c i ó n . Al dividir entre t 2 se obtiene d 2y 3 dy 1 d t 2 + t 2 dt + t y

°-

En este caso, la función

< p(o= »(£H no es analítica en / = 0. Por lo tanto, t - 0 es un punto singular irregular de (7). A hora se vuelve a la ecuación L{y] = ^

+ p ( t ) % + q(t)y = o

(8)

donde t = 0 es un punto singular regular. P ara simplificar el problem a, considérese solamente el intervalo t > 0. Multiplicando (8) por t 2 se obtiene la ecuación equivalente

Puede decirse que la ecuación (9) se obtuvo de (1) al sum ar potencias mayores de t a los coeficientes a y /3. Ello sugiere que tal vez es posible obtener soluciones de (9) al sum ar térm inos de la form a t r+ \ / r+2, . . . , a las soluciones t r de (1). Concretamente se tratarán de obtener soluciones de (9) del tipo

y(‘ )= 1

n= 0

Ej e m p l o ecuación:

4

= 1 a,f. n —0

Encontrar dos soluciones linealmente independientes de la siguiente

L [y ] = 2 * ~ y +

+ ty = 0>

0 < /< o o .

(10)

202

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

S o lu c ió n ,

sea

y(>)= 2

°o*o-

rt —0

Derivando /(/)= /'(/) =

1

n=0

2 ( » + ') « / * '" n= 0 ( n + r ) ( n + r - l ) a „ , " +'

-2

entonces L [ y ] = ( ' 2 2 (n + r)(n + r-l)a„/" -1 n = 0

n =0

n=0

2 2

( n + r ) ( n + r - \ ) a nt n~'

n = 0

+

2

n= 0

( n + r ) a „ / " - 1+

2

n= 2

= [ 2 r ( r — l ) a 0 + ra0\ t r~ l + [2(1 + r ) r a x + (1 + r ) a l] r r

OC

+ 2 [2(n + r ) ( n + r - l ) a „ + (n + r ) o „ + a „ _ 2] » "+' -1 n = 2

AI igualar a cero los coeficientes de cada una de las potencias de t, se obtiene (i) 2 r ( r - l ) a 0 + r a 0 = r(2r - l)fl0 = 0, (ii) 2(r + l)ra , + ( r + l)a , = (r + 1)(2r + l)a , = 0,

y

(üi) 2(/f + r)(/i + r - \ )a n + ( n + r ) a n = (/i + r)[2(n + r ) - \ ] a n = - a n_ 2, n>2. La prim era ecuación determ ina a r ; de hecho implica que r = 0, o bien r = '/2. La segunda ecuación implica, entonces, a, = 0, y la tercera ecuación determ ina a an para n > 2. (i) r = 0. En este caso, la fórm ula de recurrencia (iii) es — a.n —2

a_ = " n{2n — 1) ’

/i 3* 2.

Dado que a x - 0, resulta que tocaos los coeficientes impares son iguales a cero. Los coeficientes pares quedan determ inados por las relaciones -a c 2-3

,

a4 =

u2 _ u0 4-7 “ 2 -4 -3 -7

_ ~ a4 _ 6-11

2 -4 -Ó -3 -7 -11

203

2.8 • Soluciones en series y así sucesivamente. T om ando a0 = 1, se ve que ,2 «4 t" (—\Ytln 1- . . . = 1-|- V ------- 2-----1-----1-3-7 2 V !3 -7 ---(4 «

~

es una solución de (10). Es fácil verificar, si se usa el criterio de Cauchy de la razón, que esta serie converge para toda t. (ii) r = Vi. En este caso la fórm ula de recurrencia (iii) es =

~

a n- 2

_

(n + i)[2 (/i + í ) ~ l]

~

a n - 2

n(2n + 1) ’

w >2.

Una vez más todos los coeficientes impares son iguales a cero. Los coeficientes pares quedan determ inados por las relaciones °2

=

a 2 -4 -5 -9 ’

, __ ~ ° 2 2-5 ’ ° 4 4-9

6

613

a 2 -4 -6 5 -9 * 1 3

y así sucesivamente. Al hacer a0 = 1, se encuentra que t 2( 0

+ •• ' 2 -4 -5 -9

^ + = ' ,/2 1 - 2-5

( — l ) " / 2" 2"a7 !5 -9 - • - (4/i + 1)

= ,»/2

es una segunda solución de (10) en el intervalo 0 < t < °°. O b s e r v a c i ó n . Si se m ultiplican ambos lados de (10) por t se obtiene 2, ^

di2

+ 4

dt

^

= 0.

A esta ecuación se le puede considerar como una generalización de la ecuación de Euler

La ecuación (11) tiene soluciones de la forma t r, donde 2 r ( r - \ ) + r = 0. Esta expresión m atem ática equivale a la ecuación (i) que determ inó a r para las solucio­ nes de (10). A continuación, se verá si la técnica expuesta, conocida com o método de FrobeniuSy funciona también para la ecuación más general (9). (En el resto de la sección se supondrá que t > 0). De acuerdo con el supuesto, la ecuación puede escribirse en la forma

L[y] = t2^ ¡ + t[po + Pd + Pit2+ •• • ] ^ í + [?o + ‘7i' + ‘72'2 + ••■]y = 0Hágase

OO y i 1) — 2 a n{n+r, con a 0 ¥= 0. n = 0

204

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Derivando / ( ') =

2 ( n + r ) a n, " +' - ' n =0

n= 0

de donde resulta =

n 2

n= 0

(n + r)(n + r -

l)flní"+ 2

\ m = 0

PJ'

Al realizar la multiplicación y reagrupar térm inos se obtiene que L [ y ] = [ r ( r - \ ) + p 0r + q0] a 0t r r+ l

+ {[(! + r ) r + /?0( 1 + /•) + <70] * i + ('P i +

+ |[ ( « + '•)('* + ' • - 0 + Po(n + r ) + %\ a n + 2

[{k + r ) p n- k + qñ- k] a \ t H+r

+ •••

.

k= 0

J

Esta expresión puede simplicarse haciendo (12)

F ( r ) = r { r - \ ) + p 0r + q0. Entonces L [ y ] = a o F { r ) t r + [ a xF{\ + r ) + {rpx + q x) a ¿ [ t ' +r + ••• + a nF (n + r ) t n+r +

j

+ r ) p „ . k + q n_k] a ^ t n+r

Igualando a cero los coeficientes de cada una de las potencias de /, se obtiene que (13)

F ( r ) = r ( r - \ ) + p 0r + q0 = 0 y

F(n + r)a„ = -

n —l 2 l ( k + r ) p H. k + q „ , k] a kt

k=0

n> \.

(14)

205

2.8 • Soluciones en series

A la ecuación (13) se la conoce como ecuación indicia! de (9). Se trata de una ecua­ ción cuadrática en r, y sus raíces determ inan los dos valores posibles r { y r2 de r, para los que puede haber soluciones de (9) de la form a

I

n =0


Nótese que la ecuación indicial (13) es la ecuación que se obtendría al buscar soluciones del tipo t 2 para la ecuación de Euler. , d 2y ,

dy

La ecuación (14) m uestra que, en general, an depende de r y de todos los coeficien­ tes que le preceden: aQ, a {, . . . , an. Es posible resolver la ecuación recurrentemente para despejar an suponiendo que F{\ + r), F( 2 + r), . . . , F ( n + r) son diferentes de cero. Sin em bargo, obsérvese que si F(n + r) = 0 para algún entero positivo n, enton­ ces n + r es una raíz de la ecuación indicial (13). De aquí, se tiene que si (13) tiene dos raíces reales r , , r2 con r { > r2, y r x - r2 no es un núm ero entero, entonces la ecua­ ción (9) tiene dos soluciones de la form a y M = t r' 2 a n( r l ) t n, y 2{t) = t r' 2 a ñ(r2) t \ n= 0

n —0

y es posible dem ostrar que dichas soluciones convergen en el mismo intervalo, donde convergen tanto tp{t) com o t 2q(t).

O b s e r v a c i ó n 1 . La notación an{rx) y an(r2) se introdujo para destacar que an que­ da determ inado al elegir r — r ( , o bien r = r2.

Ej e m p l o 5

Encontrar la solución general de la ecuación ¿ [> ’] = ‘* í ^ : + 3 ^ + 3 > - = 0.

(15)

SOLUCIÓN. La ecuación (15) tiene un punto singular regular en / = 0, ya que tanto tp(‘) = l

y(t)=

2

n =0

y

/ 2í ( * ) = i f

a0*

0.

Derivando

y \0 = 2

n =0

{n + r ) a nt n+r 1

206

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

/ '( 0 =

2 (n + r ) ( n + r - l ) a nt n+r 2 n =0

entonces H y ) = 4 1 (/i + r) (/i + r - - l ) a #/ ' +' - 1 n= 0 oc

00

+ 3 2 (n + r ) a „ í”+ r- ' + 3 2 < V "+r /i = 0 /i = o

=

oo

2

oc

[4(n + r ) ( n + r — l) + 3(n + r ) ] a „ t n+r~ l + 2 3 a „ _ l/ " +' - ‘.

n = O

n= l

Igualando a cero las sumas de los coeficientes de potencias iguales de t se obtiene 4 r ( r — 1) + 3r = 4 r 2 —r — r(4r — l) = O

(16)

y [4(« + r ) ( n + r - l ) + 3(n + r ) ] a „ = ( n + r) [4 (n + r ) - l ] a n = - 3 a n_ ,, n > \ .

(17)

La ecuación (16) es la ecuación indicial e implica que r = O, o bien r ='/a. Dado que la diferencia de las raíces no es un núm ero entero, entonces es posible encontrar dos soluciones de (15) de la forma

I

n = O

con a„ determ inada a partir de (17). r - 0. En este caso la fórmula de recurrencia (17) se reduce a a = —3

4ai(/i —1) -h 3/7

Haciendo tf0 = 1 se obtiene a,

1,

a2

_ -3 flt 2-7

n(4n — 1) 1 2 -7 ’

3

1.1 i

4

~ 3 a 3 _ . 3, ______ 1_ 4-15 2 - 3 - 4 - 7 - 11•15 ’

y en general ( — l ) n3,,~ l Qn~ n ! 7 - l M 5 - - * ( 4 / i - l ) ' Por lo tanto, /

V ( — l ) w3”~' = o « Í7• 11 • 15 • • ■(4/i —I )

(18)

207

2.8 • Soluciones en series

es una solución de (15). Además, es fácil notar, usando el criterio de Cauchy de la razón, que >>|(0 converge para toda t. Por lo tanto, y {(t) es una solución analítica de (15). r = Vi. En este caso, la fórm ula de recurrencia (17) se reduce a

1

(rt + ¿ ) [ 4 ( / i - $ ) + 3]

_

n(4n + \ ) '

Haciendo a0 = 1, resulta -3 5 ’ W2

32 2 -5 -9 ’ ° 3

—33 2• 3-5*9-13 ’

34 2 -3 - 4 -5 -9 -13*17 Procediendo de manera inductiva se ve que a_ —

(-1 )"3 " /H 5 - 9 - 1 3 - - ( 4 /i + l) '

Por lo tanto,

(_ 1 )"3 « yÁ,)

' l/4 J o n !5 -9 -13 • - - (4n + 1)

es una segunda solución de (15). Además puede dem ostrarse fácilmente, usando el criterio de Cauchy de la razón, que esta solución converge para toda t positiva. Nótese, sin em bargo, que no es diferenciable en t = 0. El m étodo de Frobenius encuentra obstáculos en dos casos diferentes. El primer caso ocurre cuando la ecuación indicial (13) tiene raíces iguales r x = r2. Aquí, puede hallarse solam ente una solución de (9) de la form a

y,(‘ ) = ir' 1 «„»” • n —0

En la siguiente sección se dem ostrará que (9) tiene una segunda solución y 2(t) de la forma y 2( t ) = y , 0 ) 1 n r

+ r-' 2

b„t"

y se expondrá cómo calcular los coeficientes bn . El cálculo de las bn es, por lo general, un problem a muy difícil. Sin embargo, cabe señalar que para muchas aplicaciones en física se rechaza la solución y 2(t)> con la explicación de que es singular. Así en muchos casos basta encontrar y x(t) solamente. También es posible hallar una segunda solución y 2(t) por el m étodo de reducción de orden, pero esto pesenta mucha dificultad. El segundo caso ocurre cuando las raíces r {, r2 de la ecuación indicial difieren en un núm ero entero. Supóngase que r x = r2 + N, donde N es un entero positivo. Aquí es posible encontrar una solución de la forma y M = >'•

I

n= 0

“nt \

208

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Sin em bargo, puede que no sea posible hallar una segunda solución y 2(t) de la forma

* ( ') = ''• 2 v n —0

Esto es porque F(r2 + n) = 0, cuando n = N. Así el prim er miembro de (14) es iV—i 2 [(* + *2) P s - k + 4 s - k \ a k *= o

° ' aN = -

(19)

cuando n = N. Esta ecuación no se satisface para ninguna elección de aN, si ¿v — i

2 [( ^ + rl ) P N - k + í! s - k ] a k ^ 0. k= 0 En este caso

(Sección 2.8.3), la ecuación (9) tiene una segunda solución de la forma

y2(t) =

+

2 V ”

n= 0

donde, una vez más, el cálculo de las bn es difícil. Por otro lado, si se anula la sum a en el segundo miembro de (19), entonces es arbitrario, y puede obtenerse una segunda solución del tipo

*(0=''* i v n= 0

A continuación se ilustra un caso así con el siguiente ejemplo.

Ejem plo ó

E ncontrar dos soluciones de la ecuación de Bessel de orden t 2^

+ t & + ( t 2 - \ / 4 ) y = 0,

0 < / < oo.

Vi (20)

S o l u c i ó n . Esta ecuación tiene un punto singular regular en / = 0, ya que tanto

tp {t) son analíticas en

t

—\

and

t 2q (t)

=

t 2 —\

- 0. Hágase

y(0 = 2 a„tn+r, a0J=0. H= 0

Derivando

y

/ ( ') = / '( ') =

«

2

n= 0

00 2 (n + r ) a nf * r- '

n= 0

(n + r ) ( n + r — \ ) a nt n+r~ 2

209

2.8 • Soluciones en series por lo

que £ [> > ]= 2 (n + r ) ( n + r - \ ) a „ t n+r+ f ( « + r ) a nt nJhr n =0 n—0

+ f a ,l"+r* 2- i 1 n= 0

n= 0

= 2 [('* + '')('* + ' ' - l ) + ('* + ' ' ) - i W n —0

,, +,'+

2 a n -2tn +rn —2

Igualando a cero las sumas de los coeficientes de potencias iguales de t, se obtiene ^ ( 0 * 0 = [ ' ( ' ' - l ) + ' ' “ ¿ K = ('-2 -

4)00 =

°

/ ’(l + r)fli = [(l + r ) r + ( l + r ) - | ] a , = [(1 + r f - \ ] a x = 0

y F(n

+ r ) a n = [(n + r f

~ \ ] a n - - an_ 2, n > 2

(0 (ü)

(Ui)

La ecuación (i) es la indicial, e implica que r, = Vi, r2 = - V i . r { - V2 :Hágase a0 = 1. La ecuación (ii) exige que a¡ sea igual a cero, y la fórmula de recurrencia (iii) implica que - — -

d

n li .—

F (n + j)

dni*— l7

w> 9*

w(/i + 1) ’

Esta ecuación, a su vez, implica que todos los coeficientes impares o3, a5, . . . son igua­ les a cero y que los coeficientes pares están determ inados por las relaciones _ ~ 2-3 _ ~a2_ ° 4 ~ 4-5 ~ _ - a4 _ ° 6 ~ 6-7 ~ °2

- 1_ 1 2-3 3! 1 1 2-3*4-5 ~ 5! -1 _ 2-3-4-5-Ó -7 ~

1 7!

y así sucesivamente. Procediendo de m anera inductiva, resulta 2”

( 2 n ) ! ( 2 n + l)

P o r lo tanto,

es una solución de (20). D icha solución puede escribirse como

210

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

r = - V i : Hágase aQ = 1. Dado que 1 + r2 = Vi tam bién es una raíz de la ecuación indicial, se podría pensar que tal vez haya problem as si se trata de despejar . Sin em bargo, la ecuación (ii) se satisface por sí misma sin im portar qué valor tom e . En lo sucesivo, se tom ará a ¡ = 0. [Un valor de cr¡ diferente de cero daría com o resultado un múltiplo de y x(r).] La fórm ula de recurrencia (iii) tom a la form a „ — n

~ ü n-2 _ ~ Qn - 2 _ ~~ü n-2 ^ j j ( 1\ 1 ^ — (n -i) - í " " n ( n ~ ')

Los coeficientes impares son, una vez más, todos iguales a cero, y los coeficientes pares son

°2

__ ~ aQ _

a, = 6

2-1

i

2!

~ a2 _ 1 4-3 4! - aá 1 6-5 6!

y así sucesivamente. Procediendo de m anera inductiva, se ve que «2» =

(-ir

(2 b )! •

Por lo tanto,

1 — eos t V es una segunda solución de (20).

O b s e r v a c ió n

1 . Si r es una raíz com pleja de la ecuación indicial, entonces

y(t) = ‘r 2 “X n= 0

es una solución de (9) con valores com plejos. Es posible verificar fácilmente que para este caso tanto la parte real como la im aginaria d e ^ (/) son soluciones de (9) con valores reales. O b s e r v a c ió n 2 . Si se desea resolver (9) en un intervalo donde t es negativa, enton­ ces es necesario hacer y ( ‘ ) = \‘ V

2

n= 0

a,r

La dem ostración es com pletam ente análoga a la indicada para la ecuación de Euler en la Sección 2.8.1, y se deja al lector com o ejercicio.

211

2.8 • Soluciones en series Los resultados obtenidos hasta ahora se resumen en el siguiente teorema:

TEOREMA 8. Considérese la ecuación diferencial (9) con t = 0 un punto singular regular. Entonces las f unciones tp(t) y t 2q(t) son analíticas en t = 0, con desarrollo en series de potencias. = Po + P f + P i t 2 + " • > '2<7(0 = <7o + ? i ' + ? 2 '2 + la cual es convergente para 11\ < p. Sean r x y r2 las dos raíces de la ecuación indicial r { r - \ ) + p 0r + q0 = Q con r, > r2 si son reales. Entonces la ecuación (9) tiene dos soluciones y {(t) y y i ( 0 linealmente independientes en el intervalo 0 < t < q de la siguiente f o rma: (a) Si r, - r2 no es un entero positivo, entonces * ( ' ) = ''■ 2

rt — 0

»„t",

* ( / ) = / '■ 1 v " . n=0

(b) Si r¡ = r2, entonces y M = >r' 2 a . t \ rt = 0

y1U ) = y M ^ > + >r' 2 V " n —0

(c) Si r¡ - r2 = N, N entero positivo, entonces >,i ( 0 = í r' 2

rt — 0

y 2( t ) = a y f t ) \ n t + t r> f

rt =

0

donde la constante a podría ser igual a cero.

Ej e r c i c i o s En cada uno de los Problem as 1 a 6, determine si el valor especificado de t es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. t ( t — 2) 2y " + ty' + y = 0; t = 0

2. t ( t — 2)2y ” + ty' + y = 0; t = 2

3. ( s e n / ) ^ " + ( c o s t ) y ' + y y = 0; t — 0

4. ( e l — l ) y " + e ' y ' + y = 0; / = 0

1.

5- ( , - , V ' + s W ^ ) / + ^ = 0 ; ' = _ 1 6. t 3y ” + ( s e n t 2) y ' + t y = 0; t = 0

O btenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. 7. 2 t 2y ” + 3 t y ' - ( \ + t ) y = 0

8. 2ry" + ( l - 2 / ) y '- > ' = 0

212 9. 11.

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 2 t y " + {\ + t ) y ' - 2 y = Q 4 t y " + 3 y ' — 3y = 0

10. 12.

2 t 2y " ~ ty' + {\ + t ) y = 0 2 t 2y ” + ( t 2 ~ t ) y ' + y = 0

En cada uno de los Problem as 13 a 18, encuentre dos soluciones linealmente indepen­ dientes de la ecuación dada. En cada uno de los problem as las raíces de la ecuación indicial difieren en un entero positivo; sin em bargo, existen dos soluciones de la forma

13. 15. 17.

t2y ”— ty' — (t2 + $)y =

19.

Considere la ecuación

0

t y" — ( t 2 + 2 ) y ' + ty = 0 t 2y " + t ( t + \ ) y ’— y

=0

14. 16. 18.

t2y " + (t — t2)y' — y =

0

t 2y ” + (3t — t 2) y ' ~ ty = 0 t y " -(4 -+

/ ) / + 2y = 0

t 2y " + ( t 2 — 3 t ) y ' + 3 y = 0

(*)

(a) Demuestre que r = 1 y r - 3 son dos raíces de la ecuación indicial de (*). (b) Encuentre una solución en series de potencias para (*) de la form a .Vi(0 = ' 3 1 a nt \ n~ 0

a Q= 1.

(c) Demuestre que y\(t) = (d) Pruebe que (*) no tiene solucione de la form a 00

1 1 bn, \ n= 0

(e) Halle una segunda solución para (*) usando el m étodo de reducción de orden. Exprese la respuesta en form a integral.

20.

Considere la ecuación t 2y " + t y ’- ( \ + t ) y = 0.

(a) Demuestre que r = -1 y r = 1 son dos raíces de la ecuación indicial. (b) Encuentre una solución de la form a y M

= * !

n= 0

a ¿ H-

(c) Halle una segunda solución usando el m étodo de reducción de orden.

21.

Considere la ecuación t y " + t y ’+ 2 y = 0.

(a) (b)

Demuestre que r = 0 y r = 1 son dos raíces de la ecuación indicial. Encuentre una solución de la form a =/

1

n= 0


(c) Halle una segunda solución usando el m étodo de reducción de orden.

213

2.8 • Soluciones en series 22. Considere la ecuación t y ” + ( \ - t 2) y ' + 4 t y = 0.

(a) Demuestre que r = 0 es una raíz doble de la ecuación indicial. (b) Encuentre una solución de la form a (c) Halle una segunda solución usando el m étodo de reducción de orden. 23.

Considere la ecuación de Bessel

de orden cero. t 2y " + t y ' + t 2y = 0.

(a) (b)

Demuestre que r = 0 es una raíz doble de la ecuación indicial. Encuentre una solución de la form a

Esta solución se designa como (c) Halle una segunda solución usando el m étodo de reducción de orden. 24.

Considere la ecuación de Bessel

de orden v

t 2y " + ty' + ( t 2 — y 2) y = 0

donde v es real y positivo. (a) Encuentre una solución en serie de potencias. =

2

¿ v% n- 0

*o = l -

La función J f t ) se conoce como f unción de Bessel de orden v. (b) Halle una segunda solución si 2v no es un entero. 25. La ecuación diferencial t y" + (\ - t ) y ' + \ y = 0,

X es una constante

se conoce com o ecuación diferencial de Laguerre. (a) Demuestre que la ecuación indicial es r 2 = 0. (b) Encuentre una solución y(t) de la ecuación de Laguerre de la forma (c) Demuestre que dicha solución se reduce a un polinomio si X = n. 26. La ecuación diferencial t(\

-

t)y"+ [y

~(\ +

a + P ) t ] y f- a f t y = 0

donde a, 0 y y son constantes se denom ina ecuación hipergeométrica. (a) Dem uestre que t = 0 es un punto singular regular, y que las raíces de la ecua­ ción indicial son 0 y 1 - 6. (b) Demuestre que t = 1 tam bién es un punto singular regular, y que las raíces de la ecuación indicial, en este caso, son 0 y y - a - 0. (c) Suponga que y no es un entero. Encuentre dos soluciones y^(t) y ^ ( 0 de la ecuación hipergeom étrica de la form a ^ i(0 =

2

rt = 0

<*nt \

y 2( t ) = t ' - y 2

n —0

V "-

214

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

27. (a) Pruebe que la ecuación 2(senr)>',' + ( í —( ) y ' ~ 2>, =

0

tiene dos soluciones de la form a y M =

(b)

1

n —0

a nt \

y 2( t ) = t i / 2 1

n= 0

bnt \

Encuentre los primeros cinco términos en estos desarrollos en serie suponien­ do que üq = bg = 1.

28. Sea y(t) = u(t) + iv(t) una solución de (3) con valores complejos, siendo p(t ) y <7(0 funciones con valores reales. M uestre que tanto u(t) como v(0 son soluciones de (3) con valores reales. 29. (a) Demuestre que la ecuación indicial de t l y " + ty' + ( 1 + t ) y — 0

(b)

(*)

tiene raíces complejas r — ±i. Demuestre que (*) tiene dos soluciones ^ ( 0 linealmente independientes de la form a y { t ) =sen(lnf) 2 ^„tn + cos(ln/) 2 bní n. n —0

2 .8 .3

n=0

Raíces iguales y raíces que difieren por un número entero

Raíces iguales. El problem a que se presenta si la ecuación indicial tiene raíces iguales r, = r2 es que la ecuación diferencial P ( t ) ^ + Q ( t ) & + R(t)y = 0

(1)

tiene solam ente una solución de la form a y(t)

=

(2)

tr 2 n= 0

El método para encontrar una segunda solución es muy similar al que se emplea para encontrar una segunda solución de la ecuación de Euler, para el caso de racies iguales. Escríbase la ecuación (2) de la siguiente m anera, y{t) = y(t,r) = tr

2

n= 0

a„(r)tn

215

2.8 • Soluciones en series

para hacer notar que la solución y{t) depende de la elección de r. Entonces (Sección 2.8.2).

2 . 8 . 2 ).

L [ y ] { t , r ) = aQF { r ) t r n —1 \ a n{ r ) F {n + r ) + 2 [ ( k + r ) p n- k + qH- ^ a k \ t n+r.

+ 2

n —1 [

J

k=0

A hora es posible considerar a r como una variable continua, y determ inar a an como una función de r, con la condición de que los coeficientes de t n +r sean nulos para n > 1. Así pues, n —1

On( r )

2

k =0

[(k + r )Pn-k + Cln-k\ak F(rt + r)

Con esta elección de an(r), se encuentra que L [ y ] { t , r ) = aQF { r ) t r.

(3)

En el caso de raíces iguales, F(r) = (r — r {)2, de modo que se pueda escribir (3) en la forma L [ y ] ( F r ) = a 0( r - f \ ) 2t r. Puesto que L[y](t, r,) = 0, se obtiene la solución O0 + 2 n —l Obsérvese ahora que _a_ L[y]{t,r) = L 9r

( C ')

= ^ flo ( r " r i ) 2/r = 2 a 0( r - r j ) / r + a Q(r - r , ) 2( l n / ) / ' se anula cuando r = r¡. A hora bien y 2( 0 = j9zry i ( í >r )lr=rl _9_ 9r =

r = r,

2

2

n= 0

= >■,(,) l n r +

n=0

2 n= 0

es una segunda solución de (1).

216

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Ejem plo

1

E ncontrar dos soluciones de la ecuación de Bessel de orden cero

¿[>,] = '2^7 + '¿jr+0-

(4)

S o l u c i ó n . Hágase

Derivando

y’(0 = 2 (n+ r)o„tn+r ‘ n= 0

/ ' ( » ) = 2 (n + r ) ( n + r - l ) a „ í " +' - 2 n= 0

entonces

£ [ > - ] = 2 (n + r)(n+ r-\)a,t"*r + 2 ( " + < -K < "+ , + 2 < V " +' +2 n=0

n= 0

n= 0

= 2 (n+ r)2an,’ +'+ 2 n= 0

n=2

Igualando a cero las sumas de potencias iguales de t, (i) r 2a 0 = F ( r ) a 0 = Q (ii) (1 + r ) 2a x = F (1 4- r ) a x — 0

y

(iii) ( n + r ) 2a n = F(n + r ) a H- - a n_ 2y n > 2 . La ecuación (i) es la ecuación indicial y tiene raíces iguales r x = r2 = 0. La ecuación (¡i) exige que a x sea igual a cero, y la relación de recurrencia (iii) implica "

(n + r f

C laram ente a 3 = a5 = a-¡ = . . . = 0 . Los coeficientes pares están dados por

a 2( r ) = <*4( r ) =

-a 0

-1

(2 + r f

(2 + r f

~ a2 _

(4 + r)2

( 2 + r ) 2( 4 + r ) 2

De donde a3 = a5 = a-¡ = . . . = 0 . Los coeficientes pares están dados por

a2n(r) = ~ S ,. ^'J — — 71• ( 2 + r ) ( 4 + r ) • • • (2n + r )

217

2.8 • Soluciones en series P ara determ inar y\ (t ) se hace r = 0. Entonces, " 2(0) = ^ a 4(0) =

- = — ——r 22-42 2 (2!)

~ 22-42*62 ~~ 26(3!)2 y en general (0) = Por lo tanto, y x{t ) = 1 = £

,( r U’ = 22-42* • • (2 n )2 22" (n !)2 f2 /4 f6 H ---------- - ------------ r + • • • 2 24*(2!) 26(3!) ( - 1 ) " / 2"

2"(*!)2

ni o2

es una solución de (4). C on frecuencia, se hace referencia a esta solución como función de Bessel del primer tipo de orden cero y se denota por J0(t). P ara obtener una segun­ da solución de (4), hágase .V2(0 = .Vi(0ln í +

1 a'2n( 0) t ln. n= 0

P ara calcular ffL(O). obsérvese que ^ = ¿ ' n K ^ ) i = ¿ ' " ( 2 + r r 2- - - ( 2 » + , r 2 = ~ 2 ^ [ln (2 + r ) + ln (4 + r ) + • • • + ln (2 n + r) ] = - 2 (2Tr + 4 T r+

+ Iñ T r)'

P or lo tanto, “ 2»(°) = _ 2 ( T + T + ••• + ¿ ) o 2 . ( ° )

= - ( i+ í + " 4 K < 0>Al hacer

218

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

se encuentra que ,(0) = ------ “ — T~ = ----- ------ r 1 2 2n( n \ ) 2 2n( n\ ) y por ende, y 2( t ) = y Á ‘ ) l n < +

00 / 2

„=o

■

1 2

+ ' /■/ ( n !)

. V "

es una segunda solución de (4) con H n dada por (5). Raíces que difieren por un entero positivo. Supóngase que las raíces de la ecuación indi­ cial son r 2 y r , = r2 + N, N e s un entero positivo. Entonces es posible encontrar una solución de (1) de la form a y A t) = t r' E a n{ r x) t n. n *=0 Como ya se dijo, tal vez no sería posible encontrar una segunda solución de la forma ción de la form a >n

1

n —0

K>n•

En ese caso, la ecuación (1) tendrá una segunda solución de la form a ^(0=

d__ 4dr:y (^ r)

= a y , ( / ) l n / + £ a'n(r2) t n+r> n =0 donde a es una constante, y

con

y { t , r ) = t r 2 a„(r)tn n —0 “o = a o(r) = r -

r2 .

La dem ostración de este resultado puede encontrarse en textos más avanzados de ecua­ ciones diferenciales. En el Ejercicio (5) se plantea una dem ostración sencilla, usando el método de reducción de orden para m ostrar por qué está presente un térm ino con logaritmo. O b s e r v a c i ó n . P or lo general es muy difícil y problem ático obtener una segunda solución y(t) cuando hay un térm ino con logaritm o. P or ello, no se acostum bra pedir a estudiantes de cursos básicos o interm edios que realicen estos cálculos. Se han inclui­ do algunos ejercicios para los estudiantes interesados. En problem as de este tipo y en otros similares que se presentan en las aplicaciones, con frecuencia basta encontrar sólo los primeros términos del desarrollo en serie d e y 2(t), lo cual se logra, usualm ente, con el método de reducción de orden.

219

2.8 • Soluciones en series

Ej e r c i c io s En los Problem as 1 y 2 demuestre que las raíces de la ecuación indicial son iguales y encuentre dos soluciones linealmente independientes de la ecuación dada. 1.

t y ” + y ’— 4 y = 0

2.

t 2y " — /(I 4- t ) y ' + y = 0

3. (a) Demuestre que r = -1 y r = 1 son las raíces de la ecuación indicial para la ecuación de Bessel de orden 1 que sigue:

(b) Encuentre una solución: 00

=

2 aHt " , a 0 = \.

n=O

J x(/) se denom ina f unci ón de Bessel de orden 1. (c) Obtenga una segunda solución: I- 2 „t I

t — T -----2 rt !(/> — !)!

4. Considere la ecuación (y" + 3y/ —3_y = O,

/>0.

(a) Demuestre que r = O y r = - 2 son las raíces de la ecuación indicial. (b) Encuentre una solución -V l(0=

2

n —O

«n*"-

(c) Halle una segunda solución * ( ( ) = >.,(O ta í + J j - 7 + 3 + ] ¿ ' + ^ ' 2+

•

5. El presente ejercicio ofrece una dem ostración alternativa para algunos de los resul­ tados de esta sección, usando el método de reducción de orden. (a) Sea / = O un punto singular regular de la ecuación (i)

t 2y " + t p ( t ) y ’+ q ( t ) y = 0 Demuestre que la sustitución y = t rz reduce (i) a la ecuación t 2z " + [ l r + p ( t ) ] t z ' + [ r ( r - \ ) + r p ( t ) + q ( t ) ] z = 0.

(ii)

(b) Sea r una raíz de la ecuación indicial. Demuestre que (ii)tiene una solución analítica z ]( t ) = 2 % 0a nt n. (c) Sea z2(0 = Z \ ( t ) v ( t ) . Pruebe que z 2( t ) = z x( t ) v ( t ) . .

v ( t) = [u(t)dt, J

g ~ í\Zr+p(t)\/tdt

donde u ( t ) = ----------— ------- . ¿ i ( 0

220

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN (d) Suponga que r = r0 es una raíz doble de la ecuación indicial. Demuestre que 2ro + Po = i y Que por lo tanto, / \ “o «(/ ) —— ■+■U| 4"

“F **•

(e) Aplique el resultado de (d) para m ostrar que, en el caso de raíces iguales, y 2(t) tiene un térm ino de la form a ln t. (f) Suponga que las raíces de la ecuación indicial son r0 y r0 - N , siendo N un número entero positivo. Demuestre que 2r0 + p 0 = 1 + N y que por lo tanto por lo tanto

donde u(t) es analítica en t = 0. (g) Use el resultado de (f) para m ostrar que y 2(0 tiene un térm ino de la forma ln t si el coeficiente de t N en el desarrollo de u(t) es diferente de cero. Demues­ tre, además que si el coeficiente es igual a cero, entonces tK/) = - ^ - + • • • + — + t>,/ + t?2/ 2 + ••• y ^ 2(0 no tiene el térm ino de la form a ln t.

2 .9

M é t o d o d e l a t r a n s f o r m a d a d e La p l a c e

En esta sección se describe un método muy simple y extraordinariam ente ingenioso para resolver el problem a de valor inicial = /(0 ;

,(0 )-*

(1)

donde a, b y c son constantes. Este procedim iento, que se conoce como método de la transformada de Laplace, es muy útil en dos casos que se presentan con frecuencia en las aplicaciones. El prim er caso es cu an d o / ( / ) es una función discontinua en el tiempo. El segundo caso ocurre cuando / ( / ) es igual a cero, excepto que en un intervalo peque­ ño tom a valores muy grandes. P ara tener una apreciación correcta del m étodo de la transform ada de Laplace se considerará la siguiente situación hipotética. Supóngase que se desean m ultiplicar los números 3.163 y 16.38, pero se ha olvidado por com pleto cómo hacer una multiplica­ ción. Supóngase que solamente se recuerda cómo sum ar. Com o buen m atem ático, uno se plantea la siguiente cuestión. Pregunta. ¿Es posible transform ar el problem a de multiplicar los números 3.163 y 16.38 al problem a más simple de sum ar dos números? La respuesta a esta pregunta es por supuesto que sí; y se procede de la siguiente m anera. Prim ero se consulta una tabla de logaritm os y se encuentra que ln 3.163 =

221

2.9 • M étodo d e la transform ada de Laplace

1.15152094 y In 16.38 = 2.79606108. Después se sum an estos dos números para obte­ ner 3.94758202. P or últim o se consulta la tabla de antilogaritm os y se encuentra que 3.94758202 = ln 51.80994. Se concluye, por lo tanto, que 3.163 X 16.38 = 51.80994. El punto clave en el análisis del problem a es que al trabajar con logaritmos, la ope­ ración de m ultiplicación es reemplazada por la operación más sencilla de la adición. Esto se representa esquemáticamente en la Tabla 1. En el método que se discute en segui­ da, la función que se desconoce ^ ( 0 es reemplazada por una nueva función Y(s), que se llam a transformada de Laplace* de y(t). Dicha asociación tendrá la propiedad de que y(t) será sustituida por sY(s) - y(0). Así pues, la operación de derivación (o dife­ renciación) con respecto a t será reemplazada en especial por la operación de multipli­ cación por s. De esta m aenra, se sustituirá el problem a de valor inicial (1) por una ecua­ ción algebraica que puede ser resuelta explícitamente para T(s). Una vez que se conoce Y(s), puede consultarse una tabla de “ antitransform adas de Laplace” (o ‘‘inversas de transform adas de Laplace” ) y así recuperar y(t). Ta b l a 1. —^ —^ —*

a b ab

ln a ln b lna + ln&

En principio se da la definición de transform ada de Laplace.

DEFINICIÓN.

Sea /(O una función definida para 0 < / < °°. La tra n sfo r-. m ada de Laplace d e / ( / ) , la cual se denota por FCs) o por £ { /(/)} , está dada por la fórm ula (2)

F(s)-Z{f(t)}- re-*f(t)dt Jo donde f

J

EJEMPLO 1

0

e ~ s,f ( t ) d t = lím f e ~ slf ( t ) d t . A-*oo J o

Obtener la transform ada de Laplace de la fu n c ió n / ( / ) = 1.

SOLUCIÓN, a partir de la ecuación (2) £ { / ( , ) } = lím [ Ae ~sld t — lím 1 ~ - - A-*oa J q

- Í7 *

[oo,

A-*oo

S

,> 0j <0

• (N. del R.) También se denomina más brevemente transformada laptaciana.

222

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Ejemplo

2

H allar la transform ada de Laplace de la función e l

S o l u c i ó n . De la ecuación (2) e (a-s)A _

£ { e a'} = lím f e s,e a,dt — lím --------/4— *00Jq A —*00 ü —S _ J ------- , —j s — a [ oo,

Ejem plo 3

|

s>a s
H allar las transform adas de Laplace de las funciones c o s u t y sentó/.

S o l u c i ó n . De la ecuación (2) se tiene que r oo

£ { co s« /} = I

Jo

e "e o sutdt

r oo

y

£{senío/} = I

•'o

e "sen utdt.

Obsérvese además que £ (c o s « /} + /£fsento/} = í e ~ 3,e iutd t — lím f e ^ ~ s)tdt Jq A-+oqJq e U»-s)A_ j = lim A-*oo

l(t! — S

1 10}

s + íw

j> 0

S ¿ + 0}¿

. no definido

s
Al igualar las partes reales e im aginarias en esta ecuación se tiene £{ costo/) = - -- - 1 j S 0}

y

£ {sentó/} = K s2

s > 0. +u 2

La ecuación (2) asocia cada función/ ( / ) con una nueva función, que se llama F{s), Como lo sugiere la notación £ { /(/)} , la transform ada de Laplace es un operador que actúa sobre las funciones. Se tra ta además de un operador lineal, ya que £ { c i / i ( 0 + C 2 /2 (0 } = / ° ° ^ " " [ c , / i ( 0 + C 2 /2 ( 0 ] ^ = c, f V " / , ( / ) ¿ / + c2 r ° e - s,f 2(t )dt Jo

•'O

= c , e { / , ( i ) } + c 2e { / 2 ( 0 }. Sin em bargo, hay que notar que m ientras/ ( / ) está definida para O < / < °°, su trans­ form ada de e 8t está definida en el intervalo abierto 8 < s < °°. Esto se debe a que en general la integral (2) existe solam ente si s es lo bastante grande. Una dificultad m u y seria que tiene la definición (2) es que la integral podría no existir para cualquier valor d e s. Esto sucede si / ( / ) = e / (Ejercicio 13).Para garantizar que la transform ada de Laplace de / ( / ) existe al menos en un intervalo s > s0,se exigirá a / ( / ) la siguiente condición.

223

2.9 • M étodo de la transform ada de Laplace

garantizar que la transform ada de Laplace d e / ( / ) existe al menos en un intervalo s > s0, se exigirá a f ( t ) la siguiente condición. (i) La función f ( t ) es continua por secciones. Esto significa que f{t) tiene a lo sum o un núm ero finito de discontinuidades en cualquier intervalo 0 < t < A , y tanto el límite por la derecha, como por la izquierda d e / , existe en todos los puntos de discontinuidad. En otras palabras,/(O tiene solamente un número finito de discontinuidades “ de salto” en cualquier intervalo finito. En la Figura 1 se describe la gráfica de una función continua clásica por secciones.

F ig u r a

i

. G ráfica de una función continua clásica por secciones.

(ii) La función / ( / ) es de orden exponencial, es decir, existen constantes M y c, tales que | / ( / ) | < M e ct,

0 < / < co.

L e m a 1. Sea / ( / ) una f unci ón continua p o r secciones y de orden exponen­ cial, entonces su transformada de Laplace existe para toda s lo bastante gran­ de. Específicamente, si f ( t ) es continua p o r secciones y |/ ( / ) | < M e ct, enton­ ces F{s) existe para s > c. Se dem ostrará el Lema 1 con ayuda del siguiente lema de cálculo integral, el cual se enuncia, a continuación, sin dem ostrar.

L e m a 2. Sea g(t) una f unci ón continua p o r secciones. Entonces la integral impropia / o g(t)dt existe si f o \ g { t ) \ d t existe. Para demostrar que esta última integral existe, basta probar que hay una constante K tal que

para toda A .

224

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

O b s e r v a c i ó n . Nótese la similitud del Lema 2 con el teorem a de la serie infinita (Apéndice B), el cual establece que la serie infinita La„ converge si E |a „ | converge, y que E|<7„| converge si existe una constante K, tal que |<7i| + . . . + \an\ < K para toda n. A hora es posible dar la dem ostración del Lema 1. D e m o s t r a c ió n d el Lema 1 . Dado que f ( t ) es continua por secciones, entonces la integral / Qé~slf ( t ) d t existe para toda A . A fin de dem ostrar que la integral tiene un límite para toda s suficientemente grande, obsérvese que

h L . \ e u - s ) A _ i-i < —j l -I c —i para s > c. Entonces con base en el Lema 2, se tiene que la transform ada de Laplace de / ( / ) existe para s > c. Así pues, a partir de ahora se supondrá tácitam ente que |/ ( 0 l ^ M e cty y s > c. La utilidad real de la transform ada de Laplace para resolver ecuaciones diferencia­ les reside en el hecho de que la transform ada de Laplace de / '( / ) está muy relacionada con la transform ada de f ( t ) . Ese es el contenido del siguiente lema im portante.

LEMA 3.

Sea F(s) = .£ {/(/)}• Entonces £ { n t ) ) =

s £ { f { t ) ) - m

=

s F { 5)

- m

-

D e m o s t r a c i ó n . La dem ostración del Lema 3 es muy elemental; simplemente hay que escribir la fórm ula para la transform ada de Laplace de / '( / ) , e integrar por partes. De hecho se tiene £ { / '( / ) } = lím f Ae ~ s,f ' ( t ) d t A -*oo J q

- - / ( 0 ) + j F ( j ).

□

El siguiente paso es encontrar una relación entre la transform ada de Laplace de f " ( t ) y la de /( / ) . El Lema 4 se refiere a lo anterior.

225

2.9 • Método de la transformada de Laplace

LEMA 4.

Sea F(s) =

£ { /(/)} . Entonces,

e ( / " ( O) =

-

^/(o) -/'( O ).

D e m o s t r a c i ó n . Al aplicar dos veces el Lema 3 se encuentra que £ { / ' « } - * £ { / ( ' ) } -/"(O ) = s[sF (s)-m ]-m o ) - / '( 0 ) .

□

Se cuenta ahora con los elementos necesarios para pasar del problem a de resolver a un problem a de valor inicial + £ ^ + o '= / ( 0 :

>>(oW o, y' (0) =y' 0

(3)

al de resolver una ecuación algebraica. Sean Y(s) y F(s) las transform adas de Laplace dey (t ) y/(O » respectivamente. Aplicando eloperador de transform ación en ambos lados de la ecuación diferencial se obtiene que £ { ay " ( t ) + by'(t) + cy(t )} = F(s). Al aplicar la linealidad del opeador de transform ación se obtiene que £ { a y " ( t ) + &'(*) + cy(t)} = a £ { y " ( t ) } + b £ { y ' ( t ) } + c £ { y ( t ) } , y de acuerdo con los Lemas 3 y 4, se sigue que £ { / ( 0 } = s Y (s ) ~ y o »

£ { y " { t ) } = s 1Y (¿ )-jry 0~-.VÓ-

Por lo tanto, a [ s 2Y (5) -

+ b [ s Y ( s ) - y 0\ + c Y ( s ) = F ( s )

y esta ecuación algebraica implica que

as + bs + c

as + bs + c

as +bs + c

La ecuación (4) describe la transform ada de Laplace de la solución y(t) de (3). Para evaluar >>(0 es necesario consultar las tablas de antitransform adas de Laplace. A hora bien, así como L(s) se expresa explícitamente en términos de y(t), es decir L(s) = í o ó ~ sty{t)dt, también es posible dar una fórmula explícita para >>(/). Sin embargo, esta fórm ula, que se escribe simbólicamente co m o y (j) = £ - , { LCs)}, implica una integra­ ción con respecto a una variable compleja, cosa que va más allá del tema tratado en este libro’. Por ello, en vez de aplicar la fórmula, se deducirán en la siguiente sección algunas propiedades funcionales del operador transform ada de Laplace. Las propieda-

226

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

des permitirán invertir por simple inspección muchas transform adas de Laplace, es decir, perm itirán reconocer Je qué funciones son transform adas.

Ej e m p l o 4

Resolver el problem a de valor inicial _d 2y f - 3 ^dy+ 2 y = e 3';

/ ( 0 ) = o.

S o l u c i ó n . Sea Y(s) = £ {y ( t ) } . Aplicando la transform ada de Laplace a ambos miembros de la ecuación diferencial, se obtiene

y esto implica que T ( j ) = ------------1------------- + - s ~- — (5 —3)(5 —35 + 2) s 2—35 + 2 1 + - — ~yi ~ 3 - - . (s-\)(s-2)(s-3) ( s — l)(s — 2)

(5)

Para hallar y(t), se desarrolla en fracciones parciales cada uno de los términos del segundo miembro de (5), obteniéndose 1 (i-l)(i-2 )(i-3 )

.4 + _ B ^ + C 1 -1 1 -2 1-3'

Esto implica que i4 ( í

- 2 ) ( í - 3 ) + 5 ( í - 1 ) ( í - 3 ) + C ( j - 1 ) ( í - 2 ) = 1.

(6)

Al hacer 5 = 1 en (6) se obtiene A = Vi\ haciendo 5 = 2 se obtiene B = 1 y con 5 = 3 se obtiene c - Vi. Por lo tanto,

1

(5 -1 )(í-2 )(j-3 )

1 1

2

s

1

1

s-2

+ 1

1

2s-3'

De m anera similar, s-3 ( s — 1)(j —2)

D + £ s-\ s-2

y de aquí Z>(j - 2 ) + £ ( j - 1 ) =

j

-3 .

(7)

Al hacer 5 = 1 en (7) se obtiene D = 2, m ientras que con 5 = 2 se obtiene E = -1. Por lo tanto, w x

1 1 1 , T 2Í + 2 í - 1 T - Ts — 5 1 2 + 2 5 —1 5 —2

1 1 , 2 Í2Ts T —3Í + 5 —1 I 1 2 5 —3 ’

1 5 —2

227

2.9 • M étodo de la transform ada de Laplace

A hora, el prim er térm ino es la transform ada de Laplace de 5 /2 e'. De manera similar, el segundo y el tercer términos son las transform adas de - 2 e 2' y ló e 3', respectivamen­ te. P or consiguiente,

de m odo que y { t ) = \ e ‘ —2e 2t+ ¿e3r.

O b s e r v a c i ó n . En realidad se ha hecho algo de tram pa al resolver el problema, ya que hay una infinidad de funciones cuyas transform adas de Laplace constituyen una función dada. P or ejem plo, la transform ada de Laplace de las funciones

* ( , ) _ ( ! * ' - 2 * í' + 5
'*1. 2y3 (= 1 ,2 ,3

es tam bién Y(s), ya que z(t) difiere de y ( t ) solamente en tres puntos.* Sin embargo, sólo hay una función continua y (t) cuya transform ada de Laplace es una función dada 7(5), y es este el sentido en el que se escribe y( t) - £ - , { 7(5)}. Es necesario hacer notar que el Ejemplo 4 se presentó con el fin de ilustrar el método de la transform ada de Laplace, a fin de resolver problemas de valor inicial. El mejor procedimiento para resolver este problema particular de valor inicial es el méto­ do de la conjetura sensata. Sin em bargo, a pesar de que el camino para resolver este problem a particular mediante la transform ada de Laplace es más largo, aún conserva algo “ bello y satisfactorio” como método de resolución. Si se hubiera resuelto este pro­ blema por el m étodo de la conjetura sensata, se habría calculado prim ero una solución particular yp(t) - Vze3t. Después se habrían encontrado dos soluciones linealmente independientes e ‘ y e 2t para la ecuación homogénea, y se habría escrito y ( t ) = c ,e ' + c2e2t + \ e 3t com o la solución general de la ecuación diferencial. Por último, se habrían calculado C| = 5 /2 y c2 = - 2 a partir de las condiciones iniciales. Lo que no es satisfactorio acerca del m étodo es que es necesario calcular prim ero todas las soluciones de la ecua­ ción diferencial antes de poder encontrar la solución específica y ( t) que se busca. En contraste con eso, el m étodo de la transform ada de Laplace permite calcular y(t) direc­ tam ente, sin tener que encontrar antes todas las soluciones de la ecuación diferencial.

Ej e r c i c io s Determine la transform ada de Laplace de cada una de las siguientes funciones.

1. t

2. /"

* Si / ( /) = £(/), excepto en un número finito de puntos, entonces

=. íl g{t )dt .

228 3.

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 4. e 0,sen bt

eoíc o s b t

5 . eos2at

6 . sen 2a t

7.

sen a t eos b t

8 . f 2sen/

9.

Sabiendo que j Q e ~ x2d x = variable u = V7en (2).

v^r/2,

obtenga

Sugerencia: Haga el cambio de

Demuestre que cada una de las siguientes funciones es de orden exponencial.

13. Demuestre que e 1' no tiene una transform ada de Laplace. Sugerencia: Pruebe que e l'~sl > e ‘ para t > s + 1. 14. Suponga que / ( / ) es de orden exponencial. Demuestre que F(s) = £ { /(0 } tiende a cero si s -* °°. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial.

15. 16.

1, y (0 ) = - 1 y ( 0 ) = 2, y'(0) = 0

y " - S y ' + 4y — e2,\ y(0)= 2 y " + y ' - y = e2,\

Determine la transform ada de Laplace para las soluciones de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial:

17.

y ” + 2 y ' + y = e~l;

>>(0)= l, / ( 0 ) = 3

18. 19.

y " + y — t 2sent;

20.

y " + / + y = t 2\ y ( 0 ) = 2 , y ' ( 0) = 0

21.

Demuestre que todas las soluciones y(t) de a y " + b y ' + cy = / ( / ) son de orden exponencial si / ( / ) lo es tam bién. Sugerencia: Demuestre que todas las soluciones de la ecuación homogénea son de orden exponencial. Obtenga una solución parti­ cular usando el método de variación de parám etros, y pruebe que dicha solución también es de orden exponencial.

22.

Sea F(s) = £{/(/)} . Demuestre que

y(0)=>',(0) = 0 y " + 3y' + 7y = cost\ y(0) = 0,>»,(0) = 2

dtn

J

,PM

= s nF ( s ) - s n f ( 0 ) v 7 7

0)

d t- 1

Sugerencia: Intente mediante inducción. 23.

Resuelva el problema de valor inicial y " ’- 6 y " + l l y ' - 6 y = e4‘;

24.

y(0)=y' (0)=y"(0)=0

Resuelva el problem a de valor inicial y" - 3 y ’ + 2y = e~ ‘;

y(r0) = l ,

/ ( ^ 0) = 0

por el método de la transform ada de Laplace. Sugerencia: Haga

- y ( t + t0).

229

2.10 • Algunas propiedades útiles de la transform ada de Laplace

2 .1 0

A lg u n a s propiedades útiles de la TRANSFORMADA DE LAPLACE

En esta sección se obtendrán algunas propiedades im portantes de las transform adas de Laplace. U sando dichas propiedades, será posible calcular la transform ada de la mayo­ ría de las funciones sin tener que realizar integraciones tediosas. Además se podrán inver­ tir m uchas transform adas Iaplacianas por simple inspección. P r o p ie d a d 1. sí

{/(/)} = f ( s ) , entonces

DEMOSTRACIÓN. Por definición, F(s) = / “ e stf(t )dt . Al derivar ambos lados de la ecuación con respecto a s, se obtiene

La Propiedad 1 establece que la transform ada de Laplace de la función - t f ( t ) es la derivada de la transform ada de Laplace de f (t ). Así pues, si se conoce la transform a­ da F(s) de /(O , entonces no es necesario realizar una integración tediosa para encontrar la transform ada de //(/): solamente se necesita derivar F(s) y multiplicar por -1 .

Ej e m p l o

i Obtener la transform ada de Laplace de t e1.

SOLUCIÓN. La transform ada de e ‘ es 1/(5 - 1). Por lo tanto, por la Propiedad 1 la transform ada de Laplace de t e 1 es £ { « '} = -

Ej e m p l o 2

d

1

1

Obtener la transform ada de Laplace de t n .

S o l u c i ó n . Usando la Propiedad 1 trece veces consecutivas se obtiene w 13

z/13 1

(13)!

La utilidad principal de la Propiedad 1 es invertir transform adas, como se muestra en los siguientes ejemplos.

230

CAPÍTULO 2

Ejem plo 3

•

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

¿Qué función tiene la transform ada de Laplace -1 /(5 - 2)2?

S o l u c i ó n . Obsérvese que

1 = A. . 1

(j-2 )2 Por lo tanto, por

ds

s-2

y . -L y

5 -2

1

>'

la Propiedad 1 se tiene que e - ' í ------- - te2<. I ( í - 2) i

Ejem plo 4

¿Qué función tiene la transform ada de Laplace - 4 5 / (52 + 4)2?

S o l u c i ó n . Obsérvese que 4j

d

(52 + 4)2

2

2

52+ 4

52 + 4

£{sen2/}.

Por lo tanto, por la Propiedad 1 resulta £ -1 í

——- \

{ ( j 2 + 4) i

Ej e m p l o 5

— tsen2t.

¿Qué función tiene la transform ada de Laplace l/(5 /4 )3?

S o l u c i ó n . Se reconoce fácilmente que 1

(5 -4 )3

m d2 1 ds2 2

1 5 —4

Por lo tanto, al aplicar la Propiedad 1 dos veces, se encuentra que

(5 -4 )3 P ro p ie d a d 2. sí

f

(s )

=

12

>

£ {/(o }, entonces £ { e “f ( t ) } = F ( s - a ) .

D e m o s t r a c i ó n . Por definición e { e " / ( r ) } - JÍ ” « - " « " / ( ( ) í/ í = - f ° ° e - (J- ^ ' / ( l ) d l = F ( s - a ) . Jo

□

La Propiedad 2 establece que la transorm ada de Laplace de e a,f { t) evaluada en el punto 5 es igual a la transform ada d e/ ( / ) evaluada en el punto (5 - a). De este modo, si

231

2.10 • Algunas propiedades útiles de la transform ada de Laplace

se conoce la transform ada F(s) de f (t ), entonces no es necesario evaluar la integral para encontrar la transform ada de Laplace de e alf{t); basta con sustituir s por s - a en F(s).

Ej e m p l o 6

Determ inar la transform ada de Laplace de e 3sen t.

S o l u c i ó n . La transform ada de sen t es 1/ ( s 2 + 1). Por lo tanto, para obtener la transform ada de Laplace de e 3tsen /, basta sustituir s por 5 - 3, es decir £ ( e3'se n r} = --------. ( 5 - 3 ) +1 La utilidad real de la Propiedad 2 se pone de m anifiesto al invertir las transform a­ das laplacianas, como lo m uestran los siguientes ejemplos.

Ej e m p l o 7

¿Qué función g(t ) tiene la transform ada de Laplace f ~ 72 5+ (5 —7)

S o l u c i ó n . Obsérvese que F ( j ) = - ^ = e { c°s5r} y que G(s) se obtiene de F(s) al sustituir s por 5 — 7. Por lo tanto, por la Propiedad 2,

(5 —7) EJEMPLO 8

J

+ 25

= £ { e 7ícos5/}.

¿Qué función tiene la transform ada de Laplace l/( 5 2 — 45

+ 9)?

SOLUCIÓN. Una m anera de resolver el problem a es desarrollar l/(5 2 —45 + 9) en fracciones parciales. Una m anera mucho mejor es completando cuadrados en s 2 - 45 + 9, de m odo que 1 52 —45 + 9

1 52 —45 + 4 + (9 —4)

1 (5 —2)2+ 5

A hora bien,

-5T+—5 = £

— senV5 t \ . V3>

Por lo tan to , por la Propiedad 2 se tiene

_ ! ____________!______ e í -4 í + 9

Ejem plo

9

( í —2)J + 5

- —í 2'senV 5 t l V5

¿Qué función tiene la transform ada de Laplace 5/(52 - 45 + 9)1

232

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

S o l u c i ó n . Obsérvese que s

s-2

s 2- 4 s + 9

(5 —2)2 + 5

+

(5 —2)2+ 5

La función s / ( s 2 + 5) es la transform ada de eos \/5 t. P or lo tanto, por la Propiedad 2 se tiene que 5-2

(5 —2) s 2 —4 í + 9

+5

= £ { e 2'c o s \/5 /},

= £ | e 2'c o s \/5 / +

e2'senV 5 / J.

En la sección anterior se m ostró que la transform ada de Laplace es un operador lineal, es decir, que ^ { Cl / l ( 0 " b C2 / 2 ( 0 } ==cl^ { /|( 0 } " * ‘ c2 ^ { /2 (0 } Entonces, si se conocen las transform adas F x(s) y F2(s) d e f x(t) y f 2{t), no es necesa­ rio realizar ninguna integración para encontrar la transform ada de Laplace de una com­ binación lineal de f x(t) y sólo se necesita tom ar la misma com binación lineal de F x{s) y F 2 (s ). Por ejem plo, dos funciones que se presentan con m ucha frecuencia en el estudio de las ecuaciones diferenciales son el coseno y el seno hiperbólicos. Estas fun­ ciones se definen por medio de las ecuaciones coshaf =

e a, + e 2

’

senha/ =

e —e 2

Por lo tanto, según la linealidad de la transform ada de Laplace, resulta que £{cosha/} =

£ { e a í} + ] r t { e ~ at} 1 s —a

1 s+a

1 s —a

1 s+a

e{senh^/} = s 2 —a 2

e j e r c ic io s Aplique las Propiedades 1 y 2 para encontrar la transform ada de Laplace de cada una de las siguientes funciones. 1. /" 5.

2. t neM

3. /sena/

t s/2 (Ejercicio 9 de la Sección 2.9).

4. /2cosat

2.10 • Algunas propiedades útiles de la transform ada de Laplace

233

6. Sea F(s) = {/(O} y suponga que f { í ) / t tiene un límite cuando t tiende a cero. Demuestre que £ { / ( o / '} - r n « ) d u . (•) JS (La suposición de que f ( t ) / t tiene un límite cuando t -*• 0 garantiza la existencia de la integral en el segundo miembro de (*)). 7. Use la ecuación (*) del Problem a 6 pra hallar la transform ada de Laplace de cada una de las siguientes funciones. . x sen/ cosaí— 1 . . ea, —ebt (a) — (b) (c)--------------------- ----------- ----------Halle la antitransform ada de Laplace de cada una de las siguientes funciones. En varios de los problem as puede ser útil escribir las funciones a xs 2 + /Sls 2F y ls + Si Pi(s) ~ " T --------------(as2 + bs + c)(ds2 + es + f )

yp 2(s) =

a , j 2+ 0 , j + y (as + b)(cs2 + ds + e)

en la form a más sencilla. ( x Plis)

.

8

As + B as2 + bs + c

, Cs + D .. ... - ds2 + e s + f

s

12. — :--- J — z

ii. -

13.

( s 2 + a 2) ( s 2 + b 2)

16.

( ^ A , Cs+ D />2( J ) = — —r + as + b cs2 + ds + e s2- 5

j 3 + 4 j2 + 3 j

(s + a)2+ b 2

io. — 4— j ( j 2 + 4)

14.

y

!---- r

15.

s(s + 4 f

5 12

s 2 —3 í —

3j

U + l)*

(í+ 1 )V + 1 )

1 (*2+ D 2

17. Sea F(s) =

{/(O}- Demuestre que /(<)-- je-'tf'W }.

Así pues, si se sabe com o invertir F'(s), se sabrá tam bién como invertir F(s). 18. Use el resultado del Problem a 17 para hallar la inversa de cada una de las siguien­ tes transform adas de Laplace. 00 ln( ~ f )

(b) are tan j

(c)ln^l-^-j

Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial mediante el uso del método de la transform ada de Laplace.

19.

y " + y — sent\

^(0)= 1,>>'(0) = 2

20. y " + y as /sen/; >>(0)= 1,>>'(0) = 2 21.

y" - 2 y ' + y - t e ' - ,

y ( 0)=° 0 , y '( 0) = 0

234

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

22. y" —2y' + 7y=sent; ^(O j^O ,y'(0)~0 23.

= l + e - í ; y(0) = 3,y'(0)= —5 y * » - 0- ' * » - 0

2 .1 1

Ec u a c io n e s diferenciales c o n térm ino NO HOMOGÉNEO DISCONTINUO

En muchas aplicaciones, el segundo m iem bro de la ecuación diferencial a y " + by' + cy = / ( / ) tiene una o más discontinuidades de salto. P o r ejem plo, una partícula puede encontrarse en movimiento bajo la influencia de una fuerza f ( t ) y, repentinamente, en el tiem po t\ sufrir los efectos de una fuerza adicional Estas ecuaciones son, con frecuencia, muy difíciles de resolver con los m étodos estudiados en las Secciones 2.4 y 2.5. En la presente sección se describirá cóm o tratar el problem a con el método de la transform ada de Laplace. Se iniciará obteniendo prim ero las transform adas de Laplace de algunas funciones discontinuas sencillas. El ejemplo más sencillo de una función con una sola discontinuidad de salto es la función //(r)=[0> c W l 1,

0 c

Esta función, cuya gráfica aparece en la Figura 1, se conoce como fu nci ón escalín o función de Heaviside. Su transform ada de Laplace es E {» « ( /) } - C e - ' H c( t ) d t = C e - " d t J0

Jc

Considérese ahora una función /d e f in id a en el intervalo 0 < t < °°, y sea g la función que se obtiene de / al trasladar la gráfica de / c unidades hacia

-L C

FIGURA 1. G ráfica de H c(t)

t

2.11 • Ecuaciones diferenciales con término no hom ogéneo discontinuo

235

la derecha, com o se m uestra en la Figura 2. Dicho con más precisión, g(t) = 0 para 0 < t < c, y g(t) = f ( t - c) para t > c. Por ejemplo, si c = 2, entonces el valor de g en t = 7 es el valor d e / e n t = 5. U na expresión analítica conveniente para g{t) es g ( 0 = Hc{ t ) f { t - c ) . El factor H c(t) hace a g igual a cero para 0 < t < c y al cam biar el argumento t de / por t - c , f se mueve c unidades hacia la derecha. Dado que g(t) se obtiene a partir de / en una form a sencilla, se esperaría entonces que su transform ada de Laplace se pudiera obtener en form a sencilla a partir de la transform ada de f (t ). A continuación se dem ostrará que efectivamente eso ocurre.

F ig u r a

2.

PROPIEDAD 3. Sea F(s) = £{/(/)}. Entonces £ {tf c( 0 / ( f - c ) } - e - “F ( 4

D e m o s t r a c i ó n . P or definición, e ( H A M O - c)} =

( / ) / ( / - c)dt

•'0

= / e ~ síf ( t — c)dt. Jc P ara resolver la integral conviene hacer la sustitución í= t-c. Entonces -V

-'o

= e-“ fV * /(í)rfí

•'o

Por lo tanto, e { 4 ( 0 / ( r - c ) ) = « ’ “ e { / W } -

□

236

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Ejem plo

1

¿Qué función tiene la transform ada de Laplace e s/ s 2l

S o l u c i ó n . Se sabe que I / 52 es la transform ada laplaciana de la función t , y por la Propiedad 3 resulta entonces s La gráfica de

- 1) se m uestra en la Figura 3.

FIGURA 3. G ráfica de

Ejem plo

2

(/)(/ - 1)

¿Qué función tiene la transform ada de Laplace e }s/ ( s 2 - 2s - 3)?

S o l u c i ó n . Obsérvese que 1

^

s2—2s — 3

1

í 2—2j + 1 —4

^

1 (5

—l)2—22

Dado que l / ( 52 - 2) = £{ Vi sen /i2 í}, se concluye entonces de la Propiedad 2 que _ n1)2_o2 (5 — —2

= £ ( -^•e,se n h 2 í). 12 i

y según la Propiedad 3 se tiene entonces

- í f g _ - e ( i / / J( /) e'- 3 « n h 2 ( / - 3 ) } . Ejem plo 3 Sea /(/) la función que vale t para 0 < t < 1, y vale 0 para trar la transform ada de Laplace de / sin realizar ninguna integración. SOLUCIÓN. Obsérvese que / ( / ) puede escribirse en la form a

/ > 1. Encon­

2.11 • Ecuaciones diferenciales con término no hom ogéneo discontinuo

237

P o r lo ta n to , por la Propiedad 1, _

\ . d e s ds s

í2

_ J c2

_ £_J c2

e s

5

Ejem plo 4 Resolver el problem a de valo r inicial d 2y

f 1, 0 < f < 1

dy

0, 1 < r < 2 ;

, < / < 4;

u , 4 < r< 5

at

>>(0) = 0, / ( 0) = 0

0 3

— - 3 ¿ + 2 , - / ( ,)- 1 ,2 < « 3

0, 5 < / < oo.

SOLUCIÓN.

Sean Y(s) = £{.y(0} y F ( s ) - £{/(0}- A l aplicar la transform ada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial se obtiene que (s2 - 3 5 + 2) Y(s) = F(s), de m odo que

U na m anera de calcular

F(s)

F (s)

F (s)

s2- 3 s + 2

(s ~ l ) ( 5 - 2 )

----------------- = ----------------------- .

Y (s) —

es escribir f{t) en la fo rm a

/ ( O = [ t f 0 ( O - t f i ( O ] + [ t f 2 ( O - t f 3 ( O ] + [ " 4 ( ' ) - t f s ( ') ] P o r lo ta n to , basados en la linealidad de la transform ad a de Laplace, se tiene que 1 í>~s p ~ ls f ( s ) = ± - l — + £ ---------- £— s

s

U na segunda m anera de calcular f ° V J7 ( / ) ¿ / = Jo

s

F(s)

I

0~*S

s

p

~ 5s

+ £-------------£— . s

s

es evaluar la integral /*3 r5

f e ~ s' d í + f e ~ s'dt + f e ~ st dt Jo J2 J4

1 — e~J | e - ^ - g " 3* |

e ~ 4s — e ~ 5s

C om o consecuencia, se obtiene l - e ~ s + e - 2s- e - 3s + e - 4s- e - 5^

v

(S)

s(s-l)(s-2 )

E l paso siguiente ahora, es desarrollar 1 / 5(5 - 1)(5 — 2) en fracciones parciales; es decir, se escribirá 1

( — l) ( í —2)

5 5

A + - ^ 5

5—1

+

c

5 —2

Esto im p lica que A (s

— 1)(5 — 2) +

B s (5 — 2)

+

C s (5 — I)

—L

0)

238

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Tom and o 5 = 0 en (1) im plica que A = Vi\ si se tom a 5 = 1 se obtiene que y con 5 = 2 se obtiene c = Vi. A sí pues, s(s —

1

1 )(j — 2)

-

11

2

s

s

B

= -1 ,

1 +1 1

—1

2 í-2

= £ 1 T - e ' + T e 2' ! .

P or lo tan to , a p a rtir de la Propiedad 3 > ( / ) - [ i - e' + i * 2'] - # , ( ' ) [ * - i 0 - :“ + 1* * - 1>]

+

( / ) [ i - e < - 2>+ ie !<'-22] - H , ( r ) [ | - «<'-’)+ ie 2<'-«]

+ H 4 ( í ) [ i - e < ' - 4>+ i e 2< ' - 4> ] - / / 5 ( í ) [ i - e < ' - 5>+ i e 2< ' - 5>].

O

b s e r v a c ió n .

Puede verificarse fácilm ente que la función j _ * < /-») + £ e2(/-«)

y sus derivadas se anulan en t - n. P o r ello, ta n to y { t ) com o.y'ÍO son funciones conti­ nuas en el tiem po, a pesar de q u e / ( / ) es discontinua en t = 1, 2, 3, 4 y 5. En forma más general, tan to la solución y ( t ) del problem a de valo r inicial

a^ + b% + cy ssf( t)‘> y(h)-y» y'M-y'o com o su derivada de y ' ( t ) son siempre funciones continuas en el tiem po, si f ( t ) es conti­ nua por secciones. En la Sección 2.12 se explicará la dem ostración de este resultado.

E J E R C IC IO S

Encuentre la solución de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial.

1. y" + 2 /+ y = 2(<-3)//,(r); t-(0)-2,/(0)-l

2.

y(0)-l,/(0 )-0

3. y - + 4 y - { ^

^(0)-3./(0)--2

4. y - + v _ / se"' -

0< /< rr

^

“/ 2 < , < Í ;

\ cosr,

•

- { r

tt< r < o o

6. r + 2 Z + y - [ ™ 2''

y(0)= l,/(0)-0

‘ -

^(0 )-l./(0 )-0

239

2.12 • Función delta de Dirac

10. Obtenga la transformada de Laplace de |sen /1. OC

S u g e ren c ia :

|sent| = sen/ + 2 2

Observe que

mr) .

11. Resuelva el problema de valor inicial del Ejemplo 4 por el método de la conjetura sensata. S u g e r e n c i a : Halle la solución general de la ecuación diferencial en cada uno de los intervalos 0 < t < 1 , 1 < t < 2 , 2 < / < 3 , 3 < / < 4 , 4 < t < 5, 5 < t < °°, y elija las constantes de modo que tanto>^(0 como y ' { t ) sean conti­ nuas en los puntos t = 1, 2, 3, 4 y 5.

2 .1 2

F u n c ió n D e lt a de D i r a c

En muchas aplicaciones físicas y biológicas aparece a menudo el problema de valor inicial inicial d^ a ~

^

dv + b —

+ c y = f( t ) ;

,( 0 ) - * .

y ( 0 ) = y 'Q

(O

donde no se conoce /(O explícitamente. Estos problemas se presentan por lo común cuando se trabaja con fenómenos de naturaleza impulsiva. En tales casos, la única infor­ mación con la que se cuenta acerca de/(/) es que es igual a cero, excepto por un interva­ lo muy corto de tiempo t Q < t < t x , y que su integral sobre dicho intervalo es un núme­ ro dado I q # 0. Si 70 no es muy pequeño, entonces f ( t ) será muy grande en el intervalo t 0 < t < t x . Tales funciones se conocen como f u n c i o n e s d e i m p u l s o , y en la Figura 1 se muestra la gráfica de una función /(/) típica.

f(t)

tO

Fig u r a

i

t

. La gráfica de una función típica de impulso/(/)

240

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

A principios de la década de 1930 el físico P .A .M . Dirac, ganador del premio Nobel, elaboró un método muy controvertido para trabajar con funciones de impulso. Su méto­ do se basa en el siguiente razonamiento. Sea t { cada vez más cercano a t 0 . Entonces la función f ( t ) / I 0 tiende a la función que es 0 para / ¥- t 0 , e igual a oo para t = t 0 , y c u y a i n t e g r a ) s o b r e cualquier intervalo que contiene a t 0 vale 1. Esta función, que es conocida como f u n c i ó n d e l t a d e D i r a c , se denotará por b ( t - t 0 ) . Por supuesto que 5(t t Q ) no es una función en el sentido usual. Sin embargo, decía Dirac, puede ope­ rarse formalmente con 5 ( t - t 0 ) como si en efecto fuera una función. Entonces, si se hace /( /) = I 0 5 ( t - t 0 ) en ( 1) y se impone la condición g(/0) 0 para toda función continua

g (t),

si

(2)

a < t 0 < b

en caso contrario

se obtendrá siempre la solución correcta

y (t).

O b s e r v a c i ó n . Ciertamente es muy razonable imponer como condición la ecuación (2) a ó ( t - t 0 ) . Para una mejor comprensión, supóngase que f { t ) es una función de impulso que resulta positiva para t 0 < t < t x , igual a cero en cualquier otro punto, y cuya integral sobre el intervalo [í0, / J es igual a 1. Para cualquier función continua g (0 ,

Como consecuencia, se sigue que

o bien,

Así pues, cuando

t¡ - *

t0 ,

g ( 0 f ( 0 d t - + g ( t o) .

Ahora bien, por supuesto que la mayoría de los matemáticos usualmente se burlan de este método. “ ¿Cóm o es posible considerar a 5 ( t — t 0 ) como una función en el sen­ tido usual si obviamente no lo es?’ ’, cuestionaban los matemáticos. Sin embargo, nun­ ca se rieron muy fuerte, ya que Dirac y sus seguidores siempre obtenían la respuesta correcta. A fines de la década de 1940, en una de las historias de mayor éxito en las matemáticas, el matemático francés Laurent Schwartz logró ubicar la función delta de Dirac sobre un fundamento matemático firme. Lo logró ampliando la clase de todas las funciones de modo que pudiera quedar incluida la función delta de Dirac. En la presente sección se presenta primero una justificación física del método de Dirac. Des­ pués se indica cómo resolver el problema de valor inicial ( 1 ) por el método de la trans­ formada de Laplace. Por último, se señala brevemente el “ germen” de la brillante idea de Laurent Schwartz. J u stific a c ió n fís ic a

del

m é to d o

d e

D ira c.

se escribe usualmente en la forma d

La segunda ley de Newton del movimiento

241

2.12 • Función delta de Dirac

donde m es la masa de la partícula, v es su velocidad, y /( /) es la fuerza total que actúa sobre la partícula. La cantidad mv se denomina ímpetu (o moméntum o cantidad de movimiento)* de la partícula. A l integrar la ecuación (3) entre tQ y t, se obtiene

Esta ecuación dice que el cambio en el ímpetu de la partícula entre el tiempo t0 y el tiempo ¿i es igual A sí pues, la cantidad importante desde el punto de vista físico es la integral de la fuerza respecto al tiempo, la cual se conoce como el impulso ejercido p o r la fuerza, más que la fuerza misma. Ahora bien, puede suponerse en la ecuación (1) que a > 0, ya que de otro modo se pueden multiplicar ambos lados de la ecuación por —1 para obtener a > 0. En ese caso (Sección 2.6), puede considerarse y (t), para t t0, como la posición de una partícula de masa a, en el tiempo t, moviéndose bajo la influencia de la fuerza - b ( d y /d t) cy. En el tiempo t0 se aplica sobre la partícula una fuerza f(t); dicha fuerza actúa durante un intervalo de tiempo muy corto t0 t . Dado que dicho lapso es extremadamente corto, puede enton­ ces suponerse que la posición de la partícula no cambia mientras la fuerza actúa. De modo que el resultado es que la fuerza de impulso / ( /) provoca un salto de magnitud IQ/a en la velocidad de la partícula en el tiempo t0. En otras palabras, y(f) satisface el problema de valor inicial

a

<

-

< < /]

para 0 < t < t0, y 0

y U o ) * 2» y V o ) = z ' 0+ —

(4)

para t > t0 , donde Zq y Zq son la posición y la velocidad de la partícula, un instante antes de que actúe la fuerza de impulso. Por lo tanto, es evidente que cualquier método que utilice correctamente el ímpetu I 0 transferido a la partícula en el tiempo tQpor la fuerza de impulso /(/)» debe dar la respuesta correcta. También es claro que se obtiene continuamente la información del ímpetu 70 transmitido a la partícula p o r/(í) si se sus­ tituye f ( t) por I 0 5 ( t - tQ) y se cumple la ecuación (2). Por lo tanto, el método de Dirac siempre dará la respuesta correcta. O b s e r v a c ió n . Ahora es posible entender por qué cualquier solución y ( t ) de la ecua­ ción diferencial d 2y

dy

a—- + b ~ dt 2

+

cy —f( t) ,

f(t)

una función continua por secciones,

es una función continua en el tiempo aun cuando/(O sea discontinua. De hecho, dado que la integral de una función continua también lo es, se ve entonces que y \ t ) debe variar de manera continua con respecto al tiempo. En consecuencia, y ( t ) debe variar también continuamente en el tiempo. Solución d e la ecuación (1) por el método de la transformada de Laplace. Para resol­ ver el problema de valor inicial (1) por el método de la transformadas laplacianas, sólo

242

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

se necesita saber cuál es la transformada de Laplace para 5 ( t - t0). Esto puede obte­ nerse directamente a partir de la definición de la transformada y de la ecuación (2) £ { S ( / - / 0) } = [

e

Jo

Eje m p l o

s,8 ( t - t 0) d t = e

s,°

(para t0

0)

^ Obtener la solución del problema de valor inicial

±l-4^+4y=3SU-\)+S0-2); y(0)~\, / (

0)= I.

SOLUCIÓN. Sea Y { s ) = £ { 7 ( 0 } - a i aplicarla transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, se obtiene

j2y - j - i - 4 ( í y - i ) + 4 y = 3 e ~ f+e - 2s o bien

(s

Y por lo tanto

—4í + 4)y(j) = j - 3 + 3e s + e 2s. je (s- I f

Ahora bien 1/(5 - 2)2 = (5-2)

(s~ 2f

(s- If

{te2í}. Entonces, (

(5-2)

' )

(

' - H 2 ( ‘ K ‘ - 2 ) e 2(' - 2>}.

Para invertir el primer término de Y(s) obsérvese que (5-2)

Así pues,

J ~ -2-

(i-2 )2

l- —

( 5 -2 ) 2

= t { e 2 t ) - £ { t e 2‘ } .

7 ( 0 = (1 —t ) e 21 + 3 H x( t ) ( t - l)e 2 (í-,)+ H 2( t ) ( t — 2 ) e 2 ( t ~ 2\

Es ilustrativo resolver este problema por el camino largo, es decir, encontrar y(t ), por separado, en cada uno de los intervalos 0 < / < 1, 1 < t < 2 y 2 < t < ° ° . Para 0 < t < 1 se tiene que y ( t ) satisface el problema de valor inicial d 2y

dy

dt2

dt

—y - 4 - r + 4 v = ° ;

y ( 0) = l,

/ ( 0) = 1 .

La

ecuación característica de la diferencial es r 2 - 4r + 4 = 0, cuyas raíces son r, = 2. Por lo tanto, cualquier solución y { t ) debe ser de la form a7 (0 = (tfj + a 2t ) e 21. Las constantes a { y a 2 se determinan a partir de las condiciones iniciales

r2 -

1 = ^ ( 0) = a ,

y

1 = y ' ( 0 ) = 2a ¡ + a 2-

Por lo tanto, a { = 1, a 2 = - 1 y 7 ( 0 = (1 - t ) e 2r para 0 < t < 1. Ahora 7 (1) = 0 y 7 '(i) = - e 2. En el instante t = 1 la derivada de 7 ( 0 se incrementa repentinamente en 3. Por lo tanto, para 1 < t < 2 se tiene que7 ( 0 satisface el problema de valor inicial ^ -7

+ 4 7 = °;

>>(1) = 0, y ' { \ ) = 2 > - e 1.

243

2.12 • Función delta de Dirac

Dado que las condiciones iniciales están dadas en t = 1 , se escribirá la solución en la forma y ( t ) ~ [¿?, + b 2(t l)]e2(/-1) (Ejercicio 1). Las constantes b \ y b 2 se determi­ nan a partir de las condiciones iniciales 0 = y (\) = bl

y

3 —e2= / ( l ) = 2¿>, + ¿>2.

A sí pues, b¡ = 0, b 2 = 3 e 2 y y ( t ) = (3 - e2)(/ - \ ) e 2(c~ {\ con 1< t < 2. Ahora se tiene y (2) = (3 - e 2) e 2 yy ' ( 2) = 3(3 - e 2) e 2. En el instante t = 2, la derivada de y ( t ) se incrementa repentinamente en 1. Por consecuencia, para 2 < / < oo se tiene que y ( t ) satisface el problema de valor inicial ~ 4 7 t + 4 y = 0;

y ( 2 ) = e 2( 3 - e 2),

/ ( 2 ) = 1 + 3 e 2( 3 - e 2).

Por lo tanto, y ( t ) = [c, + c 2(t - ) \ e 2(t~2). Las constantes C| y c 2 se determinan a par­ tir de las ecuaciones e 2(3 —e2) = c,

y

1 + 3e2(3 —e 2) = 2 c ] + c 2.

Así que c, = e2( 3 - ^ 2),

c 2 = 1 + 3 ^ 2( 3 - ^ 2) - 2 e 2( 3 - ^ 2) = 1 + e 2( 3 - e 2)

y y ( t ) = [e2(3 - e 2 ) + (1 + e2(3 - e 2))(t - 2)]e2(/-2>, t > 2. El lector debe verificar que esta expresión coincide con la expresión que se obtiene para y ( t ) por el método de la transformada de Laplace.

Ej e m p l o 2 Una partícula de masa igual a 1 se encuentra sujeta al extremo libre de un sistema masa-resorte-amortiguador. La constante de restitución del resorte es 1 N /m y la resistencia que el mecanismo opone al movimiento de la partícula es igual al doble de su velocidad. En el instante t = 0, cuando la partícula se encuentra en reposo, se aplica al sistema una fuerza externa e~l . En el instante t = 1 se aplica a la partícula una fuerza adicional f { t ) de muy corta duración. Dicha fuerza imprime a la partícula un impulso de valor 3 N • s. Determinar la posición de la partícula en cualquier instan­ te t mayor que 1 . S o l u c i ó n . Sea y ( t ) la distancia de la partícula con respecto a su posición de equili­ brio. Entonces y ( t ) satisface el problema de valor inicial + 2 ^ + y = e - ' + 3 8 ( t - 1);

y { 0 )= 0 ,

/ ( 0 ) = 0.

Sea Y ( s ) = {7 (0 }- A l aplicar la transformada de Laplace en ambos lados de la ecua­ ción diferencial, se obtiene ( j 2 + 2 í + 1) ^ ( 5) = —^—r + 3 e ~ st *+>

o bien

^ ( .s ) = — -— - + —^—— ;• ( i + i )3 ( i + o !

244

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Dado que

se ve entonces que

y(0y, por consecuencia, se tiene y ( t ) = ¿ t 2e ~ l + 3 ( t — l) e -( ,-t ) p a r a f > l. L a presente sección concluye con una descripción breve del método de Laurent Schwartz para ubicar la función delta sobre un fundamento matemático riguroso. La etapa principal en el método es reconsiderar el concepto de “ función” . E n cálculo se enseña al estudiante a reconocer una función por su valor para cada valor de t. Una manera más refinada (y mucho más difícil) de reconocer una función es mediante lo que hace a otras funciones. Dicho con más precisión, sea/ una función continua por secciones, definida para -oo < t < oo. a cada función infinitamente diferenciable que se anula para | / 1 lo bastante grande se le asigna un número K[\ de acuerdo con la fórmula M

*M =J

*(')/(')<*•

OO

(5)

Como lo indica la notación, K es un operador que actúa sobre las funciones. Sin embargo, difiere de los operadores expuestos con anterioridad en el sentido de que asocia a un número en vez de una función. Ahora obsérvese que la asociación - * ÁT[0 ] es una asociación lineal, pues + £2^ 2] = f =

00

(c i<í>i + C2<í>2)(0 / ( 0 ^í

f 00 <í>i(0 / ( 0 < * + c2 •'“ 00 —00

= Cl * í > l ] + C2 * [> 2 ]-

Por lo tanto, toda función continua por secciones define mediante (5) una funcional lineal sobre el espacio de funciones infinitamente diferenciables que se anulan para |/| lo bastante grande. Considérese ahora la funcional K[] definida por la relación K[] = Se tiene que K es una funcional lineal, ya que

+ ^^ 2] = ci<í>i(ío)+ ^ 2(^0) ~ ci^[<í>i] + ^^[^ 2]*

Para imitar la forma de (5), se expresa a K simbólicamente en la forma * [ * ] -f % ( /) í( /--/o ) < * . 00

(6)

En este sentido 5 (í - tQ) es una “ función generalizada” . Sin embargo, es importante notar que no se puede hablar del valor de 5 (t ~Vo) en cualquier instante t. L a única cantidad que tiene significado es la expresión - t o) dt , y a esta expresión hay que asignarle siempre el valor de Vo).

245

2.12 • Función delta de Dirac

Es muy difícil pensar en una función en términos de la funcional lineal (5)que induce. Sin embargo, la ventaja de esta manera de considerar es que ahora esposible asignar una derivada a toda función continua por secciones y a toda “ función generalizada” . De hecho, supóngase que/ ( / ) es una función diferenciable. Entonces f ' ( t ) induce la fun­ cional lineal

* ' ! > ] - / "00 <■(')/'(')*•

(7)

A l integrar por partes y usar el hecho de que (t) se anula para 11 ¡ suficientemente grande, se encuentra que * 'M = P

oo[ - * ' ( ' ) ] / ( ' ) < * - * [ - * ' ] •

(8)

Nótese que la fórmula = K [-'] tiene sentido aun cuando f ( t ) no es diferenciable. Este hecho sugiere la definición siguiente:

DEFINICION. A toda funcional lineal K[] se le asigna una nueva funcio­ nal lineal K'[\ por medio de la fórmula K'[4>] = K [-']. La funcional lineal K'[] se denomina d e r i v a d a de K[4>], ya que si K[\ es inducida por una fun­ ción diferenciable /( O , entonces K ’[4>] es inducida por f Obsérvese, por último, a partir de (8), que la derivada de la función delta b { t - t0) es la funcional lineal que asigna a toda función el número -'(í0)> ya Que si K[] = 4>(t0 ) entonces K'[4>] = K[-'] = ~4>'(t0). De modo que

í ” (t)8V-to)dt=*-Vo)

00

para todas las funciones diferenciables <¡>(t).

Ej e r c i c i o s 1. Sea a una constante fija . Demuestre que toda solución de la ecuación diferencial (id 1y / d t 2) + 2a ( d y / d t ) + a 2y = O puede escribirse en la forma

2. Resuelva el problema de valor inicial (d 2y / d t 2) + 4 ( d y / d t ) + 5y = f { t ) \ .y(O) = l t j f ( 0) = O, donde f ( t ) es una fuerza de impulso que actúa durante un intervalo de tiempo extremadamente corto 1 ^ t ^ 1 + r, y f \ + Tf ( t ) d t = 2 . 3 . (a) Resuelva el problema de valor inicial (d 2y / d t 2) - 3( d y / d t ) + 2y - /(O í ^ ( 0) = 1 , ^ '(0) = O, donde / ( /) es una fuerza de impulso que actúa durante un lapso extremadamente corto 2 < í < 2 + r, y $ \ + Tf ( t ) d t = - 1 .

246

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN (b) Resuelva el problema de valor inicial ( d 2y / d t 2) - 7>{dy/dt) + 2y = 0; y ( 0 ) = 1, /( O ) = 0 en el intervalo 0 < / < 2. Calcule Zo = y ( 2) y z'o = y \ 2). Resuelva luego el problema de valor inicial ~ ¿ ~ 3 l t + 2 y s s °''

y ( 2 ) = z °'

y ’(2) = z ó - l >

2 < / < oo.

Compare la solución con la solución de la parte (a)

4.

Una partícula de masa igual a 1 se encuentra sujeta a un sistema masa-resorte-amor­ tiguador. La constante de restitución del resorte es 3 N /m y la resistencia que el sistema opone al movimiento de la partícula es igual a 4 veces su velocidad. En el instante / = 0, la partícula se encuentra a 0.25 m de su posición de equilibrio. En el instante t - 3 s (segundos) se aplica al sistema una fuerza de impulso de muy corta duración. Dicha fuerza imparte un impulso de 2 N • s sobre la partícula. Cal­ cule el desplazamiento de la partícula con respecto a su posición de equilibrio.

En los Ejercicios 5 a 7, resuelva el problema de valor inicial dado. 5.

d 2y — + > '= s e n / + 6 ( / - 7 r ) ; dr

6. ^

.y(0) = 0 , / ( 0 ) = 0

+ ^ + y = 28(i-l)-S (t-2);

7. ^ + 2 ^ + . v - e - ' + 3 í ( / - 3 ) ;

>.(0) = l,/ ( 0 ) > 0

> -( 0 ) -0 ,/( 0 ) -3

8. (a) Resuelva el problema de valor inicial d 2y

,2 + y= 2

dt

o

^ ( 0) - / ( 0) - 0,

y muestre que y ( f ) = / seiu> \ 0,

n es par n es impar

en el intervalo m r < t < (n + 1 >7r. (b) Resuelva el problema de valor inicial d 2y

+y=

2 5 ( ' - 2» , y-o

.y(0) = / ( 0) = 0,

y muestre que y ( t ) = (n + l)sen/* en el intervalo 2 m r < t < 2 (n + l)ir. Este ejemplo indica por qué se ordena a los soldados romper la cadencia al marchar a través de un puente. De hecho, si los solados marcharan rítmicamente con la frecuen­ cia natrual del material férreo (acero) del puente, puede presentarse una situación de resonancia del tipo (b).

247

2.13 • Integral de convolución 9.

Sea / ( / ) una función que es igual a Vi para t > a —‘/2 para t < t0 . Sea K[] la funcional lineal

t0 ,

igual a 0 para t =

t0 ,

e igual

* [ * ] - í 00 J—00

Demuestre que K'[<$ >] = A'f—0 '] = identificar como la derivada de f ( t ) .

2 .1 3

De modo que

5 (t

-

t0 )

se puede

I ntegral de c o n v o l u c ió n

Considérese el problema de valor inicial + b ^t + ( y s s f ( t) ;

y ( ° ) = y o > /( o ) = ^ ó .

0 )

Sea 5^(5) = £ { / ( / ) } y FCs) = £ { / ( 0 } - A l aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación diferencial se obtiene que a [ 5 2Y ( s ) - s y 0 - y Q ' ] + b [ j Y ( s ) - y 0] + c Y (5) = F (s )

y esto implica que v/ ^

Y (s)=

, a , , s) — y 0+ -- — y 0 + as2+ b s + c as2+ b s + c as2+ b s + c as + b

Ahora hágase \ as + b s + c )

y t as + bs + c ) A l tomar f ( t ) = O, y 0 = 1 y y ’0 = O, se encuentra que y¡ (/) es la solución de la ecua­ ción homogénea que satisface las condiciones iniciales y ¡ (0) = \ , y \ (0) = 0. De manera similar, tomando f ( ( ) = 0, y 0 = 0 y y'0 - 1 , resulta q u e ^ íO es la solución de la ecua­ ción homogénea que satisface las condiciones iniciales .^(O) = 0, y'2(0) = Y Todo esto implica que « O - » - '

' W

a s 2+ bs + c

es la solución particular de la ecuación no homogénea que satisface las condiciones in i­ ciales \p(0) = 0, ^'(0) = 0. A sí pues, el problema de hallar una solución particular de la ecuación no homogénea se reduce al problema de encontrar la inversa de la trans­ formada de Laplace para la función F ( s ) / ( a s 2 + b s + c). Si se observa esta función con detenimiento, se encuentra que es el producto de dos transformadas de Laplace; es decir>

F(s)

\ L

- , £ ( / ( / ) ) x£

a s + bs + c

y 2(t) a

.

248

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Resulta natural preguntarse si existe una relación sencilla entre y las funciones f ( t ) y Por supuesto que sería más fácil si fuera el producto d e /( /) y y i i t ) / a , pero eso obviamente no ocurre. Sin embargo, hay una manera muy interesante de com­ binar dos funciones / y g para formar una nueva función f * g que es semejante a la multiplicación y para la cual se cumple

£ { ( /* « ) (') } = £ { / ( ') } x £ { * ( ') } • Esta combinación d e / y g aparece con frecuencia en las aplicaciones y se conoce como la convolución de / con g.

DEFINICIÓN.

La c o n v o l u c i ó n

la ecuación

(f*g)(0

(/ * g ) { í )

=f

•'o

f{t-u )g{u )du .

Por ejemplo, si f ( t ) = sen2f y g ( t ) = (f*g)(t)—

f

Jo

de / con g se define por medio de

(2)

entonces

sen2(/ —u ) e ^ d u .

E l operador convolución * guarda claramente alguna semejanza con el operador multi­ plicación, ya que se multiplica el valor de / en el punto t - u por el valor de g en el punto w, para después integrar el producto con respecto a u. Es por ello que no debe sorprender que el operador convolución satisfaga las siguientes propiedades. P r o p ie d a d i . E l operador convolución cumple la ley conmutativa de la multiplica­ ción, es decir, ( / * g)(0 = (g */)(/)• D e m o s t r a c i ó n . Por definición se tiene que ( / * £ ) ( ') = f f ( t - u ) g ( u ) d u . •'o A l introducir la sustitución t - u = 5 en la integral se obtiene (/* s )(0 * “ /

Jt

Jo

f{s)g (t-s)ds

g(t-s)f(s)ds= (g*f)(t).

□

P ro p ie d a d 2 . E l operador convolución satisface la ley distributiva de la multiplica­ ción, es decir, f* (g + h)=f*g+f*h.

249

2.13 • Integral de convolución DEMOSTRACIÓN. Véase el Ejercicio 19.

P ro p ie d a d 3 . E l operador convolución satisface la ley asociativa de la multiplica­ ción, es decir ( / * g ) * h = / * (g * h). D e m o s t r a c i ó n . Véase el Ejercicio 20. P r o p ie d a d 4. L a convolución de cualquier función / con la función cero es igual a cero. DEMOSTRACIÓN. Resulta obvio. Por otro lado, el operador convolución difiere del operador multiplicación en que /* 1 f * f * f 2- De hecho, la convolución de una función / con ella misma pue­ de incluso ser negativa.

Ej e m p l o

i Calcular la convolución de /( /) = t 2 con g ( t ) = 1.

SOLUCIÓN. A partir de la Propiedad 1 se tiene que

Ejem plo 2 Calcular la convolución de/( /) = eos / consigo misma y demostrar que no siempre es positiva. SOLUCIÓN. Se tiene por definición que

o f (cosíeos2M+senrsenueos

o

T t sen2 / 1 sen3/ = cos/| — + [2 4 J 2 t eos t +sen t eos2/ +sen3/

2

/ eos í + sen t (eos2 1 + sen2 1) 2

/eos/ + sen/

2

250

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

esta función claramente es negativa para (2/7 + 1 )ir < t < (2/7 + 1 )7r + ¿7r,

n = 0 ,1 ,2 ,....

Ahora se demostrará que la transformada d e / * g es el producto de la transforma­ da de Laplace de f y la transformada de Laplace de g.

TEOREMA 9. e ((/.*)(/)} = e {/(»)}x £ {g(0}. D e m o s t r a c i ó n . Se tiene por definición que

J /»0O I

r

e-*

f

f(t-u )g(u )du

dt.

0

o

Esta integral iterativa es igual a la integral doble / / e ~ s,f { t - u ) g ( u ) d u d t R

donde R es la región triangular descrita en la Figura 1.

F ig u r a

a

.

Integrando primero con respecto a t, en vez de w, se obtiene £{(/*g)(0 }=

f

Jq

fu e~s,f(t— u)dt

g(“)

A l hacer t - u == £. Se encuentra que r e -* j(t-u )d t=

Ju

r

Jo

e-" * * m

d t

du.

251

2.13 • Integral de convolución Por lo tanto, se cumple

£ { ( /* « ) ( ') } = f

g ( u)

e ~ ‘“e ~ ‘(f ( í ) d í du

e-‘(/(()d(

= [ jf

= e {/(r)}x e {g (í)}. Ej e m p l o 3

□

Encontrar la transformada de Laplace de la función 52(52 + a 2)

S o l u c i ó n . Obsérvese que "T = £ { / )

y

- y — - = £ {sena/}. s>2 + a~2 Por lo tanto, por el Teorema 9 se sabe que s

e' l 7

í ^

) = /o,(' ~ “) s e , w “ a t —s e n a t a2

Ej e m p l o 4

Encontrar la transformada de Laplace inversa para la función l 5 ( s 2 ■+■2 s ■+■2 )

S o l u c i ó n . Obsérvese que - = £{1 } *

y— — í = 5 ■+■2 s ■+■2

í-

= £{e-'senr).

( 5 + 1) + 1

Por lo tanto, por el Teorema 9 1 s ( s 2 + 2 s + 2)

= Jo /'

e

Us e n u d u

=

~ 52 [ * ~ ^ ~ í (co s/+ se n 0 ]-

O b s e r v a c ió n . S e a72(0 Ia solución de la ecuación homogénea a y " + b y ' 0 que satiface las condiciones iniciales 7 2(0) = 0, ^ 2(0) = 1 . . Entonces y 7( t )

* ( ,) = /( ,) .- A i

+

cy =

(3)

es la solución particular de la ecuación no homogénea a y " + b y ' + c y = / ( / ) que satis­ face las condiciones iniciales \¡/(0) = ^ (0 ) = 0. Con frecuencia, la ecuación (3) es mucho más fácil de usar que la fórmula de variación de parámetros obtenida en la Sección 2.4.

252

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Ej e r c i c i o s Determine la convolución de cada uno de los siguientes pares de funciones: 1.

e a,, e b‘, a ^ b

2. e", e at

3.

cosa/, eos bt

4.sena/, sen¿>/,

5.

sena/, sena/

6. /, sen/

a¥*b

Utilice el Teorema 9 para invertir cada una de las transformadas de Laplace siguientes. 7

£_________ g_ ’ ( j + 1 ) ( j2 + 4)

1 j 2( j2+ 1 )

10. —~y — r * (j2+ l )

11.

j 2( j + 1)

j

9 s ( j 2+ l )2 12.------( j 2+ l )

Utilice el Teorema 9 para encontrar la solución y ( t ) de cada una de las ecuaciones integrodiferenciales siguientes. 13. y(/) —4/ —3 f y(u)sen(/—u)du Jo

14. y (/) —4 / - 3 f

Jo

y ( t — u)senudu

15. / ( / ) =sen/ + ( ‘y ( t - u ) e o s udu, y (0)=>»0 Jo

16. y(/) = 4/2- f ,y ( u ) e ~ {t~ u)du Jo

17. y \ t ) + 2 y + f y ( u ) d u = sent, y ( 0 ) = 1

'o

18. y ( / ) = / ~ e' f ‘y ( u ) e ~ udu Jo

19. Demuestre que f * ( g + h ) = f * g + f * h. 20. Demuestre que ( / * g ) * h = / * (g * h).

2 .1 4

M é t o d o d e e l i m i n a c i ó n p a r a s is t e m a s

La teoría de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden puede servir también para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones simultáneas de primer orden de la forma

* =

~dt

=

a^ X+ b^ y

253

2.14 • M étodo de elim inación para sistemas

La idea clave es eliminar una de las variables, por ejemplo y , y luego encontrar x como la solución de una ecuación diferencial de segundo orden. Esta técnica se conoce como m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n , y se ilustra en los dos ejemplos siguientes.

Ej e m p l o

i Determinar todas las soluciones de las ecuaciones simultáneas x' = 2 x + y + t y f;= x + 3 y + 1.

^

y = x ' —2 x — t

(3)

S o l u c i ó n . Se obtiene primero a partir de la primera ecuación en (2). Derivando esta ecuación se obtiene y ' = x " —2 x ' — 1 = x + 3 y + 1.

A l sustituir luego la y de (3) se obtiene x " — 2 x ' — 1 = x + 3(jc' — 2 x — t ) + \

de modo que x" —5 x' + 5 x = 2 —3t.

(4)

La ecuación (4) es una ecuación lineal de segundo orden y su solución es x ( t ) = e 5‘/ 2 ^ c ie V^ '/2 + c2e - v ^ ' /2 j - - — ^—-

para un par de constantes y ( t ) = e 5l/2

EJEMPLO 2

y c 2 . Por último, sustituyendo esta expresión en (3),

1+y *

c ,ev 5 , ' 2+ - - ~ - c , e - V i ' / 2

Encontrar la solución del problema de valor inicial x ' = 3 x —y ,

x(0) = 3

y ’= x + y ,

_y(0) = 0.

(5)

S o l u c i ó n . De la primera ecuación en (5) se obtiene y — 3 x — x ‘.

La derivación de esta ecuación da y' = 3 x ’- x " = x + y .

Sustituyendo la y de (6) se llega a 3x'-x" = x + 3 x -x '

de manera que x " - 4 x ' + 4 x = 0.

Esto implica que x ( t ) = ( c ¡ + c 2t ) e 2'

(6)

254

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

para un par de constantes c x y c2 . A l sustituir esta expresión en (6) se obtiene >’( 0 = 0 i - c 2 + c20 e2'. Las constantes C] y c2 se determinan a partir de las condiciones iniciales x(0) = 3 = c 1 ^(O) - 0 = Cj —c 2. Por lo tanto, c j = 3 y c2 = 3, de modo que

jc ( /) = 3( 1 +

t)e2l,y (t) = 3te2f

es la solución de (5). O b s e r v a c ió n . E l sistema de ecuaciones simultáneas (1) se conoce usualmente como un s i s t e m a de ecuaciones de primer orden. Los sistemas de ecuaciones se tratan con detalle en los Capítulos 3 y 4.

Ej e r c i c io s Encuentre todas las soluciones para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. 1.

x ’ ’* 6 x - 3 y

2. x ' = - 2 x + y + t y' — - 4 x + 3 y - 1

y'-2 x + y

3.

3 x + 2y

x'

4. x ' = x + y + e ‘

■ x-y

y'

y ' = x —y — e 1

7.

X

-x -y,

y = 5x — 3_y, 9.

8. x(0 ) = 0 o II

x(0) = 0

y = x - 2 y + tant,

y ( 0) =

0

1

ii

y = - 2 x + 2y, —3x —2y, y = 4x - y , X

X =

12.

X

y

x ( 0) = 0

y ( 0) = 5 x (0 ) = 1 y ( 0) = 5

3x — 4 y + e ,

y = x —y + e ‘,

^o—'

1

1

x
II

X * =2x — 5 y +senr,

2 .1 5

10 .

X

X

6.

x(0)= 1 y ( 0) = 2

X = 4x + 5>' + 4 e, cosr,

y

11.

x (0) = 2

y ( 0) = 3

= > '+ /i(0 » X +

y = 4x + y ,

1

x+y,

X =

II

5.

V*

Encuentre la solución de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial.

x ( 0) = 1 y ( 0) = l * ( 0) = 0

y (0)= o

E c u a c i o n e s d e o r d e n s u p e r io r ________________

En la presente sección se estudiarán brevemente las ecuaciones diferenciales de orden superior.

DEFINICIÓN .

La ecuación

¿ | > ] = ^ ( ') ^ p r + a n - i ( t ) ~ r r [ +

+ tfO(')> ’ ==0,

an( t ) ^ 0

(1)

255

2.15 • Ecuaciones de orden superior se conoce como la ecuación lineal homogénea general de orden n. La ecuación diferencial ( 1) junto con las condiciones iniciales

y(to)**yo, y'Oo)==yo,---,y(n~1)(to)=yon~l)

0 ')

constituyen un problema de valor inicial. La teoría para la ecuación ( 1) es com­ pletamente análoga a la teoría para ecuaciones lineales homogéneas de segun­ do orden que se estudiaron en las Secciones 2.1 y 2.2. Por ello, los teoremas importantes se enunciarán sin demostración. Es posible obtener demostracio­ nes completas de estos resultados generalizando los métodos usados en las Sec­ ciones 2.1 y 2.2, o los métodos que se expondrán en el Capítulo 3.

TEOREMA 10. S e a n y x(/), y n(t) n s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n ­ tes d e ( 1), es decir, n i n g u n a y j ( t ) es c o m b i n a c i ó n l i neal d e l as d e m á s s o l u c i o ­ nes. E n t o n c e s t o d a s o l u c i ó n y { t ) d e (1) es d e la f o r m a

>'(0 = c ,> ',(0 + ••• + c ny n{ t )

(2)

p a r a a l g u n a e l e c c i ó n d e c o n s t a n t e s C j, . . ., cn. Por tal razón, se dice que (2) e s la s o l u c i ó n g e n e r a l d e (1).

Para encontrar n soluciones linealmente independientes de (1) cuando los coeficientes a0 , a ¡ , . . . , a n no dependen de t, se determina

L [ e ' ' ] = ( V ’' + a „ _ ¡r - ' + . . . + a oy .

(3 )

Esto implica que e rt es solución de (1) si y sólo si r es una raíz de la ecuación caracte­ rística

anr ’ + a „ _ l r " - ' + . . . + a o- 0 .

(4 )

Así pues, si la ecuación (4) tiene n raíces distintas r , , . . . , rn , entonces la solución gene­ ran de (1) es y ( t ) = c1er,í + .. . + cne r"‘. Si rj = ctj + i(3j es una raíz compleja de (4), entonces w(/) = R e {e r'' } = e ajle o s fijt

y

u (/) = Im { e r' ' } = e aj,sen/3jt

son dos soluciones de (1) con valores reales. Por último, si r, es una raíz de multiplici­ dad k , es decir, si anr n + . . . + a 0 = ( r - r l ) kq ( r )

donde q ( r x) í 0, entonces e r,lt t e r'!, . . . , t k~xe rl’ son k soluciones linealmente indepen­ dientes de (1). Esta última afirmación se demuestra de la siguiente manera. Obsérvese a partir de (3) que L [ e " ] = ( r - r , ) ‘í( r ) e"

256

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

si r | es una raíz de multiplicidad k. Por lo tanto, 3y

L [ í V ' f] = L

or = 0, para 1 < j < k

Ej e m p l o

i Encontrar la solución general de la ecuación

(5)

- +„-a

SOLUCIÓN. La ecuación característica de (5) es r 4 + 1 = 0. Las raíces de esta ecua­ ción se hallan al observar que - ! =
Por lo tanto,

, _ e* / 4_ cos

4

+ /sen^p = — 4

(l + i),

V2

3ir

1

r2 « e3#,/4 = eos ~ + i sen . 4 4 r = 3

Svi / 4

5?r , . —eos — + /sen— 4 4

r4 = e 1'tti,A = eos ^

+ i sen-^p =

4

( 1- 0 .

V 2 l1 / i i * \ ------- — (1 + /), xV /?2 v 7

4

V2

—

(1

- /)

son 4 raíces de la ecuación r 4 + 1 = 0. Las raíces r3 y r4 son las complejas conjuga­ das de /"i y r 2 t respectivamente. A sí pues, t , . f eos ——- + 1 sen V 2 V2

eos

V2

h i sen-

V2

son dos soluciones de (5) con valores complejos y eso implica que y l (t) = e ,/V * c o s - ^ r , os— — -—-,. ^ 3(/) == #»e f, // Vv^2 ccos V2

y 2( vy

=

s e n -~ -,

>>4(0 == *

— * sen-

V2

257

2.15 • Ecuaciones de orden superior

son cuatro soluciones de (5) con valores reales. Dichas soluciones son, en verdad, lineal­ mente independientes. Por lo tanto, la solución general de (5) es

y( 0

=

í

'/^

a, eos

+ e -t/V i

Ej e m p l o 2

1-. bz. , sen— t—

t

V2

a? eos

V2

t

V2

L o, L sen-------t h 2 VI

Encontrar la solución general de la ecuación

_d *Zy _ 3 _d 3¿y + 3_d Z2y dt4

í//3

í//2

. .

dy

^

' =0.

(6)

S o l u c i ó n . La ecuación característica de (6) es 0 = r 4 —3 r3 + 3 r2 —r = r ( r 3 —3 r2 + 3 r —1) = r ( r - l ) 3.

Sus raíces son r { = 0, r2 = 1, con r 2 = 1 una raíz de multiplicidad tres. Por lo tanto, la solución general de (6) es >'(0 = c i + ( c2+ c 3/ + c4/2)e 'La teoría para la ecuación no homogénea

L[y]=“Á‘)^ + ... + a0(')>-= / ( ' ) . “A')*0

(7)

también es completamente análoga a la teoría para la ecuación no homogénea de segundo orden. Los resultados siguientes son los análogos del Lema 1 y del Teorema 5 de la Sección 2.3.

L e m a 1.

L a d i f e r e n c i a d e d o s s o l u c i o n e s c u a l e s q u i e r a d e la e c u a c i ó n n o

h o m o g é n e a (7) e s u n a s o l u c i ó n d e la e c u a c i ó n h o m o g é n e a (1).

TEOREMA 11 . S e a \p(t) u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e la e c u a c i ó n n o h o m o g é ­ n e a (7), y s e a n y f t ) , . . . , y n{t) n s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s d e la e c u a c i ó n h o m o g é n e a (1). E n t o n c e s , t o d a s o l u c i ó n y ( t ) d e (7) e s d e a l f o r m a

> '(0 =='H0 + c1>'I( 0 + •••+^>'«(0 p a r a a l g u n a e l e c c i ó n d e c o n s t a n t e s C j, c2, . . . , c„.

E l método de la conjetura sensata también se aplica a la ecuación de orden n + •••+ ao>'==[ ¿,o+ V + •••'+ bk t k ] e a‘.

(8)

258

CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Puede verificarse fácilmente que la ecuación (8) tiene una solución particular ip ( t ) de la forma ' K 0 = [ co + < V + ••• + C* ' * K ' si e at no es solución de la ecuación homogénea, y ^ (r) = r'[c 0+ c ,r + ... + ck t k ] e a* si t i ~ l e al es solución de la ecuación homogénea, pero t ’ e * ' no lo es.

E je m p lo 3

Encontrar una solución particular

\¡/(í) de la

ecuación

rr i dXy ^ t LW = l ¿ + il ¿ + i T ,+y = e -

(9)

S o l u c i ó n . L a ecuación cacteristica r 3+ 3 r 2+ 3 r + l = ( r + l ) 3

=

tiene a r —1 como raíz triple. Por lo tanto, e ( no es solución de la ecuación homo­ génea, y la ecuación (9) tiene una solución particular yp(t) de la forma A l evaluar L[\}/)(t) = S A e 1 se encuentra que A = 1/8 . Por lo tanto, \p(t) = l / 8ef es una solución particular de (9). También hay una fórmula de variación de parámetros para la ecuación no homo­ génea (7). Sea v(/) la solución de la ecuación homogénea (1) que satisface las condicio­ nes iniciales v(f0) = 0, v'(f0) = 0, . . . , v(/r_2)(/0) = 0, v (/l-,)(/0) = 1 . Entonces

J ‘o

es una solución particular de la ecuación no homogénea (7). En la Sección 3. h2 se demos­ trará esta afirm ación. (También puede demostrarse usando el método de la transfor­ mada de Laplace; véase la Sección 2 .13 .)

Ej e r c i c i o s Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. 1.

/" -2 y ”- y ' + 2 y - 0

2. y"' - 6 y ” + 5 / + 12y - 0

3.

y (iv)- 5 / " + 6y* + 4 / - 8.y —0

4. y " ' - y ” + y ' - y - 0

Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. 5. y

^ + A y " ' +

M.y*—20y' + 25y—0;

y

(0)-/(0 )-y "(0 )- 0 ,/"(0)- 0

6. y ^ - y - 0; ^(0) - l , / ( 0) -^ " ( 0) - 0, / " ( 0) - - 1

259

2.15 • Ecuaciones de orden superior 7.

y (v) —2>»(iv) + y " ' —0;

y ( 0 ) = y \ 0 ) = y ”( 0 ) ~ y " ' ( 0 ) = 0 , y ^ O ) * * - \

8. Sabiendo que y¡ (t) = e r cos t es una solución de y ( iv)- 2 y ' " + y " + 2 y ' - 2 y = 0 ,

(*)

determine la solución general de (*). S u g e r e n c i a: Use esta información para encon­ trar las raíces de la ecuación característica de (*). Obtenga una solución particular para cada una de las siguientes ecuaciones: 9.

y ’” + y ' = tan /

10.

11.

y (iv)+ y —g ( 0

12. / " + / = 2 f 2 + 4senf

13.

y " ’ — 4 y ' = t + c o s t + 2 e ~ 2‘

14. y (,v)—y — / +sen /

15.

y (,v) + 2 y " + y = t 2sent

16. y (v,)+ y " = t 2

17. y " ' + y " + y ' + y — t + e ~ l

y = g(t)

18. y (-,^ + 4 y '" + 6y" + 4 y ' + y = t 3e~*

S ug er e n c i a p a r a (18): Haga la sustitución y = e~‘v y despeje v. De otra manera, tomará

muchísimo tiempo resolver este problema.

3 Sistemas de ecuaciones diferenciales 3.1

Propiedades a lg e b ra ic a s de s o lu c io n e s de SISTEMAS LINEALES

Este capítulo trata de las ecuaciones diferenciales simultáneas de primer orden de va­ rias variables; es decir, ecuaciones de la forma dxx

d x2 ~di

= /2

(i)

dxn

Una solución de (1) consiste en n funciones x ¡ ( t ) , . . . , x „ ( t ) , tales que d x j { t ) / d t = n. Por ejemplo, x ,(0 = t y x 2{t) = d e s u n a solu­ ción del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de primer orden

f j ( t , x , (/), . . . , x n{ t ) ) , j = 1 , 2 ,

dx.

i r =1

dx,

*

ü

T

- 2 * '

ya que d x \ ( t ) / d t = 1 y d x 2( t ) / d t = 2 t = 2 x x(t). Además de la ecuación (1) se imponen con frecuencia condiciones iniciales sobre las funciones ^ ( O . •••» x n{t). Dichas condiciones serán de la forma *1 (^o) = x l>

X 2 (^o) = X 2’ ' ’ - ’ Xn ( í o ) ~ x n-

(O

261

262

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

La ecuación (1), junto con las condiciones iniciales (1'), se conocen como p r o b l e m a d e v a l o r inicial. La solución de tal problema consiste en n funciones x x(t), • •» x n ( 0 Que satisfacen (1 ) y las condiciones iniciales * i('o ) = *?>•• •>*„('<)) = * íPor ejemplo, ^ ( í) = e ‘ y x 2(t) = 1 + e 2t/ l son una solución del problema de valor inicial dx{ ~dF

* 2 - 2

3

ya que d x x( t ) / d t = e l = x x(t), d x 2( t ) / d t = e 2t = x 2 (t), x-,(0) = 1 y a-2(0) = 3/2. La ecuación (1) se conoce también como sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Este tipo de ecuaciones se presenta con frecuencia en aplicaciones bioló­ gicas y físicas, las cuales muchas veces describen sistemas muy complicados, ya que la tasa o rapidez decambio de la variable Xj depende no solamente de t y de Xj, sino tambjén de losvalores de todas las otras variables. Un ejemplo particular es el modelo para la glucosa de la sangre, que se estudió en la Sección 2.7. En dicho modelo, las tasas de variación g y h (las desviaciones de la cantidad de glucosa en la sangre y la concen­ tración hormonal neta, respecto de los valores óptimos, respectivamente) están dadas por las ecuaciones ^8 i , r / 1\ — = - m \ g - m 2h + J ( t ) ,

dh i , — = — m 2h + m 4 g.

E l anterior es un sistema de dos ecuaciones de primer orden para las funciones g ( t ) y h ( t ) . Algunos sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden provienen de ecua­ ciones de orden superior para una variable y { t ) . Toda ecuación diferencial de orden n en la variable y , puede expresarse como un sistema de n ecuaciones de primer orden para las variables dy

d n~ xy

Los Ejemplos 1 y 2 ilustran cómo opera esto.

Ej e m p l o 1

Transform ar la ecuación diferencial d ny

d n~ xy

en un sistema de n ecuaciones de primer orden. SOLUCIÓN. S e a n x ^ /) = y , x 2(t) dxx

=

d y / d t , . . . , y x n (t)

dx2

d x n_ ,

=

d n~ xy / d t n~x. Entonces,

263

3.1 • Propiedades algebraicas de soluciones de sistemas lineales Ejem plo

2

Transformar el problema de valor inicial y"(°)=o

+ 3 y = e ';

en un problema de valor inicial para las variables y , d y / d t , d 2y / d t 2. SOLUCIÓN. Sean Xx(t) = y , x 2(t) = d y / d t y x3(f) = d 2y / d t 2. Entonces, dx{

dx2

ir

dx3

I i

Más aún, las funciones x l , x 2 y x 3 satisfacen las condiciones iniciales *i(0), x 2(0 ) = 0 y *3(0) = 0. Si cada una de las funciones f ¡ , en (1) es función lineal de las variables dependientes x lf . . . , x „ , entonces se dice que el sistema de ecuaciones es lineal. E l sis­ tema más general de ecuaciones lineales de primer orden tiene la forma dxx - j f - « 1 1 ( 0 * i + — + ‘*lH( t ) x H+ g l ( t )

( 2) = «ni (')* 1 + •••+ «nn(0 *^n+ g«(0 Si cada función g ¡ , . . . , g n es igual a cero, entonces el sistema (2) se llama h o m o g é ­ n e o ; de otro modo se denomina n o h o m o g é n e o . Este capítulo sólo analiza el caso en que los coeficientes a¡j no dependen de t. Ahora bien, incluso el sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes dx,

Ii

ln-*n

(3) ¿Xn dt

a „ i* ,+ . . . + a „ x „

es muy d ifícil de tratar, en especial si n es muy grande. Por eso se busca una manera más concisa de escribir las ecuaciones. Con este fin se introducirán los conceptos de ve ctores y matrices.

DEFINICIÓN.

Un v e c t o r

es una notación abreviada para la sucesión de números x x, . . . , x n * Los núme­ * (N. del R.) Esta definición de un vector matemático se relaciona con la del vector físico usual, considerando las componentes-ortogonales (escalares) de este último como una sucesión ordenada de números, que pueden ser de tres en el concepto matricial de vector.

264

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ros X \ , . . . , x n se llaman c o m p o n e n t e s de x. Si x x = X\ (r), . . . , y x n = x n(t), entonces *1 ( 0 x(t)>

se conoce como una función vectorial o con valores vectoriales. Su derivada d x ( t ) / d t es la función vectorial

DEFINICIÓN.

Una m a t r i z *\n

A=

*21

*22

hn

m2

mI

es una notación o representación abreviada para el arreglo o disposición rec­ tangular de números los cuales se distribuyen en m renglones y n colum­ nas. E l elemento que se encuentra en el renglón i y en la columna j se denota por a¡j. E l primer subíndice identifica el renglón, y el segundo identifica la columna. Se dice que A es c u a d r a d a si m = n . A continuación, se define el producto de una matriz A y un vector x.

DEFINICION. Sea A una matriz de n x n con elementos a iJy y sea x un vec­ tor con componentes x it . . . , x „ . Se define el producto de A por x, y se deno­ ta por A x, como el vector cuya componente (o cuyo componente) i es £7, ,*, + £7(2* 2 + ... + a inx n,

i = 1 ,2 ,..., n.

En otras palabras, el componente i de Ax es la suma de los productos de térmi­ nos que corresponden al renglón i de A con el vector x. A sí pues,

Ax =

*21

‘ 12 *22

*n\

*nl

£ 7 , , * , + £ 7\ 2, ,*X ,„ * .l ’2 , + . . . + £ 7 \n*n £72 , * , + £* 22 7 „- **2, +

. . . + £ 7 2/f\t ,.* ,

a n \ x x + a nlx 2 + . . . + a nnx n

265

3.1 • Propiedades algebraicas de soluciones de sistemas lineales Por ejemplo, 1 1 1

2 4 0 6 1 1

'3' 2 = 1

ir 3 + 4 + 4' 3 -3 + 0 + 6 = 3+ 2+1 l 6j

Por último, obsérvese que el lado izquierdo de (3) son los componentes del vector d x / d t , mientras que el lado derecho de (3) son las componentes del vector Ax. Por lo

tanto, la Ecuación (3) puede escribirse en forma concisa como sigue

*11

f y,

x=^r dt

=

Ax,

donde

y

x= x nm

a 2\

A=

•

°n\

a x2

.

;

•

«„2

•

••

#22

•

•

alH' *2 *

•

•

(4)

a nn_

Más aún, si x x(t), . . . , x „ ( t ) satisfacen las condiciones iniciales ■*1

('o) = *1 >••‘

—

entonces x(/) satisface el problema de valor inicial

x = Ax,

x (/0) = x°, donde

x° =

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones dx j ~dt dx2

—

dx3 ~dt

= 3x, - 7

x 2+

9x 3

= 15*, + * 2- * 3 ■ l x { + 6x 3

puede escribirse en forma abreviada como X=

r 3 15 7

-7 1 0

9] - 1 x, 6

X — *2 ■X3

y el problema de valor inicial dx. dt dx2 ~dt dx3 ~dt

= x , - x 2 + x 3,

x ,(0) = l

—3 x 2 —x y

* 2(0) = 0

= x, + 7 x 3,

x 3(0) = - l

(5)

266

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

se puede expresar en forma abreviada como 1 x— 0 1

-1 3 0

-1

1

x,

x(0) =

7

-1

f 0

Después de haber logrado escribir la Ecuación (3) en la forma más sencilla (4) es posible abocarse al problema de encontrar todas sus soluciones. Dado que las ecuacio­ nes son lineales, se tratará de seguir la misma estrategia que tanto éxito tuvo en el caso de las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. De hecho, se demostrará que tanto el producto de una solución y una constante, como la suma de dos soluciones, es también una solución de (4). Después se hará ver que tomando todas las combinacio­ nes lineales de un número finito de soluciones, es posible encontrar todas las soluciones de (4). Por supuesto que primero debe definirse qué significa una constante multiplica­ da por x y la suma de x y y si x y y son vectores de n componentes.

D e f in ic ió n . Sea c un número y x un vector con n componentes x x, . . . , x n. Se define ex como el vector cuyas componentes son e x t, . . . , c x n, es decir ' c x x' cx2

* i' *2

. c x ».

Por ejemplo, si c= 2

y

’ 3' 1 , entonces 7

x=

’3 ' 6 2x = 2 1 = 2 14 17 ,

E l proceso de multiplicar un vector x por una constante c se conoce como m u l ­ t i p l i c a c i ó n p o r u n escal ar.

DEFINICION. Sean x y y vectores con componentes x x x„ c y ¡ , , y n, respectivamente. Se define x + y como el vector cuyas componentes son x x + y x, . . . , * „ +

es decir X2

x+ y=

+

Xn

y 1' yi

*1 + > V * 2+^2

y„

x* + y n

Por ejemplo, si

x=

1 6 3 2

y

y=

-1 -6 7 9.

267

3.1 • Propiedades algebraicas de soluciones de sistemas lineales entonces

1 6 + 3 2

'- 1

-6 7 9

ss

0 0 10 II.

E l proceso de sumar dos vectores se conoce como adición vectorial. Habiendo definido el proceso de multiplicación por un escalar y el de adición vec­ torial, puede enunciarse el siguiente teorema:

TEOREMA

1 . S e a n x ( t ) y y (/) d o s s o l u c i o n e s d e (4). E n t o n c e s (a ) c x ( t ) es

u n a s o l u c i ó n p a r a c u a l q u i e r c o n s t a n t e c , y ( b) x ( t ) + y (t) e s t a m b i é n u n a solución.

E l Teorema 1 puede demostrarse fácilmente con ayuda del siguiente lema:

LEMA. S e a A u na m a t r i z d e n x n. P a r a c u a l e s q u i e r a v e c t o r e s x y y y una c o n s t a n t e c u a l q u i e r a c. (a) A (ex) = cA x y ( b ) A (x + y) = Ax + A y. D e m o s t r a c ió n d el l e m a . (a) Se probará que los dos vectores son iguales haciendo ver que tienen las mismas com­ ponentes. Para ello, obsérvese que la componente i del vector cA x es can x x+ ca<2x2 + ... + cainx n = c(u(1*, + ... + a inx n),

y la componente i del vector A (ex) es an ( c * ,)+ ai2( c x 2) + ... + ain( c x n) = c { a n x l + ... + ainx„).

y la componente i del vector A (ex) = cAx. (b) L a componente i del vector A (x + y) es <*¡\(*i +.Vi) +

•••+ a¡Ax*

+ y n) = (0,1*1 + ••. + ainx n) + ( a i l y l + ... + ainy„) .

Pero esta también es la componente i del vector A x + A y, ya que la componente i de A x es a i l x l + . . . + a inx n y la componente / de A y es a,-^) + . . . + a iny n . Por lo tanto, A (x + y) = A x + A y . □ D e m o s t r a c ió n del T e o re m a 1 . (a) Si x(T) es una solución de (4), entonces d

d\(t)

— cx(r) = c —^ ~ = cAx(r) = A(cx(r)). Por lo tanto, c x { t ) también es una solución de (4). (b) Si x(/) y y ( t ) son soluciones de (4), entonces

M 0 + y(0 )= “ p

+

= A x (r) + A y (0 = A (x(/) +

De modo que, x ( t ) + y (O también es una solución de (4).

y(0)□

268

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Un corolario inmediato del Teorema 1 es que cualquier combinación lineal de solu­ ciones de (4) también es una solución de (4). Es decir, si x'(r), •• xy(r) son j solucio­ nes de (4), entonces q x V ) + . . . + también es solución para cualquier elec­ ción de constantes c j , c2, . . c¡. Por ejemplo, considérese el sistema de ecuaciones dxK

dx2

-dT = x »

-dF = ~ A x"

dx

bien'

T t

=(-4

ó )x’

x=(£ )'

<6>

Este sistema proviene de la ecuación escalar de segundo orden (d 2y / d t 2) + 4 y t = 0, al hacer jc, = y y x 2 = d y / d t . Dado q u e y ¡ ( t ) = eos 2 1 e y 2{t) = sen2r son dos solu­ ciones de la ecuación escalar, se sabe entonces que x ( , ) J x ' ( ' ) L C|(

\ x i { t) J

cos2 '

) +

\ —2 sen2 t j

c2 (

sen2r)

\2cos2t j

c 1cos2 / + c2sen2 / \ —2c,sen2 / + 2 c2cos2 / J es una solución de (6) para cualquier elección de constantes c 1 y c2. E l siguiente paso en la estrategia es mostrar que toda solución de (4) puede expre­ sarse como una combinación lineal de un número finito de soluciones. De manera equi­ valente, se tratará de determinar cuántas soluciones es necesario encontrar para gene­ rar todas las soluciones de (4). H ay una rama de las matemáticas, conocida como álgebra lineal, que se ocupa principalmente de esta cuestión, por lo que se considerará ahora dicha área.

Ej e r c i c io s En cada uno de los Ejercicios 1 a 3 transforme la ecuación diferencial dada con variable y a un sistema de ecuaciones de primer orden.

. 1.

d 2y (d y\2 —T + - t t ) = 0 dt3 Vd t )

, d *y , 2. — r +cos^ = ^f dt¡

'

, d 4y d 2y 3. —- + —- = 1 dí2

4. Cambie la siguiente pareja de ecuaciones de segundo orden d 2y , 0 dz , 0 n —- + 3 -j - + 2y - 0, dt2

dt

d 2z dt2

~d y dt

—— + 3 - j- + 2 z = 0

'

a un sistema de 4 ecuaciones de primer orden en las variables x\=y,

* 2= / ,

* 3= z

y

x 4= z'.

5. (a) Sea y ( t ) una solución de la ecuación y " + y ' + y = 0. Demuestre que X(., = es una solución del sistema

M

\/<

269

3.1 • Propiedades algebraicas de soluciones de sistemas lineales (b)

Sea

wo una solución del sistema de ecuaciones * - ( - ?

-!)>

Demuestre que y = * ,(í) es una solución de la ecuación .y" +

y '

+

y

= 0.

En cada uno de los Ejercicios 6 a 9 escriba el sistema dado de ecuaciones diferenciales y valor inicial, en la forma x = Ax, x(/0) = x°. 6. Xj = 3 * | —7 x 2, x 2 = 4 x ,,

8. x

x,(0)= l

x, = x, + x 2 — x 3,

x,(0) = 0

2= 3

x

x

, —

x

2+ 4

x

x 3= — x, — x 2,

10.

7.

x 2(0)=1

3,

x 1=

x 2=

5 x , + 5 x 2, —x , + 7 x 2,

9. Xj = — x 3,

2( 0 ) = 1

x

x 3(0 )= — 1

2=

x

Xj(3) = 0 x 2(3) = 6

x , ( — 1) — 2

,,

x

x 3= — x 2,

2( — 1) = 3

x 3( - 1) = 4

Sean x —I 3 I 2/

y

y= [ \

0 4

Calcule x + y y 3x - 2y. 11.

Sea

1

2 - 1

A—I 3 0 4 -1

-1

2

Calcule A x si (a)x= |oJ,

(b )x = |^j,

(c) x - 1

0

12. Sea A cualquier matriz de n x n, y sea ey el vector cuya componente y es 1 y cuyas componentes restantes son igual a cero. Verifique que el vector A e y es la columna j de A . 13. Sea / -1 A=I 2 \ -l

30 13 0 2

Calcule A x si (a)

14.

x= | 2^

(b) x = | —i |,

Sea A una matriz de 3 x 3 con la propiedad de que

270

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Calcule

S u g e r e n c i a : Escriba

Como una combinación lineal de y 15. Sea A una matriz de 2 x 2 con la propiedad de que

Determine A . S u g e r e n c i a : E l camino fácil es usar el Ejercicio 12.

3 .2

Es p a c i o s v e c t o r ia l e s

En la sección anterior se definió de manera natural un proceso de adición de dos vecto­ res x y y para originar un nuevo vector z = x + y, y un proceso de multiplicación de un vector x por un escalar c para producir un nuevo vector u = e x . E l primer proceso se llamó adición vectorial, y el segundo, multiplicación por un escalar. El presente estu­ dio del álgebra lineal comienza con la premisa más general de que se tiene un conjunto V de elementos x, y, z, . . . , y un proceso que combina dos elementos x y y de V para formar un tercer elemento z en V , y también se tiene un segundo proceso que combina un número c y un elemento x en V para formar un nuevo elemento u en V . E l primer proceso se denotará como suma, es decir, se escribirá z = x + y, y el segundo se deno­ tará como multiplicación por un escalar, o sea, se escribirá u = ex, siempre y cuando ambos satisfagan los axiomas de la adición y la multiplicación, los cuales son: (i) x + y = y + x (ley conmutativa) (ii) x + ( y + z) = (x + y) + z (ley asociativa) (iii) Existe un elemento único en V , llamado e l e m e n t o c e r o , y denotado por 0, con la propiedad de que x + 0 = x para toda x enV . (iv) Para todo elemento x enV hay un elementoúnico, denotado por - x y denomina­ do n e g a t i v o de x, o menos x, tal que x + (—x) = 0 (v) 1 • x = x para toda x en V (vi) (a b ) x = a ( b x ) para todo par de números a y b , y para todo elemento x en V (vii) o(x + y) = a x + a y (viii) (a + b ) x = a x + b x . E l conjunto V , asociado en los procesos de adición y multiplicación que satisfacen las condiciones (i) a (viii}, se llama e s p a c i o v e c t o r i a l , y sus elementos se denominan vec­

271

3.2 • Espacios vectoriales

t o r e s . Usualmente, los números a y b son números reales, excepto en casos especiales en los que se les considera como números complejos.

O b s e r v a c ió n 1 . En los axiomas del (i) al (viii) está implícito el hecho de que si x y y están en V , entonces la combinación lineal a x + b y también está en V para cual­ quier elección de constantes a y b. O b s e r v a c ió n 2 . En la sección anterior se definió un vector x como una sucesión de n números. En el contexto más general de esta sección se llama vector a una cantidad x por el hecho de estar en un espacio vectorial. Es decir, una cantidad x es un vector si pertenece a un conjunto de elementos V con dos procesos (adición y multiplicación por un escalar) que satisfacen las condiciones (i) a (viii). Como se verá más adelante en el Ejem plo 3, el conjunto de sucesiones

x=

de n números reales es un espacio vectorial (con las operaciones usuales de adición vec­ torial y multiplicación por un escalar definidas en la Sección 3.1). A sí pues, las dos defi­ niciones son compatibles. E J E M P L O 1 Sea V el conjunto de funciones x ( t ) que satisfacen la ecuación diferencial 4 t -* = 0 dr

( 1)

con la suma de dos funciones y el producto de una función por un número, definido en la forma usual. Es decir, ( / . + / 2) ( 0 - / . ( 0 + / 2 W

y (c /)(0 -c /(0 . Es fácil verificar que V es un espacio vectorial. Observar primero que si jt1 y x 2 están en V , entonces toda combinación lineal C jX 1 + c2x 2 está en V , ya que la ecuación dife­ rencial (1) es lineal. Más aún, los axiomas (i), (ii), y del (v) al (viii), se satisfacen auto­ máticamente, ya que para cualquier tiempo t, la adición de funciones y la multiplica­ ción de una función por un número, se convierte en la adición y la multiplicación de dos números. E l vector cero en V es la función que toma el valor nulo para todo tiempo /; dicha función está en V , ya que x ( t ) s 0 es una solución de (1). Por último, en negati­ vo de cualquier función en V está también en V , ya que el negativo de cualquier solu­ ción de ( 1) es también una solución de ( 1).

Ej e m p l o 2 Sea V el conjunto de todas las soluciones x ( t ) de la ecuación diferencial (d 2x / d t 2) —6 x 2 = 0, con la suma de dos funciones y el producto de una función por

272

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

un número, definidos en la forma usual. V no es un espacio vectorial, ya que aunque la suma de dos soluciones cualesquiera está bien definida, no se encuentra necesaria­ mente en V. De manera similar, el producto de una solución por una constante no nece­ sariamente está en V . Por ejemplo, la función x ( t ) = \ / t 2 está en V , pues satisface la ecuación diferencial; sin embargo, la función 2 x { t ) = 2 / t 2 no está en V ya que no satis­ face la citada ecuación diferencial.

Eje m p l o 3

Sea V el conjunto de las sucesiones

x=

de n números reales. Definir x + y y ex como la adición vectorial y la multiplicación por un escalar que se definieron en la Sección 3.1. Es fácil verificar que V es un espacio vectorial ante estas operaciones. E l vector cero es la sucesión

y el vector - x es el vector

Este espacio se conoce usualmente como el e s p a c i o e u c l i d i a n o de dimensión n y se denota por R”.

Eje m p l o 4

Sea V el conjunto de todas las sucesiones

x—

de n números complejos x ly . . . , x n . Definir x + y y ex, para cualquier número com­ plejo c, como la adición vectorial y la multiplicación por un escalar que se definieron en la Sección 3 .1. Una vez más es fácil verificar que V es un espacio vectorial ante estas operaciones. Este espacio se denomina usualmente como el e s p a c i o c o m p l e j o de dimen­ sión n , y se denota por C n.

Eje m p l o 5 Sea V el conjunto de todas las matrices A de n x n. Definir la suma de matrices A y B como la matriz que resulta de sumar los elementos correspondientes

273

3.2 • Espacios vectoriales

de A y de B , y definir la matriz c A como la que se obtiene al multiplicar por c todos los elementos de A. E n otras palabras, ■«11 «21

«12 «22

• • «!*' • • « 2*

ü n\

a n2

■•

«„„,

+

’¿n

b x2

. •

bi/

b 2i

¿22

•

¿2 n

b-i

bn2

■

V

a,, + b u

a 12+ b ]2

a 2\ + b 2i

a 22+ b 21

«„i + ¿ n 1

a n2 + b„2

a \ n + b \n

« 2,. + ¿ 2n

+ b„

«11

«12

«!„'

can

ca 12

«21

«22

•

«2*

ca 21

c a 21

. • ••

cau ' c a 2n

.««1

a n2

•

«**.

c«„2

••

™ nn

•■

=B

Los axiomas (i), (ii) y (v) a (viii) se satisfacen automáticamente, ya que lo que se hace al sumar dos matrices o multiplicar una matriz por una constante es sumar o multipli­ car dos números. El vector cero, o la matriz 0, es aquella cuyos elementos son todos nulos, y el negativo de una matriz A es ln

Por lo tanto, V es un espacio vectorial ante las operaciones de adición de matrices y multiplicación por un escalar.

Ej e m p l o 6 Ahora se presentará un ejemplo del conjunto de elementos que tiene semejanza con un espacio vectorial, aunque no lo es. E l propósito del ejemplo es hacer notar que los elementos de V pueden ser casi de cualquier índole, y que la operación de adición puede ser un proceso muy extraño. Sea V el conjunto formado por tres ani­ males: un gato (C, de c a t ) , un perro (D , de d o g ) y un ratón (M, de m o u s é ) . Siempre que dos animales se encuentran, uno de ellos devora al otro y se transforma en un ani­ mal diferente. Las reglas para que se devoren son las siguientes: (1) Si un perro encuentra a un gato, entonces el perro devora al gato y se transforma en ratón. (2) Si un perro encuentra a otro perro, entonces uno de ellos devora al otro y se trans­ forma en gato. (3) Si un perro encuentra a un ratón, entonces el perro devora al ratón y permanece sin cambio.

274

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

(4) Si un gato encuentra a otro gato, entonces uno de ellos devora al otro y se trans­ forma en un perro. (5) Si un gato encuentra a un ratón, entonces el gato devora al ratón y permanece sin cambio. (6) Si un ratón encuentra a otro ratón, entonces uno de ellos devora al otro y perma­ nece sin cambio. Por supuesto que “ devorar” es un proceso para combinar dos elementos de V y formar un tercer elemento en V . Este proceso de devoración se llamará adición y se denotará por + , de modo que las reglas 1 a 6 pueden escribirse en forma abreviada como 1. D + C = M 4. C + C = D

2. D + D — C 5. C + M = C

3. D + M — D 6. M + M = M .

Esta operación de devorar satisface todos los axiomas de la suma. Para verlo, nótese que el axioma (i) se satisface porque las reglas de la devoración no dependen del orden en que aparecen los animales. Es decir, D + C = C + D , etcétera. Más aún, el resul­ tado de cualquier suma es, una vez más, un animal en V . Eso no pasaría, por ejemplo, si un perro devorara a un gato y se transformara en un hipopótamo. La ley asociativa (ii) también se satisface, aunque su verificación debe hacerse explícitamente. Supónga­ se, por ejemplo, que se encuentran dos gatos y un perro. A priori, no es obvio que no haya diferencia si los dos gatos se encuentran primero y el resultado encuentra al perro, o si un gato encuentra primero al perro y el resultado encuentra al otro gato. Para veri­ ficarlo considere ( C + C ) + Z) = Z) + Z) = C (C+Z)) + C = A / + C = C . Análogamente es posible demostrar que el resultado de cualquier encuentro entre tres animales es independiente del orden en que se encuentran. Ahora bien, obsérvese que el elemento cero en V es el ratón, ya que ningún animal cambia después de devorar un ratón. Por último, “ menos un perro” es un gato (ya que D + C = A /); “ menos un gato” es un perro, y “ menos un ratón” es un ratón. Sin embargo, V n o es un espa­ cio vectorial, ya que no se definió una operación de multiplicación escalar. Más aún, es clara la imposibilidad de definir las cantidades a C y a D , para todos los números rea­ les a , de modo que satisfagan los axiomas (v) a (viii).

Eje m p l o 7

Sea V el conjunto de todas las soluciones * i(0

x(0 = con valores vectoriales de la ecuación diferencial vectorial ■ x = Ax,

'i*

A= *nl

(2)

275

3.2 • Espacios vectoriales

V es un espacio vectorial ante las operaciones usuales de adición vectorial y multiplica­ ción por escalares. De hecho, obsérvese que los axiomas (i), (ii) y (v) a (viii) se satisfa­ cen automáticamente. Por lo tanto, sólo se necesita verificar que (a) L a adición de dos soluciones cualesquiera de (2) es también una solución. (b) Una constante multiplicada por una solución de (2) también es una solución. (c) La función con valores vectoriales

•o

*.(0 '

•• o es una solución de (2), axioma (iii). (d) E l negativo de cualquier solución de (2) es también una solución, axioma (iv). Ahora bien, (a) y (b) son exactamente el Teorema 1 de la sección anterior, mientras que (d) es un caso especial de (b). Para verificar (c) obsérvese que

0

a

—

0'

... o

y

0 ... o

—

... o

o •••

0'

Por lo tanto, la función con valores vectoriales x ( t ) = 0 es siempre una solución de la ecuación diferencial (2).

Ej e r c i c i o s En cada uno de los problemas del 1 al 6, determine si el conjunto dado de elementos

forma un espacio vectorial de acuerdo con las propiedades de adición vectorial y multi­ plicación por un escalar definidas en la Sección 3.1.

Í X' \

1. E l conjunto de todos los elementos x = I x 2 1 donde 3*! - l x 2 = 0 t X' \

2. E l conjunto de todos los elementos x = I x 2 1 donde Xi + x 2 + x¡ = 0 ¡ x i\ 3. E l conjunto de todos los elementos x = j x2 j donde x \ + x \ + x 3 = 1

l Xl

4. E l conjunto de todos los elementos x = I x 2 \* 3

donde Aq + x 2 + x¡ = 1

276 5.

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES E l conjunto de todos los elementos x = í a j para todo número real a y b \b l

6. El conjunto de todos los elementos x = X| + X2 +

*3 =

0,

X\—*2+

2 x 3= 0,

donde 3*! — x 2+

5 x 3= 0

En cada uno de los Problemas 7- 1 1 , determine si el conjunto dado de funciones consti­ tuye un espacio vectorial de acuerdo con las operaciones usuales de adición de funcio­ nes y multiplicación de una función por una constante. 7.

E l conjunto de todos los polinomios de grado < 4 .

8.

El conjunto de todas las funciones diferenciables.

9. El conjunto de todas las funciones diferenciables cuya derivada en t = 1 es tres. 10. 11 .

E l conjunto de todas las soluciones de la ecuación diferencial y " + y

= cosT.

El conjunto de todas las funciones y ( t ) que tienen periodo 2 tt,es decir,

que

y ( t + 2 tt) = y ( t ) .

12.

Demuestre que el conjunto de soluciones con valores vectoriales

del sistema de ecuaciones diferenciales

no es un espacio vectorial.

3 .3 D im e n s ió n d e un e s p a c i o v e c t o r i a l Sea V el conjunto de soluciones y ( t ) de la ecuación lineal homogénea de segundo orden (d 2y / d t 2) + p ( t ) ( d y / d t ) + q ( t ) y = 0. Recuérdese que toda solución y ( t ) puede expre­ sarse como combinación lineal de cualesquiera dos soluciones linealmente independien­ tes. Así pues, si se conocieran dos funciones “ independientes” y l (t) y y 2(t) en V, entonces se podrían encontrar todas las funciones en V al tomar todas las combinacio­ nes lineales c xy \ t ) + c 2y 2(t) de .y1 y y 2. Sería deseable poder deducir una propiedad similar para las soluciones de la ecuación x = A x. Para ello, se define la noción de un conjunto finito de vectores que generan el espacio total, y la noción de independen­ cia de vectores en un espacio vectorial arbitrario V .

DEFINICION. Se dice que un conjunto de vectores x 1, ^ 2, . . . , x" g e n e r a a V si el conjunto de todas las combinaciones lineales c^x1 + c2x2 + . . . + c„x" agota a V . Es decir, los vectores x 1, x2, . . . , x" generan V si todo elemento de V puede expresarse como una combinación lineal de x1, x2, . . . , x".

277

3.3 • Dimensión de un espacio vectorial

1

Ejem plo Sea V el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial ( d 2x / d t 2) x = 0. Sea x l la función cuyo valor en cualquier tiempo t es e \ y sea x 2 ía función cuyo valor en cualquier tiempo t es é~l . Las funciones x l y x 2 están en V , ya que satis­ facen la ecuación diferencial. Más aún, estas funciones también generan a V , ya que toda solución at( í ) de la ecuación diferencial puede escribirse en la forma x ( t ) = c le ‘ + c 2e

‘

de modo que c,x + c-,x .

Ejem plo 2 Sea V = R" y denótese por ey al vector con un 1 en el lugar j y ceros en las demás posiciones; es decir, ' 1 0 e1 = 0

r ° 1 e2 =

1 0

' 0 '

0 , •. •, 6* ^ ==

0 1 .

0

. 0

El conjunto de vectores e1, e2, . . . , e" genera a R", ya que todo vector

x=

puede escribirse en la forma

x=

0 . 0 .

+

■0 ' *2

+... +

0 ' 0

=

x {e l + x 2e2 +

... +

xnen.

. 0 .

D e f in ic ió n . Se dice que un conjunto de vectores x1, x2, . . . , x" es li neal­ m e n t e d e p e n d i e n t e si uno de los vectores es una combinación lineal de los otros. Una manera de expresarlo con precisión matemática es la siguiente. Se dice que un conjunto de vectores x 1, x2, . . . , x" es linealmente dependiente si existen constantes c ¡ , c 2 , . . . , c„, n o t o d a s i g u a l es a c e r o y tales que c,x' + c 2x 2 + ... + cnx n = 0. Estas dos definiciones son equivalentes, porque si x j es una combinación lineal de x 1, . . . , x j ~ \ x j + *, . . . , x", es decir, si Xj = CjX1 + ... + Cy_ ,x '_ 1 + cj + ,x; + 1 + ... + cnx",

278

Capítulo 3 • sistemas de ecuaciones diferenciales

entonces la combinación lineal ¿^x1 + ... + cy _ ,x' ~ 1 - x j + cj + ,xy+ ' + . . . + cnx n es nula y no todas las constantes son iguales a cero. Recíprocamente, si Cj X1, + c2x2 + . . . + c nx n = 0 y Cj # 0 para alguna j , entonces es posible dividir entre Cj y despejar x y como una combinación lineal de x 1, . . . , x 7 -1, x J + ', . . . , x". Por ejemplo, si C] ^ 0 entonces puede dividirse entre q para obtener X

I

C2

=

c,

x

2

c,

x

3

c*

— . . .

c,

n

X .

DEFINICION. Si los vectores x 1, x2, . . . , x" no son linealmente dependien­ tes, es decir, si ninguno de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los otros, entonces se dice que son l i n e a l m e n t e i nd e p e n d i en t e s . La expre­ sión matemática precisa significa que los vectores x \ x2, . . . , x" son linealmen­ te independientes si la ecuación c,x' + c2x2+ •••+ c nx" = 0 implica necesariamente que todas las constantes c { , c2, . . . , cn son iguales a cero. Para determinar si un conjunto de vectores x 1, x2, . . . , x" es linealmente depen­ diente o independiente, se escribe la ecuación CjX1 + c2x2 + . . . + c nx n = 0, y se ve qué implica la igualdad acerca de las constantes C j, c2, . . . , c n . Si todas las consantes deben ser nulas, entonces x1, x2, . . . , x" son linealmente independientes. Por otro lado, si no todas las constantes c { , c2, . . . , c n deben ser iguales a cero, entonces x 1, x2, . . . , x" son linealmente dependientes.

EJEMPLO 3

Sea V = R3 y sean x 1, x2 y x3 los vectores x1=

-1

1

X2=

1

T 2 3

y

x3 =

3 0 5

Para determinar si los vectores son linealmente dependientes o linealmente inde­ pendientes, se escribe la ecuación q x 1 + c2x2 + c3x3 = 0, es decir, '

-1

'3 1 + c2 2 + c3 0 = 3 5 1

f

E l primer miembro de esta ecuación es el vector

0' 0 0

279

3.3 • Dimensión de un espacio vectorial Por lo tanto, las constantes C j, c2 y c3 deben satisfacer las ecuaciones + 3 c 3 = 0,

( i)

—c, + 2 c2 = 0,

(ii)

c l + 3c2 + 5c3 = 0.

(iii)

c, + c2

La ecuación (ii) afirma que c, = 2c2. Sustituyendo esto en las ecuaciones (i) y (iii) se obtiene 3 c2+ 3 c3= 0 y 5 c 2 + 5 c 3 = 0. Estas ecuaciones tienen un número infinito de soluciones c2, c3 puesto que se redu­ cen a la ecuación c2 + c3 = 0. Una solución particular es c2 = - 1 , c3 = 1. Entonces, a partir de la ecuación (ii) se tiene c { = - 2 . Por lo tanto, ’ 1 2 -1 1

t

2 + 3

'3' 0 = 5

0' 0 0

y x l, x2 y x3 son vectores linealmente dependientes en R3.

Ejem plo 4

Sea

V = R" y

sean e 1, e2, . . . , e", los vectores

■1 0 0

0 1 0

e 2=

0

'0 ' 0

e" =

. 01 ,

0

Para determinar si e1, e2, . . . , e" son linealmente dependientes o independientes, se escribe la ecuación q e 1 + . . . + c„e" = 0, es decir, 1 0 0

0 1 0 + c2

.0

.0

'

0 0 + ... + c„ 0 1

' '0 ' 0 0

.0 !

E l primer miembro de esta ecuación es el vector ¿i

'

¿2

Por lo tanto, c¡ = 0, c2 = 0, . . . , y c„ = 0. Como consecuencia, e1, e2, . . ., e" son vectores linealmente independientes en R".

280

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICION. La d i m e n s i ó n de un espacio vectorial V , que se denota por dim V , es el número mínimo de vectores linealmente independientes que genera a V . Se dice que V es un espacio de dimensión finita si su dimensión lo es. Por otra parte, se dice que V es un espacio de dimensión infinita si ningún conjunto finito de elementos genera a V . La dimensión de un espacio V puede caracterizarse como el número mínimo de ele­ mentos que hay que encontrar para conocer todos los elementos de V. En este sentido, la definición de dimensión refleja la idea intuitiva sobre el tema. Sin embargo, a partir de esta definición únicamente, es muy difícil calcular la dimensión de un espacio V. Por ejemplo, sea V = R". En los Ejemplos 2 y 4 se mostró que los vectores e1, e2, e" son linealmente independientes y generan a V . Más aún, se tiene la idea intuitiva de que no es posible generar a R" con menos de n vectores. A sí pues, la dimensión de R" debe ser igual a n. Pero, ¿cómo es posible demostrarlo rigurosamente? De hecho, ¿cómo es posible demostrar la imposibilidad de encontrar un conjunto de (n - 1) vec­ tores linealmente independientes que generen a R "? A sí pues, la definición considera­ da de dimensión no es muy útil. Sin embargo, será de muchísima utilidad después de demostrar el siguiente teorema.

TEOREMA 2.

Si n v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s g e ne r a n a V , e n t o n ­

c e s d i m V = n.

Se necesitarán dos lemas para demostrar el Teorema 2. E l primero trata de las solu­ ciones de los sistemas de ecuaciones lineales y puede motivarse de la siguiente manera. Supóngase que se tiene interés en determinar de manera única n números desconocidos x x, x 2 , . . . , x n . Parece razonable que deberían tenerse n ecuaciones que se satisfagan con estas incógnitas. Si se tienen muy pocas ecuaciones entonces podría haber muchas soluciones diferentes, es decir, muchos conjuntos distintos de valores x l t x 2 , . . . , x n satisfarían las ecuaciones dadas. E l Lema 1 demuestra especialmente el caso de que se tengan m ecuaciones lineales homogéneas para n > m incógnitas.

LEMA 1. U n c o n j u n t o d e m e c u a c i o n e s l i ne a l e s h o m o g é n e a s p a r a n i n c ó g n i ­ t as X ! , x 2 , . . . , * „ a d m i t e s i e m p r e u n a s o l u c i ó n n o t r i v i al s i m < n. E s decir, el c o n j u n t o d e m e c u a c i o n e s c o n n i n c ó g n i t a s

a llx l + a l2x 2+ . . . + a lnx n = 0 <*2lX l + a 22X 2 +

+ flm2* 2+

+ a 2»X n = Q

+ ^ ^ =0

tiene s i e m p r e una sol ución x lt x 2 , . . . , x n difer en te d e x { =

. . . = x„ = 0,

s i m < n.

OBSERVACIÓN. Nótese que x¡ = O, x 2 = O, . . . , x„ = O ciertamente es una solu­

281

3.3 • Dimensión de un espacio vectorial

ción del sistema de ecuaciones (1). A sí pues, el Lema 1 asegura que las ecuaciones tie­ nen más de una solución. D e m o s t r a c ió n d el Lema 1 . Se demostrará el lema por inducción sobre m . Para ello, obsérvese que el lema es verdadero si m = 1, ya que en caso se tiene únicamente una ecuación de la forma ¿7,,*, + a x2x 2 + . . . + a lnx n = 0, con n > 2. Si a n = 0, entonces es posible encontrar una solución no trivial de esta ecuación tomando *, = 1, x 2 — 0, . . . , x n = 0. Si a¡i # 0, entonces es posible una solución no trivial de esta ecuación tomando x 2 = 1, . . . , x n = 1 y *, = -( ¿ 7,2 + . . . + a ln) / a u . Para el siguiente paso en la demostración por inducción, supóngase que el Lema 1 es verdadero para algún entero m = k . Se demostrará que ello implica que el Le­ ma 1 es verdadero para m = k + 1 y A + 1 < n. Para tal fin, considérense las siguientes k + 1 ecuaciones para las n incógnitas * ,, x 2 , . . . , x n ¿711*1

+

¿7,2* 2 + . . . +

a Xnx n = 0

¿72 , * i

+

¿72 2 * 2 +•••+

C¡2„*„

=0

(2)

ak + 1, 1* 1 + ^ + i.2 * 2 + ••• + a k + l'Hx H= 0

con A- + 1 < n. Si a xl, a 2x, . . . , a k + ^ , son todas iguales a cero, entonces x x = l , x 2 = 0, . . . , x n = 0 es claramente una solución no trivial. Por lo tanto, es posible suponer que al menos uno de los coeficientes es distinto de cero. Sin pérdida de generalidad, puede suponerse que a u ^ 0 , ya que de otra manera se toma la ecuación con el coefi­ ciente para x x distinto de cero y se remarca con índices como la primera ecuación. Entonces a \2 ^

_

g 13

A l sustituir este valor de x ¡ en las ecuaciones segunda hasta la (A + 1) se obtienen las siguientes ecuaciones equivalentes ¿2H * ,+

¿Z,2*2 +

¿7,3*3 +•••+ *!„*„ = 0

b 22x 2 +

¿>23*3 + . . . +

b lnx n = 0

(3) bk2X2 **■ ^3*3

+•••+ bknXn

donde ¿>,y = a¡j - a ixa x/ a xx. Ahora bien, las últimas k ecuaciones de (3) son k ecua­ ciones lineales homogéneas para las (n — 1) incógnitas *2, . . . , *„. Más aún, k es menor que n - 1, ya que k + 1 es menor que n . Por lo tanto, por la hipótesis de inducción,

282

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

estas ecuaciones tienen una solución no trivial x 2 , . . . , x n . Una vez que se conocen x 2, se tiene entonces como antes x x = - ( ^ 12*2 + ••• + a \nx n)/'a \\ a partir de la primera ecuación en (3). Esto demuestra el Lema 1 para m = k + 1, y como conse­ cuencia, por inducción, par toda m . O Si un espacio vectorial V tiene dimensión m , entonces tiene m vectores linealmente independientes x 1, . . . , x m, y todo vector en el espacio puede expresarse como una com­ binación lineal de m vectores x 1, x2, . . . , x m. En este caso se tiene la impresión de que no puede haber más de m vectores linealmente independientes en V . Ese es el contenido del Lema 2.

lem a

2.

E n un e s p a c i o d e d i m e n s i ó n m , c u a l q u i e r c o n j u n t o d e n

>

m vec­

tores deb e ser linealmente d ependiente. En otras palabras, el número m á xim o d e v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s en u n e s p a c i o d e d i m e n s i ó n f i n i t a e s la d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o.

D e m o s t r a c ió n . Dado que V tiene dimensión m , entonces existen m vectores lineal­ mente independientes x 1, x2, . . . , x m que generan a V . Sean y 1, y2, . . . , y n un conjun­ to de n vectores en V con n > m . Puesto que x 1, x2, . . . , x m generan a V , entonces todas las y 7 se pueden escribir como combinaciones lineales de estos vectores. Es decir, existen constantes a,y, 1 < / < n, 1 < j < m , tales que y , = a 11x , + a 12x2+ . . . + a lmxm y2 = a2lx ‘ + a22x2 + ... + a 2mx m

(4) f 1= anlx ' + an2x 2 + ... + anmx m.

Para determinar si y 1, y2, . . . , y" son linealmente dependientes o linealmente indepen­ dientes, considérese la ecuación C|y' + c2y2+ ... + < ^ = 0.

(5)

Usando (4), la ecuación (5) puede escribirse en la forma 0 = c ,y1 + c2y2 + ... + c „ f = { c l a i 1 + ... + c„an]) x x + (c ,a í2 + ... + c„a„2) x 2 - K . . + ( c , a i m+ . . . + c „ O x m. Esta ecuación establece que una combinación lineal de x 1, x2, . . . , x m es igual a cero. Dado que x 1, x2, . . . , x m son linealmente independientes, entonces todos los coeficien­ tes deben ser iguales a cero. Por lo tanto, c ia n + c2a 2i + •••+ cnan\ C\a \2 + C2a 22 + •••+ cnan2

C\<*\m + C2° 2 m + •••+ Cnanm= ^

(6)

283

3.3 • Dimensión de un espacio vectorial

Ahora bien, obsérvese que el sistema de ecuaciones (6) es un conjunto de m ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas c ,, c2, . . c„ con n > m . Por el Lema 1, estas ecuaciones tienen una solución no trivial. Así pues, existen constantes C j, c2, . . . , c„, no todas iguales a cero y tales que y 1 + c2 y2 + . . . + c n y" = 0. Como consecuen­ cia, y 1, y2, . . . , y" son linealmente dependientes. □ Ahora es posible demostrar el Teorema 2. D e m o s t r a c ió n d e l T e o re m a 2 . Si n vectores linealmente independientes gene­ ran a V , entonces por la definición de dimensión, dim V < n. Por el Lema 2 se tiene que n < d im V . Por lo tanto, dim V = n. □

Ejem plo 5 La dimensión de R" es n, dado que e1, e2, . . . , e ”, son n vectores lineal­ mente independientes que generan a R". EJEMPLO 6

Sea V el conjunto de todas las matrices de 3 x 3 A*

’« ii

«12

«13'

«21

«22

«23

«31

«32

«33

y denótese por E,y la matriz con un 1 en el renglón i y la columna j , y ceros en los ele­ mentos restantes. Por ejemplo, 0 0 o

£23 =

01 1 o

Para determinar si estas matrices son linealmente dependientes o independientes, consi­ dérese la ecuación siguiente

(7)

2
C ll

1

0

0 '

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

+ c 12

+

.

. + C 33

0

0

0

0

0

0

0

0

1

=

«II

C 12

« 13'

C 21

C 22

«23

C 31

«32

«33.

A l igualar esta matriz con la matriz cero se obtiene cu = 0, c12 = 0, . . . , c33 = 0. Por lo tanto, las 9 matrices E ¡j son linealmente independientes. Más aún, estas 9 matrices también generan a V , ya que cualquier matriz a

A= 31

“ 32

puede escribirse, por supuesto, en la forma A = 2 / j = i a u £ y •Por 1 ° tant0> dim V = 9.

284

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIÓN. Si un conjunto de vectores linealmente independientes gene­ ra a un espacio vectorial V , entonces se dice que dicho conjunto constituye una b a s e de V . Una base se llama también un s i s t e m a c o o r d e n a d o . Por ejemplo, los vectores 1 0 , 0 .0

[0 ] 1 , e2 = 0 0

e3 =

0 0 1 0

y

e4=

0' 0 0 1.

.

son una base para R4. Si

*4 entonces x = jc1eI + x 2e 2 + jc3e3 + jc4e4, y los números x¡ se denominan componentes o coordenadas relativas a esta base.

COROLARIO. E n un e s p a c i o v e c t o r i a l d e d i m e n s i ó n f i n i t a , t o d a b a s e t i e­ n e el m i s m o n ú m e r o d e v e c t o r e s , y d i c h o n ú m e r o es la d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o. E l siguiente teorema es de extrema utilidad para determinar si un conjunto de vec­ tores es una base de V .

TEOREMA 3.

C u a l e s q u i er a n v e ct o r es l i n e a l m e n t e i n d e p e nd i e n t e s en un e s p a ­

ci o V d e d i m e n s i ó n n, d e b e n g e n e r a r a \ . E s decir, c u a l e s q u i e r a n v e c t o r e s lineal­ m e n t e i n d e p e n d i e n t e s en un e s p a c i o V d e d i m e n s i ó n n s o n u n a b a s e d e V.

D e m o s t r a c ió n . Sean x 1, x2, . . . , x" n vectores linealmente independientes en un espacio V de dimensión n. Para demostrar que generan a V , es necesario hacer ver que cualquier x en V puede escribirse como combinación lineal de x 1, x2, . . . , x n. Para ello, tómese cualquier x en V y considérese el conjunto de vectores x, x1, x2, . . . , x". Dichos vectores forman un conjunto de (n + 1) elementos en un espacio vectorial V de dimen­ sión n\ por el Lema 2 los vectores deben ser linealmente dependientes. En consecuen­ cia, existen constantes c, c j, c2, . . . , cn , no todas iguales a cero, y tales que c x + c , x ' + c 2x 2 + . . . + c „ x /, =

0.

( 8)

Es claro que c ^ 0, porque de otro modo el conjunto de vectores x 1, x2, . . . , x" sería linealmente dependiente. Por lo tanto, es posible dividir ambos lados de (8) entre c, para obtener que

Por lo tanto, cualesquiera n vectores linealmente independientes en un espacio V de dimensión n también deben generar a V .

285

3.3 • Dimensión de un espacio vectorial

Eje m p l o 7

Demostrar que los vectores

x'= (!)

y

x2=( - ¡ )

forman una base para R 2. S o l u c i ó n . Para determinar si x1 y x2 son linealmente dependientes o independien­ tes, considérese la ecuación c,x' + c2x> = c , ( ¡ ) + c2( _ ¡ ) = ( ° ) .

(9)

La ecuación (9) implica que c l + c2 = 0 y C\ - c2 = 0. A l sumar estas dos ecua­ ciones se obtiene C\ = 0, y al restarlas resulta c2 = 0. Como consecuencia, x1 y x2 son dos vectores linealmente independientes en el espacio R 2, de dimensión 2. Por lo tan­ to, deben generar a V.

Ej e r c i c i o s

i}(-i) ’ (.!) "(i) (!)' (:

En cada uno de los Ejercicios del 1 al 4, determine si el conjunto dado de vectores es linealmente dependiente o independiente.

4\ 0

2.

4/

M 5.

i)- H )

-

!)

U- \ í

/I

1

\o

4. ( í ‘ \ i6 ,

H

' i M

: ¡

Sea V el conjunto de las matrices 2 x 2 . Determine si los siguientes conjuntos de matrices son linealmente dependientes o independientes en V .

6 . Se aN e\ espacio dt polinomios txv t dt £\adc> -<2 . (a) Muestre que d im V = 3. (b) Sean p \ , P i y Pz los polinomios cuyos valores en cualquier tiempo / son (/ - l) 2, (/ - 2)2, y {t - l)(í - 2), respectivamente. Demuestre que P \ , p 2 y p 2 son linealmente independientes. Concluya que, por lo tanto, según el Teo­ rema 3, p \ , P 2 y Pz forman una base para V . 7. Sea V el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial d 2y / d t 2 - y — 0. (a) Demuestre que V es un espacio vectorial. (b) Encuentre una base para V .

286

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

8. Sea V el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial ( d 3y / d t 3) + y = 0 que satisfacen que >>(0) = 0. Demuestre que V es un espacio vectorial y halle una base para él. 9. Sea V el conjunto de polinomios p ( t ) = a 0 + a { t + a 2t 2 que satisfacen />(0) + 2/>'(0) + 3/>"(0) = 0. Demuestre que V es un espacio vectorial y encuentre una base para él. 10. Sea V el conjunto de soluciones x=

* i(0 * i ( ‘)

de la ecuación diferencial 0

x= | 0

1 o 11

0 1 |X .

6,

Pruebe que II

Xj

II

_e‘ .

>>

e‘

e2í' l e 2'

c-i X

V

4 e 2‘ .

'

e 3í' 3 e 3'

,9 e 3'.

forman una base para V. 11 . Sea V un espacio vectorial. Se dice que VV es un subespacio de V si W es un subconjunto de V , el cual es también espacio vectorial. Sea W el subconjunto de R" for­ mado por los vectores

y que satisfacen las ecuaciones x¡ + x 2 + 2;t3= 0 2x , - x 2+ *3 = 0 6x, + 6x3 = 0.

Pruebe que W es un subespacio de R3 y halle una base para él. 12. Demuestre que cualesquiera n vectores que generan un espacio vectorial V de dimen­ sión n, deben ser linealmente independientes. S u g e re n ci a : Muestre que todo con­ junto de vectores linealmente dependientes contiene un subconjunto linealmente independiente que también genera a V .

vl, v2, v2, ..., v".

v"

13. Sean ..., n vectores en un espacio vectorial V . Sea W el subconjunto de V formado por las combinaciones lineales + + . . . + c n\ n de v1, Demuestre que W es un subespacio de V y que d im W < n.

qv1 c2v2

14. Sea V el conjunto de funciones / ( / ) que son analíticas para |í| < 1; es decir, f(t) tiene un desarrollo en series de potencias / ( / ) = a 0 + a { t + a 2t 2 + . . . , el cual

3.4 • A plicaciones del á lg e b ra lineal a las ecuaciones diferenciales

287

converge para |í| < 1. Demuestre que V es un espacio vectorial y que su dimen­ sión es infinita. S u g e re n ci a : V contiene a todos los polinomios. 15. Sean v 1, v2, . . y m m vectores linealmente independientes en un espacio vecto­ rial V de dimensión n , con n > m. Demuestre que es posible encontrar vectores v"' + l , . . . , \ n tales que v 1, v2, . . . , v w, . . . , y n forman una base para V. Es decir, todo conjunto de m vectores linealmente independientes en un espacio V de dimen­ sión n , puede ser completado para formar una base para V. 16. Encuentre una base para R 3 que incluya los vectores

i) ’ (i 17.

(a) Demuestre que

y2=^ ( ! )

y v3=w ( - i

son linalmente independientes en R 3. (b) Sea ¡ x '\ x 2 1 = jc,e* + ;t2e2 + x 3e3.

x=I

Dado que v1, v 2 y v 3 son linealmente independientes, entonces son una base y x = ^ 1v I + y 2y 2 + ^ v 3. ¿Cu ál es la relación entre las coordenadas origi­ nales x, y las nuevas coordenadas y p (c) Exprese la relación entre las coordenadas en la forma x = By. Pruebe que las columnas de B son v 1, v 2 y v 3.

3 .4

A p l i c a c i o n e s d e l á l g e b r a l in e a l a l a s

ECUACIONES DIFERENCIALES

Recuérdese que el Teorema de existencia y unicidad, enunciado en la Sección 2.1 fue un medio importante para resolver la ecuación lineal homogénea de segundo orden (id 2y / d t 2) + p ( t ) ( d y / d t ) + q ( t ) y = 0. De manera similar, se hará uso extensivo del Teorema 4, que se enuncia a continuación, para resolver el sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales dx . — =Ax, dt

a \\

•*r x=

•••

a \rt

0)

A= .V

an\

"’

^nn

La demostración de este teorema se indicará en la Sección 4.6.

288

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES TEOREMA 4.

(Teorema de existencia y unicidad). E x i s t e una, y s o l a m e n t e

una, s o l u c i ó n al p r o b l e m a d e v a l o r inicial

^=Ax,

x (/0) = x° =

x 2

(2)

Más aún, dicha solución existe para -< » < t < oo. El Teorema 4 es muy poderoso y tiene muchas aplicaciones. En particular, si x{t) es una solución no trivial, entonces x(r) ^ 0 para toda t. (Si x(r*) = 0 para alguna t*, entonces x ( t ) debe ser igual a cero, ya que ésta y la trivial satisfacen la misma ecuación diferencial y tienen el mismo valor en / = t * . ) Ya se mostró (Ejercicio 7 de la Sección 3.2) que el espacio V de las soluciones de (1) es un espacio vectorial. E l siguiente paso es determinar la dimensión de V.

TEOREMA 5. L a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o V d e l as s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a li ne­ a l h o m o g é n e o d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ( 1) e s n. D e m o s t r a c ió n . Se exhibirá una base para V que contiene n elementos. Para ello, sea 4>J(t), j = 1 , . . . , / / la solución del problema de valor inicial

^

Por ejemplo ción inicial

= Ax,

x(0) = e J =

-renglón j .

(3)

es la solución de la ecuación diferencial (1) que satisface la condi­

<£l (0) = e' =

0 0

Nótese que, según el Teorema 4, j {t) existe para toda t y es única. Para determinar si 0 1, 0 2, . . . , n son vectores linealmente dependientes o independientes en V, consi­ dérese la ecuación C\l + c 22 + ... + c„£,, = 0

(4)

donde el cero en el segundo miembro dé (4) representa al vector nulo en V (es decir,

3.4 • A plicaciones del á lg e b ra lineal a las ecuaciones diferenciales

289

aquel cuyas componentes son iguales a la función cero). Se desea mostrar que (4) im pli­ ca c x = c 2 = . . . = c„ = 0. A l evaluar ambos lados de (4) en / = 0 se obtiene

c,0 , (O) + c20 2(O) + ... + cn0 "(O) =

=0

o bien c,e' + c2e2 + ... + cne n = 0. Dado que se sabe e1, e2, . . . , e" son linealmente independientes en R", entonces c¡ = c2 = . . . - cn = 0. Se concluye, por lo tanto, que 0 1, 0 2, . . . , 0 ” son vectores lineal­ mente independientes en V . La afirmación ahora es que 0 1, 0 2, . . . , 0" también generan a V . Para demostrar­ lo es necesario que cualquier vector x en V (es decir, cualquier solución x(0 de (1)) pue­ da escribirse como combinación lineal de 0 1, 0 2, . . . , 0 ”. Para ello, tómese cualquier x en V , y denótese por

al valor de x en t = 0 (x(0) = c). Con las constantes c x, c 2 , . . . , c n , constrúyase la función con valores vectoriales

0 (/) = c10 ,(/) + c20 2( / ) + ... +cn<¡>n(t)se sabe que 0 (0 satisface (1), ya que es una combinación lineal de soluciones. Más aún, 0 (O) = c,0 l (O) + c20 2(O)+ ... + cnn ( 0)

'1

= C1

0

'0

'0

0

.

+ c2

1

+ ...+c„

0

0 1

’ Cl C2

—

5

' = x(0).

Cn

Ahora obsérvese que x(0 y 0 (0 satisfacen el mismo sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales, y que x(0 y 0 (0 tienen el mismo valor en t = 0. En conse­ cuencia, por el Teorema 4, x(0 y 0 (0 deben ser idénticas, es decir =

+

. . . + c n$ n {t).

A sí pues, 0 1, 0 2, . . . , 0" también generan a V . Por lo tanto, por el Teorema 2 de la Sección 3.3, dim V = n. E l Teorema 5 establece que el espacio V de soluciones de (1) tiene dimensión n. Por lo tanto, sólo se necesitan conjeturar o hallar de otra manera n soluciones lineal-

290

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

mente independientes de (1). E l Teorema 6, que se enuncia a continuación, aporta un criterio para determinar la independencia lineal de las soluciones. Eso reduce el proble­ ma de determinar si n soluciones x 1, x2, . . x" son linealmente independientes, al problema más simple de determinar si sus valores x '(/0), x2(/0), . x"(/ 0) en un tiempo apropiado t0 , son vectores linealmente independientes en R". T e o r e m a 6 . (Criterio de independencia lineal). S e a n x 1, x2, . . . , x k, k s o ­ l u c i o n es d e x = Ax. E l í j a s e t0 c o n v e n i e n t e m e n t e . E n t o n c e s x 1, . . . , x k s o n s o ­ l u c i o n es l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s s i y s ó l o s i x 1 (t 0 ), x2(/0), •••, x*(T0) s o n v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s en R".

D EM O STR A CIÓ N . Supóngase que x 1, X2, . . . , x* son soluciones linealmente depen­ dientes. Entonces existen constantes c lf c2, q , no todas cero, tales que CjX' + CjX2-»- ... + c k x k = 0. A l evaluar esta ecuación en / = t0 , se obtiene que

CVx1( *o) + c 2x \ t 0) + ... + ck x k ( /0) =

0 Por lo tanto, x'^o), x2(/0), . . . , x k (t 0 ) son vectores linealmente dependientes en R". Inversamente, supóngase que los valores de x 1, x2, . . . , x* para algún tiempo t0 son vectores linealmente dependientes en R". Entonces, existen constantes q , c2, . . . , c k , no todas cero, tales que

C i x ’í / q )

+

c 2x 2( / 0 )

+ ... + ckx k ( t 0) =

=

0.

0 Determínese la siguiente función con valores vectoriales usando las constantes c x, c2, . . . , ck <#>(/) = c ,x '(/) + c 2x 2( t ) + ... + c*x*(/). Esta función satisface (1), ya que es combinación lineal de soluciones. Más aún, (t0) = 0. Por lo tanto, por el Teorema 4, tj>(t) — 0 para toda t. Esto im plica que x1,

□

x , . . . , x son soluciones linealmente dependientes.

ejem plo

1

Considerar el sistema de ecuaciones diferenciales

dt dx-i dt

= -x,

obien f =( - ?

2x,

- l ) x- x=f i) -

(5)

3.4 • Aplicaciones del á lg e b ra lineal a las ecuaciones diferenciales

291

Este sistema de ecuaciones proviene de la ecuación de segundo orden d 2y

^

dy

+ 2|

+,= °

(6)

al tomar *, = y y x 2 = d y / d t . Dado q u e j^ íO = e~‘ y y 2(t) = té~l son dos solucio­ nes de (6), entonces

x '( 0

"' ‘ " ■ ( ( i - * son dos soluciones de (5). Para determinar si x1 y x2 son linealmente dependientes o independientes, se verificará si sus valores iniciales

< » > -(!) son vectores linealmente dependientes o independientes en R2. A sí pues, se considera la ecuación c , x ' ( 0 ) + c 2x 2( 0 ) = ( _ ^ ' +

c2) = ( o ) '

Esta ecuación implica que tanto c x como c 2 son iguales a cero. Por lo tanto, x^O) y x 2(0) son vectores linealmente independientes en R 2. En consecuencia, por el Teore­ ma 6, x '(0 y x 2(t) son soluciones linealmente independientes de (5) y cualquier solu­ ción x(í) de (5) puede escribirse en la forma

x<0

“ ( J c o ) “ '■(= / ( c , + c 2t ) e ~ ‘

+ C l( ci - / ) « \

^

\ ( c2 - c l ~ c 2t ) e ~ ‘ I

Ejem plo

2

Resolver el siguiente problema de valor inicial dx dt

S o l u c i ó n . Por el Ejem plo 1 se sabe que toda solución x(t) debe ser de la forma (7). Las constantes c x y c 2 se determinan a partir de las condiciones iniciales

292

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Por lo tanto, c { = 1 y c 2 = 1 + c x = 2, y como consecuencia (t\ I X ( , H , ,< 0

-

í (l+ 2 0 e ' 0 - 20*".

A l estudiar la ecuación (1) han sido de utilidad hasta este momento algunos con­ ceptos de álgebra lineal, como espacio vectorial, dependencia, dimensión, base, así como las notaciones vectorial y matricial. Cabe, sin embargo, preguntarse si todo esto es algo más que un lenguaje útil y conveniente. Valdría la pena introducirlo aunque no fuera nada más que un lenguaje, pues una buena notación es esencial para expresar ideas mate­ máticas. Sin embargo, es más que eso, constituye una teoría propia con muchas aplica­ ciones. En las Secciones 3.8-3.10 la tarea de encontrar todas las soluciones de (1) se reduci­ rá al problema algebraico más sencillo de resolver ecuaciones lineales simultáneas de la forma a u x x + a n x 2 + . . . + a Xnx n = b x a 2lx x + a 22x 2 + . . . + a 2nx n = b 2

<*nlXl + “n2X 2 + . . . + a nnX n = b n

Por lo tanto, se pasará ahora a estudiar la teoría de las ecuaciones lineales simultá­ neas. También se verá que función desempeña el álgebra lineal.

Ej e r c i c io s En cada uno de los Ejercicios del 1 al 4, halle una base para el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial dada. 1. x = ^

_ j)x

:

(S u g e r e n c i a Encuentre una ecuación diferencial de segundo

orden que se satisfaga para x { (t ). ) ¡0

2.

x=

\2

1 0\ 0 1 p

0

-1 2/

que se satisfaga para 3.i-(¿

( S u g e r e n ci a : H alle una ecuación diferencial de tercer orden

(/).)

°)x

4. x = ( j

|

ojx

Determine para cada una de las ecuaciones diferenciales de la 5 a la 9 si las soluciones dadas son una base para el conjunto de todas las soluciones. s.x=(_o

6. x =

/

4 -1 V 1

- > ) * : *■<«)-( -2 2\ 3 1 x; - 1 5 /

x '( 0 =

' 0 0 , x 2( 0 = e4' . x 3(/) = e 2' 0 y'. y'.

293

3.5 • Teoría de los determinantes 3 1 1

-2 0 -2

3i - 3 x; -1

V 2'' x '( 0 - e~2' , x2(r) = .e~2/.

8. x -

5 1 1

2 -4 1

- 2' - 1 x; -6

’ 0 ' e ~ y‘ x '( 0 - e ~* ‘ . x2(/) = e "5' 0 * " 5'

9. x =

5 1 1

2 -4 1

- 2' - 1 U; —6 !

x‘( 0 -

7. x —i

e 3, + e 71

0 e " 5'

II

e ' 5'

X

x2(í) =

e~3' 0

.

e “ 3' e " 7'

.

e2' - e 2' . x3(')= e 2t

.

e ~* ‘

e "4'.

,

. A<) =

2e~7t e ~ 5'

e - i ‘ + 2 e - 71.

10. Determine las soluciones \ 2, . . n (véase la demostración del Teorema 5) para el sistema de ecuaciones diferenciales en (a) Problema 5; (b) Problema 6; (c) Problema 7. 1 1 . Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas de ( - < » , oo) en R " (los valo­ res de x ( t ) están en R". Sean x 1, x2, .. \ n funciones en V. (a) Demuestre que si x'^o). . . x n(t 0) son vectores linealmente independientes en R" para algún t Q, entonces x 1, x2, . . . , x" son funciones linealmente inde­ pendientes en V . (b) ¿E s cierto que si x x(t 0), . . . , x n(t0) son vectores linealmente dependientes en R fl para algún t0 , entonces x l , x2, . . x n son funciones linealmente depen­ dientes en V ? Justifique la respuesta. 1 2 . Sea (a) (b) (c)

u un vector en R"(u ^ 0). ¿E s x(/) = / u una solución de la ecuación diferencial homogénea x = A x ? ¿L o es x(r) = e Xlu7 ¿L o es x(r) = (e ‘ - e~‘) u 7 ¿L o es x ( t ) = (e ‘ + e~l ) u 7 (d) (e) ¿L o es x(0 = (e 1 + e 2 )u? (0 ¿Para qué funciones (0 puede ser x(/) = (/)u una solución de alguna ecua­ ción de la forma x = A x ?

3 .5

T e o r í a d e l o s d e t e r m in a n t e s

En esta sección se estudiarán ecuaciones simultáneas de la forma a n x i + a n x 2 + ... + a ]nx n — b x a 2l X \ + a 22x 2 + . . . + a 2nx f) = b 2

0) an\X \ + an2X 2 + •••+ annXn “ K

294

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

E l objetivo es determinar una condición necesaria y suficiente para que el sistema de ecuaciones ( 1) tenga solución única x x, x 2 , . . . , x n . Para comprender mejor el problema, se empieza con el caso más simple n = 2. Si se multiplica por a 2¡ la primera ecuación a u x x + a xlx 2 = b x; la segunda ecuación a i \ X\ + <*22*2 = b 2, por a \ \ , y se resta la primera de la segunda, resulta que ( a l l a 2 2 ~ a \2a 2 \ ) x 2 ~ a \ \ b l ~ a 2 \ b \ '

De manera similar, si se multiplica la primera ecuación por a 22, la segunda por a l2, y se resta la segunda de la primera, se obtiene que ( a ila 22 —fl12a 2l)*l = a 22^1 —a 12^2-

Como consecuencia, el sistema de ecuaciones (1) tiene solución única 55 ^

1

a 2lb\

————

<*12^2 —■ —— .

a Ua 22—a 12a 21

2

sSt

a tl^2-■— a21^1 1■ ...... .

a lla 22 —a 12a 21

si el número a n a 22 ~ <*i2<*2i es diferente de cero. Si este número es igual a cero, enton­ ces puede haber soluciones o no. Por ejemplo, el sistema jc, —jc2= 1,

2 x x —2 x 2 = 4

obviamente no tiene soluciones, mientras que el sistema jc, — jc2 = 0 ,

2 x x— 2 x 2

= 0

posee un número infinito de soluciones x x = c, x 2 = c para cualquier número c. En ambos sistemas se tiene que a \ \ a 2 2 ~ a \2a 2 i ~ H — ^ ) — ( — 1 ) 2 = 0.

E l caso de tres ecuaciones ' 1 1 * 1 + * 12 * 2 + a \3 X 3 '2 1 * 1 + « 2 2 * 2 + a 2 3 X 3 !3 1 * 1

+ a 32* 2 + a 33X 3

con tres incógnitas x x, x 2, x¿ puede resolverse también fácilmente. A l eliminar una de las variables en dos de las ecuaciones (2) y reducir por ende el problema al caso n = 2, es posible mostrar (Ejercicio 1) que el sistema (2) tiene una solución única x { , x 2, x3 si y sólo si el número 0 11 ^ 2 2 ^ 3 3

a \ 2 a 2 3a 3l

a l 3 a 2 \ a 32 ~ a \ 3 a 2 2 a 3 \ ~ a \ 2 a 2 \ a 33 ~ a \ \ a 23a 32

0 )

es diferente de cero. Ahora es posible suponer que el sistema de ecuaciones (1), el cual puede abreviarse en la forma

295

3.5 • Teoría d e los determ inantes

tiene solución única x, si y sólo si un cierto número que depende de los elementos 0,y de la matriz A , es distinto de cero. Para n = 4 puede determinarse este número elimi­ nando una de las variables de dos de las ecuaciones (1). Sin embargo, el álgebra es tan complicada que el número resultante es ininteligible. En vez de eso, se generalizará el número (3), de modo que a cada sistema de ecuaciones Ax = b se le asociará un sólo número llamado d e t e r m i n a n t e d e A (simbolizado por det A), el cual depende de los ele­ mentos de la matriz A . Se mostrarán algunas propiedades útiles de dicha asociación y se usarán estas propiedades para hacer ver que el sistema de ecuaciones (4) tiene solu­ ción única x si y sólo si det A ^ 0. Si se analiza la expresión (3) con cuidado, se ve que puede describirse de la siguien­ te manera. Primero se toma un elemento 01;i del primer renglón de la matriz

«21

«12 «22

«23

.« 3 1

«32

«33.

« n

A=

«13'

E l elemento puede ser flu , o bien a 12 o a l3. Se multiplica 0ly| por un elemento 02y-, dd segundo renglón de A . Sin embargo, j 2 no debe ser igual a . Por ejemplo, si se elije o12 del primer renglón de A , entonces hay que elegir a 2\ o bien a23 del segundo renglón de A . Después se multiplican los dos números por el elemento en el tercer renglón de A eri la columna restante. Esto se hace para todas las posibles elecciones de elementos de cada renglón de A sin tomarlos nunca dos veces de la misma columna. De esta manera, se obtienen 6 distintos productos de tres elementos de A , ya que hay tres maneras de elegir un elemento del primer renglón de A , dos modos para escoger entonces un ele­ mento del segundo renglón de A y sólo una manera de elegir un elemento del tercer renglón de A . Cada uno de estos productos a \ j a 2jia 3j se multiplica por ± 1 dependien­ do del orden específico j \ j z j 3 . Los productos «iy,«2; 2«3y, con U \ h h ) = (123), (231) y (312) se multiplican por + 1, mientras que los productos a Xj a 2jia 3j ^ con ü \ j i h ) ~ (321), (213) y (132), se multiplican por - 1 . Por último, se suman los resultados. Los seis conjuntos de números (123), (231), (312), (321), (213) y (132) se llaman p e r m u t a c i o n e s de los enteros 1 , 2 y 3. Obsérvese que cada una de las tres permutaciones que corresponden a los términos positivos requiere de un número par de intercambios entre números adyacentes para reordenarlos, es decir, para llevar los enteros a su orden natural. De manera sim ilar, cada una de las tres permutaciones correspondientes a los términos negativos requiere de un número impar de intercambios entre números para reordenarlos. Para verificarlo, obsérvese que 231 —>-213—>123

(2 intercambios)

3 12 —> 132-» 123

(2 intercambios)

3 2 1 -» 3 1 2 -» 13 2 -» 123 2 1 3 -» 123

and

(3 intercambios)

13 2 -» 123

(1 intercambio cada una)

Esto motiva la siguiente definición del d e t e r m i n a n t e de una matriz A de n x n.

DEFINICIÓN. (5)

296

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES donde ey y,...yB = 1 si la permutación ( j \ j 2 . . . j n ) es par, es decir, si se pue­ den reordenar los enteros según su orden natural en un número par de inter­ cambios de enteros adyacentes, ej j z. . j n — ~ 1 si la permutación es impar. En otras palabras, elíjase un elemento a \ j del primer renglón de la matriz A . Multipliqúese por un elemento a 2j\ del segundo renglón de A , con j 2 j \ . E s­ te proceso continua pasando una vez por cada renglón y tomando cada vez un elemento de una columna diferente. Por último, multipliqúese el producto a Xj a 2j, a nj n por + 1 si la permutación ( j \ j 2 . . . j n ) es par, y por - 1 si la per­ mutación es impar. Lo anterior para todas las posibles elecciones de un ele­ mento de cada renglón de A , sin tomar dos veces de la misma columna. Después se suman todas estas contribuciones y se denota el número resultante por det A .

OBSERVACIÓN. H ay muchas maneras de reordenar una permutación de los enteros 1 , 2, . . . , n a su orden natural por medio de intercambios sucesivos de enteros adyacen­ tes. Por ejemplo, 4312 -> 4 132—>1432—>14 2 3 -> 12 4 3 -» 1234

y

4 3 12 -> 3 4 12 —>3142—>3124 -> 1324—>1234.

Sin embargo, es posible mostrar que el número de intercambios de enteros adyacentes que se necesita para reordenar la permutación j \ j 2 . . . j n es siempre impar o siempre par. Por lo tanto, queda perfectamente definido el número ej j 2. . . j n.

e je m p l o i

sea

En este caso, hay solamente dos productos ^ 11^22 y a \ 2 a 2 i Que satisfacen la definición de det A . Dado que la permutación (12) es par y la permutación (21) es impar, el término an a22 se multiplica por + 1 y el término 012^21 P ° r Por 1 ° tanto, det A = a l l a 22 ~ a l2a 2\ •

ejem plo

2

Calcular det -1

1 3

1 2 -1

f 1 2

S o l u c i ó n . Un método sencillo para evaluar el determinante de una matriz de 3 x 3 es escribir las primeras dos columnas a un lado de la matriz y luego tomar los productos a lo largo de las diagonales, como se muestra a continuación:

297

3.5 • Teoría de los determinantes

Si A es una matriz de n x n, entonces en general det A consta de n i productos de n elementos. E l determinante de una matriz de 4 x 4 consta, en general, de 24 tér­ minos, mientras que el de una matriz de 10 x 10 consta del enorme número de 3 628 800 términos. A sí pues, resulta impráctico calcular el determinante de una matriz grande A usando sólo la definición (5). La manera inteligente, y la única posible, de calcular determinantes es (i) encontrar matrices especiales cuyos determinantes puedan calcularse con facilidad, y (ii) reducir el problema de hallar cualquier determinante al problema más sencillo de evaluar el que corresponde a alguna de estas matrices. Para ello, obsérvese que hay tres clases especiales de matrices cuyos determinantes son fáci­ les de evaluar. 1. M a t r i c e s d i a g o n a l e s : Una matriz

A=

0

«n 0

‘ 22

0

o

cuyos elementos fuera de la diagonal son todos ceros, se llama m a t r i z d i a g o n a l . Su deter­ minante es el producto de los elementos de la diagonal a n , a 22, . . . , a nn. Esto es el resultado inmediato de la observación de que la única manera de poder elegir un ele­ mento diferente de cero del primer renglón de A es eligiendo a n . De manera similar, la única forma de poder seleccionar un elemento distinto de cero del renglón j de A es eligiendo ajj . Así pues, el único producto diferente de cero que entra en la defini­ ción de det A es ■ •«™> Y dicho término se multiplica por + 1 ya que la permu­ tación (1 , 2 . . . ai) es par. 2. M a t r i c e s t r i a n g u l a re s i n f e r i o r e s : Una matriz

A=

« ii

0

«21

«22

«*1

«*2

. .

0 0

••

ann

cuyos elementos arriba de la diagonal son todos ceros, se denomina m a t r i z t r i angul ar i n f e r i o r , y su determinante es también el producto de los elementos de la diagonal a n , . . . , a nn. Para demostrarlo, obsérvese que la única manera de poder elegir un elemen­ to diferente de cero del primer renglón de A es eligiendo a n . E l segundo renglón de A tiene dos elementos distintos de cero, pero, dado que ya se eligió de la primera columna, entonces se está forzado a elegir a 22 del segundo renglón. De manera similar, la elec­ ción obligada es a„ del renglón j de A . A sí pues, det A = a n a 22 . . . a nn. 3. M a t r i c e s t r i a n g u l a re s s u p e r i o r e s : Una matriz

298

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

cuyos elementos abajo de la diagonal son todos ceros, se llama m a t r i z t r i a n g u l a r s u p e ­ r i o r y su determinante es también el producto de los elementos de la diagonal a { ! a u . . . a nn. Para demostrarlo es posible proceder en dirección inversa. L a única for­ ma de seleccionar un elemento diferente de cero del último renglón de la matriz A es eligiendo a nn. Esto obliga entonces a elegir a n- Xn- { del renglón n - 1 de A . Igualmen­ te, está obligado a elegir ajj del renglón y de A . Por lo tanto, det A = a nn . . . a 22a n . a nn

• • • ^22^11 •

A continuación se deducen algunas propiedades sencillas, aunque muy útiles, de los determinantes. P r o p ie d a d 1 . Si se intercambian dos renglones adyacentes de A , entonces cambia el signo del determinante. D e m o s t r a c ió n . Sea B la matriz que se obtiene de A al intercambiar los renglones k y k + 1. Obsérvese que todos los productos que aparecen en la definición de det B son los mismos que aparecen en la definición de det A . La única diferencia es que se cambia el orden en el que se elijan de las columnas de A y de B. Por ejemplo, sean A=

1 2 .1

3 -1 2

4' 0 - 1.

B=

1 1 2

3 2

4' -1 0,

-1

E l producto 4 x 2 x 2 aparece en det A al elegir primero del primer renglón, tercera columna; después del segundo renglón, primera columna y, por último, del tercer ren­ glón, segunda columna. E l mismo producto aparece en det B al seleccionar primero del primer renglón, tercera columna; después del segundo renglón, segunda columna y, por último, del tercer renglón, primera columna. De manera más general, el término a \ j x ' ••ü kjka k +

+ , •••a njñ

en det A corresponde al término y, •" b k j k+lb k + 1j k ' en det B. E l signo del primer término está dado por la permutación (y, . . . y * Á +1 . . . y*), y el signo del segundo término lo está por la permutación U \ .. . j/c + \jjc •••Jn )• Dado que la segunda se obtiene de la primera al intercambiar los elementos k y k + 1 , se ve que los dos elementos tienen signos contrarios. Por lo tanto, detB = -d e t A .

P r o p ie d a d 2 . Si se intercambian cualesquiera dos renglones de A , entonces cambia el signo del determinante. D e m o s t r a c ió n . Se mostrará que el número de intercambios de renglones adyacen­ tes que se requiere para alternar los renglones i y y de A es impar. A sí la Propiedad

299

3.5 • Teoría de los determinantes

2 será una consecuencia de la Propiedad 1. Para ello, supóngase que j es m ayor que /. Se necesitan j - i intercam bios sucesivos de renglones adyacentes para llevar el ren­ glón j a la posición /, y después j - / - 1 intercam bios sucesivos de renglones adyacen­ tes para llevar a la posición j el renglón que se encontraba originalm ente en la posición i. A sí pues, el núm ero to ta l de intercam bios que se requieren es 2 ( j — i) - 1, y este nú­ m ero siempre es im par. P ro p ie d a d

3 . Si cualesquiera dos renglones de A son iguales, entonces det A = 0.

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que los renglones / y y de A son iguales, y llámese B a la m a triz que se obtiene de A al intercam biar los renglones i y j . O bviam ente, B = A , aunque por la Propiedad 2, se tiene que det B = -d e t A . P o r lo tan to , det A = -d e t A si dos renglones de A son iguales, y esto solamente es posible si det A = 0. P r o p ie d a d 4.

d e tc A

D e m o s t r a c ió n .

=

crtd e tA .

Es obvia.

Sea B la m a triz que se obtiene de A al m u ltip lic a r su renglón i por una Entonces det B = c d e tA .

PROPIEDAD 5 .

constante

c.

DEMOSTRACIÓN.

Es obvia.

P r o p ie d a d ó. Sea A r la m a triz que se obtiene de A al intercam biar renglones por colum nas. La m atriz A r se conoce como la transpuesta de A . P o r ejem plo, si

A=

1 3

6

-1

9 2

2' 4 7.

1

entonces

U na m anera concisa de decirlo es (A 7 )// =

ay¡.

A 7= 3 2

6

9 4

- f 2 7.

Entonces

det A r = d e t A. DEMOSTRACIÓN.

Es claro que los productos que aparecen en la d efinición de det A y det A 7 son los m ismos, ya que siempre se elige un elemento de cada renglón y de cada colum na. Sin em bargo, la dem ostración de que estos productos tienen el mismo signo es m uy d ifíc il y no se incluye aquí. (Cada vez que el a u tor enseña determinantes a sus alum nos desearía ser un rey para poder declarar que la Propiedad 6 es verdadera por decreto.) OBSERVACIONES.

De las Propiedades 2 , 3 y 6 se deduce inm ediatam ente que, al in ­ tercam biar dos colum nas de A , cambia el signo del determ inante, y que det A = 0 si dos colum nas de A son iguales. Si a un renglón de A se le suma un m ú ltip lo de o tro renglón de A , entonces el v a lo r del determ inante no cambia. PROPIEDAD 7.

300

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

D e m o s t r a c i ó n . P rim eram ente, obsérvese que det A es función lineal de cada ren­ glón de A por separado. Eso sig nifica lo siguiente. Escríbase la m atriz A en la form a

'« n «21

«12 «22

• • •

« l/t «2/t

A '

«„2

•

«nn

=

a1 a2 a"

donde

z' = {a { v an ,. . . , a {n) a2 = (a 21,tf22, . . . , t f 2/t) a', = K i. 0 „ 2 — - > O Entonces a1

a 1'

det ca* = cdet a* a"

y

r

a1

>

.a ".

a1 "

a1

det a* + b = det a* + det b a"

a"

a"

P o r ejem plo, det

'I

8

.6

5 7] fI 3 7 =det 4 - 1 0J [6

5 7] Í1 1 9 + det 4 - 1 OJ [6

5 1' 2 - 2 -1 0.

3.5 • Teoría de los determinantes

301

ya que (4, 1,9) + (4, 2 , - 2 ) = ( 8 , 3, 7). C on esto se ve que la ecuación (i) es la Propie­ dad 5. P ara obtener la ecuación (ii), calcúlese

det

a +b

=

J

2

a1 = det a* + det

b

a"

a"

A h o ra bien, la Propiedad 7 se sigue inm ediatam ente de la ecuación (ii), ya que si B es la m atriz que se obtiene de A al sumar c veces el renglón k de A , al renglón j de A , entonces

det B = det

a 7 + ca*

= det

a7

a*

a*

a"

a"

a1

a1

'a ''

a1

ca*

+ det

= det A + cdet

a*

a* V

a"

a*

J

a"

Pero se sabe que

det

= 0

ya que esta m a triz tiene dos renglones iguales. P o r tan to , d e tB = det A .

302

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

O b s e r v a c ió n

1 . T o d o lo que se a firm a acerca de los renglones es tam bién válido para las colum nas, ya que det A r = det A . Así pues, no se cambia el v a lo r del deter­ m inante cuando se suma un m ú ltip lo de una colum na a otra en A . O b s e r v a c ió n

2 . E l determ inante es una fun ció n lineal de cada renglón de A por separado. N o es fun ció n lineal de A , ya que, en general, se tiene que

d e tc A ^ cdet A

y

de^A + B j^ d e tA + detB .

P or ejem plo, si

entonces d et(A + B ) = d e t(°

J| ) = 0 ,

m ientras que det A + det B = 3 - 9 = - 6 . La Propiedad 7 es m uy im p orta nte , pues perm ite reducir el problem a de evaluar cualquier determ inante, al problem a m ucho más sencillo de calcular el determinante de una m a triz tria n g u la r superior. De hecho, si

A=

‘ 21

‘ 22

ln 1

ni

Mn hn

y a l{ ^ 0, entonces es posible sum ar un m ú ltip lo adecuado del prim er renglón de A a los renglones restantes de A , de m odo que los valores resultantes a2¡ , . . . , anX sean todos iguales a cero. De m anera sim ila r, pueden sumarse m últip los del segundo renglón resultante de A a los renglones de más abajo, de m odo que los valores que resultan ¿732, . . . , an2 sean todos nulos, etcétera. E l m étodo se ilustra en el ejem plo siguiente: Ejem plo 3 C alcular 1 2 4 .1 So l u c ió n .

-1 2 1 2

2 0 -1 3

3 2 -1 0

A l restar dos veces el prim er renglón del segundo; cuatro veces el prime­ ro del tercero; y el p rim ero del ú ltim o renglón, se obtiene que

303

3.5 • Teoría de los determinantes

1 2 det 4 .1

- 1 2 1 2

2 0 -1 3

3' 2 = det -1 0.

1 0 0 .0

1 0 = 4 det 0 .0

2 -4 -9 1

-1 4 5 3 -1

1 5 3

2 -1 -9 1

3' -4 -1 3 -3 . 3 -1 - 13 -3 .

A h o ra se resta cinco veces el segundo renglón de esta ú ltim a m atriz del tercer renglón, y tres veces el segundo renglón del cuarto. Entonces 1 2 det 4 .1

-1 2 1 2

2 0 -1 3

3' 2 = 4 det -1 0.

1 0 0 .0

-1

1 0 0

2 - 1 -4 4

3' -1 -8 0.

P o r ú ltim o , sum ando el tercer renglón de esta m atriz al cuarto renglón, se obtiene que ’1 2 4 .1

-1 2 1 2

2 0 -1 3

2 1 -1 3' 2 = 4 det 0 1 -1 -1 0 -4 0 0 0 .0 0 = 4( —4 )( —8) = 128.

3' - 1 -8 -8

(L a alte rna tiva podría haber sido intercam biar la tercera y cuarta colum nas de la m atriz Í1 0 0 0

-1

1 0 0

2 -1 -4 4

3 -1 -8 0

para obtener el m ism o resultado.) O b s e r v a c ió n i . Si ai |= 0 y 0,1 ^ 0 para alguna j, entonces pueden intercam biar­ se el p rim er renglón y el j de A para garantizar que ai{ =£ 0.(P o r supuesto, que hay que acordarse de m u ltip lic a r el determ inante por —1.) Si toda la p rim era colum na de A es igual a cero, es decir, si a xx = alx = . . . = a„¡ = 0, entonces no es necesario co ntinuar el procedim iento, pues en ta l caso se tiene d e tA = 0. O b s e r v a c ió n 2 . De la m ism a m anera que se redujo la m atriz A a una m atriz tria n ­ gular superior, puede reducirse el sistema de ecuaciones <*11*1+<*12*2+ •--+a\nXn = b X a2\X \"b a22X2^'

••• +

a2nXn ~

^2

X ¡ + a n2X 2 + • • • + QnnX n = K

304

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

a un sistema equivalente de la fo rm a c ,,x , + cI2x 2+ . . . c22x 2+ ...

+ c lnxn** d l + c2nxn = d2

C n n X n

E n la últim a ecuación se puede despejar así sucesivamente.

(si

xn

= d„.

cnn i1 0),

en la ecuación

n -

1,

y

Ej e m p l o 4 E n c o n tra r todas las soluciones del sistema

X, + x 2 + jc3= 1 - * , + * 2 + x 3= 2 2x¡ — x 2+ x 3 = 3. S o l u c i ó n . A l sum ar la p rim era ecuación a la segunda y restar dos veces la prim era de la tercera ecuación, se obtiene que

x , + x 2+ x 3= 1 2 x 2+ 2 x 3 = 3 — 3*2 ~ x3 — 1. A h o ra bien, sum ando 3 /2 veces la segunda ecuación a la tercera, * , + * 2 + x 3= 1 2;c2+ 2 x 3 = 3 2*3 = T P o r lo tanto, x 3 = -j-, x 2 = (3 — y ) / 2 = — f , y * i = 1 + f -

t

= “ i-

Ej e r c i c i o s 1. Dem uestre que el sistema de ecuaciones 011*1

+ 012*2 + 0 ,3X 3 = 6 ,

02,*, + 022*2 + 023*3 = ¿>2 03,*, + 032*2 + 033*3 =¿3

tiene una solución única x , ,

x2,

(

x 3 si y sólo si

0u 012 fl21 022 031

Sugerencia:

032

Despeje x, en térm inos de

x2

033

y x 3 de una de estas ecuaciones.

3.ó • Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

305

2. (a) Dem uestre que el núm ero to ta l de perm utaciones de los enteros 1, 2, . . . , n es par. (b) Dem uestre que exactamente la m itad de dichas perm utaciones son pares, y la o tra m itad, impares. E n cada uno de los Problem as del 3 al 8 evalúe el determ inante de la m atriz dada. ' 0 r a b 0' 1 t t 2' 0 2 /I 0 c 0 a 5. 3. 1 2 5 4. t t2 1 - b —c 0 0 \ 6 8 0/ 0 0 0 1. j 2 t 1.

.

'2 1

_1

1

—1

1

0

3

6 1 0 1

3]

-1 20

'0

2

1

7

8 -1 2

1 ,0

— 1]

3

1

1 0 6

8.

- 1 1

1 1 0 0 0

1 0 1 0 0

1 0 0 1 0

1 0 0 0 1

f 2 3 4 5

Pruebe sin íacer cálculos que det

a d

kS

c

r

/ = det

e h

k

j

e d

b

h'

c

S k

E n cada uno de los Problem as del 10 al 15 halle todas las soluciones del sistema dado de ecuaciones. 10. 12.

Xl + X2— X3 = 0 2xx

11.

x x+ x 2 + x 3 = 6 x x- x 2 - x 3 = - 4 x 2 + x 3= —1

13.

x 2+ x 3 — x 4= x x+ 2 x 2 — 2 x 3 + x 4 = x x+ 3 x 2- 3 x 3- x 4= x x + 4 x 2 — 4 x 3 — x 4=

+ 14 x 2 + x 3 = 13

x x+ x 2 + x 3 = 0

x \~ x2~

*3 = 0

x 2+ x 3= 0

14.

x x + x 2 + 2 x 3 —x 4 = 1 x x —x 2 + 2 x 3 + x 4 = 2 x x+ x 2 + 2 x 3 —x 4 = 1 —x x — x 2 — 2 x 3 + x 4 = 0

15.

1 1

1 1

x x— x 2 + x 3 + x 4 = 0 x x +2_x2 —x 3 + 3 x 4 = 0

3 x x + 3 x 2 — x 3 + 1 x 4=‘0 — x x + 2x 2 + x 3 — x 4 = 0

3 .6 S o l u c i o n e s d e s is t e m a s d e e c u a c i o n e s l in e a l e s E n esta sección se dem ostrará que el sistema de ecuaciones

306

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

tiene solución única x si det A + 0. Para ello se define el producto de dos matrices de x n y se deducen algunas propiedades adicionales de los determ inantes.

n

D E F IN IC IÓ N . Sean A y B m atrices de n x n con elementos a¡j y b¡j, res­ pectivam ente. Se define su producto A B com o la m atriz C de n x n cuyo ele­ m ento ij , o sea c¡j, es el producto del renglón / de A y la colum na j de B. Es decir, a,k ^kj'

k —1

D icho de o tro m odo, si se escribe B en la fo rm a B = (b 1, b2, . . . , b "), donde b y es la colum na j de B , entonces el producto C = A B puede expresarse en la form a C = (A b 1, A b 2, . . . , A b n), ya que el componente i del vector A b y es 1uik^kj'

1

E j e m p l o 1 Sean 3 A= 0 1 B= Evaluar A B .

1 2 1

-1

1 1

1 -1 0 2 -1 1 -1 0 0

So l u c ió n .

'3 1 0 2 1 1

- 1 1 1

1 2 -1

-1 -1 0

0 ’ '3 + 2 + 1 1 = 0+ 4-1 1+2-1 0 r6

3

2

E je m p lo

2

-3-1+ 0 0-2 +0 -1-1+ 0

0+1+0' 0+ 2+ 0 0+1+0

-4 -2

-2

Sean A y B las m atrices en el E je m p lo 1. C alcular B A .

So l u c ió n .

1 2 -1

-1 -1 0

0 '3 1 0 0 1

1 2 1

-1

' 3+0+0 1 = 6 + 0+1 1 -3+0+0 3 7 3

-1 -1

1-2 + 0 2-2+1 —1+0+0

-1-1+ 0' -2-1+1 1+0 + 0

1

O b s e r v a c ió n

1 . C om o indican los Ejem plos 1 y 2, no es cierto en general que AB = B A . Sin em bargo, es posible dem ostrar que

A (B C ) = (A B )C

(2 )

307

3.6 • Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

para cualesquiera tres matrices A , B y C de una dem ostración m uy sencilla de (2). O b s e r v a c ió n

I se denom ina A de n x n.

2

n

x

n.

E n la siguiente sección se ofrece

. Denótese por I la m atriz diagonal

matriz identidad ,

1 0

0 1

0

0

1

ya que IA = A I = A (Ejercicio 5) para toda m atriz

Las siguientes dos propiedades de los determ inantes son extrem adam ente útiles en muchas aplicaciones. P r o p ie d a d 8. det A B = det A X det B. Es decir, el determ inante del producto es igual al producto de los determinantes. P r o p ie d a d 9. Denótese por A (/(y) la m atriz de (n - 1) x (n - 1) que se obtiene de A al e lim in a r el renglón i y la colum na j de A . P o r ejem plo, si A= Sea

c¡j

1 0 -4

6" -3 , 0

2 -1 -5

entonces,

= ( - l ) ,+y det A ( / | y ) . De m odo que d e tA = 2

/= i

aocv

para cualquier elección de j entre 1 y n. Este proceso de cálculo de determinantes se conoce com o “ desarrollo por elementos de colum na” y la Propiedad 9 establece que no im p orta qué colum na se e lija para desarrollar. P o r ejem plo, sea 1 9 A= 2 -1

-I

3

1 6

2 0 3 3

6 7 4 5

D esarrollando con respecto a la prim era, a la segunda, a la tercera y a la cuarta colum ­ nas de A , respectivamente, resulta det A = det

-1

0 1 3 6 3

7' '3 2 4 - 9 det 1 3 6 3 5.

6 4 5

306

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

' 3 + 2 det - 1 6

2 0 3

6'

2 0 3

6 7 4.

— 3 det

9 2 - 1

0 3 3

7' r 1 2 2 3 4 -d e t - 1 3 5

6' 4 5

det

1 2 9 0 -1 3

= 2 det - 3

9 2

.~

-1

Í1

det 9

2

9 = -6 d e t 2 - 1 - 4 det

'

1 9 - 1

.

' 3 7 + det - 1 5, 1

6 1 2 7 + 6 det 9 0 5 2 3 -1 7' 1 1 4 + 3 det 9 6 5. -1 -

6 7 4 3 -1

6

6' 7 5v

6' 7 4,

3 1 1

— 1 0] 1

3

+ 7 det

.-

6

3.

3

21 1 0 + 5 det 9 3 2

1

6

3

1

2

1

1

-

2'

3

6

3.

3

2' 0 3

1 1

Las Propiedades 8 y 9 se deducirán con la ayuda del siguiente lema. Lema 1. Sea D = D (A ) una función que a cada matriz A de n x n le asig­ na un número D { A ). Supóngase además que D es una función lineal de cada columna (renglón) de A p or separado, es decir, Z ) ( a ^ . . y + c b V . . , a " ) = Z ) ( a \ ...,a ',...,a " ) + cZ > (a \...,b ;...,a " ), y D { B) nes) de

= - D ( A ) , si B se obtiene de A intercambiando A . Entonces D (A ) = det A X Z) (I).

dos columnas (renglo­

U na fun ció n D que a cada m a triz de n x n le asigna un núm ero, se dice que es si D { B ) = - D { A ), siempre que B se obtenga de A intercam biando dos colum­ nas (renglones) de A . E l Lem a 1 señala que la propiedad de ser alternante y lineal en las colum nas (renglones) de A caracteriza casi por com pleto a la función determinante det A . D icho con más precisión, cualquier función D (A ) que es alternante y lineal en las colum nas (renglones) de A , debe ser un m ú ltip lo de det A . Si además se cumple que D ( I ) = 1, entonces D (A ) = det A para todas las m atrices A de n x n. Tam bién se deduce inn ediatam ente del Lem a 1 que si D ( A ) es alternante y lineal en las columnas de A , entonces tam bién es alternante y lineal en los renglones de A . alternante

D e m o s t r a c ió n d e l L e m a 1 . P rim e ro escriba A en la form a A = (a1, a2, . . . , art) donde

3.6 • Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

a1=

a ,r *21

309

* 12' ,

*22

a2 =

,.. . , a " =

a " i.

*1/,' *2/1 .V

A l expresar a 1 en la fo rm a

+ ... +

se ve que

an \e"

Z )(A ) = Z )(cf,,e, + . . . + a nlen, a2, ..., a ") = a n ^ ( e \ a 2, ...,a n) + ... + a „,Z )(e /\ a 2, ...,a n) = 2 * y £ ( e '\a 2,...,a rt). j\

De m anera sem ejante, al escribir a 2 en la fo rm a a 2 = a ^ e 1 + . . . + D(A)= 2

a \jCi2j P

j\Ji

an2c n se

ve que

(e7', e7í, a3, ..., a").

Procediendo por inducción, D

(A ) =

2

j\<- Jn

*iy ,* 2/2• • • anjp

(eJ>,

..., e¿).

A h o ra sólo se requiere sum ar sobre todos los enteros . . . , j n con es cero si dos de las colum nas de A son iguales. M ás aún

D (A )

j¡ ¿ j k ,

ya que

P o r lo ta n to , ¿ > (A )=

2

ej , . . . j „a i j , ' " a n j P

Jn

□

(I) = det A x Z) (I).

A h o ra es posible deducir las Propiedades 8 y 9. D e m o s t r a c ió n

de la

P r o p ie d a d

la fu n c ió n £>(B) m ediante la fó rm u la

8. Sea A una m atriz fija de

n

x

n

y defínase

D ( B ) = detA B . Obsérvese que D (B ) es alternante y lineal en las colum nas b1, . . . , b " de B. Esto es consecuencia de que las colum nas de A B son A b l , . . . , A b ". P o r lo tanto, por el Lem a 1. D (B ) = det B x D (I) = det B X det A I = det A X det B. n

DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD 9.

nase

Elíjase cualquier entero j entre 1 y n y defí­

D(A)= 2

1-1

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

310

donde c¡j = (—1 ) ' det A (/J y ). Es fácil ve rific a r que colum nas de A . P o r tan to , por el Lem a 1, D

D

es alternante y lineal en las

(A ) = det A X Z) (I) = det A.

□

La clave para resolver el sistema de ecuaciones (1) es la observación im portante de que n

2

/= i

aikc¡j =

0 para

(3)

k^j

donde c¡j = ( - 1 ) ,+7d e tA (/|y ). La dem ostración de (3) es m uy sencilla. Denótese por B la m a triz que se obtiene de A al s u s titu ir la colum na j por la colum na k, dejando el resto sin alte rar. P o r ejem plo, si A= entonces,

' 3 4 -1

6 1 , - 1.

5 2 0 B=

'

3 4 -1

y-2, 6 1 -1

k = 3,

6 1 -1

A h o ra bien, el determ inante de B es cero, ya que dos de sus colum nas son iguales. Por o tro lado, desarrollando con respecto a la colum na j de B, se obtiene que d e tB = 2 V < /= 2 ¡- 1 /-i

donde c¡j

a
= ( - \ ) ,+JdetB(i\j) = ( - \ ) ,+JdetA(i\j) = c¡j.

P o r lo ta n to , a¡kcy = 0 Sl k es diferente de j. A h o ra bien, siempre que se tiene una sum atoria desde 1 hasta n, que comprende los productos de térm inos con dos índices fijo s j y k (com o en (3)), se tra ta de expresar com o el elem ento j k del producto de dos m atrices. Si se denota por C la m a triz cuyo elemento ij es cijf y se hace adj A = C r , entonces n

P o r lo ta n to , de

(3)

n

2 a,kc¡j = 2 (a4j A )yi aik = (adj A X A )jk. i- 1 l- l se obtiene que (adj A X A )jk = 0 para

j^=k.

C om binando estos dos resultados con la siguiente igualdad n

detA= 2 /-i

aijcij =

(adj A X A )

3.6 • Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

311

resulta que adj

A XA =

det A 0

0 det A

0

0

= (det A )I. ...

(4)

det A ,

De m anera s im ila r, trab ajand o con A r en vez de con A (E jercicio 8) se ve que A X adj A ■

det A 0

0 det A

0 0

= (d e tA )I.

(5)

det A

E j e m p l o 3 sea 0 1

A=

-1 -1

2

1

C alcular adj A y ve rific a r directam ente las igualdades (4) y (5). So l u c ió n .

-2 2 -2

f 0 1.

'2 = 0 .0

0 2 0

0' 0 2.

= 21

-2 2 = 0 2 1 2 1 l -2 .0 A h o ra bien, det A = 1 2 + 1 + 2 = 2. P o r tan to , adj A X A = A X adj A = (det A )I.

0 2 0

0' 0 2.

=

adj A =

C T=

3 -2 1

-2 2 0

-2

f

3 = -2 1. l

de m odo que -2 2 -2

adj A X A =

- 1 - 1 1

3 -2

- 1 - 1

A X adj A =

21.

A h o ra es posible re tom ar el sistema de ecuaciones ’a „

A=

V ,

•

x =

(6)

j

a H\

II A

Ax = b,

.

Si A fuera un núm ero diferente de cero en vez de una m atriz, se divid irían ambos m iem bros de (6) entre A para obtener x = b /A . P o r supuesto que esta expresión no

312

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

tiene sentido si A es una m atriz. Sin em bargo, hay una m anera de obtener la solución x = b /A que se generaliza al caso cuando A es una m atriz de n x n. De hecho, si el núm ero A fuera diferente de cero, entonces sería posible m u ltip lic a r ambos lados de (6) por el núm ero A _l a fin de obtener A -1 A x = x = A -1 b. A h o ra bien, si puede definirse A -1 com o una m atriz de n x n cuando A es una m atriz de n x n, entonces la expresión A - I b tendría cabal sentido. Esto lleva a fo r­ m ular las dos preguntas siguientes. Dada una m atriz A de n x n, ¿existirá o tra m atriz de se le llam ará A -1, con la propiedad de que

Pregunta 1:

n

x

n,

a la cual

A - 1 A = A A ~ l =1? Si A -1 existe, ¿se podrá garantizar que es única? Es decir, ¿es posible que existan dos m atrices diferentes B y C con la propiedad de que

Pregunta 2:

BA = AB = I

y

C A = A C = I?

En los Teorem as 7 y 8 se dan las respuestas a estas preguntas.

TE O R EM A 7.

Una matriz

A

de n

x

n tiene a lo sum o una inversa.

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que A tiene dos inversas diferentes. Entonces hay dos matrices distintas B y C con la propiedad de que

AB = BA = I

y

A C = C A = I.

Si se m ultip lica n por B ambos lados de la ecuación A C = I, se obtiene que B I = B ( A C ) = (B A )C = IC . P o r lo tan to ,

B

= C, lo cual es una contradicción

T eo rem a e. A 1 existe si y sólo si det A

□

¿0, y en tal caso

A “ ' = d ¿ Á a d jA -

(7)

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que det A ^ O. Entonces es posible d iv id ir entre det A ambos m iem bros de las igualdades (4) y (5) para obtener que adj A i adj A 3 ——— X A = I = A X adj A = A X . d e tA d e tA d e tA P o r lo tan to , A -1 = a d jA /d e tA . Recíprocamente, supóngase que A -1 existe. A l aplicar determ inantes en ambos la­ dos de la ecuación A -1A = I y u tiliza n d o la Propiedad 8, se obtiene

(d e tA _ I )d e tA = d e tI= 1. Y esta ecuación im plica que d e tA es diferente de cero.

3.ó • Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

313

P o r ú ltim o , supóngase que det A # 0. Entonces A 1 existe, y m ultiplicando ambos lados de (6) p or esta m atriz, A " 1A x = Ix = x = A - 'b. P o r lo ta n to , si existe una solución, debe ser A ~ 'b. M ás aún, este vector es una solu­ ción de (6), ya que A (A - ‘b) = A A ’b = Ib = b. A sí pues, la ecuación (6) tiene una solución única x = A -1b si det A # 0. Ejem plo 4 H a lla r las soluciones de la ecuación i i 2 - 2 3 3

r 0' 2 x= 0 -3 , 0

'* r x = *2 *3

( 8)

So l u c ió n .

'1 1 f 1 1 f det 2 - 2 2 = det 0 - 4 0 = 24. .3 3 — 3, 0 0 -6 . P o r lo ta n to , la ecuación (8) tiene la solución única x. Pero x= es obviam ente una solución. P o r lo tanto,

Es la única solución de (8). O b s e r v a c ió n 1 . C on frecuencia, es m uy laborioso calcular la inversa de una m atriz A de n x n a p a rtir de la ecuación (7). Esto es cierto en p articular si n < 4. La alterna­ tiv a m ucho más eficiente es calcular A -1, por m edio de “ operaciones elementales de renglones’ ’ .

DEFINICION. U na operación elemental de renglones en una m atriz A es uno de los procesos siguientes: (i) el intercam bio de dos renglones, (ii) la m ultip licación de un renglón por un núm ero diferente de cero, o (iii) la suma de un m ú ltip lo de un renglón a o tro . Es posible m ostrar que cualquier m atriz A , con det A # 0, puede ser transform ada en la de identidad I m ediante la aplicación sucesiva de dichas operaciones. Más aún,

314

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

si la m ism a sucesión de operaciones se aplica a I, entonces se tra n sfo rm a en A ‘ . E l m étodo se ilu stra rá en el ejem plo siguiente. EJEMPLO 5 E n c o n tra r la inversa de la m atriz 0 1 2

A=

-1 -1

1

S o l u c i ó n . La m atriz A puede transform arse en I por m edio de la siguiente sucesión de operaciones elementales de renglones. E l resultado, después de cada paso, aparece abajo de la operación realizada. (a) Para obtener ceros en las posiciones fuera de la diagonal de la prim era colum na, se resta el p rim er renglón ta n to del segundo com o del tercero. 1 0 .0

0 1 2

- f 0 2.

(b) Para obtener ceros en las posiciones fuera de la diagonal de la segunda columna se suma (- 2 ) veces el segundo renglón al tercero. i

-r

o

0

1

0

o

0

2.

(c) Para obtener un 1 en la posición diagonal de la tercera colum na, se m ultip lica el tercer renglón por Vi. 1 0 0 1 0 0 (d) P o r ú ltim o para obtener ceros en las posiciones fuera de la diagonal en la tercera colum na, se suma el tercer renglón al prim ero 1 0 0 1

.0

0

0' 0 1

Si se realiza la misma sucesión de operaciones elementales de renglones sobre I, se obtiene la siguiente sucesión de matrices 1 0 0

,

0 0 1 -1 1 0 0 1. . - 1 r

0 1 —1 1 1 -1 2 La ú ltim a de estas matrices es A *.

0 0 ■ 1 1 0 , -1 1 0 1. 0 0 , 1 2

i i

0 0 1 0 1 -2 1 -1 2 1 0 1 -1 2

3.6 • Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

315

Ej e r c i c io s E n cada uno de los Problem as del 1 al 4, calcule A B y B A para las matrices dadas A y B.

“ ■ ( i ; i)' - ( " I ! 1 1\

\

0

1

“

-
1 1 i 1 4. A = 1 11 ii 1 1 i

o

/0

I CQ

0 1\ 3. A » ( 1 1 o ), 0 1 1/

- ;) 1/

r i i

í) ,

1 1 1

B= 2

f 2

3 3 3 3 4 4 4 4

i

5. Dem uestre que IA = A para cualquier m atriz A . 6. Dem uestre que dos m atrices diagonales cualesquiera A y B A B = B A si A y B son matrices diagonales.

2

2

se conmutan,es

decir,

7. Suponga que A D = D A para cualquier m atriz A . Pruebe que D es un m ú ltip lo de la m a triz identidad. 8. Dem uestre que A x a d jA = det A x I. E n cada uno de los Problem as del 9 al 14 halle la inversa de la m atriz dada, si existe. -2 3 2\ 6 0 3 4 1 - 1 / 12-

, 1 2 ( 3 2

1

- i\ 2

3 - 1 /

15. Sea

0 \s e n í

13.

/ 1 1+ / 1 0 \0

1

/ a, i

<*12\

l a 21

Dem uestre que - 1_

0 1 0

( cos9

10.

/

-sen9\

0 cos 9 )

1 —i \ 0

14.

/

1

11.

/ l l 1 - i / -/ \ 2 1 1 /O

-1 \ - l

11 0 1

-1

0

a 22/

*22

detA V —^21

~«I2\

Bu)

si d e tA ¥= 0. 16. Dem uestre que (A B )-1 = B -1A -1 si d e tA x det B ^ 0. Prueba en cada uno de los problem as del 17 al 20 que x = 0 es la única solución del sistema dado de ecuaciones. 17. 19.

x x— x 2 —

3xt—

18.

x3= 0

2 + 2 x 3—0 2 x ¡ + 2 x 2+ 3x 3 — 0 * ,+ 2 x |+

—x x 3 x x—

x

2x23x2+

x

3

x

x ,+ = 0

3— x 4 — 0 + 2 x 3 + 2 x 4*=0

x 2+

x x + 2x 2 + 4 x 3 — 0

x

x 3+ 3x4=!0

20.

x

2+ 2+

3—0 3— 0

x x

x ,+ 2 x 2— x 3 + 3x4= 0 2 x x+ 3 x 2 — x4= 0 — X ! + x 2 + 2 x 3+ x 4 = 0

—x 2 + 2x3+ 3x4= 0

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

316

3 .7

T r a n s f o r m a c i o n e s l in e a l e s

En la sección a n te rio r se tra tó el problem a de resolver la ecuación a ,,

A x = b, A =

On\

. •

<*\n

•••

v

, x=

, b= .V

V bn

preguntándose si existía la m atriz A -1. E l estudio llevó a la conclusión de que la ecua­ ción (1) tiene una solución única x = A -1b si det A ^ 0. Para determ inar qué ocurre cuando det A = 0 se analizará ahora, con o tro enfoque, el problem a de resolver la ecua­ ción (1). De hecho, se estudiará el co n ju n to V de vectores que se obtienen al m ultiplicar por A cualquier vector de R ", y se verá si b se encuentra en este c o nju nto . Obviamen­ te, la ecuación (1) tiene al menos una solución x si, y sólo si, b está en V . Se iniciará con el siguiente lema que, aunque sencillo, es m uy ú til.

L e m a 1 . Sea A una matriz de n x n con elementos a(j , y sea x un vector con componentes jcj , jc2 , . . . , xn . Denótese la columna j de A por a \j

=

: .V

Entonces

A x = x ,a ' + x 2a2+ ...

+ xnan.

D e m o s t r a c ió n . Se m ostrará que los vectores A x y jc,a' + . . . + xna n tienen los mismos componentes. Para ello, obsérvese que (A x)y , la componente j de A x es aj\X\ + . . . + ajnxn, m ientras que la com ponente j del vector jq a 1 + . . . + xnü n es * ,a j + ... +

x„nj = x xajx +

... +

xnaJn =

(A x ),,

P o r lo tan to , Ax

=

x {a {

+

x2a 2

+ ••• +

xna n

□

A h o ra denótese por V al c o n ju n to de vectores que se obtiene al m u ltip lic a r cada uno de los vectores X c R " por la m a triz A . Del Lem a 1 se sigue inm ediatam ente que V es el co nju nto de todas las com binaciones lineales de los vectores a 1, a 2, . . . , a " , es decir, V es generado por las colum nas de A . P o r lo ta n to , la ecuación A x = b tiene una solución si, y sólo si, b es una com binación lineal de las colum nas de A . Con la ayuda de esta observación puede demostrarse ahora el siguiente teorem a.

T e o r e m a 9 . (a) L a ecuación A x = b tiene una solución única si las co­ lumnas de A son linealmente independientes. (b) L a ecuación Ax = b no tiene solución, o bien tiene un número infini­ to de soluciones si las colum nas de A son linealmente dependientes.

347

3.7 • Transformaciones lineales

DEMOSTRACIÓN, (a) Supóngase que las colum nas de A son linealm ente indepen­ dientes. Entonces a 1, a 2 , . . . , a " form an una base para R n. E n particular cualquier vec­ to r b puede escribirse como com binación lineal de a 1, a 2 , . . . , a " . E n consecuencia, la Ecuación (1) tiene al menos una solución. Para dem ostrar exactamente esto ú ltim o , se hará ver que cualesquiera dos soluciones

x=

y\

y=

yn

deben ser iguales. Para ello, obsérvese que si x y y son dos soluciones de (1), entonces A (x — y) = A x — A y = b — b = 0. P o r lo ta n to , por el Lem a 1, ... + ( x n- y n)an = 0. (2) a son Pero esto im p lica que x { = y { , x 2 = • • •> y xn = y„, ya que a 1, a , linealm ente independientes. E n consecuencia se tiene x = y. (b) Si las colum nas de A son linealm ente dependientes, entonces puede elegirse un subconjunto a1, a2, . . . , a " de vectores linealm ente dependientes que tam bién generen a V (E je rc icio 12 de la Sección 3.3). Según esto, se tiene entonces que la dim ensión del espacio V es a lo sum o n - 1. E n otras palabras, el espacio V es diferente de R " y más pequeña que él. P o r lo tanto, hay vectores en R " que no están en V . Si b es uno de estos vectores, entonces obviam ente la ecuación A x = b no tiene solución. P o r otro lado, si b está en V , es decir, si existe al menos un vector x * tal que A x * = b, entonces la Ecuación (1) tiene un núm ero in fin ito de soluciones. Para dem ostrarlo, obsérvese p rim ero que ciertam ente x = x * es una solución de (1). Además nótese que si A £ = 0 para algún vector £ en R ", entonces x = x * + £ tam bién es una solución de (1), ya que A (x * + £) = A x * + A £ = b + 0 = b. {x x- y l)a' + (x 2- y 2)al +

P o r ú ltim o , hay que observar que existen núm eros c lt c2, no todos igua­ les a cero, y que C |al + c2a2 + . . . + c„an = 0. P o r lo tanto, por el Lem a 1 se tiene que A £ = 0, donde

Pero si A £ es igual a cero, entonces A ( a £ ) tam bién es nulo para cualquier constan­ te a. A sí pues, hay una in fin id a d de vectores £ con la propiedad de que A £ = 0. P o r lo tan to , la ecuación A x = b tiene un núm ero in fin ito de soluciones. □

318

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Ejem plo

1

(a) ¿Para qué vectores de la form a b=

es posible reolver la siguiente ecuación? fl 1 A x = 1 0 1 x = b? 2 1 3 (b) E n con tra r todas las soluciones de la ecuación 0' 1 2 0 1 x= 0 0. .2 1 3. (c) H a lla r todas las soluciones de la ecuación 1 1

1 1

2

So l u c ió n ,

r 1 2 0 1 x= 0 i. 1 3,

.

(a) Las colum nas de la m atriz A son

2 1 f y a3 = 1 a2 = 0 a 1= 1 .3 . .1. 2 Nótese que a 1 y a 2 son linealm ente independientes, m ientras que a3 es la suma de a y a 2. P o r lo tan to , es posible resolver la ecuación A x = b si y sólo si c, + c2 fl] f l] C\ b = c, 1 + c2 0 = 2c, + c2 .2 . 1.

.

para algún par de constantes c¡ y c2. De igual m anera (E jercicio 25) si ¿>3 = + b2. (b) Considérense las tres ecuaciones siguientes:

bi

b\

+

b2.

x {+ x{

x 2+ 2 x 3= 0 + x 3= 0 2 x x+ x 2 + 3 x 3 = 0. H ay que n o tar que la tercera ecuación es la suma de las prim eras dos. P o r lo tanto, basta considerar solamente las prim eras dos ecuaciones. La segunda im plica que x x = - x 3. A l su stitu ir este valo r de en la prim era ecuación se obtiene que x2 = - x 3. Por lo tan to , todas las soluciones de la ecuación A x = 0 son de la form a

3.7 • Transformaciones lineales

319

(c) P rim e ro obsérvese que roí

x 1— 1 0

es una solución de la ecuación. Sea x 2 cualquier otra solución de la ecuación. Se dedu­ ce de inm ed iato que x 2 = x' + £, donde £ es una solución de la ecuación homogénea A x = 0. Más aún, la suma de cualquier solución de la ecuación no homogénea A x: con una solución de la ecuación homogénea, es a su vez solución de la ecuación no homo­ génea. P o r lo ta n to , cualquier solución de la ecuación A x: es de la fo rm a X=

0

1

0

'- f +c - 1

1.

E l Teorem a 9 es m uy ú til ya que establece condiciones necesarias y suficientes para que la ecuación A x = b tenga solución única. Sin embargo, con frecuencia es difícil aplicar el Teorem a 9,ya que es d ifíc il determ inar si n vectores son linealm ente depen­ dientes o independientes. P o r fo rtu n a se puede relacionar la pregunta de si las colum ­ nas de A son linealm ente dependientes o independientes, con el problem a más sencillo de ver si el determ inante de A es cero o no. H ay varias maneras de hacerlo. En esta sección se presenta un m étodo más com plejo que u tiliz a el concepto de transform ación lineal. DEFINICION. U na transform ación lineal & de R " en R " es una función que asigna a cada vector x en R " un nuevo vector llam ado éE (x) = ^ (jxtj , . . . , xn). M ás aún, la asociación cum ple las siguientes reglas: # (c x ) = c # (x ) (i)

y

# ( x + y) = <£(x) + # (y ).

EJEMPLO 2 L a tra nsform ación

(ii)

320

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

es claram ente una transform ación lineal R " en R ", ya que éB(cx) = cx = c<*E(x)

y & (x +

y) = x + y = fi(x) + &

(y).

Ejem p lo 3 La transform ación ' xA + x 2 + x 3 ' * 1' x t + x 2 — x 3 X = *2 .*3 es una tra nsfo rm a ció n lineal de R3 en R3, ya que ' C X , + c x 2 + C X 3' ■ X ,+x 2 +x 3'

II

'x

c x i +

fi(x + y ) -

=c

CX2 — CXj CX

j

x t + x 2 — x 3

= c6E(x)

( * l+ > 'l) + (*2+ > '2) + ( * 3 + J'3) ( * i + y ¡ ) + (* 2 + y z ) ~ ( x 3+ y * ) x \+y\

' X\

+ x 2 + x 3

jc, +

x 2 — x 3

x»

'.V l+ ^ + JV + y’i+^2-^3 = <$(x) + #(y)

EJEMPLO 4 Sea éE el punto que se obtiene de x = (.vl5 x 2) al g ira rlo 30° en direc­ ción co ntraria a las m anecillas del reloj.. La in tu ic ió n indica que cualquier rotación es una tra nsfo rm a ció n lineal. Sin em bargo, si el lector aún no se convence de ello, calcule & ( x „ x 2) =

[ V I je, - \x2 [ x x+

y verifiq ue entonces directam ente que

&

{ V l

x 2

es una tra nsfo rm a ció n lineal de R2 en R2.

Ejem p lo 5 La tra nsfo rm a ció n :\ + x\

es de R2 e n R2, pero no es lineal, pues S (2 x ) =

& (2 x lt 2 x 2) =

( 4jc2 I

4x2

j ^ 2 fi( x ) .

A h o ra bien, toda m atriz A de n x n define de m anera natural una transform ación lineal de R " en R ". De hecho, considérese la tra nsfo rm a ció n de R " en R " definida por x —>62(x) = A x.

321

3.7 • Transformaciones lineales

E n la Sección 3.1 se m ostró que A (c x) = c A x y A (x + y) = A x + A y . P or lo tanto, la asociación x -* # ( x ) = A x es lineal. Recíprocamente, cualquier transform ación lineal 3 de R " en R " debe ser de la fo rm a é£(x) = A x para alguna m atriz A . Eso constituye el contenido del siguiente teorem a: Teorem a i o. Cualquier transformación lineal x ~ * 3 (x ) de R n en R n de­ be ser de la form a 3,(x) = A x. E n otras palabras, dada cualquier transforma­ ción lineal <3, de R " en R ", es posible encontrar una matriz A de n x n, tal que 3 (x )~

Ax

para toda x.

D e m o s t r a c ió n . Denótese por e7 al vector cuya componente j es uno y cuyas demás componentes son iguales a cero, y tómese

a7=éE(e7).

se a firm a que

3 (x ) = Ax,

para toda

A = ( a \a 2,...,a '1)

(3)

f*i]

en R". P ara dem ostrarlo, obsérvese que cualquier vector x puede escribirse en la fo r­ ma x = x^e1 + . . . + x„en. P o r lo tanto, por la linealidad de 3 , se tiene que éE(x) = £ ( x ,e I + ... + x ne'l) = x ,f f ( e l) + ... + x „ ff( e '1) = x ,a 1+ ... +x„an = A x.

□

O b s e r v a c ió n 1 . L a m anera más sencilla de evaluar una transform ación lineal ( 3 es calcular a 1 = # ( e ') , . . . , a " = 3 ( e n) y después observar que, según el Teorem a 10 y el Lem a 1, 3 (x ) = A x , donde A = (a 1, a2, . . . , a "). A sí pues, para evaluar la tra nsfo rm a ció n lineal del E je m p lo 4, se observa que, en una rotación de 30° en sentido c o ntrario al del re lo j, el p unto (1, 0) se tra nsfo rm a en el punto ( j V 3 , ¿), y el punto (0, 1) en el p unto ( — j V 3 ). De m odo que cualquier punto x = (X |, x2) se trans­ form a en el p unto

Í '2V 3 12

O b s e r v a c ió n

com posición

3

- i 2 1 *1 i2V 3 *2

x x- \ x 2 { x }+ \ V 3 x 2

2 . Si 3 y © son transform aciones lineales de R " en R ", entonces la ° ® definida por la relación

322

CAPÍTULO 3

•

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

es de nuevo una tra n sfo rm a c ió n lineal de R " en R ". Para dem ostrarlo, obsérvese que éE ° ® (e x ) = éE(3B (e x )) = éE(e& (x )) = eéE(® (x )) = cSL o ® ( x )

y

éE o & ( x + y) = é E ($ (x + y )) = é E ($ (x ) + & ( y ) ) = 6 ( f t (x )) + & (® (y )) = f io ® ( x ) + f io ® ( y ) .

Más aún, es m uy fácil m o stra r (E jercicio 15) que si éE (x) = A x y ® (x ) = Bx, entonces éE ° ® ( x ) = A B x. (4) con

De m anera sim ila r, si y 6 son tres transform aciones lineales de R " en R " éE (x) = A x , Q (x) = B x y ® (x) = C x, entonces (&

° $ )° < B (x ) = (A B )C x

(5)

y

éE ° (® ° @ )(x ) = A (B C )x . (6) A h o ra bien, claram ente se cum ple que ( é E ° ® ) ° ( B ( x ) = éE o ( $ o @ )(x). P o r lo tan to , se tiene que (A B )C x = A (B C )x para cualquier vector x en R ". E sto im plica que (E je rc icio 14) (A B )C = A (B C ) para cualesquiera tres m atrices A , B y C de

n

x

n.

En la m ayoría de las aplicaciones es deseable, y muchas veces esencial, que exista la inversa de una tra nsfo rm a ció n lineal. La interpretación heurística es que la inversa de una tra nsfo rm a ció n (l deshace lo efectuado por éE. Es decir, si éE(x) = y, entonces la tra nsfo rm a ció n inversa aplicada a y debe p rod ucir x. D icho con más precisión, se define éE ~'(y) com o el único elem ento x en R " para el cual éE(x) = y. P o r supuesto, que la tra nsfo rm a ció n éE _1 puede no existir. Es posible que haya algunos vectores y con la propiedad de que y # éE (x) para toda x en R ". O bien, puede haber algunos vectores y que provienen de más de una x, es decir, éE (x1) = y y éE(x2) = y. En am­ bos casos, la tra nsfo rm a ció n éE no tiene inversa. De hecho, es claro que éE tiene una inversa, a la cual se le llam a rá éE-1 si y sólo si la ecuación éE (x) = y tiene una solu­ ción única x para toda y e R ". Adem ás es claro que si éE es una tra nsfo rm a ció n lineal y éE-1 existe, entonces éE-1 tam bién debe ser lineal. Para d em ostrarlo, obsérvese pri­ m ero que éE- , (cy) = céE- , (y), ya que éE(cx) = c y si éE(x) = y. A dviértase también que - l (y 1 + y 2) = & ~ x(y x) + éE“ ‘(y2), ya que éE (x 1 + x 2) = y 1 + y 2 si éE (x1) = y 1 y éE(x2) = y 2. A sí pues en caso de que éE-1 exista, debe ser lineal. E n este m om ento el lector sentirá que hay una conexión estrecha entre la transfor­ m ación lineal éE-1 y la m a triz A -1 . Eso es el contenido del siguiente lem a.

3.7 • Transformaciones lineales

323

2

Lema . Sea A una matriz de n x n y sea & una transformación lineal de­ finida p o r la ecuación & (x) = A x . Entonces & tiene una inversa si, y sólo si, la matriz A tiene una inversa. M á s aún, si A -1 existe, entonces é£ - l (x) = A - 'x .

D e m o s t r a c ió n ,

supóngase que éE 1 existe. Es claro que 0

=

°éE(x) = x

(7)

y que éE-1 eslineal. Adem ás, existe una m a triz B con la propiedad de que éE- I (x) = B x. P o r lo ta n to , se tiene a p a rtir de (4) y (7) que ABx = BAx = x para tod a x en R ". Y esto im plica de inm ediato que (E jercicio 14) A B = B A = I. P o r lo ta n to , B = A -1 Recíprocam ente, supóngase ahora que A -1 existe. Entonces la ecuación é£(x) = A x = y tiene una solución única x = A _ , y para toda y en R ". A sí pues, A -1 tam bién existe. éE_ , ( x ) = A _ , x.

^

A h o ra ya hay condiciones para relacionar el problem a de determ inar si las colum ­ nas de una m a triz A de n x n son linealm ente dependiente o independientes, con el problem a m ucho más sencillo de ver si el determ inante de A es igual o diferente de cero. LEMA 3. Las columnas de una matriz dientes si y solo si, d e tA # 0.

A de n x

n son linealmente indepen­

D e m o s t r a c ió n . Se probará el Lem a 3 con ayuda del siguiente argum ento que, aun­ que com plejo, es m uy ingenioso.

(1) Las colum nas de A son linealm ente independientes si y sólo si la ecuación A x = b tiene solución única x para toda b en R ". L o establecido es sólo una reform ulación del Teorem a 9. (2) De acuerdo con las observaciones que precedieron al Lem a 2, se concluye que la ecuación A x = b tiene solución única para toda b si y sólo si la transform ación lineal éE (x) = A x tiene una inversa. (3) Según el Lem a 2, la tra nsfo rm a ció n lineal éE tiene una inversa si, y sólo si existe la m a triz A -1. (4) P o r ú ltim o , la m atriz A -1 existe si y sólo si d e tA # 0. Esto es el contenido del Teo­ rema 8, de la Sección 3.6. P o r lo tanto, se concluye que las colum nas de A son lineal­ m ente independientes si y sólo si d e tA # 0. □ Los resultados de esta sección se resumen en el siguiente teorem a.

324

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Teorem a h . La ecuación A x = b tiene solución única x - A ’b si det A ± 0. La ecuación A x = b no tiene solución, o bien tiene un número infi­ nito de soluciones si det A = 0. D e m o s t r a c i ó n . El Teorem a 11 se sigue inm ediatam ente después del Teorem a 9 y el Lema 3. □ C o r o la r io .

La solución

una solución

Ax = 0

tiene una solución no trivial (es decir,

x= donde no todas las x, son iguales a cero) si y sólo si,

det A = 0.

D e m o s t r a c ió n . Obsérvese que x=

'

0 0

siempre es una solución de la ecuación A x = 0. P o r lo tan to , es la única solución si det A + 0. P o r o tro lado, si det A = 0, entonces existe un núm ero in fin ito de solucio­ nes y todas, excepto una de ellas son no triviales. □ Ejemplo 6 ¿Para qué valores de X tiene una solución no triv ia l la siguiente ecuación? X X 0 1 x=0 1 1 S o l u c ió n . det

1 X

X

= X + X — 1 —X = X - 1.

P o r lo tan to , la ecuación x=0 1 tiene una solución no triv ia l si, y sólo si, X = 1. O b s e r v a c ió n 1 . T o d o lo que se ha dicho acerca de la ecuación A x = b se aplica de igual m anera cuando los elementos de A y las com ponentes de x y b son números com plejos. En tal caso se interpreta a x y a b com o vectores en C n y la m atriz A se interpreta com o una transform ación lineal de C " sobre sí m ism o. O B S E R V A C IÓ N 2. Supóngase que se desea determ inar

n

núm eros a¡ , x : , . . ., .v„.

325

3.7 • Transformaciones lineales

La idea in tu itiv a es que se necesitan n ecuaciones que se satisfagan para dichas incógni­ tas. C iertam ente ese es el caso si se tienen n ecuaciones lineales de la form a aJ\Xl + aj2x 2 + . . . + a Jnxn =

y det A ^ 0, donde

a \\

A=

•

j=\,2,...,n

bj,

•••

(9)

a \n

: .

P o r o tro lado, la in tu ic ió n parecería fa lla r cuando det A = 0. Sin embargo, no es así. De hecho, si det A = 0, entonces las columnas de A son linealm ente dependientes. Pero entonces las columnas de A r , que son los renglones de A , también son linealmente dependientes, pues det A r = d e tA . E n consecuencia, alguno de los renglones de A es una com binación lineal de los renglones restantes. A h o ra bien, ello im plica que el p ri­ mer m iem b ro de alguna de las ecuaciones de (9), es una com binación lineal de los res­ tantes prim eros m iem bros. Llámese A: a la posición de dicha ecuación. Obviam ente, la ecuación A x = b no tiene solución si bk no es exactamente la misma combinación lineal de b \ , .. ., bk- 1 , bk + \, . . . , bn . P o r ejem plo, el sistema de ecuaciones X [ —x 2+

X3 =

1 jc j -L jc2 H- * 3 = 1 2xx + 2*3 = 3 obviam ente no tiene soluciones. P o r o tro lado, si bk es la m ism a com binación lineal de b \ , . . . , bk- 1 , bk+ ( , . . . , bn , entonces la ecuación k es redundante. En tal caso, se tienen entonces solamente n — 1 ecuaciones para las n incógnitas X \ , x2, . . . , xn. O b s e r v a c ió n 3 . U na vez que se ha introducido el concepto de transform ación li­ neal, ya no es necesario considerar una m atriz de/? x « como un arreglo bidim ensional de núm eros. Más bien, puede pensarse ahora en una m atriz A de n x n que induce una tra nsfo rm a ció n lineal O, (x) = A x en R ". La ventaja de este enfoque es que es po­ sible deducir algunas propiedades de la m atriz A , al encontrar las propiedades equiva­ lentes de la tra nsfo rm a ció n lineal é£. P o r ejem plo, se demostró que (A B )C = A (B C ) para cualesquiera tres m atrices A , B, C de n x n viendo que las transform aciones line­ ales inducidas &, % , 6 satisfacen la relación ( é £ ° $ ) < > 6 = & 0 ( ® 0 6 ) . A h o ra bien, es posible dem ostrar el m ism o resultado directamente, pero ello requiere de m u­ cho más tra b a jo (E jercicio 24). Ej e r c i c io s E n cada uno de los Problem as del 1 al 3, halle todos los vectores sistema dado de ecuaciones tiene una solución. 1 2 2 3' 3 -1 4 4 6 x= b 2 1 1 1 |x = b 6 6 9 3 5 1 4 8 8 12

b para los cuales el 11

4 8

3

2 2,

1 -1 1 |x= b

326

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

E n cada uno de los Problem as del 4 al 9, encuentre-todas las soluciones del sistema dado de ecuaciones. - 1 ]x = 0

4.

.

6

8.

10 /

1 -1 1 0 2 2

2 1 0 4

1 1 -1 3 -1 0 6

7.

1

-1 4 6 x= 0 1 8

9.

1 -3 6

2 - 2 8

2 -5 -1

-1 3 1

1

1 1

: i )

-1

-1 2

1 lx =

E n cada uno de los Problem as del 10 al 12, determ ine todos los valores de X para los cuales el sistema de ecuaciones dado tiene una solución no triv ia l. X 1 X X X x=0 10. 11. 3 lx = 0 1 0 1 - 1 A ■1 1 X -1 -1 12.

2

3

-1

X

5

0 | x = 0.

13. (a) ¿Para qué valores de X tiene solución el siguiente sistema de ecuaciones? 1

:í :ÍHÍ)

(b) Encuentre todas las soluciones para dicho v a lo r X. 14. Suponga que A x = Bx para tod o vector x =

Demuestre que A = B. 15. Sean 9 y $ dos transform aciones lineales de R " en R ". Entonces existen matrices A y B de n x n, tales que 9 (x) = A x y ® (x) = B x. Dem uestre que & o $ (x) = A B x. Observación: 4 o ® es una tra nsfo rm a ció n lineal de R " en R ". P o r lo tan­ to , existe una m a triz C de n x n tal que 9 0 $ (x) = C x. La colum na j de C es 9 o $ (e7). Dem uestre entonces que 9 ° $ (e7) es la colum na j de la m atriz AB. 16. Sea 9 una tra nsfo rm a ció n lineal de R " en R ". D em uestre que & (0) = 0. 17. Sea 91 (0) la tra nsfo rm a ció n lineal que ro ta los puntos del plano en un ángulo en dirección co ntraria a las manecillas del re lo j. Dem uestre que

6

3.7 • Transformaciones lineales

327

18. Sea 91! y 612 las transform aciones lineales que rotan los puntos del plano en ángu­ los y 02> respectivamente. Entonces la transform ación lineal 9 l3 = 91 1 o «jt2 ro ta los puntos del plano en un ángulo + 02 (en dirección c o ntraria a las mane­ cillas del re lo j). Usando el Ejercicio 15, pruebe que /cos(0, + 02) -sen (0 ,+ 02) \ /cos0j -sen#! \ícos&2 -sen#2\ \sen(#, + #2) eos(9l + 92)J \ sen#, c o s # ,j\s e n # 2 cos#2 )' y con ello , deduzca las siguientes igualdades trigonom étricas. sen(#, + #2) = sen#, cos#2+ cos#isen#2 cos(#,.+ 92) = eos#, cos#2 —sen#,sen#2. 19. Sea (a) V e rifiq u e que & es lineal. (b) Dem uestre que todos los puntos (x¡, x2) en la circunferencia u n ita ria x ] + x\ = 1 son transform ados en puntos en la circunferencia x\ + x\ = 2. 20. Sea V el espacio de todos los polinom ios de grado m enor que o igual a 3, defina ( D p )(t ) = dp(t)/dt. (a) Dem uestre que D es una transform ación lineal de V en V . (b) D em uestre que D no tiene inversa. 21. Sea V el espacio de todas las funciones continuas f(t), -0 0 < t < 00, y defina ( * / ) ( t) = j 'j (s ) d s . (a) Pruebe que K es una transform ación lineal de V en V . (b) Pruebe que ( D K ) f = f donde D f = / ' . (c) Sea f(t) una fun ció n derivable. Demuestre que [(* Z > )/](0 = /(0 -/(0 ). 22. Se dice que una transform ación lineal & es 1 a 1 si £ (x ) f & (y) siempre que x ^ y. E n otras palabras, no es posible que dos vectores diferentes se transform en en el m ism o b a jo £ . Dem uestre que & es 1 a 1 s iy s ó lo .s i g (x ) = 0 im plica que x = 0. 23. Se dice que una tra nsfo rm a ció n lineal es s u p r a y e c t i v a si la ecuación ff (x) = y tie ­ ne al menos una solución para toda y en R ". Demuestre que & es suprayectiva si y sólo si & es 1 a 1. S u g e r e n c i a : M uestre p rim ero que 6L es suprayectiva si y sólo si los vectores & (el ), . . . , & (e n) s o n linealm ente independientes. Use entonces el Lem a 1 para hacer ver que si ^ (e 1), . . . , & (e n) son linealm ente dependientes, entonces es posible encontrar una solución diferente de cero de la ecuación 6L (x) = 0. P o r ú ltim o , pruebe que £ (e1), . . . , £ ( e n) son linealm ente dependientes si la ecuación 6, (x) = 0 tiene solución diferente de cero. 24. Demuestre directamente que (A B )C = A (B C ). ces tienen los m ismos elementos.

S u g eren cia :

Pruebe que las dos m atri­

328

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

25. Dem uestre que

b= si y sólo si

3 .8

¿?3

=

b\

+

(b

b2<

M é t o d o de v a l o r e s y v e c t o r e s

CARACTERÍSTICOS PARA OBTENER SOLUCIONES Considérese nuevam ente la ecuación diferencial lineal homogénea de p rim e r orden x = A x, x =

* i'

a \\

, A=

••*

a \n

a n\ * •• ann .V E l o b je tivo es encontrar n soluciones linealm ente independientes x ‘ (0 , • • •» x "(0 Recordando que tan to la ecuación escalar lineal hom ogénea de p rim er orden como la de segundo orden tienen funciones exponenciales com o soluciones, se sugiere intentar x(t) = ex'v , con v un vector constante, com o solución de (1). Para ello, obsérvese que

-^-eA'v = XeA'v dt

y

A (e A/v) = ex'A v.

P o r lo ta n to , \{t) = ex'v es una solución de (1) si y sólo si Xex'v = ex'A v . A l divi­ d ir ambos lados de la ecuación entre eXt se obtiene Av = Av. A sí pues,

x(t) = e x,\

(2)

es una solución de (1) si y sólo si X y v satisfacen (2).

DEFINICION. U n vector v diferente de cero que satisface (2) se denom ina un vector característico (o eigenvector) de A con valor característico (o eigenvalor) X.* O b s e r v a c i ó n . Se excluye al vector v = 0 debido a que no interesa. Obviamente, se cumple que AO = X • 0 para cualquier núm ero X. U n vector característico o eigenvector de una m a triz A es un vector m uy especial; bajo la tra nsfo rm a ció n lineal x - * A x , dicho vector convierte en un m ú ltip lo X de él • (N. del R.) Es usual en inglés y en español servirse de los términos híbridos eigenvector y eigenvalue, o eigenvector y eigenvalor, donde interviene como prefijo el término eigen del alemán (= propio o característico). Las palabras alemanas para los conceptos matemáticos son Eigenvektor y Eigenwert, respectivamente.

329

3.8 • M étodo de valores y vectores característicos

m ism o. Los vectores que son transform ados en m últip los de sí m ismos desempeñan un papel im p orta nte en muchas aplicaciones. C on ob jeto de encontrar tales vectores, se escribe la ecuación (2) en la fo rm a 0 = Av —Xv = (A — ÁI)v.

(3)

La ecuación (3) tiene una solución v diferente de cero solamente si det (A - X I) = 0. P o r lo ta n to , los valores característicos o eigenvalores X de A son las raíces de la ecuación an -X l2n

22

0 = d e t( A - Á I) = dct *n\

ni

a

—X

y los vectores característicos de A son las soluciones diferentes de cero de las ecuaciones (A - X I)v = 0, para dichos valores X. E l determ inante de la m a triz A - X I es claram ente un p o lin o m io de grado n en X, con térm ino de m ayor potencia igual a (— Es frecuente llam a rlo polinomio carac­ terístico de A y denotarlo por p (\). Para cada raíz Xy de /?(X), es decir, para cada núme­ ro \j tal que p ( \ ) = 0, existe al menos un vector vy d istinto de cero, tal que A \ J = Xyv L A h o ra bien, todo p o lin o m io de grado > 1 tiene al menos una raíz (posiblemente com pleja). P o r lo tan to , toda m a triz tiene al menos un valor característico, y en conse­ cuencia, al menos un vector característico. P o r o tro lado, p(X ) tiene a lo más n raíces distintas. De m odo que toda m a triz de n x n tiene a lo sumo n valores característicos. Obsérvese, por ú ltim o , que toda m atriz de n x n tiene cuando m ucho n vectores carac­ terísticos linealm ente independientes, pues el espacio de todos los vectores v= tiene dim ensión

n.

O b s e r v a c i ó n . Sea v un vector característico de A con valor característico X. Obsér­ vese que A (c v) = cAv = cXv = A(cv) para cualquier constante c. P o r lo ta n to , cualquier m ú ltip lo (c ¥* 0) de un eigenvector de A es tam bién un eigenvector. de A , con el m ism o valo r característico. Para cada eigenvector v y de A con va lo r característico Xy, se tiene una solución = e Xj‘\ J de (1). Si A tiene n vectores característicos linealm ente independientes v 1, . . . , v n con valores característicos X ,, . . . , X „, respectivamente, ( X [ , . . . , X„ no tie ­ nen por qué ser diferentes), entonces xJ(t) = j = 1, . . . , / * son n soluciones linealm ente independientes de (1). Esto se sigue inm ediatam ente del Teorem a 6 de la \j(t)

330

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Sección 3.4 y del hecho que x y(0) = v y. E n tal caso, entonces toda solución x (/) de (1) es de la fo rm a x (/) = c 1ex,,v l + c2eAj,v2+ ... + c „e A"'v/l.

(4)

Esta fó rm u la se llam a a veces la “ solución general’ ’ de (1). E l caso más sencillo es cuando A tiene n valores característicos reales y distintos , X2, . . . , X„ con vectores característicos v 1, v 2, . . . , v " , respectivamente, ya que en ta l caso se garantiza la independencia lineal de v 1, v2, . . . , v ". T a l es el contenido del Teorem a 12. TEOREMA 12.

v', ...,

Cualesquiera k vectores característicos \ k de A con valores característicos diferentes X ! X *, respectivamente, son lineal­ mente independientes.

, ...,

D e m o s t r a c ió n . La dem ostración se hará por inducción sobre k , el núm ero de eigenvectores. Nótese que el teorem a claram ente es cierto para k - l. A h o ra supóngase que el Teorem a 1 es cierto para k - j. Es decir, que cualquier co n ju n to de y vectores característicos de A con valores característicos diferentes es linealm ente independiente. H ay que dem ostrar entonces que cualquier c o n ju n to de j + 1 eigenvectores de A con eigenvalores diferentes, es tam bién linealm ente independiente. Para ello, sean v !, . . . , v y+1 j + 1 vectores característicos de A con valores característicos distintos X^ . . . , Xy + 1, respectivamente. Para determ inar si estos vectores son linealm ente dependientes o independientes, se considera la ecuación

c , v , + c2v 2+

... +c>+lvy + ,=*0. A l aplicar A a ambos lados de (5) se obtiene X , civ i + X 2c2v 2+ ... +Xy+19 + ,W + ,= 0 .

(5) (6)

A sí pues, si se m u ltip lic a n por Xj ambos lados de (5), y se resta de (6) la ecuación re­ sultante, se obtiene (X2 ~ \ i ) c 2v2 + ... + (X,.+ , - X ,)c ,+ 1vy+1= 0. (7) Pero v 2, . . . , v y+1 son j vectores característicos de A con valores característicos dis­ tintos, X2, . . . , Xy+1, respectivamente. P o r hipótesis de inducción, los vectores son linealm ente independientes. P o r lo ta n to , se tiene que (X2 —X 1)c2 = 0,

(X 3- X 1) c3 = 0 ,...,

y

( \ + i ~ ^i)
Dado que X ,, X2, . . . , X7+ { son todos distintos, se concluye entonces que c2, c3, Cj+ j son todos iguales a cero. L a ecuación (5) obliga entonces a que q sea nulo.

..., Por

lo tanto, v 1, v2, . . . , vy + 1son linealmente independientes. Se tiene entonces por induc­ ción que todo conjunto de k vectores característicos de A con valores característicos distintos es linealmente independiente. O

Ejem plo 1 E n c o n tra r todas las soluciones de la ecuación 1 x— 3 .2

-1 2

4' - 1 x. 1 -1 .

331

3.8 • M étodo de valores y vectores característicos So l u c i ó n .

E l p o lin o m io característico de la m atriz 1 -1 4 3 2 -1

A=

2

1 - 1

es p

fl-X -1 4 3 2-X -1 2 1 -1-X. = — (1 + X )(1 —X ) ( 2 - X ) + 2 + 12 —8 ( 2 - X ) + ( l —X ) - 3 ( l + X) = (1 — X)(X — 3)(X + 2).

(X) = d e t(A - X I) = det

De m odo que los valores característicos de A son X[ = 1, X 2 = 3 y X3 = - 2 . (i) X[ = 1. Se busca un vector v, diferente de cero, ta l que 0 -1 4 (A —I)v = 3 1 -1 2

Esto im p lica que — ü2 +

4 ü 3 =s 0,

1

3c, + u2 — u3 =

-2 0

■
0

=

”2

0 0

, ü 3.

y

2u, + u2 — 2 ü 3 = 0.

A l despejar v, y v2 en térm inos de v3 en las prim eras dos ecuaciones, se obtiene v, = —v3 y v2 = 4 v3 . P o r lo ta n to , cualquier vector y— c

es un vector característico de A con valo r característico igual a 1. P o r lo tanto, -1 4 1 es una solución de la ecuación diferencial para cualquier constante se tom a ce

c.

Para sim plificar,

-1 4 1 (ii) X2 = 3. Se busca un vector v, no nu lo, ta l que (A —3 I)v =

-2 .2

3

-1 4 -1 -1 1 -4 J

0 ^2

•ü 3.

=

0 0.

Esto im p lica que — 2c, — ü2 + 4u3 = 0,

3 ^ — v2- u3 = 0

y

2t>, +

v2— 4ü3 =

0.

332

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Despejando v, y v2 en térm inos de v3 en las dos prim eras ecuaciones, se obtiene v, = v3 y v2 = 2 v 3 . P o r lo ta n to , cualquier vector v=

c

es un vector característico de A con v a lo r característico 3. De m odo que, x \ t ) = e3'

es una segunda solución de la ecuación diferencial (iii) X3 = - 2 . Se busca un vector v, diferente de cero, tal que 3 -1 4 (A + 2 I)v = 3 4 -1 2 1 1

v2 . U3.

0 = 0 0.

Esto im plica que 3 üi — ü 2 + 4 u3 = 0,

3u, + 4 u 2— ü3 = 0

y

2u, + u2+ t>3 = 0.

Despejando V] y v2 en térm inos de v3, se obtiene V] = - v 3 y v2 = v3. P or lo tan­ to, cualquier vector v=

c

f-n i i

es un eigenvector de A con eigenvalor - 2 . P o r consiguiente, - 1 1 1 es una tercera solución de la ecuación diferencial. Las tres soluciones son linealmente independientes, ya que los valores característicos de A son diferentes. P o r lo tanto, toda solución x(t) debe ser de la fo rm a x 3( / ) =

x (¿) = c le t

'-11 4 + 1.

— c ,e '+

e

c2e3'

1 2 + 1.

.

c3e 2‘

- r 1 1.

c2e3t — c3e ~ 2‘

4c¡e' + 2c2e3t + c3e ~ 2t c ¡e t +

O

b s e r v a c ió n .

c2e3t + c3e ~ 2f

Si X es un v a lo r característico de A , entonces las

aJ\Vl +

...

+ ( a j j - \ ) vj +

...

+ a jnvn = 0,

j=

n

ecuaciones

333

3.8 • M étodo de valores y vectores característicos

no son linealm ente independientes, al menos una de ellas es una com binación de las otras. Se tienen, por tanto, a lo sum o n - 1 ecuaciones linealm ente independientes para las n incógnitas , . . . , vn. T a l cosa im plica que por lo menos una de las incógnitas V[, . . . , vn puede ser elegida arbitrariam ente. Ejem plo 2 Resolver el problem a de valor inicial x= ( ‘

12)x ,

*(0 ) = ( ° ) .

S o l u c i ó n . E l p o lin om io característico de la m atriz *-(!

es />(X) = det(

'¡)

11_2x ) = ( 1 - X ) 2- 3 6 = ( X - 7 ) ( X + 5).

A sí pues, los valores característicos de A son X, = 7 y X2 = —5. (i) \ [ = 7. Se busca un vector v diferente de cero, tal que

- X H » Esto im plica que v, = 2v2. P o r lo tanto, cualquier vector v-e(

2)

Es un vector característico de A con valor característico 7. P o r consiguiente

x ' ( 0 - « 7' ( , ) es una solución de la ecuación diferencial. (ii) X2 = - 5. Se busca un vector v, diferente de cero, tal que X

Esto im p lica que

v{

H

S

) -

= - 2 v 2. De manera que ( “ ?)

es un eigenvector de A con eigenvalor - 5 , y x V ) = < T 5' ( - 2 ) es una segunda solución de la ecuación diferencial. Las dos soluciones son linealm ente independientes, ya que los valores característicos de A son diferentes. P o r lo tanto, x(r) =

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

334

CjxV) + ciales

c2x 2(t).

Las constantes q y

c2 se

determ inan a p a rtir de las condiciones in i­

( 0 ) . c , x '( 0 ) + c2x=(0) = ( ^ ) + ( - 2^ ) . Vi

Así pues, 2c¡ - 2c2 = 0 y y c2 = Vi. P o r lo tan to ,

c¡

+

c2

= 1. L a solución a estas dos ecuaciones es C! = eT - e -> ‘

I e7/+ i

2

2

-5/

EJEMPLO 3 E n con tra r todas las soluciones de la ecuación 1 1 1 1 1

2

2

x = Ax = 3 4 5

2

3 4 5

2 2

3 3 x. 4 4 5 5

3 4 5

So l u c ió n .

N o es necesario calcular el p o lin o m io característico de A para encontrar los valores característicos y los vectores característicos de A . De hecho, obsérvese que

V

X1

A x = A *3

= ( X , + J t2

*4

+ X3 +

X4

+

X 5)

Y 2

*5

3 4 5

0 0 1 = 0 -1

0 1 v2 = 0 , 0 1 l J

II

f 0 v' = 0 , 0 -1

»<

P o r lo ta n to , cualquier vector x cuyas componentes sumen cero es un vector carac­ terístico de A con va lo r característico 0. E n p a rtic u la r 0' 0 0 1 -1

son cuatro eigenvectores de A , linealm ente independientes, con eigenvalor cero. Más aún, obsérvese que

Y

2

v5 = 3 4 5

es un vector característico de A con va lo r característico 15, ya que

Y

2 3 = ( l + 2 + 3 + 4 + 5) 4 5

Y

Y

2 2 3 = 15 3 4 4 5 5

3.8 • M étodo de valores y vectores característicos

335

Es fác il ver que los cinco vectores v 1, v 2, v3, v4 y v5 son linealm ente independien­ tes. P o r lo ta n to , toda solución x(t) es de la form a

l' 0 0 0

o' 1 0 + c3 0

+ c2

-1

.-lj

0 0

1

+

0

c4

0 0 0

1

- 1

.-lj

r

+ cse l5‘ -

2

3 4 5

Ej e r c i c io s E n cada uno de los Problem as del 1 al 6, encuentre todas las soluciones de la ecuación diferencial dada. Li-(«

])x

13 2 4 \ 3. x - 2 0 2 b \4 2 3 /

•7 0

4. x 1

0 6’ 5 0 |x

6. x =

6 0 2

7 -1 0 -2

-1 4 1

-1 2 x —1 /

3 6 9 18 V 15 30 21 42

E n cada uno de los Problem as del 7 al 12, resuelva el problem a de v a lo r inicial dado. 7.*-(¿ 3 9. x - | 1 3 1 11. x - | 0 0

¡ ) x , x(0) = ( 2 )

« .*.(_!

1 -1 \ i 1\ - 1 x, x (0 )- - 2 3 -1 / V — 1/ -3 2\ / —2 \ -1 0 x, x(0)= 0 -1 -2 / \ 3/

3

/I 10. x - 1 \l / 3 1 2 .x - -1 \ 4

"i) ,, -1 2 10 1 2 1

x(0) = ( ° )

0 1 2 )* -2 \ / 1 l x, x(0)= 4 -3 / \ —7 /

13. (a) Dem uestre que eX(í“ ío)v, con íq constante, es una solución de x = A x si A v = Xv. (b) Resuelva el problem a de va lo r inic ial 1 (E jercicio 12).

1

'!)*•x(i)-(j)

336

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

son tres soluciones de la ecuación x = A x. Obtenga los valores característicos y los vectores característicos de A . 15. Demuestre que los valores característicos de A -1 son los inversos m ultip lica tivo s de los valores característicos de A . 16. Demuestre que los eigenvalores de A " son los eigenvalores de A elevados a la potencia n. 17. Pruebe que X = 0 es un valor característico de A si det A = 0. 18. Pruebe m ediante un ejem plo que los valores característicos de A + B no son nece­ sariam ente la sum a de los valores característicos de A con los valores característi­ cos de B. 19. Dem uestre m ediante un ejem plo que los eigenvalores de A B no son necesariamen­ te el producto de los eigenvalores de A con los valores característicos de B. 20. Demuestre que las matrices A y T -1A T tienen el m ism o p o lin o m io característico. 21. Suponga que existe alguna de las dos matrices B " 1 o A -1. Demuestre que A B y B A tienen los m ism os valores característicos. Sugerencia: Use el E jercicio 20. (Este resultado es cierto aun cuando B _l y A -1 no existan; sin embargo, su dem ostra­ ción es más d ifíc il.)

3 .9

R a íc e s c o m p l e j a s

Si X = a + i¡3 es un valo r característico com plejo de A con vector característico v = v 1 + / v 2, entonces x(/) = ek,\ es una solución con valores com plejos de la ecuación diferencial x = A x. (1) C om o se m uestra a continuación, esta solución con valores com plejos da lugar a dos soluciones con valores reales. LEMA i Sea x(t) = y(t) + iz{t) una solución de (1) con valores complejos. Entonces, tanto y{() com o z (t) son soluciones de (1) con valores reales.

D e m o s t r a c ió n . Si x(/) = y(/) + jos, entonces

iz(t)

es una solución de (1) con valores comple­

y(0 + i¿(0 = A (y (0 + /z( 0 ) = A y (') + /Az( 0-

(2)

Igualando las partes reales e im aginarias de (2) se obtiene y(t) - Ay(t) y z(t) - A z (t). P o r lo tanto, y ,(t) = Re{x(r)} y z (t) = I m{ x ( r ) } son soluciones con valores reales de (1). □

3.9 • Raíces com plejas

337

La fu n c ió n con valores com plejos x(t) = e(a + l^ f(yl + / v2) puede escribirse en la form a x(t) = e aí (eos j3í + /senyS/)(v' + /v2) = ¿“'[ ( v 1cos/?r — v2senj3t) + P or lo ta n to , si A = a + v = y 1 + iv2, entonces

i (vl senfit + \2eos fit)].

es un va lo r característico de A con vector característico

i(3

y (t) =

e al (v 1eos fít — v2senfii)

y z(t ) = e al (v 1sen fít

+ v2eos ¡3t)

son dos soluciones con valores reales de (1). Más aún, las dos soluciones deben ser line­ alm ente independientes (E je rc icio 10). Ejem plo 1 Resolver el problem a de valor inicial -1

II

1 1

o

0 0

o

o x=

1

r

i

i

S o l u c i ó n . E l p o lin o m io característico de la m atriz 1 0 A= 0 1 0 1

es p

0' -1 1

1- A 0 0 0 1-A -1 0 1 1- A = (1 - A)3 + (1 —A) — (1 - A)(A2 — 2A + 2).

(A) = det( A — X I) = det

P o r lo ta n to , los valores característicos de A son 2 ± V 4 — 8 = 1± A = ,1 y A, = ----------------

,

(i) X = 1: C laram ente,

es un vector característico de A con va lo r característico 1. P o r lo tanto, íl]

0 0 es una solución de la ecuación diferencial x = A x. x \ t ) = e'

338

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES (ii) X = 1 + /: Se busca un vector v, no n u lo , tal que -

[ A - ( 1 + /)I]v =

0 0 - / -1 1 -1 J

i

0 0

■°r . ü 3.

=

0 0 .0

Esto im plica que —/v, = 0, - i v 2 - v3 = 0 y v2 - iv3 = 0. De la prim era ecuación se obtiene v, = 0, y de la segunda o tercera se sigue que v2 = /v3. P o r lo ta n to , cual­ quier vector, 0' v= c i 1 es un vector característico de A con v a lo r característico 1 + /. A sí que, x ( /) = e(1 + ,>í es una solución con valores com plejos de la ecuación diferencial x = A x . A h o ra bien, 0 i

.1 .

= e ‘ (cos /+ / sen/)

ro í 0 0 +/ 1 1 .0 .

O' 0' 0 0 = * ' eos/ 0 -s e n / 1 + / sen/ 0 + i eos/ 1 1. 0 0 .1 . 0 —sen/ eos/

+

ie*

í 0 1 eos/ sen/

P o r lo tan to , de acuerdo con el Lem a 1 ' 0 x 2( /) = ¿' —sen/

cosí

y

0 x 3( /) = ¿' eos/ . sen/.

son soluciones con valores reales. Las tres soluciones x '(/), x2(/) y x3(/) son linealm ente independientes, ya que sus valores iniciales T x '(0 ) = 0 , 0

0 x 2(0) = 1 , 0

y

0 x 3(0) = 0 i

son vectores linealm ente independientes en R 3. P o r lo ta n to , la solución x(/) del pro­ blema de va lo r inic ial debe tener la fo rm a 1 x ( /) = c,e' 0 + 0

c2e t

0 —sen/ eos /

+ c3e l

0 ' eos/ sen t

3.9 • Raíces com plejas

339

To m an d o / = 0, se ve que 0 0 1 1 l = c, 0 + c2 0 + c3 l = C3 0 0 1 1 C2

De m odo que,

cx

=

c2 =

c3 = 1 y

x (t)-e ‘

= e‘

1 0 0

+ e‘

0 — sen/ eos/

+ e‘

0 eos / sen/

eos/ —sen / eos / + sen/

O b s e r v a c ió n . Si v es un vector característico de A con valor característico X, entonces v, el conjugado com plejo de v, es un vector característico de A con va lo r característico X. (Cada una de las componentes de v es el conjugado com plejo de la componente corres­ pondiente de v.) Para d em ostrarlo, tómese el conjugado com plejo en ambos lados de la ecuación A v = Xv y obsérvese que el conjugado com plejo del vector A v es A v si A es real. P o r lo tan to , A v = Xv, lo que muestra que v es un eigenvector de A con eigenva lo r X.

EJERCICIOS E n cada uno de los Problem as del 1 al 14, encuentre la solución general de los sistemas dados de ecuaciones diferenciales.

l . * - ( =3 _j)x /1

X i-(¡

0 0\

3. x-| 3 1 -2 )x 2

2

4. x=

1/

o)x

-I /

1 0

1\

0 1 -1 |x

\ —

2

0

—

1

E n cada uno de los Problem as del 5 al 8, resuelva el problem a de va lo r inicial dado. S .x-Q 7. x=» |

: j ) x , x(0) = ( j ) —3

II o X

-2 0 8. x = - 2 0 0

0 2\ 1 0 1 - 1 o X, x(0) = I - 1 -1 0 / \ -2 1 2 0 0 1 0 0 0 x, 1 0 0 -3 0 0 3 0

l t - ( l

: í ) x , x (0 )-(J )

340

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

9. D eterm ine todos los vectores x° tales que la solución del problem a de valo r inicial 1 0 —2 \ 0 1 0 U, x(0) = x° 1 -1 -1 / es una función periódica del tiem po. 10. Sea \(t) = e Xt\ una solución de x = A x. Demuestre que y(t) = R e {x(/)} y z(/) = Im {x (r)} son linealm ente independientes. Sugerencia: Observe que v y vson lineal­ mente independientes en C ", ya que son vectores característicos de A con valores característicos diferentes.

3 .1 0

R a í c e s ig u a l e s

Si el p o lin o m io característico de A no tiene n raíces diferentes, entonces A puede no tener n vectores característicos linealm ente independientes. P o r ejem plo, la m atriz 1 A= 0

1 0 1 0

0

0

2

tiene solamente dos eigenvalores X, = 1 y X2 = 2 y dos eigenvectores característicos linealm ente independientes, que pueden tom arse com o ' 1■ 0 0

y

0' 0 i.

.

P o r lo tanto, la ecuación diferencial x = A x tiene solam ente dos soluciones linealm en­ te independientes e‘

rr 0 .0 .

y

e1'

0' 0 1

.,

de la fo rm a eXív. En este caso, el problem a es encontrar una tercera solución lineal­ mente independiente. Pero, en general, supóngase que una m atriz A de n x n tiene solamente k < n vectores característicos linealm ente independientes. Entonces la ecua­ ción diferencial x = A x tiene sólo k soluciones linealm ente independientes de la form a eXt\. E l problem a es encontrar n — k soluciones adicionales linealmente independientes. E l problem a se abordará de la siguiente m anera, m uy ingeniosa por cierto. Recuér­ dese que x(t) = e alc es una solución de la ecuación diferencial escalar x = ax, para cualquier constante c. De m anera análoga, sería deseable poder decir que x (/) = e A'v es una solución de la ecuación diferencial vectorial x = Ax

(1)

3.10 • Raíces iguales

341

para cualquier vector constante v. Sin embargo, e At no está definido si A es una m atriz de n x n. P ero esto no constituye una d ificu lta d seria. H ay una m anera m uy natural de d e fin ir e At, de manera que se asemeje a la exponencial escalar e al; simplemente se define A 2/ 2

A

eA' = I + A r + 4 ¡ f + 2!

(2)

ni

Es posible m ostrar que la serie in fin ita (2) converge para toda t y que se le puede d erivar térm in o p or térm in o. En particular, se cumple que /rf * " +1 -j- e A /= A + A 2í + ... + ... dt

ni

= a J j + A / + . . . + ^ p + ... j= A < ?A'. Esto im p lica que e A 'v es una solución de (1), para cualquier vector constante v, ya que J^eA/v ?= A e Aív = A (e A/v). O

b s e r v a c i ó n . La exponencial m atricial eAI y la exponencial escalar muchas propiedades sim ilares. P o r ejem plo,

(e At)

' = e'

e M t + s) _

e At g As

eal

satisfacen

(3)

De hecho, la m ism a dem ostración de que (eat) 1 = e at y ea(t+s) = eateas puede llevarse a cabo para verific ar las igualdades (3); sólo es necesario s u s titu ir a por A y 1 por I. S in em bargo, e A t + Br es igual a e e solamente si A B = B A (Ejercicio 15 de la Sección 3.11). H ay varios tipos de matrices A (Problemas del 9 al 11) para los cuales puede sumarse de m anera exacta la serie in fin ita (2). Sin embargo, en general no parece posible expre­ sar e At en fo rm a reducida. A pesar de todo, un hecho sorprendente es que siempre es posible encontrar n vectores v linealmente independientes para los cuales puede sumarse de m anera exacta la serie in fin ita e Atv. Más aún, una vez que se conocen n soluciones linealm ente independientes de (1), hay la posibilidad de calcular e At de manera exac­ ta. (Esta ú ltim a propiedad se dem ostrará en la siguiente sección.) A continuación se ilu stra cómo encontrar n vectores v linealm ente independientes para los cuales es posible sum ar de m anera exacta la serie in fin ita eA l\. Obsérvese que e Aty== e ( A - \ l ) t e \ l t y

para cualquier constante X, ya que (A - \ I ) ( \ I ) = ( \ I ) ( A — X I). Pero exlt\ =

X2! 2/ 2

I + X I / + ^ p - + ... X2/ 2 1 + Xt + -^ j— h ••• v =

P o r lo ta n to , e A/v =

ex‘\.

342

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Obsérvese ahora que si v satisface (A - X I) mv = 0 para algún entero m, entonces la serie in fin ita e (A-x,)'v term ina después de m térm in os. Si (A - X I) w v = 0, entonces (A - X I)m + ,v tam bién es igual a cero, para cualquier entero p ositivo /, ya que (A - AI)m+ 'v = ( A - AI)'[ ( A - A l f v ] = 0.

P o r lo tan to , e
( A - A ir 'V

eA,v = eXíe(A -x,)'v v + f ( A - A I ) v + ... +

( A —A I)m~ 'v

Esto sugiere el siguiente a lg o ritm o para encontrar n soluciones linealm ente inde­ pendientes de (1). (1) Encuéntrense todos los valores y vectores característicos de A . Si A tiene n eigen. vectores linealm ente independientes, entonces la ecuación diferencial x = A x tiene n soluciones linealm ente independientes de la fo rm a e X/v. (Nótese que la serie in fin ita e(A -x iv y te rm ¡na después del p rim e r té rm in o si v es un vector característico de A con valo r característico X .) (2) Supóngase que A tiene únicam ente k < n vectores característicos linealm en­ te independientes. Entonces se tienen sólo k soluciones linealm ente independientes de la form a e X/v. Para encontrar soluciones adicionales se tom a un valor característico X de A , y se encuentran todos los vectores v para los cuales (A - X I ) 2v = 0, pero (A - X I)v i* 0. Para cada uno de tales vectores v eAtv =

ex'e(A_XI)'v = eXí[ v +

t(A — A I)v ]

es una solución adicional de x = A x . E sto se hace para todos los valores característicos X de A . (3) Si aún no se tienen suficientes soluciones, entonces se buscan todos los vectores v para los cuales (A - X I) 3v = 0, pero (A - X I) 2v ^ 0. Para cada uno de tales vecto­ res v, v + / ( A —A I) v + ^ - ( A — A I ) 2v es una solución adicional de x = A x . (4) Se continúa de la m ism a m anera hasta encontrar, eso se espera, n soluciones linealm ente independientes. E l siguiente lem a del álgebra line al, que se aceptará sin dem ostración, garantiza que el alg o ritm o siempre funcione. M ás aún, da una cota superior para el núm ero de pasos que se requieren en este alg o ritm o . Lema 1 . Supóngase que el polinom io característico de A tiene k raíces dife­ rentes X !, . . . , XA. cón multiplicidades n x, . . . , n k , respectivamente. (E so sig­ nifica que p ( \ ) se puede factorizar en la fo rm a ( \ x - X )"1 . . . (X* - X )"*.)

3.10 • Raíces ¡guales

343

Supóngase además que A tiene solamente v, < n¿ vectores característicos line­ almente independientes con valor característico X7. Entonces la ecuación (A - \ j I ) 2v = 0 tiene p or lo menos Vj + 1 soluciones independientes. E n ge­ neral, si la ecuación (A = 0 tiene sólo mj < nj soluciones indepen­ dientes, entonces la ecuación (A - X7 I ) " '+ 1v = 0 tiene p or lo menos mj + 1 soluciones independientes.

E l Lem a 1 im plica claram ente que existe un núm ero entero dj con dj < nj t tal que la ecuación (A - X7I ) rf>v = 0 tiene al menos /?7 soluciones linealm ente independientes. A sí pues, por cada valo r característico X7 de A , es posible calcular /i7 soluciones lineal­ m ente independientes de x = A x . Todas esas soluciones tienen la form a x (t) =

ex' ‘

Puede m ostrarse además que el c o nju nto de j -h . . . + obtiene así debe ser linealm ente independiente. ai

nk

=

n

soluciones que se

Ejem plo i Encontrar tres soluciones linealmente independientes de la ecuación dife­ rencial 1 1 0' 0 1 0 .0

So l u c ió n .

0

2.

E l p o lin o m io característico de la m atriz 1 A= 0 0

1 0 1 0

0

2

es (1 - X )2(2 - X). P o r lo ta n to , X = 1 es un va lo r característico de A con m u ltip lic i­ dad dos, y X = 2 es un va lo r característico de A con m ultip licid ad uno. (i) X = 1: Se buscan todos los vectores v, diferentes de cero, tales que 0 (A —I)v = 0 0

1 0 'V 0' 0 0 ” 2 as 0 0 0 1 ü3

Esto im p lica que v2 = v3 = 0 y v, es a rb itra rio . P o r lo tan to , X (0 es una solución de i = A x . D ado que A tiene solamente un vector característico lineal­ mente independiente con va lo r característico 1, se buscan entonces todas las soluciones de la ecuación 0

(A —I) v = 0 0

1 0 0 0 0 1

0 0 0

0 1 0 0 0 v= 0 0 0 1

0 0 0

0 0 1

0 «2 as 0 0 ^3

344

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Esto im plica que v3 = 0 y tanto v, com o v2 son a rb itra rio s. A h o ra bien, el vector 0'

v=

0

satisface (A - I ) 2v = 0, pero (A - I)v ^ 0. (P od ría tom arse igualm ente cualquier vector '« V

V=

v2

0

2 ^ 0.) P o r lo tan to , x 2( /) =

0 '

0

eKl

1

= e ‘e{A- l)l

1 .0 .

.0 .

=

= e'[l + / ( A - I ) ] 0 1 0

+ te'

e‘

1 0 0 0 0 1 0 1 .0

0 0' 1 +/ 0 0 .0

’í' 1 .0.

'1

0 0,

es una segunda solución linealm ente independiente. (ii) X = 2: Se busca un vector v, diferente de cero, tal que -1 1 0 0' o - 1 0 v2 = 0 . 0 0 0 V3. 0. Esto im plica que v 1 = v2 = 0 y v3 es a rb itra rio . P o r lo tan to , (A-2I)v=

0 x 3( /) = e2' 0 .1 es una tercera solución linealm ente independiente. Ejem plo 2 Resolver el problem a de valo r inicial 2 x— 0 ,0

1 2 0

3 - 1 x, 2

S o l u c i ó n . E l p o lin o m io característico de la m atriz '2 A= 0

0

1 2 0

'

1' x (0 ) = 2 1.

3' -1

2.

3.10 • Raíces iguales

345

es (2 - \ ) J. P o r lo tan to , X = 2 es un valor característico de A con m ultiplicidad tres. Los vectores característicos de A satisfacen la ecuación 0 (A — 2I)v = 0

1 3 0 -1

.0

0

o

0' »2 = 0 .0. vy

Esto im p lica que v2 = v3 = 0 y V] es a rb itra rio . P o r lo tanto, x ' ( t ) = e2t es una solución de x = A x . D ado que A tiene sólo un vector característico linealm ente independiente, se bus­ can entonces todas las soluciones de la ecuación 0 (A —21) v = 0

1

3

-1

0

1

0

3

0

0' ü2 = 0 0 0 0 0J 0 0 0J 0 .ü3. .0, Esto im plica que v3 = 0 y ta n to Vj como v2 son arb itrarias. A h o ra bien, el vector

0

0 0 -1 v= 0 0

satisface (A - 2 I ) 2v = 0, pero (A - 2 I)v ^ 0. P o r lo tanto, 0' x 2(/) = eAt 1 .0. =

e2t[ l +

= e 2‘

= e2'e(A- 2I)r

0' 1 .0 .

0 0 r ( A - 2 I ) ] 1 = e2' 1 + / 0 0 0

'r Í0 1 + 1 0 0 0

= e 2t

1 0 0

3 -1 0

t'

i 0.

es una segunda solución de x = A x . D ado que la ecuación (A - 2 I ) _v = 0 tiene solamente dos soluciones linealm ente independientes, se buscan entonces todas las soluciones de la ecuación 0 (A — 21) v = 0 0

1 0 0

3

0 3' -1 v= 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0' ^2 = 0 0. . ü 3.

O bviam ente, cualquier vector es solución de esta ecuación. E l vector v=

'0 ' 0 1

346

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

no satisface (A - 2 I ) 2v = 0. P o r lo tan to , x \ t ) = eAt

r ° l = ^ ( A —21)/ 0 ' 0 0 . 1. . 1.

= e2' I + /(A —2 I ) + y ( A —2 I)2 = e2'

31 rol 0 + 1 -1 0 i

,2 ¿0

■- r 0 0,

= e 2'

3t-\t2

.

-t

1 es una tercera solución linealm ente independiente. P o r consiguiente, \(t) = e2‘ ¿ i

í 11

0 0

3 / - ^/2

' t'

+ c2

1 0

.

+ c3

- 1

1

Las constantes q , c2 y c3 se determ inan a p a rtir de las condiciones iniciales 0 'f ro í 1 2 = c, 0 + C2 i + c3 0 1. .0. .0 1

.

Esto im plica que c, = 1, c2 = 2 y c3 = 1. De m anera que \{t) = e2‘

1+5 t - \ t 2 2 -t

1

Para la m a triz A en el E je m p lo 2 se cum ple que p (X ) = (2 - X)3 y (21 - A )3 = 0. Esto no es accidental. C ualq uier m a triz A satisface su propia ecuación característica. Ese es el contenido del siguiente teorem a: TEOREMA 13. (C a y le y -H a m ilto n ). (—1)" \n el polinom io característico de A. p { \ ) = p j i + p x\ +

Sea p ( X ) = p 0 + p {\ Entonces se cumple

... + ( - 1 )

+ ... +

A " = 0.

D e m o s t r a c ió n e r r ó n e a . A l hacer X = A en la ecuación p (X ) = det (A - X I) se obtiene p (A ) = d e t(A - A I ) = detO = 0. La falacia en esta dem ostración es que no es posible hacer X = A en la expresión det (A — X I), ya que no es posible restar una m atriz de los elementos de la diagonal de A . S in em bargo, hay una m anera m uy inge­ niosa de corregir tal dem ostración. Sea C (X ) la ad ju n ta en el sentido clásico (Sección 3.6) de la m a triz (A - X I). Entonces, (A —AI)C(A) =

p (A)I.

(4)

347

3.10 • Raíces iguales

Los elementos de la m atriz C ( \ ) son polinom ios en X de grado a lo más lo ta n to , es posible escribir C ( \ ) en la fo rm a donde C 0, . •

(n

- 1). P o r

C(A) = C0 + C lA + ... + C „ _ lA', ~ l C^-i son m atrices de n x n. P o r ejem plo, /A+A2 l A2

2A W o í —A / V0 - c

0 \ , /A 1 / lO

2A\ , /A 2 -A / U 2

;

. ¡

m

j

m

0\ Q)

: )■

i

De m odo que la Ecuación (4) puede escribirse en la form a ( A - A I ) [ Q , + C,A + ... + C „ _ | A ' ' - 1 ] =/?0I+ /> ,A I + . . . + ( — I) "A "I.

(5)

Observemos que ambos lados de la ecuación (5) son p olinom ios en X, cuyos coefi­ cientes son m atrices de n x n. D ado que los dos p olinom ios son iguales para cualquier valo r de X , entonces sus coeficientes respectivos deben ser iguales. Pero si los coeficien­ tes de potencias iguales coinciden, entonces es posible sustitu ir X por cualquier valor conservando la igualdad. E n p a rticula r, al tom a r X = A se obtiene

p ( A ) = p 0l + p lA +

+ ( - 1) A " = (A — A I) [ C 0 + C , A + ... + C „_ ,A 'I~ I ] = 0 . ...

□

Ej e r c i c io s E n cada uno de los Problem as del 1 al 4, encuentre la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales dado.

3. x =

4. x =

0 - 1 2 —3 1 1 ¡)x _ 1 __ 1 0 1 0 0 0 0 -2 2 0 0 0

0 2 0 0

1 2 •3

2. x =

1 1 1 — 1 ix 2 4,

0‘ 1 0 2 0 -1 2 -1

E n cada uno de los Problem as del 5 al 8, resuelva el problem a de va lo r inicial dado.

5. x —| - 1 1 l j x , x(0) = | o 7. x :

-4 -4 0\ / 2 6. x « | 10 9 1 x, x(0)» I l -4 -3 1/ 1 -1 8

.x-

3 1 0 0

0 3 0 0

0 0 3 2

0 0 x, x(0) = 0 3

rn i i i

348

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

9. Sea A=

A, 0

0 A2

0

0

=

?Ai' 0

ex*‘

0

0

Demuestre que A'

10. Sea

o 0

A 1 0 A = |0 A 1 0 0 A

Dem uestre que

Sugerencia:

o

Escriba A en la form a

0 0

1 t 0 1

0 1 0 A = AI+1 0 0 1

0 0 0

y observe que

0 1 °\ 0 0 1 ' 0 0 0/

?AI _ e * 'eXp

11. Sea A la m a triz

de n x n

y sea P la m a triz de

n

x

A 0

1 A

0 1

... ...

0 0

Ó .0

0 0

0 0

... 1 ... A .

0 0

1 0

0 1

... 0 ' ... 0

0 0

0 0

0 0

... ...

n

(a) Dem uestre que P " = 0. (b) Pruebe que ( \ I ) P = P ( \ l ) .

1 0

3.10 • Raíces ¡guales

349

(c) Dem uestre que I + /P + 12. Calcule

e At

12p 2 - ir -

2!

.n- i

+ ... + —-------- p n ( « —!)!

si

1 0 0' 2 0 1 0 (a) A : 0 0 2 1 .0 0 0 2 '2 1 0 0' (b) A - 00 02 21 00 s0 0 0 2 '2

13. (a) Pruebe que (b) D ado

eT - ' A T

1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2

'2 (c) A :

T _1 e A T. 1 0 T ~ ’ AT = j 0 2 0 0

con

- 1 - 1 2

T=

calcule e At. 14. Suponga que p (\ ) = det (A - X I) tiene n raíces distintas X, , . . ., X „. Demuestre directam ente que p ( A ) = (—L)"(A - X, I) . .. (A - X „I) = 0 . Sugerencia: Escriba los vectores x en la form a x = jq v 1 + .. . + xn\ n donde v 1, .. ., v " son n vectores característicos de A con valores característicos X), X „, respectivamente, y concluya que p ( A )x = 0 para todo vector. 15. Suponga que A 2 = 16. Sea

aA.

Encuentre

A=

e A[.

^1

(a) Dem uestre que A (A - 51) = 0. (b) Encuentre e \i 17. Sea í

(a) Dem uestre que A “ (b) Pruebe que

•_ { eos / V —sen/

) sen A eos//

350

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

En cada uno de los Problemas del 18 al 20, verifique directamente el Teorem a de CayleyH a m ilto n , para la m atriz de A dada. 1 -1 - l \ 18. A = | 2 1 -1 - 1 - 1 1 /

3 .H

La

/ 2 3 1\ 19. A - 2 3 1 \ 2 3 1/

/-l 0 1 20. A = - 1 3 0 \ 2 4 6

MATRIZ FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES; e AI

Si x'(T), . . x" ( / ) son rencial

n

soluciones linealm ente independientes de la ecuación dife­

x = A x, entonces cualquier solución x(t) puede escribirse en la form a x(/) = + c2x \ t ) + ... + cnxn(t).

(1) (2)

Sea X (0 una m atriz cuyas colum nas son x 1(/), . . . , x n(t). Entonces es posible escri­ b ir la Ecuación (2) en la fo rm a concisa x (/) = X (/)c , donde c= DEFINICION. U na m atriz X (/) se denom ina matriz fundamental de solu­ de (1) si sus colum nas fo rm a n un c o n ju n to de n soluciones linealm ente independientes de (1).

ciones

Ejem plo -i En con tra r la m a triz fundam ental de soluciones del sistema de ecuacio­ nes diferenciales x= So l u c ió n .

Se m ostró en

la

1

4

4'

2 - 1 x. 1 -U

2

Sección

■- 1

-1

3

3.8

que (E je m p lo 1

y

.

(3) 1) - f

1 1. 1. 1. son tres soluciones linealm ente independientes de (3). P o r lo tan to , ,

X(/) =

* 3'

-e'

4e''

2

e3'

2e3'

es una m a triz fundam ental de soluciones de (3).

e 2t

— e -2 1 ,-21

,-2t

351

3.11 • La matriz fundam ental de soluciones;

E n la presente sección se m ostrará que puede calcularse la m atriz e Al directamen­ te a p a rtir de cualquier m a triz fundam ental de soluciones de (1). Esto es sorprendente, ya que no parecería posible sum ar la serie in fin ita [I + A r + (A t )2/2l + . . . ] exac­ tam ente para una m atriz a rb itra ria A . En concreto, se tiene el siguiente teorema. TEOREMA 14. Sea X(t) x = A x . Entonces

una matriz fundam ental de soluciones de la ecua­

ción

eA' = X ( / ) X - '( 0 ) .

(4)

E n otras palabras, el producto de cualquier matriz fundamental de soluciones de (1) y su inversa en t = 0 debe dar e A l.

Se dem ostrará el Teorem a 14 en tres pasos. P rim e ro se dará un crite rio sencillo para determ inar si una función con valores m atriciales es una m atriz fundam ental de solu­ ciones de (1). Después se usará ese c rite rio para m ostrar que e Al es una m atriz funda­ m ental de soluciones de (1). P o r ú ltim o , se establecerá la relación que existe entre cua­ lesquiera dos m atrices fundam entales de soluciones de (1). Lema í. Una matriz X{t) es una matriz fundamental de soluciones de {1) si y sólo si X(t) = A X (/) y det X (0 ) # 0. {La derivada de una función con valo­ res matriciales X{t) es la matriz cuyos elementos son las derivadas de los ele­ mentos correspondientes de X (r).) D e m o s t r a c ió n . Denótese por x l (/), . . . , x n{t) las que X (0 = (x'(0>...,x"(/))

y

n

colum nas de

X(t).

Obsérvese

A X ( 0 = (A x 1( 0 , - - - , A x"(/)).

P o r lo tan to , las n ecuaciones vectoriales x ' ( 0 = A x ’ (0 , • • •, x ” (í) = A x n(t) son equi­ valentes a la ecuación m atric ial X(t) - A X(t). M ás aún, n soluciones x l (/), . . . , x " ( 0 son linealm ente independientes si y sólo si x '(0 ), . . . , x^ O ) son vectores linealmente independientes en R ” . Los vectores, a su vez, son linealm ente independientes si y sólo si detX(O ) ¥= 0. P o r lo tan to , X (r) es una m atriz fundam ental de soluciones de (1) si y sólo si, X(t) = A X ( 0 y detX(O ) # 0. □ LEMA 2. L a función con valores matriciales e Al es una matriz fundamental de soluciones de (1).

=I +

At

+ A2/2/! + ...

D E M O S T R A C IÓ N . E n la Sección 3.10 se m ostró que (d/dt)eAl = A e At. P o r lo tan­ to, eAl es solución de la ecuación diferencial m atricial X (0 = A X{t). M ás aún, su deter­ m inante en t = 0 es igual a 1, ya que e AQ = I. P o r lo tan to , por el Lem a 1, eAt es una m a triz fundam ental de soluciones de (1). □ LEMA 3. Sean X{t) y Y(t) dos matrices fundamentales de soluciones de {1). Entonces, existe una matriz constante C, tal que Y (/) = X(t)C.

352

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

DEMOSTRACIÓN. P o r d e fin ición , las colum nas x l (0, . . . , x " ( 0 de X ( 0 e y* (0, •••> y " ( 0 de Y (/) son conjuntos linealm ente independientes de soluciones de (1). En parti­ cular, por lo tanto, cualquier colum na de Y (/) puede escribirse como com binación lineal de las colum nas de X (0 ; es decir, existen constantes c{, . . . , c Jn tales que

...

yJ(t) = c-¡x¡(í) + c{x2(t) +

+ c 'x "(t ).

(5)

y'= 1,.

Sea C la m a triz (c1, c2, . . ., c ") donde QJ =

Entonces las

n

ecuaciones (5) son equivalentes a la ecuación m atricial

Y(()

=

X(t)C.

□

A h o ra es posible dem ostrar el Teorem a 14. D e m o s t r a c ió n d el T e o r e m a 14. Sea X (r) una m atriz fundam ental de soluciones de (1). Entonces, por los Lemas 2 y 3, existe una m atriz constante C tal que

_ x(oc.

(6)

Tom and o t = 0 en (6) se obtiene I = X (0 )C , lo cual im plica que C = X “ 1(0). Por lo tan to , e Xt = X ( r ) X _ i (0). □ Ejem plo 1 E n con tra r

e Xt

si l A= 0 0

l l 3 2 0 5

So l u c ió n .

E l prim er paso consiste en encontrar 3 soluciones linealm ente indepen­ dientes de la ecuación diferencial l x= 0 0

l l 3 2 x. 0 5

Para tal fin se calcula p {\)

= det(A - X I ) = det

l —A 0 0

l 3- A 0

l 2 = (1 — A ) ( 3 - A ) ( 5 —A). 5 —A

con lo que se encuentra que A tiene tres valores característicos X = 1, X = 3 y X = 5. (i) X = 1: C laram ente,

3.11 • La matriz fundam ental de soluciones; e N

353

es un vector característico de A con valo r característico uno. P o r lo tanto, x'(r) =

e[

es una solución de x = A x . (ii) X = 3: Se busca una solución diferente de cero de la ecuación -2

(A —3I)v =

0 0

1

0 0

1

2 2

■«V

v2

=

. ü 3.

ro l 0

.0 ,

E sto im p lica que v3 = 0 y v2 = V j. P o r lo tan to ,

Es un vector característico de A con valo r característico 3. E n consecuencia, x2(t) = e3'

es una segunda solución de x = A x . (iii) X = 5: Se busca una solución diferente de cero de la ecuación -4 1 1 ■
0' 0 0

v3 = es un vector característico de A con va lo r característico 5. P o r lo tan to , x 3(/) =

e5'

II

><

es una tercera solución de x = A x . Las tres soluciones son en verdad linealm ente inde­ pendientes. P o r lo tanto, V e3' e5‘ 0 2e3t 2e5t 2e5‘ 0 0 es una m atriz fundam ental de soluciones. Usando los métodos de la Sección 3.6, se calcula

354

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

En consecuencia, 1 1 1 0 3 2 0 0 5

exp

t

=

1

-5

0

1

2

0 i 2

0

0

5

* 3'

e 5'

0 0

2e3'

2 e 5‘ 2 e s‘ .

e'

— \ e l + ¿ e 3t

- { e * + {eir

0 0

e 2í

— e Zt + e 5t

0

e5t

0

Ej e r c i c io s Calcule

e Kt

para A igual a

1 -1 -1 1 3 1 -3 1 -1 1 0

4.

2

1

0

-2

3 2 1 7. Encuentre A si ,Kt _

1 1 -1 2 3 -4 4 1 -4

3.

0 2 1 5. | - 1 - 3 - 1 1 1 -1

6.

2 e 2l — e ‘ e 2t - e ‘ { 3 e 2,- 3 e ‘

e 2l- e ‘ 2 e 2' - e 1 3 e2l- 3 e ‘

0 1 0 1 -2 0 1

-1

1 1

e —e e ' - e 2' 3 e , - 2 e 2t

En cada uno de los Problem as del 8 al 11, determ ine si la m a triz dada es una matriz fundam ental de soluciones de x = A x para alguna A . E n caso a firm a tivo , encuentre A. e'

8.

e 2e‘

9. •

10.

p1

e~‘

—e e~‘

e ‘+ 2 e ~ ‘ e‘- 2 e ~ ‘ 2 ( e ‘ + e - ‘)

- 5 eos 2 / -2(cos2/+sen2/) eos 2t 1

/ +1

1 2( r+ 1)

.1

t+2

—5sen2/ 2(cos2r—sen2/) sen 2/

t2+ 1

4 12 3

11. .

3c2*

0

'

e 2'

2e~‘

2e'

2e~‘

e 2'

3e'

e~‘

2 e 3',

e 2‘

12. Sea 4>J(t) la solución del problem a de valo r in ic ia l x = A x , x(0) = que e Al = ( ó 1, 0 2, . . . , <í>n).

e J.

Demuestre

13. Suponga que Y (0 = ‘ X (0 C , donde X (0 y Y (t) son matrices fundam entales de solu­ ciones de x = A x , y C es u n a .m a triz constante. Dem uestre que d e t C # 0.

3.12 • La ecuación no hom ogénea; variación de parámetros

355

14. Sea X(t) una m atriz fundam ental de soluciones de (1), y sea C una m atriz constan­ te con d etC 0. Pruebe que Y (t) = X (/)C es tam bién soluciones de (1). 15. Sea X(t) una m atriz fundam ental de soluciones de x = ción x(t) del problem a de valor inicial x = A x , x(t0) = 16. Sea X(t) una m atriz fundam ental de soluciones X (O X ~ '('o ) = eM ‘~

una m atriz fundam ental de

A x . Demuestre que la solu­ x° es x(t) - X(t)X~l (t0)x°. de x = A x . Pruebe que

17. A continuación se da una demostración ingeniosa de la igualdad e\¡ + ü¡ _ e * ‘evi si A B = B A . (a) Dem uestre que X(t) = eAt + Bt satisface el problem a de valor inicial X = (A + B )X , X (0 ) = I. (b) Dem uestre que e A lB = B e At si A B = B A . ( Sugerencia: A JB = BA-7 si A B = B A .) Se concluye entonces que (d/dt)eA le Bl = (A + B ) e Ate Bt. (c) D el Teorem a 4 de la Sección 3.4 se sigue inm ediatam ente que la solución X(t) del problem a de va lo r inicial X = (A + B )X , X (0 ) = I , es única. Concluya, por lo tan to , que e At + Bt = eAte Bt.

3 .1 2

L a e c u a c i ó n n o h o m o g é n e a ,- v a r i a c i ó n

_______DE PARÁMETROS___________________________ Considérese ahora la ecuación no homogénea x = A x + f(r). Es posible en este caso hacer uso de las soluciones conocidas de la ecuación homogénea x = Ax

O)

para encontrar la solución del problem a de valor inic ial x = A x + f(/),

x ( /0) = x°.

( 2)

Sean x*(0. • • •» « soluciones linealm ente independientes de la ecuación homogé­ nea (1). D ado que la solución general de (1) es q x 1^) + . . . + cnx n(t), es natural entonces buscar soluciones de (2) de la fo rm a

(3)

x(t) = u l (t)x l( t ) + u 2(t)x2(t ) + ... + un(t)xn(t).

Esta ecuación puede escribirse en fo rm a abreviada como

(x1 (0 , • • •, x"(o) y

u(/) =

“ i(0

“ « (0

x(t)

=

X(t)u(t)

donde

X(t) =

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

356

A l sustitu ir esta expresión en la ecuación diferencial x = A x + f (/) se obtiene X(0u(/) +X(0ú(0-AX(í)u(/) +f(0.

(4)

La m atriz X(t) es una m atriz fundam ental de soluciones de (1). P o r lo ta n to , X (/) = A X (/) y la Ecuación (4) se reduce así a X (,) ú (r ) = f(/).

(5)

Recuérdese que las colum nas de X (/) son vectores linealm ente independientes de R " para cualquier tiem po t. P o r lo ta n to , X “ ' ( 0 existe y se cumple ú (/) = X - ‘( 0 f ( 0 .

Integrando esta expresión de

t0

(6)

a / resulta

u( 0 = u('o ) +

f X ~ l(s)((s)d s

= X -,(/0)x°+ f 'x~l(s)í(s)ds. Y como consecuencia x ( 0 = X ( O X ~ V o ) x° + X (/) f ' x - ' ( s ) f(s)d s .

(7)

J 'o

Si X (/) esla m atriz fundam ental de soluciones e At, entonces la ecuación (7) se sim­ p lifica considerablem ente. De hecho, si X(t) = e At, entonces X _ ,(5) = e~As. P o r lo tan to , x (i) = eAte ~ Alox ° + e At

f e ~ Así{s)ds

= eM ‘- to)x°+ f ‘eM l- s)i(s)ds. J ‘o

Ej e m

plo

-i Resolver el problem a de valo r inicial 1 0 X= 2 1 3 2

So l u c ió n .

0 0 0 , -2 x + 1. , e í cos2r.

0 x (0 )= 1 1.

Se encuentra p rim ero e A t, donde 0

-2

A=

1

Para ello se calcula d et(A —A l) = det

1- A 2 3

0 1 —A 2

0 ) — 2 = ( 1 - A ) ( A 2- 2 A + 5). 1 - A.

(8)

357

3.12 • La ecuación no hom ogénea; variación de parám etros

Así que los valores característicos de A son A= 1

A = 2*+- V 4* - 2- 0 = 1 ±2/ .

y

(i) A = 1. Se busca un vector v, diferente de cero, tal que (A —I)v =

0

0

2

0 - 2

3

2

0 ■«V 0' v2 = 0 0 ^3 ^0

Esto im p lica que v, = v3 y v2 = - 3 v j / 2 . P o r lo tanto, 2

-3 2, es un vector característico de A con valor característico 1. E n consecuencia, 2 x ' ( / ) = e' - 3 2 es una solución de la ecuación homogénea x = A x. (ii) X = 1 + 2i: Se busca un vector v, diferente de cero, tal que -2 / 0 0 v2 = 2 -2 / -2 3 2 -2 1 . ü3. Esto im p lica que V] = 0 y v3 = - i v 2. P o r lo tanto, 0 v= 1 —i es un vector característico de A con valo r característico 1 + 2/. [A —(1 + 2 í ) l ] v =

0' 0 .0 .

P o r consiguiente,

0 1 ,(l + 2i)f x(0 = —i es una solución con valores com plejos de x = A x . Además se tiene que 0' 0' °1 1 ^(i + 2 ¡)t _ £ i (cos 2/ + / sen2r) 1 — / 0 .1. 0 0' 0 cos2 / 1 + sen2r 0 1. 0

.

+ ie*

0 0 sen 2 / 1 -c o s 2/ 0 0 .1.

358

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

P o r lo tanto, II r*>X

>x

0 eos 2 1 sen2 1

x2(t) = e'

0 sen2r —cos2 t

son soluciones con valores reales de x = A x. Las soluciones x \ x 2 y x 3 son linealmente independientes, ya que sus valores en / = 0 son en verdad vectores linealm ente inde­ pendientes en R 3. P o r lo tan to , 0 e'sen2 / — e ‘ eos 2t

0 e 'c o s 2 / e'sen2/

2e‘

X (/) =

-3 e ' 2 e‘

es una m atriz fundam ental de soluciones de x = A x . A l calcular x - ' ( 0)=

í

2

-3 2

0 1 0

0] 0 -1

se ve que 0 e 'c o s 2 / e'sen2/

2 e‘ 3 e‘ 2e‘

= e'

-

1

1 2 = 32 .1

0 0 -1 . 0

0 e'sen2/ e 'c o s 2 /

— f + |c o s 2 /+ s e n 2 / 1 + |s e n 2 / —cos2/

0 1 0

0 -1

0 DSÍ cos2r sen2/

0 —sen2r

0

0 sen 25

eos 2 1

P o r consiguiente, ÍO \ ( t ) - e K‘ 1

+

ea /

f

— § + |c o s 2 5 -s e n 2 5 1 — |sen25 — cos25

0 =é?' cos2/ —sen2/ eos 2/ + sen2/

• r + eKt I

0 = e' cos2/ —sen2/ + c o s2 /+ se n 2 /

Jo

eKt

COS 2 5

—sen25 0

sen 25 cos 25 eos22 5

0 (1 — c o s 4 /)/8 í / 2 + (s e n 4 /)/8

ds

eos 25

0 0 es eos 25

ds

3.12 • La ecuación no hom ogénea; variación de parám etros

=

e'

359

0 cos2/ —sen2/ cos2 / + sen2/ /sen2/ cos 2/ — cos4/ cos2/ —sen4/sen2/ '2 8 / eo s 2/ t sen 4/co s2 / —sen 2/co s4 /+ se n2/

-h e 1

c o s 2 / - ( l + |/)s é n 2 / (1 + \ /) cos 2 / + f sen2/ C om o se ve en el E je m p lo 1, el m étodo de variación de parám etros es con frecuen­ cia m uy tedioso y d ifíc il. U na m anera de evitar muchos de estos cálculos es “ conjetu­ ra r” una solución p a rticula r \p{t) de la ecuación no homogénea y observan entonces (E jercicio 9) que cualquier solución x(/) de la ecuación no homogénea debe tener la fo r­ ma ó (/) + ^ (/), donde 0 (/) es una solución de la ecuación homogénea. Ejem plo 2 E n con tra r todas las soluciones de la ecuación diferencial X—

1

2 3

0

1 2

0

1 0 ee c'ci,

--2 x + 1.

. 0.

c¥=

1.

(9)

S o l u c i ó n , sea fl

A= 2 .3 Se “ c o n je tu ra ” una solución p a rticula r dicha expresión en (9) se obtiene c be

0 1

2

1.

\p(t)

— Abe

de la fo rm a \p(t)

+

o bien, ( A - c l)b = E sto im p lica que

0'

—2

1 0 ,0 , - 1 0 0 1

2(c~4)

4 + ( l — c)2 b= -1 1—c 1 -f 3c 4 + ( l — c)2

= b e ct.

Sustituyendo

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

360

Por lo tanto, cualquier solución x(t) de (9) es de la form a

21

-3

' + C2

2

0

eos 2/ sen 2/

' + C3

0

—sen 2/ co s 2

1 2 ( c - 4) 4 + (1 —c )2

1 —c

1+ 3 c 4 + (l —c )2

O b s e r v a c ió n 1 . Si c = 1 se presentan problem as, ya que el número 1 es entonces valor característico de la m atriz

1

2

,3

0

1

2

0'

-2

1,

Mas en general, la ecuación diferencial x = Ax + \ e ct puede no tener soluciones de la forma b e c/ si c es un valor característico de A. En tal caso es necesario conjetu­ rar una solución particular de la form a ^(í) = e"[b 0 + b , í + . . . + b lt_ , í ‘ - 1]

para algún entero apropiado k. (Ejercicios del 10 al 18.)

Ej e r c i c io s En cada uno de los Problem as del 1 al 6, use el m étodo de variación de parámetros para resolver el problem a de valor inicial dado.

1

■ *-(-!

2. x

(!

3

•*-(! ■ *-(-:

- l ) - * (
j '

■ » -(?)

:! ) ■ * ( !) '■ •

—

(!)

:!)■ * (;:,)• * - ( ? ) -™ -o

361

3.12 • La ecuación no hom ogénea; variación de parámetros

6. x = 7.

-1 2

-1

-2 1


3

Considere la ecuación diferencial escalar de orden n C) Sea v(r) la solución de L [y] = 0 que satisface las condiciones iniciales .y(0) = . . . = v("- 2)(0) = 0, y ' ,- ,)(0) = 1. Demuestre que y ( t) = ( ‘v ( t - s ) / ( s ) d s es la solución de (*) que satisface las condiciones iniciales .y(O) = . . . = _y(,l-,)(0) = 0. Sugerencia: Transform e (*) en un sistema de n ecuaciones de pri­ mer orden de la form a x = Ax y demuestre que 0(0

vV)

es la colum na n de e Kt.

8.

Encuentre la solución del problem a de valor inicial + % =sec/tan<,

9.

y ( 0) = / ( 0) = ^ '( 0) = 0.

(a) Sea una solución de la ecuación no homogénea x = Ax + f(0 y se a< £ (0 una solución de la ecuación homogénea x = Ax. Demuestre que <£(/) + \p(t) es una solución de la ecuación no homogénea. (b) Sean \ y ^ 2(0 dos soluciones de la ecuación no homogénea. Demuestre que ^ ( O - fc tt) es una solución de la ecuación homogénea. (c) Sea ip(t) una solución particular de la ecuación no homogénea. Pruebe que cualquier otra solución y(/) debe ser de la form a y (0 = (t) + \¡/(t), donde {t) es una solución de la ecuación homogénea.

En cada uno de los Problem as del 10 al 14, use el m étodo de la conjetura sensata para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial dada.

362

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

15. Considere la ecuación diferencial

x = Ax + vex<

C)

donde v es un vector característico de A con valor característico X. Supóngase ade­ más que A tiene n vectores característicos v 1, v2, . . . , v" linealmente indepen­ dientes con valores característicos distintos X,, . . X„, respectivamente. (a) Demuestre que (*) no tiene soluciones \p(t) de la form a ip(t) = a e x'. Sugeren­ cia: Escriba a = c^v 1 + . . . + an\ n. (b) Demuestre que (*) tiene una solución \p(t) de la form a

Sugerencia: Demuestre que b es un vector característico de A con valor carac­ terístico X y elíjalo de modo que sea posible resolver la ecuación diferencial.

( A - X I) a = b - v . En cada uno de los Problem as del 16 al 18, obtenga una solución particular \p(t) de la ecuación diferencial dada de la form a \p(t) = ex'(a + bt).

3 .1 3

R e s o l u c i ó n d e s is t e m a s m e d ia n t e l a TRANSFORMADA DE LAPLACE

El método de la transform ada de Laplace descrito en el C apítulo 2 puede ser usado también para resolver el problem a de valor inicial x = Ax + f(/). Sean

x(0) = x°.

(O

3.13 • Resolución de sistemas m ediante la transform ada de Laplace /

Jo

Fi (s)

363

e stf x{ t )d t

F (s) r e - ”f H(t)dt Jo Tom ando la transform ada en ambos lados de (1) se obtiene

e{x(0}“ £{Ax(í)+f(f)}=Ae{x(o} +£{f(/)} = AX( j ) + F ( j ), y a partir del Lema 3 de la Sección 2.9, se tiene que s X i ( s ) - x , ( 0)

e { ij(o } e {*(/)} =

s*„ (s) - *„( 0) = sX(s) —x°. Por lo tanto, sX (s)~X ° = AX(s) + F(s) o bien

(si —A)X (s) = x + F(s),

1=

1 0

0 1

0

o

(2) 1

La Ecuación (2) es un sistema de n ecuaciones simultáneas para A'i(s), . . . , X„(s) y puede ser resuelta con diversos métodos. (Una m anera especial es multiplicar ambos lados de (2) por (si - A)-1.) Una vez que se conocen A'i(s), . . . , A^ís) es posible en­ contrar . . . , x„(r) invirtiendo las transform adas.

Ejem plo i

Resolver el problem a de valor inicial

* =(¡

íM

¡h

x(oH i ) -

(3)

S o l u c i ó n . Al tom ar transform adas de Laplace en ambos lados de la ecuación dife­ rencial se obtiene

CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

364

o bien ( i - l ) J f , (r) —4 X 2 ( s )

= 2 +

”

7y

—

jr .w + ^ - o ^ w - i + jT -. La solución de estas ecuaciones es í|(t)

í- 3 + ^ i r

X ¡(s)

s - 3 + (s -l)(s + l)(s-Í)

Ahora bien,

s ■—jj3 = £ { 2e3'} ,

y

- í L Y = e { s e n h r} = e |

Por lo tanto,

Para invertir A^Cs), puede recurrirse a fracciones parciales. Hágase s _ A _j_ B + C ( s - 1)(j + 1 ) ( í - 3 ) s - 1 s+ 1 j - 3 ' Esto implica que

>1 ( 5 + 1)(í —3) + B(s—1)(j —3) + C(s—1)(^+ 1) = j. Haciendo s = 1, -1 y 3, respectivamente, en (4) se obtiene A = j . Por consiguiente,

1

2{ ) 1

=

8

4 s-\

e

8 j+ 1

8

(4) B - - \ , C=

s-3 J

e - —11e 3t 8

1 , 4.

4

Ej e r c i c i o s Halle la solución de cada uno de los siguientes problem as de valor inicial. ‘•* =( - 2

Í ) Xl X(0)” ( ? J

2.x=(> :])x, x(0) = (>) - l ) X+ {3e‘}

X(O,“ ( 0

4- * = ( i

! ) * + ( _ ? )» '•

* « » -(o )

*•*-(?

: t ) x + (l)^ '-

x( 0H ¡ )

3 ‘

H l

3.13 • Resolución de sistemas m ediante la transform ada de Laplace

6.

x=

(í

= 2 M r ,) ’ ^ - U )

7. x =

(4

8.

( .?

x=

9. x = 10. x

11.

(í

x(o>=(¡) -<»-«) -> )” ( « ,'.) ) ■

m

-(i

x —I

12. x =

1 1

'» - ( ? ) -3

2

-1

2 0

0

- i i )

2

0 0

2 )x,

1

4,

x(0) : x(0) :

0

3

x(0) = | o

í J x + |o j e ',

13. x =

o\ 0 1 -2

x+ / 00

14. x =

2

15. x =

0 0 0' 1 3 0 0 x, 0 0 3 0 0 0 2 3

3

3

2

1/

x(0) = I

\e'c o s2 / x(0) =

1 1 1 1

0 1

365

4 Teoría cualitativa

de las ecuaciones diferenciales

4 .1

In t r o d u c c i ó n

En este capítulo se analiza la ecuación diferencial x = f(/,x )

( 1)

donde * i (0 x=

*„( o

es una función no lineal de x x, . . x„. D esafortunadam ente no se conocen métodos para resolver la ecuación ( 1). Por supuesto, que eso desconcierta m ucho. Sin embargo, en la m ayoría de las aplicaciones no es necesario encontrar explícitamente las solucio­ nes de (1). Por ejemplo, denótese por x¡(/) y x 2(í) las poblaciones en el tiempo / de dos especies que compiten entre sí por el alimento y el espacio vital limitados en su micro­ 367

368

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

cosmos. Supóngase además que las tasas de crecimiento de X\(t) y x 2(t) están gober­ nadas por la ecuación diferencial (1). En tal caso, no interesan los valores de X|(0 y x 2(t) en todo tiem po t. Más bien, son de interés las propiedades cualitativas que pre­ sentan X\(t) y x 2(t). C oncretam ente, se desea contestar las preguntas siguientes: 1. ¿Hay valores £i y £2 Para I°s cuales ambas especies coexisten en un régimen per­ manente? Es decir, ¿existen núm eros £i y £2 tales Que X\U) = £i> *2(0 = £2 son una solución de (1)? Si tales valores existen se les llama puntos de equilibrio de ( 1). 2. Supóngase que las dos especies coexisten en equilibrio. Repentinamente, se agre­ gan algunos miembros de la prim era especie al microcosmos. ¿Permanecerán jc,(0 y x 2(t) cerca de los valores de equilibrio para todo tiem po futuro? Es posible tal vez que los miembros adicionales de la especie 1 le den a la misma una gran ventaja y pueda entonces elim inar a la segunda. 3. Supóngase que X\ y x 2 tienen valores arbitrarios en t = 0. ¿Qué ocurre cuando t tiende a infinito? T riunfará una de las dos especies, o term inará la lucha en un empate? Más generalm ente, interesa determ inar las siguientes propiedades de las soluciones de ( 1). 1. ¿Existen valores de equilibrio

para los cuales x(/) = x° es una solución de ( 1)? 2. Sea 0 (/) una solución de (1). Supóngase que \p(t) es una segunda solución con 0 (0) muy cerca de 0 (0); es decir, 0y(O) está muy cerca de 0y(O), siendo j = 1 , . . . , n. ¿Permanecerá 0 (0 cercano a 0 ( 0 para todo tiempo futuro, o divergerá 0 (0 de 0(0 al tender t a infinito? Esta pregunta se conoce como problem a de estabilidad. Es el pro­ blema más fundam ental en la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales y ha ocu­ pado la atención de muchos m atem áticos en los últimos cien años. 3. ¿Qué ocurre con las soluciones x (0 de (1) cuando t tiende a infinito? ¿Tienden todas las soluciones a valores de equilibrio? Si no tienden a valores de equilibrio, ¿se aproxim arán al menos a una solución periódica? El presente capítulo está dedicado a responder estas tres preguntas. Es sorprenden­ te que con frecuencia pueden darse respuestas satisfactorias a tales preguntas a pesar de no poder resolver explícitamente la ecuación (1). De hecho, la primera pregunta pue­ de responderse de inm ediato. Obsérvese \ {t) es igual a cero si x (0 = x°. Por lo tanto, x° es un valor de equilibrio de ( 1) si y sólo si f(/,x°) = 0.

Ejem plo

renciales

1

( 2)

E ncontrar todos los valores de equilibrio del sistema de ecuaciones dife­ dx,

dx1

-dr = [ - x »

-rfT = J t ? + x ’-

4.1 • Introducción

369

SOLUCIÓN.

es un valor de equilibrio si y sólo si 1 - x 2 = 0 y (x ?)3 + x 2 = 0. Esto implica que

^ j ^ es el único

x 2 = 1 y x^ = —1. Por lo tanto,

Ejem plo

2

valor de equilibrio del sistema.

H allar todas las soluciones de equilibrio del sistema ^ = ( * - 1) 0 -

1),

! - ( * + I ) ( > + l).

So l u c ió n .

r a es un valor de equilibrio del sistema si y sólo si

(*o ” 0(y<> “ 0 = 0 y (*o + 0(^o + 1) = 0.

La prim era ecuación se satisface si x0, o bien y0, es igual a 1, mientras que la segunda ecuación se satisface si at0, o bien y Q, es igual a - 1 . Por lo tanto, x = 1, y = -1 y x = - 1 , y = 1 son las soluciones de equilibrio del sistema. La cuestión de la estabilidad es de im portancia prim ordial en todas las aplicaciones físicas, ya que nunca pueden medirse las condiciones iniciales con precisión. Considé­ rese, por ejem plo, el caso de una partícula cuya m asa es 1 kg sujeta a un resorte elástico cuya constante de elasticidad es 1 N /m y que se mueve en un medio sin fricción. Ade­ más actúa una fuerza externa F (t) = cos 21 sobre la partícula. Denótese por y(t) la posición de la partícula en relación con su posición de equilibrio. Entonces (d 2y / d t 2) + y = c o s 2/. Haciendo x x = y, x 2 = y se transform a esta ecuación de segundo orden en un sistema de dos ecuaciones de primer orden. De m anera que dx j ~dí

dx2

= x.

~di

= —x x+ co s 2f.

(3)

Las funciones = sen t y y 2(0 = cos t son dos soluciones linealmente independien­ tes de la ecuación hom ogénea y ” + y = 0. Más aún, y = - ló e o s 2t es una solución particular de la ecuación no homogénea. Por lo tanto, cualquier solución * (0 -

* i (0 *

2(0

de (3) es de la form a *

« t) Veos

—j C o s 2 /

\ —sen t ) c o s i )

§sen 2/

(*)

En el instante t = 0 se mide la posición y la velocidad de la partícula y se obtiene

370

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

y(0) = 1, v'(0) = 0. Esto implica que c¡ = 0 y c2 = | . Por consiguiente, la posición y la velocidad de la partícula para cualquier instante después están dadas por la ecuación I c o s /1—|c o s 2r

(5)

—|s e n / + |s e n 2/

Sin em bargo, supóngase que las mediciones permiten un error de m agnitud 1 0 '4. ¿Permanecerán la posición y la velocidad de la partícula cerca de los valores predichos por (5)? La respuesta a esta pregunta tiene que ser que sí, pues de lo contrario la mecá­ nica new toniana no tendría valor práctico. A fortunadam ente puede dem ostrarse fácil­ mente, en este caso, que la posición y la velocidad de la partícula permanecen muy cer­ ca de los valores predichos por (5). Denótense por y ( 0 y y'{t) los valores reales de y(/) y y'(t), respectivamente. En verdad se cumple que

y(l)~y

(0 = ( ! ~ c2) cos/ —cjSen/

/ ( O - ¿ ' ( O “ “ c i e o s /- ( | - c 2)sen/ donde c¡ y c 2 son dos constantes que satisfacen — 10~4 < c, < 10-4 ,

| —10_ 4 < c2 < | + 10-4 .

Estas ecuaciones pueden escribirse en la forma ( 0 = [ c? + ( í ~ c 2)21

/(

0 - / ( 0 a8

c? + ( j ~ c 2)

1/2

c o s ( r - Ó ,) ,

tan 6,=

c o s ( / - 5 2),

ta n 62=

Cn

Por lo tanto, y(t) - y (t) e y'(() - y'(t) están acotadas en valor absoluto por [c? + ( f ~ c2)2] Vl. Esta cantidad es a lo sumo V2 10-4. Por lo tanto, los valores rea­ les de y(t) y y'(t) están realm ente cerca de los valores predichos por la ecuación (5). Como un segundo ejemplo del concepto de estabilidad, considérese el caso de una partícula de masa m que está sujeta al extremo de un alam bre o cuerda inelástica de longitud longitud / y masa despreciable. La cuerda no se flexiona y el sistema vibra libre­ mente en un plano vertical. Esta configuración se llam a usualm ente péndulo simple. La ecuación de movimiento del péndulo es

^

dt2

+ |s e n y = 1

0

donde y es el ángulo que la cuerda forma con la vertical A0 (Fig. 1). Si .v, = y y .v2 = dy/dt, se encuentra que

371

4.1 • Introducción

Fig u r a i .

#o

El sistema de ecuaciones (6) tiene soluciones de equilibrio x { = 0, x 2 = 0 y x, = 7r, x 2 = 0. (Si el péndulo es colocado en posición vertical, y = 7r, con velocidad cero, entonces permanecerá en esa posición para todo instante posterior.) Las dos solu­ ciones de equilibrio tienen propiedades muy diferentes. Si se desvía ligeramente el pén­ dulo de la posición de equilibrio x j = 0, x 2 = 0 impartiéndole una pequeña velocidad o desplazándolo un poco, entonces presentará pequeñas oscilaciones alrededor de x¡ = 0. Por otro lado, si se perturba ligeramente el péndulo desde su posición de equilibrio x¡ = 7T, x 2 = 0, entonces presentará oscilaciones muy amplias alrededor de x\ = 0, o bien girará sin interrupción. Así pues, la más pequeña perturbación provoca en el pén­ dulo una desviación notable desde su posición de equilibrio x¡ = ir, x 2 = 0. Intuitiva­ mente se diría que el valor de equilibrio a -! = 0, a:2 = 0 de (6) es estable, mientras que el valor de equilibrio x { = ir, x 2 = 0 de (6) es inestable. Este concepto se precisará en la Sección 4.2. Por lo regular es muy difícil resolver el problem a de la estabilidad ya que no se puede resolver (1) en forma explícita. El único caso posible de analizar es cuando f(r, x) no depende explícitamente de t\ es decir, cuando f es función solam ente de x. Las ecua­ ciones diferenciales que tienen dicha propiedad se denom inan autónomas. Aun en el caso de ecuaciones diferenciales autónom as hay, en general, sólo dos casos en los que puede resolverse com pletam ente el problem a de la estabilidad. El primero es cuando f(x) = Ax y se tratará en la siguiente sección. El segundo es cuando se tiene interés sólo en la estabilidad de la solución de equilibrio de x = f(x). Este caso se tratará en la Sección 4.3. La cuestión 3 es muy im portante en muchas aplicaciones, ya que una respuesta a la misma es una predicción acerca del com portam iento a largo plazo del sistema en estu­ dio. En los casos que es posible, se da respuesta a esta cuestión en las Secciones 4.6 a 4.8, y se aplican los resultados a casos concretos muy im portantes en las Secciones 4.9 a 4.12.

Ej e r c i c io s En cada uno de los Problem as del 1 al 8, determine todos los valores de equilibrio de los sistemas de ecuaciones diferenciales dados.

1.

= x —x 2- 2 x y í t L = 2 y - 2 y 2- 3 x y

2- ^ - - - P x y + p

dy

-¡¡

R

= Pxy ~ yy

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

372 3.

4. ^

^ jr= a x -b x y dy ^ , = - c y + dxy dt

-

dx

dy -rdt

mj dX

2

e.

dx

~dt=

'

x

o

dx d t

8. ~ r = x - y i

- j - = x 2 + y ( e * — 1) dt ’ dz

-

2

'

^ - = x* -y dt dz —r dt

- p = x + sinz dt

9.

y

= sin x — 1,

dy -7 dt

= x sin w |

2

~T = l - z + x 2 dt

x

7. ~ r — — \ —y — e dt

dy T r ~ y ~ yX

= z + x 2+ y 2 7

s - d F mxy

= - x —x y 2

Considere el sistema de ecuaciones diferenciales dx * ~ d t = a x + by,

dy - j ¡ = c x + dy.

(*)

(i) Demuestre que a: = 0, y - 0 es el único punto de equilibrio de ( * ) si ad - be í 0. (ii) Demuestre que (*) tiene una recta de puntos de equilibrio si ad — be = 0. 10.

Sean x = x(/), y =

y (t)

soluciones del problem a de valor inicial

!¡¡ = ~ x - y '

T , = l x ~y '

•‘ ( ° ) = >'(0) = 1-

Suponga que se comete un error de m agnitud 10~4 al medir x(0) y .y(O). ¿Cuál es el máximo error que se comete al calcular x(t), y ( t ) para 0 < t < 00? 11.

(a) Verifique que

1

x=|

0 \e~ ‘

es la solución del problem a de valor inicial x=

(b)

/

1

2

\ —3

1

1

2

l \

-1

4/

x-

I

2 \

2

k ',

\ -3 /

x(0 )=

l

l \

0

\0 /

•

Sea x = la solución de la anterior ecuación diferencial que satisface la condición inicial x(0 ) = xo?fc| o |.

\0 /

Demuestre que todas las com ponentes de \p(t) tienden a infinito, en valor abso­ luto, cuando t -*

4.2 • Estabilidad de sistemas lineales

4 .2

E s t a b ilid a d

373

de sistem a s lin ea les

En esta sección se estudia el problema de estabilidad para soluciones de ecuaciones dife­ renciales autónom as. Sea x = 0 (0 una solución de la ecuación diferencial

i=f(x).

(1)

Interesa determ inar si 0 ( 0 esestable o inestable. Esdecir, si cualquier solución 0 (0 de ( 1) que empieza suficientemente cerca de 0(0 en t = 0permanece cercana a 0(0 para todo instante posterior t > 0. Se iniciará con la siguiente definición formal de esta­ bilidad.

D efin ició n . La solución x = 0 (0 0(0 de ( 1) que empieza suficientemente

de (1) es estable si cualquier solución cerca de 0(0 en t = 0 permanece cer­ cana de 0 ( 0 para todo instante posterior t. La solución 0 (0 es inestable si hay al menos una solución 0(0 de ( 1) que empiece cerca de 0(0 en / = 0, pero no perm anezca cerca de 0 ( 0 para todo instante después. Dicho con más precisión, la solución 0(0 es estable si para toda e > 0 existe 5 = 5(e) tal que l ^ ( O - 0y( O I < e para to d a solución

0(0

si

| 0y(0) —0y( 0)| <

6 (e),

de ( 1).

El problem a de la estabilidad puede resolverse por completo para todas las solucio­ nes de la ecuación diferencial lineal x = Ax.

(2)

Esto no es sorprendente, por supuesto, ya que puede resolverse la ecuación (2) exac­ tam ente. Se tiene el siguiente teorem a de im portancia.

Teorem a 1 . (a) Toda solución x = 0 ( 0 de (2) es estable si todos los valo­ res característicos de A tienen parte real negativa. (b) Toda solución x = 0 ( 0 de (2) es inestable si al menos un valor característi­ co de A tiene parte real positiva. (c) Supóngase que todos los valores característicos de A tienen parte real < 0 y X, = / a , , . . . , X/ = ia¡ tienen parte real igual a cero. Supóngase además que \y = ioj tiene multiplicidad kj. Eso significa que el polinomio característico de A se puede factorizar com o p

(X) = (X- ia ,)*'1... (X- ia¡)k'q (X)

donde todas las raíces de q { \ ) tienen parte real negativa. Entonces toda solu­ ción x = 0 ( 0 de (1) es estable si A tiene kj vectores característicos, linealmen­ te independientes para cada valor característico \ j = ioj. De, otro modo, todas las soluciones 0 (0 son inestables. El prim er paso para dem ostrar el Teorem a 1 es m ostrar que toda solución 0 (0 es estable si la solución de equilibrio x (0 - 0 lo es, y que toda solución 0(0 es inestable

374

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

si x(T) = 0 es tam bién inestable. P ara ello, sea 0(í) cualquier solución de (2). Obsérvese que z (t) = 0 ( 0 - 0(0 es nuevamente una solución de (2). Por lo tanto, si la solución de equilibrio x (0 = 0 es estable, entonces z (0 = 0(0 - 0(0 será pequeña si z( 0) = 0(0) - 0(0) es suficientemente pequeña. De modo que toda solución 0 ( 0 de (2) es esta­ ble. Por otro lado, supóngase que x (0 = 0 es inestable. Entonces existe una solución x = h (0 que es inicialmente muy pequeña pero se vuelve muy grande cuando t tiende a infinito. La función 0(0 = 0 ( 0 + h(0 es claram ente una solución de (2). Más aún, 0(0 está inicialmente muy cerca de 0(0 pero diverge de 0(0 cuando / se incrementa. Por lo tanto, toda solución x = 0 ( 0 de (2) es inestable. El siguiente paso en la dem ostración del Teorem a 1 es reducir el problem a de hacer ver que son pequeñas n cantidades 0/( 0 »./ = 1 » . . n, a\ problem a m ucho más senci­ llo de m ostrar únicamente que una cantidad es pequeña. Tal cosa se logra introducien­ do el concepto de magnitud (o longitud) de un vector.

DEFINICIÓN.

Sea

un vector con n com ponentes. Los números x x, . . . , x„ pueden ser reales o complejos. Se define la magnitud de x, y se denota por ||x|| como ;máx{ | jc,|, | jc2|, ..., | jc„| }. Por ejem plo, si

1

x=

2

-3 entonces

x

3 y si x=

1+ 2/ 2

-1

entonces ||x || = 05. El concepto de m agnitud de un vector corresponde al concepto de magni­ tud (o longitud) de un núm ero. Obsérvese que ||x || > 0 para cualquier vector x y || x || = 0 solamente si x = 0. Obsérvese tam bién que ||Ax|| = máx{|Ax, |, . .. , \\x„\] = |A|máx{ |x ,|.......\x„\} = |A|||x||. Obsérvese por último que l|x + y ||= m á x { |x 1 + > ' 1|, . . . , |x /,+ > 'J} < m á x { |x !| + |> > ,|,...,|* J + \y n\] < m á x { |x 1|,...,|* J } + m á x { |> ',|,...,|> '/,|} = ||x|| + ||y||. Así pues, la definición realm ente coincide con el concepto de m agnitud (o lon­ gitud).

4.2 • Estabilidad de sistemas lineales

375

En la Sección 4.7 se da una dem ostración geométrica sencilla del Teorema 1 para el caso n - 2. La siguiente dem ostración es válida para cualesquiera n . D e m o s t r a c ió n d e l T e o r e m a 1 . (a) Toda solución x = de x = a x es de ia form a \¡/(t) = e Al\}/(0). Sea ,y(0 el elemento ij de la matriz e Aí, y sean i^ , . . . , \p°„ las com ponentes de \p(0). Entonces la componente i de \p(t) es V/(( 0 ==<#>/i ( 0 ^ ? + •••

2

j~ l

h ji* M°-

Supóngase que todos los valores característicos de A tienen parte real negativa. Sea - a l la m ayor de las partes reales de los valores característicos de A. Es posible mos­ trar fácilmente (Ejercicio 17) que para cualquier número - a , con - a x < - a < 0, puede encontrarse un núm ero K tal que | ó,;(0l ^ Ke~at, r > 0. De modo que l+,( 0 l <

2

y -i

K e - ° ‘\4,°\ = K e ~ ° ' t |^°| y -i

para un par de constantes positivas K y a. A hora bien, \\¡/j\ < || \p(0) | | . Por lo tanto,

|^ (O l|-m áX{|^l ( O I , . . . , | ^ ( O l } < ^ “a,ll^(0)t|. Sea e < 0 dada. Elíjase ó(£) = e/nK . Entonces, 11^(0 II < e si ||vH0)|| < ¿(e) y / > 0, ya que W ( t ) \ \ < nKe - alW ( 0 ) \ \ < n K e / n K = e. P or lo tan to , la solución de equilibrio \{t) = 0 es estable. (b) Sea X un valor característico de A con parte real positiva y sea v un vector carac­ terístico de A con valor característico X. Entonces \p(t) = ceXt\ es una solución de x = Ax para cualquier constante c. Si X es real, entonces v también lo es y ||«A(0ll = | c | e X/| | v ||. Claram ente ||\H /)|| tiende a infinito cuando t tiende a infinito, para cual­ quier elección de c # 0, sin im portar cuán pequeña sea. Por lo tanto, x(t) = 0 es inesta­ ble. Si X = a + /¡3 es com plejo, entonces v = v1 + /v2 tam bién lo es. En tal caso e(a +ip)t(yi + /y2^ —e <*‘ (eos fit + i sen = e [ (v 1eos

+ /v2)

—^sen/? /) + / (v 1sen (Sí + v2eos fit) J

es una solución con valores complejos de (2). Por lo tanto, \^l (í) = ceat (v'cos/fr —^sen/fr) es una solución con valores reales de (2), para cualquier elección de la constante c. Se tiene que || \J/X(/) || no está acotado cuando t tiende a infinito si c y alguno de los vecto­ res v* o v2 es diferente de cero. Así pues, x(/) = 0 es inestable. (c) Si A tiene kj vectores característicos linealmente independientes para cada valor característico Xy = /oy de m ultiplicidad kJy entonces puede encontrarse una constante K tal que |(e Aí)//| ^ K (Ejercicio 18). En tal caso ||iA(0ll ^ w /l||^(0 )|| para toda solu­ ción ^(O.de (2). De la dem ostración de (a) se sigue entonces inm ediatam ente que x(/) = 0 es estable.

376

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Por otro lado, si A tiene menos de kj vectores característicos linealmente indepen­ dientes con valor característico Ay = ioj, entonces x = Ax tiene soluciones ^ ( 0 de la forma \p(/) = c e [ v + / (A — i o f iy ] donde (A - /ayl)v + 0. Si oy = 0, entonces t£(0 = c(v + /Av) tom a valores reales. Más aún, ||^ ( /) || no está acotada cuando / tiende a infinito, para cualquier elección de c ¥=0. En form a similar, tanto la parte real com o la imaginaria de \¡/(t) no están aco­ tadas en m agnitud para ^(0) + 0 arbitrariam ente pequeño, si oy ¥= 0. Por lo tanto, la solución de equilibrio x(/) = 0 es inestable. Si todos los valores característicos de A tienen parte real negativa, entonces toda solución x(/) de x = Ax tiende a cero cuando / tiende a infinito. Esto se sigue inmedia­ tam ente de la estim ación || x(/) || < Ke~al || x(0) ¡|, la cual se obtuvo en la demostración de la parte (a) del Teorem a 1. Así pues, no sólo es estable la solución de equilibrio x(/) = 0, sino que toda solución ip(t) de (2) tiende a ella cuando / tiende a infinito. Este tipo de estabilidad tan fuerte se conoce como estabilidad asintótica.

D e fin ició n . Una solución x = <£(/) de (1) es asintóticam ente estable si es estable y si toda solución \p(t) que empieza suficientemente cerca de 0 (/) tiende a 0 (/) cuando / tiende a infinito. En particular, una solución de equilibrio x(/) = x° de ( 1) es asintóticamente estable si toda solución x = ^(/) de ( 1) que empieza suficientemente cerca de x° en el instante / = 0 no sólo permanece cercana a x° para todo instante posterior, sino que tiende a x° cuando / tiende a infinito. O b s e r v a c ió n . La estabilidad asintótica de cualquier solución x = ó (/) de (2) es cla­ ramente equivalente a la estabilidad asintótica de la solución de equilibrio x(/) = 0.

Ejem plo 1

Determ inar si cada una de las soluciones x(/) de la ecuación diferencial x=

-1 -2 -3

0 -1 -2

0 2 -1

X

es estable, asintóticam ente estable o inestable. S o lu c ió n . El polinomio característico de la m atriz A=

-1

-2

. -3

XI) ==det

0

-1

-2

-1 -X -2 -3

0 2 -1 . 0

—1 - X

-2

0 2 -1 -

= - ( 1 + á ) 3- 4 ( 1 + á ) = - ( 1 + X ) ( á 2+ 2X + 5). Por lo tanto, A = - l y X = - l ± 2 / ‘ son los valores característicos de A. Dado que los tres valores característicos tienen parte real negativa, se concluye que toda solu­ ción de la ecuación diferencial x = Ax es asintóticam ente estable.

377

4.2 • Estabilidad de sistemas lineales

EJEMPLO 2

Dem ostrar que toda solución de la ecuación diferencial

H s

i) x

es inestable SOLUCIÓN. El polinomio característico de la m atriz

*-(!;) es /,(X) = d e t(A -A I) = d e t ( 1- X

,£J

=

(1 - \ f - 2

5.

P or lo tanto, X = 6 y X = - 4 son los valores característicos de A. Dado que un valor característico de A es positivo, se concluye que toda solución x = 0 ( O d e x = Ax es inestable.

EJEMPLO 3

Dem ostrar que toda solución de la ecuación diferencial

* =(°

~l>

es estable pero no asintóticam ente estable. SOLUCIÓN. El polinom io característico de la m atriz

*-(?

~i)

es ~ ^ ) = X 2+ 6.

p (X) = det(A —XI) = det^

Así pues, los valores característicos de A son X = ±Vóz. Por lo tanto, por la parte (c) del Teorem a 1, se tiene que toda solución x = 0 ( 0 de x = Ax es estable. Sin embar­ go, ninguna solución es asintóticam ente estable. Esto se sigue inmediatam ente del hecho de que la solución general de x = Ax es x (í) = C, ( - V 6 sen V 6 í L

2 c o s ''/ 6 / /

\

c / V 6 eos V 6 í \

2senV7>/

Por lo tan to, toda solución x (0 es periódica, con periodo 27r/Vó, y ninguna solu­ ción x (0 (excepto x (0 = 0) tiende a 0 cuando t tiende a infinito.

EJEMPLO 4

D em ostrar que toda solución de la ecuación diferencial x=

es inestable

2 - 3 0 -6 6 0

0 -2 -3

378

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

S o lu c ió n . El polinom io característico de la m atriz A= es

0

-2

0

-3

0

-3 -<

-2

1 1

1—A 0 -6

-3

-6

\o

p (A) = det( A —AI) = det

2 0 -6

0

—3 - A

= —A2(A + 7).

Por lo tanto, los valores característicos de A son X = - 7 y X = 0. Cualquier vec­ tor característico v de A con valor característico 0 debe satisfacer la ecuación Av =

2 0 -6

-3

-6 0

«2

=

. ü 3.

0' 0 0.

Lo anterior implica que t;, = 3ü2/2 y u 3 = —3t>2, de modo que cualquier vector característico v de A con valor característico 0 debe ser de la form a v= c Por consiguiente, toda solución x = 0 (T) de x = Ax es inestable, ya que X = 0 es un valor característico de m ultiplicidad 2, y A tiene solamente un vector característi­ co linealmente independiente con valor característico 0.

Ej e r c i c io s Determine la estabilidad o inestabilidad de todas las soluciones de los siguientes siste­ mas de ecuaciones diferenciales.

2

0 7. x —| - 1

-3

0 9. x — - 2 0 0

2 0 0 0

1

1

\\ —

1r - i/

0 0 0 -2

0 0 x 2 0

8.

( -2 x=| -3 l 1

10. x =

0 -2 0 0

1

2

-1 2 0 0 0

— 1 0 0 -2

4.2 • Estabilidad de sistemas lineales

379

11. Determ ine si las soluciones x (0 = 0 y x ( t) = 1 de la ecuación escalar x = x(l - x) son estables o inestables. 12. Determine si las soluciones x(t) = 0 y x(t) = 1 de la ecuación escalar x = -x (l - x) son estables o inestables. 13. Considere la ecuación diferencial x = x2. Demuestre que todas las soluciones x(t) con x ( 0) > 0 son inestables, mientras que todas las soluciones x(/) con x( 0) < 0 son asintóticam ente estables. 14. Considere el sistema de ecuaciones diferenciales C) (a) Demuestre que csen(cf + d) c 2cos(cf + d)

es una solución de (*) para cualquier elección de constantes c y d. (b) Suponga que una solución x(/) de (*) está determ inada de manera única una vez que se prescriben Xi(0) y x 2(0). Pruebe que (a) representa la solución gene­ ral de (*). (c) Demuestre que la solución x = 0 de (*) es estable pero no asintóticamente estable. (d) Demuestre que toda solución x(/) # 0 de (*) es inestable. 15. Pruebe que la estabilidad de cualquier solución x(t) de la ecuación no homogénea x = Ax + f(/) es equivalente a la estabilidad de la solución de equilibrio x = 0 de la ecuación hom ogénea x = Ax. 16. Determ ine la estabilidad o inestabilidad de todas las soluciones x(/) de la ecuación diferencial

17. (a) Sea f ( t ) = t ae~bí, para constantes positivas a y b, y sea c un número positivo m enor que b. Demuestre que es posible encontrar una constante positiva K tal que |/(/)¡ < Ke~ct, 0 < t < °°. Sugerencia: Demuestre que f{t)/e~ct tien­ de a cero cuando t tiende a infinito. (b) Suponga que todos los valores característicos de A tienen parte real negativa. Pruebe que pueden encontrarse constantes positivas K y a tales que |( e A/)y| < Ke~at para 1 < i , j < n. Indicación: C ada una de las componen­ tes de e At es una com binación lineal finita de funciones de la form a q(t)eXt, donde q{t) es un polinom io en t (de grado < n - 1) y X es un valor característi­ co de A. 18. (a) Sea x(/) = e wts , a real, una solución con valores complejos de x = Ax. Demuestre que tanto la parte real como la parte imaginaria de x(/) son solu­ ciones acotadas de x = Ax. (b) Suponga que todos los valores característicos de A tienen parte real < 0 y que Xi = i
380

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES tiene multiplicidad kj y que A tiene kj vectores característicos linealmente inde­ pendientes, para cada valor característico \ y, j = 1, . . . , / . Demuestre que es posible encontrar una constante K tal que j(eA% | S K.

19.

Sea

x= y defínase ||;c||i = |* i| |x „ |. Pruebe que (i) || x || ! < 0 y || x || i = 0 sólo si x = 0 (ii) ||X x ||, = | \ | ||x ||, (iii) || x + y ||, < || x || i + || y || ,. 20.

Sea

x= y defínase ||x ||2 = [|-Xi|2 + . . . + \xn\2]t/2. Demuestre que (i) || x || 2 ^ 0 y || x || 2 = (ii) II Xx II 2 = |X| II x II 2

21.

0 sólo

si x =

0

(üi) IIx + yIh ^ IIXII2 + ||y||2-

M uestre que existen constantes M y N tales que A / | | x | | i < | | x || 2 < A | | x | | 1.

4 .3

E s t a b il id a d d e l a s s o l u c i o n e s d e e q u il ib r io

En la Sección 4.2 se analizó la sencilla ecuación x = Ax. La siguiente ecuación en nivel de sencillez es

( 1)

x = Ax + g(x) donde

8i(*) g(x) = ^ ( x) es muy pequeño com parando con x. C oncretam ente se supone que

gi(x)

&,(*)

m á x { |x ,|,...,|x „ |}

m á x { |x ,|,...,|x j}

son funciones continuas de x x, . . . , x n que se anulan para x { = ..

= x„

0. Tal

4.3 • Estabilidad de las soluciones de equilibrio

381

cosa siempre ocurre si cada una de las componentes de g(x) es un polinomio en x x, . . . , x n que empieza con térm inos de orden 2 o superior. Por ejemplo, si

entonces tanto x ^ l / m á x ^ X i | , |x 2|} y x lx 2/ m á x { \ x [ | , |x 2|} son funciones continuas de x x = x 2 que se anulan para x x = x 2 = 0. Si g(0) = 0 entonces x(/) = 0 es una solución de equilibrio de ( 1). Sería deseable determ inar si es estable o inestable. A prim era vista parecería imposible el hacerlo, ya que no puede resolverse explícitamente la ecuación (1). Sin em bargo, si x es muy peque­ ña, entonces g(x) es muy pequeña com parada con Ax. Por consiguiente, parece plausi­ ble que la estabilidad de la solución de equilibrio x(t) = 0 de ( 1) debería estar determi­ nada por la estabilidad de la ecuación “ aproxim ada” x = Ax. En el siguiente teorema se m uestra que tal cosa es casi cierta.

TEOREMA 2.

Supóngase que la función con valores vectoriales g ( x ) /||x ¡ |= g ( x ) /m á x { |x ,|,...,|x j}

es una función continua de x x, . . . , x n que se anula para x = 0. Entonces (a) La solución de equilibrio x{t) = 0 de (1) es asintóticamente estable si la solu­ ción de equilibrio x(t) = 0 de la ecuación “linealizada” x = Ax es asintóticamente estable. De manera equivalente, la solución x(t) = 0 de (l) es asintóticamente estable si todos los valores característicos de A tienen parte real negativa. (b) La solución de equilibrio x(t) = 0 de (1) es inestable si al menos un valor característico de A tiene parte real positiva. (c) La estabilidad de la solución de equilibrio x(t) = 0 de (1) no se puede deter­ minar a partir de la estabilidad de la solución de equilibrio x(t) = 0 de x = Ax si todos los valores característicos de A tienen parte real < 0 pero al menos un valor característico de A tiene parte real igual a cero. DEMOSTRACION, (a) La parte clave en las demostraciones de estabilidad es, muchas veces, el uso de la fórm ula de variación de parám etros de la Sección 3.12. Dicha fórmu­ la implica que toda solución x(t) de ( 1) puede escribirse en la form a o

(2)

Se desea m ostrar que ||x (/)|| tiende a cero cuando t tiende a infinito. Para ello, recuérdese que si todos los valores característicos o eigenvalores de A tienen parte real negativa, entonces es posible encontrar constantes K y a tales que (Ejercicio 17 de la Sección 4.2).

y

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

382

Mas aún, es posible encontrar una constante positiva a tal que l lg( x ) l l < ^ l l x ll

if

llx l l < ° -

Esto se sigue inm ediatam ente de la suposición de que g ( x ) /||x || es continua y se anula en x = 0. Por consiguiente, la ecuación (2) implica que

¡(Olí < lkA'x(o)|| + f'ik A<'- ',g(x(0)ll‘fr J0

< K e ~ at||x(0)|| + £ / V - < ' - ‘> ||x (,)||* L Jo

m ientras ||x(s)|| < a, 0 < dad se obtiene

5

< t. Al multiplicar por e at am bos lados de la desigual­

e“'||x(0ll < Jq|x(0)|| + | / V '||x ( í ) ||< f c

(3)

La desigualdad (3) puede simplificarse haciendo z(t) = ear ||x ( /) ||, ya que entonces * ( 0 < * l l x(0)ll + j j ^ z ( s ) d s .

(4)

Parecería propio derivar con respecto a t am bos lados de (4). Sin em bargo, no es posible, en general, derivar am bos lados de una desigualdad sin alterar su sentido. Esta dificultad puede evitarse con el siguiente artificio. Hágase í / W - f fr(* )d s. Entonces d U {t) o bien

~

a

a

a

i¡r = f 2 ( 0 < f K l|x ( 0 ) l1 + f u ( , ) dU (t)

n

t / ( / ) < “ L llx ( 0 ) | | .

M ultiplicando ambos lados de la desigualdad por el factor de integración e a,/1 se obtiene j U " « '/ 2í / < ^ | | x ( 0) | | e - a'/2, o bien ^ e - ' / 2[ { / ( 0 + / f ||x ( 0 ) ||] < 0 .

Por consiguiente, U ( t ) + Af||x(0)|| ] < 1/(0) + ATl|x(0)|| = jq |x ( 0 )||,

de modo que U(t) < -K ||x (0 )|| + A’||x (0 )||e “'/2. Regresando ahora a la desigualdad (4) se ve que

¡¡.x(!)|| = e-«'z(0
(5)

4.3 • Estabilidad de las soluciones de equilibrio

383

mientras ||x(s)|| < o, 0 < 5 < /. A hora bien, si ||x(0)|| < o/K , entonces la desigual­ dad (5) garantiza que ||x (/)|| < a para todo instante posterior t. Por lo tanto, la desi­ gualdad (5) es cierta para toda t > 0 si ||x(0)|¡ < a/K . Por últim o, obsérvese que de (5) se deduce que || x(/) || < A'UxíO)!! y || x(/) || tiende a cero cuando t tiende a infinito. Por lo tan to , la solución de equilibrio x(/) = 0 de (1) es asintóticam ente estable. (b) La dem ostración de (b) es demasiado difícil para presentarla aquí. (c) Se darán dos ecuaciones diferenciales de la form a (1) para las cuales el término no lineal g(x) determ ina la estabilidad de la solución de equilibrio x(t) = 0. Considérese prim ero el sistema de ecuaciones diferenciales = ~ x x- x 2(x] + x \ ) .

(6)

La ecuación linealizada es

y los valores característicos de la matriz

son ±i. P ara analizar el com portam iento del sistema no lineal (6) se multiplica la prime­ ra ecuación por x {, la segunda ecuación por a 2 y se suman; eso da como resultado

Pero

Por lo tanto,

Esto implica que

donde c

=

a

J(0) + ^ ( 0 ) .

Así pues, x](t) + a ? ( 0 tiende a cero cuando t tiende a infinito para cualesquiera soluciones x ^ t ) , x 2(t) de ( 6). Más aún, el valor de x] + x \ en cualquier tiempo t es siempre m enor que su valor en t = 0. Se concluye, por }o tanto, que A’jf/) = 0, at2(/) = 0 es asintóticam ente estable. Por o tra parte, considérese el sistema de ecuaciones

384

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

En este caso la linealización es tam bién

Sin em bargo, en este caso, (d /d t)(x 2 + x \ ) = 2{x] + a:^)2. Esto implica que

*?(0 + * f ( 0 =

c = * ? (0) + * 2( 0).

Nótese que cualquier solución x ^ t ) , x 2(t) de (7) con a ^ ( 0 ) + at^O) 0 tiende a infi­ nito en algún instante dado. Se concluye, por lo tanto, que la solución de equilibrio x,(t) = 0, x 2(0 = 0 es inestable.

Ejem plo i

Considérese el sistema de ecuaciones diferenciales dx\

- = —2 jc, + x 2 + 3jc3+

9*2

dx 2 _ = - 6 * 2- 5 * 3 + 7 *3 5 d x3 ~dt

= - x 3 + x} + x j.

Determ inar, en lo posible, si la solución de equilibrio estable o inestable.

a:, (/)

= 0, x 2(t) = 0, x 3(t) =

0 es

SOLUCIÓN . Exprésese el sistema en la form a x = Ax + g(x) donde

9*2 II

-6 0

31 -5 -1

'x'

1

í~ 2 A= 0 0

"5í¡

* l' x = *2 , *3

7* 35 x\ + xl

La función g(x) satisface las hipótesis del Teorem a 2 y los valores característicos de A son - 2 , -6 y - 1 . Por lo tanto, la solución de equilibrio \ (t) = 0 es asintóticamente estable. El Teorem a 2 sirvepara determ inar la estabilidad de lassoluciones de equilibrio de ecuaciones diferenciales autónom as arbitrarias. Sea x° un valor de equilibrio de la ecuación diferencial x = f(x)

(8)

z = x = f(x° + z).

(9)

y hágase z (/) = \ ( t ) - x°. Entonces Por supuesto que, z(r) - 0 es una solución de equilibrio de (9) y la estabilidad de x(/) = x° es equivalente a la estabilidad de z(t) = 0. Como siguiente paso se m ostrará que f(x° + z) = Az + g(z), donde g(z) es peque­ ña com parada con z.

LEMA 1.

Supóngase que f(x) tiene dos derivadas parciales continuas con res-

4.3 • Estabilidad de las soluciones de equilibrio

385

pecto a cada una de sus variables x lf . . . , x n. Entonces f(x° + z) puede escri­ birse en la form a f(x° + z) = f(x°) + Az + g(z)

(10)

donde g(z)/m áx{|z¡ | , . . . , |z„|} es una función continua de z que se anula para z = 0. DEMOSTRACION # 1 . La ecuación ( 10) es consecuencia inmediata del Teorema de Tay­ lor, el cual establece que cada una de las com ponentes fj(x° + z) de f(x° + z) puede escribirse en la form a

%

(x°)

z ■+ . . . + f j (x° + z ) = f j (x°) + —3^ - -1 donde gy(z)/máx{ |z \ Por lo tanto,

|z„|} es una función continua de z que se anula para z = 0. f(x° + z) = f(x°) + Az + g(z)

donde

9/,(x°)

9/,(x°)

3x,

3*„

3¿(x°)

3/,(x°)

□

A= 3x,

3*„

D e m o s t r a c ió n #2. Si cada una de las com ponentes de f(x) es un polinomio (posi­ blemente infinito) en x x, . . . , x n, entonces cada una de las componentes de f(x° + z) es un polinom io en Z\ , . . . , an . De modo que fj (x° + z) = ajQ+ aj{z {+ . . . + ajnzn + gj(z)

( 11)

donde ^y(z) es un polinomio en Z\ , ■■■, z„ que empieza con térm inos de orden dos. Haciendo z = 0 en (11) se obtiene fj(x°) = ay0. Por lo tanto, n f(x° + z) = f(x°) + Az + g(z),

A= *n1

y cada una de las com ponentes de g(z) es un polinomio en Z\ , . • •, z n , que empieza con térm inos de orden dos. □ El Teorem a 2 y el Lema 1 proporcionan el siguiente método para determ inar si una solución de equilibrio x(t) = x° de x = f(x) es estable o inestable: 1. Expresar z = x - x°. 2. Escríbase f(x° + z) en la form a Az + g(z), donde g(z) es un polinomio en Z \, . . . , zn con valores vectoriales, que empieza con térm inos de orden dos o mayor.

386

3.

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Calcular los valores característicos de A. Si todos los eigenvalores de A tienen parte real negativa, entonces \ ( t ) = x° es asintóticam ente estable. Si algún valor caracte­ rístico de A tiene parte real positiva, entonces x(/) = x° es inestable.

Ejem plo 2

diferenciales

E ncontrar todas las soluciones de equilibrio del sistema de ecuaciones dx - y - i - v .

dy -i T r x ~y

(12)

y determ inar (si fuera posible) su estabilidad o su inestabilidad. S o lu c ió n . Las ecuaciones l - ^ = 0 y x - . y 3 = 0 implican que x = 1, y - 1, o bien x = - 1 , y - - 1 . P or lo tanto, x ( í ) = 1, y(t) = 1 y x { t ) = -1, y(t) = -1 son las únicas soluciones de equilibrio de ( 12). (i) x(t) = 1, >>(/) = 1: Hágase u = x - \ , v = y - \ . Entonces ^jj = ^ - = l - ( l + u)(\ + v ) = - u - v - u v

= ^ = ( l + u) - ( l + v f = u ~ 3 v - 3 v 2- v \ Este sistema se puede escribir en la form a d t\ : > - ( ' !

ii) ® - !,." ..) -

La m atriz

(’ !

:¡)

tiene solam ente un valor característico X = - 2 , ya que

det( _ ' r A _ j l J = (l+ M (3+ A ) + l= (A + 2)2. Por lo tanto, la solución de equilibrio x(t) = 1, y ( t) = 1 de (12) es asintóticam ente estable. (ii) x(t) = - 1 , y(t) = - 1 : Hágase u = x + 1, v = y + 1. Entonces, ^

= ^ - = \- ( u - \) ( v - \) = u+ v-uv

^

= ^ = ( u - \ ) - ( v - \ f = u ~ 3 v + 3 v 2- v \

Este sistema puede expresarse en la form a

é o -C Los valores característicos de la m atriz

(!

-J)

387

4.3 • Estabilidad de las soluciones de equilibrio

son X] = - 1 - V5, cuya parte real es negativa, y X2 = - 1 + V5, cuya parte real es positiva. Por lo que la solución de equilibrio x(t) = - 1 , y(í) = -1 de (12) es inestable.

Ejem plo 3

diferenciales

E ncontrar todas las soluciones de equilibrio del sistema de ecuaciones (13)

y determ inar si son estables o inestables. S o l u c i ó n . Los puntos de equilibrio de (13) están determ inados por las dos ecuacio­ nes sen(x + y) = 0 y ex - 1 = 0 . Esta segunda ecuación implica que x = 0 y la pri­ mera ecuación implica entonces que x + y = n ir, n un entero. Por consiguiente, *(/) = 0, y(t) = n 7r, n = 0, ±1, ±2, . . . , son las soluciones de equilibrio de (13). Haciendo u = x, v = y - mr, se obtiene — =sen(w + v + mr),

U

1.

A hora bien, sen(w + v + nic) = cos me sen(u + v) = (-l)"se n (w + v). Por lo tanto,

Obsérvese además que sen(w + v) — u + v

(w + ü )3 ------ !-...,

Por consiguiente,

Es posible entonces expresar el sistema en la form a

Los valores característicos de la matriz (-ir

(-ir)

son A, =

( —I)" —Vl + 4 ( —!)”

2

( - 0 " + V i+4(-iy

2

Cuando n es par, X] = (1 - V5)/2 es negativa, y X2 = (1 + V5)/2 es positiva. Por con­ siguiente, x(t) = 0, >>(0 = nir es inestable si n es par. Si n es im par, tanto X] = (-1 - VT 0 /2 como X2 = (-1 + V3/)/2 tienen parte real negativa. Por lo tanto, la solución de equilibrio x(/) = 0, y(t) = nic es asintóticam ente estable si n.es impar.

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

388

Ej e r c i c io s Halle todas las soluciones de equilibrio de cada uno de los siguientes sistemas de ecua­ ciones y determ ine, en lo posible, si son estables o inestables. l . x = x —x 3—x y 2 y = 2 y —y 5—y x 4

2 . x = x 2+ y 2- \ y = x 2 —y 2

3 . x = x 2+ y 2- l y = 2 xy

4.

5. x = tan(x+>')

6.

x —6 x —6 x 2 — 2 x y y — 4y — Ay2 — 2 x y

y =x +x3

x —ey — x y = ex+y

Verifique que el origen es un punto de equilibrio de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y determine, en lo posible, si es estable o inestable. 7. x = y + 3 x 2 y = x —3 y 2

8. x = _ y + co s> ' —1 y = —s e n x + x 3

9. x = e x+y — 1 y = s e n (x + > ')

10.

x = ln (l + x + y 2) y = —y + x 3

11. x = c o s y —s e n * — 1 y = x —y —y 2

12.

x = S x —3y + ey — \ _y=sen;t2 —ln (l — x —y )

13. x — — x —y —( x 2+ y 2)3/2 y = x —y + ( x 2 + y 2)3^2

14.

x = x - y + z2 y —y + z — x 2 z = z —x + y 2

15. x — e x+y +z - 1 y = s e n (x + y + z) z = x —y — z 2

16.

i = ln (l —z) ^ = ln (l —x ) ¿ = l n ( l —y )

17. x = x — c o s y — z + 1 y = y — c o s z —x + 1 z = z — c o s x —y + \

18.

(a) Encuentre todas las soluciones de equilibrio del sistema de ecuaciones diferen­ ciales dx , —r = g z —hx, dt 6 ’

(b)

4 .4

dy c , —y- = ——r----- ky , dt a + bx 7

dz c - r = e y —jz. dt

(este sistema es un m odelo para el control de síntesis de proteínas.) Determine la estabilidad o inestabilidad de dichas soluciones si alguno de los valores g, e, o c es igual a cero.

El p la n o fa se

En esta sección se inicia el estudio de la teoría “ geom étrica” de ecuaciones diferencia­ les. Para simplificar, se supondrá en la m ayoría de los casos que n - 2. El objetivo es obtener una descripción tan com pleta como sea posible de todas las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales (O

4.4 • El plano fase

389

Con este objeto, obsérvese que toda solución x = x (0 , 7 — y { t ) de (1) define una curva en el espacio tridimensional t, x, y. Es decir, el conjunto de todos los puntos (t , x (0 , 7 (0 ) describe una curva en el espacio tridimensional t, x, y. Por ejemplo, la solución x = eos t, y = sen t del sistema de ecuaciones dx dt = - y ,

dt

=x

describe una hélice (Fig. 1) en el espacio (t , x, y). La teoría geométrica de las ecuaciones diferenciales empieza con la importante obser­ vación de que toda solución x = x ( 0 >y = 7 (0 » t0 < t < t¡ , de ( 1), también define una curva en el plano xy. De hecho, conforme t aum enta de t0 a t {, el conjunto de pun­ tos (x(0, 7 (0 ) describe una curva C en el plano xy. Dicha curva se conoce como órbita o trayectoria de la solución x = x (0 , 7 = 7(0- El plano xy se denom ina plano fase de las soluciones de (1). De m anera equivalente, la órbita de x ( 0 , 7 ( 0 puede considerar­ se la trayectoria que describe la solución en el plano xy.

F i g u r a i . Gráfica de la solución x = eos t, y = sen t.

EJEMPLO 1 Es posible verificar fácilmente que x = eos t, y = sen t es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales x = - y , y = x. Conform e t aumenta de 0 a 2x, el conjunto de puntos (eos t, sen 0 describe la circunferencia unitaria x 2 + y 2 = 1 en el plano X7 . Por lo tanto, dicha curva x 2 -1- y 2 = 1 es la órbita de la solución x = eos t, y - sen t, 0 < t < 2x. C onform e t aum enta de 0 a infinito, el conjunto de puntos (eos t, sen t) describe la m isma circunferencia un número infinito de veces. Ejem plo 2 Puede verificarse fácilmente q u e x = e 'eos t, y = e 'sen t,
EJEMPLO 3 Es posible verificar fácilmente que x = 3/ + 2, y = 5/ + 7, -<» < t < 00, es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales d x / d t = 3, d y/d t = 5. C onform e t va de —00 a 00, el conjunto de puntos (3/ + 2, 5/ + 7) describe una recta que pasa por el punto (2, 7) con pendiente f . P or lo tanto, la órbita de la solución x = 3t -1- 2, 7 = 5t -l- 7 es la recta 7 = f (x'— 2) + 7, -«> < x < «>.

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

390

F ig u r a

2 . Ó rbita de a: = e ‘ cos t, y - e ‘ sen /.

E j e m p lo 4 P uede verificarse fácilm ente que a: = 3t 2 + 2, y = 512 + 7, 0 <

t

<

oo

es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales ^

= 6 [(y - 7 ) /5 ] l/;,

^

= 10[( x - 2 ) / 3 ] l/2.

Todos los puntos (3t 2 + 2, 5 t22 + 7 ) se encuentran sobre la recta de pendiente \ que pasa por (2, 7 ) . Sin em bargo, x siempre es m ayor que o igual a 2, y y siempre es mayor que o igual a 7 . P or lo tanto, la órbita de la solución a: = 3 t2+ 2, y = 5t2+ 7 , 0 < / < oo, es la recta y = f (a: - 2) + 7 , 2 < a: < oo.

E je m p lo 5 Puede verificarse fácilmente que a: = 3/ + 2, y oo, es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales dx

5

,

A

_

=

5t2+

7,

- »

<

t<

10,

La órbita de dicha solución esel conjunto de todos los puntos (a:, y) = (31 + 2, 512 + 7 ) . Introduciendo t — | (x - 2) se ve q u e ^ = f (x - 2)2 + 1. Por lo tanto, la órbita de la solución a: = 3/ + 2, y = 512 + 7 es la parábola y = ¡ ( x - 2 ) 2 + 7 , | x | < oo. Una de las ventajas de considerar la órbita de la solución y no la solución misma es que, con frecuencia, es posible obtener la órbita de una solución sin conocimiento previo de la solución. Sea a: = x(t), y = y(t) una solución de (1). Si * '(/) es diferente de cero en t = t x, entonces se puede resolver con t = t(x) en una vecindad o entorno del punto x { = ) (Ejercicio 4). Así pues, para t cerca de t ¡ , la órbita de la solución x ( 0 , y{t) es la curva y = y(t(x)). Obsérvese adem ás que dy _ d y dt _ d y / d t _ g ( x , y ) dx dt dx d x / dt f(x ,y )

391

4.4 • El pla n o fase

Así pues, las órbitas de las soluciones x — jc(0» y - y ( 0 de (1) son las curvas solu­ ciones de la ecuación escalar de prim er orden dy _ g ( x ,y ) dx f ( x ,y ) •

^ ( >

De m odo que no es necesario encontrar una solución jc(0, y(t) de (1) para calcular su órbita, sólo se necesita resolver la ecuación diferencial escalar de prim er orden (2). O b s e r v a c ió n . A partir de este m om ento se usará la frase “ las órbitas de (1)’’ para denotar la totalidad de órbitas de las soluciones de ( 1).

Ejem plo 6

Las órbitas del sistema de ecuaciones diferenciales dt

y '

dt

^ ’

son las curvas soluciones de la ecuación escalar d y / d x = x 2/ y 2. Esta ecuación es de variables separables, y puede verse fácilmente que todas las soluciones son de la forma ^(jc) = (jc3 - c) V), c constante. Así que las órbitas de (3) son el conjunto de todas las curvas y = (jc3 — c / A.

Ejem plo

i

Las órbitas del sistema de ecuaciones diferenciales ^ ■ = y ( \ + x 2+ y 2),

^ - = - 2 x ( l + x 2+ y 2)

(4)

son las curvas soluciones de la ecuación escalar dy

2 x { \ + x 2+ y 2) _ _ 2 x _

dx~

y ( \ + x 2+ y 2) ~

y '

Esta ecuación es separable y todas las soluciones son de la form a \ y 2 + x 2 = c 2. Por lo tanto, las órbitas de (4) son la familia de elipses \ y 2 + x 2 = c 2. A d v e r t e n c ia . Una curva solución de (2) es una órbita de (1) sólo si dx /d t y dy /d t son distintas de cero sim ultáneam ente a lo largo de la solución. Si una curva solución de (2) pasa por un punto de equilibrio de ( 1), entonces la curva solución completa no es una órbita. Se trata más bien de la unión de varias órbitas distintas. Por ejemplo, considérese el sistema de ecuaciones diferenciales ^ ■ = y ( \ ~ x 2- y 2),

^

= - x ( l - x 2- y 2).

(5)

Las curvas soluciones de la ecuación escalar dy_ = d y / d t = _ x_ dx d x /d t y son la familia de circunferencias concéntricas x 2 + y 2- c 2. Obsérvese, sin embargo, que todo punto de la circunferencia unitaria x 2 + y 2 = 1 es un punto de equilibrio de (5). De m odo que las órbitas de este sistema son las circunferencias x 2 + y 2 = c 2, para c # 1 , y todos los puntos de la circunferencia unitaria *2 + .y2 = 1. De manera

392

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

similar, las órbitas de (3) son las curvas y = (jc3 - c)v\ c + 0; las semirrectas y = x, x > 0, así com o y = x, x < 0, y el punto (0, 0). En general, no es posible resolver explícitamente la Ecuación (2). Por consiguiente, tam poco lo es, en general, encontrar las órbitas de (1). Sin em bargo, sí es posible obte­ ner una descripción precisa de las órbitas de (1). Tal cosa se puede debido a que el siste­ ma de ecuaciones diferenciales ( 1) determ ina un campo de direcciones en el plano xy. Es decir, el sistema de ecuaciones diferenciales (1) indica cuán rápido se mueve una solu­ ción a lo largo de su órbita, y en qué dirección se mueve. Dicho con más precisión, sea x = x(t), y = y(t) una solución de (1). C onform e t aum enta, el punto (x(t), y(t)) se mueve a lo largo de la órbita de dicha solución. Su velocidad en la dirección x es d x/dt\ y en y es d y / d t y la m agnitud de su velocidad es [(dx{t)/dt)2 + (dy(t)/dt)2]v'. Pero d x{t)/d t = f ( x ( t) , y(t)) y d y ( t) /d t = g(x(t, y(t)). Por lo tanto, en cada punto (x, y) del plano fase de ( 1) se conoce (i) la tangente a la órbita en (x , y) (la recta que pasa por (x , y) con números directoresf ( x , y) y g(x, y), respectivamente, y (ii) la mag­ nitud de la velocidad (o rapidez) [ f 2(x, y) 2 g 2(x, y)\ \ con la que la solución recorre su órbita. Com o se verá en las secciones de la 4.8 a la 13, esta inform ación frecuente­ mente puede servir para obtener propiedades im portantes de las órbitas de ( 1). La noción de órbita puede extenderse fácilmente al caso n > 2. Sea x = \ (t) una solución de la ecuación diferencial vectorial '* 1 x=

(6 )

II

x = f(x),

■

. .

f n ( X l ........ * n ) .

en el intervalo t0 < t < t x. C onform e t aum enta de t0 a t x, el conjunto de puntos (jf|(0, • • •, x n(t)) describe una curva C en espacio de dimensión n x x, x 2, . . . , x n. Esta curva es la órbita de la solución x = x(r), para t0 < t < t x, y el espacio de dimensión n, x {, . . . , x n, es el plano fase de las soluciones de (6).

Ej e r c i c io s En cada uno de los Problem as 1 a 3, verifique que x{t), y{t) es una solución del sistema de ecuaciones dado. Encuentre tam bién su órbita.

1.

jc—1, y = 2(1 - x ) s e n ( l - x )2 jc(/)“ 1 + /, y(t) = cost2

2.

x = e~ x, y = ee*~] x(/) = ln(l + /), y(t) = e l

3. x = l + x 2, y =( 1- f x 2)sec2x x(/) = tan/, y(/) = tan(tan/) 4.

Suponga que ^ 0. Demuestre que es posible resolver la ecuación x = x(r) para t = t(x) en la vecindad del punto x x = x ( t {). Sugerencia: Si ^ 0, enton­ ces x{t) es una función m onótona creciente o m onótona decreciente de t en la vecin­ dad de t = / | .

Encuentre las órbitas de cada uno de los siguientes sistemas.

4.5 • Teorías m atem áticas de la guerra

393

7. x = y ( 1 + x + y ) , y — —*(I + x + y )

8. x = y + x^y,

H +

1 II

/—V

6. x = y { \ + x 2 + y 2),

y= ~x

+ IN

5. x = y ,

y = 3x + x y 2

9. x — x y e ~ yx,

10. x = 4y,

1 II


y = x + xy2

1 1 . x — a x —bxy,

12. x = x z + cosy,

13. x — 2 xy,

14. x = y + s e n x , y = x —y eos x

<$N 1 II

y = ex —dxy (a, b, c, d positivas)

y —x 2L—y 2í

4 .5

Te o r ía s m a t e m á t ic a s d e l a g u e r r a

4 .5 .1

La teoría del conflicto de L.F. Richardson

En esta sección se elaborará un modelo m atem ático que describe la relación entre dos países, cada uno de ellos decidido a defenderse contra un posible ataque del otro. Ambos consideran com o real la posibilidad de que ocurra un ataque entre sí, y por ello basan su tem or en la predisposición del otro en gastar en arm am ento. El modelo se basa en el trabajo de Lewis Fry Richardson. No se trata de hacer afirmaciones con base científi­ ca en relación con la política exterior, o predecir en qué fecha se iniciará el siguiente gran conflicto bélico. Tal cosa es, por supuesto, imposible. Se trata de una descripción de lo que la gente haría si no dejara de pensar. Como Richardson mismo asevera: “ ¿Por qué tantas naciones, aunque no lo deseen, aum entan constantem ente sus armamentos como si estuvieran movidas mecánicamente a hacerlo? Porque, según opino, siguen sus tradiciones rígidas y sus instintos mecánicos y porque aún no han hecho un esfuerzo intelectual y m oral suficientemente intenso para controlar la situación. El proceso que se describe en seguida con las ecuaciones no debe entenderse como inevitable. Es lo que ocurriría si se perm itiera al instinto y la tradición actuar sin control. Denótese por x = x ( t ) al potencial bélico, o arm am ento, del prim er país, al cual se llam ará A calandia (o “ T ierra de acá” ), y sea.y (0 al potencial bélico del segundo país, el cual se denom inará A llalandia (o “ Tierra de allá” ). La rapidez de variación de x ( t ) depende obviamente de la predisposición bélica y{t) de Allalandia y del temor que A calandia siente hacia aquél país. En un modelo sencillo se representarán estos tér­ minos por k y y g, respectivamente, donde k y g son constantes positivas. Ambos térmi­ nos provocan un incremento en x. P or otro lado, los costos del arm am ento tienen un efecto restrictivo sobre d x /d t. Dicho efecto se representará por —a x t donde a es una constante positiva. Un análisis similar se cumple para dy/dt. Por consiguiente, x = x{t), y = y(t) es una solución del sistema lineal de ecuaciones diferenciales ^

= k y - a x + g,

^ = l x ~ P y + h.

(O

394

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

O b s e r v a c i ó n i . El modelo (1) no se limita a dos naciones; tam bién puede repre­ sentar la relación entre dos alianzas de naciones. P or ejem plo, Allalandia y Acalandia pueden representar, respectivamente, la alianza de Francia con Rusia, y de Alemania con A ustria-H ungría durante los años que precedieron a la Prim era G uerra Mundial. A través de la historia ha habido constantes discusiones acerca de las causas de la guerra. Hace más de dos mil años Tucídides afirm ó que el arm am ento provoca guerras. En su reseña sobre la guerra del Peloponeso escribe: “ Creo que la causa ateniense, lo que alarm ó a los espartanos o lacedemonios obligándolos a ir a la guerra” . Sir Edward Grey, el secretario del exterior del gobierno inglés durante la Prim era G uerra Mundial, es de la misma opinión. Escribe: “ El incremento en el arm am ento, el cual supuesta­ mente debería producir en cada nación consciencia de fortaleza y sensación de seguri­ dad, no ocasiona tales efectos. P or lo contrario, genera una consciencia de la fortaleza del otro país y una sensación de miedo. El gran acopio de arm as en E uropa y el senti­ miento de inseguridad y miedo causado por él, fue lo que hizo inevitable el conflicto. Esa es la realidad del origen de la G ran G uerra” . P or otro lado, L.S. Am ery, un miembro del parlam ento británico durante la déca­ da de 1930, no com parte tal parecer. Cuando la opinión de Sir Edward Grey fue citada en la C ám ara de los Com unes, Am ery replicó: “ C on el debido respeto que se merece la mem oria de un eminente estadista, considero que tales afirm aciones son completa­ mente equivocadas. El arm am ento no fue sino el síntom a de la pugna de ambiciones e ideales de aquellas fuerzas nacionalistas que dieron origen a la conflagración. La gue­ rra se desencadenó debido a que Serbia, Italia y R um ania deseaban desesperadamente incorporar a su territorio regiones que pertenecían en aquel entonces al Imperio Austrohúngaro y las cuales no estaba éste dispuesto a ceder sin luchar. Francia estaba pre­ parada, en caso de que se presentara la ocasión, para trata r de recuperar la región de Alsacia-Lorena. Fue en estos hechos, en el insoluble conflicto de ambiciones, y no en el arm am ento mismo, donde residían las causas de la guerra.” El sistema de ecuaciones (1) tiene en cuenta am bas teorías de conflicto. Tucídides y Sir Edw ard Grey tom arían g y h pequeñas com paradas con k y /, m ientras que Mr. Amery tom aría k y / pequeñas en com paración con g y h. El sistema (1) tiene varias implicaciones im portantes. Supóngase que tanto g como h son iguales a cero. Entonces at(/) = 0, y(t) = 0 es una solución de equilibrio de (1). Es decir, si xr, y, g y h son iguales a cero sim ultáneam ente, entonces x(t) y y(t) permane­ cerán también iguales a cero. Esta situación ideal constituye una paz permanente al esta­ blecer el desarm e y favorecer la calm a y la satisfacción. H a existido desde 1817 en la frontera entre C anadá y los Estados Unidos, y desde 1905 en la frontera entre Noruega y Suecia. Las ecuaciones implican, adem ás, que un desarm e m utuo sin confianza recíproca no es perm anente. Supóngase que x y y se anulan sim ultáneam ente en algún tiempo t = t0. En ese m om ento d x / d t = g y d y / d t = h. Así pues, x y y no serán iguales a cero si g y h son positivas. En vez de ello, ambos países volverán al camino de las armas. La condición de desarme unilateral corresponde a hacer .y = 0 en un cierto tiempo. En tal m om ento, d y /d t = Ix + h. Eso implica que y no perm anecerá nula si alguno de los valores x o h es positivo. Así pues, el desarm e unilateral nunca es permanente. Esto coincide con el hecho histórico de que Alemania, cuyo ejército fue reducido a 100000 efectivos por el T ratado de Versalles, un nivel muy por abajo de varios de sus vecinos, favoreció en su rearme durante los años 1933-1936.

4.5 • Teorías m atem áticas de la guerra

395

U na carrera arm am entista se presenta cuando los términos de “ defensa” predomi­ nan en (1). En tal caso dx , T i = ky'

¿y , * =/x'

<2>

T oda solución de (2) es de la form a x i O ^ A e ^ ' + B e - ^ 1,

= ' [ A e ^ 1‘ - B e ' ^ ‘].

P or lo tanto, x(t) y y(t) tienden a infinito si A es positiva. Este hecho puede ser inter­ pretado com o “ guerra” . A hora bien, el sistema de ecuaciones (1) no es totalm ente correcto, ya que no tom a en cuenta la cooperación ni el intercambio comercial entre Allalandia y Acalandia. Como se puede ver actualm ente, la cooperación entre países tiende a dism inuir los temores y sospechas. El modelo puede corregirse cam biando el significado de x(t) y y(t). Consi­ dérense las variables x(t) y y (t) como “ am enazas” menos “ cooperación” . C oncreta­ mente, hágase jc = U - U0 y y = V - V0, donde U es el presupuesto de defensa de Acalandia, V es el presupuesto de defensa de Allalandia, UQ es la cantidad de bienes que Acalandia exporta a Allalandia, y V0 es la cantidad de bienes que Allalandia expor­ ta a Acalandia. Nótese que la cooperación incita a la cooperación recíproca, del mismo modo que el arm am entism o provoca más arm am entism o. Además, los países tienden a reducir su cooperación en la medida que conlleva gastos. Así que el sistema de ecua­ ciones ( 1 ) describe aún el caso más general de relaciones. El sistema (1) tiene una sola solución de equilibrio kh + (3g x==Xq=: a P - k l ’

lg+ ah 7 = > ’0= a p - k!

^

si - k l 0. Lo que interesa ahora es determ inar si la solución de equilibrio es esta­ ble o inestable. P ara ello, escríbase (1) en la form a w = Aw + f, donde

'- w

>

* -(-■

La solución de equilibrio es

siendo Aw 0 + f = 0. Tom ando z = w - w0 se obtiene z = w = Aw + f = A(z + w0) + f = Az + Aw0+ f = Az. Claram ente, la solución de equilibrio w(í) = w0 de w = Aw + f es estable si y sólo si z = 0 es una solución estable de z = Az. P ara determ inar la estabilidad de z = 0 se calcula /j(,\) = d e t|

^

_ p _ y ^ j = \ 2+ ( a + (3 ) \ + a fi —kl.

396

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las raíces de p ( \ ) son A=

(a + ¡3) ± j^(a + ¡3 )2 —4(a(3 —k l ) j 2 ( a + / ? ) ± [ ( a -/? ) 2+ 4A:/]1/2 2

Nótese que las dos raíces son reales y diferentes de cero. Más aún, am bas son nega­ tivas si a/3 - k l > 0, y una raíz es positiva si a(3 - kl < 0. Así pues, z(t) = 0 y, por consiguiente, la solución de equilibrio x(t) = x 0, y(t) = y 0, es estable si a(3 - kl > 0, e inestable si a(3 — kl < 0. A hora se abordará el difícil problem a de estim ar los coeficientes a, (3, k, /, g, h. Obviam ente, no hay m anera de medir g y h. Sin em bargo, es posible obtener estimacio­ nes razonables para a, (3, k y /. Obsérvese que las unidades para estos coeficientes son recíprocas de tiem po. Los físicos e ingenieros llam arían a a -1 y (3~l tiempos de relaja­ ción, ya que si y y g fueron idénticam ente nulas, entonces *(r) = e~a{t~l(^ x ( t 0). Esto implica que x ( t 0 + a -1) = x ( t 0)/e. P or lo tanto, a -1 es el tiempo requerido para que el arm am ento de A calandia se reduzca en la proporción 2.718 si el país no tiene descon­ fianza y ningún otro país posee arm am ento. R ichardson estima que a -1 es el tiempo que dura en funciones el parlam ento de Acalandia. Así que, para Gran Bretaña a = 0.2, ya que el tiempo de duración del Parlam ento Británico es de cinco años. P ara estim ar k y /, considérese un caso hipotético en el cual g = 0 y y = y ¡ , de modo que d x / d t = k y x — a x . C uando x = 0, l / k = y {/(d x/d t). Así que \ / k es el tiempo requerido para que Acalandia alcance a Allalandia, suponiendo (i) que el arma­ mento de Allalandia permanece constante, (ii) no hay desconfianza, y (iii) el costo del arm am ento no frena a Acalandia. Considérese ahora el rearme alemán durante los años 1933-1936. Alem ania inició su nueva época prácticam ente sin arm am ento y alcanzó a sus vecinos en casi tres años. Suponiendo que el efecto de frenado de a se compensó aproxim adam ente con la gran desconfianza alemana, se tom a k = 0.3 (año )-1 para Ale­ m ania. Obsérvese, además, que obviam ente k es proporcional al desarrollo industrial de un país. De m odo que para un país con la m itad de la capacidad industrial de Ale­ mania se tiene k = 0.15, y para otro con el triple de capacidad industrial germana, k = 0.9. A hora se com parará el modelo con la carrera arm am entista en E uropa en los años de 1909 a 1914. Francia estaba aliada con Rusia, y Alem ania con Austria-Hungría. Ni Italia ni G ran Bretaña se aliaron definitivam ente con alguno de los bandos. Así pues, A calandia representará la alianza de Francia con Rusia, y Allalandia, la alianza de Ale­ m ania con A ustria-H ungría. D ado que ambas alianzas eran aproxim adam ente de igual tam año, se tom a k = /, y dado que cada una de las uniones tenía aproximadamente el triple de tam año que Alem ania, se tom a entonces k = / = 0.9. Se supone además que a = (3 = 0.2. Entonces, (4)

La ecuación (4) tiene sólo un punto de equilbrio kh + ag

k g + ah

4.5 • Teorías m atem áticas de la guerra

397

Dicha solución es inestable ya que a/3 — k l = a 2 — £2= 0.04 —0.81 = -0 .7 7 . Esto coincide, por supuesto, con el hecho histórico de que las dos alianzas llegaron a la guerra entre sí. Ahora bien, el modelo que se construyó es una aproximación burda, ya que se supuso que las desconfianzas g y h permanecen constantes en el tiempo. Tal cosa es obviamen­ te falsa. Las desconfianzas g y h no son siquiera funciones continuas en el tiempo, pues experim entan instantáneam ente saltos de gran m agnitud. (Sin em bargo, es aceptable suponer que g y h son relativamente constantes en largos lapsos.) A pesar de todo, el sistema de ecuaciones (4) aún proporciona una descripción muy precisa de la carrera arm am entista que precedió a la Prim era Guerra M undial. Para dem ostrarlo, súmense las dos ecuaciones de (4), de lo que resulta ^ (x + y ) = (k - a )(x + y ) + g + h.

(5)

Recuérdese que x = U - UQ y y = V - V0> donde U y V son los presupuestos de defensa de una y otra alianza, y UQ y VQson las cantidades de bienes que se exportan desde cada una de las alianzas hacia la otra. Por lo tanto, dt

( Í / + V) = ( k - a ) \ U+ V

g+h

u0+ v 0-

k — a dt ( ^ o + v o)

( 6)

En la T abla 1 se m uestran los presupuestos de defensa de las dos coaliciones. TABLA 1. Presupuestos de defensa expresados en millones de libras esterlinas Francia Rusia Alemania A ustria-H ungría Total U + V A (U + V) V en la misma fecha

1909

1910

1911

1912

1913

48.6 66.7 63.1

50.9 68.5 62.0 23.4 204.8

57.1 70.7 62.5 24.6 214.9

63.2 81.8

74.7 92.0 95.4 26.9 289.0

20.8

199.2

5.6

202.0

10.1

209.8

68.2

23.8 226.8

25.5 238.7

50.3 263.8

En la Figura 1 se presenta el incremento anual U + V en función del promedio de U + V en los dos años que se sirvieron para form ar el increm ento. Nótese cuán cer­ ca están de la línea recta los cuatro puntos, denotados por O; A( Í / + K) = 0 .7 3 (í/+ V — 194).

(7)

Así pues, la política exterior realmente tiene una predecibilidad de m áquina. Las ecua­ ciones (6) y (7) implican que g + h = ( k - a ) ( U 0+ V 0 ) - b ( U 0+ V0 ) — 194

398

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

U+ V F ig u r a

1.

G ráfica de A (U + V ) en función de U + V.

y k - a = 0.73. Esto muestra una coincidencia excelente con las estimaciones de Richardson de 0.9 para k y 0.2 para a. Obsérvese, por últim o, que de (7) se obtiene que el total de los presupuestos de defensa de las dos alianzas aum entará si U -f V es mayor que 194 millones (de libras), y de lo contrario dism inuirá. En realidad, los gastos de defensa de las dos alianzas ascendían a 199. millones en 1909, mientras que el intercambio comer­ cial entre las dos alianzas ascendía solam ente a 171.8 millones. Fue así como que se inició una carrera arm am entista que más tarde condujo a la Gran Guerra.

Bib l io g r a f ía Richardson, L .F., “ Generalized foreign politics” , The British Journal o f Psychology, suplem ento m onográfico, No. 23, 1939.

Ej e r c i c io s 1. Suponga que lo que im pulsa a un gobierno a su arme no es la m agnitud del arma­ m ento de otro país, sino la clase entre el propio y el de otra nación. Entonces — = * k ( y - x ) - a x + g,

~^ = l ( x - y ) - p y + h.

Demuestre que toda solución de este sistema de ecuaciones es estable si k f \ < («! + A:i)(j(?i + /[), e inestable si k f { > ( a { + A:1)(/3l -f l\). 2. Considere el caso de tres países, cada uno de los cuales tiene el mismo coeficiente de defensa A: y el mismo coeficiente de restricción a. Entonces

4.5 • Teorías m atem áticas de la guerra

399

Haciendo

se encuentra que u = Au + g. (a) Demuestre que p(X) = det(A - XI) = - ( a + X)3 + 3k 2(a + X) + 2 k l . (b) Demuestre que p { \ ) = Os i X = - a - k. Use esta inform ación para encon­ trar las dos raíces restantes de /?(X). (c) Pruebe que toda solución u (0 es estable si 2 k < a , e inestable si 2 k > a . 3. Suponga, en el Problem a 2, que el país z es pacifista, m ientras que x y y son países belicosos. Entonces ^

= - a x + k y + k z + g,

^ = k x - a y + kz + g2

(*)

^ - O - x + O- y - a z + g y

Demuestre que toda solución x(t), y(t), z{t) de (*) es estable si k < a , e inestable si k > t a .

4 .5 .2

Modelos de combate de Lanchester y la batalla de lwo Jima

D urante la Prim era G uerra M undial, F.W . Lanchester [4] señaló la im portancia de la concentración de tropas en el com bate m oderno. C onstruyó modelos matemáticos de los cuales esperaba que pudieran obtenerse los resultados de una acción de combate. En la presente sección se deducirán dos de esos modelos, el de una fuerza de guerra “ convencional” contra otra fuerza tam bién “ convencional” , y el de una fuerza de este último tipo contra una fuerza de guerrilla. A continuación se resolverán los modelos o ecuaciones y se deducirá la “ ley de Lanchester de los cuadrados” , la cual establece que la “ intensidad” de un com bate es proporcional al cuadrado del núm ero de comba­ tientes que participan en la lucha. P or últim o, se ajustará uno de estos modelos con sorprendente precisión a la batalla de lwo Jim a que ocurrió en el Pacífico durante la Segunda G uerra M undial. (a) Construcción de los modelos Supóngase que una “ fu e rza * ” y una “ fuerza.y” se enfrentan en com bate. P ara simpli­ ficar, se define el poderío de cada una el núm ero de sus com batientes. (Véase en Howes y Thrall [3], o tra definición de poderío bélico de com bate.) Siendo así, denótese por x(t) y y(t) al núm ero de com batientes de la fuerza * y de la fuerza y , respectivamente, donde t se mide en días a partir del inicio de la contienda. Claram ente, la rapidez de variación de cada una de estas cantidades es igual a la tasa de refuerzo menos la tasa de pérdidas operacionales menos la tasa de pérdidas en combate. Tasa de pérdidas operacionales. Esta intensidad de variación de una fuerza de com ba­ te es su tasa de pérdidas debida a contratiem pos que no ocurren en el com bate, es decir,

400

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

por deserción, enferm edad, etcétera. Lanchester propuso que la tasa de pérdidas operacionales de una fuerza de com bate es proporcional a su poderío. Sin em bargo, tal cosa no parece ser realista. Por ejem plo, la tasa de deserciones en una fuerza de com ba­ te depende de factores psicológicos y de otra clase que son difíciles de describir, sin m encionar su cuantificación. Aquí se tom ará el camino fácil considerando sólo aque­ llos encuentros en los que las tasas de pérdidas operacionales sean despreciables. Tasas de pérdidas en combate. Supóngase que la fuerza x es una fuerza “ convencio­ n al” que opera, com parativam ente hablando, en cam po abierto, y que todo efectivo de la misma está “ a la distancia de m uerte” desde el enemigo y. Supóngase también que tan pronto com o la fuerza “ convencional” sufre una pérdida, el fuego se concen­ tra alrededor de los com batientes restantes. En estas condiciones “ ideales” , la tasa de pérdidas en com bate de una fuerza “ convencional” x es igual a ay(t) para alguna cons­ tante positiva a. Esta constante se conoce como coeficiente de efectividad en combate de la fuerza y. La situación es muy diferente si a es una fuerza de guerrilla, la cual es invisible a sus oponentes (y) y ocupa una región R. La fuerza y hace fuego hacia la región R pero no puede saber si causa bajas a sus oponentes. Es claro que la tasa de pérdidas en com bate para una fuerza de guerrilla x debe ser proporcional a x(t), ya que cuanto m ayor sea x(t), tanto m ayor será la probabilidad de que un disparo del oponente sea certero. Por otro lado, la tasa de pérdidas en com bate para x también es proporcional a y(t), pues cuanto m ayor sea y, tanto mayor será el número de aciertos sobre x. Así pues, la tasa de pérdidas en com bate para una fuerza de guerrilla x es igual a cx(t)y(t), donde la constante c se conoce com o coeficiente de efectividad en combate del oponen­ te y. Tasa de refuerzo. La tasa de refuerzo de una fuerza de com bate es la tasa según la cual se incorporan nuevos efectivos (o son retirados otros) del campo de batalla. Las tasas de refuerzo de las fuerzas x y y se denotarán por f(t) y gt, respectivamente. Según los supuestos enlistados arriba, es posible ahora escribir los dos siguientes modelos lanchesterianos de com bate para fuerza convencional-guerrilla.

Com bate “ convencional”

dx dt

dy_ dt

C om bate “ convencional’’-guerrilla: (x = guerrilla)

-

a y + f(t)

(la)

- b x + g (t)

dx dt

¿y_ dt

' cxy + f ( t )

(Ib)

dx + g (t )

El sistema de ecuaciones (la ) es un sistema lineal y puede resolverse explícitamente una vez que se conocen a, b, f(t) y g(t). Por otro lado, el sistema de ecuaciones (Ib) es no lineal y su resolución es m ucho más difícil. (De hecho, es posible obtenerla sola­ mente con la ayuda de una com putadora digital.) Es muy instructivo considerar el caso especial en que las tasas de refuerzo son igua-

401

4.5 • Teorías m atem áticas de la guerra

les a cero. Tal situación se presenta cuando dos fuerzas están “ aisladas” . En ese caso, las ecuaciones (la) y (Ib) se reducen a los sistemas más sencillos dx

dx - = -c x y ,

dy dt

•bx

( 2a)

dy dt

-dx.

( 2b)

Combate “c o n v e n c i o n a l L e y de los cuadrados. Las órbitas del sistema (2a) son las curvas solución de la ecuación bx — = — dx ay

,. oblen

dy . a y — —bx. dx

Al integrar esta ecuación se obtiene ay1— b x 1 = a y \ - b x \ = K.

(3)

Las curvas (3) definen una familia de hipérbolas en el plano xy. En la Figura 1 se m uestran sus gráficas. Las flechas sobre las curvas indican el sentido o dirección de cambio de los poderíos conform e pasa el tiempo. Se ad o ptará el criterio de que una fuerza gana la batalla si la otra es eliminada pri­ mero. Entonces y gana si K > 0, pues la fuerza x es eliminada cuando y(t) desciende al nivel VK /a . Análogam ente, x gana si K < 0.

FIG U R A 1 . H ipérbolas definidas por (3). O b s e r v a c i ó n 1 . La ecuación (3) se conoce usualmente como “ ley de Lanchester de los cuadrados” , y el sistema ( 2a) se denom ina modelo de la ley de los cuadrados, ya que el poderío de las fuerzas enemigas aparece en fo r m a cuadrática en (3). Esta ter­ m inología es más bien anóm ala, ya que en realidad el sistema ( 2a) es un sistema lineal. O b s e r v a c i ó n 2 . La fuerza .y buscará siempre una situación en la que los parám e­ tros garanticen que K > 0. Es decir, la fuerza .y dem anda que se cum pla la desigualdad ayl > b xl

402

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Esto puede lograrse increm entando a; es decir, usando arm as más poderosas y certeras, o bien aum entando la fuerza inicial y Q. Nótese que duplicar a da com o resultado la duplicación de a y \ al c u á d r u p l o d e s u v a lo r . Esta es la clave de la ley de los cuadrados de Lanchester p ara la guerra con com bates de tipo com ún o “ convencional” . C o m b a t e “ c o n v e n c i o n a l ” -gu errilla . Las órbitas del sistema (2b) son las curvas solu­

ción de

dx

cxy

cy '

(4)

M ultiplicando am bos lados de (4) por c y e integrando, se obtiene c y 2 —2 d x = c y \ —2 d x 0 = M .

(5)

Las curvas (5) definen una familia de parábolas en el plano x y . En la Figura 2 se indican sus gráficos. La fuerza y gana si M > 0, ya que la fuerza x eselim inada en el m om ento en que y ( t ) desciende al nivel y j M / c . Análogam ente, x gana si M < 0.

F ig u r a 2 . Las parábolas definidas por (5)

O b s e r v a c i ó n . Usualm ente resulta imposible determ inar de antem ano los valores numéricos de los coeficientes de com bate a, b , c, d . Parecería entonces que los modelos de combate de Lanchester tienen poca o ninguna aplicación en los com bates reales. Sin embargo, no es tal el caso. Com o se verá más adelante, suele ser posible determ inar valores adecuados para a y b (o bien, para c y cf) usando inform ación de la batalla mis­ ma. Una vez que se tienen estos valores para un enfrentam iento, se conocen los valores para todos los demás combates que se libre en condiciones similares. (b) L a b a t a l l a d e I w o J i m a U n a de las b a ta lla s m ás v i o le n ta s lib r a d a en la S e g u n d a G u e rra M u n d ia l fue la que se desarrolló en la isla de Iwo Jim a, en el Pacífico, 660 millas al sur de T okio. El alio m a n d o de las fu e rz a s de c o m b a te G rin g a s d e se a b a c a p tu r a r Iw o Jim a y u s a r ­

403

4.5 • Teorías m atem áticas de la guerra

la como base para bom barderos cercana a la tierra firme japonesa, en tanto que el alto m ando japonés necesitaba la isla como base para aviones de com bate que atacarían a las naves de la M arina estadunidense en su camino a bom bardear Tokio o alguna otra ciudad japonesa im portante. La invasión por Estados Unidos a Iwo Jim a se inició el 19 de febrero de 1945, y las luchas intensas se extendieron a lo largo de un mes. Ambos bandos sufrieron severas pérdidas (Tabla 1). Los japoneses habían recibido la orden de pelear hasta el último hom bre, y eso fue exactamente lo que hicieron. La isla fue declarada “ segura” por las fuerzas militares de Estados Unidos 28 días después de ini­ ciada la batalla, y 8 días después dejó de haber cualquier tipo de com bate activo. (¡Los últimos dos soldados japoneses sobrevivientes se rindieron en 1951!) T a b la

1.

Pérdidas de efectivos militares en Iwo Jim a Pérdidas totales de Estados Unidos en Iwo Jim a M uertos, desaparecidos,

H eridos

o fallecidos a causa

Fatiga de

Total

com bate

de heridas

Infantes de Marina: Unidades de la armada: Embarcaciones y unidades aéreas Personal de sanidad Personal de servicio auxiliar Médicos y dentistas Unidades del ejército en combate Totales

5 931

17 272

2 648

633 195 51 2 9 6 821

1 158 529 218 12 28 19 217

1 791 724 269 14 37 2 648

Pérdidas japoneses en Iwo Jim a Fuerzas de defensa (efectivos estimados) 21 000

Infantes de Marina Miembros del ejército Total

Prisioneros

Muertos

216 _______867

20 000

1 083

(Newcomb [6], pág. 296.)

Se dispone de la siguiente inform ación acerca de la citada batalla de Iwo Jima. 1. Tasas de refuerzo. D urante el periodo del conflicto no hubo retiro de efectivos ni refuerzos a las tropas japonesas. Los Estados Unidos, por otro lado, desembarcaron 54 000 elementos el primer día de la batalla; ninguno el segundo día; 6 000, el tercer día; ninguno en los días cuarto y quinto, y por últim o, 13 000 el sexto día. Antes de iniciar la lucha no había tropas de Estados Unidos en Iwo Jim a. 2. Pérdidas en combate. El capitán Clifford M orehouse del Cuerpo de Infantería de M arina de Estados Unidos (M orehouse [5]) llevó una cuenta diaria de todas las pér­ didas de este país ocurridas en las encuestas, pero no se dispone de tal información en el caso de las fuerzas de Japón. Lo más probable es que las listas de pérdidas elabora­ das o por el general Kuribayashi (comandante japonés en Iwo Jim a) hayan quedado destruidas durante la b a ta l la , y q u e lo s registros que se llevaban en Tokio se hayan per­

404

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

dido o quem ados a causa de los intensos bom bardeos ocurridos durante los cinco meses restantes de la guerra. Sin em bargo, de la Tabla 1 se deduce que al iniciar la batalla se encontraban, aproxim adam ente, 21 500 japoneses en Iwo Jim a. (En realidad, Newcomb llegó a la cifra de 21 000 efectivos para las fuerzas japonesas, pero esa es una cantidad algo baja, ya que aparentem ente no incluyó algunos de los m uertos y sobrevi­ vientes encontrados en las cuevas en los últimos días.) 3. Pérdidas operacionales. Estas pérdidas en am bos bandos fueron insignificantes. A hora bien, denótese por x(t) y y(t), respectivamente, las fuerzas m ilitares activas japonesas y de Estados Unidos en Iwo Jim a a los t días después de iniciada la batalla. Los datos arriba enlistados sugieren el siguiente modelo lanchesteriano para la batalla en cuestión:

* = —bx h — dt

()

donde a y b son los coeficientes de efectividad en com bate de las fuerzas de Japón y de Estados Unidos, respectivamente, y 54,000 / ( ') =

0 6,000 0

13,000

0

0 < t< 1 1 < r <2 2< /< 3 3 < r< 5 5 < t< 6 t> 6

Usando el m étodo de variación de parám etros expuesto en la Sección 3.12, o el de eli­ minación de la Sección 2.14, puede verse fácilmente que la solución de (6) que satisface .*(0) = 0, ^(0) = ^0 = 21 500, está dada por

V T

j'oCOshVíró / +

j cosh V a b (t —s ) f ( s ) d s

(7a)

y y ( t ) = y 0c °s h V a b t —

j s e n h V a b (t — s ) f ( s ) d s

(7b)

donde c o s h x = ( e JC+ e

*)/2

y

s e n h x := (e JC—e x) / 2.

El problem a ahora es el siguiente: ¿existen constantes a y b tales que (7a) es una buena aproxim ación a la inform ación recogida por M orehouse? E sta es una pregunta de extrema im portancia. Una respuesta afirm ativa indicaría que los modelos Lanchesterianos describen batallas reales, mientras que una respuesta negativa arrojaría serias dudas acerca de gran parte del trabajo de Lanchester. Com o se mencionó anteriorm ente, es muy difícil calcular los coeficientes de efecti­ vidad en com bate a y b de dos fuerzas oponentes. Sin em bargo, con frecuencia es posi­ ble determ inar valores adecuados de a y b una vez que se tienen los datos de una bata­ lla, y tal es el caso de Iwo Jim a.

4.5

•Teoríasm atem áticas de la guerra

405

Cálculo de a y b. Al integrar la segunda ecuación de (6) entre 0 y

5 se

obtiene

~ b f x{t)d t Jo de m odo que

o Jo En particular, si s = 36, se obtiene y<¡-y (36)

r 36

I

x (t)d t

21,500

r 36 I

' '

x{t)dt

La integral en el lado derecho de (9) puede aproxim arse por la suma de Rieman f 36x ( t ) d t = 2 x ( i) Jo ,-i y se sustituye luego x(í) por el número de combatientes de Estados Unidos el día i de la batalla. U sando los datos disponibles de M orehouse, se calcula para b el valor de b=

2- ^ — - =0.0106. 2,037,000

( 10) V '

O b s e r v a c ió n . Sería preferible tom ar 5 = 28 en (8), ya que ese fue el día en que la isla se declaró segura, y después de ese momento los enfrentam ientos fueron esporá­ dicos. Sin em bargo, no se conoce y(28). Así que es preciso tom ar 5 = 36 en este caso. A hora bien, integrando la prim era ecuación en (6) de t = 0 a t = 28 resulta

•28

/-28 rL 5

(2 8 )= —a f y ( t ) d t + f f { t ) d t Jo Jo r 2S = —a y ( t ) d t + 73,000.

•A)

H abía 52 735 combatientes estadunidenses el día 28 de la contienda, así que 73,000-52,735 j

20,265

---------------------------T i ------------- • y{t)d t

[

y{t)dt

(1 1 )

Por últim o, puede aproxim arse la integral en el segundo miembro de (11) por la suma de Riemann

/ ” * « ) * « I y(J) y- 1

J0

406

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

y el valor y (J ), p o r ; y ( j ) = y o ~ b f Jx { t ) d t Jo j

»21,500 -¿ > 2 * (/). i *■/ sustituyendo una vez más x(i) por el núm ero de com batientes de Estados Unidos el día i de la batalla, se obtiene com o resultado (véase Engel [2])

a=

S

- 0 0544-

(,2 )

La Figura 3 com para los valores reales del poderío de Estados Unidos con los valores predichos por la ecuación (7a) (con a = 0.0544 y b = 0.0106). La sem ejanza es sor­ prendentem ente buena. De m odo que un modelo de Lanchester parece realm ente des­ cribir ios enfrentam ientos de la vida real.

FIG U RA 3. C om paración del poderío bélico real con el poderío predicho O b s e r v a c i ó n . Los valores usados para los refuerzos de Estados Unidos incluyen a t o d o el contingente desem barcado, tanto tropas de com bate como de apoyo. De modo que los núm eros a y b que se calcularon deben ser interpretados com o la efectividad p r o m e d i o por persona en la isla.

Bib l io g r a f ía 1. Colem an, C .S ., C om bat M odels, MAA W orkshop on M odules in Applied Math, Com ell University, agosto 1976. 2. Engel, J .H ., A verification o f Lanchester’s Law, O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 2, (1954), 163-171. 3. Howes, D .R ., y Thrall, R .M ., A theory o f ideal linear weights for heterogeneous com bat forces, N a v a l R e s e a r c h L o g i s t i c s Q u a r t e r l y , vol. 20, 1973, págs. 645-659.

407

4.5 • Teorías m atem áticas de la guerra

4. Lanchester, F. W., Aircrafí in Warfare, the Dawn o f the Fourth A r m . Tiptree, Cons­ table y Co. Ltd, 1916. 5. M orehouse, C .P ., The Iwo Jima Operation, USMCR, Historical División, Hdqr. USM C, 1946. 6. Newcomb, R .F., Iwo Jima. New York: H olt, Rinehart y W inston, 1965.

Ej e r c i c i o s 1. Deduzca las ecuaciones (7a) y (7b). 2. El sistema de ecuaciones y — — by — cxy

(13)

es un modelo lanchesteriano para com bate fuerza “ convencional’’-guerrilla en el que la tasa de pérdidas operacionales de la fuerza de guerrilla y es proporcional a y (/). (a) Determine las órbitas de (13). (b) ¿Quién gana la batalla? 3. El sistema de ecuaciones y — — b x — cxy

(14)

es un modelo de Lanchester para un com bate fuerza “ convencional’’-guerrilla, en el que la tasa de pérdidas operacionales de la fuerza de guerrilla y es proporcional al poderío de la fuerza “ convencional” x. Encuentre las órbitas de (14). 4. El sistema de ecuaciones y — ~ dxy

(15)

es un m odelo lanchesteriano para com bate guerrilla-guerrilla, en el que las tasas de pérdidas operacionales son despreciables. (a) Determine las órbitas de (15). (b) ¿Quién gana la batalla? 5. El sistema de ecuaciones y — —bx —dxy

(16)

es un modelo lanchesteriano para com bate guerrilla-guerrilla, en el que la tasa de pérdidas operacionales de cada una de las fuerzas es proporcional al poderío del oponente. Halle las órbitas de (16).

6.

El sistema de ecuaciones x=-ax-cxy

y = —by —dxy es un modelo de Lanchester para com bate guerrilla-guerrilla, en el que la tasa de pérdidas operacionales de cada una de las fuerzas es proporcional a su poderío.

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

408

(a) Encuentre las órbitas de (17). (b) Demuestre que tanto el eje x como el y son órbitas de (17). (c) U sando el hecho (que será dem ostrado en la Sección 4.6) de que las órbitas de (17) no se pueden intersecar dem uestre que no hay un ganador claro de la batalla. Sugerencia: Demuestre que ni x ( t ) ni y (t) pueden alcanzar el valor cero en un tiem po finito. (Usando los Lemas 1 y 2 de la Sección 4.8, es fácil demos­ trar que tanto x(t) com o y (t) tienden a cero cuando / -*• °°.)

4 .6

P r o p ie d a d e s c u a l i t a t i v a s d e l a s ó r b it a s

En esta sección se deducirán dos propiedades muy im portantes, tanto de las soluciones como de las órbitas del sistema de ecuaciones diferenciales ’* r x=

f(x) =

(O

...

x = f(x),

**

H

La prim era propiedad trata de la existencia y unicidad de las órbitas, y la segunda, de la existencia de soluciones periódicas de ( 1). Se iniciará el análisis con el siguiente teore­ ma de existencia y unicidad para las soluciones de ( 1).

T eo rem a 3. Supóngase que cada una de las funciones

f

(x,, . . ., x n), . . . , f n(xx, . . . , x„) tiene derivadas parciales continuas con respecto a X\ , x n. Entonces, el problema de valor inicial x = f(x), x(t0) = x° tiene una y sólo una solución x = x(t), para toda x° en R". El Teorem a 3 se dem uestra exactamente de la misma m anera que el teorem a de exis­ tencia y unicidad para la ecuación diferencial escalar x = f ( t , .x). De hecho, la demos­ tración dada en la Sección 1.10 puede transcribirse aquí palabra por palabra. Sólo se necesita interpretar la cantidad |x(T) - y(/)| como W

0 - y ( 0 l= n iá x { |x 1( 0 - ^ 1( 0 | , - - . , | ^ ( 0 - ^ ( 0 l}.

entonces la dem ostración del Teorem a 2 de la Sección 1.10 es válida incluso para fun­ ciones con valores vectoriales f(í, x) (Ejercicios 13 y 14). Además se necesita el siguiente lema sencillo, aunque extrem adam ente útil.

Lema i . Si x = (t) es solución de (I), entonces x —
+ c) es también

La interpretación del Lema 1 es la siguiente. Sea x = <£(/) una solución de (1) y sustitúyase toda t en la fórm ula de (t) por t + c. De esa manera se obtiene una nueva función x(t) = 4>{t + c). El Lem a 1 establece que x (0 es también una solución de (1). Por ejemplo, x¡ = tan t, x 2 = sec21 es una solución del sistema de ecuaciones diferen­

4.6 • Propiedades cualitativas de las órbitas

409

cíales d x^/d t = x 2, dx2/ d t = 2X]X2. Por lo tanto, x¡ = t a n (t + c), x 2 = sec2(/ + c) es tam bién una solución para cualquier constante c. D e m o s t r a c ió n d e l Le m a 1 . sí x = (t) es solución de (i), entonces d{t)/dt = f ((/)); es decir, las dos funciones d
(t + c) = h(t + c) = f((r + c)).

Pero d/dt evaluada en / + c es igual a la derivada de x(t) = 4>(t + c) evaluada en t. P or consiguiente j ; t ( t + c) = t(4(t + c)).

□

O b s e r v a c i ó n 1 . La afirm ación de Lema 1 puede verificarse explícitamente para la ecuación lineal x = Ax. Toda solución x(t) de esta ecuación es de la forma x(t) = e At\, para algún vector constante v. De modo que x( t + c) = eMt +c)v = eAleAcv ya que (Ar)Ac = Ac(Ar) para cualesquiera valores de / y c. Por lotanto, x(t + c) es tam bién una solución de x = Ax, ya que es de la form a e At multiplicada por elvector constante e Ac\ . O b s e r v a c i ó n 2 . El Lema 1 no es válido si la función f en (1) depende explícitamen­ te de t. P ara verlo, supóngase que x = es una solución de la ecuación diferencial no autónom a x = f(/, x). Entonces, (t + c) = f( t + c, (t + c)). Por consiguiente, la función x — 4>{t + c) satisface la ecuación diferencial x = f(í + c,x), y tal ecuación es diferente de ( 1) si f depende explícitamente de t. A hora es posible deducir las siguientes propiedades muy im portantes de las solu­ ciones y órbitas de ( 1). PROPIEDAD ^ . (Existencia y unicidad de órbitas.) Supóngase que cada una de las fun­ ciones f i ( x i , . . . , x n), , . . . , x n) tiene derivadas parciales continuas con res­ pecto a X |, . . . , x n. Entonces existe una y sólo una órbita a través de cada punto x° en R". En particular, si las órbitas de dos soluciones x = (¡>{t) y x = ip(t) de (1) tienen un punto com ún, entonces deben ser idénticas. P r o p ie d a d 2 . Sea x = <¡)(t) una solución de (1). Si T ) es idénticamente igual solución x(t) de (1) regresa a su valor inicial después de ser periódica con periodo T (es decir, debe repetirse tQ y T > 0, entonces 4>{t +

4>{t0 ) para alguna a 0, entonces debe a intervalos de magnitud T.)

4>(t0 + T ) -

D e m o s t r a c ió n de l a P r o p ie d a d i . Sea x° un punto cualquiera en el espacio fase x {, . . . , x„, de dimensión n, y sea x - 4>{t) la solución del problem a de valor ini­

410

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

cial x = f(x), x(0) = x°. La órbita de esta solución pasa por x°. De modo que existe al menos una órbita a través de cada punto x°. Supóngase ahora que la órbita de algu­ na otra solución x = ip (t) también pasa por x°. Esto significa que existe to i^O ), tal que 0 (ío) = x°. Pero entonces, por el Lema 1 x = 0 (/ + t 0) es también una solución de (1). Obsérvese que 0 (/ + íq) y 0 (0 tienen el mismo valor en / = 0. Por lo tanto, por el Teorema 3, se tiene que 0(f + r0) es a 0 (0 Para todo tiempo t. Eso implica que las órbitas de 0 (0 y 0 (0 son idénticas. De hecho si £ es un punto de la órbita de 0 (0 , es decir, £ = 0 (0 ) para alguna o , entonces £ está también en la órbita de 0(0 , ya que £ = 0 (0 ) = 0(0 + 0))- Recíprocamente, si £ es un punto de la órbita de 0 (0 , es decir, existe t 2 tal que 0 (0 ) = £, entonces £ está tam­ bién en la órbita de 0 (0 , ya que £ = 0 (0 ) = 0 (0 “ fo)D e m o s t r a c ió n de l a p r o p ie d a d 2 . Sea x = 0 (0 una solución de (1) y supón­ gase que 0 (ío + T ) = 0 (0 ) para algún par de números O y T. Entonces la función 0 (0 = V + T ) es también una solución de (1) que coincide con 0 (0 en el tiempo t = 0 - P ° r 1 ° tanto, por el Teorema 3, 0(0 = 0 0 + T ) es idénticamente igual a 0(0-

La Propiedad 2 es muy útil en las aplicaciones, especialmente cuando n = 2. Sea

x = jc(0, y — y i,0 tina solución periódica del sistema de ecuaciones diferenciales

T t = g ^x 'y }'

^

Si x ( t + T ) = x ( t ) y y ( t + T ) = .y(0, entonces la órbita de la solución es una curva cerrada C en el plano x y . En cualquier intervalo de tiempo í 0 < í < /0 + T , la solu­ ción se mueve una vez a lo largo de C . Recíprocamente, supóngase que la órbita de una solución x = * (0 , y = ,y(0 de (2) es una curva cerrada que no contiene puntos de equilibrio de (2). Entonces la solución x = * (0 , y = ^ (0 es periódica. Para demos­ trarlo, recuérdese que una solución x = x ( t ) , y = ,y(0 de () se mueve a lo largo de su órbita con velocidad [ f 2 (x, y ) + g 2 (x, y ) \ Vl. Si su órbita C es una curva cerrada que no contiene puntos de equilibrio de (2), entonces la función [ f 2(x, y ) + g 2{x, y ) ] Vl tie­ ne un mínimo positivo para (x , y ) en C . Por lo tanto, la órbita de x = * (0 , y = y i 0 debe regresar a su punto inicial x 0 - jc(í0), y o = y U o ) en algún tiempo finito T. Pero eso implica que x ( t + T ) = x ( t ) e y ( t + T ) = y ( t ) para toda t.

Ejem p lo i Demostrar que toda solución z ( t ) de la ecuación diferencial de segundo orden (d 2z / d t 2) + z + z 3 = 0 es periódica. D e m o s t r a c ió n . Primero se transforma esta ecuación de segundo orden en un sis­ tema de dos ecuaciones de primer orden. Esto se logra haciendo x = z , y = d z / d t . Entonces — = v dt

y '

— = dt

Las órbitas de (3) son las curvas soluciones

x

-

jc3

'

(3) U

411

4.6 • Propiedades cualitativas de las órbitas

de la ecuación escalar d y / d x = ~ (x + x 3)/y. La ecuación (4) define una curva cerra­ da en el plano xy (Ejercicio 7). Más aún, el único punto de equilibrio de (3) es x = 0,.y = 0. Por consiguiente, toda solución x = z ( t ) , y = z '( t de (3) es una función perió­ dica en el tiem po. Nótese, sin em bargo, que no es posible calcular el periodo de ningu­ na solución particular.

Ejem plo 2

Dem ostrar que toda solución del sistema de ecuaciones diferenciales d x — v e l + x í +y 1

es periódica.

dt

’

y

dt

+x 2+y 2

—

/C-J

W

S o l u c i ó n . Las órbitas de (5) son las curvas solución x 2 + y 2 = c 2 de la ecuación escalar de prim er orden d y / d x = —x / y . Más aún, x = 0, y = 0 es el único punto de equilibrio de (5). P or consiguiente, toda solución x = x{t), y = y{t) de (5) es una fun­ ción periódica en el tiem po.

Ej e r c i c io s 1. Demuestre que todas las soluciones x(t), y(t) de dx 2L - j p —x + y s e n x ,

4y

i . . — — 1 + x y + cos_y

que empiezan en el prim er cuadrante (x > 0, y > 0) deben permanecer en él para todo tiem po (tanto hacia adelante como hacia atrás.) 2. Demuestre que todas las soluciones x(t), y{t) de 4*. = y( ex - i) dt

yKe

que empiezan en el sem iplano derecho (a: tiem po.

dt

= x + ey

>

0 ) deben permanecer en él para todo

3. Pruebe que todas las soluciones x{t), y{t) de ^ = xy + tany

4£- = \ + x 2+ y 2, que empiezan en el semiplano superior ( y > tiem po. 4.

0) deben

permanecer en él para todo

Demuestre que todas las soluciones * (/), y{t) de i

dx

. 2

4y

que empiezan en el interior del círculo unitario x 2 + y 2 = en él para todo tiem po. Sugerencia: Calcule d (x2 + y 2)/dt. 5.

1 deben

Sea x(t), y(t) una solución de É í = y + X2 dt y ^ x ’

4y- = x + y1 dt x y

con x ( t 0) # y ( t 0). Pruebe que x(t) no puede ser nunca igual a y(t).

permanecer

412

6.

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ¿Puede una curva en form a de

8 ser

una órbita de

donde / y g tienen derivadas parciales continuas con respecto a a- y a y ! 7. Demuestre que la curva y 2 + x 2 + x 4/2 = l e 2 es cerrada. Sugerencia: Pruebe que existen dos puntos y = 0, x = ±cc que están en esta curva. Demuestre que todas las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo orden son periódicas. 8.

9.

di1

10. 4

dt2

+ ,* * - !

11.

d 2z dt2 d 2z dt2

+ z + z 5= 0

+

z

\+ z2

-o

12. Demuestre que todas las soluciones z(t) de d 2z +z . —2 o z 3 —0 n —-

dt2

son periódicas si z 2(0) + z 2(0) - z 4(0) < ‘/ i , y no acotadas si ¿ 2(0) + z 2( 0 ) - z 4( 0 ) > ¿ .

13.

(a) Sea L = nX

(b)

máx

i,j'ml,...,/l

|3/¡-/3*/|,

for

|x-x°|<¿>.

Pruebe que |f(x) - f(y)| < L \ x - y| si |x - x°| < b y |y - x°| < b. Sea M = m áx|f(x) para | x — x° | < b. Demuestre que las iteraciones de Picard x,• + ,( / ) - x° + f ‘f ( x / s ) ) d s ,

Xq(í) —x°

convergen a una solución x(/) del problem a de valor inicial x = f(x), x(t0) = x° en el intervalo \t - /0| ^ b /M . Sugerencia: La dem ostración del Teorema 2 de la Sección 1.10 puede ser usada palabra por palabra en este caso. 14.

Calcule las iteraciones de Picard xy(/) del problem a de valor inicial x = Ax, x(0) = x°, y verifique que se aproxim an a e Xtx° cuando j tiende a infinito.

4 .7

R e t r a t o s f a s e d e s is t e m a s l in e a l e s ______________

En esta sección se presenta una descripción com pleta de todas las órbitas de la ecuación diferencial lineal

i= A x ’

*= (£ )■

A = (“

d i

(1 )

4.7 • Retratos fase de sistemas lineales

413

Dicha descripción se conoce como un retrato fase, y depende casi por completo de los valores característicos de la matriz A. Tam bién cambia notablem ente si los valo­ res característicos de A cam bian de signo o se vuelven imaginarios. Al estudiar la ecuación 1, con frecuencia es de gran ayuda representar un vector

en R2 como una dirección, o un segmento dirigido, en el plano. Sea

un vector en R2 y trácese el segmento dirigido x del punto (0, 0) al punto (*[, x 2) como se m uestra en la Figura la. Este segmento dirigido es paralelo a la recta que pasa por (0, 0) y cuyos números directores son x {, x 2, respectivamente. Si se representa al vec­ tor x como el segmento dirigido x, entonces se ve que los vectores x y ex son paralelos si c es positiva, y antiparalelos si c es negativa. Tam bién es posible dar una elegante interpretación geométrica de la suma de dos vectores. Sean x y y dos vectores en R2. Trácese el segmento dirigido je y adjúntese el vector y a la punta de x. El vector x + y es entonces la composición de ambos segmentos dirigidos (Fig. 2). Esta construcción se conoce como la regla o ley del paralelogram o de la adición de dos vectores.

F ig u r a 1 .

F ig u r a

2.

414

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

A hora es posible describir los retratos fase de ( 1). Denótense por valores característicos de A. Pueden distinguirse los siguientes casos:

y X2 los dos

1. Xi < X[ < 0. Sean v 1 y v 2 los vectores característicos de A con valores carac­ terísticos X! y X2, respectivamente. Trácense en el plano X\X2 las cuatro semirrectas /j, / j , ¡i, l'i com o se muestra en la Figura 3. Los rayos lx y /2 son paralelos a v 1 y v 2, mien­ tras que los rayos l\ y /2 son paralelos a - v 1 y - v 2. Obsérvese prim ero que x (0 = cex‘/v 1 es una solución de (1) para cualquier constante c. Esta solución es siempre pro­ porcional a v 1, y la constante de proporcionalidad, cex,‘, varía de ±oo a cero, depen­ diendo de si c es positiva o negativa. Por lo tanto, la órbita de esta solución es la semi­ rrecta ¡x para c > 0, y la sem irrecta /j para c < 0. Análogam ente la órbita de la solución x(/) = ceXl‘\ 2 es la sem irrecta /2 para c > 0, y la semirrecta /2 para c < 0. Las flechas sobre las cuatro líneas de la Figura 3 indican en qué dirección se mueve x (0 a lo largo de su órbita. Recuérdese, además, que toda solución x(t) de (1) puede escribirse en la forma x(/) = c 1cX|,v 1 + c2eXl‘v2

( 2)

para un par de constantes q y c2. Obviamente, toda solución x(t) de (1) tiende a (o) cuando t tiende a infinito. Por lo tanto, toda órbita de (1) tiende al origen x x = x 2 = 0 cuando / tiende a infinito. Es posible incluso hacer una afirm ación más fuerte si se observa que e x- \ 2 es muy pequeño com parado con e X|ív 1, cuando / es grande. Por lo tanto, para c { £ 0, x(r) se aproxim a cada vez más a c ,e X|/v 1 conform e t tiende a infi­ nito. Esto implica que la tangente a la órbita de x(r) tiende a l x si c x es positiva; y a l \|, si Ci es negativa. De modo que el retrato fase de (1) tiene la form a descrita en la Figura 3. La característica distintiva de este retrato fase es que todas las órbitas, con excepción de una sola recta, tienden al origen en una dirección fija (si se consideran como equivalentes las direcciones v 1 y - v 1. En tal caso se dice que la solución de equi­ librio x = 0 de ( 1 ) es un nodo estable.

F i g u r a 3. Retrato fase de un modelo inestable

4.7 • Retratos fase de sistemas lineales

415

O b s e r v a c i ó n . La órbita de toda solución x(t) de (l) tiende al origen X\ = x 2 = 0 cuando t tiende a infinito. Sin em bargo, ese punto no pertenece a la órbita de ninguna solución no trivial x(/). 1'. 0 < < X2. En este caso, el retrato fase de (1) es exactamente el mismo que en la Figura 3, excepto que el sentido de las flechas es el opuesto. P or lo tanto, la solu­ ción de equilibrio x(r) = 0 de ( 1) es un nodo inestable, si ambos valores característicos de A son positivos. 2. X( = X2 < 0. En este caso, el retrato fase de (1) depende de si A tiene uno o dos vectores característicos linealmente independientes, (a) Supóngase que A tiene dos eigenvectores linealmente independientes v l y v 2 con valor característico X < 0. En tal caso, toda solución x(/) de ( 1) puede expresarse en la form a x(/) = q e xV + c2eXt\ 2 = eXt (c ,v l + c2v2)

( 2)

para alguna elección de constantes q y c2. A hora bien, el vector e X/( q v l + c2v 2) es paralelo a q v l + c2\ 2 para toda t. Por lo tanto, la órbita de cualquier solución x(t) de (1) es una semirrecta. Más aún, el conjunto de vectores { q v 1 + c 2v 2}, para todas las elecciones de c, y c2, cubren cualquier dirección en el plano x xx 2, ya que v 1 y v 2 son linealmente independientes. Por lo tanto, el retrato fase tiene la form a descrita en la Figura 4a. (b) Supóngase que A tiene solamente un vector característico v linealmen­ te independiente, con valor característico X. En tal caso, x l (/) = e x' \ es solución de (1). Para encontrar una segunda solución de (1) que sea linealmente independiente de x 1, obsérvese que (A - XI)2u = 0 para todo vector u. Por lo tanto, x(/) = eAtu = eXte ('A~xl)tu = ex'[u 4 - /(A —AI)u]

(3)

es solución de (1), para cualquier elección de u. La ecuación (3) puede simplificarse observando que (A - XI)u debe ser un múltiplo k de v. Esto se sigue inmediatamente de la ecuación (A - XI)[(A - XI)u] = 0, y el hecho de que A tiene sólo un vector carac­ terístico v linealmente independiente. Eligiendo u linealmente independiente de v, se ve que cualquier solución x(/) de ( 1) puede escribirse en la form a x(t) = c {eXtv+ c2eXt (u + ktv) = ex‘ (q v 4 - c2u + c2ktv),

(4)

para alguna elección de constantes q y c2. Obviamente, toda solución x(t) de (1) tien­ de a (o) cuando t tiende a infinito. Además, obsérvese que q v + c2u es muy pequeño com parado con c2k tv si c2 es diferente de cero y t es muy grande. P or lo tanto, la tan­ gente a la órbita de x(Ó tiende a ±v (dependiendo del signo de c2) cuando t tiende a infinito, y el retrato fase de (1) tiene la form a descrita en la Figura 4b.

2 . Xi = X2 > 0. Los retratos fase de (1) en los casos (2a)' y (2b)' son exactamen­ te los mismos que en las Figuras 4a y 4b, excepto que la dirección de las flechas es la opuesta. 3. X, < 0 < X2. Sean v ! y v2 vectores característicos de A con valor característico co Xj y X2, respectivamente. Se trazan en el plano x lx 2 las cuatro semirrectas l {, l\ y l 2 l 2 : las sem irrectas/i y / 2 son paralelas a v 1 y v2, mientras que las semirrectas / j y Í2

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

416

F ig u r a 4. deberán serlo a - v ' y - v 2. Obsérvese primero que toda solución x(t) de (1), es de la forma x (/) = c 1eA‘,vl + c2eX2' \ 2

(5)

para alguna elección de constantes c x y c2. La órbita de la solución x{t) = c 1e X|/v 1 es / j para c¡ > 0 y /'[ para c t < 0, m ientras que la órbita de la solución x(/) = c2e Xjív‘ es /2 para c2 > 0 y /2 para c 2 < 0. Nótese tam bién el sentido de las flechas sobre l\,

F ig u r a

5 . Retrato fase de un punto silla (de montar).

417

4.7 • Retratos fase de sistemas lineales

l\ > h y l 2 >Ia solución x(/) = C]eX|,v l tiende a ( 0) cuando / tiende a infinito, mientras que la solución x(/) = c2e Xl‘\ 2 es no acotada (para c2 ^ 0) cuando / tiende a infinito. Obsérvese además que e X|'v ' es muy pequeño, com parado con e Xl‘\ 2, cuando / crece mucho. P o r lo tanto, toda solución x{t) de (1) con c2 í 0 es no acotada cuando / tien­ de a infinito y su órbita tiende a l2 o bien a Í2. Obsérvese por último que eXl' \ 2 es muy pequeño com parado con eXl' v l, cuando / crece mucho con signo negativo. Por lo tanto, la órbita de cualquier solución x(/) de ( 1), con c x ¥= 0, tiende a /,0 bien a /j cuando / tiende a menos infinito. P or consiguiente, el retrato fase de (1) posee la forma descrita en la Figura 5. Este retrato fase se asemeja a una “ silla de m ontar” cerca de X[ = x 2 = 0. Es por eso que se dice que la solución de equilibrio x(t) = 0 de (1) es un punto silla si los valores característicos de A tienen signos opuestos. 4. X] = a + //3, X2 = a - ¡(3, (3 = 0. El prim er paso para deducir el plano fase de (1) es encontrar la solución general de (1). Sea z = u + /v un eigenvector de A con eigenvalor característico a + i(3. Entonces x (/) = e(ot + ‘P (u + /v) = e at (eos (3t + i sen/?/)(u + /v) = e “'[u co s/?/ —vsen/?/] + /e “'[u sen /?/+ veos/?/] es una solución con valores complejos de (1). Por lo tanto, x ,(/) = e 0t'[ u c o s ^ / —vsen/?/]

y x2( /) = e [ u sen/?/ + v eos /?/ ] son dos soluciones con valores reales de ( 1 ) linealmente independientes y toda solución x(/) de (1) es de la form a x(/) = c{x l(t) + c2x 2(/). Esta expresión puede escribirse en la form a (Ejercicio 15)

<« para alguna elección de constantes tes casos: (a) a = 0: Obsérvese que

> 0, R 2 > 0, <5t y d2. Se distinguirán los siguien­

x l (t) = R i c o s ( / 3 t - 8 l )

y

* 2(/) = R 2cos( (3t - 82)

son funciones periódicas en el tiem po, con periodo 2r/(3. La función *](/) varía entre - R ¡ y + R j , mientras que x 2(t) varía entre - R 2 y + R 2. Por consiguiente, la órbita de cualquier solución x(/) de ( 1) es una curva cerrada que rodea al origen x { = x 2 = 0, y el retrato fase de (1) tiene la form a descrita en la Figura 6a. Es por esa razón que se dice que la solución de equilibrio x(/) = 0 de ( 1) es un centro cuando los valores característicos de A son imaginarios puros. La dirección de las flechas en la Figura 6a debe ser determ inada a partir de la ecua­ ción diferencial ( 1). La m anera más sencilla de hacerlo es encontrando el signo de x 2, cuando x 2 = 0. Si x 2 es m ayor que cero para x 2 = 0 y x { > 0, entonces todas las solu­ ciones x(/) de (1) se mueven en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si x 2 es m enor que cero para x 2 = 0 y x { > 0, entonces todas las soluciones x(/) de ( 1) se mue­ ven en el sentido de las manecillas del reloj.

418

FIGURA

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

6. (a)

a

= O; (b)

a

<

0;

(c)

a

>

0.

(b) a < 0: En este caso, el efecto del factor e at sobre la ecuación (6) es el de cam­ biar las simples curvas cerradas de la Figura 6a en las espirales de la Figura 6b. Esto se debe a que el punto x(2x//3) = e 2va/l3x(0) está más cerca del origen que x(0). Una vez más, la dirección de las flechas debe determ inarse a partir de la ecuación diferencial (1). En este caso, se dice que la solución de equilibrio x(/) = 0 de (1) es un foco estable. (c) a > 0: En este caso, todas las soluciones de (1) describen espirales que se ale­ jan del origen cuando t tiende a infinito (Fig. 6c), y se dice que la solución de equilibrio x (0 = 0 de ( 1) es un foco inestable. Por últim o, es im portante m encionar que los retratos fase de los sistemas no linea­ les, en la vecindad de un punto de equilibrio son, con frecuencia, muy similares a los retratos fase de sistemas lineales. Dicho con más precisión, sea x = x° una solución

4.7 • Retratos fase de sistemas lineales

419

de equilibrio de la ecuación no lineal x = f(x) y hágase u = x - xu. Entonces (Sección 4.3) puede escribirse la ecuación diferencial x = f(x) en la form a ú = Au + g(u)

(7)

donde A es una m atriz constante y g(u) es muy pequeña com parada con u. El siguiente teorem a se enunciará sin dem ostración.

TEOREMA 4. Supóngase que u = 0 es un nodo, un punto silla o bien un fo c o de la ecuación diferencial ú = Au. Entonces, el retrato fa se de la ecua­ ción diferencial x = f(x), en una vecindad de x = x°, tiene una de las form as descritas en las Figuras 3, 5 y 6 (b y c), dependiendo de si u = 0 es un nodo, un p u n to silla o bien un f o c o . Ejem plo 1

T razar el retrato fase de la ecuación lineal * = Ax = ( ~ 4

ly)*'

W

S o l u c i ó n . Puede verificarse fácilmente que

v' =(¡)

y v2=ü)

son vectores característicos de A con valores característicos - 3 y - 6, respectivamente. P or lo tanto, x = 0 es un nodo estable de (8), y el retrato fase de ( 8) tiene laforma descrita en la Figura 7. La semirrecta l x form a un ángulo de 45° con eleje x x, en tanto que la sem irrecta l2 form a un ángulo de 6 grados con el eje x {, donde tan 0 = 4.

Fi g u r a 7 . Retrato fase de (8)

420

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ejem plo

2

Esquem atizar el retrato fase de la ecuación lineal *

=

Ax=(_3

~

| ) x -

(9 >

S o lu c ió n . Es muy fácil verificar que

v'=(!)

y

v2=( ~! )

son vectores característicos de A con valores característicos - 2 y 4, respectivamente. Por lo tanto, x = 0 es un punt o silla de (9) y su retrato fase tiene la form a descrita en la Figura 8. La semirrecta /j form a un ángulo de 45° con el eje A'|, y la semirrecta l2 forma un ángulo recto con /,.

F ig u r a 8. R etrato fase de (9)

Ejemplo 3

Esquem atizar el retrato fase de la ecuación lineal x=Ax=( l ¡

*2

FIGURA 9. Retrato fase de (10)

_ ¡ ) x-

(10)

4.7 • Retratos fase de sistemas lineales

421

S o l u c i ó n . Los valores característicos de A son -1 ± i. Por lo tanto, x = 0 es un foco estable de ( 10) y toda órbita no trivial de ( 10) describe una espiral acercándose al origen cuando t tiende a infinito. P ara determ inar el sentido de rotación de la espiral, obsérvese que x 2 = -X\ cuando x 2 = 0. Así pues, x 2 es negativa para x¡ > 0 y x 2 0. Por consiguiente, todas las órbitas no triviales de (10) describen espirales hacia el origen y en el sentido de las manecillas del reloj, com o se m uestra en la Figura 9.

Ej e r c i c io s Esquematice los retratos fase de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones dife­ renciales. -!)■ *•*■(■;

:¡) ‘ -í)‘

■•*-(:

::) ■

’• * ■ ( - ! »*-(!

» * - (.;

" !)“

‘ *-(5

:;)■

«■“

(-!

■ ;)-!)■ -!)■

10. Demuestre que cualquier órbita de *■(-!

es una elipse.

:)■

11. La ecuación de movimiento de un sistema masa-resorte con am ortiguamiento (Sec­ ción 2.6) es m z + cz + kz = 0, donde m, c y k son números positivos. Transfor­ me esta ecuación a un sistema de ecuaciones de prim er orden para x = z, y = z y esquematice el retrato fase de dicho sistema. Identifique los casos sobreamortiguado, críticamente am ortiguado y subam ortiguado. 12. Suponga que una matriz A de 2 x 2 tiene dos vectores característicos linealmente independientes con valor característico X. Demuestre que A = XI. 13. Este problem a ilustra el Teorem a 4. Considere el sistema ¿i dt

y'

dt

x

+2x*

*

n

v }

(a) Demuestre que la solución de equilibrio x - 0, y — 0 del sistema linealizado x = y> y - x es un punto silla y trace el retrato fase del sistema linealizado. (b) Determine las órbitas de (*) y trace luego su retrato fase. (c) Demuestre que hay exactamente dos órbitas de (*) (una para x > 0 y otra para x < 0) para las cuales x -* 0, y -* 0 cuando t De m anera similar, hay exactam ente dos órbitas de (*) para las cuales x -* 0, y 0 cuando t -* -°°. Así pues, obsérvese que los retratos fase de (*) y del sistema linealizado son similares cerca del origen. 14.

Verifique la ecuación (6). Sugerencia: La expresión a cos u t + b sen puede escri­ birse en la form a R co s(ut - 5) para una elección adecuada de R y 5.

422

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

4 .8

C o m p o r t a m ie n t o d e l a s s o l u c i o n e s p a r a

TIEMPOSGRANDES; TEOREMA DE POINCARÉ-BENPIXSON A hora se considerará el problem a de determ inar el com portam iento para valores gran­ des del tiem po de todas las soluciones de la ecuación diferencial

f(x) =

..

X=

2?

x = f(x),

.

/ l (*1> ■•■>*„)

■*r

Este problem a ya se resolvió com pletam ente en el caso especial f(x) = Ax. Según se vio en las Secciones 4. y 4.7, todas las soluciones x(T) de x = Ax exhiben alguno de los siguientes cuatro tipos de com portam ientos: (i) x(r) es constante com o función del tiempo; (ii) x(t) es una función periódica del tiem po; (iii) x(r) no está acotada cuan­ do t tiende a infinito; (iv) x(t) tiende a un punto de equilibrio cuando t tiende a infinito. Una solución parcial al problem a, en el caso de f(x) no lineal, fue discutida en la Sección 4.3. En dicha sección se dan condiciones suficientes para que toda solución x(t) de ( 1), cuyo valor inicial x(0) está suficientemente cerca de un punto de equilibrio £, tienda a £ cuando t tiende a infinito. En muchas aplicaciones con frecuencia es posible ir aún más lejos y dem ostrar que cualquier solución físicamente (biológicamente) rea­ lista tiende a un mismo punto de equilibrio conform e transcurre el tiem po. En ese con­ texto, los siguientes dos lemas desempeñan un papel extrem adam ente im portante.

L e m a 1 . Sea g(t) una fu n ció n monótona creciente (decreciente) del tiempo para t > t0, con g(t) < c (> c ) para alguna constante c. Entonces, g(t) tiene un límite cuando t tiende a infinito. DEMOSTRACIÓN. Supóngase que g(t) es m onótona creciente para t > t0, y que g(t) está acotada en la parte superior. Sea / la m ínim a cota superior de y, es decir, / es el menor de los números que no es excedido por los valores de g(t), para t > t0. Dicho núm ero debe ser el límite de g(t) cuando t tiende a infinito. P ara dem ostrarlo, tómese e > 0 y obsérvese que existe un tiem po te > t0, tal que / - g ( t e) < e. (Si no existe tal tiem po te , entonces / no es la m ínim a cota superior de g.) Dado que g(t) es m onótona, se ve que l — g(t) < e para t > te. Eso m uestra que / = lím,^oog(T).

□

L e m a 2 . Supóngase que una solución x(t) d e{ 1) tiende a un vector £ cuando t tiende a infinito. Entonces £ es un p u n to de equilibrio de (1). DEMOSTRACIÓN. Supóngase que X(T) tiende a £ cuando t tiende a infinito. Entonces xj(t) tiende a £y, donde £y- es la com ponente j de £. Esto implica que |xy(/j) - Xj(t2)\ tiende a cero cuando ti y t2 tienden a infinito, ya que

423

4.8 • Teorema de Poincaré-Béndixson

En particular, sea t x = t y t2 = t x + h para algún número positivo fijo h. Enton­ ces, \xj(t + h) — Xj(t) | tiende a cero cuando t tiende a infinito. Pero ¿ x ( t) X j ( t + h ) - xj ( t ) = h — j j —

t),...,* „(t)),

=

donde r es algún número entre t y t + h. Obsérvese por último que f j { x x{T), . . . , x n(j)) debe tender a /} (£ i, . . . , £„) cuando t tiende a infinito. Por lo tanto, f j (£¡, . . . , £„) = 0, j = 1 ,2 , . . . , / ? , lo que term ina la dem ostración del Lema 1.

Ej e m p l o -i

C onsiderar el sistema de ecuaciones diferenciales ^

= ax - bxy - e x 2,

~ = - cy + dxy - f y 2

( 2)

donde a, b, c, d, e y / s o n constantes positivas. Este sistema (Sección 4.10) describe el crecimiento poblacional de dos especies x y y, donde la especie y depende de la espe­ cie x para sobrevivir. Supóngase que c / d > a/e. Dem ostrar que toda solución x(t), y (t) de (2) con jc(0) yMO) > 0 tiende a la solución de equilibrio x = a / e , y = 0 cuando t tiende a infinito. SOLUCIÓN. El primer paso consiste en m ostrar que cualquier solución jc(0, y{t) de (2) que empieza en el prim er cuadrante (x > 0, y > 0) en t = 0, debe permanecer en el primer cuadrante para todo tiempo futuro. (Si no fuera así, entonces el modelo podría no corresponder a la realidad.) P ara ello, recuérdese de la Sección 1.5 que axn * ( ' ) ’--------77--------- — exQ + { a - e x 0)e

7

.

y (t)~ o

es una solución de (2) para cualquier elección de jc0. La órbita de esta solución es el punto (0, 0) para x 0 = 0; la recta 0 < x < a /e para 0 < x 0 < a / e ; el punto {a/e, 0)

y

F ig u r a

a.

424

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

para x 0 = a / e ; y la recta a / e < x < para x 0 > a / e . Así pues, el eje x , para x > 0, es la unión de cuatro órbitas disjuntas de (2). De m anera similar (Ejercicio 14), el eje .y en su parte positiva es una sola órbita de (2). De m anera que si una solución x { t ) , y ( t ) de (2) abandona el prim er cuadrante, entonces su órbita debe cruzar alguna otra, lo que no está perm itido por la unicidad de las órbitas (Propiedad 1 de la Sección 4.6). El siguiente paso consiste en dividir el primer cuadrante en regiones donde d x / d t y d y / d t tienen signos fijos. Eso se logra trazando las rectas l x \ a - b y — e x = 0 y /;: — c + d x —f y — 0, en el plano x y . Dichas rectas dividen el primer cuadrante en tres regiones I, II y III, como se m uestra en la Figura 1. (Las rectas l{ y /2 no se cortan en el primer cuadrante si c / d > a / e . ) Obsérvese, adem ás, que e x + b y es m enor que a en la región I, m ientras que e x + b y es m ayor que a en las regiones II y III. P or consi­ guiente, d x / d t es positiva en la región I y negativa en las regiones II y III. De la misma m anera, d y / d t es negativa en las regiones I y II, y positiva en la región III. A continuación se dem ostrarán cuatro lemas sencillos. L e m a 3. T o d a s o l u c i ó n x ( t ) , y ( t ) t = tQ p e r m a n e c e e n e sa r e g ió n

p o

m e n te

tie n d e

a

la

so lu c ió n

d e

d e

(2) q u e

p a r a

e q u ilib rio

e m p i e z a e n la r e g ió n

to d o x

=

tie m p o fu tu r o a /e ,

y

-

0.

t

Ien

>

el tie m ­

t0 , y

fin a l­

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que una solución x ( t ) , y { t ) de (2) abandona la región I en el tiempo t = t * . Entonces x(T*) = 0, ya que la única m anera en la que una solu­ ción puede salir de la región I es cruzando la recta lx. Derivando en am bos lados de la prim era ecuación de ( 2) con respecto a / y tom ando t = t * se obtiene d 2x ( t * ) L , ^dy(**) — = —b x ( t * )— -— . dt

dt

Esta cantidad es positiva. P or lo tanto, x { t ) tiene un mínimo en í = t * . Pero esto es imposible, ya que x (0 es siempre creciente si x (0 , y ( t ) está en la región I. Así pues, cualquier solución x { t ) , y { t ) de (2) que empieza en la región I en el tiem po t = t 0 per­ manecerá en la región I para todo tiem po futuro t > t 0 . Eso implica que x ( t ) es una función m onótona creciente del tiem po y quej'(T) es una función m onótona decreciente del tiempo para t > /0, con x ( t ) < a /e y y ( t ) > 0. P or consiguiente, por el Lema 1, tanto x { t ) como y { t ) tienen límites £ y 77, respectivamente, cuando t tiende a infinito. El Lema 2 implica que (£, 17) es un punto de equilibrio de (2). Puede verificarse fácil­ mente que los únicos puntos de equilibrio de (2) en la región x > 0, y > 0 son x = 0, y = 0 y x = a/e, y = 0. C laram ente £ no puede ser igual a cero, ya que x ( t ) es cre­ ciente en la región I. Por lo tan to , £ = a /e y 17 = 0. □ LEM A 4. en

C u a lq u ie r so lu c ió n

el in sta n te

t

=

tQ d e b e

x (t),

y (t)

a b a n d o n a r

d e

d ich a

(2)

q u e

re g ió n

e m p ie za u n

tie m p o

en

la

r e g ió n

m á s

ta rd e .

III

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que una solución x { t ) , y ( t ) de (2) permanece en la región III para todo tiem po t > t 0 . Entonces x ( t ) es una función m onótona decreciente del tiempo y y ( t ) es una función m onótona creciente del tiempo para t > t Q . Más aún, x ( t ) es mayor que c / d y y ( t ) es m enor que ( d x ( t 0 ) - c ) / f . P or consiguiente, tanto x ( t ) como y ( t ) tienen límites £, 7 7, respectivam ente, cuando t tiende a infinito. El Lem a 2 implica entonces que (£, 17) es un punto de equilibrio de (2). Pero (£, 77) no puede ser igual a

425

4.8 • Teorema de Paincaré-Béndixson (0, 0) o bien a {a/e, 0) si x (0 , y { t ) permanece en la región III para tradicción dem uestra el Lema 4. Lem a 5. el in sta n te d e b e

t

te n d e r

(2) q u e e m p i e z a II p a r a t o d o t i e m = a / e , y = 0.

t

>

t0 .

C u a lq u ie r s o lu c ió n x {t), y { t) d e

en

=

p o fu tu r o

a

t0 y p e r m a n e c e e n la s o l u c i ó n

d e

la r e g ió n

e q u ilib rio

x

la r e g ió n t

Esta con­ II >

en t0 ,

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que una solución x ( t ) , y ( t ) de (2) permanece en la región II para todo tiempo t > t 0 . Entonces tanto x ( t ) como j ( / ) son funciones monó­ tonas decrecientes del tiempo para t > t 0 , con *(/) > 0 y y ( t ) > 0. De modo que por el Lema 1, tanto x (0 como x { t ) tienen límites £, 17, respectivamente, cuando t tiende a infinito. El Lema 2 implica entonces que (£, 17) es un punto de equilibrio de (2). Aho­ ra bien, (£, tj) no puede ser igual a (0, 0). Por lo tanto, £ = a / e , rj = 0. L e m a ó. U n a s o l u c i ó n III p r o v e n i e n t e d e

re g ió n

c u a lq u ie ra x { t la

re g ió n

II.

),

y {t)

d e

(2)

n u n c a p u e d e

e n tra r a

la

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que una solución x ( t ) , y ( t ) de (2) abandona la región II en el instante t = t * y entra en la región III. Entonces y ( t * ) - 0. Al derivar con respecto a t en ambos lados de la segunda ecuación de (2) y haciendo t = t * , se obtiene d 2y ( '*) - 55 —

* < '> —

■

Esta cantidad es negativa. P or lo tanto, y { t ) tiene un máximo en t = /*. Pero tal cosa es imposible, ya que y { t ) es decreciente si x ( t ) , y { t ) está en la región II. Obsérvese, por último, que una solución x { t ), y { t ) de (2) que empieza en l { debe entrar inm ediatam ente a la región I, y que una solución que empieza en l2 debe entrar inm ediatam ente a la región II. A hora se sigue inm ediatam ente de los lemas del 3 al 6 que cualquier solución x ( t ) , y ( t ) de ( 2) con x( 0) > 0 y ,y(0) > 0, tiende a la solución de equilibrio x = a / e , y = 0 cuando t tiende a infinito. H asta este m om ento, las soluciones y órbitas de las ecuaciones no lineales que se han estudiado se com portan de m anera muy similar a las soluciones y órbitas de las ecuaciones lineales. Sin em bargo, la situación es en realidad muy diferente. En general, las soluciones y órbitas de las ecuaciones no lineales m uestran un com portamiento com­ pletamente diferente al de las soluciones y órbitas de las ecuaciones lineales. Un ejem­ plo usual es el sistema de ecuaciones á l s s - y + x ( l - x 2 - y 2^

& s s x + y ( l - x 2 _ y 2)'

(3)

Llam a la atención que el térm ino x 2 + y 2 está presente en am bas ecuaciones, es por ello que se sugiere introducir coordenadas polares r , 6 , donde x = r cos 6 , y = r sen 6 , para reescribir (3) en térm inos de r y 0. P ara tal fin se calcula

426

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

De la misma m anera dy__ dx_ d9 d A y \ X dt y dt x 2+ y 2 — = — are ta n — = — ---------------- = — r = 1. d t dt x x i -i- /je)2 x 2 + y 2 Por consiguiente, el sistema de ecuaciones (3) es equivalente al sistema dr d t

= /•(! — r 2),

' v*

'

d9 dt

= 1.

(4)

Se puede ver fácilmente que la solución general de (4) es

r(/)-

(5)

['o + 0 ~ ' o ) É? 2']

donde r0 = r ( 0) y 0O = 6(0)- P ° r 1° tanto, * (/)«

>>(0 =

[ r 20 + ( l - r 2) e - 2‘ ]

_____________'o [ ro + 0 ~ " / o)é?_2']

1/2

1 /2

c o s ( t + e Q), sen(/ + 0o ).

Obsérvese ahora que x = 0, y = 0 es la única solución de equilibrio de (3). Obsérvese además que x ( /) = cos(/ + 0o ), .y(O = sen(/ + 0o ) cuando r0 = 1. Esta solución es periódica con periodo 2ir, y su órbita es el círculo uni­ tario x 2 + y 2 = 1. Obsérvese por último que de (5) se sigue que r(t) tiende a 1 cuando t tiende a infinito, para r0 ¿ 0. P or consiguiente, todas las órbitas de (3), con excep-

FlGURA 2 . Retrato fase de (3)

427

4.8 • Teorema de Poincaré-Béndixson

ción del punto de equilibrio x = 0, y = 0, describen una espiral que se aproxima a la circunferencia unitaria. En la Figura 2 se ilustra dicha situación. El sistema de ecuaciones (3) m uestra que las órbitas de un sistema no lineal de ecua­ ciones pueden describir espirales que se aproxim an a una curva cerrada simple. Por supuesto que tal cosa no es posible para sistemas lineales. Más aún, con frecuencia pue­ de dem ostrarse que las órbitas de un sistema no lineal describen espirales que se aproxi­ man a una curva cerrada aun cuando no sea factible resolver explícitamente el sistema de ecuaciones o incluso determ inar sus órbitas. Tal es el contenido del siguiente teore­ ma famoso:

Te o r e m a 5. (Poincaré-Béndixson). Supóngase que una solución x = x(t), y = y(t) del sistema de ecuaciones diferenciales f¡¡= 8{x> y)

(6)

permanece en una región acotada del plano que no contiene puntos de equili­ brio de (6). Entonces su órbita debe describir una espiral que se aproxima a una curva cerrada simple, la cual a su vez es la órbita de una solución periódica de (6).

E jem p lo

2

Dem ostrar que la ecuación diferencial de segundo orden z + ( z 2+ 2 z 2— l)z + z —0

(7)

tiene una solución periódica no trivial. S o l u c i ó n . Transform ando prim ero la ecuación (7) a un sistema de dos ecuaciones de primer orden m ediante la sustitución x = z y y - z, se obtiene f f t = y'

l t z=~ x + ( l - x 2~ 2 y 2) y .

(8)

A hora se buscará una región R, acotada en el plano xy, que no contenga puntos de equilibrio de (8) y con la propiedad de que cualquier solución * (0 , y ( 0 de (8) que empieza en R en el instante t = t0, permanece ahí para todo tiem po futuro / > t0. Se puede m ostrar fácilmente que una región simplemente conexa, com o por ejemplo, un cuadrado o un disco, no tiene dicha propiedad. Es por ello que se tom a R como un anillo alrededor del origen. P ara tal efecto se calcula

y se observa que 1 - x 2 - 2y 2 es positivo para x 2 + y 2 < Vi y negativo para x 2 + y 2 > 1. P or lo tanto, x 2(t) + y 2(t) es creciente a lo largo de cualquier solución x(t), y(t) de (8) cuando x 2 + y 2 < Vi y decreciente cuando a:2 + y 2 > 1. Eso implica que cualquier solución x(t), y(t) de (8) que empieza en el anillo Vi < x 2 + y 2 > 1 en el instante t = t0, permanecerá en él para todo tiempo futuro t > t0. A hora bien, el anillo no contiene puntos de equilibrio de (8). Por lo tanto, por el teorem a de PoincaréBéndixson, existe al menos una solución periódica x(t), y{t), contenida completamente en el anillo. Entonces z = x(t) es una solución periódica no trivial de (7).

428

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ej e r c i c i o s 1. Lo que realmente ocurrió en las conversaciones de paz en París (Guerra de Vietnam). A continuación se describe el plan original desarrollado por Henry Kissinger y Le Duc Tho para term inar con la guerra en Vietnam. Se acordó colocar un millón de hormigas de Vietnam del Sur (VS) frente a un millón de hormigas de Vietnam del N orte (VN) en el jardín posterior del palacio presidencial en París, y hacer que se disputaran el territorio luchando durante un lapso prolongado. Si las hormigas survietnamitas liquidaban casi por completo a las hormigas norvietnamitas, entonces VS retendría el control sobre la totalidad del terreno. Si las hormigas de VN salían victoriosas, entonces su bando ocuparía el territorio de VS. Si hubiera empate, enton­ ces el territorio de VS se dividiría de acuerdo con la proporción de hormigas res­ tantes. A hora bien, las hormigas survietnam itas, denotadas por S, y las hormigas norvietnam itas, denotadas por N , com batirían de acuerdo con las siguientes ecua­ ciones diferenciales ^5. = ± S

dt

10

dt

100

—S X N

20

“W . _ L , v - - L * - > - _ L 100

100

(,)

Nótese que estas ecuaciones corresponden a la realidad, ya que las hormigas de VS se multiplican mucho más rápidam ente que las de VN, pero las hormigas nor­ vietnam itas son m ucho mejores com batientes. La lucha se inició exactam ente a las diez de la m añana del 19 de mayo de 1972, y fue supervisada por un representante de Polonia y otro de C anadá. A las 2:43 p.m . del 21 de mayo, el representante de Polonia, no satisfecho con el desarrollo de la batalla, introdujo al jardín una bolsa con hormigas de VN, aunque no sin ser detectado por el ojo avisor del representante de C anadá. Las survietnamitas reclam aron inm ediatam ente la violación a las reglas y desconocieron el acuerdo, m arcando así la pauta para las largas y difíciles conversaciones que siguieron en París. El representante de Polonia fue llevado a juicio en esta ciudad para respon­ der ante los cargos. El juez, después de hacer algunas observaciones sobre lo insul­ so del com portam iento de las survietnam itas dictó una sentencia muy benigna al representante de Polonia. Justifique m atem áticam ente la decisión del juez. Suge­ rencia: (a) (b) (c) (d) (e)

Demuestre que las rectas N = 2 y N + S = 1 dividen al prim er cuadrante en tres regiones (Fig. 3) en las cuales d S / d t y d N / d t tiene signo fijo. Pruebe que cualquier solución S(t), N (t) de (*) que empiece en la región I o en la III, debe entrar en algún m om ento a la región II. Demuestre que cualquier solución S(t), N {t) de (*) que comience en la región JI, debe permanecer en ella para todo tiem po futuro. Concluya, a partir de (c) que S (t) -+ oo para todas las soluciones 5 (0 , N(t) de (*), con S(t0) y N ( t 0) positivos. Concluya tam bién que N (t) tiene un límite finito (< 2 ) cuando t -* oo. P ara dem ostrar que N (t) -* 0, observe que existe t0 tal que d N / d t < —N para t > t0. Concluya, a partir de esta desigualdad que N ( t ) -» 0 cuando t -* °°.

4.8 • Teorema de Poincaré-Béndixson N

m

429

s
2

J[

S > 0 , N<0

1

s

1

F i g u r a 3. 2. Considere el sistema de ecuaciones diferenciales dx , ~ ¿ [= a x — bxy,

¿y

, 2 = cy - d xy - e y ¿

C)

con a /b > c/e. Demuestre que>’(r) -*■ 0 cuando t °° para cualquier solución x(t), x (r0) y 7 (^0) positivos. Sugerencia: Efectúe el mismo desarrollo que en el Ejercicio 1.

y ( t ) de (*) con

3. (a) Sin calcular los valores característicos de la matriz

demuestre que cualquier solución x(t) de

tiende a cero cuando t tiende a infinito. Sugerencia: (a) Demuestre que las rec­ tas x 2 = 3xi y X\ = 3 x 2 dividen al plano xy en cuatro regiones (Fig. 4) en las cuales Xi y x 2 tiene signo fijo o constante. (b) Pruebe que cualquier solución x(t) que empieza en la región I o en la II, debe permanecer en ellas para todo tiempo futuro y, finalm ente, tender a la solu­ ción de equilibrio x = 0. (c) Demuestre que cualquie solución x(t) que permanece exclusivamente en las regiones III o IV debe tender finalmente a la solución de equilibrio x = 0. Se dice que una curva cerrada es un ciclo límite de x**f(x,y)> si existen es estable describen inestable.

y = g{x>y)

órbitas que describen espirales que se acercan o alejan de ella. Se dice que si todas las órbitas de (*) que pasan suficientemente cerca de la curva cerrada espirales que tienden finalmente hacia ella. En caso contrario, se dice que es Encuéntrense todos los ciclos límites de cada uno de los siguientes sistemas

430

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

F i g u r a 4. de ecuaciones diferenciales. (Sugerencia: Determine d ( x L + y L)/dt. Observe además que C es la órbita de una solución periódica de (*) si no contiene puntos de equilibrio de (*).) 4. x = —y —

y= x

x ( x 2+ y 2- l )

y ( x 2+ y 2 - 2)

5.

x = x —x 3— x y ‘

y = y - y 3- y x 2

' \ / x 2+ y 2

6.

x —y + x ( x 2+ y 2— \ ) ( x 2 + y 2 — 2) y — — x + y ( x 2 + y 2 — l ) ( x 2 + y 2 — 2)

8.

(a) Demuestre que el sistema x = y + xf(r)/r,

7. x = x y + x c o s ( j c 2 + > ' 2) y = — x 2 + y cos(x2+>'2)

y= ~ x+ yf(r)/r

( r 2 = x 2+ y 2)

O

tiene ciclos límites correspondientes a los ceros d e /(r ). ¿Cuál es el sentido de movimiento sobre tales curvas? (b) Determine todos los ciclos límites de (*) y analice su estabilidad si f(r ) = (r - 3)2(r2 - 5 r + 4). Use el teorema de Poincaré-Bendixson para demostrar la existencia de una solución perió­ dica no trivial de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: 9. z + (z? + ¿4—2)z=Q 11.

10. z + [ln(z2 + 4 ¿ 2) ] ¿ + z = 0

(a) De acuerdo con el Teorem a de Green en el plano, si C es una curva cerrada que es lo suficientemente “ lisa” , y si / y g son continuas y tienen primeras derivadas parciales tam bién continuas, entonces $ [ f ( x , y ) d y - g ( x , y ) d x ] = f f [ f x ( x , y ) +gy ( x , y ) ] d x d y

431

4.9 • Introducción a la teoría de bifurcaciones

donde R es la región delim itada por C. Supóngase que x(t), y(t) es una solu­ ción periódica de x - f ( x , y), y = g(x, y), y sea C la órbita de dicha solución. Demuestre que la integral de línea a lo largo de C es cero. (b) Suponga que f x + gy tiene el mismo signo a lo largo de una región simple­ mente conexa D en el plano xy. Demuestre que el sistema de ecuaciones x = /(*> y), y = §(x, y) no puede tener soluciones periódicas contenidas comple­ tam ente en D. 12. Pruebe que el sistema de ecuaciones diferenciales x —x + y 2 + x 3,

y — —x + y + y x 2

no tiene solución periódica no trivial. 13. Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales no tiene solución periódica x = x - x y 2+ y 3,

y = 3 y - y x 2+ x 3

no trivial que esté en la parte interior de la circunferencia x 1 + y 2 = 4. 14. (a) Demuestre que x = 0, y = t) es una solución de (2) para cualquier función ip(t) que satisface \p = -c\p - f\p2. (b) Elija yp{to) > 0. Demuestre que la órbita de x = 0, y = ^(/) (para toda t para la cual \p existe) es la parte positiva del eje y.

4 .9

In tr o d u c c ió n a la te o ría de b ifu rc a c io n e s

Considérese el sistema de ecuaciones

x = f(x,e)

(1)

donde

y £ es un escalar. Intuitivam ente hablando, un punto de bifurcación de (1) es un valor de e para el cual las soluciones de (1) cambian su com portam iento. Dicho con más pre­ cisión, e = e 0 es un punto de bifurcación de (1) si los retratos fase de (1) para e < e0 y e > e 0 son diferentes.

O b s e rv a c ió n .

En los ejemplos que siguen se apelará a la intuición para decidir si los dos retratos fase son iguales o distintos. En cursos más avanzados se definen dos retratos fase com o iguales o topológicam ente equivalentes si existe una transform ación continua del plano en sí mismo que asocia a un retrato fase, el otro.

E je m p lo 1 Encontrar

los puntos de bifurcación del sistema

i

= Ax=(j

_J),

(2)

432

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

S o lu c ió n . El polinom io característico de la m atriz A es p ( X ) = det(A —AI)

■ "M +

= (A — 1)(A + 1 ) — e = A2 — (1 + e ) .

Las raíces de p ( \ ) son ± v í + T para e > -1 y ± V - e - 1 / para e < - 1 . Eso implica que x = 0 es un punto silla para £ > - 1 , y un centro para e < - 1 . Se concluye, por tanto, que e = —1 es un punto de bifurcación de (2). Tam bién es claro que la ecua­ ción (2) no tiene otros puntos de bifurcación. Es ilustrativo ver cómo cam bian las soluciones de (2) cuando £ pasa por el valor de bifurcación - 1 . P ara e > -1 los valores característicos de A son A ,—/l + e ,

A2— — /l +

Puede verificarse fácilmente (Ejercicio 10) que X 1

_ I l + /r+ e 1

es un vector característico de A con valor característico V l + e, m ientras que .2 _

1 1- / T T 1

es un eigenvector con eigenvalor - V l + e . P or lo tanto, el retrato fase de (2) tiene la form a que se m uestra en la Figura 1. C uando e -*■ -1 por la izquierda, las rectas l¡

F ig u r a

1 . R etrato fase de (2) p a ra £ > - 1 .

4.9 • Introducción a la teoría de bifurcaciones

433

X

F ig u ra 2 .

R etrato fase de (2) para e = —1.

y l2 tienden hacia la recta x { = x 2. Esta últim a está form ada por puntos de equilibrio de (2) cuando e = - 1 , mientras que cada una de las rectas X\ - x 2 = c (c ^ 0) es una órbita de (2) pára e = - 1 . En la Figura 2 se muestra el retrato fase de (2) para e = -1 .

Ej e m p l o 2

E ncontrar los puntos de bifurcación del sistema

(3)

S o lu c ió n .

El polinomio característico de la m atriz A es p { \ ) — det(A — XI) = d e t|

^

= X(1 + X) + e = A2 + A + e y las raíces de p ( \ ) son — 1 + v'l ~ 4 e

— 1 — ]¡\— 4 e

Obsérvese que Xj es positiva y X2 es negativa para e < 0. Por lo tanto, x = 0es un punto silla para e < 0. P ara 0 < e < lA , tanto Xi como X2 son negativas. Por lo tanto, x = 0 es un nodo estable para 0 < e < lA . P ara e > lA , tanto Xi como X2 son com plejas con parte real negativa. Por lo tanto, x = 0 es un foco estable para e > lA . Nótese que el retrato fase de (3) cambia cuando e pasa por 0 y por X A . Se conclu­ ye, por lo tanto, que e = 0 y e = 1, son puntos de bifurcación de (3).

434

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

E j e m p lo

3

Encontrar los puntos de bifurcación del sistema de ecuaciones dx, ~ d i ~ Xl

SOLUCION, (i) Prim ero se encuentran los puntos de equilibrio de (4). Haciendo d x x/d t = 0, se o b tie n e ^ = 0, y haciendo dx2/ d t = 0 se o b tien ex] - e = 0, de modo que X| = ±Ve, e > 0. P or lo tanto, (VI, 0) y (-V e, 0) son dos puntos de equilibrio de (4) para e > 0. El sistema (4) no tiene punto de equilibrio si e < 0. Se concluye, por lo tanto, que e = 0 es un punto de bifurcación de (4). (ii) A hora se estudiará el com portam iento de las soluciones de (4) cerca de los puntos de equilibrio (±vre, 0) para determ inar si el sistema tiene otros puntos de bifurcación. Haciendo U = X { ->"¡£ ,

se obtiene

V = X2

du — =v dt ^

| ± ^ j

— v — e = ±-2\¡e u — v 4- u 2.

(5)

El sistema (5) puede ser escrito en la form a

Por el Teorem a 4, el retrato fase de (4) cerca de la solución de equilibrio

(

=

\

0

queda determ inado por el retrato fase del sistema linealizado

Para encontrar los valores característicos de A se calcula p{ X) = d e t(A -X I) = det |

-X

1

2/e

— 1 —X

= X2 + X - 2 / ¡ \ Por lo tanto, los valores característicos de A cuando u = X\ — Ve son - 1 + J 1 + 8 ][e

A. =

ó

— 1 — J 1 + 8 ye

.

= -----------

(6)

435

4.9 • Introducción a la teoría de bifurcaciones m ientras que los valores característicos de A cuando u = — 1 + \j 1 —S\je A, = ,

1 X2 =

yl ~

+ f s son 8/e •

(7)

Obsérvese de (6) que X! > 0, mientras que X2 < 0. Así pues, el sistema (4) se com­ porta com o un punto silla cerca de los puntos de equilibrio |

j- P ° r otra Parte> se

ve de (7) que tanto X! como X2 son negativas para 0 < e < 1/64, y complejas para e > 1/64. P or consiguiente, el sistema (4) se com porta como un nodo estable cerca

j

de la solución de equilibrio |

para 0 < e < 1/64, y como un foco estable para

e > 1/64. Puede m ostrarse que los retratos fase de un nodo estable y un foco estable son equivalentes. Por consiguiente, e = 1/64 no es un punto de bifurcación de (4). O tra situación que se incluye en el contexto de la teoría de bifurcaciones, que tiene gran interés en la investigación actual, es cuando el sistema (1) tiene un ciertQ número de soluciones de equilibrio o periódicos para e = e0, y un núm ero diferente de ellas para e # e0 . Supóngase, por ejemplo, que x(í) es una solución de equilibrio (o perió­ dica) de (1) para e — 0, y x 1(/*), x 2(t), • • •, x k(0 son soluciones de equilibrio (o perió­ dicas) de (1) para e # 0, las cuales tienden a x(f) cuando e 0. En tal caso, se dice que las soluciones x*(í), x 2(t), . . . , x k (t) bifurcan a partir de x(t). Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ej e m p l o 4

Encontrar todas las soluciones de equilibrio del sistema de ecuaciones —3ex, —3£jc2 —x \ — x \ ‘

d X = E X x - X xX 1 -- X f íE - X 1 \) . —

S o lu c ió n .

Sea |

(8 )

j una solución de equilibrio del sistema (8). La segunda ecuación

en (8) implica que x { = 0, o bien x 2 = e. x { = 0. En este caso, la prim era ecuación de (8) entraña que 0

= 3ex2 +

x\

= x 2( 3 e + x 2 )

de modo que x 2 = 0, o bien x 2 = - 3 e. Así pues, ( ® ) y ( ® }son dos puntos de equi­ librio de (8). l0 / V-3e/ x 2 = e. En este caso, la prim era ecuación de (8) implica que 36*! —3e2 —x j — e2 = 0 o bien x } — 3 e x , + 4 e 2 = 0.

(9)

436

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las soluciones

3 e± \¡9 ^ ~ \6 e ^ de (9) son com plejas. Así pues,

, =( 0 ) ..y

x 1= I A |

x‘ =

—3e

son dos puntos de equilibrio de (8), para e # 0, las cuales bifurcan a partir del punto de equilibrio x =

cuando e = 0.

E J E R C IC IO S Encuentre los puntos de bifurcación de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. »•*=(! 4. x =

')*

2- * = ( !

(5 !)■

¡)*

3- H - ° 2

J)x

’ *■(:

En cada una de los Problem as del 6 al 8, dem uestre que más de una de las soluciones de equilibrio bifurca a partir de la solución de equilibrio x = 0 cuando e = 0. x 2 ~ exj + x|x2

-r a 2

7. X, = ex,

x2--2ex, +2ex2+ x,x2- x2

8. x, = ex2 + x,x2 x 2 — — ex, + ex2+ x^ + x|

9.

Considere el sistema de ecuaciones 3ex, — 5ex2—

x\ +

■i

xf

(*)

(a) Demuestre que cada uno de los puntos de las rectas x 2 = X[ y x2 = - x { son puntos de equilibrio de (*) para e = 0. (b) Pruebe que

C ;H S )

-

son los únicos puntos de equilibrio de (*) para e 10.

0.

Demuestre que * -

/ 1+ / Í T 7 \

V

j

y

son vectores característicos de la matriz | 1 \ 1 V l + e y - V i + e, respectivamente.

x.2 _ / l —/T + 7 1 e 1con valores característicos -1 /

437

4.10 • Problemas presa-depredador

P roblem as presa-depredador, o p o r qué AUMENTÓ NOTABLEMENTE EL NÚMERO DE TIBURONES CAPTURADOS EN EL MEDITERRÁNEO DURANTE LA P rim era G uerra M undial

4 .1 0

A mediados de la década de los veinte en este siglo, el biólogo italiano Umberto D’Ancona se encontraba estudiando las variaciones poblacionales de varias especies de peces que interactúan. En el curso de su investigación se encontró con inform ación acerca de los porcentajes de captura de diferentes especies en diversos puertos del Mediterráneo durante los años de la Prim era G uerra M undial. En particular, la inform ación incluía los por­ centajes de captura de selacios (tiburones, m antarrayas, etc.) los cuales no son desea­ bles com o pescado comestible». A continuación, se reproduce la inform ación del puerto de Fiume, Italia, durante los años de 1914 a 1923. 1914 11.9%

1915 21.4%

22 .1%

21 .2%

1917

1918 36.4%

1919 27.3%

1920 16.0%

1921 15.9%

1922 14.8%

1923 10.7%

1916

D ’A ncona quedó intrigado por el gran aum ento en el porcentaje de selacios duran­ te el periodo de la guerra. Argum entó que el incremento en tal porcentaje se debía a la gran reducción en los niveles de pesca durante el mismo período. La pregunta era ¿cómo afecta la intensidad de la pesca a la población de peces? La respuesta a tal pre­ gunta fue una gran preocupación de D ’Ancona en su investigación acerca de la lucha por la existencia entre especies en competición. Tam bién era de mucho interés para la industria pesquera, ya que tenía implicaciones obvias sobre la m anera en la que se debía pescar. A hora bien, lo que distingue a los selacios de los peces comestibles es que los pri­ meros son depredadores, mientras que los segundos son sus presas; los selacios depen­ den de los peces comestibles para su supervivencia. Inicialmente D ’Ancona pensó que esa era la razón del incremento de los selacios durante la Prim era Guerra Mundial. Como se había reducido fuertem ente el nivel de captura en dicho periodo, había entonces más presas disponibles para los selacios, los cuales, por lo tanto, se reprodujeron más rápi­ dam ente y con éxito. Sin em bargo, la explicación tenía una falla, ya que también había más peces comestibles en ese lapso. La teoría de D ’Ancona m uestra solamente que hay más selacios si la pesca se realiza a niveles más bajos; no explica por qué un bajo nivel de pesca es más benéfico para el depredador que para la presa. Después de haber agotado todas las posibles explicaciones biológicas del fenóme­ no, D ’Ancona se dirigió a su colega, el famoso m atem ático italiano Vito Volterra. La esperanza era que Volterra pudiera form ular un modelo m atem ático del crecimiento de los selacios y sus presas, y de los peces comestibles, y que dicho modelo diera una respuesta a la interrogante de D ’Ancona. Volterra inició su análisis separando a los ani­ males en dos poblacioes: las presas x ( t ) y los depredadores y{t). Su razonam iento fue entonces que los peces comestibles no compiten muy intensamente entre sí por su ali­ m ento, ya que éste es muy abundante y la población de peces no es muy densa. Por

438

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

ello, en ausencia de los selacios, los peces comestibles1crecerían de acuerdo con la ley m althusiana de crecimiento de poblaciones x = ax, para una constante positiva a. Ade­ más —razonaba V olterra— el núm ero de contactos por unidad de tiem po entre depre­ dadores y presas es bxy, para una constante positiva b. P or lo tanto, x = ax - bxy. De la misma m anera, Volterra concluyó que los depredadores tenían una tasa natural, de decrecimiento - cy, proporcional a su núm ero, y que su incremento tenía una tasa dxy proporcional tam bién a su núm ero en ese m om ento y y al sum inistro de alimento x. De m odo que ^

^

= a x - bxy,

= - cy + dxy.

(1)

El sistema de ecuaciones (1) describe la interacción entre los selacios y los peces comestibles en el caso de no haber pesca alguna. A continuación se estudiará este siste­ ma y se obtendrán algunas propiedades im portantes de sus soluciones. Después, se inclui­ rá en el modelo el efecto de la pesca y se m ostrará que un bajo nivel de la captura es más benéfico para los selacios que para las especies comestibles. De hecho, se llegará al sorprendente resultado de que un bajo nivel de pesca, en realidad, es dañino para los peces comestibles. Obsérvese prim ero que (1) tiene dos soluciones de equilibrio x(t) = 0, y(t) = 0 y jc(0 = c/d , y(t) = a /b . Por supuesto, que la prim era solución de equilibrio no intere­ sa. El sistema tiene tam bién la fam ilia de soluciones x(t) = x 0e at, y{t) = 0, y * (0 = 0. >*(0 = yoe~cl- Así que tanto el eje x como el eje y son órbitas de (1). Eso implica que toda solución x{t), y(t) de (1), que empieza en el prim er cuadrante x > 0, y > 0 en el instante t = t0, perm anecerá ahí para todo tiem po futuro t > t0. Las órbitas de (1) para x, y # 0 son las curvas soluciones de la ecuación de primer orden dy dx

~ cy + dxy _ y ( ~ c + d x ) ax — bxy x ( a — by)

^

Esta ecuación es separable, ya que puede ser expresada en la form a a - b y dy_ = y dx

- c + dx x

Por consiguiente, a \ n y - by + c \ n x ~ d x = k x, para una constante k x. Tom an­ do exponenciales en am bos lados de esta ecuación se obtiene y a

r c

4e by " *e dx 7 =K

<3>

para una constante K. Así pues, las órbitas de (1) son la familia de curvas definidas por (3) y, com o se verá a continuación, dichas curvas son cerradas. L E M A 1 . La ecuación (3) define una familia de curvas cerradas para x, y > 0.

D e m o s tra ció n . El prim er paso consiste en determ inar el com portam iento de las funciones f ( y ) = y a/ e byy g(*) = x c/ e dx para x y y positivas. Para tal finalidad, obsér­ vese q u e /(0 ) = 0, /(° ° ) = 0, y adem ás, f { y ) es positiva para y > 0.Calculando ay — ' - b y * ^ —

y ° ~ ‘(a~ b y) Z*

’

439

4.10 • Problemas presa-depredador g (x)

f(y)

a /b

y

X

c/d (b)

(a)

FIGURA 1. (a) Gráfica de f ( y ) = y ae by; (b) gráfica de g(*) = x ce dx se ve que f ( y ) tiene un solo punto crítico en y = a /b . Por consiguiente, f ( y ) alcanza su valor máximo M y = (a /b )a/ e a en y = a /b y la gráfica de f ( y ) tiene la forma que se describe en la Figura la . Análogamente, g(x) alcanza su valor máximo M x = (c /d )c/ e c enjc = c/d, y la gráfica de g(xr) tiene la form a que se ilustra en la Figura Ib. A partir del análisis anterior, se concluye que la ecuación (3) no tiene soluciones x, y > 0 para K > M xM y , y que para K = M xM y tiene la solución x: = c/d, y = a/b. De modo que solamente es necesario considerar el caso K = \ M y, donde X es un núme­ ro positivo m enor que M x . Obsérvese primero que la ecuación x c/ e dx = X tiene una solución x = x m < c / d y otra solución * = :-:M > c/d . Por lo tanto, la ecuación

no tiene solución y si * es m enor que x m, o bien mayor que x M. Si x = x m o xM, entonces tiene solamente la solución y = a/b, mientras que para cada x: entre x m y xM tiene dos soluciones y\(x) y La solución m enor y x(x:) es siempre menor que a/b y la solución m ayor yi(x) es siempre mayor que a/b. Cuando x: tiende a x m o a xM,

y

a/b

c /d FIGURA 2 . Ó rb itas de (1) p a ra x:, y positivas.

M

x

440

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

tanto y j(jc) como y-i(x) tienden a a/b. Por consiguiente, las curvas definidas por (3) son cerradas para x y y positivas, y tienen la form a que se m uestra en la Figura 2. Más aún, (con excepción de x = c/d, y = a /b ) ninguna de dichas curvas cerradas contiene pun­ tos de equilibrio de (1). Por lo tanto, todas las soluciones x(t), y(t) de (1), con x(0) y .y(O) positivas son funciones periódicas del tiempo. Es decir, toda solución x{t), y(t) de (1), con x(0), >>(0) positivas, tiene la propiedad de que x(t + T ) = x(t), y y ( t + T ) - y(t) para alguna T positiva. □ A hora bien, los datos de D ’Ancona son en realidad un promedio de la proporción de depredadores en cada uno de los periodos de un año. Así pues, para com parar los datos con las predicciones de (1), es preciso calcular los “ valores prom edio” de x(t) y y(t), para cualquier solución x(t), y(t) de (1). Es sorprendente que sea posible calcular dichos valores aun a pesar de que no se conocen x(t) y y(t) exactam ente. Ese es el conte­ nido del Lema 2.

L E M A 2 . Sea x(t), y(t) una solución periódica de (1), con periodo T Defínanse los valores promedio de x y y como * = j ; f 0 x ( l) dt>

>

0.

y ^ dL

Entonces x = c / d y y = a /b . Dicho de otro modo, los valores promedio de x(t) y de y(t) son los valores de equilibrio.

D e m o s tra c ió n . Dividiendo entre x ambos lados de la prim era ecuación de (1), se obtiene x / x = a - by, de m anera que i f•/ o W ) d t= ^ o [ a ~ by(,)]dtA hora bien, j * x ( t ) / x { t ) d t = l n x Cr ) - lnx(0), lo cual es, a su vez, igual a cero, ya que x ( T ) = x(0). Por consiguiente,

de modo que y = a/b. A nálogam ente, dividiendo entre Ty(t) am bos lados de la segun­ da ecuación de (1), e integrando de 0 a T, se obtiene que x = c/d. D A hora es posible incluir los efectos de la pesca en el modelo. Obsérvese que la pesca reduce la población de los peces comestibles en una tasa ex(t), y la de los selacios, en una tasa ey(t). La constante e refleja la intensidad de la pesca, es decir, el número de barcos pesqueros en operación y el núm ero de redes en el agua. Así pues, la situación completa queda descrita por el sistema de ecuaciones diferenciales m odificado

441

4.10 • Problemas presa-depredador

Este sistema es idéntico al sistema (1) (para a - e > 0), con a reem plazada por a e, y c sustituida por c + e. Por lo tanto, los valores promedio de x(t) y y(t) serán ahora - c+ e x~ ^ ~ ’

- a —e y =— -

(5)

P or consiguiente, un nivel moderado de pesca (e < á) en realidad incrementa la cantidad de peces comestibles, en prom edio, al igual que disminuye la cantidad de sela­ cios. Recíprocamente, un nivel bajo de pesca incrementa el número de selacios, en pro­ medio, y disminuye el número de peces comestibles. Este sorprendente resultado, cono­ cido como principio de Volterra, explica los datos de D ’Ancona y resuelve por completo el problem a. El principio de Volterra tiene aplicaciones interesantes para los tratamientos con insecticidas que destruyen tanto al insecto depredador como a su presa. Implica que la aplicación de insecticidas en realidad increm entará la población de aquellos insectos que son m antenidos bajo control por otros insectos depredadores. Una confirmación sorprendente de tal principio se encuentra en el caso del pulgón de los cítricos (Icerya purchasí), el cual, al ser introducido en 1868 accidentalmente proveniente de Australia, amenazaba con destruir la industria citrícola de Estados Unidos. Posteriormente se intro­ dujo a su depredador natural en Australia, la m ariq u ita,(Novius Cardinalis), la cual redujo el núm ero de pulgones a un nivel bajo. Cuando se descubrió que el DDT mataba a los pulgones, se les aplicó éste por parte de los fruticultores con la esperanza de redu­ cir aún más su nivel. Sin em bargo, y de acuerdo con el principio de Volterra, ¡el resul­ tado fue un incremento en el número de tales insectos! Curiosam ente, muchos ecologistas y biólogos se negaron a aceptar como exacto el modelo de Volterra. Subrayaban el hecho de que en la m ayoría de los sistemas presadepredador que se observaban, no ocurría el com portam iento oscilatorio predicho por el modelo de Volterra. Más bien, conform e el tiempo transcurre, la m ayoría de los sis­ temas presa-depredador tienden a estados de equilibrio. La respuesta a tales argumen­ tos es que el sistema de ecuaciones diferenciales (1) no debe ser interpretado como un modelo general de las interacciones presa-depredador. Esto se debe a que tanto los peces comestibles como los selacios no compiten intensamente entre sí por los recursos dispo­ nibles. Un modelo más general para interacciones presa-depredador es el sistema de ecua­ ciones diferenciales x = ax — bxy —e x 2,

y = —cy + dxy —f y 2.

(6)

A quí el térm ino e x 2 refleja la competición interna de las presas x por los recursos externos limitados. El térm ino f y 2 refleja la competición entre los depredadores por el núm ero limitado de presas. Las soluciones de (6) no son periódicas en general. De hecho, en el Ejem plo 1 de la Sección 4.8 ya se m ostró que todas las soluciones x(t), y(t) de (6), con x(0) y _y(0) positivas, tienden finalmente a la solución de equilibrio x = a / e , y = 0 si c / d es m ayor que a/e. En tal caso, todos los depredadores mueren, ya que el alim ento de que disponen resulta inadecuado para sus necesidades. Sorprendentem ente, algunos ecologistas y biólogos rechazan incluso el modelo más general (6) como inexacto. Como contraejemplo citan los experimentos del biólogo mate­ mático G .F. Gause. En dichos experimentos la población estaba integrada por dos espe­ cies de protozoarios, uno de los cuales, Didinium nasatum, se alim enta de otro, Paramecium caudatum. En todos los experimentos realizados por Gause, los Didinium aniquilaron rápidamente a los Paramecium para morir después de inanición. Esta sitúa-

442

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

ción no puede ser m odelada por el sistema de ecuaciones (6), ya que ninguna solución de (6) con ^(0 )^(0 ) # 0 puede llegar a valer cero en * o en y, en un tiem po finito. La respuesta a esta argum entación es que el Didinium es un tipo especial y nada representativo del depredador. Además son feroces atacantes y requieren una tremenda cantidad de alim ento; un Didinium necesita un Param ecium fresco cada tres horas. Por otro lado el Didinium no perece a causa de un sum inistro insuficiente de Paramecium, sino que continúa multiplicándose, aunque produciendo descendencia de m enor tam a­ ño. Así que el sistema de ecuaciones (6) no m odela con exactitud la interacción entre el Param ecium y el Didinium. Un m ejor modelo para este caso es el sistema de ecuacio­ nes diferenciales jct¿0 jc =

0

Es posible m ostrar (Ejercicio 6) que toda solución x(t), y(t) de (7) con x:(0) y y(0) positi­ vas tom a el valor de cero para x, en un tiem po finito. Eso no contradice el teorema de existencia y unicidad, ya que la función

no tiene derivada parcial con respecto a. x o a. y, en x - 0. Por últim o, es preciso m encionar que hay algunas interacciones presa-depredador en la naturaleza que no pueden ser m odeladas por ningún sistema de ecuaciones dife­ renciales ordinarias. Tales casos ocurren cuando la presa dispone de un refugio que no es accesible a los depredadores. En tales situaciones es imposible afirm ar definitivamente acerca del núm ero futuro de presas y depredadores, ya que no puede predecirse cuántas presas com eterán la tontería de abandonar su refugio. Dicho de otro m odo, tal proceso es aleatorio, más que determinista, y por lo tanto no puede ser m odelado por un siste­ ma de ecuaciones diferenciales ordinarias. Lo anterior se verificó directam ente en un famoso experimento de Gause. Colocó éste cinco Param ecium y tres Didinium en cada uno de treinta tubos de ensayo idénticos, y proporcionó un refugio para los Param e­ cium. Dos días después encontró que en cuatro tubos los depredadores habían muerto, mientras que en los restantes veintiséis tubos se encontraba poblaciones de Paramecium que oscilaban entre dos y treinta y ocho individuos.

B ib l io g r a f ía Volterra, V.: “ Le?ons sur la théorie m athém atique de la lutte pour la vie” . París, 1931.

Ej e r c i c i o s 1. Encuentre todos los puntos de equilibrio de (6) que son realistas y determ ine su estabilidad. 2. En la Sección 4.8 se m ostró que y{t) finalm ente tiende a cero para toda solución *(0» y ( 0 de (6), si c / d > a/e. Demuestre que existen soluciones x(t), y{t) de (6)

443

4.10 • Problemas presa-depredador

para las cuales y(t) crece primero hasta un valor máximo, para decrecer después hacia cero. (Para un observador que ve solamente a los depredadores sin tener noti­ cias de las presas sería muy difícil de explicar el caso de una población que pasa por un máximo para llegar después a la extinción.) 3. En muchos casos, son los iembros adultos de la presa los que son atacados princi­ palm ente por los depredadores, mientras que los miembros jóvenes se encuentran m ejor protegidos, ya sea por su menor tam año o por vivir en sitios diferentes. Sea x x el número de presas en estado adulto, x 2 el número de presas jóvenes y, por últi­ mo, y el número de depredadores. Entonces, x j = —a xx x+ a 2x 2 — b x xy x 2 = n x x- ( a x+ a 2 ) x 2 y = - c y + d x xy

donde a2x 2 representa el número de jóvenes (por unidad de tiem po) que pasan al estado adulto, y n, la tasa de natalidad proporcional al núm ero de adultos. Obten­ ga todas las soluciones de equilibrio de este sistema. 4. Existen diversos casos en la naturaleza en los que la especie 1 se alimenta de la especie 2, y ésta se alim enta a su vez de la especie 3. Un ejemplo de dicha situación se da en la isla de Kom odo en M alaya, la cual está poblada por enormes reptiles carnívo­ ros y p or mam íferos —su alim ento— los cuales se alimentan a su vez de la rica vegetación de la isla. Suponga que los reptiles no tienen influencia directa sobre la vegetación y que solam ente las plantas compiten entre sí por los recursos dispo­ nibles. Un sistema de ecuaciones diferenciales que describe dicha interacción es ¿ i2 * i* 2 + ¿ 1 3 * 1 * 3

x 2= - a 2x 2 + b 2 lx xx 2 x 3 = a 3x 3 - < * 4 * 3 - ¿ 3 1 * 1 * 3

Halle todas las soluciones de equilibrio de este sistema. 5. Considere un sistema presa-depredador en el cual el depredador tiene otras alter­ nativas de alimentación. Un sistema así puede ser modelado por las ecuaciones dife­ renciales * i = a i * i ( / h — * i ) + 7 i * i *2 * 2 = « 2 * 2 ( fil “ * 2 ) “ 72* 1*2

donde atj(0 y x 2(t) son las poblaciones de depredador y presa, en el tiem po t, res­ pectivamente. (a) Demuestre que el cambio de coordenadas (3¡yj(t) = x ^ í / a f i i ) reduce el siste­ m a a las ecuaciones ^ l * ^ l ( l “ ^l) + fll^l^2.

JJ2“ .V20 -.V 2 )” «2.>'l.V2

donde a x = 7 i / V « i 0 i Y a2 - 720i/¿*202(b) ¿Cuáles son las poblaciones de equilibrio estables cuando (i) 0 < a2 < 1, (ii) a2 > 1? (c) Se ha observado que a x = ?>a2 (donde a2 es la medida de la agresividad del depredador). ¿Cuál es el valor de a2 si el instinto del depredador es maximizar su población de equilibrio estable?

444

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

6. (a) Sea x (r)'u n a solución de x — ax - A/Vx, con M > a \lx (t0). Demuestre que a V x = M —(Ai —a > /x ( /0) (b) Deduzca de (a) que x(t) tiende a cero en un tiem po finito. (c) Sea x(t), y(t) una solución de (7), con by(t0) > a \ x ( t 0). Demuestre que x(t) tom a el valor de cero en un tiempo finito. Sugerencia: Observe que y(t) es cre­ ciente para t > t0. (d) Es posible m ostrar que en algún momento by(t) sobrepasa el valor de ayJx(t0), para cualquier solución x(T), y(t) de (7) con x (í0) y y ( t 0) positivas. Concluya, por lo tanto, que todas las soluciones x ( t ) ,y ( t ) de (7) alcanzan el valor de cero en un tiem po finito.

4 .1 1

P r i n c i p i o d e e x c l u s i ó n c o m p e t i t i v a en

BIOLOGÍA DE POBLACIONES

Se observa con frecuencia en la naturaleza que la lucha por la existencia entre dos espe­ cies similares que compiten por un mismo alim ento y un mismo espacio vital, ambos limitados, term ina casi siempre con la com pleta extinción de una de las especies. -Este fenómeno se conoce como el “ principio de exclusión com petitiva” . Darwin lo enunció por prim era vez, aunque en una form a un poco diferente, en 1859. En su artículo “ El origen de las especies por la selección natu ral” expresa: “ Debido a que las especies de un mismo género presentan usualm ente, aunque no en form a invariable, m ucho mayor similitud en habitat, constitución y siempre en estructura, la lucha entre ellos será, por lo general, más intensa si llegan a com petir entre sí que si lo hacen con especies de géne­ ros distintos” . Hay una explicación biológica muy interesante del principio de exclusión competi­ tiva. La piedra angular de la teoría es la idea del nicho. Un nicho indica la ubicación característica de una especie dada en una com unidad; es decir, cuáles son sus hábitos, alimentación y m odo de vida. Se ha observado que com o resultado de la competición, dos especies similares rara vez ocupan el mismo nicho. Más bien, cada una de las espe­ cies adopta aqel tipo de alim entación y m odo de vida con los cuales tiene ventaja sobre su com petidor. Si las dos especies tienden a ocupar el mismo nicho, entonces la lucha por la sobrevivencia entre ellas será muy intensa y el resultado será la extinción de la especie más débil. Un ejemplo excelente de esta teoría es la colonia de golondrinas de m ar que habitan la isla de Jorilgatch, en el M ar Negro. Dicha colonia está form ada por cuatro especies de golondrinas de mar: la llam ada “ sandwich” , la com ún, la de pico negro y la peque­ ña. Las cyatro especies se unen para ahuyentar de la colonia a los depredadores. Sin em bargo, hay una diferencia clara entre ellas en lo que respecta a su form a de conseguir comida. La especie “ sandwich” vuela hacia el m ar abierto para atrapar ciertas espe­ cies, mientras que la de pico negro se alim enta exclusivamente de lo que encuentra en tierra. P or otro lado, la golondrina de m ar com ún y la golondrina pequeña capturan peces que se encuentran cerca de la costa. A m bas descubren a los peces durante el vuelo

4.11 • Principio de exclusión com petitiva en biología de poblaciones

445

y se sumergen en el agua para capturarlos. La pequeña golondrina de m ar atrapa a sus presas en aguas pantanosas y poco profundas, mientras que la golondrina de mar común caza en lugares más alejados de la orilla. De esta m anera, estas cuatro especies similares de la golondrina de m ar, que viven muy cerca unas de otras en una pequeña isla, difie­ ren notablem ente tanto en su m anera de alimentarse como en su m anera de conseguir el alim ento. C ada una ocupa un nicho en el cual posee ventajas sobre sus competidores. En esta sección se presenta una rigurosa demostración matemática de la ley de exclu­ sión com petitiva. Tal cosa se logrará deduciendo un sistema de ecuaciones diferenciales que describe la interacción entre dos especies similares, y m ostrando después que todas las soluciones del sistema tienden a un estado de equilibrio en el cual una de las especies queda extinta. P ara elaborar un m odelo m atemático de la lucha por la sobrevivencia entre dos especies com petidoras, es intructivo analizar nuevamente la ley logística para el creci­ miento de poblaciones dt

(O

Esta ecuación gobierna el crecimiento de la población N(t) de una sola especie cuyos miembros compiten entre sí por alimento y espacio vital limitados. Recuérdese que N(t) tiende a la población límite K = a / b , cuando t tiende a infinito. Dicha población límite puede ser identificada como la máxima de la especie que el microcosmos puede alber­ gar. En térm inos de K, se puede escribir la ley logística (1) en la form a

( 2) La ecuación (2) tiene la siguiente interpretación interesante. Si la población N es muy pequeña, entonces crece de acuerdo con la ley m althusiana d N / d t = aN. El térmi­ no a N se conoce como “ potencial biótico” de la especie. Se trata de la tasa potencial de crecimiento de la especie en condiciones ideales, y se desarrollará si no hay restric­ ciones de alimento o de espacio vital y si los individuos de la especie no excretan algún producto residual tóxico. Sin em bargo, conform e la población crece, el potencial bióti­ co se reduce según el factor (K - N ) / K , el cual es el núm ero relativo de sitios que aún están vacantes en el microcosmos. Los ecólogos llaman a este factor resistencia ambiental al crecimiento. A hora bien, sean N x(t) y N 2(t) las poblaciones en el tiem po t de las especies 1 y 2, respectivamente. Y sean además, K x y K 2 las poblaciones máximas de las especies 1 y 2 que puede albergar el microcosmos; así mismo, sean a xN { y a2N 2 los potenciales bióticos de las especies 1 y 2. Entonces TV, (t) y N 2(t) satisfacen las ecuaciones diferen­ ciales

donde m 2 es el número total de sitios de la primera especie que son ocupados por miembros de la segunda, y m, es el número total de sitios de la segunda especie que son ocupados por miembros de la prim era. A prim era vista parecería que m 2 = N 2 y m { = /V,. Sin embargo, en general no es ese el caso, ya que es muy im probable que dos espe­ cies ocupen el entorno o am biente en form a idéntica. Un núm ero de individuos de la especie 1 no consume en promedio igual cantidad de alimento ni requiere el mismo espacio

446

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

vital ni excreta igual cantidad de productos residuales de la misma composición quími­ ca, que un núm ero igual de elementos de la especie 2. En general, se debe tom ar m 2 = a N 2 y m x = (3NX para las constantes a y (3. Dichas constantes indican el grado de influencia de una especie sobre la otra. Si no coinciden los intereses de las dos especies y ocupan nichos separados, entonces tanto a com o (3 son iguales a cero. Si las dos espe­ cies reclaman el mismo nicho y son muy similares, entonces a y 0 serán muy cercanas a la unidad. P o r otro lado, si una de las especies —por ejemplo la especie 2— utiliza el medio am biente de m anera ineficiente; es decir, si consume grandes cantidades de alimento y excreta productos residuales altam ente nocivos, entonces un individuo de la especie 2 ocupará el lugar de muchos individuos de la especie 1. En tal situación, el coeficiente a será muy grande. La restricción que se presenta a continuación será en el caso de que las dos especies sean muy parecidas y reclamen el mismo nicho. Entonces a = 0 = \ , y N x(t) y N 2(t) satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales dN,

¡ K ^ N ^ N ^

! F = a'" '(

k

,

dN2

)'

- d T = a^

¡ K 2- N - N 2 \ {

k

2

)•

(4)

Aquí será de esperar una lucha muy intensa por la sobrevivencia entre las especies 1 y 2, que tendrá como resultado la extinción de una de las especies. A continuación, se m uestra que efectivamente eso sucede.

T E O R E M A 6 . (Principio de exclusión competitiva). Supóngase que K x es mayor que K 2. Entonces, toda solución N x(t), N 2(t) de (4) tiende a la solución de equilibrio N x = K x, N 2 = 0 cuando t tiende a infinito. Dicho de otro modo, si las especies 1 y 2 son casi idénticas y el microcosmos puede albergar más miem­ bros de la especie 1 que de la especie 2, entonces esta última terminará p o r extin­ guirse. El prim er paso para dem ostrar el Teorem a 6 es señalar que N x(t) y N 2(t) no pue­ den tom ar valores negativos. P ara ello, recuérdese de la Sección 1.5 que-

JV.(í)=

‘

AT,(0) + ( JST, - jv, (0 )

)er----, -"

JV2(/)=0

es una solución de (4) para cualquier elección de N x(0). La órbita de esta solución en el plano N x — N 2 es el punto (0, 0), para N x(0) = 0; la recta 0 < N x < K x, N 2 = 0, para 0 < N x(0) < K x; el punto (K x, 0), para (0) = ATj; y la recta K x < N x < 00, N 2 = 0, para 0) > K x. Así pues, el eje N x, para N x > 0, es la unión de cuatro órbi­ tas distintas. De m anera similar, el eje N 2, para N 2 > 0, es la unión de cuatro órbitas distintas de (4). Esto implica que todas las soluciones N x(t), N 2(t) de (4) que empiezan en el prim er cuadrante (N x > 0, N 2 > 0) del plano N XN 2, deben permanecer ahí para todo tiem po futuro. El segundo paso en la dem ostración del Teorem a 6 es dividir el prim er cuadrante en regiones, en las que tanto d N x/ d t como d N 2/ d t tengan signos fijos. Esto se logra de la siguiente m anera. Sean l x y l2 las rectas K x — N\ — N 2 = 0 y K 2 - N x - N - 0, respectivamente. Obsérvese que d N x/ d t es negativa si (N x, N 2) está por arriba de lx, y positiva si (N x, A'2) está por abajo de lx. De m anera similar, d N 2/ d t es negativa si

4.11 • Principio de exclusión com petitiva en biología de poblaciones

447

F ig u ra 1 . (N x, N 2) está por encima de /2, y positiva si (N x, N 2) está por debajo de l2. Así pues, las dos rectas paralelas l x y l2 dividen el primer cuadrante del plano N XN 2 en tres regio­ nes (Fig. 1), en las cuales tanto d N i / d t como dN 2/ d t tienen signos fijos. En la región I, tanto N {(t) como N 2(t) crecen con el tiempo (a lo largo de cualquier solución de (4)); en la región II, N x(t) crece y N 2(t) decrece con el tiempo; y eñ la región III, tanto N x(t) como N 2(t) decrecen con el tiempo.

l e m a ^ . Toda solución N x(t), N 2(t) de (4) que empieza en la región I en t = t0, debe salir de dicha región en algún tiempo futuro.

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que una solución N x(t), N 2(t) de (4) permanece en la región I para todo tiem po t > t0. Eso implica que tanto N x(t) como N 2(t) son funcio­ nes m onótonas crecientes del tiem po para t > t0, con N x(t) y N 2(t) menores que K2. Por consiguiente, por el Lema 1 de la Sección 4.8, tanto N x(t) como N 2(t) tienen lími­ tes £, r¡, respectivamente, cuando t tiende a infinito. El Lema 2 de la Sección 4.8 implica que (£, r¡) es un punto de equilibrio de (4). A hora bien, los únicos puntos de equilibrio de (4) son (0, 0), (Kx, 0) y (0, K 2), y (£, r¡) obviamente no puede ser igual a ninguno de estos tres puntos. Se concluye, por lo tanto, que cualquier solución N x(t), N 2(t) de (4) que empieza en la región I, saldrá de ella en algún tiempo futuro. Q L E M A 2 . Toda solución N t (/), N 2(t) de (4) que empieza en la región II en el tiempo t — tQ, permanecerá en dicha región para todo tiempo fu tu ro t > t0, y tenderá finalmente a la solución de equilibrio N x = K x, N 2 = 0.

D e m o s tra c ió n . Supóngase que una solución N x(t), N 2(t) de (4) sale de la región II en el tiem po t = t*. Entonces, Ñ x(t*) es igual a cero o bien Ñ 2(t*) lo es, ya que la única m anera en la que una solución de (4) puede salir de la región II es atravesando

448

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

las rectas ly o /2. Supóngase que N y ( t * ) = 0. Al derivar con respecto a t en ambos lados de la prim era ecuación de (4), y sustituir t = t *, se obtiene d 2N x{ t*) dt 2

- a xN x(t*) d N 2 (t*) &y

dt

Esta cantidad es positiva. P or lo tanto, N x( t ) tiene un mínimo en t = t *. Pero tal cosa es im posible, ya que N x( t ) es creciente siempre que una solución Ny ( t ) , N 2(t) de (4) se encuentra en la región II. De m anera similar, si N 2 ( t *) = 0, entonces d 2N 2 (t*) d t2

—a2N 2 (t*) d N x (t*) K2

dt

Esta cantidad es negativa, im plicando así que N 2(t) tiene un máximo en t = t*. Pero tal cosa es imposible, ya que N 2(t) es decreciente siempre que una solución N x(t), N 2(t) de (4) esté en la región II. Los anteriores razonamientos señalan que cualquier solución N¡ (/), N 2 (t) de (4) que empiece en la región II en el tiempo t = t0 , permanecerá en la II para todo tiempo futu­ ro / > t 0 . Eso implica que Ny (t ) es m onótona creciente y N 2 {t ) es m onótona decrecien­ te, para t > t 0 , con Ny ( t ) < K x y N 2 (t ) > K 2 . Por lo tanto, por el Lema 1 de la Sec­ ción 4.8, tanto N y ( t ) como N 2 ( t ) tienen límites £, tj , respectivamente, cuando t tiende a infinito. El Lema 2 de la Sección 4.8 implica que (£, t j ) es un punto de equilibrio de (4). A hora bien, (£, t j ) obviam ente no puede ser igual a (0, 0) o bien a (0, K 2 ). Por ' onsiguiente, (£, t j ) = ( K x, 0), lo que dem uestra el Lema 2. □

L E M A 3 . Toda solución N x(t), N 2(t) de (4) que empieza en ¡a región IIIen el tiempo t - t0 y permanece en ella para todo tiempo futuro, tiende a la solu­ ción de equilibrio N x(t) = K x , N 2(t) = 0, cuando t tiende a infinito.

D e m o s tra ció n .

Si una solución 7V¡ (t ), N 2 (t ) de (4) permanece en la región III para > t0 , entonces tanto N¡ (t) como N 2 (t ) son funciones monótonas decrecientes del tiem­ po j3ara t > /0, con N x( t ) > 0 y N 2 (t ) > 0. P or tanto, por el Lema 1 de la Sección 4.8, tanto N x( t ) como N 2(t) tienen límites £, t j , respectivamente, cuando t tiende a infi­ nito. El Lema 2 de la Sección 4.8 implica que £, rj es un punto de equilibrio de (4). A hora bien, (£, t j ) obviam ente no puede ser igual a (0, 0) ni a (0, K 2). Por lo tanto, t

(£ , tj)

=

K x, 0 ) .

□

D e m o s tra c ió n del Teorema ó. Los Lemas 1 y 2 establecen que cualquier solu­ ción N x (t ), N 2 {t ) de (4) que empieza en las regiones I o II en el tiem po t = t 0 , tienden a la solución de equilibrio N y = K x, N 2 = 0 cuando t tiende a infinito. De m anera similar, el Lema 3 m uestra que cualquier solución/Vj ( t ) , N 2(t ) de (4) que empieza en la región III en el tiem po t = t 0 y permanece en ella para todo tiem po futuro, tam ­ bién tiende a la solución de equilibrio N { = K y , N 2 = 0. Obsérvese, además, que cual­ quier solución N y ( t ) , N 2 (t ) de (4) que empieza en ^ o /2, entra inmediatamente a la región II. Por últim o, si una solución N y ( t ) , N 2( t ) de (4) sale de la región III, debe entonces cruzar la recta ¡y y entrar inm ediatam ente después a la región II. El Lema 2 implica‘entonces que dicha solución tiende a la solución de equilibrio Ny = Á'|, A? = 0. □

4.11 • Principio de exclusión com petitiva en biología de poblaciones

449

El Teorem a 6 trata el caso de especies idénticas, es decir, a = ¡6 ~ 1. Mediante un análisis similar (Ejercicios del 4 al 6) se puede predecir el resultado de la lucha por la sobrevivencia para cualesquiera valores de a y ¡3.

B ib l io g r a f ía Gause, G .F., The Struggle f o r Existence, Dover Publications, New York, 1964.

Ej e r c i c i o s 1.

Exprese el sistema de ecuaciones (4) en la form a X, dNx x = k xa xN x dt 1

n x- n 2,

1

K2 dN2 - ± - - ^ ± = K2- N x- N 2. a2N2 dt

Reste después las dos ecuaciones e integre para obtener directam ente que N 2(t) tiende a cero para todas las soluciones N x(t), N 2(t) de (4) con A j(r0) > 0. El sistema de ecuaciones diferenciales dNx = N l [ - a {+ cl ( \ - b iN l - b 2N2)} ~dt dN2 = N2[ - a 2+ c2( \ - b xN x- b 2N2)] ~df

^

es un modelo para dos especies que compiten por el mismo recurso limitado. Supon­ ga que c x > a x y c2 > a2. Deduzca del Teorem a 6 que N x(t) finalmente tiende a cero si a xc2 > a2c x, m ientras que N 2(t) último tiende a cero si axc2 > a2c¡. 3. En 1926, Volterra presentó el siguiente modelo para dos especies que compiten por el mismo alimento que está limitado: dN, - 5- = [ 6 1-X ,(A 1Y1+ A2Y2)]Y l

Suponga que b xA i > b2/ \ 2. (El coeficiente b¡/\¡ se conoce como la susceptibili­ dad de la especie / a la escasez de alim ento.) Demuestre que la especie 2 terminará por extinguirse si N x(t0) > 0. Los Problem as del 4 al 6 se refieren al sistema de ecuaciones dN,

a ,N .

dN 2 a2N 2 , - ¿ - — (K t-N t-fiN i).

(•)

4. (a) Suponga que X j / a > K 2 y AT2/jS < K x. Demuestre que N 2{t) tiende a cero cuando t tiende a infinito, para toda solución N x(t), N 2(t) de (*) con N x(t0) > 0. (b) Suponga que K x/ a > K 2 y K 2/@ > Xj . Pruebe que A j(0 tiende a cero cuan­ do t tiende a infinito para toda solución A j(f), N 2(t) de (*) con TV, N 2(t0) >

450

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 0. Sugerencia: Trace las rectas l x: N\ + a N 2 y siga la dem ostración del Teorem a 6.

5. Suponga que A j/a > K 2 y K 2/(S > K\. Demuestre que todas las soluciones N x(t), N 2(t) de (*), con N {(t0) y N 2(t0) positivas, tienden finalmente a la solución de equilibrio K , -
N2=N?2

2

1 — a/?

Sugerencia: (a) Trace las rectas l x : N, + a N 2 = y l2 : N 2 + &/V, = K2. Estas dos líneas dividen al prim er cuadrante en cuatro regiones (Fig. 2) en las cuales tan­ to com o N 2 tienen signos fijos.

F ig u ra 2 . (b) Demuestre que todas las soluciones N 2(t) de (*) que empiezan en la región II o bien en la región III, permanecen en dichas regiones y tienden final­ mente a la solución de equilibrio = N°i, N 2 = A ^.

F ig u r a

3.

4.12 • Teorema del um bral en epidem iología

451

(c) Pruebe que todas las soluciones N j(0 , W2(0 de (*) que permanecen exclusi­ vam ente en la región I o bien en la región IV para todo tiempo t > t0, tien­ den por último a la solución de equilibrio = N°lt N 2 = N 2. 6. Suponga que K \ / a . < K 2 y K 2/@ < K \ . (a) Demuestre que la solución de equilibrio Aj = 0, N 2 = 0 de (*) es inestable. (b) Demuestre que las soluciones de equilibrio = K { , N 2 = 0 y N\ = 0, N 2 = K 2 de (*) son asintóticam ente estables. (c) Pruebe que la solución de equilibrio - N°lt N 2 = N 2 (Ejercicio 5) de (*) es un punto silla. (Los cálculos son muy laboriosos.) (d) No es difícil ver que el retrato fase de (*) debe tener la form a descrita en la Figura 3.

4 .1 2

Teorem a del u m b ra l en epidem iología

Considérese la siguiente situación: un pequeño grupo de personas que tiene una enfer­ medad infecciosa es introducido a una población más grande, la cual está en condicio­ nes de adquirir el padecim iento. ¿Qué ocurre cuando transcurre el tiempo?. ¿Desapare­ cerá rápidam ente la enferm edad o se presentará una epidemia?. ¿Cuántas personas enferm arán finalmente? Con el fin de contestar a estas preguntas se deducirá un siste­ ma de ecuaciones diferenciales que describe la propagación o diseminación de una enfer­ medad infecciosa dentro de una población, y se analizará el com portamiento de sus solu­ ciones. Este enfoque conducirá al famoso Teorema del Umbral en Epidemiología, el cual establece que se desatará una epidemia si el núm ero de personas susceptibles a la enferm edad sobrepasa un cierto valor de umbral. Se iniciará con el supuesto de que la enfermedad que se está considerando confiere inm unidad perm anente a cualquier individuo que se haya recuperado completamente de ella, y que su periodo de incubación es muy breve. Esta última suposición implica que un individuo que contrae la enfermedad se convierte inm ediatam ente en agente de contagio. En tal caso es posible dividir la población en tres clases de individuos: la clase infectiva ( /) , la clase susceptible (S) y la clase retirada (/?). La clase infectiva la consti­ tuyen aquellos individuos que están en condiciones de transm itir la enfermedad a otros. La clase susceptible está form ada por los individuos que no son agentes de infección pero que están en condiciones de adquirir la enferm edad y volverse infecciosos. A la clase retirada la form an los individuos que adquirieron la enferm edad y murieron, los que se han recuperado y son inmunes permanentem ente, y los que fueron aislados has­ ta su recuperación y adquisición de inm unidad permanente. Se supone que la diseminación de una enfermedad se rige por las siguientes reglas: Regla 1: En el intervalo de tiem po considerado la población permanece en un nivel fijo N . Ello significa, por supuesto, que se hace caso omiso de nacimientos, muertes por causas ajenas a la enferm edad considerada, inmigración y emigración. Regla 2: La rapidez de variación de la población susceptible es proporcional al pro­ ducto del núm ero de miembros de (S) y de (/). Regla 3: Los individuos que se retiran de la clase infectiva ( / ) lo hacen según una tasa proporcional al tam año de (/).

452

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Denótese por S(t), 7(0 y R (t) al número de individuos en las clases (5), ( /) y (/?), respectivamente, en el tiempo í. De las Reglas 1 a 3 se sigue inm ediatam ente que S{(), 7(0 y R (t) satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales

( 1)

para algún par de constantes positivas r y 7 . La constante de proporcionalidad r se co­ noce como tasa de infección y la constante de proporcionalidad 7 se denom ina tasa de retiro. Las prim eras dos ecuaciones de (1) no dependen de R. De modo que se considera solamente el sistema de ecuaciones 4 1 = _ rSI, dt

4L - rs ¡ _ y¡ dt

(2 )

para las dos funciones desconocidas S(t) e I{t). Una vez que se conocen los valores de S(t) e 7(0, es posible resolver para R(t) en la tercera ecuación de ( 1). O tra m anera de verlo es observando que d (S + 7 + R ) / d t = 0. De modo que S(t) + 7(0 + R(t) = constante = N así que R(t) = N - S(t) - I(t). Las órbitas de (2) son las curvas soluciones de la ecuación de prim er orden

Al integrar esta ecuación diferencial se obtiene I ( S ) = I0+ S 0- S + p\n-^-

(4)

donde S0 e 70 son el núm ero de susceptibles y de infecciosos en el instante inicial t = /q; y p = 7/r. P ara analizar el com portam iento de las curvas (4), se calcula 7 ( 5 ) = -1 + p / S . La cantidad -1 + p / S es negativa para S > p, y positiva para S < p. Por lo tanto, I(S ) es una función creciente de 5 para S < p, y una función decreciente de S para S > p. Obsérvese además que 7(0) = -00 e 7(S0) = 70 > 0. Por consiguiente, existe un único punto S », con 0 < 5» < S0, tal que 7(5») = 0 e 7(S) > 0 para < 5 < S0. El punto (Soo, 0) es un punto de equilibrio de (2), ya que tanto d S /d t com o d l / d t se anulan cuando 7 = 0 . Así que las órbitas de (2) para t0 < t < °° tiene la form a que se indica en la Figura 1. A hora se analizarán las implicaciones de estos resultados sobre la diseminación de una enferm edad en una población. Conform e t corre de t0 a 00, el punto (S(r), 7(0) se mueve a lo largo de la curva (4) y lo hace en la dirección en la que S es decreciente, ya que S(t) decrece m onótonam ente en el tiempo. Por consiguiente, si S0es menor que p, entonces I(t) decrece m onótonam ente a cero y S(t) decrece m onótonam ente a Sx . Así pues, si se incluye un pequeño grupo de infecciosos 70 en un grupo de susceptibles S0, con S0 < p, entonces la enferm edad desaparecerá rápidam ente. Por otro lado, si

4.12 • Teorema del umbral en epidem iología

453

S0 es mayor que p, entonces 7(0 crece mientras 5 (0 decrece hasta el valor de p, momen­ to en el que 7(0 alcanza su valor máximo cuando 5 = p. 7(0 empieza a decrecer sola­ mente cuando el número de susceptibles se encuentra por abajo del valor de umbral p. De estos resultados se pueden sacar las siguientes conclusiones: Conclusión 1. Se presentará una epidemia sólo si el número de susceptibles en la población excede el valor de um bral p = y / r . Conclusión 2. La propagación de la enfermedad no se detiene por falta de una pobla­ ción susceptible; para solam ente por falta de infecciosos. En particular, siempre esca­ parán de contraer la enferm edad algunos individuos. La Conclusión 1 corresponde a la observación general de que las epidemias tienden a desarrollarse más rápidam ente si la densidad de los susceptibles es alta, debido, por ejem plo, a la sobrepoblación, y si la tasa de retiro es baja, debido por ejemplo a la ignorancia, aislamiento inadecuado o tratam iento médico insuficiente. Por otro lado, si las buenas condiciones sociales permiten una densidad más baja de los susceptibles, entonces los brotes tienden a ser de alcance limitado. Lo mismo ocurre si las tasas de retiro son altas debido a un buen control y buena vigilancia de la salud pública. Si el núm ero S0 de susceptibles es inicialmente mayor que el valor de umbral p, aunque cercano a él, entonces es posible estimar el número de individuos que contrae­ rán finalm ente la enferm edad. En concreto, si 50 - p es pequeño com parado con p, entonces el núm ero de individuos que por fin contraerán la enfermedad es aproximada­ mente 2(50 — p). Este es el Teorem a del Um bral en Epidemiología, el cual fue demos­ trado por prim era vez en 1927 por los biólogos matemáticos Kermack y McKendrick.

T e o r e m a 7 . (Teorema del Um bral en Epidemiología.) Sea 50 = p + v, y supóngase que v /p es m u y pequeño comparado con uno. Supóngase además que el número inicial de infecciosos I0 es m uy pequeño. Entonces, el número de individuos que finalmente contraen la enfermedad es 2 v. Dicho de otro modo, el nivel de susceptibles se reduce a un nivel que dista (por abajo) del valor de umbral en la misma proporción que éste distaba del número inicial de suscep­ tibles.

D e m o s tra c ió n .

Al dejar tender t a infinito en (4), se obtiene 0 = 7 0+ 5 0- 5 oo + p l n % . ■->0

454

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Si I0 es muy pequeño com parado con S0, entonces se puede ignorar y escribir 0 = S Q- S x + p \n

So

= S 0- S x + p \n

Sq—(S q- S CC)

Sq

= S 0- S M + p\n 1 -

SX S0

Ahora bien, si S0 - q es pequeño com parado con q , entonces S0 - S» será muy peque­ ño com parado con S0. Por consiguiente, es posible truncar la serie de Taylor S q Sgo \

ln

i ( S0

S

S0

+

después del segundo térm ino. Entonces 0 —S

q

S

^

p

S q~ S 0

SQ Sgo

S0

“ sT ~

- ( 5 0“ Seo)

p

p

S0

2Sq

Despejando S0 - Soo, se ve que S 0- S « = 2 S 0 ^

-lj =2 ( p + ,) [ ^ - l

= 2 (p + v ) — = 2 p ( 1 + P

V

- s2^.

P / P

□

Durante el curso de una epidemia es imposible decir con exactitud el número de nuevos infecciosos por día o sem ana, ya que solamente aquellos infecciosos que buscan ayuda médica son los que pueden ser reconocidos y retirados de la circulación. Así pues, las estadísticas de salud pública registran sólo el núm ero de nuevos retirados por día o semana, no el núm ero de infecciosos. Por lo tanto, para com parar los resultados predichos por el modelo con los valores de la epidemia real, es necesario encontrar la can­ tidad d R / d t como función del tiem po. Eso se logra de la siguiente m anera. Obsérvese primero que dR = y/ = y(N - R - S). dt Obsérvese además que dS dR

d S /d t d R /d t

rS I yl

-S

455

4.12 • Teorema del um bral en epidem iología Por lo tanto, S ( R ) = S0e R/p y dR = y ( N - R - S 0e - R/p). dt

(5)

La ecuación (5) es separable, pero no puede resolverse explícitamente. Sin embargo, si la epidemia no es muy grande, entonces R / q es pequeño y es posible truncar la serie de Taylor e - R/ p = { - £ + + P 2\ p ) después del tercer térm ino. Con dicha aproxim ación se obtiene dR N - R - S 0 i - * / p + T ( « / p ) 2] - * " 1

“y La solución de esta ecuación es \S_o

R ( ‘)

P

- 1 + a t a n h ^ ayt - j

donde a=

(H

2 S 0 ( N - S 0)

+

1/2

i( H

^>= tanh - 1

y la función tangente hiperbólica ta n h z se define como tanhz =

(6)

e z —e ~ z e z + e'

Se puede verificar fácilmente que dz

tanhz = sech2z =

( e z + e z)2

Por lo tanto, dR dt = ^ r sech2( í a* - 4

(7)

La ecuación (7) define una curva simétrica con form a de cam pana en el plano t - d R / d t (Fig. 2). Dicha gráfica se conoce como curva epidémica de la enfermedad, e ilustra muy bien la observación com ún de que en muchas epidemias reales, el número de nuevos casos reportados cada día aum enta hasta alcanzar un valor máximo, para dism inuir después nuevamente. Kermack y McKendrick com pararon los valores predichos por (7) para d R /d t con los valores reales de una epidem ia en Bombay, la cual se extendió durante la segunda m itad de 1905 y la prim era m itad de 1906. Establecieron dR = 890 sech2(0.2/ —3.4) dt

456

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

F ig u r a 2.

2 4>/ar

con t medido en semanas, y com pararon estos valores con el núm ero de muertes por semana debidas a la epidemia. Esta cantidad es una aproxim ación muy buena de dR/dt, ya que casi todos los casos term inaron m ortalm ente. Com o puede verse en la Figura 3, hay una coincidencia excelente entre los valores reales de d R /d t, denotados por •, y los valores predichos por (7). Esto indica, por supuesto, que el sistema de ecuaciones diferenciales (1) es un modelo preciso y confiable para la diseminación de una enferme­ dad infecciosa en una población de tam año fijo.

SEMANAS

F ig u r a 3.

B IB L IO G R A F ÍA Bailey, N .T .J., The mathematical theory o f epidemics, 1957, Nueva York. Kermack, W .O. y M cKendrick, A .G ., “ C ontributions to the m athem atical theory of epidemics” , Proceedings Roy. Stat. Soc., A , 115, 700-721, 1927.

4.12 • Teorema del umbral en epidem iología

457

W altman, P. Deterministic threshold models in the theory o f epidemics, Springer-Verlag, Nueva York, 1974.

Ej e r c i c i o s 1. Deduzca la ecuación (6). 2. Suponga que los miembros de (S) son vacunados contra una enferm edad, con una tasa X, proporcional a su número. Entonces, 4jL = -rSI-\S,

4j.-rSI-yI.

(*)

(a) Encuentre las órbitas de (*). (b) Concluya de (a) que S (t) tiende a cero cuando t tiende a infinito, para toda solución S (t), 7(0 de (*). 3. Suponga que losm iem bros de (S) son vacunados contra una enfermedad según una tasa X proporcional al producto de sunúmero y del cuadrado de los miembros de (7). Entonces, ^

= - r S I - \ S I 2,

j¡ = I(rS-y).

(*)

(a) Determine las órbitas de (*). (b) ¿H abrá aún individuos susceptibles al desaparecer la enfermedad? 4. La intensidad i de una epidemia es la proporción del núm ero total de susceptibles que finalm ente contraen el padecimiento. Demuestre que

1

I 0 + S q—

T0

donde S w es una raíz de la ecuación S = S 0e{5~ so - A ó / e .

5. Calcule la intensidad de la epidemia si q = 1000, I0 = 10 y (a) SQ = 1100, (b) S0 = 1200, (c) S0 = 1300, (d) S0 = 1500, (e) S0 = 1800, (0 S0 = 1900. (Esto no puede hacerse analíticam ente.) 6. Denote por al núm ero total de individuos que contraen la enfermedad. (a) Demuestre que R w = 70 + S0 - S». (b) Denote por Ri a los miembros de (R ) que son retirados de la población antes de que la epidemia alcance su intensidad máxima. Calcule R¡ //? „ para cada uno de los valores de S0 en los incisos del 5a al 5f. Note que la mayoría de los retiros ocurren después del punto máximo. Este tipo de asimetría se encuen­ tra con frecuencia en las notificaciones de enfermedades infecciosas reales. 7. A principios del presente siglo se observó en Londres que los brotes epidémicos fuertes de saram pión se presentaban cada dos años. El biólogo m atemático H .E. Soper trató de explicar dicho fenómeno suponiendo que la reserva de susceptibles

458

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES es reemplazada constantemente mediante la llegada de nuevos individuos a la pobla­ ción. Así pues, supuso que § - - * / +*

% -rS I-yl

<•)

para algunas constantes positivas r, y y \l. (a) Demuestre que 5 = 7/ r , / = fi/y es la única solución de equilibrio de (*). (b) Demuestre que toda solución S{(), I(t) de (*) que empieza lo bastante cerca de dicho punto de equilibrio, tiende finalm ente a él cuando t tiende a infinito. (c) Es posible m ostrar que toda solución S(t), I(t) de (*) tiende a la solución de equilibrio 5 = 7 /r , / = fi/y, cuando t tiende a infinito. Concluya, por lo tan ­ to, que el sistema (*) no predice brotes epidémicos recurrentes de saram pión. Más bien, predice que la enferm edad tenderá finalmente a un estado estacio­ nario.

4 .1 3

M o d e l o p a r a la p r o p a g a c ió n

DE LA GONORREA

Hoy en día este padecimiento ocupa el primer lugar entre las enfermedades transm isi­ bles de reporte obligatorio, en Estados Unidos. Se inform an más casos de gonorrea anual­ mente que el núm ero total com binado de casos de sífilis, saram pión, paperas y hepati­ tis infecciosa. Funcionarios de salud pública estim an que cada año contraen gonorrea más de 2 500000 personas en Estados Unidos. Esta enferm edad tan dolorosa y peligro­ sa es causada por un germen gonocócico y se transm ite de persona a persona por con­ tacto sexual. Unos pocos días después del contagio se percibe una sensación de com e­ zón y ardor en el área genital, en especial en el m om ento de la micción. Simultáneamente se inicia una supuración, la cual será notada por los varones pero no siempre por las mujeres. Las personas de sexo femenino con la infección pueden no presentar síntomas fácilmente identificables, aun cuando la enferm edad provoca daños internos graves. La gonorrea puede ser curada solam ente mediante el uso de antibióticos (usualmente peni­ cilina). Sin em bargo, para prevenir daños serios en el organismo es necesario aplicar el tratam iento en las etapas tem pranas del padecim iento. Si no es tratada, la gonorrea puede provocar ceguera, esterilidad, artritis, insuficiencia cardiaca y, por últim o, la muerte. En esta sección se construye un modelo m atemático para la diseminación de la gono­ rrea. El trabajo se simplifica fuertem ente por el hecho de que el periodo de incubación es muy corto (de 3 a 7 días) com parado con el periodo de infectividad activa, el cual con frecuencia es largo. Así pues, se supondrá en el modelo que los individuos se con­ vierten en infecciosos inm ediatam ente después de contraer la enferm edad. Además, la gonorrea no confiere siquiera inm unidad parcial a aquellos individuos que se han recu­ perado. Inm ediatam ente después de su recuperación, un individuo vuelve a ser suscep­ tible. Así pues, la acción de la población sexualmente activa y promiscua puede ser divi­ dida en dos grupos: los susceptibles y los infecciosos. Sea c¡(t) el núm ero total de promiscuos del sexo m asculino, c2(t) el núm ero total de promiscuos del sexo femeni­ no, x(t), el núm ero total de infecciosos del sexo m asculino y, por último >^(0 el número total de infecciosos del sexo femenino, en el tiem po t. Entonces, el núm ero total de susceptibles del sexo masculino y el de susceptibles del sexo femenino es c¡ (t) - x(t)

4.13 • M odelo para la propagación de la gonorrea

459

y c2(0 - y(t), respectivamente. Se parte del hecho que la diseminación de la gonorrea se rige por las siguientes reglas: 1. Los infecciosos del sexo masculino se curan según una tasa a \ , proporcional a su núm ero total, mientras que los infecciosos del sexo femenino se curan según una tasa a2, proporcional a su núm ero total. La constante a x es m ayor que a2, ya que los infecciosos del sexo masculino desarrollan rápidam ente síntomas dolorosos y buscan, por consiguiente, una pronta ayuda médica. Los infecciosos del sexo femenino, por el contrario, son usualm ente asintom áticos y permanecen, por lo tanto, más tiempo en la etapa de infectividad. 2. Los nuevos infecciosos se agregan a la población masculina según una tasa b \ , proporcional al núm ero total de susceptibles del sexo masculino e infecciosos del sexo femenino. De la misma m anera, los nuevos infecciosos se agregan a la población feme­ nina según una tasa b2t proporcional al número total de susceptibles del sexo femeni­ no e infecciosos del sexo masculino. 3. Los núm eros totales de promiscuos de cada uno de los dos sexos permanecen constantes en niveles c¡ y c2, respectivamente. De las reglas 1 a 3 se sigue de inmediato que ^ - = - a lx + b l ( c l - x ) y * - = - a 2y + b2{c2- y ) x .

O b s e rv a c ió n .

0)

El sistema de ecuaciones (1) describe sólo aquellos casos de gono­ rrea que se transm iten por contactos heterosexuales; en los Ejercicios 5 y 6 se analiza el caso de contactos homosexuales (suponiendo que no hay interacción entre heterose­ xuales y homosexuales). El núm ero de casos de gonorrea transm itidos en encuentros homosexuales constituye un pequeño porcentaje del número total de casos de gono­ rrea. Es interesante destacar que en el caso de la sífilis, la situación es completamente distinta. De hecho, más del 90% de todos los casos de sífilis reportados en el estado de Rhode Island durante el año 1973, resultaron de encuentros homosexuales. (Esta estadística no es tan sorprendente como podría parecer a prim era vista. Entre los diez y noventa días después de haber sido infectada con sífilis, la persona desarrolla usual­ mente un chancro en el sitio donde el germen entró al organism o. Un homosexual que contrae sífilis como resultado de un coito anal con un infeccioso desarrollará un chan­ cro en el recto. Naturalm ente dicha persona dudará en buscar atención médica, ya que tendrá que revelar entonces su identidad como homosexual. Además, no sentirá urgen­ cia, ya que usualm ente el chancro no produce dolor y desaparece en el lapso de unos días. Con la gonorrea, por lo contrario, los síntomas son tan dolorosos e inconfundi­ bles que el homosexual buscará pronta atención médica. Además no necesita revelar su identidad de homosexual, ya que los síntomas de la gonorrea aparecen en el área genital.) El prim er paso en el análisis del sistema de ecuaciones diferenciales (1) es mostrar que es real. Concretamente, es necesario hacer ver q u e fir) y y (t) no pueden tomar valores negativos ni sobrepasar los valores c t y c 2, respectivamente. Tal es el contenido de los Lemas 1 y 2.

460

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LEM A 1 . Si x ( t 0) y y ((o) son positivos, entonces x(t) y y(t) son positivos para toda t > t0. L EM A 2 . Si x ( t 0) es menor que c x y y {t0) es menor que c2, entonces x(t) es menor que c x, y y(t) es menor que c2 para toda t > t0.

DEMOSTRACIÓN DEL Lema 1. Supóngase que el Lema 1 es falso. Sea t* > t0 el primer instante en el que alguna de las variables x o y tom a el valor de cero. Supóngase que * es la prim era en tom ar el valor de cero. Entonces, al evaluar la prim era ecuación de (1) en t = /*, se obtiene x (t* ) = b xc xy(t*). Esta cantidad es positiva. (Nótese que y(t*) no puede ser igual a cero, ya que * = 0, y = 0 es una solución de equilibrio de (1).) Por lo tanto, .*(/) es menor que cero para t cercana a t* y menor que ella. Esto contradice la suposición de que t* es el primer instante para el cual x(t) es igual a cero. Si y(t*) = 0 se obtiene la misma contradicción. Así pues, tanto x(t) como y(t) son posi­ tivas para t > t0. □ DEMOSTRACIÓN DEL Lema 2. Supóngase que el Lema 2 es falso. Sea t* > t0 el primer instante para el cual, o bien x = c¡ o y = c2. Supóngase que x(t*) = Ci. Al evaluar la prim era ecuación de (1) en / = /* se obtiene x(t*) = —a xc x. Esta cantidad es negativa. Por lo tanto, x(r) es m ayor que Cj para / cercana a /* y m enor que ella. Esto contradice la suposición de que /* es el prim er instante para el cual x(t) es igual a q . Si y(t* ) = c2 se llega a la misma contradicción. Así pues, x(t) es m enor que cx, e y(t) es m enor que c2 para t > t0. □ Habiendo m ostrado que el sistema de ecuaciones (1) es un modelo real de la gono­ rrea, se analizará ahora qué predicciones hace acerca del desarrollo futuro de la enfer­ medad. ¿C ontinuará propagándose la gonorrea rápidam ente y de m anera incontrolada como parecen sugerir los datos de la Figura 1, o alcanzará finalmente un nivel estacio­ nario? El siguiente teorem a de epidemiología es muy im portante y proporciona la res­ puesta a esta pregunta.

TEO REM A 8.

(a) Supóngase que a xa2 es menor que b xb2c xc2. Entonces toda solución x(t)> y ( 0 de ( 1) con 0 < x ( t 0) < c { y 0 < y ( t 0) < c2 tiende a la solución de equilibrio _ b\b2c \c2~ a \a2 a {b2 + b ib2c2 ’

^

_ b\b2C\c2 a \a2 a2b x+ b xb2c {

cuando t tiende a infinito. Dicho de otro m o do , el número total de infecciosos del sexo masculino y del sexo fem en ino tienden finalm ente a estabilizarse. (b) Supóngase que a xa2 es mayor que b xb2c xc2. Entonces toda solución -*■(0, y(t) de (1) con 0 < x ( t 0) < c x y 0 < y ( t 0) < c2, tiende a cero cuando t tiende a infinito. Dicho de otra manera, la gonorrea terminará por desaparecer. El primer paso para dem ostrar la parte (a) del Teorem a 8 es partir el rectángulo 0 < * < c x, 0 < y < c2 en regiones en las cuales tanto d x / d t como d y / d t tengan sig-

4.13 • M odelo para la p ro pagación de la gonorrea

461

800 75 0 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250

200 I950

I952

I954

J

I956

L

I958

(960

I962

J

L

I964

(966

(966

(970

AÑO FISCAL F ig u ra

1 . Casos

reportados de gonorrea durante el periodo 1950-1973 (en miles).

nos fijos. Eso se logra de la siguiente manera. Haciendo d x /d t = 0 en (1) y resolviendo para y como función de x, se obtiene y =

a,x b\(c , - x )

De m anera similar, haciendo d y /d t = 0 en (1), se obtiene x=

a2y b2Íc2 ~ y )

,

o bien

y =

b1c1x 'V-2 a2+ b2x

^ in ­

obsérvese prim ero que i(x) y <(>2(x) son funciones m onótonas crecientes de x; ¡(x) tiende a infinito cuando x tiende a c j , y 2(x) tiende a c2 cuando x tiende a infinito. Obsérvese además que las curvas y - <¿>i(x) y y = <¿>2(x) se cortan en (0, 0) y en (x0, ^q), donde X°

_ b \ b 2 C \ C 2 ~ a \a 2

_ ^ b \ b 2C \ C2 ~ a \ a 2

a lb2+ b lb2c2 ’

a2b l + b [b2c l

Obsérvese tam bién que <¡>2(x) crece más rápidam ente que \(x) en x = 0, ya que b2c2

>

«i V i

(972

462

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES y

c2

y s¿ U )

y ‘4>,M

c

X

Fig u ra 2. Por lo tanto, 2(x) está por arriba de 0 ((x) para 0 < x < x0, y 2(x) está por abajo de para x0 < x < Cj, tal com o se m uestra en la Figura 2. El punto (x0, .yo) es un punto de equilibrio de (1), ya que tanto d x /d t com o d y / d t son iguales a cero cuando x = *0 y y = y 0. Obsérvese por último que d x / d t es positiva en cualquier punto (x , y) por arriba de la curva .y = (¡>{ (x ), y negativa en cualquier punto (a:, y) por abajo de la misma curva. De la misma m anera, d y / d t es positiva en cualquier punto (x, y) por debajo de la curva y = 2(x), y negativa en cualquier punto (x, y) por encima de la misma curva. Así pues, las curvas y ~ \(x) y y = 2(x) dividen el rectángulo 0 < x < q , 0 < y < c2 en cua­ tro regiones, en las cuales d x / d t y d y / d t tienen signos fijos (Figura 2). Como siguiente paso se dem uestran los siguientes cuatro sencillos lemas.

L e m a 3 . Toda solución x(t), y(t) de (l) que empieza en la región I en el ins­ tante t = tQ, permanecerá en dicha región.para todo tiempo fu tu ro t > t0, y tenderá a la solución de equilibrio x = x0, y = y 0 cuando t tienda a infinito.

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que una solución x(0» y(0 de (1) sale de la región I en el instante t = t*. Entonces, o bien x(t*) es igual a cero, o y(t* ) lo es, ya que la única m anera en que una solución de (1) puede salir de la región I es cruzando la curva y = ói (x) o la curva .y = 2(x). Supóngase que x(t* ) = 0. Al derivar am bos lados de la primera ecuación de (1) con respecto a t y hacer t = t*, se obtiene

Esta cantidad es positiva, ya que x(t* ) es menor que q , y d y /d t es positiva sobre la curva .y = 4>i(x), 0 < x < x0. Por lo tanto, x(t) tiene un'm ínim o en t = t*. Pero tal

463

4.13 • M odelo para la p ro pagación de la gonorrea

cosa es imposible, ya que x(t) es creciente siempre que la solución x ( t ), y(t) esté en la región I. De m anera similar, si y (t* ) = 0, entonces d2y ^ * )

u(

r ^ \ dx^ *))—

•

Esta cantidad es positiva, ya que y(t* ) es menor que c2, y d x /d t es positiva sobre la c u r v a n = 2(jc), 0 < x < x 0. Por lo tanto, y(t) tiene un mínimo en / = t*. Pero tal cosa es im posible, ya q u e ^ (/) es creciente siempre que la solución x(t), y(t) esté en la región I. El razonamiento anterior muestra que cualquier solución x{t), y(t) de (1) que empieza en la región I en el instante t = t0, permanecerá en la región I para todo tiempo futu­ ro / > t0. Eso implica que tanto x(t) como y(t) son funciones m onótonas crecientes del tiem po para t > t0, con x(t) < x 0 y y(t) < y 0. Por consiguiente, por el Lema 1 de la Sección 4.8, tanto x(t) com o y(t) tienen límites £, 77, respectivamente, cuando t tiende a infinito. El Lema 2 de la Sección 4.8 implica que (£, 17) es un punto de equili­ brio de (1). A hora bien, de la Figura 2 es fácil ver que los únicos puntos de equilibrio de ( 1) son ( 0, 0) y (jc0, _y0)- Pero (£, 77) no puede ser igual al (0, 0), ya que tanto x(t) como y(t) son funciones crecientes del tiempo. Por lo tanto, (£, 77) = (jc0 , y Q), lo que dem uestra el Lema 3. q

L e m a 4 . Toda solución x(t), y(t) de (1) que empieza en la región III en el instante t = t0, permanecerá en dicha región para todoJiempo fu tu r o y ten­ derá finalm ente a la solución de equilibrio x = x 0, y = y 0.

D e m o s tra c ió n . Lem a

Exactam ente igual a la demostración del Lema 3 (Ejercicio 1).

5 . Toda solución x(t), y(t) de (1) que empieza en la región II en el

□

instante t — t0 y permanece en dicha región para todo tiempo futuro, tiende a la solución de equilibrio x = x 0, y = y 0 cuando t tiende a infinito.

D e m o s tra c ió n . Si una solución x(t), y(t) de (1) permanece en la región II para t > t0, entonces x { t) es m onótona decreciente y ^(0 es m onótona creciente para / > /0Más aún, x{t) es positiva y y(t) es menor que c2, para / > /0- P ° r consiguiente, por el Lema 1 de la Sección 4.8, tanto x(t) como y(t) tienen límite £, 77, respectivamente, cuando t tiende a infinito. El Lema 2 de la Sección 4.8 implica que (£, 77) es un punto de equilibrio de (1). A hora bien, (£, 77) no puede ser igual al (0, 0), ya que >>(0 es cre­ ciente para / > t0. Por lo tanto, (£, 77) = (*0>_y0)> lo cual term ina la demostración del Lema 5. □ L E M A 6 . Toda solución x(t), y(t) de (1) que empieza en la región IV en el instante t = t0 y permanece en dicha región para todo tiempo futuro, tiende a la solución de equilibrio x = x 0, y = y 0 cuando t tiende a infinito.

D e m o s tra c ió n .

Exactam ente igual a la dem ostración del Lema 5 (Ejercicio 2).

A hora es posible dem ostrar el Teorema

□

8.

464

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 8. (a) Los Lemas 3 y 4 establecen que toda solu­ ción a(T), y(t) de (1) que empieza en la región I o en la región III en el instante t = t0, tiende a la solución de equilibrio x = x 0, y = y 0 cuando t tiende a infinito. De manera similar, los Lemas 5 y 6 establecen que toda solución x(t), y(t) de (1) que empieza en la región II o en la IV y permanece en tal región para todo tiempo futuro, tiende también a la solución de equilibrio x = x Q, y = yo. A hora bien, obsérvese que si una solución a ( 0 , y(t) de (1) sale de la región II o IV, entonces debe cruzar la curva y = 0!(a”) o la curva y = 0 2M Para Pasar inm ediatam ente después a la región I o a la región III. Por consiguiente, todas las soluciones x(t), y(t) de (1) que empiezan en las regiones II y IV o sobre las curvas y = i(x) y y = 0 2(a), tienden también a la solu­ ción de equilibrio a*(0 = x 0, y(t) - y 0. □ (b) D e m o s tra c ió n # 1 . Si es mayor que b i b2c i c2., entonces las curvas y = 0 iM y y - 02C*) tienen la form a que se describe en la Figura 3. En la región I, dx/dt es positiva y d y / d t es negativa; en la región II, tanto d x / d t como d y /d t son negativas; y en la región III, d x /d t es negativa y d y / d t es positiva. Es fácil m ostrar (Ejercicio 3) que cualquier solución A ( t), y(t) de (1) que empieza en la región II en el instante t = tQpermanece en dicha región para todo tiempo futuro y tiende a la solución de equili­ brio x = 0, y = 0 cuando t tiende a infinito. Tam bién es fácil m ostrar que cualquier solución a(T). y(t) de (1) que empieza en la región I o en la región III en el instante t = t0, debe cruzar la curva .y = 0 i (,v) o bien la curva = 0 2(a), para entrar inme­ diatam ente después a la región II (Ejercicio 4). P o r consiguiente, toda solución *(/), y(t) de (1), con 0 < x(T0) < Cj y 0 < v(r0) < c2, tiende a la solución de equilibrio a: = 0, y = 0 cuando t tiende a infinito. q

y

F ig u ra 3 . D e m o stra ció n

# 2 A hora se ilustrará cómo puede ser usado el teorema de PoincaréBendixson para dar una dem ostración detallada de la parte (b) del Teorem a 8. Obsérve-

465

4.13 • M odelo para la p ro pagación de la gonorrea se que el sistema de ecuaciones diferenciales (1) puede ser escrito en la form a

Así pues, por el Teorem a 2 de la Sección 4.3, la estabilidad de la solución x - 0, y 0 de (2) queda determ inada por la estabilidad de la solución de equilibrio x = 0, y 0 del sistema Iinealizado

á(íHra-U:;

El polinom io característico de la m atriz A es

Á2 + (a, + a2) \ + a {a2 — b xb2c xc2 y sus raíces son A

- (a , + a 2) ± [ (a, + a2f - 4 (a,a2 - b,b2c,c2) ] _

.

Se verifica fácilmente que am bas raíces son reales y negativas. Por lo tanto, la solución de equilibrio x = 0, y = 0 de (2) es asintóticam ente estable. Eso implica gue cualquier solución x ( t) ,y ( t ) de (1) que empieza suficientemente cerca del origen x = y = 0 tiende al origen cuando t tiende a infinito. A hora bien, supóngase que una solución jc(/), y (t) de (1), con 0 < x ( t 0) < c x y 0 < y ( t Q) < c2, no tiende al origen cuando t tiende a infinito. P o r la observación anterior, dicha solución debe permanecer siempre a una cierta distancia mínima del origen. Por consiguiente, su órbita para t > t0 se encuen­ tra en una región acotada del plano x — y, la cual no contiene puntos de equilibrio de (1). P or el teorem a de Poincaré-Béndixson, se tiene entonces que su órbita debe descri­ bir una espiral que tiende a la órbita de una solución periódica de (1). Pero el sistem a de ecuaciones diferenciales (1) no tiene soluciones periódicas en el primer cuadrante .y > 0, y > 0. Eso se sigue de inm ediato del Ejercicio 11 de la Sección 4.8, y del hecho de que 3

a xx + b x( c x- x ) y ] +

3

- a2y + b2(c2- y ) x ] = - ( a , + a2 + b xy + b2x )

es estrictam ente negativa si tanto x como y son no negativas. Por lo tanto, toda solu­ ción x ( t ), y(t) de (1), con 0 < x(t0) < c, y 0 < y ( t0) < c2 tiende a la solución de equi­ librio x = 0, y = 0, cuando t tiende a infinito. □ A hora bien, los coeficientes a x, a2, b x, b2y c { y c2 son difíciles de calcular. De hecho, es incluso imposible obtener un valor aproxim ado de a2 el cual se interpreta como el núm ero prom edio de unidades de tiempo que una persona del sexo femenino permanece infecciosa. (Análogam ente, se interpreta como el número promedio de unidades de tiempo que una persona del sexo masculino permanece infecciosa.) Tal cosa se debe a que las personas del sexo femenino no presentan síntomas. De modo que una persona del sexo femenino puede ser infecciosa durante un periodo que varía desde un día hasta más de un año. Sin em bargo, como se verá a continuación, es posible, a partir de inform aciones de salud pública, afirm ar que a {a2 es menor que b xb2c {c2. Obsérve­ se que la condición axa2 < b xb2c xc2 es equivalente a ^ i c i \ ( b 2c 2

466

CAPÍTULO 4 • TEORÍA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La cantidad b\ Cx/ a 1 puede ser interpretada como el núm ero prom edio de personas del sexo masculino al que una persona del sexo femenino contagia durante un periodo de infección, en caso de que todas las personas del sexo masculino sean susceptibles. A ná­ logamente, la cantidad biC2/ a i puede interpretarse com o el núm ero prom edio de per­ sonas del sexo femenino al que una persona del sexo masculino contagia durante un periodo de infección, en caso de que todas las personas del sexo femenino sean suscep­ tibles. Las cantidades b xc x/ a 2 y b 2c2/ a x se conocen com o las tasas máximas de con­ tacto femenina y masculina, respectivamente. Con todo esto, puede interpretarse el Teo­ rema 8 de la siguiente m anera: (a) Si el producto de que uno, entonces (b) Si el producto de que uno, entonces

las tasas m áximas de contacto m asculina y femenina es mayor la gonorrea tenderá a un estado de equilibrio no trivial. las tasas m áximas de contacto m asculina y femenina es menor la gonorrea term inará por desaparecer.

En 1973, el núm ero prom edio de contactos con personas del sexo femenino que un infeccioso del sexo masculino reportaba durante su periodo infectivo era de 0.98, mientras que el núm ero prom edio de contactos con personas del sexo masculino que un infeccioso del sexo femenino m encionaba durante su periodo infectivo era de 1.15. Estos números son muy buenas aproxim aciones de las tasas máximas de contacto mas­ culina y femenina, respectivamente. Su producto no es m ayor que el producto de las tasas máximas de contacto m asculina y femenina. (El núm ero de contactos de un infec­ cioso del sexo masculino o femenino durante este periodo infeccioso es ligeramente menor que la tasa máximas de contacto m asculina o fem enina.) Sin em bargo, el núm ero real de contactos es, con frecuencia, m ayor que el núm ero de contactos que reporta el infec­ cioso. El producto de 1.15 y 0.98 es 1.0682. De m odo que la gonorrea tenderá a un estado de equilibrio no trivial. O b s e r v a c i ó n . El modelo presentado para la gonorrea es más bien burdo, pues junta a todos los promiscuos del sexo masculino y femenino en grupos, sin im portar su edad. Es posible obtener un modelo más preciso separando las poblaciones m asculina y feme­ nina en diferentes grupos de edades y calculando las rapideces de variación de los infec­ ciosos en cada uno de los grupos. Recientemente se realizó tal estudio, aunque el análi­ sis es dem asiado difícil para ser presentado aquí. C abe mencionar sólo que se obtuvo un resultado com pletamente análogo al Teorem a 8: desaparece la gonorrea en cada uno de los grupos, o tiende a un nivel constante y positivo en cada uno de ellos.

Ej e r c i c i o s En los Problem as 1 y 2 se supone que a xa2 < b xb2c xc2. 1. (a) Suponga que una solución .x(0> y(t) de (1) sale de la región III de la Figura 2 en el instante t = t* cruzando la curva y = x(x) o bien y = fc ix ). C on­ cluya que x(t) o bien y(t) tiene un máximo en t - t*. Demuestre después que tal cosa es imposible. Concluya, por lo tanto, que toda solución x(t), y(t) de (1) que empieza en la región III en el instante t = t0, permanece en dicha región para todo tiem po futuro t > tQ.

4.13 • M odelo para la propagación de la gonorrea

467

(b) Concluya de (a) que toda solución x(t), y{t) de (1) que empieza en la región III tiene un límite £, 77, cuando t tiende a infinito. Demuestre entonces, que (£, 77) debe ser igual a (x 0, y 0). 2. Suponga que una solución x(t), y(t) de (1) permanece en la región IV de la Figura 2 para todo tiempo / > t0. Demuestre que x(t) y y(t) tienen límites £, 77, respecti­ vam ente, cuando t tiende a infinito. Concluya entonces que (£, r¡) debe ser igual a (*o. yo)En los Problem as 3 y 4 se considera que at a2 > b l b2cl c2. 3. Suponga que una solución x(t), y(t) de (1) sale de la región II de la Figura 3 en el instante t = t* cruzando la curva y = \(x) o la curva y = 2(x). Demuestre que x(t) o y(t) tiene un máximo en t = t*. Demuestre después que tal cosa es impo­ sible. Concluya, por lo tanto, que toda solución x(t), y(t) de (1) que empieza en la región II en el instante t = t0, permanece en dicha región para todo tiempo futuro / > t0. 4. (a) Suponga que una solución x(t), y(t) de (1) permanece en la región I o bien en la región III de la Figura 3 para todo tiempo t > t0. Demuestre que.x(í) y y (t) tienen límite £, 77, respectivamente, cuando t tiende a infinito. (b) Concluya por el Lema 1 de la Sección 4.8 que (£, 7/) = (0, 0). (c) Pruebe que (£, r¡) no puede ser igual al (0, 0) si x(t), y(t) permanece en la región I o en la región III para todo tiempo / > t0. (d) Demuestre que toda solución *(/), y(t) de (1) que empieza sobre la cu rv an = 4>i(x) o sobre la c u r v a n = 02(x) entrará inmediatamente después a la región II. 5. Suponga que a xa2 < b l b2cl c2. Demuestre directamente, usando el Teorem a 2 de la Sección 4.3, que la solución de equilibrio x = x0, y = >»0 de (1) es asintótica­ mente estable. Advertencia: Los cálculos son extremadamente laboriosos.

6.

Suponga que el número de homosexuales permanece constante en el tiem po. Lla­ me c a dicha constante. Además, suponga qu el número de hom osexuales que tiene gonorrea en el tiempo t es x(t), que los homosexuales sanan de gonorrea según una tasa cci y que los nuevos infecciosos se incorporan según una tasa (3¡(c - x)x. (a) Demuestre que x = - « ! + ¡3ix(c - x). (b) ¿Qué le ocurre a x(t) cuando t tiende a infinito?

7. Suponga que el núm ero de homosexuales c{t) crece de acuerdo con la ley logística c = c(a — be), para las constantes positivas a y b. Denote por x{t) al número de homosexuales que padecen gonorrea en el instante t, y suponga (véase el Problem a 6) que x = a xx + (3\x(c - x). ¿Qué le ocurre a x(t) cuando t tiende a infinito?

5 Separación de variables y series de Fourier 5 .1

P r o b l e m a s de v a l o r e s a l a fr o n t er a

EN DOS PUNTOS

En las aplicaciones que se estudiarán en este capítulo, habrá que enfrentarse al siguien­ te problem a: Problema: ¿P ara qué valores de X es posible encontrar funciones y(x) no triviales que satisfagan ^ + X y = 0; dx

ay (0) + 6 / ( 0 ) = 0,

cy(/) + a / ( / ) = 0?

(1)

La ecuación (l)corresponde a un problem a de valores a la frontera, ya que se pide a la solución y(x) y su derivada / ( * ) que cumplan ciertas condiciones en dos puntos distintos, x = 0 y x = l. P o r o tra parte, en un problem a de valor inicial se exige que.y y su derivada tomen un valor prefijado en un sólo punto x = x 0. La idea intuitiva hasta este m om ento es que el problem a de valores a la frontera (1) tiene so lu c io n e s /* ) no triviales sólo para ciertos valores excepcionales X. De hecho, y{x) = 0 es ciertam ente una solución de (1), y el teorem a de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de segundo orden parecería implicar que una solución y(x) de y " + \ y = 0 queda determ inada de m anera única cuando se fijan dos partes de inform a­ ción. La intuición puede ser puesta a prueba en el siguiente ejemplo que aunque senci­ llo, es muy im portante.

469

470

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

E JE M P L O 1 P ara qué valores de X tiene soluciones no triviales el siguiente problem a de valores a la frontera: ^j+A y-0; ax

y(0 )-0 ,

>-(/)=0

(2)

So l u c ió n .

(i) X = 0. T oda solución y(x) de la ecuación diferencial y " = 0 es de la forma y(x) = C\X + c2 con Cj y c2 constantes. La condición y ( 0) = 0 implica que c2 = 0, y la condición y ( l) = 0 implica entonces que = 0. Así pues, y(x) = 0 es la única solución del problem a de valores a la frontera (2) para X = 0. (ii) X < 0. En este caso, cualquier solución y(x) de .y” + \ y = 0 es de la forma y(x) = Cies/~Xx + c2e~^~Xx, para constantes c j y c2. Las condiciones a la frontera >-(0) = y ( l) = 0 implican que c, + c2 = 0,

e ^ ' c ^ + e - ^ ' c ^ 0.

(3)

El sistema de ecuaciones (3) tiene una solución Cj, c2 no trivial sí y sólo si d e t ( eVL Esto implica que o bien e 2v-x/ = 1, lo cual es imposible, pues e z es mayor que uno para z > 0. De aquí que C\ = c2 = 0, y el problem a de valores a la frontera (2) carece de soluciones no triviales y(x) cuando X es negativa. (iii) X > 0: En este caso, cualquier solución y(x) de y " + X>» = 0 es de la forma y(x) = Ct cosVX* + c2senVX;t para las constantes q y c2. La condición ^(0) = 0 implica que Cj = 0, y la condición y(I) = 0 implica entonces que c2 sen VX / = 0. Esta ecuación se satisface para cualquier valor de c2 si VX / = mr, es decir si X = n 2ir2/ l para un entero positivo n. De aquí que el problem a de valores a la frontera (2) tiene soluciones no triviales y(x) = c s e n m r x / l para X = /z27r2/ / 2, n = 1 , 2 , . . . .

O b s e rv a c ió n .

Los cálculos para el caso X < 0 se pueden sim plificar escribiendo las soluciones y(x) en la form a .y = c { cosh V-Xjc + c2 senh V -X x, donde coshV^—X * = e^ ~ X x + f Z ^ ..

se n h v —A x = ----------- ----------La condición >>(0) = 0 conlleva que Cj = 0, y la condición y ( l) = 0 implica entonces que c2 senh V-X / = 0. Pero sen h z es positivo para z > 0. De aquí que c2 = 0 y y(x) = 0. El Ejem plo 1 es representativo del problema de valores en la frontera (1). De hecho, se tiene el siguiente teorem a notable, el cual será enunciado sin dem ostración.

471

5.1 • Problemas de valores a la frontera en dos puntos

T E O R E M A 1.

El problema de valores a la frontera (1) tiene soluciones no triviales y{x) solamente para un conjunto numerable de valores Xj, X2, . . . , d o n d e \ \ < \ 2, • • • *y ^ n tiende a infinito cuando n tiende a infinito Estos valores especiales de X se conocen como valores característicos (o eigenvalores) de (1), y las soluciones no triviales dey{x) se denominan funciones carac­ terísticas (o eigenfunciones) de (1). En esta terminología, los valores caracterís­ ticos de (2) son 7r2/ / 2, 4 tt2/ / 2, 9tt2/ / 2, y las funciones características de (2j son todos los múltiplos de sernrx /l, s e n l i r x / l , ----

Existe una explicación natural de por qué se usa el calificativo de “ característico” en este contexto. Sea V el conjunto de funciones y (x) que tienen segunda derivada con­ tinua y que satisfacen ay(0) + b y '( 0) = 0, cy(l) + dy' (l) = 0. Claramente V es un espacio vectorial de dim ensión infinita. Considérese ahora el operador lineal, o trans­ form ación, L, definido por la ecuación (4)

[L y](x)= -^(x).

Las soluciones y{x) de (1) son aquellas funciones y en V para las cuales Ly - \y . Es decir, las soluciones y (x) de (1) son exactamente aquellas funciones .y en V que son trans­ form adas por L en m últiplos X de ellas mismas.

Ej e m p l o 2 a la frontera

Obtener los eigenvalores y las eigenfunciones del problem a de valores

dx¿

+A y=0;

^ ( 0 ) + / ( 0 ) = 0, > -(l)= 0 .

(5)

So l u c ió n .

(i) X = 0. Toda solución y{x) de y " = 0 es de la form a .y(x) = q x + c2 para un par de constantes q y c2. Am bas condiciones y (0) + 7 (0) = 0 y y( l ) = 0 implican que c2 = - q . De aquí que y{x) = c{x - 1), c ^ 0 es una solución no trivial de (5) para X = 0; es decir, y{x) = c{x - 1), c ¿ 0 es una función característica de (5) con valor característico igual a cero. (ii) X < 0 . En este caso, to da solución y(x) de y " + \ y = 0 es de la forma y (x) = q cosh \ / - \ x + c2 senh V -X x , para dos constantes q y c2. Las condiciones a la fron­ tera y (0) + / ( 0 ) = 0 y j ( l ) = 0 implican que q + V - X c 2 = 0,

cosh V - X q + s e n h V —X c2 = 0.

(6)

[Obsérvese que (cosh x)' = senh x y (senh x)' = cosh x.) El sistema de ecuaciones (6) tiene una solución no trivial q , c2 si y sólo si d e tí \ ___ Vcosh V - X

V -X \ = senh V —X —V - X c o s h V —X = 0 . senh V - X

I

Esto implica que

senhV —X —V —X coshV -

X .

(7)

472

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

Pero la ecuación (7) no tiene solución X < 0. P ara ver claro esto hágase z = V-X y considérese la función h(z) — z c o s h z - senh z. Esta función se anula cuando z 0 y es positiva para z > 0, ya que su derivada h'(z) = coshz 4- zsenh z —cosh z = zsenh z es estrictamente positiva para z > 0. Por lo tanto, ningún número negativo X puede satisfacer (7). (iii) X > 0. En este caso, toda solución y(x) de y " + \ y = 0 es de la form a y (x) = c^cosVXjc + c2 sen VXx para un par de constantes C\ y c2. Las condiciones a la fron­ tera implican que c1+ V X c 2= 0,

cosVX Cj 4-senVX c2= 0.

(8)

El sistema de ecuaciones (8) tiene una solución no trivial clt c2 si y sólo si detí ^ \ eos VX

| = senVX —V X co sV X =0. senVX /

Lo anterior implica que tanVX = VX .

(9)

P ara encontrar los valores de X que satisfacen (9), hágase £ = VX y trácense las g rá­ ficas de las funciones 77 = £ y 77 = tan £ en el plano £17 (Fig. 1); la coordenada £ de cada punto de intersección de estas curvas es entonces una raíz de la ecuación £ = tan £. Es claro que dichas curvas se intersecan una vez en el intervalo tt/2 < £ < 37t/2 y que tal cosa ocurre en un punto £j > 7r. De manera sim ilar, las dos curvas se intersecan una vez en el intervalo 37t/2 < £ < 57t/2, y ello ocurre en un punto £2 > 2-k . Más generalmente, las curvas 77 = £ y r¡ = tan £ se intersecan exactam ente una vez en el intervalo (2 n -\)7 r (2n+\)7T < £ < ------------2

y tal cosa ocurre en un punto £„ >

/77r.

?

2

V~ t a n £

F ig u ra

1 . G ráficas

de

17 =

£ y rj = tan £.

5.1 • Problemas de valores a la frontera en dos puntos

473

P or últim o, las curvas rj = £ y ij = tan £ no se intersecan en el intervalo 0 < £ <

t / 2 . P ara dem ostrarlo, hágase /i(£) = tan $ - £ y calcúlese

/i'(£) = sec2£ - 1 = tan2|. Esta cantidad es positiva para 0 < ! • • • * y las funciones características de (5) son múl­ tiplos de las funciones -V x^osV X iX + senVXiX, -VX2cos \f\2x + senVX2x , No es posible calcular con precisión. Sin em bargo, se sabe que nltn2< \ rt< {2n+ \)2tt2/4 . Además es claro que X„ tiende a (2rt + l) 27r2/4 cuando n tiende a infinito.

Ej e

r c ic io s

Obtenga los valores y las funciones característicos de cada uno de los siguientes proble­ mas de valores a la frontera. 1. >'" + X>' = 0

y ( 0) =

2. >'" + X>'=0

/( 0 ) = 0, / ( / ) = 0

3. y " —\ y —0

/( 0 ) = 0, / ( / ) « 0

4. y " + \ y —0

/(0 )-0 ,

y(() = 0

5. y ” + \y = Q

7 (0) = 0,

y(v)-y\ir) = 0

6.

y" + \ y —Q

7. .y" + \y = 0

0, / ( / ) = 0

7(0)-7'(0) = 0, 7 (0 = 0 >’(0)-7'(°) = 0’ >’(77‘) “ >’,(7I‘) = 0

8. ¿Para qué valores de X el siguiente problema de valores a la frontera tiene una solu­ ción no trivial? y" —2y' + (l +X)7 = 0;

7(0) = 0, .y(l) = 0

9. ¿P ara qué valores de X el siguiente problem a de valores a la frontera tiene una solu­ ción no trivial? 7"+Xy- = 0;

7 (0 )= 7 (2 tt), /(0)=>-'(27r)

10. Considere el problem a de valores en la frontera y " + \y= f(l);

>(0)=0, y ( l) = 0

C)

(a) Demuestre que (*) tiene solución única y(t) si X no es un valor característico del problem a hom ogéneo. (b) Pruebe que (*) no tiene solución >>(/) si X es un valor característico del proble­ m a hom ogéneo. (c) Sea X un valor característico del problem a homogéneo. Determine las condi­ ciones en / para que (*) tenga una solución y(t). ¿Es única esta solución?

474 5 .2

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES V SERIES DE FOURIER

In tr o d u c c ió n a la s e cu a cio n e s DIFERENCIALES NO ORDINARIAS*______________

Todas las ecuaciones diferenciales que han sido estudiadas hasta este momento son rela­ ciones que incluyen una o más funciones de una sola variable y sus derivadas (totales). En este sentido, estas ecuaciones diferenciales se consideran ecuaciones diferenciales ordi­ narias. Por o tra parte, muchos problem as im portantes de las matemáticas aplicadas dan origen a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Una ecuación diferencial en derivadas parciales o no ordinaria es una relación que contiene una o más funciones de varias variables y sus derivadas parciales. Por ejem plo, la ecuación d 3u dx3

/ du \ 2_ 8 2u V / 8.x2

es una ecuación diferencial no ordinaria para la función u ( x , t), y las ecuaciones du _ dt¿ 8.x dy ’

8u _ _ dt¿ dy dx

son un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales para las funciones w(a:, y) y v ( x , y). El orden de una ecuación diferencial en derivadas parciales es el mayor de los órdenes de las derivadas que aparecen en la ecuación. Por ejem plo, el orden de la ecuación no ordinaria 8 2u ^ 8 2u , — - = 2— —+ u 9¿2 dxdt es 2, ya que el m ayor de los órdenes presentes en esta ecuación es 2. Hay tres ecuaciones clásicas en derivadas parciales, de orden 2, que aparecen con frecuencia en las aplicaciones y que dom inan en la teoría de las ecuaciones diferenciales no ordinarias. Tales ecuaciones son du 2 3 2w T" = a ----7 9' dx2

( 1)

9/2

' ’

3x2

Ü “ + ¿ Í “ =0. d x2 dy2

(3)

La ecuación (1) se conoce com o la ecuación de calor, y aparece en el estudio de la transferencia de calor y en procesos de difusión. P or ejemplo, considérese una barra metálica delgada de longitud / y cuya superficie está aislada térm icamente. Denótese por u(x, t) la tem peratura de la b árra en el punto x en el instante t. Esta función satisfa* (N. del R.) Por contraposición al calificativo de ordinarias para las ecuaciones en derivadas totales, a las ecuaciones en derivadas parciales se les puede llamar no ordinarias. Un nombre impropio usual para estas ecuaciones es el de ecuaciones diferenciales “ parciales” .

5.2 • Introducción a las ecuaciones diferenciales no ordinarias

475

ce la ecuación diferencial en derivadas parciales (1) para 0 < x < l. La constante a 2 se denom ina difusividad térm ica o conductividad term om étrica de la barra, y depende únicam ente del material de la barra. La ecuación (2) se conoce como la ecuación de onda, y aparece en el estudio de las ondas sonoras, acuáticas y electromagnéticas. En cualquier análisis matemático de fenómenos en los que interviene la propagación de ondas en un medio continuo, aparece, casi invariablem ente, alguna form a de esta ecuación o de alguna de sus generalizacio­ nes. (En la Sección 5.7 se verá más claram ente el porqué de este hecho.) La ecuación de onda aparece tam bién en el estudio de vibraciones mecánicas. Supóngase por ejem­ plo, que se pone en movimiento oscilatorio una cuerda flexible de longitud /, como por ejem plo, una cuerda de violín o un cable de retención, de modo que vibre en un plano vertical. Denótese por u(x, t) al desplazamiento vertical de la cuerda en el punto jcen el instante / (Fig. 1). Si efectos de am ortiguam iento, como la resistencia del aire, son despreciables, y si la am plitud del movimiento no es demasiado grande, entonces u(x, t) satisface la ecuación en derivadas parciales (2) en el intervalo 0 < x < /. En este caso, la constante c 2 es H / p, donde H es la com ponente horizontal de la tensión en la cuer­ da, y p es la masa de la cuerda por unidad de longitud.

La ecuación (3) se denom ina ecuación de Laplace y es la más famosa de las ecua­ ciones diferenciales no ordinarias. Dicha ecuación surge en el estudio de fenóménos tan diversas com o el flujo de calor régimen perm anente, vibración de membranas y poten­ ciales eléctricos y gravitacionales. Esa es la razón por la que se conoce también como la ecuación de potencial. Además de las ecuaciones diferenciales (1), (2) o (3), se exige tam bién, con frecuen­ cia, que la función u satisfaga condiciones iniciales y a la frontera. Tales condiciones están determ inadas por los mismos problemas físicos o biológicos, se les elige de modo que garanticen la existencia de una solución única de la ecuación. Como modelo para la ecuación de calor (1), considérese una delgada barra de metal de longitud / y cuyos extremos están aislados. Denótese por u(x, t) la tem peratura de la b arra en el punto x en el instante t. P ara determ inar la tem peratura de la barra para todo tiempo t es necesario conocer (i) la distribución inicial de la tem peratura en la barra, y (ii) lo que ocurre en los extremos de ésta. ¿Se les mantiene a tem peratura constante, por ejemplo, a 0°C, o se encuentran aislados, de modo que no permitan el paso de calor? (Esta última condición implica que ux(0, /) = ux(l, t) = 0.) Así pues, un problema bien planteado para procesos de difusión es la ecuación de calor (1) ju n to con la condición inicial u(x, 0) = f( x ) , 0 < x < l y las condiciones a la frontera w(0, t) = u{l, t) = 0, o bien ux (0 , t) = ux (l, t) = 0.

476

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

Como modelo para la ecuación de onda, considérese una cuerda flexible de longi­ tud /, cuyos extremos se hallan fijos, y la cual es puesta en movimiento en un plano vertical. P ara determ inar la posición u(x, t) de la cuerda para todo tiempo t es necesa­ rio conocer (i) la posición inicial de la cuerda, y (ii) la velocidad inicial de la cuerda. Se sobreentiende tam bién que u(0, t) = «(/, í) = 0. Así pues, un problem a bien plan­ teado para la propagación de ondas es la ecuación (2) ju n to con las condiciones inicia­ les u{x, 0) = f( x ) , u,(x, 0) = g(x), y las condiciones a la frontera «(0, t) = u(l, t) = 0. La ecuación en derivadas parciales (3) no incluye el tiempo /, de modo que no se espera tener “ condiciones iniciales’’ en este caso. En los problem as que surgen en las aplicaciones se tienen los valores de u, o bien los de su derivada norm al, en la frontera de una región dada R, y se busca determ inar u ( x , y) en el interior de R. El problema de encontrar una solución de la ecuación de Laplace, que tom a valores prefijados en la frontera, se conoce como problema de Dirichlet, mientras que el problem a de hallar una solución de la ecuación de Laplace, cuya derivada norm al tom a valores prefijados a la frontera, se denom ina problema de Neumann. En la Sección 5.3 se desarrollará un método muy eficaz, conocido com o “ método de separación de variables’’, para resolver el problem a de valores a la frontera (estricta­ mente hablando se debería decir “ problem a de valores iniciales a la frontera’’).

Después de desarrollar la teoría de las series de Fourier en las Secciones 5.4 y 5.5, se demostrará que el método de separación de variables puede usarse también para resol­ ver problemas más generales de conducción de calor y algunos problem as importantes de propagación de ondas y teoría del potencial.

5 .3

La e c u a c ió n de c a lo r ; SEPARACIÓN DE VARIABLES

Considérese el problem a de valores a la frontera

El objetivo es encontrar la solución u(x, t) de (1). P ara ello, es útil recordar cómo se resolvió el problem a de valor inicial + /> (') ^ | + < 7 ( 0 7 = 0;

7 ( 0 ) =70»

7 ,(0 )= 7 Ó -

(2)

Prim ero se señaló que la ecuación diferencial d*y

dy

(3)

es lineal, es decir, que cualquier com binación lineal de soluciones de (3) es también una solución de (3). Después se encontró la solución y(t) de (2) tom ando una combinación lineal apropiada c“i >>,(/) + c272(0 de dos soluciones linealmente independientes y ^ t )

477

5.3 • La ecuación de calor; separación de variables

y ^2(0 de (3). A hora bien, se puede verificar fácilmente que cualquier combinación lineal C\Ux(x, t) + . . . + c„un(x, t) de soluciones u {(x, t), . . . , u„(x, t) de 3u 2 3 2m 3 ' " “ dx2

/ a\ ( }

es tam bién una solución de (4). Además, si u {(x, t), . . . , un(x, t) satisfacen las condi­ ciones a la frontera u(0, t) = u(l, t) = 0, entonces la com binación lineal cxu x + . . . + cnun satisface tam bién las condiciones a la frontera. Esto sugiere la siguiente “ estrategia” para resolver el problem a de valores a la frontera (1): (a) E ncontrar tantas soluciones u x(x, t), u2(x, t), . . . como sea posible al proble­ ma de valores a la frontera u(0,t) = u(l,t) = 0.

(5)

(b) H allar la solución u(x, t)de (1) tom ando una com binación lineal apropiada de las funciones un(x, t), n = 1, 2, . . . . (a) Dado que, hasta el m om ento, no se sabe cómo resolver una ecuación diferen­ cial en derivadas parciales, es necesario reducir el problem a de resolver (5) al de resol­ ver una o más ecuaciones diferenciales ordinarias. Lo anterior se logra tomando u(x, t) = X (x )T (t) (de aquí el nom bre de separación de variables). Calculando ÍE=^ r 9'

y

^ = X " T dx

se ve que u ( x , t) = X {x)T {t) es una solución de la ecuación u¡ = a 2uxx (ut = d u / d t y uxx = d 2u / d x 2) si

( 6)

X T ' = a 2X " T . Al dividir entre a 2X T am bos lados de (6), se obtiene

(7)

XL = 1 L . x

cc2T

A hora bien, obsérvese que el primer miembro de (7) es una función sólo de x, mientras que el segundo miembro es una función de t únicamente. Eso implica que y

*

aT

=

<*>

para alguna constante X. (La única manera de que una función de x sea igual a una de t es que ambas sean iguales a una constante. Para convencerse de ello, hágase f{x) = g(t) y fíjese t0. Entonces f ( x ) = g(t0) para toda x, de modo que f ( x ) = constante = c 1 , lo cual implica de inmediato que g(t) también es igual a c ¡.) Además, las condicio­ nes a la frontera

0 - 11(0, o

- * ( 0) r ( / ) ,

y 0 = u( l , t ) = X ( l ) T ( í )

478

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

implican que X (0 ) = 0 y X (t) = 0 (de otro m odo, u sería igual a cero). Así pues, u(x, t) = X ( x ) T ( t ) es una solución de (5) si X " + \ X = 0;

X ( 0 ) = 0, X ( / ) = 0

r + x « 2r = 0.

(9) (10)

En este m om ento, la constante X es arbitraria. Sin em bargo, del Ejemplo 1 de la Sección 5.1 se sabe que el problem a de valores en la frontera (9) tiene una solución no trivial X (x ) solam ente si X = X„ = n 2ir2/ l 2, n = 1, 2, . . . ; y en tal caso X W = X „ W = sen2S £. La ecuación (10) implica a su vez que 7’ (/) = 7 ; ( / ) =
— ci* n?

t/ a n * l/

es una solución no trivial de (5) para todo entero positivo n. (b) Supóngase que f ( x ) es una com binación lineal finita de funciones senm rx/l, es decir, iv

c( \ ^ nnx / ( * ) = ¿u c*sen— • 1

Entonces, /

a\

K17TX

« ( ^ 0 ® 2 j c» sen—

e

—a* n* w* i / / *

n —1

es la solución buscada de (1), ya que es una com binación lineal de soluciones de (5) y satisface la condición inicial N U { X , 0 ) = ^ Cn S Q ñ ^ y - = =f ( x ) , 0
Sin em bargo, la mayoría de las funciones f ( x ) no se pueden expresar como una com­ binación lineal finita de funciones senm rx/l, n = 1, 2, . . . , en el intervalo 0 < x < /. Esto lleva a plantearse la siguiente pregunta. Pregunta: ¿Es posible escribir una función cualquiera f{x ) como una combinación lineal infinita de funciones senm rx/l, n = 1, 2, . . . , en el intervalo 0 < x < 11 Dicho de otro modo, dada una función a rb itra ria / , ¿pueden encontrarse constantes c , , c2, . . . , tales que

479

5.3 • La ecuación de calor; separación de variables

Sorprendentemente, la respuesta a esta pregunta es que sí, como se verá en la Sección 5.5.

E j e m p l o 1 En el instante / = 0, la tem peratura u(x, 0) de una barra delgada de cobre ( a 2 = 1.14) de longitud unitaria es 2 sen 3 r x + 5 sen 8irx, 0 < x < 1. Los extre­ mos de dicha barra están en contacto con hielo para que conserven una temperatura de 0°C. E ncontrar la tem peratura u(x, t) de la barra para todo tiem po t > 0.

S o lu c ió n .

La tem peratura u(x, t) satisface el problem a de valores en la frontera

0M

02w

j

í w(x,0) = 2sen 37rx + 5sen 87rx,

dx2’

dt

0 < jc< 1

\ u (0 ,t)-u (\,t) = 0

lo cual implica que u (x, t) — 2 sen 3 t t x e ~

9( 1■14)lf2' +

5 sen 8nx e ~ ^

1■14 ) "

2t.

e j e r c ic io s Encuentre una solución u(x, t) a los siguientes problem as. j

du _ ] 7 j d 2 u . 9

7

2_____ _j

8 2w

í w ( x ,0) = s e n 7rx / 2 + 3 sen 57r x / 2,

0
u (0 ,/) = u ( 2 ,/ ) = 0 ( u ( x , 0 ) = s e n i r x / 2 —3sen27rx,

dx2 ’

dt

3.

[

0
| u(0,/) = u(2,/) = 0

Aplique el método de separación de variables para resolver el problem a de valores a la frontera. 3u _ d 2u

(

"97

|

u

( x , 0 ) = 3 sqt\ 2 t t x — T sc v A ttx,

u( 0 ,/) » m(10,0

0
=0

Utilice el m étodo de separación de variables para resolver cada uno de los siguientes problem as de valores a la frontera. 4- t f - t b

»<,0,y) = e> + e - »

5-

^ ,0 ) = , - ^ ^ '

6. 7.

8.

= ^

=

u W r f- le - '- e * u (/,0 ) = e -5 í + 2 e - 7 ' — 14e13'

Determ ine si se puede usar el método de separación de variables para transform ar cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales no ordinarias en un par de ecua­ ciones diferenciales ordinarias. En caso afirm ativo determine las ecuaciones. (a) (c)

tu„ + ux = 0 ux x + ( x - y ) u y y = 0

(b) tuxx + xu, = 0 (d) uxx + 2uxl + u, = 0

480

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

9. La ecuación de calor en dos dimensions espaciales es (*)

^ = a 2(uxx + uyy).

(a) Suponiendo que u(x, y , t) - X ( x ) Y ( y ) T ( t ) , obtenga ecuaciones diferencia­ les ordinarias que se satisfagan para X , Y y T. (b) Halle soluciones u{x, y t) de (*) que satisfagan las condiciones a la frontera w(0, y , t) = 0, u(a, y, t) = 0, u(x, 0, /) = 0 y u(x, b, t) = 0. 10. La ecuación de calor en dos dimensiones espaciales puede expresarse en coordena­ das polares como —

, 1 . 1 «rr + Tr Ur + ~r*- Um

Suponiendo que u{r, 6, /) = R(r)Q(d narias que se satisfagan para R, 0 y T.

5 .4

encuentre ecuaciones diferenciales ordi­

S er ie s d e F o u r ie r

El 21 de diciembre de 1807, un ingeniero de nom bre Joseph Fourier anunció ante la prestigiosa Academ ia Francesa de Ciencias que una función arbitraria f{ x ) puede ser desarrollada en una serie infinita de senos y cosenos. Concretam ente, sea la función f ( x ) definida en el intervalo - l < x < l, y calcúlense las expresiones

1

a* = 7 J

tf \

m rx ,

f(x)cos—

dx.

b „ = y j f ( x ) s Q n ~ dx,

n = 0, 1,2,...

(1)

n = 1,2,...

(2)

Entonces la serie infinita °0 .

7TX

,

,

7TA'

,

a°

— + a xcos — + b, sen— + ...== — +

,

f

MíX

. ,

flTTX

I an cos ~ J~ + bnSQn~~f~

(3)

converge a f ( x ) . El anuncio de Fourier causó un gran revuelo en la Academia. Muchos de sus miembros prom inentes, incluyendo al fam oso m atem ático Lagrange, pensaban que el resultado no tenía sentido, ya que en aquel entonces no se le pudo dar una fundamentación rigurosa. Sin embargo, actualmente los matemáticos han desarrollado la teoría de las series de Fourier, a tal grado, que existe un gran núm ero de tratados escritos al respecto. (De hecho, hace muy poco tiempo se lograron establecer condiciones extraor­ dinariam ente precisas para la convergencia de la serie de Fourier (3). Dicho resultado es uno de los grandes teorem as del siglo XX.) El siguiente teorem a, a pesar de no ser el más general posible, com prende la mayoría de las situaciones que surgen en las apli­ caciones.

484

5.4 • Series de Fouríer

T e o r e m a 2 . Sean f y f continuas sección por sección en el intervalo - l < x < /. (Esto significa que f y f tienen solamente un número finito de disconti­ nuidades en dicho intervalo, y que tanto f como f tienen límites por la derecha y por la izquierda en cada uno de los puntos de discontinuidad.) Calcúlense los términos an y bn a partir de (1) y (2) y fórm ese la serie infinita (3). Esta serie, que se llama serie de Fourier de f en el intervalo —/ < * < / , converge a f ( x ) si f es continua en x, y a l/ 2[ f { x + 0) + f ( x - 0)]* si f es discontinua en x. En x = ±1, la serie de Fourier (3) converge a /l 2[ f( l) + /( - /) ] , donde f ( ± l ) es el límite de f ( x ) cuando x tiende a ±1.

O b s e rv a c ió n .

La cantidad Vi [ f{ x + 0) -i- f ( x - 0)] es el promedio de los límites por la derecha y por la izquierda d e / e n el punto x. Si se define f{x) como el prom edio de los límites izquierdo y derecho d e / en cada uno de los puntos de discontinuidad x, entonces la serie de Fourier (3) converge a f ( x ) para todos los puntos jc en el intervalo - l < x < l.

E je m p lo 1 Sea / una función que es nula para -1 < x < 0 e igual a 1 para 0 < x < 1. Determ inar la serie de Fourier de / en el intervalo -1 < x < 1.

S o lu c ió n .

En este problem a / = 1. Por lo tanto, se sigue a partir de (1) y (2) que ao = ( f { x ) d x = f d x = 1, J-\ Jo an =

j

f ( x ) eo s m tx dx =

J

eosnsrxdx = 0,

n>1

y bn = I f(x)sen n 7 rxd x = I sen n'rrxdx J-\ A) 1 l - ( - 1)" = --- (1 —COS/77r)= MT /77T

,

n > \.

Nótese que bn - 0 para n par y bn = 2//7?r para n impar. Por lo tanto, la serie de Fou­ rier de / en el intervalo -1 < x < 1 es 1 2

2sen7r.x: 7T

2sen37nr 3 77

2sen577.v 5 77

Por el Teorem a 2, esta serie converge a 0 si —1 < x < 0 , y a l s i O < a t < - 1 , 0 y 1, la serie se reduce al valor de Vi, predicho por el Teorema 2.

1.En * =

e j e m p l o 2 S e a /la función que es 1 para - 2 < x < 0 y x para 0 < x < 2. C alcu­ lar la serie de Fourier de / en el intervalo - 2 < x < 2. * La cantidad f ( x + 0) denota el limite d e / p o r la derecha en el punto .v. Análogamente, f ( x - 0) denota el limite de / por la izquierda.

482

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES V SERIES DE FOURIER

S o l u c i ó n . E n este problem

*°" /

i

= 2. P o r lo tanto, se sigue de (1) y (2) que

1 /»2

1 r0

2

2 J 2 ^X + 2 J 0 X ¿¿Xxs2

an a \ f

( mr)‘

t f2

f(x)cos^Y ‘dx~ \ f ’(cos nir —1),

u 1 f 2 // \ t>n*= ^ J f { x ) s

mrx ,

tu r

xcos^Y 'dx

n> 1

t n - ^ - d x =

« — —(1 + cosmj'),

c o s-^ ¿ x + 1 f

1

-

J

m rx . . 1 C1 n n x j sen-^—á x + - J x sen -y-áx

«>I.

Nótese que a n = 0 si n es par; o* = - 4 / / i 2tt2 si n es impar; b n = 0 si /i es im par y = - 2 / m r si n es par. Por lo tanto, la serie de Fourier de / e n el intervalo - 2 < x ^ 2 es 4 irx 1 4 3?rx 1 , 1----- eos—----- serorx------ - eos— ---- — sen2?rx + ... 2 2 i r 9 f f 2 2 2 i r ir oo cos(2/z + \) i r x / 2 \1_ ^V ' senmrx senmrx - > - ^ 2 ir ^ n

,

(2/z+ir

(4)

Por el Teorem a 2, esta serie converge a 1 si - 2 < x < 0; a x, si 0 < x < 2; a Vi si x = 0; y a si x = ±2. A hora bien, en x = 0, la serie de Fourier (4) es ‘“ í

_L + _L + .L + _L + ... I2 32 52 72

De modo que se deduce la im portante identidad

i - , - 4 ir

\ + 'k + \ + -k + l2 32 52 1

o bien

Los coeficientes de Fourier a n y definidos por (1) y (2) se pueden obtener de manera sencilla. De hecho, si una función /c o n tin u a sección por sección puede ser expre­ sada en una serie de senos y cosenos en el intervalo - / :£ x ^ /, entonces necesariamen­ te, dicha serie es la de Fourier (3). Tal afirm ación se dem uestra de la siguiente m anera. Supóngase que / es continua por secciones y que

483

5.4 • Series d e Fourier

para parejas de números ck y dk . Supóngase además que la ecuación se cumple en el intervalo —/ < x < / excepto por un número Finito de puntos. Integrando ambos miem­ bros de (5) entre - l y /, se obtiene c0l - J _ f f ( x ) d x , ya que

J eos—y —dx — j

s e n ^ j ^-dx = 0;

k = 1 ,2 ,...*

De m anera similar, m ultiplicando por eos m r x / l ambos lados de (5) e integrando entre —l y /, se obtiene /c„ =

j ¡j { x ) c o s ^ j - d x

mientras que al multiplicar por sen n n x /l ambos lados de (5) e integrar entre - / y /, resulta

Esto se sigue inm ediatam ente de las relaciones (Ejercicio 19) f 'c o s ^ c o s ^ £ r f x = f ? ' J_i l l [ l,

**" k —n

(6) (7)

J 'c o s ü fs e n ^ fd x - O

r ' Se „ " 2 £ s e n ^ ¿ x = Í O . J_¡ l l l /,

(8)

**«. k=n

P or lo tanto, los coeficientes c„ y dn deben ser iguales a los coeficientes de Fou­ rier a„ y b„. En particular, por lo tanto, una función / puede ser desarrollada sólo de una m anera en series de Fourier en el intervalo —/ < x < /.

E je m p l o

3 Hallar la serie de Fourier de la función f ( x ) = cos2x en el intervalo

-7T < x < T.

SOLUCIÓN.

Según la observación anterior, la función f ( x ) sentación única en series de Fourier

ao

ao , ^^

. f nmx . , mrx 1 Y + 2 j l a»cos ~ + b »sen~ J T n-1

"-I

r

=

cos2x tiene una repre­ , ,

,

[tf* eos/ur + ó„ sen/u:]

en el intervalo - i r < x < r . Pero ya se conoce la fórmula

2 1 . cos2;c cos2x * = 2 J " P o r lo tanto, la serie de Fourier de eos2* en el intervalo - i r < x < t debe ser Vi + Vi eos 2x.

* Se puede demostrar que es permisible integrar la serie (5) término a término.

484

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

Todas las funciones eos n r x / l y sen n r x / l , n = 1', 2, . . ., tienen la interesante p ro ­ piedad de ser periódicas con periodo 21, es decir, repiten siempre sus valores en interva­ los de longitud 21. Tal cosa se sigue trivialmente de las identidades W7r (x / +. n21)\ —c o s^/ —— nTrx .I- 2^ ajtt\J = e o s — n7rx eo s —

rt7r , , / fTirx , - \ ntrx sen— (x + 21) = s e n ^ —-— I- 2wrJ = sen— Por lo tanto, la serie de Fourier (3) converge para toda x a una función periódica F(x). Dicha función se conoce como la extensión periódica de f {x) y está definida por las siguientes ecuaciones F ( x ) = f ( x ),

—/ < * < /

F(x) = { [ f ( l ) + f ( - l ) } ,

x=±/

F(x + 2l)=F(x).

Por ejemplo, en la Figura 1 se describe la extensión periódica de la función f ( x ) = .v. En la Figura 2 se describe la de la función f ( x ) - |x |, la cual es de form a aserrada.

F ig u r a 2 . Extensión periódica de f ( x ) = |x |

Ej e r c i c io s En cada uno de los Problem as del 1 al 13, encuentre la serie de Fourier de la función dada / e n el interválo indicado. ‘• ' « - { ' I ; 2- / w “ í a

~ o íX *< °r ~ o < í < 2’

W <1

485

5.4 • Series de Fourier 3 ./( * )-* ;

■ » •/« = {

1, 0, . 1,

—2 < x < 0 0 < * < 1; 1< * < 2

|x| <2

—/< x < 0 . 0<* < /’ w < /

0, e x, e\ 8 ./( * ) = { e0, ' JK '

- / < *<0. ~0<
lo,

e ~ x. e x,

9 . / ( x ) - f e : x*

o<*
—/< * < 0 . 0<* < /’

_ 1< X < 0 >;

1*1 < ' 11 -/
11.

1*1 < /

1 2 ./ ( * ) = s e n 2* ;

14.

W
—2 < * < 1 . |*| < 2 1< * < 2 ’

0, 3,

x\

£

|* | < 7r

/(* ) =
1 3 ./ ( * ) = s e n 3* ;

|* |< / j* | < 77

Sea f ( x ) = (x cos a x )/2 a se n tf7r, donde a no es un número entero. (a) O btenga la serie de Fourier de / e n el intervalo - x < x < 7r. (b) Demuestre que dicha serie converge en x = 7r al valor (ir/2a)col xa. (c) Use el resultado anterior para obtener la suma de la serie

—, •> !— 2 + — !— 2 + — !— 2.......... + .... -i2 r —a 2 3 -a 15. Suponga que/ y f son funciones continuas por secciones en el intervalo - / < xt < /. Pruebe que los coeficientes de Fourier an y bn tienden a cero cuando n tiende a infinito. 16. Sea c< \

OO a° , ^ r

n^ x +L¿u> „ se nm-yx-Ji .

f ( x ) ~ ~2 + 2 j [« /.e o s —

n« 1

Demuestre que i / / w á < 4 + 2 W + « ). Esta relación se denom ina identidad de Parseval. Sugerencia: Elévese al cuadrado la serie de Fourier de / e intégrese término por término. 17. (a) Encuentre la serie de Fourier de la función / ( x ) = x 2 en el intervalo - x < x < x. (b) Use la identidad de Parseval para probar que

18.

Si la función delta de Dirac 6(x) tuviera un desarrollo en series de Fourier en el intervalo - / < x < /, ¿cuál sería él?

486

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES V SERIES DE FOURIER

19. Deduzca las ecuaciones (6) a (8). Sugerencia: Utilícense las identidades trigonom é­ tricas sen .4 eos 5 = £[sen(,4 + B )+sen(.4 - 5 )] senA senB —}[cos(^ - B ) —cos(^ + B )] cosacosB= i[cos(^ + B ) + cos(^ - B )].

5 .5

F u n c io n e s p a r e s e im p a r e s

Hay algunos casos especiales en los que la serie de Fourier de una función / s e reduce a una serie con térm inos sólo de cosenos, o bien únicam ente de senos. Tales casos espe­ ciales ocurren cuando / e s par o im par.

DEFINICIÓN. Se dice que una función / es par si f ( ~ x ) = f(x ) . Ej e m p l o 1 La función f ( x ) = x 2 es par, ya que / ( “ *) = ( - -*)2 = * 2 =/(-*)•

Ejem p lo 2 La función f ( x ) = eos m rx/l es par, puesto que v —mrx mrx x / ( - x ) = eos — -— = eos — = / ( x ) .

D e f in i c i ó n . Se dice que una función / e s im par si f ( ~ x ) = ~ f(x ). Ej e m p l o 3 La función f { x ) = x es im par, ya que f(-x)= -x= -f(x).

Ej e m p l o 4 La función f ( x ) = sen m rx/l es im par, puesto que tí . —mrx mrx r/ . f ( - x ) = sen— -— = - sen— = ~ / { x ) .

Las funciones pares e impares satisfacen las siguientes propiedades elementales: i 1. El producto de dps funciones pares es par. 2. El producto de dos funciones impares es par. 3. El producto de una función im par y una función par es im par. Las dem ostraciones de estas afirm aciones son triviales y se siguen inm ediatam ente a partir de las definiciones. P or ejem plo, sean / y g impares y sea h(x) = f(x )g (x ). Esta función h es par, ya que h ( - * ) = / ( “ * ) 8 ( ~ * ) - [ - / ( * ) ] [ “ * ( * ) ] - / ( * ) * ( * ) “ h (*)•

467

5.5 • Funciones pares e impares

Además de las propiedades multiplicativas 1 a 3, las funciones pares e impares satis­ facen las siguientes propiedades con respecto a la integración. 4. La integral de una función im par / sobre un intervalo simétrico [-/, /] es igual a cero, es decir, J l^f{x )d x = 0 si / es impar. 5. La integral de una función par / sobre un intervalo [-/, /] es igual a dos veces la integral de / sobre el intervalo [0, /], es decir, (* f { x ) d x = 2 C f { x ) d x

J- i

si / es par.

•'o

DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD 4. Si / es im par, entonces el área bajo la curva de / entre - / y 0 es el negativo del área bajo la curva de / entre 0 y /. Por lo tanto, J 1 f (x ) d x = 0 si / es im par.

D e m o s tra c ió n de la P ropiedad 5 . Si / es par, entonces el área bajo la curva de / entre - / y 0 es igual al área bajo la curva de / entre 0 y /. P or lo tanto, f

J - t

f ( x ) d x = f ° / ( x ) d x + í ' f ( x ) d x = 2 f ¡f ( x ) d x J - i

Jo

Jq

si / es par. P ara las funciones pares e impares se tiene el siguiente lema im portante.

Le m a (a) L a serie de Fourier de una fu n ció n par incluye solamente tér­ m inos coseno, es decir, no contiene términos de la fo rm a sen n x x /l. (b) L a serie de Fourier de una fun ción impar incluye solam ente términos seno, es decir, no contiene términos de la fo rm a eos n x x /l.

DEMOSTRACIÓN, (a) Si/ es par, entonces la función f ( x )sen rnrx/l es impar. Así que, por la Propiedad 4, los coeficientes b n ^ jJ

f(x)sen Z y-dx,

n = 1 ,2 ,3 ,...

en la serie de Fourier de / , son iguales a cero. (b) Si / es im par, entonces la fun ció n /(x )co s n x x /l es tam bién im par. P or consiguien­ te, por la Propiedad 4, los coeficientes 0„ - y

f

f{x )c °s^ j-d x ,

* = 0, 1, 2,...

en la serie de Fourier de / , son iguales a cero. A hora es posible dem ostrar la siguiente extensión del Teorem a 2, la cual es muy im portante. Dicho teorem a perm itirá resolver el problem a de conducción de calor de

488

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

la Sección 5.3 y muchos otros problem as de valores a la frontera que surgen en las aplicaciones.

Te o r e m a 3. Sean f y f continuas p o r secciones en el intervalo 0 < x < l. Entonces en dicho intervalo se puede desarrollar f { x) en una serie de cosenos solamente T +

an COS

mrx

o bien en una serie de senos únicamente ■V , mrx mt. onsen 2 j bnsen— 7=*1 «=*i En el prim er caso, los coeficientes an están dados por la fórm ula, a» =

f(x)cos^p-dx,

n = 0 ,1 ,2 ,...

(1)

mientras que en el segundo caso, los coeficientes b„ están dados por la fórm ula (2)

K = j f of(x)sen^dx.

Dem

o s t r a c ió n

. Considérese prim ero la fu n ció n f{x), F^

‘ f(~x),

0<

< /

-K x< 0

En la Figura 1 se describe la gráfica de F(x) y puede verse fácilmente que F e s par. (Por esta razón se conoce F como la extensión par de / . ) Por lo tanto, por el Lema 1,

FIGURA 1.

La gráfica de F(x)

5.5 • Funciones pares e impares

489

la serie de Fourier de F en el intervalo - / < x < / es oo . T7 ( \ 0 , V* rvnx 1 ( \ n-nx , F ( x ) = ~2 + 2 j an ^ s — ; an = j J F ( x ) e o s —¡ - d x . n= 1 ~l

(3)

A hora bien, obsérvese que la función F(x)cos nirx/I es par. De modo que, por la Pro­ piedad 5, se tiene que 2 f l t?/ \ n'nx , 2 fl \ „ mrx , an = 7 J F ( x ) c o s - j - d x = - J f ( x ) c o s —i - d x . Por últim o, dado que F(x) — f ( x) , O < x < /, se concluye de (3) que

/(■ *)= y

+ 2 n

—1

an c o s ~ ,

O< x < L

Obsérvese tam bién que la serie (3) converge a f ( x) para x = O y x = l. P ara dem ostrar que se puede desarrollar f {x) en una serie de senos solamente, con­ sidérese la función f(x), - f ( —x), O,

F ig u r a

2.

O< x < l —/ < x < 0 x = O, ± /.

La gráfica de G(x)

En la Figura 2 se describe la gráfica de G(x), y puede verse fácilmente que G es im par. (P or esta razón, G se denom ina la extensión impar d e /.) Por lo tanto, por el Lema 1, la serie de Fourier de G en el intervalo - / < * < / es

490

CAPÍTULO 5

•

SEPARACIÓN DE VARIABLES V SERIES DE FOURIER

A hora bien, obsérvese que la función G(x)sen m rx /l es par. De m odo que, por la Propiedad 5, l 2 Cl ~ x rvrrx , 2 f ' , , > n mrx , bn = — J G ( x ) s e n - j - d x = ‘ -j I f ( x ) s e n - r - d x . IJ o / i Jq i

Por últim o, dado que G(x) = f ( x) , 0 < x < /, se concluye de (4) que 00

/ ( * ) “ 2 bnSQn^ l T ’ n-1

0
Obsérvese tam bién que la serie (4) es igual a cero para x = 0 y x = /.

Ej e m p l o s Desarrollar la función f {x) = 1 en una serie de senos solam ente, en el intervalo 0 < x < ir. S o lu c ió n . Por el Teorem a 3, f {x) — 2

sen nXy donde

2 t' 2 [ 0 , bH— — f sen n x d x —— (1 —cos nir) = < 4 , 0 Iw r

n par n impar

Por lo tanto, i

=

í

ir

sen* —-— . sen3x — -— +. sen5x — r, ...

0 < X <17.

Eje m p l o 5 Desarrollar la función f ( x ) = ex en una serie de cosenos en el interva­ lo 0 < x < 1. SOLUCIÓN. P or el Teorem a 3, f ( x ) = a 0/ 2 + 2 üq —2

xan cos n

t x

,

donde

f ' e x dx = 2 ( e - l ) Jo

an —2 f e x cos mrx dx = = 2 Re f e xt xe imxdx •'o •'o *1

( 0 1 + ímr

i

= 2R e I e u +imr)xdx= *2Re{ — :— Jq 1 1 + imr = 2 R e'

( e cos nir —1)( 1 —imr) '

2 (e co sm r— 1)

\ + rt2ir2

1 + n 2ir2

Por consiguiente, = e —1 + 2

(ecosm r — 1)

-Tí

----------- r - r — cosmrx,

1+ ^ 2

0
491

5.6 • Regreso a la ecuación de calor EJERCICIOS

Desarrolle cada una de las siguientes funciones en una serie de Fourier de cosenos en el intervalo que se indica.

1. /(*)-«“*; 0< x < 1 3‘

a
4. / ( x ) « c o s 2x; 5. /(*)- í

2./(jt)-{°’ 0^

0
<2"

0 < x < ir

*■ 0 < x < l / 2 ', 1/ 2 < x < /

0< x <1

{ l-x,

Desarrolle cada una de las siguientes funciones en una serie de Fourier de senos en el intervalo que se indica.

6. / ( * ) - < ? - * ; 8. 9*

f ( x ) - ( x' ' l a,

0
7./(x)« {0’

0
/(x )» 2sen xc osx;

0
0
0 < x < ir

. /( * ) -\(i.- x *’, °,% 1/ 2 X<^2 < x < rr

10 J w

0
11. (a) Desarrolle la función f ( x ) = sen x en una serie de Fourier de cosenos en el inter­ valo 0 < X < 7T. (b) Desarrolle la función f ( x ) = eos x en una serie de Fourier de senos en el inter­ valo 0 < x < 7T. (c) ¿Es posible desarrollar la función f ( x ) = sen x en una serie de Fourier de cose­ nos en el intervalo —ir < x < ir? Explique.

5 .6

R egreso a la e c u a c ió n de c a lo r _________

En esta sección se retornará al problem a de valores a la frontera 0u _

Si

2i J 2L a dx2 ’

w(* ’° ) = / ( * ) \u(0, t)-u (l, /)= 0 '

i

m

En la Sección 5.3 se dem ostró que la función “ (* .* )■ 2 j c«sen~ y n —1 es (form alm ente) una solución del problem a de valores a la frontera

u(0,l) = u(l,l)=0

(2)

492

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

para cualquier elección de constantes , c2, . . . . Esto lleva a preguntarse si es posible encontrar constantes C\, c2, . . . tales que

(3) Como se señaló en la Sección 5.5, la respuesta a esta pregunta es sí; se tiene que si se elige '.- 7 jr W entonces la serie de Fourier 2 to jc. De m odo que

en2f * .

nirx/,l converge a f ( x) s i / e s continua en el pun­ OC

“ ( * > ') = y 2

r

f f(*)se n~ td x

nirx e - a 2*2*2///2 sen—— l/

(4)

es la solución de (1) que se buscaba. O b s e r v a c i ó n . Estrictam ente hablando, no puede considerarse que la solución (4) es la solución de (1) hasta que se justifiquen en form a rigurosa todos los procesos límite que intervienen. C oncretam ente, se debe verificar que la función u(x, t) definida, por (4) tiene realmente derivadas parciales con respecto a ,v y í, y que u(x, t) satisface la ecuación de calor ul = a 2wxv. (No necesariamente es cierto que la suma infinita de solu­ ciones de una ecuación diferencial lineal sea tam bién una solución. De hecho, la suma infinita de soluciones de una ecuación diferencial dada no tiene que ser siquiera dife­ re n c ia re .) Sin em bargo, en el caso (4) es posible m ostrar (Ejercicio 3) que u(x, t) tiene derivadas parciales con respecto a jc y / de todos los órdenes, y que u{x), /) satiface el problema de valores a la frontera (1). El razonam iento se apoya con fuerza en el hecho de que la serie infinita (4) converge muy rápidam ente, debido a la presencia del factor e- a-n-T-t/i-' Qe hech0> ja función u (x , /), para / > 0 fijo, es incluso analítica para 0 < x < /. Así pues, la conducción de calor es un proceso de difusión que empareja de manera instantánea cualquier discontinuidad que pudiera estar presente en la distribución ini­ cial de tem peraturas en la barra. Obsérvese, por últim o, que lím,_oo u{x, t) = 0, para toda X, independientemente de la tem peratura inicial en la barra. Lo anterior está de acuerdo con la intuición física de que la distribución de calor en la barra debería tender a un “ régimen perm anente’’, es decir, un estado en el que la tem peratura no cambia con el tiem po.

Eje m p l o 1 Se calienta una barra delgada de alum inio (a 2 = 0.86cm 2/s) de 10 cm de largo a una tem peratura uniform e de 100°C. En el instante / = 0, se colocan los extremos de la barra en baño de hielo a 0°C, con lo que mantienen su tem peratura a dicho nivel. No se permite la disipación de calor a través de la superficie lateral de la barra. H allar una expresión para la tem peratura en cualquier punto de la barra y para todo tiem po futuro t.

5.6 • Regreso a la ecuación de calor

493

SOLUCIÓN. Denótese por u (x, 0 la tem peatura de la barra en el punto x en el instante t. Esta función satisface el problem a de valores a la frontera w(.x,0) = 100,

^ = 0 .8 6 ^ 9' dx2

0 < ; c< 1 0

(5)

u(0, í) = w(10,/) = 0

La solución de (5) es u(x,t)=

1

c „ s e n ^ c - |,86"’’' V 100

donde 1 \C lOOsen-—■ 1AO m x- a jx — -----200 (1 ¡ ]—cos nrr).s c= — n 5 J0 10 mt K ’ Nótese que c„ = 0 si n es par, y cn = 400/nir si n es im par. Por lo tanto, u( x , t ) =

400

jC' sen(2/i + ( 2 /i+ l)

7TX

, -0.86(2/1+ l ) V f / 100

Hay algunos problemas más de conducción de calor que pueden ser resueltos por el método de separación de variables. El Ejemplo 2, a continuación, analiza el caso en que los extremos de la barra están también aislados y el Ejercicio 4 examina el caso cuando los extremos de la barra se mantienen a tem peraturas T { y T2 constantes dife­ rentes de cero.

Ejem plo 2 Considerar una barra delgada de metal de longitud / y conductividad térm om étrica a 2, cuyos extremos se encuentran aislados de tal form a, que no hay flu­ jo de calor a través de ellos. Sea f ( x ) la distribución inicial de tem peraturas en la barra. E ncontrar la distribución de tem peraturas en la barra para todo tiem po futuro (. SOLUCIÓN. Denótese por u (jc , t) la tem peratura de la barra en el punto te t. Esta función satisface el problem a de valores a la frontera 9 u = 2ii* £ . 9* a dx2 ’

en el instan­

f = /(* ), 0<*
Este problem a se resolverá en dos pasos. Prim ero, se encontrará una infinidad de solu­ ciones un(x, 0 = X n(x)Tn(t) del problem a de valores a la frontera u, = oc2uxx;

ux (0,t) = ux ( l , t ) =0,

y posteriorm ente se hallarán constantes c0, Cj, c2, . . . , tales que OO “ ( * , 0 = 2 cHuH(x,t) « -o satisfagan la condición inicial u(x, 0) = f (x).

(7)

494

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

Primer paso: Sea u(x, t) = X( x ) T( t ) . C alculando y

|-= X T M

^ = X " T dx

se ve que u(x, t) es una solución de u, = ot2

si

X T = a 2X " T , o bien

^ - X -. X a T

(8)

Como se dem ostró en la Sección 5.3, la Ecuación (8) implica que X "+ \X =0 y r + X a 27 = 0 para alguna constante X. Adem ás, las condiciones a la frontera o - t t , ( 0 ,0 = * '( 0 ) 7 X 0

y

0 =ux( i , t ) = x V ) T ( t )

implican que X ' { 0 ) = 0 y X ' ( l ) = 0. P or lo tanto, u ( x , /) = X( x ) T( t ) es una solu­ ción de (7) si X " + \ X = 0; y

* '( 0 ) = 0,

* '( 0 = 0

T '+ \ a 2T = 0.

(9) (10)

En este m om ento, la constante X es arbitraria. Sin em bargo, el problem a de valores a la frontera (9) tiene una solución no trivial X( x ) (Ejercicio 1 de la Sección 5.1), sola­ mente si X = n 2r 2/ l 2t n = 0, 1, 2, . . . , y en tal caso X ( x ) = X n (x) = c o s ! f . La ecuación (10) implica entonces que T(t) = e~a2n‘x2t/í2^ p 0r lo tanto, / Tt^trx “ un( x , t ) = c o s - j - e

//^

es una solución de (7) para todo entero no negativo n.

Segundo paso: Obsérvese que la com binación lineal w(* ,/) = y + 2

n —1

cnco s— ^ e ~ a2n^ t/'2

es (form alm ente) una solución de (7) para cualquier elección de constantes c0, Cj, c2, . . . . Su valor inicial es OO / n\ C° L V M TX U(X, 0 ) = y + ¿ é CnCOS— . n —1

De modo que, para satisfacer la condición inicial u ( x , 0) = f ( x ) se deben elegir cons­ tantes Cq , Cj, c2, . . . tales que /(* ) = y + 2

c/.cos^ »

0
495

5.6 • Regreso a la ecuación de calor

Dicho de otro modo, es necesario desarrollar / en una serie de Fourier de cosenos en el intervalo 0 < x < /. Precisamente esa es la situación en el Teorema 3 de la Sección 5.5, y se concluye, por \o tanto, que c„ = y j f / ( * ) c o s ^ ¿ * . En consecuencia,

OO r jj(x )c o s Z j-d x c o s ^ e - ° w n ■*1 L

' / /1

(11)

es la solución buscada de (6). O b s e r v a c ió n . Obsérvese a partir de (11) que la tem peratura de la barra tiende final­ mente a la tem peratura de régimen permanente

I / o' } ( x ) d x . Esta tem peratura de régimen perm anente puede ser interpretada com o el “ promedio” de la distribución inicial de tem peraturas en la barra.

Ej e r c i c io s 1. Los extremos * = 0 y * = 1 0 d e una delgada barra de aluminio ( a 2 = 0.86) están a 0°C , mientras que la superficie de la barra se encuentra aislada. Obtenga una expresión para la tem peratura u(x, t) de la barra si inicialmente se cumple (a) u(*,0)«70, 0<*<10 (b) u(*»0)“ 70cos*, 0<*<10 Í \ Í n\ í 10;c* 0<*<5 (c) | 10( 10_ jc), 5 <*<10 id) u(x 0 )* í W ' , } l 65,

0<*<3 3 < * < 10

2. Los extremos de una barra de cobre delgada ( a 2 = 1.14), de longitud 2, están ais­ lados de form a que no permiten flujo de calor a través de ellos. Encuentre la tem­ peratura u(x, t) de la barra si inicialmente se cumple (a) m(*,0)«65cos2ir*, 0<*<2 (b) «(*,0) —70sénx, 0<* <2 i . , ( 6Q*, 0<*< 1 (c)m(*,°)“ I 60( 2- * ) , 1< * < 2 ( d ) U( , , ° ) - { 7«;

« < -< >

3. Verifique que la función u(x, t) definida por (4) satisface la ecuación de calor. Suge­ rencia: Use el criterio de la razón de Cauchy para m ostrar que la serie infinita (4) puede ser derivada térm ino a térm ino con respecto a * y /.

4. U na solución de régimen perm anente u(x, t) de la ecuación de calor ut = es una solución u(x, t) que no cam bia con el tiem po.

496

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES V SERIES DE FOURIER (a) Demuestre que todas las soluciones de régimen perm anente de la ecuación de calor son funciones lineales de jc; es decir, u(x) = A x + B. (b) Encuentre que todas las soluciones de régimen perm anente del problem a de valores a la frontera “t = a 2 “xx'>

« ( 0 , / ) “ T x,

u

{ 1 , í ) = T 2.

(c) Resuelva el problem a de conducción de calor

u. = a

,

u •

í u(x,0) = 75, \ «(0,0 = 20,

<

0
Sugerencia: Sea u(x, t) = t'(.v) + w(x, t), donde t-(x) es la solución de estado estacionario del problem a de valores en la frontera u, = a 2uxx\ u (0, 0 = 20, u ( l, /) = 60. 5. (a) Los extremos de una barra de cobre ( a 2 = 1.14) de 10 cm de largo están a 0°C , mientras que el centro de la misma se mantiene a 100°C mediante una fuente externa de calor. Pruebe que la tem peratura de la barra tenderá final­ mente a la distribución de régimen perm anente sin im portar la tem peratura inicial de la barra. Sugerencia: Divídase el problema en dos problemas de valores a la frontera. (b) Suponga que la tem peratura de la barra se encuentra en su distribución de régi­ men perm anente. En el instante t = 0, se retira la fuente externa de calor del centro de la barra y se le coloca en su extrem o izquierdo. Encuentre la tem pe­ ratura de la barra para todo tiempo futuro t. 6. Resuelva el problem a de valores a la frontera u. —w + u;

'

5 .7

í u(x,0 ) = cosx,

<

\ «(o,/)=o,

0
«(1,0 = 0.

La e c u a c i ó n d e o n d a

Considérese ahora el problem a de valores en la frontera 9 Í m = c2 Ü 3r

m.

d x2 ’

( “ ( * .0 ) = / ( * ) ,

«,(x,0) = g (x )

{ w(0,/) = h ( / , 0 ~ 0

el cual caracteriza la propagación de ondas en diferentes medios y las vibraciones mecá­ nicas de una cuerda flexible. Tam bién este problem a puede resolverse por el método de separación de variables. Concretam ente se hará lo siguiente: (a) encontrar solucio­ nes un{x, t) = X n(x)Tn(t) del problem a de valores a la frontera T3rT = c 2T dxT ¿ ;

(2)

y (b) hallar la solución u,(x,t) de (1) tom ando una com binación lineal adecuada de las funciones un(x, t).

497

5.7 • La ecuación de onda (a)

Sea u(x, t) = X(x)T(t ). Al calcular o 2. °-JÍ = X T " dt2

3 2.. ?-^=X"T dx2

y

se ve que u(x, t) = X( x) T( t ) es una solución de la ecuación de onda utt = c 2wxr si X T " = c 2X " T , o bien si c 2T

X

Obsérvese, además, que el primer miembro de (3) es sólo función de t, mientras que el segundo es función de x únicamente. Esto implica que T" _

^_ X"

c 2T

X

para una constante X. Además, las condiciones a la frontera y

0 =u ( 0 , t ) = X ( 0 ) T ( t ) ,

0~u(l,t)~X(l)T(t)

implican que A(0) = 0 y X( l ) = 0. Por lo tanto, u(x, t) = X( x ) T( t ) es una solución de (2) si X " + \ X = 0;

X (Q) = X ( l ) = 0

(4)

y T " + \ c 2T = 0 .

(5)

En este m om ento, la constante X es arbitraria. Sin embargo, el problem a de valores a la frontera (4) tiene una solución no trivial X( x ) solamente si X = = n 2ir2/ I 2, y en tal caso X ( x ) = X n (x) = s e n ? f . La ecuación (5) implica entonces que '7_T//\ x / *\ flTTCt , » KlTTCt T ( t ) s z Tn{t) = anCos— + b n sen—j - . Por lo tanto, mrx un( x, t ) = s e n - j

imct . , mrct ancos—-— 1- b, sen——

es una solución no trivial de (2) para todo entero positivo n, y para cualquier par de constantes an , bn. (b) La combinación lineal nirct . rntcí a eos —:— Hb„ sen——

satisface formalmente el problem a de valores a la frontera (2) y las condiciones iniciales OO nnx w/(x ,0 )= 2S?j an sen— AI- 1

y

OO nnc b„sen i mx . ut/(x, n\ 0 )= ^ — — AI—1

498

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

A sí pues, para satisfacer las condiciones iniciales u { x t 0) = f ( x ) y u f x , 0) = g ( x ) , es necesario elegir las constantes a n y b nt de modo que ct \ f(x ) -

00

^

nnx 2 u a n sen—

n —l

00

y

, N V ' m ic l m rx g ( x ) = ¿ j — K sen—

/!-• I

en el intervalo 0 < x < /. Dicho de otro modo, es necesario desarrollar las funciones /(■*) y g ( x ) en series de Fourier de senos en el intervalo 0 < x < /. Esa es precisamente la situación en el Teorema 3 de la Sección 5.5, por lo que se concluye que

y

b - ^ r c f0 s(x)sm!!f dx-

Para simplificar se analizará a continuación solamente el caso en el que g(.x) es igual a cero; es decir, la cuerda se suelta con velocidad inicial igual a cero. En tal caso, el desplazamiento u { x , t ) de la cuerda en cualquier momento t > 0 está dado por la fórmula oo / mrx m rct 2 Cl e ( s mrx , 2 Lfa" Sen_7” C0S _ 7~ ; Jo /( * ) s e n —r ¿ x . (6) Existe una interpretación física para varios de los términos en (6). Cada uno de éstos representa un modo particular con el cual vibra la cuerda. E l primer término (n = 1) representa el primer modo de vibración con el cual oscila la cuerda alrededor de la posi­ ción de equilibrio con una frecuencia de _

1 7tc c . . , ------ - = — ciclos por segundo. 277 l 2/

L a frecuencia más baja es conocida como la frecuencia fundamental, o primera armónica, de la vibración de la cuerda. De manera sim ilar, el modo n tiene una fre­ cuencia de ü>„ =

277

/

= /lio, ciclos por segundo.

y se llama armónica n de la vibración de la cuerda. En el caso de la cuerda vibrante, todas las frecuencias armónicas son múltiplos ente­ ros de la frecuencia fundamental w i. A sí que, en ese caso se produce sonido musical. Por supuesto que, si la tensión en la cuerda no es lo suficientemente grande, entonces el sonido que surge es de una frecuencia tan baja que no se encuentra en el intervalo audible. Conforme aumenta la tensión en la cuerda, se incrementa la frecuencia, dando como resultado una nota musical que puede ser percibida por el oído humano.

J u s t if i c a c ió n d e la s o l u c i ó n . No es posible demostrar directamente, como en el caso

de la ecuación de calor, que la función w(jc, t ) definida por (6) es una solución de la ecuación de onda. De hecho, ni siquiera es posible demostrar directamente que la serie infinita (6) tiene derivadas parciales con respecto a t y x . Por ejemplo, realizando un cálculo formal, se obtiene que

499

5.7 • La ecuación de onda

y debido a la presencia del factor n, puede ser que la serie no converja. Sin embargo, hay otra m anera de establecer la validez de la solución (6). Al mismo tiempo, se obten­ drá una m ejor com prensión de la estructura de u(x, /). Obsérvese primero que * ^ [ seny - ( .x - r f ) + s e n Y ( - * + c0]* Sea además F la extensión periódica de / en el intervalo - / < x < /, es decir,

se puede verificar fácilmente (Ejercicio 6) que la serie de Fourier de F es

Por lo tanto, es posible escribir u(x, t) en la form a u( x , t) - j [ F ( x - ct) + F ( x + ct) ]

(7)

y en este punto resulta fácil m ostrar que u(x, t) satisface la ecuación de onda si f (x) tiene dos derivadas continuas. La ecuación (7) tiene la siguiente interpretación. Si se traza la gráfica de la función y = F{x - ct) para un valor fijo de t, se ve que es la misma que la gráfica de y = /(* ), excepto por el hecho que está desplazada una distancia ct en la dirección positiva para x, com o aparece en las Figuras la y Ib. Así pues, F {x - ct) es una onda que se propaga con velocidad c en la dirección positiva de x. De la misma m anera, F {x + ct) es una onda que viaja con velocidad c en la dirección negativa de x. El núm ero c representa la velocidad con la cual se propaga una perturbación a lo largo de una cuerda. Si ocurre una perturbación en el punto x Qt entonces se percibirá en el punto x después de un tiem­ po / = (x - x 0)/c . Así pues, la ecuación de onda, o alguna form a de ella; caracteriza la propagación de ondas en un medio en el que las perturbaciones (o señales) viajan con una velocidad finita, más que con una infinita.

y

y

y=F(x-i)

-X

-I

(b) F ig u ra

1.

2

(a)

X

500

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

Ej e r c i c io s Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valores a la frontera. u { x y0 ) ~ c o s x — 1,

1. U„ = C2 U -

u (0,0 = 0,

m(o,/)=o,

«(i,o*o x,

c Uxx ; “ (0,0 “ “ (3.0 = 0

4 . «„

2

c u„,

|

u(x

0
u ( 27t , í ) = 0

u(x,0) = 0, u,(;t,0)= l,

2. u,( = c 2ux x ,

3-

u ,(;t,0 ) = 0,

, { 3^ _

,0 ) = x c o s 7 t x / 2 ,

. u ^0 ^ =

0
0 < x < l,

u, ( x, 0) = 0

\cxc2

u ,( , x ,0 )

= 0,

0 <

x

<1

5. Una cuerda de 10 pies de longitud es alzada por la m itad a una altura de 1 pie, para ser liberada inm ediatam ente después. Describa el movimiento oscilatorio de la cuerda, suponiendo que c 2 - 1. 6. Sea F ia extensión periódica im par d e / e n el intervalo - l < x < /. Demuestre que la serie de Fourier 2

72

• mrx

n —1

f lf ( x ) s ¡ n ^ d x sin —j —

converge a F( x) si F es continua en x. 7. Pruebe que la transform ación £ = x - ct, rj = x + ct reduce la ecuación de onda a la ecuación uÍT/ = 0. Concluya que, por lo tanto, toda solución u( x, t) de la ecua­ ción de onda es de la form a w(x, t) = F(x - ct) + G(x, ct) para dos funciones F y G. 8. Demuestre que la solución del problem a de valores a la frontera u„ = c2u r

u(x,0)= f(x),

ut ( x , 0 ) = g ( x ) ,

-l< x< l

u(0,t)=u(l,t) = 0

es u (x ,0 = ^ [ F ( x - c 0 + F (x + c0] + 2^ f X+C‘SÍ s)ds donde F es la extensión periódica im par de / . 9. La ecuación de onda en dos dimensiones es u„ — c 2(uxx + uyv). Encuentre solu­ ciones de esta ecuación por el m étodo deseparación de variables. 10.

Resuelva el problem a de valores a la frontera ,

u„ = c uxx + u\

i u(x,0)-f(x), < ' « ( 0 ,/) = 0,

ut ( x , 0) = 0, u(l,t) = 0

0< x < l

501

5.8 • La ecuación de Laplace

5.8

La

La p l a c e

e c u a c i ó n de

Considérese ahora la ecuación de Laplace 3 2u . 9 2, ? + “—T = 0. dx2 dy2

(O

Como se m encionó en la Sección 5.2, dos problemas im portantes de valores a la fron­ tera que surgen en relación con (1) son el problem a de Dirichlet y el de Neumann.,En el de Dirichlet se busca una función u{x, t) que satisfaga la ecuación de Laplace en el interior de una región R y que tome valores prefijados en la frontera de R. En el proble­ ma de Neumann se busca una función u{x, y) que satisfaga la ecuación de Laplace en el interior de una región R y cuya derivada en la dirección normal a la frontera de R tome valores prefijados. Am bos problemas pueden ser resueltos por el método de separación de variables, si R es un rectángulo.

Ejem plo 1

Obtener una función u{x, t) que satisfaga la ecuación de Laplace en el rectángulo 0 < x < a, 0 < y < b, y que cumpla las condiciones a la frontera w(.x, 0) = 0,

u( x , b) = 0

u(0, y) = 0,

u(a,y)=f(y)

y b u= 0

u= 0 “ =f(y)

(2)

u=0 S o l u c i ó n . El problem a se resolverá en dos pasos. Prim ero, se encontrarán funcio­ nes un(x, y) = X n( x) Yn(y) que satisfagan el problem a de valores a la frontera uxx + M^ = 0;

u(x, 0) = 0,

u( x , b) = 0,

w(0,^) = 0.

(3)

Después, se hallarán constantes cn, tales que la com binación lineal OO ^ ( x , y ) = 2 cnu„ (x,y) /!= I satisfaga la condición a la frontera u{a, y) = f ( y ) .

Primer paso: Sea u (x , y) = X ( x ) Y ( y ) . Calculando = X " Y y uyy - X Y " , se ve que u(x, y) = X ( x ) Y ( y ) es una solución de la ecuación de Laplace si X ” Y + X Y " = 0, o bien si

502

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

Obsérvese además que el prim er m iem bro de (4) es una función de sólo y m ientras que el segundo es una función de x únicam ente. Eso implica que Y" Y

,

X" X ~

para alguna constante X. Además, las condiciones de frontera 0 — u ( x , Q ) * * X ( x ) y ’ (O),

0 = u (x ,b ) = X ( x ) Y ( b ) ,

0 -u (Q ,y )~ X (0 )Y (y )

implican que T(0) = 0, Y ( b ) = 0 y A'(O) = 0. P or lo tanto u ( x , y ) = X Y es una solu­ ción de (3) si y "+ x r= 0 ;

y ( o ) = o , r(¿ > )= o

(5)

^(O )» * ).

(6)

y

En este m om ento, la constante X es arbitraria. Sin em bargo, el problem a de valores a la frontera (5) tiene una solución no trivial Y ( y ) solam ente si X = X„ = n 2Tc2/ b 2, y en tal caso, Y 0 0 “ Y* 0 0 “ sen w ry/ b.

La ecuación (6) implica, a su vez, que X„(x) es proporcional a senh m rx/b . (La ecuación diferencial X " - (n 2x 2/ b 2) X = 0 implica que X( x ) = C\ cosh n irx /b + c2sen h m rx /b para alguna elección de constantes c lt c2, pero la condición inicial A'(O) = 0 implica q = 0.) Se concluye, por tanto, que ,

>.

, mx

UniX>y) “ senh —

n
Sen“

es una solución de (3) para todo entero positivo n . S e g u n d o p a s o : La función 00

( \ u tvnx my u ( x , y ) = ¿ c nsenh— sen /i-1 es (form alm ente) una solución de (3) para cualquier elección de constantes c x, c 2 ......... Su valor en x = a es u (a ,y )— ^

/i-1

nrra

c^sen h ^sen

m y b *

P or lo tan to , se debe elegir las constantes c„, de m odo que

f(y) "

2 c«senh nf

n“ 1

Lsen^ f ~»

0< y< b.

Dicho de otro m odo, hay que desarrollar / e n una serie de Fourier de senos en el intervalo 0 < y < b . Esa es precisamente la situación que se describe en el Teorem a

503

5.8 • La ecuación de Laplace 3 de \a Sección 5.5, y se concluye, por lo tanto, que 2 c" - ¡ ¡ 3

b

/** j / w

rm y

sen—

^

" - 1-2......

O b s e r v a c ió n , siempre se puede usar el método de separación de variables con objeto de resolver el problema de Dirichlet para un rectángulo R si u es igual a cero en tres de sus lados. Es posible resolver un problema de Dirichlet arbitrario para un rectángulo R dividiéndolo en cuatro problemas donde u es igual a cero en tres lados de R (Ejerci­ cios del 1 al 4).

Ej e m p l o 2

H allar una función u ( x , y ) que satisfaga la ecuación de Laplace en el rectángulo 0 < x < a , 0 < y < b y que satisfaga también las condiciones a la frontera t^ (x ,0 ) = 0,

Uy(x,b) = 0 ux { a , y ) = f { y )

* -0 b u =0

« ,-/G 0 .............................. ....... m X 1^ = 0

a

SOLUCIÓN. E l problema se resolverá en dos pasos. Primero, se encontrarán funcio­ nes u n(x, y ) = X n( x ) Y n( y ) que satisfacen el problema de valores a la frontera ux x + Uyy'** 0;

U y(x, 0) = 0,

uy ( x , b ) = 0,

y

«x(0,^) = 0.

(8)

Después,

se hallarán constantes c n tales que la combinación linealu (x , y ) = c „ u „ ( x , y ) satisface la condición a la frontera ux (a, y ) = f ( y ) .

P r i m e r p a s o : Hágase u ( x , y ) = X ( x ) Y ( y ) . Entonces, al igual que en el Ejemplo 1, se tiene Y " __ Y

X" X =

,

para alguna constante X. Las condiciones a la frontera 0 * u, ( x , 0) - X (*) r (0),

0 - u, ( x , b ) - X (je) Y \ b \

implican que r(0 )= 0 ,

Y '{b ) = 0

y

A"'(0) = 0.

Por lo tanto, u ( x , y ) = X ( x ) Y ( y ) es una solución de (8) si

y '+ x y - o ;

y'(o)-o,

y'(¿)-o

(9)

504

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES V SERIES DE FOURIER X " —X X = 0;

A"(0) = 0.

(10)

En este m om ento, la constante X es arbitraria. Sin em bargo, el problem a de valores a la frontera (9) tiene una solución no trivial Y ( y ) solam ente si X = = n2ir2/b 2, n = 0, 1 ,2 , . . ., y en tal caso, Y { y ) = Y n {y) = c os mr y / b . La ecuación (10) implica, a su vez, que X(x) es proporcional a cosh mrx/b. (La ecua­ ción diferencial X " - n 2ir2X / b 2 = 0 im plica que X(x) = c¡cosh mrx/b + c2senh mrx/b para alguna elección de constantes cx y c2 y la condición de frontera X'(0) = 0 implica que c2 es igual a cero.) Se concluye, por lo tanto, que / x , mrx n7ry un( x ’y ) = cosh cos es una solución de (8) para todo entero no negativo n. Segundo paso: La función ( \ c° ^ x ' u ny)=~T 2 + ^¿ J C"nCOS^ ~ Jb ~ COS~ bí n =* I

es (form alm ente) una solución de (8) para toda elección de constantes c0, Cj, c2, . . . . El valor de ux en x = a es / x V ' mr , nrra /777>' ux ( a , y ) = 2 j T ^ e n h — e o s— . n= 1 Por lo tanto, se deben elegir las constantes ^ ) = S f f"sen h y n= 1

, c2, . . . de modo que co sy -

o< y < b -

00

A hora bien, el Teorem a 3 de la Sección 5.5 establece que se puede desarrollar f ( y ) en serie de cosenos

=

+

f f(y)cos-y-¿y

cos —-— (12) b n= 1 0 en el intervalo 0 < y < b. Sin em bargo, no es posible igualar los coeficientes en (11) y (12), ya que la serie (11) no tiene térm ino constante. Por lo tanto, la condición f f{y)dy=o Jo es necesaria para que el problem a de Neumann tenga una solución. Si es ese el caso, se tiene entonces

5.8 • La ecuación de Laplace

505

Nótese por último que c0 permanece sin restricción, por lo cual la solución u(x, y) está determ inada solamente salvo en el caso de una constante aditiva. Esta es una propiedad de todos los problem as de Neumann.

Ej e r c i c io s Resuelva cada uno de los siguientes problemas de Dirichlet. uxx + Uyy - 0

u(x,0) = 0,

u(x, b) = 0

0< y < b ’

u(a,y)=* 0,

u(0,y)=f(y)

. 0uxx< +x
“ (0>>0 = 0,

u(a,y) = 0

u ( x ,0 ) = 0,

u(x,b)= f(x)

0
O b s e r v a c i ó n . Este problem a se puede resolver por el camino largo, es decir, por medio de separación de variables, o bien intentando algo más inteligente como inter­ cam biar „y y v, y usar el resultado del Ejemplo 1 del texto. ^

3.

+ ^>. = 0

u (0 ,y ) = 0,

u (x ,0 ) = /(x )

.

U(x,0)=f(x),

u(x,b) = g (x)

0
u(0,y) = h (y ) ,

u(a,y) = k ( y )

u xx + uy y ~ 0

4.

u(a,y) = 0

0 < y < b ’ u ( x , b ) = 0,

0
0
Sugerencia: Escríbase u(x, y) como la suma de 4 funciones, cada una de las cuales es igual a cero en tres lados del rectángulo. 5.

“ xx + U y y ^ O 0< x< a, 0
u(x,0) = 0,

u(x,b)~ 1

u(0,y) = 0,

u(a,y)= 1

Mxx

u ( x , b ) —0,

u (x ,0 )= 1 u ( a ,y )= l

^yy

0

0
7.

+

“yy

u ( x ,0 ) = l,

u(x,b)- 1

0
u(0,y) = 0,

u(a, y) = 1

u (x ,0 ) = 1,

u(x,b)= 1

u( 0 ,y ) = l,

u(a,y)= 1

“y y = 0

0
O

u (0,>') = 0,

=0

0
0
0
b s e r v a c ió n .

¡Reflexione antes!

9. Resuelva el problem a de valores a la frontera UXX

+Uyy~U

0
10.

0
u(x,0) = 0, u (x ,l) = 0 u(0,y) = 0, u ( \ , y ) - y

(a) ¿Para qué funciones f { y ) es posible encontrar una solución u(x, y) del siguiente problem a de Neumann. Ux x + U y y = 0

0< x< \,

.

0< y< \'

u x ( ^ > ') =

0.

Ux ( ° > y ) = f ( y )

Uy(xt 0) = 0, uy(x ,l) = 0

506

CAPÍTULO 5 • SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER (b)

11.

Resuelva el problem a si f ( y ) = sen2iry.

La ecuación de Laplace en tres dimensiones es «Ax + S ' + M« ass°Suponiendo que u = X( x ) Y ( y ) Z ( z ) , obtenga tres ecuaciones diferenciales ordina­ rias que se satisfagan con X , Y y Z.

Apéndice A

O bservaciones a c e r c a de las funciones de VARIAS VARIABLES 1. U na fu n c ió n /(x , y) es continua en el punto (x0, y 0) si para toda e > 0 existe 5(e), tal que l/M " /(W o )l< *

si

\x — x0| + \y —.yol < 8 (e).

2. La derivada parcial de f ( x , y) con respecto a x es la derivada ordinaria de / con respecto a x, suponiendo que y es constante. Dicho de otro m odo f ( x 0 + h, y0) - f ( x Q , y 0) 9/ ( W o ) =» lím dx h-*0 h 3.

(a) Se dice que una función f { X \ , . . . , x n) es diferenciable si

donde e /[ | | + . . . + | Ax„ | ] tiende a cero, cuando | A x { \ + . . . + |Aat„| tiende tam bién a cero, (b) Una función f ( x it . . . , x„) es diferenciable en una región R si a/ 3xi ’

a / son continuas en R. d xn

507

508

APÉNDICE • A

4. Sean / = / ( * ,, . . . , x n) y Xj = g j ( y x, . renciadles, entonces d/ ^ V

= l,

S i / y g s o n dife­

9/ dgy

^

^

’

Esta es la regla de la cadena para la derivación (o diferenciación) parcial. 5. Si las derivadas parciales de orden 2 d e / son continuas en una región R, enton­ ces 3 2/

...,

6.

3 2/

5

1j • ♦•j A7•

El térm ino general del desarrollo en serie de Taylor d e /a lre d e d o r de X\ = = x°n es ayI+ ...+Áy(x o x 0) d x { '...d x{n

,

Apéndice B

Sucesiones y series_____________________________ 1. Se dice que una s u c e s i ó n * de términos numéricos a n , n - 1 ,2 , . . . converge al límite a si los términos a n se acercan cada vez más a a , c uando n tiende a infinito. Dicho de otra m anera, la sucesión (a n ) converge a a si para tod a e > 0 existe /V(e) tal que \a

T E O R E M A 1.

Si a n

a

—a n \ <

y

b n -*

e

if

b,

e n to n c e s

n

> N (e).

an ±

b n ~*

a

±

b.

D e m o s t r a c i ó n . Sea e > 0 un dato. Elíjase N ^ e ) , N 2(£) tales que \ a - a n\ < ^

Sea

N ( e )

- máx

para

{ N l ( e ) , N 2( e ) } .

K ±

Teorem a |a n | < K

n >

z

p a ra

.

N { (e),

\b -

Entonces, para

- (a ± *)l < |a„ - a l +

S u p ó n g a s e q u e a n + {

to d a

y

n.

E n to n c e s

>

an, y

la s u c e s ió n

bn¡

n

>

<|

para

N (e ),

“ *l < f

n

>N

2 (e).

se cumple

f ” «•

q u e e x iste u n

n ú m e r o

(an )

lím ite .

tie n e

u n

□

K

ta l q u e

509

510

APÉNDICE

•

B

D e m o s t r a c ió n . Es la misma que la dem ostración del Lema 1 de la Sección 4.8. 4. Se dice que la serie infinita ax + a2 + . . . = 2 sumas parciales S2 = a x+ a 2,

...,

an converge si la sucesión de

sn ~ a x+ a 2+ . . . + a nt...

tiene un límite. 5. La sum a y la diferencia de dos series convergentes es tam bién convergente. Este hecho es una consecuencia inm ediata del Teorem a 1. 6.

TEOREMA 3. Sea a„ > 0. L a serie 2 an converge si hay un núm ero K tal que a x + . . . + an <, K para toda n.

D e m o s t r a c ió n . La sucesión de sumas parciales sn = a x + . . . + an satisface s„+1 > sn. Dado que s„ < K , se concluye del Teorem a 2 q u e ^ a ,, converge. 7.

Te o r e m a 4.

La serie 2 an converge si existe un número K tal que \a x| . . . + \a„\ <, K para toda n.

+

D e m o s t r a c ió n . P or el Teorem a 3, 2 k l converge. Sea bn = an + \an\. C lara­ mente, 0 < b„ < 2\ an \. Así q u e ,2 bn tam bién converge. Esto implica de inmediato que tam bién la serie,

converge.

8.

TEOREMA 5.

(Criterio de C auchy de la razón.) Supóngase que la sucesión | a„ +x/a„ 1 tiene un límite X. Entonces la serie2 a„ converge s i \ < 1, y diver­ ge si X > 1.

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que X < 1 Entonces existe p < 1, y un índice N , tal que k + il ^ p \a „| para n > N . Esto implica que \aN+p \ ^ p p \aN\- P or lo tanto, 2 y

k l < 0 + p + — + p k) M <

j

— ;>

an converge.

* (N. del R.) El término zucesión corresponde también a progresión, aunque este último suele usarse únicamente para designar las sucesiones llamadas aritmética y geométrica.

511

Apéndice • B

Si X > 1, entonces \as+ p\ ^ P p \<*n I» con p > 1. Así pues, \an \ -* «» cuando n -* «o. Pero \an\ debe tender a cero s i2 converge a s, ya que k + iM * fl+ 1- ^1 < k + 1- *1+k , - *1 y estas dos cantidades tienden a cero cuando n tiende a infinito. Así pues, ^ a „ diverge.

Apéndice C I n t r o d u c c ió n a l lenguaje apl Este apéndice es una breve introducción al lenguaje de program ación A PL y contiene toda la inform ación requerida para resolver los problem as numéricos del texto. En APL el program ador se com unica con la com putadora por medio de una term i­ nal. Las instrucciones se ingresan m ediante un teclado (m áquina de escribir eléctrica) y son transm itidas (usualmente a través de líneas telefónicas) hasta la com putadora. De m anera similar, la com putadora contesta controlando la m áquina de escribir para hacerla presentar su respuesta. En la Figura 1 se m uestra un croquis del teclado para APL. P ara ingresar el símbolo superior de una tecla cualquiera, como el símbolo V situado sobre la G, púlsese la tecla deseada al mismo tiempo que la tecla 4;shift” . La m ayoría de los lenguajes de program ación son muy fáciles de aprender. Ello se debe a que una com putadora es de naturaleza esencialmente muy simple. Las únicas operaciones m atemáticas que puede realizar una com putadora son adición, sustracción, multiplicación y división. El poder real de una com putadora reside en su aptitud de realizar millones de operaciones en cuestión de segundos. Los procedim ientos para inicializar y term inar la sesión de trabajo con la com puta­ dora son muy simples, pero usualm ente difieren de una instalación a otra. Es por ello que aquí se om itirán tales instrucciones. Se em pezará con las instrucciones para la adi­ ción, sustracción, m ultiplicación y división. (1) A dición. P ara sum ar los números 3 y 4 se teclea 3 + 4 y se presiona luego la tecla “ retu rn ” . Al oprim ir esta tecla se indica a la com putadora que la instrucción está completa. Mientras la com putadora realiza las instrucciones se queda en bloqueo el tecla­

512

513

A péndice • C

do. En una fracción de segundo (a no ser que m ucho personal esté utilizando la compu­ tadora al mismo tiempo) la m áquina escribirá 7. (2) Sustracción. P ara restar el número 4 del núm ero 3 se teclea 3 - 4. La compu­ tadora responderá con ” 1. INT

1 TAB

LOCK

2

< 3

£ 4

7 Q

u)

€

p

~

T

i

l

w

E

R

T

Y

U

I

a A

r s

= 5

L D

F

* 8

> 7

6

V

G

V 9

A

0

H

J

A 0

-

-r

+

X

BACK SPACE

•

O 0

p

ON RETURN

□ L

K

SHIFT

(

)

[

1

SHIFT

F ig u r a 1 . Teclado para A PL

O b s e r v a c i ó n . El signo “ m enos” que denota la operación de restar es el signo “ m enos” que se encuentra arriba del signo “ m ás” en el teclado de APL. El signo “ m enos” que escribe la com putadora es el signo “ m enos’J que se halla arriba del 2. Dicho signo denota números negativos. Por ejemplo, la instrucción ”2 + 1 hace que la com putadora sume los núm eros - 2 y 1. (3) Multiplicación. P ara multiplicar los números 12 y 6, se teclea 12 x 6. La com­ putadora responderá con 72. (4) División. P ara dividir el número 6 entre el 12, se teclea 6 + 12. La computa­ dora responderá con 0.5. O b s e r v a c i ó n . Tam bién se puede emplear el símbolo para determ inar el recípro­ co de un núm ero. P ara hallar el recíproco de 6 se teclea - 6 Supongam os que se teclea la instrucción 3 + -r 6. La com putadora analiza la posición inmediatamente a la izquier­ da del signo de división (-r-). Dado que la com putadora no encuentra un número en dicha posición (es decir, halla el + , que indica una operación) tom a entonces el recí­ proco de 6 y lo suma al 3. De m odo que el resultado de la instrucción es 3.16666667.

.

Exponenciación (o potenciación). La com putadora puede, m ediante una sencilla ins­ trucción, potenciar o elevar un núm ero a cualquier exponente. P ara encontrar el valor de (3.14)1/4 se teclea 3.14 * 0.25 (O BIEN 3.14 * -r 4). O b s e r v a c i ó n . La operación de exponenciar no es una de las cuatro operaciones m atem áticas que puede realizar la com putadora. Sin em bargo, hay métodos numéricos muy elegantes y eficientes para calcular la potencia de un número dado, los cuales nece­ sitan solam ente de las cuatro operaciones básicas (Secciones 1.11 y 1.11.1). En la computadpra se halla un archivo con la totalidad de las instrucciones de uno de tales méto-

OFF

514

APÉNDICE • C

dos. Al dar la instrucción para exponenciar, la com putadora corre dicho paquete de instrucciones previam ente alm acenado. N o t a c i ó n e x p o n e n c i a l d e l o s n ú m e r o s . A la com putadora se le puede dar un núm ero

en cualquiera de dos formas. La prim era es la form a decimal ordinaria, o sea, 3.14. O tra m anera de hacerlo, que se usa con frecuencia para núm eros que son muy grandes, o bien muy pequeños, es la form a en notación exponencial. A quí se factoriza con una potencia de 10 un núm ero dado. P or ejemplo, el núm ero de A vogadro (el núm ero de moléculas en un mol de cualquier sustancia) es 6.02 x 1023. A la com putadora se le puede dar dicho núm ero en la form a 6.02 £ 2 3 . En form a más general, denótense por a y n dos núm eros fijos, siendo n un entero. La instrucción a E n significa lo siguiente: m ultiplicar a por lO". Por ejem plo, 3 . 2 £ " 5= 3 .2 x 1 0 '5= 0.000032

y

- 1.732£2= - 1.732 X 102= - 173.2.

La com putadora hará im prim ir los resultados de los cálculos en cualquiera de las dos form as, decimal o exponencial. (El autor todavía tiene que reflexionar acerca de cuál de las dos form as usará la com putadora para un núm ero dado.) E x p r e s i o n e s c o m p u e s t a s . En A PL es posible incluir varias operaciones en la misma ins­

trucción. Por ejem plo, puede indicarse a la com putadora que m ultiplique los núm eros 3 y 4, que divida 6 entre 2, y sume los dos resultados. En aritm ética usual, dicha expre­ sión se escribiría com o 3 x 4 + 6 + 2 (= 15). Sin em bargo, es necesario recordar siem­ pre que la com putadora es “ ju d ía ” : lee de derecha a izquierda. De m odo que cuando la com putadora recibe la instrucción 3 x 4 + 6 -s- 2

divide prim ero 6 entre 2 y obtiene 3. Después sum a 4 y 3 para obtener 7. P or últim o, multiplica 7 por 3 para tener com o resultado 21. La m ejor m anera de garatizar que la com putadora haga los cálculos correctos es usar paréntesis. Así pues, la manera correc­ ta de escribir la instrucción anterior es (3 x 4) + 6 t 2. Esta instrucción indica a la com putadora que realice lo siguiente (i) dividir 6 entre 2; (ii) m ultiplicar 3 por 4; y, por últim o, (iii) sum ar am bos resultados. A hora otro ejem plo, supóngase que se desea que la com putadora evalúe la expresión 1 + (3 .2 )2+ 6 ,/3 Tal cosa se logra tecleando la instrucción 2 + 1 +(3.2* 2) + 6* +3 Al recibir tal instrucción la com putadora (i) extrae la raíz cúbica de 6; (ii) eleva el número 3.2 al cuadrado, y lo suma a 6 Vi; (iii) sum a 1 a dicho resultado; y, por últim o, divide entre 2 el núm ero resultante. I d e n t i f i c a d o r e s . H ay muchos casos en los que se desea que la com putadora almacene

un núm ero dado, o bien el resultado de algún cálculo. P or ejem plo, podría ocurrir que

Apéndice • C

515

el resultado de un cálculo se necesitara más tarde. Sin em bargo, la computadora no alm acena nada a menos que se la indique específicamente. En A PL (y también en otros lenguajes de programación) se logra que la computadora guarde un número dado median­ te la ingeniosa ¡dea de asignarle un nom bre, o identificador. Dicho nom bre debe empe­ zar con una letra del alfabeto y contener solamente letras y números. Por ejemplo, es posible alm acenar el resultado del cálculo (3.2)2 + 6 1/1 tecleando la instrucción R (3.2 * 2) + 6 * *r 3. Esta instrucción tiene como consecuencia que la computa­ dora almacene el resultado del cálculo en la ubicación o dirección R . Dicho de otro m odo, la dirección R es la m anera como la com putadora identifica dónde almacenó el núm ero. Nótese tam bién que ahora la expresión com puesta (1) puede ser calcula­ da mediante la instrucción sencilla Z 2 -r 1 + R. Al recibir esta instrucción, la com putadora busca en la dirección R y ve qué núm ero está alm acenado en ella. Des­ pués, sum a uno a dicho núm ero; divide entre 2 el núm ero resultante, y almacena este últim o en la ubicación Z. Si se desea conocer el resultado del cálculo, se teclea Z. Esta instrucción indica a la com putadora que imprima el núm ero que está almacenado en la dirección Z. O b s e r v a c ió n i . Es im portante entender lo que ocurre exactamente cuando se asig­ na un identificador a un núm ero. La instrucción R R + 1 es perfectamente razona­ ble en A PL, en tanto que la ecuación R = R + 1 m atem áticam ente no tiene sentido. La instrucción R R + 1 indica a la com putadora que sume uno al número almace­ nado en la dirección R y guarde la suma en la misma ubicación. (P or supuesto que en este proceso se borra el núm ero originalmente alm acenado en R .) Si A es un identifica­ dor, y se emplea la frase “A es igual a cuatro” , entonces lo que realmente se quiere decir es que el número alm acenado en la dirección A es cuatro. O b s e r v a c ió n 2 . Si se teclea la instrucción Z A + 3 sin haber definido A (es decir, sin haber alm acenado nada en la dirección A ) entonces la com putadora responderá con el mensaje de error VALUE ERROR (error en un valor) y escribirá un signo (A ) bajo la A. OBSERVACIÓN 3. Si se teclea la instrucción 1 -f 3 - A y A es 3, entonces la compu­ tadora responderá con el m ensaje de error DOMAIN ERROR (error en un dominio). Tam bién se obtendrá el mismo mensaje de error si se teclea RAD B * 0.5, y B es negativo. Funciones que ya están almacenadas en la computadora. En las aplicaciones aparecen con tanta frecuencia las funciones senx, cosx, ta n * , e x, lnx, etc., que las instruccio­ nes para calcularlas (es decir, las instrucciones para reducir su evaluación a adiciones, multiplicaciones, sustracciones y divisiones) ya están almacenadas en la computadora. 1. Las instrucciones para calcular senx, eo s* y ta n * son 10X, 20X y 30X, res­ pectivamente. El símbolo de círculo que precede a la letra X es el que se encuentra arri­ ba de la letra O en el teclado de A PL. 2. Las instrucciones para calcular are sen x, are cos x y are tan x son “10X, “20X y _30X, respectivamente. 3. La instrucción OX indica a la com putadora que multiplique el número X por ir. Así pues, la instrucción A 2 0 0 X * 2 hace que la com putadora evalúe cos t t x 2 y almacene el resultado bajo el nom bre A .

516

APÉNDICE • C

4. La instrucción para calcular ex es *X. Así pues, la instrucción 10*X indica a la com putadora que evalúe sen ex. 5. La instrucción para calcular ln x es ® X. El símbolo que precede a X es un sím­ bolo compuesto. Hay dos maneras de teclearlo: una es pulsando primero O, luego “ backspace” (espacio) y, por últim o, *; la otra es teclear prim ero *, luego “ backspace” y, por últim o, O. 6. La instrucción | X indica a la com putadora que tome el valor absoluto del núme­ ro x. 7. La instrucción !N indica a la com putadora que calcule factorial N , o sea N I . El símbolo ! se form a rem arcando la comilla (o apóstrofo) y el punto. 8. La función signo, sgnx, en matem áticas tiene el valor 1 si x es positiva, -1 si x es negativa, y bien 0 si je es nula. A PL usa el signo de multiplicación para denotar esta función. Así pues, si se teclea la instrucción x 127.6, la com putadora responderá con 1; y si se teclea la instrucción x "332.9, la com putadora responderá con '1. Corrección de errores de tecleo. Si se descubre un error de tecleo antes de enviar una instrucción (es decir, antes de pulsar la tecla “ enter” ) entonces es posible regresar al primer símbolo incorrecto con al tecla “ backspace” y presionar luego ia tecla ATTN o bien la INT. (Todo teclado de A PL tiene una tecla ATTN, o bien una INT.) La res­ puesta de la com putadora será una marca de “ palom a” (V) abajo del carácter para indicar que éste y los que están a su derecha fueron borrados. Después se com pleta la instrucción com o debía haber sido tecleada. Vectores. Una de las características más útiles del APL es la forma tan elegante de mane­ jar los vectores expresados como sucesiones de núm eros. La sucesión 1, 3, 9, 16 se pue­ de alm acenar en una sola dirección como un vector con cuatro componentes mediante la instrucción A *- 1 3 9 16. Esta instrucción indica a la com putadora que almacene los números 1, 3, 9 y 16 en la dirección A . El núm ero 1 se identifica por A[\]\ 1 3, por A [2]; el 9, por 4 [3], y el 16, por ^4 [4]. Si se teclea la instrucción A[3], entonces la com ­ putadora responderá con 9. Supóngase ahora que A y B son dos vectores de la misma m agnitud. La instruc­ ción C *- A + B indica a la com putadora que sume los términos correspondientes de A y B, y que almacene el vector resultante en la dirección C. La instrucción +/A indica a la com putadora que sume todos los elementos de A . Así pues, si se desea sum ar los números 3.2, 7, 16, 32.4, 1.8, se podría dar la instrucción A *- 3.2 7 16 32.4 1.8 seguida de +/A. A d v e r t e n c ia . Si la com putadora ignora que A es un vector (es decir, si alguien olvi­ dó indicárselo) y se teclea la instrucción A[3], entonces la com putadora responderá con un mensaje de error, ya que ^4 [3] no es un identificador válido. En algunos casos se desea definir un vector de m agnitud N en el cual cada elemento está definido recurrentem ente. De modo que A [2] se calcula en términos de A [1], luego /4[3] se calcula en térm inos de A [2], y así sucesivamente. Sin em bargo, si se teclea A[1] o A[2], la com putadora responderá con un m ensaje de error, ya que aún no sabe que A [l], . . . , 4[jV ] son las com ponentes de un vector A de magnitud N. Este problema se resuelve tecleando prim ero la instrucción A *- NpO. Tal instrucción tiene el efecto de alm acenar el vector 0 0 .. .0 ( N veces) en la dirección A . Entonces se puede definir /4[1], con lo cual el nuevo valor rem plazará al valor de 0 como primer elemento de A.

517

A péndice • C

Así que es posible evaluar A [2], /4[3], . . . , .4 [A/] recurrentemente. P or ejemplo, la suce­ sión de instrucciones A«-4p0 A[1 ]<—1.5

A [ 2 ] <—A[ 1 ] *1.6 A [ 3 ] « - A [ 2 ] *1.7 A [ 4 ] * - A [ 3 ] * 1 .8

hacen que la com putadora almacene el vector 17 17*’® 1.5 ,1.5 1-6,1 .5 I '6 ' , 1 . 5 1 '6 en la dirección A . En este contexto, la instrucción A *-,X también es muy útil. Dicha instrucción hace que el número X sea identificado como un vector con solo una componente. De manera similar, sean A y B dos vectores de magnitudes l y m, respectivamente. La instrucción C *- A,B indica a la com putadora que forme el vector C de dimensión ¡ + m cuyas primeras / componentes son los elementos de A, y cuyos restantes m componentes son los elementos de B. Expresiones lógicas. Una com putadora digital tam bién puede com parar dos números para ver cuál de ellos es m ayor. Para saber si x e s mayor que o igual a y se teclea X > y. Si x e s mayor que o igual a y, es decir, si la expresión X > Y es verdadera, entonces la com putadora responderá con 1. Si x es menor que y , es decir, si la expresión X > Y es falsa, entonces la com putadora responderá con 0. Una de las características pode­ rosas del A PL es que es posible incluir expresiones lógicas X > Y, X < Y, X < Y, X = Y y X Y en cualquier instrucción en APL. Por ejem plo, supóngase que B = 3 y C - 5, y se teclea la instrucción 1 + *B > C. La com putadora responderá con 2, ya que el valor de B > C es 0 y e° = 1. Caracteres. La com putadora puede imprimir y alm acenar mensajes. Una manera de lograr esto es poner entre comillas el mensaje que hay que im prim ir, y asignarlo a un identificador. P or ejemplo, la sucesión de instrucciones

A ♦-‘MARTIN BRAUN IS A GREAT GUY.’ A hace que la com putadora im prim a el mensaje

MARTIN BRAUN ES UN GRAN TIPO. Supóngase ahora que tanto T como Y son vectores de magnitud N que están alm a­ cenados en la com putadora. P ara efectos de com paración podría desearse imprimir los vectores T y Y en colum nas adyacentes. Esto se logra tecleando la instrucción 0 (2 , pY)pT, Y. El símbolo 0 se obtiene superponiendo los símbolos O y \ .

518

APÉNDICE • C

O b s e r v a c i ó n . Si se teclea la instrucción T seguida de la instrucción Y , entonces la com putadora im primirá horizontalm ente todos los componentes de T y Y. En caso nece­ sario, utilizará más de un renglón. No es necesario m encionar que será prácticam ente imposible hacer coincidir las com ponentes de T con las componentes de Y si N es muy grande. Programas en A PL. En muchos casos se desea que la com putadora siga una sucesión de instrucciones para un valor dado de un parám etro y que después repita la misma sucesión de instrucciones para m uchos otros valores del parám etro. P or ejem plo, se podría tener que resolver el problem a de valor inicial d y /d t = f ( t , y), y ( t 0) = y 0 Para muchos valores distintos de^o- No es necesario mencionar que no es deseable estar dan­ do las mismas instrucciones una y otra vez cuando se cambia el valor del parám etro. En vez de eso, es conveniente alm acenar las instrucciones de m odo perm anente en la com putadora. Así, cada vez que se cam biara el valor del parám etro, simplemente se le inform aría el cam bio a la com putadora y se le indicaría seguir el conjunto de instruc­ ciones que se dio. Tal cosa se logra definiendo un program a.

D e f in ic ió n . Un programa es una sucesión de instrucciones dadas a la com­ putadora y alm acenadas en ella para ser ejecutadas como un todo. I. Definición de un programa. 1. Se inicia la definición del program a tecleando el símbolo V seguido de una pala­ bra, la cual será el nom bre del program a. Las reglas que rigen los nom bres de los pro­ gramas son las mismas que las de los identificadores. P or ejem plo, el program a Euler se inicia tecleando V EULER. 2. La com putadora responde con [1] y espera a que sea tecleada la prim era instruc­ ción. Después de cada instrucción ingresada, la com putadora responde con el núm ero de la siguiente instrucción y espera a que sea tecleada. 3. Se termina la definición de un program a ingresando el símbolo V inm ediata­ mente después de teclear la últim a instrucción. II. Ejecución de un programa. 1. Teclear el nom bre de un program a tiene com o efecto que la com putadora ejecu­ te las instrucciones del program a en una secuencia que se inicia con [I]. 2. Es posible interrum pir en cualquier m om ento la ejecución de un program a pul­ sando la tecla INT (o bien la ATTN ). III. Bifurcación en un programa. 1. Salvo una excepción, todos los enunciados de un program a son instrucciones de especificación. Es decir, son instrucciones que realizan operaciones matemáticas, asig­ nan identificadores a núm eros, o bien imprimen datos. La única excepción es la ins­ trucción de bifurcación -*N, donde N es un entero o una expresión en A PL que tiene un valor entero. Dicha instrucción ordena a la com putadora continuar con la instruc­ ción N . P or ejem plo, la instrucción [15J-M indica a la com putadora que continúe con la instrucción 4 una vez que haya alcanzado la instrucción 15. 2. Es una convención que la ejecución de un program a term ine si N = 0.

519

Apéndice • C

3. En muchos casos se desea que la com putadora realice rápidam ente una cierta operación, un número especificado de veces. La m anera de controlar cuántas veces ha de ejecutarse la operación es mediante un contador, es decir, un identificador que se increm enta en uno cada vez que se realiza la operación. Esta técnica se conoce como ciclización (“ looping” ). P or ejemplo, denótese al contador por / y sea N el número total de veces que se desea realizar la operación dada. Supóngase además que las ins­ trucciones para ejecutar dicha operación están especificadas en las instrucciones [6] a [8]. Entonces la novena instrucción sería [9] I*-! + 1, y la décima instrucción sería

[10] -»6 X N > I Si N s /, entonces 6 x N > / da como resultado 6, y se lleva a cabo una bifurcación en la instrucción [6]. Si N < /, entonces 6 x N > / da como resultado 0, y el progra­ m a termina. O tra opción para la instrucción décima podría ser [10J-* 6 x ¿N > /.E ste enunciado tiene como efecto que la com putadora bifurque la instrucción [6] si N > /, o bien la siguiente instrucción (en este caso la [11]) si N < /. Supóngase por ejemplo que se desea evaluar tfiooo» donde tfjooo está definida recurrentem ente a través de las ecuaciones an +\ = an ~ 2an>

a l= 2‘

Lo anterior se puede lograr definiendo el siguiente program a.

[1] [2] [3] [4] [5]

V EVALUAR A«-1 OOOpO A[1]*-0.5 l*-1 A[l +1 ]«-A(l] —0.5 X A(l] * 2 l«-l +1

[6] -^4 X ti <999 [7] A[1000]

V

Al teclear el nom bre del program a EVALUAR se hace que la com putadora ejecute la sucesión de instrucciones e im prima el valor de tfioooIV. Edición (redacción) de un programa 1. La instrucción V EULER [ □ ] V indica a la computadora que imprima el pro­ grama Euler. Es una práctica recomendable de programación teclear esta instrucción inmediatamente después de terminar la definición de un programa. 2. Para cam biar la instrucción N en un program a llam ado Euler después de haber term inado su definición, es necesario ingresar V EULER [N] seguido de la instrucción corregida y de V . O b s e r v a c ió n muy im p o rta n te . Es posible que la ejecución de un program a se detenga antes de haber sido com pletada y sin un m ensaje de error. (Un caso frecuente de tal situación es cuando aparece un identificador no definido.) Si tal cosa ocurre, se teclea de inmediato una flecha hacia la derecha -*■. De otro modo, la computadora seguirá tratando de ejecutar el program a y no será posible corregirlo.

520

APÉNDICE • C

Ejem plo

1

Se desea evaluar la expresión f* e '2 d t para muchos valores de x. Esto Jo

se puede efectuar de la siguiente m anera. Elíjase n, un núm ero entero grande, y hágase h = x / n . Entonces la sum a de Riemann n—1 n—1 h 2 e** = h ^ e Uh)2 j

-o

y -o

es una buena aproxim ación de la integral f e t2dtf para h pequeña. El siguiente pro­ gram a evalúa esta sum a de Riem ann 0 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

V INTEGRAL H<—X + N SUM<—0 J< -0 SUM<—SUM + * (J X H) * 2 J < -J + 1 —>4 X tJ < N —1 SUM<—H XSUM V.

Ejem plo 2 Un m atem ático fam oso que asistía a una reunión de verano de la Am e­ rican M athem atical Society fue arrollado por un conductor descuidado que se dio a la fuga. Al llegar la policía al lugar de los hechos, yacía él agonizante en la calle. C uando le preguntaron si se había fijado en el núm ero de m atrícula del vehículo, el m atem ático contestó que “ n o ” , pero expresó que “ la m atrícula contiene 3 núm eros de dos dígitos, los cuales a su vez corresponden las longitudes de los lados de un triángulo rectángu­ lo ” . La policía rápidam ente investigó todas las m atrículas del estado com puestas por 3 números de dos dígitos. Introdujeron toda la inform ación en una com putadora bajo la variable de nom bre A . Utilizó luego el siguiente program a para detectar a todos los posibles sospechosos. V PRÓFUGO

[1] S1 <—(A(1 ] * 2) —(A[2] * 2) + A[3] * 2

[2] S2<—(A(2] * 2) —(A[1 ] * 2) + A[3] * 2 [3] S3<—(A(3] * 2) —(A[1 ] * 2) + A[2] * 2 [4] -* 5 X (S1 X S 2 X S 3 ) = 0

[5] ‘ESTE ES UN POSIBLE SOSPECHOSO.’

V

Respuestas a los ejercicios de número impar C a p ítu lo 1 S ección 1.2 1. y ( t ) = ce -sen t

3- y ( 0 —

t+c

5 .^ ( /) « e x p ( - i/3Xf e * p ( \ ñ d t + c]

1+ /2

c + f (l + f 2) ' /2( l + t 4) l / 4 dt

7'

^ y ( 0 ~ exP ^ ~ J V i + s 2 e~ *d sj

Tñ--T7¡-----

( l + / 2) 1/2( l + / 4) ,/4

13. y ( t ) = e

15. >'(0 = ( y + ^

2e +

J 1 1 + j2

+ / + cj(l + r2)k-l/2

ds

17. , ( 0 - í 2 ( | - ° '

’ 2 (e -1 )? ",

0<, l

21. C ada solución tiende a un lím ite d istin to cu an d o / — 0. 23. T odas las soluciones tien d en a cero cu an d o / -*• ir/2 .

S ección 1.3 5 (a) N2K(I)= 2Vms(0)2-■o-«
3. 127,328

0)2 -

10" V -7 0 7

r».C r' 7. A p ro x im ad am en te 13j 550 D

Sección 1.4 3. > '(0 = t a n ( / - j t 2 + c) 9 + 21n

í 2^ )

12

5. y ( t ) = a re s e n (c sen t)

— oc < / < oc

521

522

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR

9. y ( t ) = \ - [ 4 + 2t + 2t2+ t 2]x' 2,

— 2 < /< o o

" • ' « “ T T S Í’ • ^ < « « . ^ - ' = 6 ab[ !-* * < * -* > ']

m

~

a -b e ™ -*

13.
i

'

a

I ( F ^ ) ‘n i < ' <00: 1 5 ,y ( .) - i^

y y{>)-x~

17. y * * c 2e ~ 2^ / * ,

t > 0 ; y * — c 2e 2^ * ^ ,

í< 0

19. t + y e ^ r ™c

21. (b ) |(6 + c)(at + by) + an + bm\=* ¡ce(b+c*at“*?)

23. ( t + 2 y f - ( t + 2 y ) - c - 7 t

S ección 1.5

3. a >0.4685 , ,_x dp n n n ^ 2 /jX 1,999,998-999,998c _OOOI/ '• (a) “t t * 0 .0 0 3 d —0.001 0 —0.002; (b) p ( t ) - —----nnn~. , w ^ >\ * r \ t 999,999 —999,998c-0oow p ( t )~*2 cu an d o f-»oo

S ección 1.6

1. />(/)■

N e eNt N - l + e cNi

S ección 1.7

1. ^ ( 0 * - ^ ^ ^ ( 6 4 . ^ / -5 > /V 5 m

7. K (/)= *V 322

+ J

^(64.4X /-5)/V322 _ |

9 .(a )V K -V ^ + ^ l n ^

c

dv _ ~ g R 3 11. (a) o ^ - — ^ & (y + R f

- ^

-^ g i

2m

(b) K:

„ 2_2 m g

(b ) K „ - V 2 ¡ *

S ección 1.8 3.

años.

5. 1 0 V °

9. c(/> - 1( 1 - e - 002t) + 15. X2+.y2 =

7. (a) c ( /) - 1 - e " 0001^ (b) lOOOlnf min. e - ° 02t

11. 48%

17. y 2Q n y 2 — I) = 2 (c —jc2)

13. x y - c

Respuestas a los ejercicios de número impar

523

S ección 1.9

3. t2 sen .y +

5. y tan t + sec t + y :

- t2 + V

'4“ ('3 -

13. a = - 2 ; y{ t ) ~ ±

t(2t-\) 2(1 + ct)

9.

7(0 -

7V

O

11.

1/2

,- 2 / 3

7. 7(0

+ \ { t Y ) - 10

19. a= 1; 7 (/) = arcsen[(c-/)e']

S ección 1.10

/*

/

/

2T 3T

i* y„ (0m t

3. y M - e ‘- 1; 107

/

/2

r3

(l + 0 ^ 2í

^ + 4 + 4 - + '4 - + 2 ( l - f ) e '+ - — ^ y 3(0- - - 48

2

e3'
19. ^(r)“ seny S ección 1.11

3. (a) 0 < x0< 10

5.1.48982

7. (c) 0.73909

Sección 1.11.1 5. 0.61547

7. 0.22105

9. 1.2237

S ección 1.12

i* ^«“ ( “ T y—¿ [ ( - 7 y —i] 5 . 7 „ » a , . . . a /,_ ,

/i -1

3. (a) E„ < j(3 " - 1); (b) £„ < 2(2"-1) A.

1

jti

1+

24 2

2>

>“ l

9. (a) x = $251.75; (b) x = $289.50 S ección 1.13

1* A—0.1,7,o—1; A—0.025,740—1 3.

A—0.1,^IO—1; A= 0.025,>>40= 1

5. A-0 .1 ,7 ,0- 1.80516901;

A-0.025,y ^ = 1.94633036

Sección 1.13.1 1. £*< lh-(eA/ 5- \ )

3. Ek < — -- y gg+-e } [e*A*»i> - ! j

5. A<

4(10"5)

3(?2- l )

S ección 1.14

1. A—0.1,>-IO—1; A-0.025, 740—1 5- A -0 .1 ,7 , 0- 2 ;

A-0.025, 740-2

3. A -0 .1 ,7 IO« 1; A= 0.025,740-

1

RESPUESTAS A LOS EJERCIOOS DE NÚMERO IMPAR

524

1.15

Sección

1. h —0 A , y lo— 1; /i = 0.025,.y40= 1 5. h -0 .1 ,.y,o=l.98324929;

h = 0.025,y ^ = 1.99884368

1.16

Sección

1. h =0 . \ , y lo— 1; /i = 0.025,y 40= 1 5. h =0.1, >>,0=1.99997769; Sección

3. h = 0 . l , y lo— 1; A= 0.025,y 40= 1

3. /i = 0 .1,-k10= 1; /i =0.025,y 40= 1

h —0.025, y ^ = 1.9999999

1.17

1. 2.4103

3. 0.0506

5. 0.4388

C a p ítu lo 2 Sección

2.1

1. (a) (4 -3 0 * '; (b) 3V3 tsenV 3 /; (c) 2 (4 -3 /)* '+ 1 2 V3 tsenV 5 /; (d) 2 —3/2; (e) 5 (2 -3 /2); (f) 0; (g) 2 - 3 / 2

*•<*>)»'-¿572 ;<<•)>-('>-2v7 7. (a) - (b sen at sen bt + acosat cos bt); (b) 0; (c) (b- a) e^a+b)l; (d) e2at; (e) /; (f^ - b e 2*1 13. W = t Sección

2.2

1. y { t ) - c,e' + c2e _' 5. y(t) = \(e 4, + 4 e - ‘) 9. V > —3

3. -y (/) = e3,/2^c1ev^ ,/2 + c2e “ ^ ,/2j 1. y(t )= ^ j - e ~ ‘/ 2[e3V*‘/ ' 0- e ' 3^ 1/ 10]

11. y(t) = clt + c2/ t 5

Sección 2.2.1 V3 t , V3 / 1. y(t) —e~‘/ 2c , c o s —^— Y c2 sen—2— 3. >^(0 = e '( c lCo s V 2 , + c2senV 20 5. y(t) = e~ ‘/ 2 eos V i t

3 sen——Vi 2 VTT (1 -2 ) VU(/-2) 4 9. y(t)=>e^~2^ 3 cos =------------- —r■sen 3 VTT

11. y ¿ 0 »■eos w/, y 2(0 =■sen ut

Respuestas a los ejercicios de número impar ± (1 + 0

15. V i -

V2 ^

vO

, n— ±1 ; vTT7 «-==!-[ V V 2 +1 + /V V 2 - 1 1

V2

V2 1 9 .7 (0 =

525

J

^ ; V v T = ± [ V V 2 - 1 + /V V 2 + 1 ], (>// = e i7r/4)

c, eos ~ ~ ln t + c2s e n ~ - ln /

Sección 2.2.2 1. 7 (0 = (c, + c2t ) e2'

3. 7(/) = (l + \ t ) e ~'/y

7(0 =

H- 7 (0 = (

7(0 = c,( 1+ 3/) + c2e3

S ección

1. y(t) = 2 ( t - i r ) e 2u~ ir)/i

2.3

1. y( t ) ~ c\ + c2e2' + 1 2

S ección

3.

7 (/) = e'2+ 2e' - 2e ~' '

2.4

1- 7(0 = (ci + ln eos/) eos / + (c2+ Osen t 3. 7 (/)= c ,e '/2 + [c2+ 9 / - 2 / 2+ \ t y)e' 5- 7 (/) = 7j(2 co s/-3 sen /)e_ ,- e ~ , + e ~'/ 3 7. 7 (/) = J ' V s + 11.

( = Vt

7 0

S ección

1 \e2{'

s)—e(t j)]í&

9.

7 (/) = c ,/2+ -y +

^-^n/

C| + c2ln/ + j ' f V s c o s j[ln /-ln j]íft

2.5

1. ,/,(/)=:

3.

^ (/) = / ( l _ i / + i / 2)eí

= j e ~‘

9. \p(t) = ( + j 7(cos2/ - 4 s e n 2/)

7- '/'(0 = ^ /[sen 2 /-2 /c o s2 /] n - ^ (0 = -^-(co s/ + 7sen/) + ^

^ m

—

13. *M0 = t(e2' - e')

15. \j/(t) = —'± eos3/+ j/sen / 17. (b) x¡/(t) = 0.005+ ^ ^ y g ( 15sen 30/-20,000c o s3 0 /)+ f sen 10/

S ección

2.6

47/, frecuencia =8 [ 1 +(1 ~ /?) 2] e ~2/3= 10~6

1. Amplitud = | , periodo = 7- «>/?, donde

526

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR / I (lT+ 1) \ ~ / _ ----- -— e * Jcos(/ —7 r ) + 2 e wsen(/-7r)

9. > ( / ) -

11. 7r/2 segundos

Sección 2.6.2 3.

l - ( c o s 5 0 0 V 3 + - ^ - s e n 5 0 0 V 3 )<

-5 0 0

. . 3 C arga a régim en p erm an en te = 250 (XX)

S e c c ió n 2.8

00 3. >-(/) = a0 1+

3 /2

22

( _ n V 'l+1

3 /4

3 /6 + 3 • 3 / 8

+ ~ r~

2 *2 !

26-3!

3 -3 - 5 /

28- 4!

10

2'°-5!

+a

M )

5. >■(()= 2 ( n + lX '- l) 2” n —0

7. y(t) = —2[/+

16

5 T5

+

5

-6 . 10. n

5 -6 -1 0 -1 1 -1 5 -1 6

« , x ,.x , A/2 A(4 —A)/4 A(4 —A)(8 —A)/6 r;------------------ 6! ^ ----------+ ... 9. w (a)->n ,(/)— w 1 - 2!----------4! < b )y ¿ t)-t + ( 2 - A ) ^ + ( 2 - A ) ( 6 - A ) ^ + ( 2 - A ) ( 6 - A X 1 0 - A ) D + ..

.

11

—a 2(22—a 2)(42—a 2) ^ ( o - ' + a ' - a ^ + a 2- ^

+ •■• 2- * 2) ^ . . .

13. ( a ) , ( 0 - l - í ( 2- í ( J + ¿ ( 4+ . .. (b),(i)«0.8592436 15. ( a ) > ( 0 - l - J < 2- J < 3+ 1T'‘' + --- (b)>>(j)a50.86087l98 17. (a)^(r)= 3 + 5 r - 4 / 2+ r 5- | r 4+ . . . (b)>>(i)=5.3409005 Sección 2.8.1 17.

y ( 0 = Ci' + c2/ t s y{t)

3. j ( / ) = c , ( / - 1 ) + c 2( / - 1 ) 2

= C]Cos(ln / ) + c 2 se n ( l n / )

9. y(t) =

t 2v/3

Sección 2.8.2 1. Si

3. Si

5. No

5- 7 ( / ) = /( c , + c2l n / )

527

Respuestas a los ejercicios de número impar c, I

t2

7. >'(0 = 7 ^ 1 '

2!

t3

3-3!

\

3-5-4!

/

+ ^ ,/2( i + y + 7 7 7 T + 7 7 7 3 ; + - - - )

.

2+

22-2!-5

11.

3' ■ 3 V , 3V > ( 0 - ci ( ,+ 1-3 3-7-2! 3-7-11-3!

\ /

9 >'(0 = ci ( 1+2/ + T ) + c2/ 7 ( I +

+ c2/ 13‘ >’>(/) = íV2( 1+

( 1+

3 f, 5+

32/ 2 ,

75

+ 2-4-5-7 + " ‘ )

5. 9.2!

15. ,,(<) = efI/2, *(<) =
3V 5-9-13-3!

+

23-3!-5-7 +

\

+ •• •

n . ^ ( o = 7 - i . ^ ( 0 = 7[*_' - ( i - 0 ]

w- ( ' ) y 2 0 ) = 21 . (b)

i ’‘ - ' j K d '

= <(2 —3r + ^

u - (<9 y

M

= M ') J

25. (b) >>(0 =

—

7T • • •)

Uo(') X1 4 + ••• (1 0 (2-)

i - - ^ - - X (1 (H)

( - X ) ( l - X ) - - - _ ( i i - l - X ) f
27. (b) >>,(,) = 1 + 2 t + , 2 + >>2( 0 = f 1/2

5/ 6

+ 17/2 60

. 89/3 (60)(21)

Sección 2.8.3 *• . 7 i ( 0 = 1 + 4 / + 4 / 2 + - -•

J,2(0=>'1( 0 1 n /- [ 8 / + 12/2 + - ^ / 3+ •••]

941/4 (36)(21)(60)

)

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR

526 3.

(b) / , ( / ) = i ' 2

n= o 2

( — i \ nt^-n - r — -------

(n + l)!n !

,2/i

i- 2

2 lnn \ { n - \ ) \

S ección 2.9

1. 1

s-a

3.

5. i f - U

£7+ 6

£7 — 6

J2+ (£7 + 6)2

J2+ (£7—6)2

/ 15. y(/) = 2e,1 - i Ie .44,| 1e -22'/

19. y (5 )=

*

2[J

(s — a) + b2

J2+4£72

17. r ( j ) « ^ t 6.f -+ .6-

(J+ 1)

2s2+s + ?

2 3 . y ( t ) = ~ z e ‘ + l e 2 ‘ ~ l e 3 ‘ + ¡ e 4'

( s 2 + 3 s + l ) ( s 2 + 1)

S ección 2.10

1.

,1 ni

15

2 as

8^3 V

( j 2 + £72)

7 . (a) ^ - are t a n s ; ( b ) ln

11. 15.

23.

--------: fe') ln -— -

V JTá1

y(t)=

1+ e ~ '

+

19.

9. - \ + 2 e - t + ) e - 2'

s~ a

. V 57 / ^ 3 . \/5 7 / c o s h — ^— + —----- senn 2 V 57 • 2

T (c o s/-/e_/)

f

e3'/ 2

_y(0 = cos7 +

13.

\ ( 3 - t ) t 2e - ‘

3s e n / - { t c o s t

21 . y ( / ) = | / V

V3 t 1 V 3/ c o s —=---------- — s e n —r— 2 V3 2

S ección 2.11 1. , ( / ) - ( 2 + 3 / ) e - ' + 2 t f j « ) [ ( / - 5 ) + ( l - l ) í - < ' - J»]

3. y(/) = 5.

3 co s2 /-sen 2 7 +

¿(1 - c o s 2 / ) -

j ( l — c o s 2 ( / - 4 ) ) / / 4(/)

y ( / ) = 3 c o s / - s e n / + { t s e n t + \ H ir/ 2Í t ) [ { t ~ i 71-) s e n t - c o s / j

7 . y ( 0 - ¿ (7 / - 1) + ( cos

V 27 /

13

2

V 27

- / / 2 ( / ) ( 7 / - l ) - t f 2 ( /)

V 27. , s e n — r— \e

_

(/-2 ) 2

■t/2

_ v

13 cos \/2 7 — r------ 1- V 27 sen

V 27 ( / - 2 ) 1

"

9. >/(/)= re'-h / y , ( r > [ 2 : + ( 2 t - 5 ) c ' - ' ] - H2( t ) [ \ + 1 + ( 2 t - 7 ) e ' - 2]

2

g -(/-2)/2

Respuestas a los ejercicios de número impar

529

S ección 2.12 3 . (a) y { t ) ~ ( c o s h 3 / - 3 s e n h { t ) e y‘/ 2 - 2 H 2{t) se n h ± (/ - 2 ) e 3(/“ 2)/2 5. y (t) = ¿{sen t — i c o s t ) — H v (t) s e n /

7. y { t ) = 3 t e ~ ‘ + ¿ t 2e ~ ‘ + 3 H 3{t){t —3 ) e ~ ('l ~ 3) S ección 2.13

9.

e b‘ — e at b —a

11 ( / —2 ) + ( / + 2 ) e ~ '

3 /se n /

17. / ( / ) =

2

.

,

~ asenat - bsenbt a2—b2

sen a/ —a t c o sa / 2a

_

.

5. --------=---------

7. / - s e n /

13. y { t ) — t + 3 se n 2 /

15. y { t ) = ¿ t 2

se n / + (l - ¿ t) e ~ ‘

S ección 2.14 1. x{ t ) = c xe'y‘ + 3c2e*‘, y { t ) = c xe 3' + 2 c2e ‘*‘ 3 . jc(/) = [(c , + c 2) se n / + ( < ? , - c 2) c o s t ] e ~ 2‘, y { t ) = [ c , c o s / + c2 s e n / ] e - 2 ' 5. x ( / ) = ^ 3' + i e - ' , 7. x ( t ) = cos t e ~ ‘,

y ( t ) = ¡ e 2t- ¡ e - ‘

y{t)

=

{2cost

se n t ) e ~ '

+

9 . x ( t ) = 2 ( t c o s t + 3t s e n / + s e n / ) e ' , 11.

y { t ) = —2 / s e n / e l

.* (/) = - 4 s e n / ~ 3 / s e n / — / c o s / + 5 c o s / l n (s e c / + t a n /), y { t ) ~ — / ; s e n / — / e o s / — 3 s e n 2 / e o s / — 5 se n / c o s / + 5 s e n 2 /

— 3 s e n 3 / + 5 ( c o s / — s e n / ) l n ( s e c / + ta n /)

S ección 2.15 1. y { t ) = c l e t + c2e ~ t + ci e 2'

3. y { t ) — { c x + c 2t + c3t 2) e 2‘ + c4e ~ ‘

7. y ( t ) = - 3 - 2 t - ¿ t 2 + { 3 - t ) e '

5. y ( t ) = 0

9. \p(í)~ 1-c o s /-ln c o s /-s e n /ln (s e c / + tan/)

— s ) / V 2 co sh (/- s ) / V 2

—c o s ( / — s ) / V 2 s e n h ( / —s ) / V 2 13.

$(t) = \ t ( e ~ 2t —

17.

$ { t ) = t - 1+ {t e~‘

1) — | s e n /

Jg(j)á y

15. » K / ) = 4 / 2 [ ( l - 3 / ) c o s / + ( f + ¿ / - - ¡ 3 / 2) s e n / ]

C a p ítu lo 3 S ección 3.1 1. x x— x 2

*3= ~ x \

3. X\ — x2 x 2= x 2 x 3= x 4 x 4= \ —x 3

7 .x= (_ 5

x(3 ), ( 0

530

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR

9.

x = |í

0

o jx ,

13. (a) | ^ j ; (b) |

x (-1 )= ^ 3 j

| ) ; (c) ( lo ) ; W (

11. (a) |

j j ; (b) |

15. A

9

= ( —2

o j ; (c) |

4)

Sección 3.2 1. Si

3. N o

5. N o

7. Si

9. N o

11. Si

S ección 3.3 1. Linealmente dependiente

3 . Linealmente independiente

5. (a) Linealmente dependiente 7.

(b ) >>,(/)- e 1, y 2(t) = e - ‘

11. x' = | - 1

17.

(b) Linealmente dependiente 9. p x(

/)-/-!,

p 1(t) = t2- 6

x ,= y ,

*i= -^= -(y2-y y ) V2 x i= -y = -(y 2+y3) V2 S ección 3.4 co sV 3 t / 2 e ~ ,fl

1. x'(/> x2(r)

( - i c o s V 3 / / 2 - i V 3 se n V 3 / / 2 ) e " ' / 2 sea V 3 t / 2

, ~ ‘/2

(fe o s V3 t / 2 —\ sen V 5 t / 2 )e ~ '/2

3 . x ' « ) - ( “ ) , * 2« > = ( ¿ , )

5. Si

7. Si

9. N o

S ección 3.5 3. —48 *2 x3 X4

5. 0

7. —97 ’* r

1 0 0 0

15.

x 2 x3

11. Sin soluciones - r

= C

x4

-2

1 4

S ección 3.6 / 1 1. A B = | 1 \ 10

2

7

6

25 \ / 15 10 1, B A = | 5 12/ \ 10

52 -1 18

0\ 1 6/

11. (b) N o

4

Respuestas a los ejercicios de número impar

í "3 9’ 72 i 186

5 -6 14

\2

0 -1 1

-2 i 1 -1

I <

1 2 2 1 1 1>

CQ

3. AB -(!

9\

18 -1 8 /

0) l-i -1 - i )

S ección 3.7

bx b2 +2¿>j

7. Sin soluciones

2¿>2+ 3¿>3 b2

cr II

'

U>

1. b -

9. x = í o ] \ 0/

i

5- X “ V

l \

¡ )

' -4 ' + .

27

0.

11. Xa* 1 ,-1

13. (a) A» - 1; (b)x=i[ - 1 |+ cí - 7 1

6l

O)

\

6}

S ección 3.8

1. x(/)»c,| j je3, + c2Q je 4/ 3. x ( / ) = Ci

e~‘ + c2\ —

I1 5. x(0~c,| o |e_10,+ c2í°) 1 +
1

e~'H-c3í

1

,5t

\2

7- * > - í (!)•*+ 9. x ( í ) - | - 2 j e !'

11. x (/)-

0 e - 21

13. (b) x(/)«9 S ección 3.9

1.

x(0

3. X(().

K

- U

+ cj

2“ "' ll*-*

\ eos/+ sen // J

/ 0) (

0

\

- 2 | + c2Ic o s 2 /J + c3I sen2/ I \ sen2// \-c o s 2 //

5. x(/)

,/ eos/ \2cos/ + sen/

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR

532

7. x(/) =

- V2 sen V2 / —\ f í eos \¡2 / eos V2 / — V 2 sen V 2 t —3 eos V2 /

-2/ +

-

9. x(0) =

S ección 3.10 1. x(/)-

3. x(/) =

7. x(/) l e ‘ — 5 e 2' + 8e - '

13.
2 1 e ' - 5 e 2' — I6 e - / . 14e' + 10e2' —2 4 e - '

15. I + - ( e c av

— e ‘ + 5 e 2t — 4 e 1 —3 e ' + 5 e 2' + 8e " ' — 2 e ' ~ 10e2' + 1 2 e- '

3 e ‘ - 5 e 2l — 2 e ' / 9 e ‘ — 5 e 2t—4 e ' 6 e ‘ + 10e2' —6 e ‘

1)

S ección 3.11 e ~ 2t + 5 e2‘ — e 2t

1.

■e~2t + e 3t . 4e 21 — 5 e 2, + e 3t

3- 5

5.

6e2' —eos / —2 sen / 3e2' —3 eos/ —sen / 5 sen /

S e 2' — 5 e 3‘ 5 e 3‘ —5 e 2l + 5 e 3‘

te~ ‘

te'

1 \3

- r -1 - 1,

2e2' —2 eos / + sen / e2' —cos/ + 3sen/ 5 cosí

— lO sen /

( / + l ) e ' —e ' - - 1 . „ - 2r

13

4e 21+ e 2

—2e2' + 2 eos / +4 sen / —e2'+ 6cos/ + 2sen/

(/+ l)e ' - te / 1 3 3

—e -21+ e 3

9. A

- ' - e “ 2' - 2 r _ e -r e~' B

16 8 0

-2 5 -<5 13

30 -2 4 26

S ección 3.12 1 x(t) = 2 e ' ( t c o s t + 3 /s e n / + s e n A \ -/s e n / / - 4 sen / — j / sen / — / eos / + 5 eos / ln(sec / + tan /) 3. x(/) =

— / sen. / — / eos / + sen / eos 2 / —3 sen 2 / eos / —5 s e n / e o s / + 5 sen2/ - 3 sen3/ + 5(cos / —sen /) ln(sec / + tan /)

11. N o

Respuestas a los ejercicios de número impar 3 e 3' —2 e 2' - te21

11. «K0 = ¡

5. x (r )! 3 e 3t- 2 e 2‘

533

2/2 _|_ _|_i

4* ' 2‘ ' 8 4 4~ 8

_ i / 2_ / + i

Sección 3.13

« —-*(|)+«*( -|)

1. ío

3 .x « .- |( > ) e - + i ( J ) ^ + i( 0 ) - ,( ¡ ) +3 ( ¡ y 7 x(t) = 2 e ' ( /c o s / + 3r sen/ + sen/\

5. x (/) = e '|

V

- /senr

i cos 2/ + sen 2 /\ 9. x (/) =

V

2sen 2 /

/’

/ c o s2 / \ V sen2/ + c o s 2 r /

1 -/ / /

11. X(/)t > TT

t - t 2 - { t 3-{t*+ -¡-2t 5 13. x ( 0 =

15. x(/) = t 2+ ¡ t 3

í

1 1 1+ 1 1 1+ 2r

C a p ítu lo 4 S ección 4.1

1. x = 0,^ = 0;

jc = 0,^ = 1; jc = 1,_y= 0;

3. * = < ),,- 0 , 2 = 0;

x = ^,y —\ ’ + £)

5. x = 0 , ^ = ^ o; y Q arbitrario x ** x 0, y “ 11 *0 arbitrario •* “ •*<)* — 1; *0 arbitrario

7. x = 0, y = —2, z — m

S ección 4.2 1. Estable

3. Inestable

7. Estable asintóticam ente

5. Estable asintóticamente 9. Estable

11. *(/)=■ 1 es estable; x ( /) = 0 es inestable

S ección 4.3 1. x « 0 , y ^ O es inestable; x « l . ^ - O es inestable; X a" — h y ^ O es inestable; x*=0, y sa2 1/* es estable; x —0 ,^ — —2 1/ 4 es estable.

)

534

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR

3. x - 0 , y = l es inestable; x — 0 , y** — I es inestable; x = 1, y =* 0 es inestable; x * — 1, y — 0 es estable. 5. x ^ O , y = rm es inestable para los n enteros. 7. Inestable 15.

Inestable

9. Inestable

11. Estable

13. Estable

17. Inestable

S e c c ió n 4.4 1. y * * c o s { x — l)2

3 .> » * ta n ;t

5. x 2+ y 2 — c2

7. Los puntos x=* x 0, y —y 0 con * o + .>'oa= — 1» y las circunferencias x 2+ y 2**c2, m enos estos puntos. 9. Los puntos jc -O , y * * y o > ‘ x — x 0, y = 0, y las curvas y * * c e ~ i2/,3)e3‘, ,x > 0 ; y *■ ce ~ x < 0. 11.

Los puntos x = 0, y = y 0 ylas curvas ( a d — bc)

{by —d x)-------- ^-----ln |c —

=»A:, jc>0

{ad—be) ( by —dx) --------^------ln )c - ^ J * fc , x < 0 13. El punto x = 0, y = 0; y lascurvas x y 2— j x 3 — c. S ecc ión 4 .5.1 3* c-- - jjW l> + c y ) = j ¿ + k

5. ^ - £ = * - ^ \ r \ { b + d y ) - ~ \ T \ { a + c x) + k

S e c c ió n 4.7 13. (b) y 2= x 2+ x 4+ c 2

S e c c ió n 4.8 5. La circunferencia x 2 + y 2 = 1. Obsérvese que todo punto sobre la circunferencia es un punto de equilibrio. 7. Las circunferencias x 2 + y 2 = (2 n + 1)tt/2

S e c c ió n 4.9 t. e = — l , l

3. e = —2, 2

5. Sin puntos de bifurcación

S ección 4.10 1.

*=»(),y = 0 es inestable; x — { a / e ) , y = 0 es estable si a d < e c , e inestable si a d > e c \ x = ( a f + b c ) / { e f + b d ) , y — ( a d — e c ) / ( b d + e f ) existe só lo para a d > e c y es estable.

3. x { = 0 , x 2 = 0 , 7 = 0; x x = c / d , x 2 — n c / [ d { a x + a ^ \ , y — na2 — a 2- a xa 2\ asum iendo que /w 2 > a J + a Ja2-

Respuestas a los ejercicios de número impar

535

S ección 4.12

3.

(a) /7 + A /2/2 = ylnS —/\S + c; (b) Si

5. (a) 0.24705; (b) 0.356; (c) 0.45212; (d) 0.60025; (e) 0.74305; (f) 0.77661 S ección 4.13

7. Either x(/)->0 or

=— - (for / V _ a i >0) P1

Capítulo 5 S ección 5.1

(2/i + 1)27t2 (2n+l)irx L A" = ----- 2-------->y(x ) = c sen Yi-----1 ,

3. 5. 7.

n n —n2n 2 . mrx A= 0,y = c; A= — —— , y(x) = c c o s - j -

>'(x) = csenh:>Z—Aq x> donde senhV —Aq 7 = V —Aq cosh V —Aq 7r; ^(jr) = c s e n V \ x, donde tan 7r= . A= — y(x) —cex\ A= /i2,,y(x) = c[ncos/ix + sennx]

S ección 5.3

1. « (oc, t) = sen i ttoce “ 17lirV 4+ 3 sen j ttx e ~(1-7I>25*V4 3. u(x,t)=*3 sen 27rxe(l-4l,2)/ —7sen47rxe(l_ l6ir^/ 5. u ( t , y ) = e ^ ,+y) + e ~ ^ ‘+y) 7.

u(/,>>) - e -•V

9.

(a) X " —p X = 0; (b)

+ 2e~7,e

- 14el3'
Y"-(n+\)Y~Q;

r - A a 2r = 0 ;

u ( x , y , t ) * * s e n ^ ^ s e n ^ ? - e aJn2ir^¿í-í,2)'/ <,26J

a

b

Sección 5.4 1

/ / v \ ^ T sen7roc . sen37rx . sen57rx ,

1

i- / w - - [ —¡ - + — 5 — + — 5 — + . . . j

^

2 f senirx

sen27rx , sen37rx .

2

3

1

*" J

* ff~\ 3 1 ^ 1 f mr mrx . í , mr \ mrx 1 5. / ( X ) . 4 - - 2 t - j s e n - j- . c o s - j- ♦ ( l - c o s y j s e n — j 7 f ( e * ~ 1 , v i-

¡(~ 0 ~ * f 1 mrx /<*)--5T + 2, -e727 ^ 5- 1/cos— " “ “„„ Tmrx J1

»• / ( * ) - T + 2 2 — ¡q

^

r - co.—

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR

536 i \ l l . /t M

13.

+i

r

11

V

^ 'e

'

e

M ^i /cos— n>!tx■+.

TVTTX- j"] mrSen-T

2

/(x ) = |senx —|sen3x

oo ( - i )

17. ( a ) / ( x ) = ^ - + 4 2 J

n- 1

eos n x

i - i - j -----«

Sección s.s i

/y

x

í

- L

1- / ( * ) " —

«

v

2 (1 ~

2

-+

c o s / mt / í

)

-----;-----r o — cos/mx 1+ /iV

* x 3 « , § 4a(cos/wr/2 —1) mx 3 . / ( x ) = t + 2 ------- — cos^ n —1

ti IT

5.

/ ( * ) = T + ^7 2

7.

/(* )* “ 2

-7 [2 co sw r/2 - 1 - ( - l ^ l c o s ^ ^

^ (co s/w /2 - ( - ! ) " ) se n ~ £

9 . /(x)= sen2x

11. (a)senx = —+ — cos2x cos4x ; 0 < x < 1; ir n 1 - 2 2 1 —42 (b) cosx = — ’2sen2x 4sen4x ; 0 < x < l ; (c) No 7T 22- 1 42—1 "• Sección 5.6

1.

(a) * ( * , / ) - M oo

|

e ^ íiW

W

,-

2/ i ( l - ( - l ) ncoslO)

sen tEULp-Oten'iA/XOO. 10 n2Tr2—100 4senmr/2 (~ O* sen m x p ~ O-86"1,rV 100• ( c ) u ( x , /) - 1 0 0 f /wr 100 /I—I

(b )u (x ,/)«

(d) 5.

2

«T,

_ i -ia ® ( ( —1)" —cos3ir/10) * (* .< )-— ü 2 2 i : — í--------- i _ J sen' ^ e -o.K .^/ioo

10

(b) u (x ,/)-1 0 x + 800 2 ~« 2-2 -! ? v -sen 10 n- I * ^

e(1~

S ección 5.7

2/i+ 1

1

*-o[ (2/i +1)2—4 2/,+ l

sen(2/i +

1)4 cos(2/i + 1) —■

../v- a _ — 12 ^ sen2/wr/3 „ mrct x/(x,/)« ^-----sen_mrx _ _ cos_ _ _2 ^ 2 /!-] ^ 1

mr ___ m r x

mr/

sen -5r sen —=—eos • 10 » . - I «■ 9. u(x,>-,f)-A '(x)r(>-)r(/); Y ( y ) - a2eos V á 2 - ¿x2 y + b2 sen V * 5 (x) —a | eos /xx + 6, sen /tx T(/) » a 3eos \c/ + 63sen Xc/

Respuestas a Sos ejercicios cié número impar

537

Sección 5.8 1. u ( x , y ) = 2 ^ c„senh

n»

3. u ( x , y ) = 2

n —,

rrrr(x-a) rmy j sen — ;

c „ s e n ^ í . s e n h — — ----- 1 ; a a

c .- —

-2

c « — ^ , f a/ ( x ) s . e n ^ ^ - d x a s e n h /w r6 /a úq ^ a

ac s e n ( 2 /t- 1 )— s e n h ( 2 /i- 1 )-?-

^

5. u ( x , y ) = £ *IT r

fl

o

(2 /i— 1)s e n h ( 2 /i- [ ) i r b / a se n h (2 /t—l) - ^ - s e n ( 2 /i—1 ) ~

* + -4 y /__________ £___________£_

(2/i — 1) senh(2/t — X)irafb

u/-> n x —a i\ gg se n h (2 /i—1 )tt— t—s e n ( 2 /t- l ) - ¡ 4 y _______________ £_____________ £ _ 7. u ( x , y ) = 1 + ir (2/i — l)se n h (2 /i — l) 7 ra /6 2 ( ~ l ) n senh V T + n ^ ir* x sen rmy 9. u ( x , y ) = ~ *JT n - 1 /ts e n h V 1 + n 2ir2 11. X " + \ X = Q I;

r " + /i r = ( 5 ;

r b r/ miy /W s c n -g -»

Z " -( \+ /i)Z = 0

Indice A

B úsqueda de raíces p o r iteració n , 80

C u erd a elástica, 475, 496 condiciones en la fro n tera p ara, 476 condiciones iniciales p ara, 476 desplazam ien to inicial diferente de cero, 498 frecuencias fundam entales de, 498 propagación de condiciones iniciales, 499 C urvas logísticas, 29, 42

C

D

C am p o de direcciones, 392 C iclos lím ite, 429 C ircu ito s eléctricos, 171 C ondiciones en la fro n te ra p a ra e .d .o . de segundo o rd en , 469 la cu erd a elástica, 474 la ecuación de calo r, 474 la ecuación de L aplace, 476 C ondiciones iniciales, 475 alisam iento de d isco n tin u id ad es en la ecuación de calo r, 492 p a ra la ecuación de calo r, 474 p a ra u n a cu erd a elástica, 474 p ro p ag ació n de las condiciones iniciales en la ecuación de o n d a, 599 C o n d u cció n térm ica, 474 C o n je tu ra sen sata p a ra soluciones p articu lares, 153 C o n ju n to fu n d am en tal de soluciones, 129 C recim iento de tu m o res, 51 C riterio de la razó n de C au ch y , 185

D atació n rad io activ a, 12 D esastre del p u en te de T aco m a, 169 D etección de falsificaciones de arte, 11 D etección de la d iab etes, 174 Dirac, P . A . M . , 240 D irichlet, p ro b lem a de, 476 D iscontinuidades de salto , 223, 234 D isem inación de innovaciones tecnológicas, 39

Á lgebra lineal, 292

B

E E cuación característica, 134 raíces com plejas, 336 raíces reales d istin tas, 134 raíces reales iguales,* 141 E cuación de B ernoulli, 67 E cuación de Bessel, 133 de ord en cero, 216 de o rd en v, 213

539

540

índice

E cuación de calo r, 474, 492 alisam iento de d isco n tin u id ad es en las condiciones iniciales, 492 b arra con extrem os aislados, 493 condiciones en la fro n te ra , 476 condiciones iniciales, 476 condiciones no h om ogéneas en la fro n te ra , 496 E cuación de cond u cció n (o difu sió n), 474 E cuación de o n d a , 476, 496 condiciones en la fro n tera, 476 condiciones iniciales, 476 solución, 497 E cuación de p oten cial, 475 E cuación indicial, 205 E cuación integral, 69 E cuaciones de o rd en su p erio r, 254 solución general, 255 variación de p arám etro s, 258 Ecuaciones diferenciales de prim er o rden, 1-2 de varias variables, 261 exactas, 57, 59 facto r in teg ran te p a ra , 8, 63 hom ogéneas, 3 lineales, 3 no lineales, 3 p roblem a de valor inicial, 5, 7, 21 separables, 21 sistem a de, 262 soluciones generales de 4, 21 soluciones num éricas de (véase M éto d o s num éricos) T eorem a de existencia y u nicidad, 67 Ecuaciones diferenciales de segundo o rd en , 123, 124 conjunto fundam en tal de soluciones, 129 ecuación característica, 134 raíces com p lejas, 137 raíces reales d istin tas, 134 raíces reales iguales, 141 ecuación de E u ler, 141, 146, 194 ecuación hom o g én ea, 123 ecuación no h o m o g én ea, 147 funciones d isco n tin u as, 234 m éto d o de la co n je tu ra sen sata de soluciones p articu lares, 153 p u n to s singulares, 194, 200 reducción de o rd e n , 141 solución en series, 181, 184 solución p a rtic u la r, 147 soluciones generales, 128, 138, 144 teorem a de existencia y u n icid ad , 125 v ariación de p a rá m e tro s, 151 E cuaciones diferenciales lineales (véase E cuaciones diferenciales de p rim er o rd en , E cuacio n es diferenciales de segundo orden o Sistemas de ecuaciones diferenciales de p rim er ord en )

E cu acio n es diferenciales no lineales sistem a a u tó n o m o , 371 Ecuaciones diferenciales no ordinarias (véase E cuaciones diferenciales parciales) E cu acio n es diferenciales o rd in arias d efin ició n , 1 E cu acio n es diferenciales parciales d efin ició n , 474 E cu acion es en d iferencias, 90 E cuaciones exactas, 57, 60 E cuaciones hipergeom étricas, 213 E cuaciones hom ogéneas, 24 E cu acio n es sep arab les, 19 cas) E ig en fu n cio n es (véase F unciones característi E igenvalores (véase V alores característicos) E igenvectores (véase Vectores característicos) E rro r efectos del paso de integración, 100 fó rm u la , 99 p a ra el m éto d o de E uler, 98 p a ra el m éto d o de E uler M odificado, 108 p a ra el m éto d o de R u n g e-K u tta, 111 p a ra la serie de T ay lo r de tres térm in o s, 105 re d o n d e o , 102 E spacios vectoriales, 270 b ase, 284 d im en sió n de, 280 E stab ilid ad a sin tó tica, 376 de p u n to s de equilib rio , 379-380 de u n a solu ció n , 368, 373 sistem as lineales, 373 E stab ilid ad a sin tó tic a , 376 de p u n to s de equilib rio , 379-380 de u n a solución, 368, 373 sistem as lineales, 373 E sta b ilid a d asin tó tica, 376 E u ler, ecuación de, 141, 143, 194. E u ler, m éto d o de, 98 fó rm u la p a ra el e rro r, 99 E x p o n en ciales co m p lejas, 137 E x ten sió n de u n a función im p a r, 489 p a r, 488

F F a c to r in teg ran te, 8, 63 F ech am ien to p o r ca rb o n o rad iactiv o , 18 F o u rie r, series de, 480, 481 co eficientes de F o u rier, 482 co n vergencia de, 480, 481 id en tid ad de P arsev al, 485 serie del coseno, 487 serie del seno, 487

541

índice F recuencia de resonancia, 169 Frecuencia n a tu ra l, 167 F robenius, m étod o de, 199 F uerza de am o rtig u am ien to , 162 F unción delta de D irac, 140 tra n sfo rm a d a de Laplace de la, 241 F unción d isco n tin u a de fo rzam ien to , 234 F unciones analíticas, 184 F unciones características, 471 F unciones co ntinu as p o r secciones, 223 F unciones de Bessel, 133 213 J Q{t), 216-217 Funciones generalizadas, 244 Funciones im pares, 486 Funciones pares, 486

G G reen, T eo rem a de, 430

H H erm ite, ecuación de, 193 H erm ite, polinom ios de, 193

Im pedancia, 173 Independencia lineal, 132, 278 de funciones vectoriales, de vectores, de vectores característicos, 330 Integral de convolución, 248 Interés com p u esto , 57 Iteraciones de P icard , 69

K K irchoff, segunda ley de, 172

L L aguerre, ecuación de, 213 L aplace, ecuación de, 475, 501 condiciones en la fro n tera, 476 pro b lem a de D irichlet, 476 p roblem a de N eum ann, 476 L aplace, tra n sfo rm a d a de, 220 definición, 221 de deriv ad as, 227 de la convolució n , 248 de la función delta de D irac, 241 de sistem as, 362

existencia de, 222 inversa de, 226 L egendre, ecuación de, 193 L egendre, polinom ios de, 193 Ley logística de crecim iento de p oblacio n es, 28 Ley m alth u sian a de crecim iento de p oblacio n es, 26

M M atrices, 264 adición de, 273 a d ju n ta , 311 d eterm in an te de, 295 d iag o n al, 297 fu n d am en tal, 350 id en tid ad , 307 inversa, 312 p o lin o m io característico, 329 p ro d u cto de, 306 trian g u lar in ferio r, 297 trian g u lar su p erio r, 297 valores característicos, 328 vectores característicos, 328 M ecánica n ew to n ian a , 46, 123, 162 M em b ran a elástica vibración de, 475 M étodo de elim in ació n , 252 M étodo de E uler m ejo rad o , 108 M étodos num érico s, 94 efectos del in crem en to , 101 erro r, 98, 100, 104, 108, 110 m éto d o de E u ler, 95 m éto d o de E uler m ejo rad o , 108 m étodo de R unge-K u tta, 110 tres térm inos de la serie de T aylor, 105 M odelo p ara la g o n o rrea, 489 M odelos bélicos de co m b ate, 399 M odelos epidem iológicos, 37 g o n o rrea, 489 plagas, 38 teo rem a del u m b ral, 453 M odelos p o blacionales, 26 exclusión co m p etitiv a, 444 ley logística de crecim iento de poblaciones, 28 ley m alth u sian a de crecim iento de poblaciones, 26 p oblación d ep re d a d o ra de tiburones, 437-438

N N eu m an n , problem a d e, 476 N ew ton, m étodo de, 87

542

ÍNDICE

O

S

O h m , ley de, 172 O p erad o res diferen ciales, 127 O p erad o res lineales, 125 O rb itas, 389, 391 O rd en de u n a ecu ació n d iferen cial, 1

S ch w artz, L au ren t, 240-244 S ep aració n de v ariables, 476-477 p a ra la ecuación de calor, 477, 493 p a ra la ecuación de L aplace, 501, 503 p a ra la ecuación de o n d a, 596 Series de poten cias, 184 Series de T ay lo r, 183 Sistem as a u tó n o m o s, 371 Sistem as de ecuaciones alg ebraicas, 294 Sistem as de ecuaciones lineales de p rim er o rd e n , 262 d efin ició n , 262 estab ilid ad de, 373 existencia y u n icid ad , 288 m atriz fu n d am en tal, 350 no h o m o g én eas, 355 p o lin o m io característico , 329 raíces, 336 raíces reales d istin tas, 330 raíces rep etid as, 340 red u cció n a, 262 solució n general de, 329 v ariació n de p arám etro s, 355 Sistem as m asa-reso rte-am o rtig u ad o r, 161 vib racio n es am o rtig u ad as, 163, 165 v ibraciones fo rzad as, 166 v ibraciones libres, 162 S olución en serie, 181, 184 fó rm u la de recurrencia, 183 raíces de la ecuación indicial iguales, 207, 212 raíces de la ecuación indicial que difieren en un en tero , 212, 214 S olución p a rticu lar, 147, 358 S olu cio n es, d efinición, 1 ecuaciones de o rd en su p erio r, 254 ecuaciones de prim er o rd en , 4, 20, 60 ecuaciones de segundo o rd en , 128, 138, 144 sistem as de ecuaciones de prim er o rd en , 329 S oluciones generales ecuaciones de o rd en su p erio r, 254 ecuaciones de segundo o rd e n , 128, 138, 144 ecuaciones lineales de prim er o rd en , 4, 20 sistem as de ecuaciones de prim er o rd e n , 329 S oluciones periódicas, 410 Sucesión de valores característico s, 471

P P arseval, id en tid ad de, 485 P lan o fase, 388 P o incaré-B endixso n , teo rem a de, 427 P o lin o m io característico , 329 P ro b lem a de los desechos n u cleares, 45 P ro b lem a de v alo r inicial, 5, 7, 20, 124, 253 P ro b lem a de valores en la fro n te ra , 469, 475 ecuación de c a lo r, 475 ecuación de L ap lace, 501 ecuación de o n d a , 496 P ro b le m a de m ezclad o , 51 P ro g ram ació n en A P L , 512 ad ició n , 512 división, 515 exponenciació n , 513 expresiones lógicas, 517 fu nciones, 512 arco coseno , 515 arco sen o , 515 a rco tan g en te, 515 coseno, 515 exponencial, 515 lo g aritm o n a tu ra l, 50 seno, 515 signo, 515 tan g en te, 515 valo r a b so lu to , 515 id en tificad o res, 514 m ultip licació n , 513 p ro g ra m a s, 518 su stracció n , 513 P u n to s de eq u ilib rio , 368 P u n to s singulares, 194, 199 P u n to s singulares reg u lares, 200

R R educción a sistem as de ecu acio n es, 262 R educción de o rd e n , 143 R elación g o m p ertzian a, 52 R eso n an cia, 166 R etrato fase, 413 R eynolds, n ú m ero d e, 50 R unge-K utta, m éto d o de, 111

T T ch eb y ch eff, ecuación de, 193 T ch eb y ch eff, po lin o m io de, 193

índice T eorem a de C ay ler-H am ilto n , 346 T eo rem a de existencia y unicid ad p ara ecuaciones de prim er o rd en , 67 ecuaciones de segundo o rd en , 125 ó rb itas, 310 sistem as de ecuaciones de p rim er o rd en , 279, 408 T eo ría cu alitativ a, 367 T eo ría de la g u erra, 393 T ran sfo rm acio n es lineales, 319 T ray ecto rias, 389 T res térm inos de la serie de T ay lo r, 105

V V alores característicos de u n a m atriz, 328 m u ltip licid ad , 342 problem as con valores en la fro n tera, 471 V ariación de p a rám etro s, 151 p a ra sistem as de ecuaciones, 353

V ectores, 263 funciones con valores, 263 indep en d en cia lineal de, 277 solución de sistem as de ecuaciones, 294 V ectores característicos de u n a m atriz, 328 ind ep en d en cia lineal de, 330 V elocidad de escape, 51 V ibraciones m ecánicas, 161 frecuencia de reso n an cia, 169 fo rzad as am o rtig u ad as, 165 libres, 163 libres am o rtig u ad as, 163 V o lterra, V ito, 437 W W ro n sk ia n o , 129