METODOS NUMERICOS
Unidad 2: Fase 3 - Trabajo Colaborativo 2 - Ecuaciones Lineales e Interpolación Entregado por Andrea Pacheco Espitia: 1042452215 German González: Julio Herrera: Guillermo Fontalvo: Juan Pablo Marcial:
Tutor: Diana Riscanevo Grupo N. 100401_3
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
Introducción En la presente actividad el curso de Métodos Numéricos nos adentra a través de la Unidad 2 en las Ecuaciones lineales e interpolación. Teniendo en cuenta que el objetivo de los métodos numéricos es aproximar el valor numérico usando un número finito de operaciones aritméticas, en esta unidad hemos desarrollado los contenidos que se refieren Eliminación de Gauss, Gauss-Jordan, Método de Jacobi, Método de Gauss–Seídel, Polinomios de Lagrange, Diferencias Divididas, Aproximación Polinomial de Newton y Polinomio de Newton en diferencias finitas. Para ello hemos abordado 8 ejercicios ejemplarizantes para poderlos resolver desde los distintos métodos propuestos. Por esto hemos consultado varias fuentes para entender los conceptos matemáticos que nos permitieron solucionar de manera autónoma los puntos planteados en esta actividad.
Taller evaluativo
Solución Reescribir el sistema de ecuación en forma de matrices y la resolver por el método de eliminación de Gauss-Jordan Entonces
Línea 1 dividir en 2
2 2 4 6 24 38 4066 79 79 59 77 9232 1 2 4 3 22 34 4033 79 79 59 77 9232
Líneas 2 se sustrae de línea1, se multiplica por 2 Línea 3 se sustraemos de línea 1 se multiplica por 7 De línea 4 se suma de línea 1 y se multiplica por 9
Línea 2 dividir en 10
10 310 22 411 10633 00 3614 1927 4335 139329 10 31 0.22 41.1 10.33 6 00 3614 1927 4335 139329
Líneas 1 se suma de línea 2, se multiplica por 3 Línea 3 se sustrae de línea 2 se multiplica por 14 De línea 4 se suma de línea 2 y se multiplica por 36
10 01 0.1.42 0.1.17 10.1.26 00 00 16.19.82 3.19.64 52.9.46 10 01 0.1.42 0.1.9817 10.1.4726 0(0 00 19.18 3. 814 52. 816) 1 0 0 139161162 16381868 1 0 162 00 0 1 9881 814781 0( 0 0 1859 3709) 1 0 0 139161162 16381868 00 10 01 16298 8147 0 0 0 181 281 ) 10 10 00 00 94 00 00 10 01 32
De línea 3 dividir en -16.2
Líneas 1 se sustrae de línea 3, se multiplica por 1.4 Línea 2 se suma de línea 3 se multiplica por 0.2 De línea 4 se sustrae de línea 3 y se multiplica por 19.8
Línea 4 dividir en 185/9
Líneas 1 se sustrae de línea 4, se multiplica por 161/162 Línea 2 se sustrae de línea 4 se multiplica por 139/162 De línea 3 se suma de línea 4 y se multiplica por 98/81
=4; =9; =3; =2 2·42·4 6·4·99 4·2·33 8·3·22 == 88 5436 126 616= =4066 7·4 7· 9 5· 3 7· 2 = 28 63 15 14 = 92 9·4 9·9 9·3 7·2 = 36 81 27 14 = 32 =9=4 =3 =2
Ahora verificar
Se puede observar que al verificarse cumple, entonces.
Reescribir el sistema de ecuación en forma de matrices y la resolver por el método de eliminación de Gauss-Jordan Entonces
51 62 45 65 10490 32 55 79 39 10863 11 60.4 41 1.52 10418 32 55 79 39 10863
De la línea 1 dividir en 5
A la línea 2 se suma la línea 1, multiplicar por 1 A la línea 3 sumar línea 1, multiplicar por 3
10 5.60.4 51 1.26.2 12218 00 3.5.88 114 11.0.64 1449 10 0.14 251 311.2 18305 0(0 3.5.88 11428 11.0.2864 144149 ) 1 0 251914 312314 3051877 1 28 00 0 20728 1012828 12851414 0( 0 45328 49928 378514 ) 1 0 251914 312314 3051877 1 28 00 0 1 10120728 257014207 0( 0 45328 49928 378514 )
A la línea 4 sustraer línea 1, multiplicar por 2
De la línea 2 se divide en -5.6
A la línea 1 sustraer la línea 2, multiplicar por 0.4 A la línea 3 sumar línea 2, multiplicar por 3.8 A la línea 4 sumar línea 2, multiplicar por 5.8
A la línea 3 se divide en
A la línea 1 sustraer la línea 3, multiplicar por A la línea 2 sumar línea 3, multiplicar por A la línea 4 sumar línea 3, multiplicar por
A la línea 4 dividir en
1 0 0 139203207 22152042207 1 0 00 0 1 101207207 2072570207 0( 0 0 68569 479569 ) 1 0 0 139203207 22152042207 00 10 10 101207 2072570 0( 0 0 2071 7207)
A la línea 1 sustraer la línea 4, multiplicar por A la línea 2 sumar línea 4, multiplicar por
A la línea 3 sustraer línea 4, multiplicar por
10 01 00 00 36 00 00 01 01 97 5·33 2·66·6 5·4·99 6·5·77 == 153 36 12 36 45 35 42= =10490 3· 3 5·6 7· 9 3· 7 = 9 30 63 21 = 63 2·3 5·6 9·9 9·7 = 6 30 81 63 = 108 ==36 == 97 =, =, = == =
Verificar
Es correcto entonces
3. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Jacobi, valor inicial
< 1%
Solución:
31 13 11 =13 2 1 4 7 = = 3 0 0 0 0 0 0 1 1 =00 30 04 =1 2 0 1 00, = 00 00 01 +−− 13 0 0 1 1/3 −= 0 13 01 =37=7/41 0 0 4) ( 1/3 0 0 0 1/3 1/3 0 1 1 − = 00 1/30 1/40 21 10 10 =1/21/3 1/40 1/30 ++=1/31 1/30 1/30 1/31/3 =1/31 1/31/3 1/3 1/3 + 7/4 1/2 1/41/3 1/3 0 1/37/4 1/2 1/4 1/3 1/4 1/3 =7/41 1/2 ++=1/31/3 1/3 =11/3 1/3 +=7/41/2 1/4 =0 =0.33333 A
b
,
Formula de iteración.
=0=0 =1.=175 =0. =1,527778 25 =1.=0.393333537 =0.=0.999306 7222
Despejar cada una de las variables sobre la diagonal
= 19.7.850.30.1130.0.23 = 71.40.37 0.2 = 10 Suponer los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calcular X1
= 7.385 =2.616 666 = 19.30.12.7 616 666 = 2.794 523
Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2
La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados obteniendo:
2 2. 7 94 523 = 71.40.32.616 6660. =7.005 609 10 En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
= 7.850.12.7945233 0.27.005609 =2.990 556 3 7 . 0 05609 = 19.30.12.9905560. =2.499 624 7 = 71.40.12.99055610 0.22.499624 =7.000 290 | | = |2.990 5562.616 666| =0.373 890 | |=|2.7945232.499524| =0.294 899 | |=|7.0056097000290|=0.005 319
Comparar los valores calculados entre la primera y la segunda iteración
Seguir realizando interacciones hasta que el error sea menor que el deseado 0.001 En la cuarta iteración el error es menor que el deseado
Entonces
| | = |3.000 0003.000 031| =0.000 031 | |=|2.500 0002.499 988| =0.000 012 | |=|7.000 0006.999 999|=0.000 001 =3.=2.050000 =7.000
5. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla. X Y Desarrollo:
1 -2
3 1
5 2
7 -3
= 517 7 1 3113 55377 =2 13317 3 7 1 3 5 2 51 3 15 35 5 717375
485 7 1 11657 =2 3 1 2 163 7 3 14835 245 7 1 11657 =2 3 1 2 83 7 3 11635 3 = 161 11 5 75 [ 3 7 ] [ 1] 8 3 = 161 165 73 [8 1021] [53 1] = 161 65 4 [18 1021] [53 1] = 161 65 4 [18 1021] [ 533 3 ] = 161 654[18 1021] [223] = 14 65 [18 1021] [ 13]2 = 14 65 [14 1021] [ 13] 3 5 = 4 2 4 4 52 214 [ 13]
3 5 5 = 4 2 4 12 65 2121 12 = 4 32 54 12 12 56 56 2112 2112 = 12 2 712 3 6. Determine el Polinomio de Interpolación Usando la Interpolación de Diferencias Divididas de Newton, e interpole en el punto x = 5 x
7
y
1430
6
4
908 278
2
-4 40 242
Utilizando triángulos semejantes
Diferencias Divididas
1. Diferencia
1= −− = − = − − =522 2= −− = −− = − =315
3= −− = −− = − =119 4= −− = −− = −− − =47 2. Diferencia Dividida
1= −− = −− = − =69 2= −− = −− = −− =49 3= −− = − = −− − =9 3. Diferencia Dividida
1= −− = −− = − =4 2= −− = −−− = − =4 4. Diferencia Dividida
1= −− = −−− = − =0 xx7=242 x 4 x 4 x 2 x 4 x 2 x 4 x 6 2 x 2 xx4 2x21632 x 4 x=24247x1889 =242x 4 x418x724 18x724 8 64128 =4=24247x1889 2
Entonces se interpola en X = 5
55=532 =45 5 5 2
7. Dados los puntos: (-4.5, 0.7), (-3.2, 2.3), (-1.4, 3.8), (0.8, 5.0), (2.5, 5.5), (4.1, 5,6) determine los polinomios de grado 3 y 4. Graficar para determinar la curva más aproximada. Solución. Polinomio de grado 3. Elementos de la matriz M=6
La matriz a resolver seria de 4x4, entonces hallamos los coeficientes:
= ∑ =4, 5 3,21,40, 8 2, 5 4, 1 =1, 7 ≠ ∑≠ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =56,15 ∑ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =41,579 ≠ ∑≠ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =840,809
∑ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =929,658 ≠ ∑≠ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =14379,544 Los términos constantes son.
∑ =0, 7 2, 3 3, 8 5, 0 5, 5 5, 6 =22, 9 ≠ ∑≠ = 4,50,7 3,22,3 1,43,8 0,85,0 2,55,5 4 , 1 5 , 6 =24, 8 8 ∑ =4,50,73,22,31,43,80,85,02,55,5 ≠ 5,6=176,886 4 , 1 ∑ =4,50,73,22,31,43,80,85,02,55,5 ≠ 4,15,6 =324,874 Construcción de la matriz.
61,7 56,1,175 41,56,15579 41,840,850979 24,22,898 56,41,15579 41,840,850979 929, 840,860958 929,14379,658544 176,234,888674 Solución por el método de Gauss – Jordán:
== 5,0,078209 == 0,0,002474 0632 = =5,0820,7090,0632 0,002474 El polinomio de 3 grados seria:
Grafica.
Polinomio de grado 4. Elementos de la matriz M=6
La matriz a resolver seria de 5x5, entonces hallamos los coeficientes:
=
∑ =4, 5 3,21,40, 8 2, 5 4, 1 =1, 7 ≠ ∑≠ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =56,15 ∑ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =41,579 ≠ ∑≠ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =840,809 ∑ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =929,658 ≠ ∑≠ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =14379,544 ∑ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =20727,472 ≠ ∑≠ =4,5 3,2 1,4 0,8 2,5 4,1 =260536,427 Los términos constantes son.
∑ =0, 7 2, 3 3, 8 5, 0 5, 5 5, 6 =22, 9 ≠ ∑ = 4,50,7 3,22,3 1,43,8 0,85,0 2,55,5 ≠ 4 , 1 5 , 6 =24, 8 8 ∑ =4,50,73,22,31,43,80,85,02,55,5 ≠ 4,15,6=176,886
∑ =4,50,73,22,31,43,80,85,02,55,5 ≠ 5,6=324,874 4 , 1 ∑ = 4,50,7 3,22,3 1,43,8 0,85,0 2,55,5 ≠ 4,15,6 =2342,132 Se construye la matriz.
61,7 56,1,175 41,56,15579 41,840,850979 929, 840,860958 24,22,898 56,41,15579 41,840,850979 929, 840,860958 14379, 929,655844 20727, 14379,544472 176,234,888674 840,809 929,658 14379,544 20727,472 260536,427 2342,132 == 4,0,642896 == 0,0,002014 0582 = 0,0008 = =4,6280,4960,0582 0,002014 0,0008 Solución por el método de Gauss – Jordán:
El polinomio de 4 grados seria:
Grafica.
=⁄
8. Para la siguiente tabla obtenga el polinomio de interpolación de diferencias finitas de Newton e interpole en el punto X
0
-1
Y
-2
-4
Solución. Calculamos la tabla de diferencias finitas
0 11 3 23
2 48 3 329
Tenemos que:
∆/∇ 24 38 9
∆/∇ ∆/∇ 103 209 509
=2 =210 = 3 = 509 10=1 13 1 = 23 23 13= 13 ℎ= 13 = ℎ = 1 13 =33 Hallamos h
Hallamos s
Determinamos el polinomio de interpolación, para lo cual empleamos la formula progresiva
1 2 = 1! [1 ] 2! 3! 50 1 2 =221! 103 [1 ] 2! 9 3! =4 59 19
Ordenando el polinomio tenemos que
19 59 4 = =− 33 = 19 33 59 33 4 = 19 3 3333333 59 3 23334 = 19 27 81 8127 59 3 1894 = 19 27 19 81 19 81 19 27 59 3 59 18 59 94 =3 9 935 1044 =3 4 2 = =3 4 2 12 12 12 13=3 13 4 13 12132=3.9717 1213=3,9717 Teniendo en cuenta que inicio
Trasladando en función de x
Interpolando en el punto
, es decir
, el cual se calculó al
Conclusiones
-
Hemos entendido que el problema de la interpolación consiste en estimar el valor de una función en un punto a partir de valores conocidos en puntos cercanos. En el caso de la interpolación polinómica, la función de la variable o incógnita se sustituye por un polinomio que coincide con aquella en los puntos conocidos. Se eligen los polinomios porque son fáciles de evaluar y por el hecho fundamental de que dados n+1 puntos de abscisa distinta, (x0, y0), (x1, y1), (xn, yn), existe exactamente un polinomio Pn(x) de grado no superior a n, que pasa por dichos puntos.
-
Por ejemplo abordamos la obtención del polinomio de interpolación, el cual es el polinomio de grado menor o igual que n que pasa por n+1 puntos (xi,yi), i=0,1,...,n. Con estas condiciones se obtiene un sistema de ecuaciones lineales cuya solución es única.
-
También aprendimos que los polinomios de Lagrange permiten obtener una expresión explícita del polinomio de interpolación cuyo interés es teórico dado que, según los matemáticos estudiosos de este tema, es difícil de evaluar en puntos concretos.
-
Las diferentes fuentes nos informaron que numéricamente es más útil la forma de Newton del polinomio de interpolación, que sin embrago no tiene expresión explícita, pero su obtención es más estable que por los otros métodos, dado que su evaluación no presenta esos inconvenientes de los polinomios de Lagrange, y, sobre todo, se puede actualizar fácilmente si se añaden nuevos nodos de interpolación.
Referencias Bibliográficas Edutube (2013) Systems of Equations 1 [Video] Recuperado de http://edutube.org/es/video/systems-equations-1 Nieves, H. A. (2014). Métodos numéricos: aplicados a la ingeniería: aplicados a la ingeniería. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID =11013582&p00=m%C3%A9todos+num%C3%A9ricos+tipos+error Osses, A. (2009). Análisis numérico. Santiago de Chile, CL: Editorial ebooks Patagonia J.C. Sáez Editor. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docI D=10526605&p00=eliminaci%C3%B3n+gauss&ppg=16 D, Peiró 2011-2012 Departamento de Matemáticas Aplicada ecuaciones no lineales Universidad Politécnica de Valencia tomado de http://personales.upv.es/dginesta/docencia/posgrado/ec_nolineales.pdf V. Muto Ecuaciones de una variable: Preliminares — Cap. V CURSO DE METODOS NUMERICOS tomado de http://www.ehu.eus/~mepmufov/html/Parte2.pdf
