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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDE GUÍA DE ESTUDIO ESTUDIO No. 3
UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ASIGNATURA: ASIGNATURA: FUNDAMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD TEMÁTICA DERIVADAS DERIVADAS Y APLICACIONES
COMPETENCIA RESULTADOS DE DE APRENDIZAJE Interpretar la Interpretar la noción de derivada como razón de cambio y Deduce la ecuación de la recta tangente según la presentada. desarrollar métodos para hallarla en las relaciones y funciones, así Calcula la derivada de una función real derivable m como también, resolver reglas de derivación. situ situa acio ciones nes probl roblém émiicas cas en Calcula derivadas de orden superior aplicándolas diferentes áreas del conocimiento disciplinas usando el concepto de derivación ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en carpeta guía de Apuntes del Profesor
ACTIVIDAD No 1 Resuelva los siguientes ejercicios de incrementos 1. Determina para los intervalos dados: a) Los incrementos de las funciones. b) La razón de cambio promedio. 1. y = 3x 2 − 5 x + 12 12 ; x 1 = 4, x 2 = 4.8 3. y =
5 x 2 − 2 x ; 7 x −1
x = 3,
∆x = 0.1
2. y = 6 x5 + 12 x − 7 ; x = 4, 4. y =
1 ; 4 x + 1
x = 6,
∆
2. La función de ingreso para el producto de un fabricante es I ( x) = 2 x3 − 90 x 2 +1, 20 siendo x el número de unidades vendidas e I el ingreso en miles de pesos. El fabricante vende 20 unidades por semana, pero está considerando incrementar las ventas a 2 Calcula Calcula el incremen incremento to en el ingreso. ingreso. Determin Determina a la tasa de cambio promedi promedio o del ing unidades extra vendidas. 3. Para
el
producto 2
un
monopolista la función de costo total, es Useful Not useful costos si la producción producción C ( x) = 10 x − 60 x + 90 x +1, 200 , calcula el incremento en los costos 5 a 7 unidades diarias. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las uni 3
de
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6. Las ecuaciones de ingreso y de costo para el producto de un fabricante son respe y C ( x ) = 4.5 x + 100 , donde x es el número de unidades. I ( x ) = 30 x − 0.3 x 2 incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad si x cambia de 40 a 4 Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por unidad extra producida. 7. Usa la gráfica de la función f(x) para encontrar cada uno de los siguiente valores. a) f (l) b) f (3) c) f (5) - f (1) d) La razón de cambio promedio de f ( x ) cuando x cambia de 1 a 5. e) La razón de cambio promedio de f ( x ) cuando x cambia de 3 a 5
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8. La gráfica muestra las ventas totales en miles de dólares por la distribución de x miles Encuentra e interpreta la razón de cambio promedio de ventas con respecto al número distribuidos para los siguientes cambios en x . l0 a 20 a) b) c)
d)
Sign to vote on this title 20 aup30
Useful Not useful 30 a 40 ¿Qué le está pasando a la razón de camb
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9. La gráfica muestra las ventas anuales (en unidades apropiadas) de un juego de computa
Encuentra la razón de cambio anual promedio en ventas para los siguientes cambios en
a) 1 a 4 b) 4 a 7 c) 7 a 9
ACTIVIDAD No 2 Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las reglas de derivación: Reading a Preview 1. Obtenga la primera derivada de lasYou're siguientes funciones.
a)
y
=
2 x
2
+
2 x
b)
c) y = (5 x 2 + 3 x)(3 x − 2)
y
=
x
3
2 x
(Hacerlas por incrementos) full access with a free trial.
−Unlock
2 y = 2 x ( xWith ) −1Free d)Download Trial
2 f) y = 3 x ( x + 1)
g) y = 13 x
i) y = (2 x 2 − x + 3)(3 x + 1)
j) y = Ln e x
4
1
3
b. y = ( 2 x ) 3x
3. Calcule las siguientes derivadas implícitamente:
y
=
x
2
x +
h) y = ( x3
− 3 x3 + 2 x 2 − 6 x + 5
2. Dada y = f ( x) , calcule la segunda derivada a. y = Ln ÷ x
e)
k) y = e 2 x
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(
2 y = arctan x −1 c.Useful Not useful
)
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x 2 3
f(x) 8 3
g(x) 2 -4
f ’(x) 1/3
g’(x) -3 5
2π
Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los valores dados de x a. f ( x) ×g ( x), en x = 3
b.
c. f ( g ( x) ) , en x = 2
d.
6. Hallar por incrementos la derivada de
f ( x )
=
f ( x) g ( x)
, en x = 3
2 2 ( f ( x)) + ( g ( x))
a2
−
, en x = 2
3 x 2 .
7. Utilizando las fórmulas de derivación, hallar la derivada de cada función: a)
f ( y )
c)
y
=
1 + y
1 − x
=
4 + 5 x
b)
,
2 + y
y
=
d) y =
,
( x
44 3
−
6) 1 −5 x
1 + 3 x
5
,
.
8. Hallar el valor de la derivada para el valor dado de “x”. a) y
=
b) y =
3 x5
−
5 x
3 x
2
3 x
2
−2 +2
,
x=4
, x=
1
You're Reading a Preview
.
2
Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial ACTIVIDAD No 3 Utilice la regla de L’Hôpital para calcular los siguientes limites
1. Calcular: a.
lim
1 − cos x
b. lim
x 2
x→ 0
x→ 0
e x − 1
c. lim
x→ 0
x
2. Encuentre: a.
lim
x→+∞
− e− x ln(1 + x )
e x
d.
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ln x x
b.
lim
x→ +∞
e x x
2
c.
ln( x − 2) Not useful Useful
lim
x→ 2
ln(e x − e 2 )
lim +
x→ 0
d. lim x→+∞
se
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ACTIVIDAD No 4 5. Analizar si se cumple el teorema del valor medio para la función f ( x) = x3 − x2 + 1 en encuentre los puntos x ∈(−1,1) tales que f '(x )
=
f (b) − f (a ) b−a
.
6. Trazar la gráfica de las siguientes funciones: a. f ( x) =
x − 1
b.
x + 1
f ( x ) =
x3
c. f ( x) =
( x − 1) 2
x x
3
+1
7. Aproximarse al gráfico de las siguientes funciones: a. f ( x ) = − x 2 + 12 x − 20 b. f ( x) = x3 − 27 x 8. Esbozar gráficamente: e x a. f ( x) = x
b. f ( x) = e− x2
c. f ( x) = x Lnx
x 4 − x3 si x ≤ 1 3 x − 1 si 1 < x < 2 d. f ( x ) = 7 You're Reading a Preview Unlock − xaccess x 2 full si with x ≥a2free trial. 9. Dadas las funciones a)
3
Download With Free Trial 2
y = 2 x − 3 x + 1
b) y = x3 + 3x2
Grafíquelas obteniendo: Puntos máximos, puntos mínimos, puntos de inflexión, intervalos de y decrecimiento, intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, etc. ACTIVIDAD No 5 Mediante el análisis marginal resuelva los siguientes problemas
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Useful Not useful 3 1. La productividad física de cierta empresa esta dada por p( x) = 500( x + 4) 2 − 4000 , do numero de maquinas en funcionamiento Determine la productividad física marg
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b. Calcular el costo promedio marginal para x= 500 e interprete el resultado
4. Un fabricante encuentra que en la producción diaria de x unidades se involucran tres tipo 1. Un costo fijo de 1200 dólares en salarios 2. Un costo de producción de 1.2 dólares por cada unidad fabricada 100
3. un costo de solicitud de
dólares.
x 2
a. Determine el costo total marginal. b. calcule el costo marginal para un nivel de producción de 10 unidades 5. Determine el ingreso marginal cuando x=300 unidades, si la ecuación de demanda es x
= 1000 −100 p
6. La función de demanda de cierto artículo es p + 0.1x = 80 y la función c ( x ) = 5000 + 20 x . Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 un unidades. Interprete los resultados. 7. Si la ecuación de demanda de cierto artículo es 10 p + x + 0.01x 2 = 700 a. Calcule el ingreso marginal cuando el precio es de 10 dólares b. Si la función de costo es C ( x) = 1000 + 0.1x 2 , evalúe la función de utilidad marginal • x=100 unidades • p=10 dólares
ACTIVIDAD No 6 En los siguientes problemas C(x) es el costoReading total dea producción de x unidades de cierto b You're Preview el precio al cual se venderán todas las x unidades. Suponga que p(x) y C(x) están en dólare Unlock full access with a free trial.
a. b. c. d. e.
Determine el costo marginal y el ingreso marginal Utilice el costo marginal para calcular el costoWith de producir Download Free Trialla cuarta unidad Encuentre el costo real de producir la cuarta unidad Utilice el ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido por la venta de la cuarta unida determine el ingreso real obtenido de la venta de la cuarta unidad
1. C ( x )
=
2. C ( x )
=
1
5 5
3.
C ( x)
=
4.
C ( x)
=
1
+ 4 x + 57;
p( x )
= ( 36 − x )
x 2 + 5x + 73;
p ( x)
= − x 2 − 2 x + 33
x
9 1
4 2
2
x 2 + 43;
p( x)
=
x 2 + 65;
p( x)
=
4
3 + 2 x 1 + x 12 + 2 x
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDE GUÍA DE ESTUDIO No. 3
ingreso esta dada por R ( x) = 65 x − 0.005 x 2 . Si el nivel de producción actual es x= 100 creciendo a una tasa de 2 al mes, calcule la tasa en que la utilidad esta creciendo.
3. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, el fabricante ofrece x cientos d donde 3 p 2 − x 2 = 12 ¿Con qué rapidez cambia la oferta x cuando el precio es de 4 pesos por unidad y se incr tasa de 87 centavos por mes?
4. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, los consumidores compran x 2 − 3 px + p 2 = 79 unidades, donde ¿Con qué rapidez cambia la demanda x, con respecto al tiempo, cuando el precio es de 5 unidad y la tasa es de 30 centavos por mes?
5. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, los consumidores compran unidades, donde x = 40 p − p 2 − 12 ¿Con qué rapidez cambia la demanda x, con respecto al tiempo, cuando el precio es de 5 unidad y el precio esta aumentando a razón de 0.30 dólares por mes?
6. En cierto mercado, p dólares es el precio de una caja de naranjas, x es el número de mi de naranjas que se surten a la semana, y la ecuación de la oferta es x = 4 p + p 2 − 12 rapidez cambia la oferta x cuando el precio es de 3 dólares y la tasa esta aumentando a 0.5 dólares por semana?
You're Reading a Preview 7. La ecuación de oferta de cierta mercancía es x = 3 p 2 + 20 p − 6 , donde cada mes se su Unlock full access with a free trial.
unidades cuando el precio por unidad es p dólares. Calcule la rapidez de cambio de la o precio actual es de 20 dólares y el precio está aumentando a razón de 0.80 dólares por m Download With Free Trial
ACTIVIDAD No 8 Resuelve los siguientes ejercicios de elasticidad Prueba que la elasticidad puntual de la demanda, para los valores indicados de p o x expresa a la derecha de cada una de las siguientes ecuaciones:
1. p = 12 − 0.03x , 1000 , x 2 3. x = 100 − p ,
2. p =
para x = 300 unidades para x = 156 unidades para p = $50/unidad
Rta:
→
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Rta: Useful Rta:
η =−0.3333
→Not useful η = −0.5 →
η = −1
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8. x = 250 − 30 p + p 2
Rta:
→
η=
p (− 30 + 2 p) 250 − 30 p + p 2
9. Si la función de demanda de un producto se expresa como 0 ≤ x ≤ 1700 , evalúa para x = 1,050 unidades:
p = 15 − 0.1x 0.6 −
a) La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta: η = −1.316 , dema b) El cambio aproximado en el precio, si la demanda aumenta 12%. Rta: El precio dism c) Con el cambio del inciso anterior, ¿el ingreso total crece, decrece o permanece con El ingreso crece 1.8% 10. Si la función de demanda de un producto se expresa como
evalúa para x = 3600 a) La elasticidad puntual de la demanda
p = 40 − 1 x , donde 2
y el tipo de demanda. Rta:
η = −0.66
inelástica. b) El cambio aproximado en el precio, si la demanda aumenta 10%. Rta: El precio dismi c) Con el cambio del inciso anterior, ¿el ingreso total crece, decrece o permanece con El ingreso decrece 6.5%
1000 , evalúa para 5 p+ 20 a) La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta: η = −0.8 , demand You're Reading a Preview b) El cambio aproximado en el precio, si la demanda disminuye 10%. Rta: El pre
11. Si la función de demanda de un producto se expresa como x =
12.5%.
Unlock full access with a free trial.
c) Con el cambio del inciso anterior, ¿el ingreso total crece ó permanece constante? ingreso crece 1.25%. Download With Free Trial
12. La demanda de bebidas destiladas está dada por x = − 0.00375 p + 7.87 , donde p es el p dólares de una caja de licor y x es el número promedio de cajas compradas en un año p consumidor. a) Calcula e interpreta la elasticidad cuando p1 = $118/caja y cuando p2 = $120 η 1 = −0.0596 Demanda inelástica y η 2 = −1.3353 demanda elástica. b) Determina el precio por caja para el que la demanda tendrá elasticidad $1,0490.33/unidad. A este precio el fabricante percibeSign el mayor ingreso posible. up to vote on this title
Useful
Not useful
13. Hace algunos años, las investigaciones indicaban que la demanda de heroína estaba da x = 100 p − 0.17 .
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lim x→0
3 sen( x) x + x 2
=
lim x →0
3 cos( x) 1 + 2 x
=
lim
−
3 sen( x)
=
(−3)(0)
2
x →0
=
2
0
x si x < − 2 2. El valor de b para el cual la función f x es continua en todos los reales es: ( )= 2 bx si x ≥ − 2 a) – 2
b)
−1
c) 1
2
3. Suponga que las aristas x, y, z de una caja rectangular cerrada, están cambiando con res tiempo de la siguiente manera: y = 3,
dx dt
=
dy
1 m / seg .
dt
2m / seg .
=−
dz
=
dt
1m / seg .
Cua
z = 2. Se tiene que:
I. La razón de cambio del volumen (V) de la caja con respecto al tiempo es:
dV dt
=
2
II. La tasa a la que cambia el área (A) superficial de la caja con respecto al tiempo es:
dA dt
Con relación a las anteriores proposiciones es correcto afirmar que: You're Reading a Preview
a. I y II son verdaderas c. Solo II es verdadera
b. Solo I es verdadera d. I y II son falsas
Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial 4. Complete la expresión de manera que el procedimiento sea correcto:
La derivada de la función f ( x) =
f ' ( x) =
3 cos(3 x + 1)(
)−( 2 2 ( x + 3)
sen(3 x + 1) x 2
+
3
es:
) sen(3 x + 1)
=
2 (3 x + 9) cos(3 x + 1) − 2 2 ( x + 3)
5. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, colocando una(V) o Sign up to vote on this title respectivamente dentro del paréntesis. Useful x ………………….. a. La derivada de la función f ( x ) = ( 4 x ) 3 es f ' ( x ) = ( 192 Not useful b. Si una función es continua en un punto entonces es derivable en dicho punto…. ( 2
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