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CD_Trabajo_Colaborativo_2_100410_101 Momento 4: Unidad 2- Análisis de Límites y Continuidad
ERMENSON VILLAR ESTRADA_1.063.962.097 MILEIDA MONSALVE ROJAS_ SANDRA SHIRLEY ORTEGA_49787516 KELLYS SANDRID GALVIS MIRANDA_1.062.909.650 HÉCTOR ALFONSO GÓMEZ MACHADO_ 77.090.061 Grupo: 101
TUTOR FÉLIX ANTONIO GONZÁLEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA –UNAD– ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA MAYO 16 DE 2016
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INTRODUCCION
Mientras que el cálculo diferencial e integral surgió en el siglo XVII, el concepto de función vino a conocerse un siglo después, y el límite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a finales del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas o integrales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo integral. Se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito. El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. El desarrollo de la siguiente actividad tiene como objetivo a interacción de todos los miembros del grupo de trabajo; analizar y solucionar los ejercicios planteados por el Tutor (Límites y Continuidad), acompañarlos de gráficas realizadas con la aplicación Geogebra y soluciones con el editor de ecuaciones. Se analizaron los Capítulos 3 y 4 del Módulo de Calculo Diferencial para dar solución a los 12 ejercicios propuestos, y elaborar una conclusión de la aplicación de estos conceptos en las distintas carreras de los estudiantes.
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Desarrollo Fase 1
√
25−( x+ 1 ) 1. lim x →4 5−( x +1 )
2
Evaluamos el límite reemplazando a x por 1, tenemos que: 25−( 4 +1 )2 25−25 0 =¿ √ = :indeterminación 5− ( 4+1 ) √5−5 0
√
25−( x+1 )2 lim =√ ¿ x →4 5−( x +1 )
Debemos factorizar la expresión
25− ( x +1 )2 , diferencia de cuadrados perfectos,
para poder eliminar la indeterminación, así: 2 25− ( x +1 ) =[ 5−( x+1 ) ][ 5+ ( x +1 ) ] Luego:
√
2
25−( x +1 ) lim = x→4 5−( x+1 )
√
√
lim 25−( x +1 ) x→ 4
5−( x+ 1 )
2
=
√
lim [5−( x +1 ) ][ 5+ ( x +1 ) ] x→ 4
[ 5−( x +1 ) ]
¿ lim [ 5+ ( x +1 ) ]=√ 5+ ( 4 +1 )= √ 5+ ( 5 ) =√10 x→4
√
2
25−( x +1 ) lim =√10 Rta . x→4 5−( x+1 )
2. lim
x→1
x3 −2 x 2 +x x −1
Evaluamos el límite reemplazando a x por 1, tenemos que:
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lim
x→ 1
2
3
2
x −2 x + x 1 −2∗1 +1 0 = = indeterminación x−1 1−1 0
primero por Factor común Factorizamos elnumerador para eliminar laindeterminación ¿ polinomio y luego por Trinomiocuadrado perfecto x x (¿¿ 2−2 x +1) x( x−1)( x−1) =lim simplificamos x−1 x→ 1 ( x−1) ¿ lim ¿ x→ 1
¿ lim x ( x−1)=1 ( 1−1 )=0 x→ 1
lim
x→ 1
x 3−2 x2 +x =0 Rta . x−1
3. lim sin 2 x+ cos 2 x x→
π 2
Evaluamos el límite remplazando x por
lim sin2 x +cos 2 x=sin 2 x→
π 2
( π2 )+cos 2( π2 )=sin π +cos π =0+(−1)=−1
lim sin2 x +cos 2 x=−1 Rta . x→
π 2
2
4. lim
m →1
3 m −3 m−1
π 2 :
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Evaluamos el límite reemplazando a m por 1, tenemos que: 2
2
3 m −3 3∗1 −3 0 =¿ lim = =indeterminación m−1 1−1 0 m →1 lim ¿ m →1
primero por Factor común Factorizamos elnumerador para eliminar laindeterminación ¿ polinomio y luego por Diferenciade cuadrados perfectos
m 3 (¿¿ 2−1) 3(m−1)(m+1) =lim =¿ simplificamos m−1 m →1 (m−1) ¿ ¿ lim ¿ m →1
¿ lim 3 ( m+1 )=3 ( 1+1 )=6 m →1
2
3 m −3 lim =6 Rta . m →1 m−1
5. lim t →3
t 2−9 2 t −5 t +6
Evaluamos el límite reemplazando a t por 3, tenemos que: lim t→3
t 2−9 32 −9 0 = = 2 2 t −5 t+6 3 −5∗3+ 6 0
Eliminamos laindeterminación , factorizando numerador por diferencia de cuadrados
y el denominador por Trinomio de la forma
lim t→3
( t −3 ) (t +3) (t +3) 3+3 =lim = =6 ( t −3 ) (t −2) t → 3 ( t−2) 3−2
x 2−b x+ c
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lim t→3
t 2−9 =6 Rta . t 2−5 t +6
6. lim u →0
5 u3 +8 u2 3u 4 +16 u2
Evaluamos el límite reemplazando a u por 0: lim
u→0
5 u3 +8 u2 5∗03 +8 ¿ 02 0 = = :indeterminación→utilizamos factor común 3 u4 +16 u 2 3 ¿ 04 +16 ¿ 0 2 0
0 ¿ ¿ ¿ 2+16 3 ∙¿ 2 u (5 u+8) (5 u+8) 5 ∙ 0+8 =lim =¿ 2 2 2 ¿ u (3u +16) u →0 (3 u +16) 3 2 5 u + 8u lim 4 =lim ¿ 2 u→ 0 3 u + 16 u u→0
5 u3 +8 u2 1 lim 4 = Rta . 2 2 u → 0 3 u +16 u
7. lim
x →∞
5 x 2+3 x +1 2 x2 −4 x−5
Evaluamos el límite remplazando x por ∞ : 5 x 2 +3 x+1 5 x 2 +3 x+1 5∗∞ 2+3∗∞ +1 ∞ lim = 2 = = =indeterminación 2 x → ∞ 2 x −4 x−5 2 x −4 x−5 2 ¿ ∞ 2−4∗∞−5 ∞
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Para este caso revisamos el grado de los polinomios para determinar el de mayor grado. Después dividimos todos los miembros de los polinomios entre k x 2 , usamos la propiedad de los límites lim n =0, la variable con el mayor grado, así: x →∞ x
( )
2
5 x 3x 1 3 1 + 2+ 2 5+ + 2 2 2 x x 5 x +3 x+1 x x x lim =lim = lim 2 2 x → ∞ 2 x −4 x−5 x→ ∞ 2 x 4 x 5 x→ ∞ 2− 4 − 5 − − 2 2 2 x x2 x x x
¿
5+0+0 5 = 2−0−0 2
5 x 2 +3 x+1 5 lim = Rta . 2 2 x → ∞ 2 x −4 x−5
8. lim √3 x +2−x x →∞
Evaluamos el límite remplazando x por ∞: lim √ 3 x +2−x
x→∞
=
√ 3∗∞+2−∞=∞−∞=indeterminación
Aquí debemos multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión √ 3 x +2−x , el cual es: √ 3 x +2+ x lim [ √3 x +2−x ] [ √3 x+ 2+ x ]
lim √ 3 x +2−x= x →∞
x→∞
√3 x+ 2+ x
2
lim ( √ 3 x+2 ) −( x )2
= x→∞
3 x 2 x2 3 2 + 2 − 2 lim + 2 −1 2 x →∞ x x x x→∞ x x ¿ x→ ∞ = = √ 3 x +2+ x √3 x +2 + x 3x 2 1 + 4+ 2 2 4 x x x x x lim 3 x +2−x 2
lim
√
√3 x +2+ x
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lim
¿
x→ ∞
√
3 2 + −1 x x2
3 2 1 + + x3 x4 x
lim √ 3 x +2−x
x→∞
9. lim
x →∞
=
0+0−1 −1 = =−∞ √ 0+0+ 0 0
= −∞
Rta.
4 x 5−6 x 4 +3 x 2 3 x 3 +5 x 2+ 6 x
Evaluamos el límite remplazando x por ∞: 4 x 5−6 x 4 +3 x 2 4∗∞ 5−6∗∞ 4+ 3∗∞2 ∞−∞+ ∞ ∞ lim = = = =indeterminación 3 2 x → ∞ 3 x +5 x + 6 x 3∗∞3 +5∗∞ 2 +6∗∞ ∞ +∞ +∞ ∞ Para este caso, determinamos el polinomio de mayor grado. Luego, dividimos todos los miembros de los polinomios entre la variable con el mayor grado, x 5 , así: 4 x5 6 x 4 3 x 2 6 3 − 5 + 5 4− + 3 5 4 2 5 x x 4 x −6 x +3 x x x x 4−0+0 4 lim =lim = lim = = =∞ 3 2 3 2 x → ∞ 3 x +5 x + 6 x x →∞ 3 x 5 x 6 x x→ ∞ 3 + 5 + 6 0+0+ 0 0 + 5 + 5 x2 x3 x4 x5 x x
lim
x→∞
4 x 5−6 x 4 +3 x 2 =∞ Rta . 3 2 3 x +5 x + 6 x
10. lim θ →0
Sen2 θ θ
Evaluamos el límite remplazando
θ
por ∞ :
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sen 0 ¿2 ¿ ¿ Sen 2 θ lim =¿ θ θ→0
Eliminamos la indeterminación aplicando la propiedad
lim
x→ 0
sen x =1 x
lim sen θ 2 ( sen θ)( sen θ) θ → 0 Sen θ lim =lim = ∗lim senθ=1∗sen 0=1∗0=0 θ θ θ θ→0 θ →0 θ→ 0
lim
θ→0
Sen 2 θ =0 Rta . θ
11. lim
x→ 0
Sen 4 x 3x
Si evaluamos directamente , tenemos :
Sen 4 x Sen 4 x 4x lim =4 x 3x 3x x→ 0 1
lim
x→ 0
( )
, multiplicamos y dividimos por 4x para llevar a la propiedad
Senx =1 , simplificamos: x
Sen 4 x 4(1) 4 4x lim 4 = = 3 3 3 x→ 0
( )
Sen(4∗0) 0 = Indeterminación 0 3 (0)
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Sen 4 x 4 =¿ Rta . 3x 3 lim ¿ x→ 0
12. lim θ →0
Sen θ/ 2 θ
0 Sen( ) 2 0 Si evaluamos directamente , tenemos : = Indeterminación 0 ( 0)
lim Multiplicamos y dividimos el denominador por 2 para llevar a la propiedad x→ 0
Senx =1 , x
evaluamos:
lim Sen θ/2 Sen θ /2 0θ→ 0 lim = =¿ θ θ θ→0 2 2
lim
θ→0
θ Sen( ) 2 1 1 =¿ ∗( 1 )= θ 2 2 ( ) 2 1 lim ¿ 2 θ →0
()
Sen θ /2 1 = Rta . θ 2
Desarrollo Fase 2 Haciendo uso de la Aplicación Geogebra y siguiendo las indicaciones del video “Fase 2 – Trabajo Colaborativo 2”, para cada ejercicio, encontrar los valores de (a) que hace que la función a trozos sea continua.
1.
{
2
ax f ( x )= x−2 x ,∧x> 3 x ,∧x <3
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Observamos en esta función es cuando:
la imagen, continua
a=0.1
2.
{
3 a2−4 f ( x )= 4 x−7 x ,∧x >2 4 x ,∧x <2
Observamos en la imagen, esta función es continua cuando: a=1
P á g i n a | 12
3.
{
2 f ( x )= 5 ax −3 x ,∧x>−1 −5 x ,∧x <−1
Observamos en la imagen, esta función es continua cuando: a=1.6
Desarrollo Fase 3
Compilación de los escritos de Cada Miembro que participó en el desarrollo de la actividad. Kellys Sandrid Galvis: El uso de los conceptos de límite y continuidad en el análisis de fenómenos ambientales, nos ayuda a describir el comportamiento de un problema cuya variable independiente está muy próxima a un valor constante o determinado, lo cual nos puede llevar a la solución de dificultades medioambientales, por ejemplo, al estudiar un sistema de recolección y tratamiento de residuos, operar un sistema de tratamiento de aguas residuales, elaborar estudios de contaminación, diagnostico, evaluación y monitoreo de los ecosistemas. De modo que como ingeniera ambiental puedo identificar los puntos de agresión al medio ambiente o donde es máxima la concentración de contaminación, estaré entonces al tanto de las zonas más contaminadas, y proponer alternativas de solución a los problemas medioambientales. Ermenson Villar Estrada: En mi profesión como Ingeniero Ambiental, podría aplicar los límites para la elaboración de gráficas y aproximaciones para saber la cantidad de agua que consumen los habitantes de un determinado Municipio en un tiempo X y así mismo encontrar el menor
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consumo en un tiempo Y, con la finalidad de implementar programas de ahorro y uso eficiente del agua y de esta forma generar conciencia sobre el buen provecho de este preciado líquido. Mileida Monsalve: Sandra Ortega Sabogal: El uso de los límites y continuidad se utiliza para calcular los diferentes
comportamientos de un problema como por ejemplo determinar rendimiento y
producción, calcular las toneladas por hectárea, la capacidad de producción, densidades de siembra, crecimiento de las plantas cual es la capacidad del terreno, también para calcular la cantidad de plantas afectadas por fitopatologías. Saber el incremento y rendimiento del cultivo sin la adición de nutrientes y con el mismo, el nivel de fertilización que se debe utilizar para que pueda haber mejores rendimientos, se tienen en cuenta las curvas de nivel para proteger los cultivos y los terrenos de la erosión de los suelos por las lluvias, En fin en la agronomía el uso de los límites y continuidad puede decirse que son infinitos. Héctor A. Gómez: Una sólida formación en matemáticas nos capacita en la identificación y planteamiento de problemas ambientales y de las variables inherentes a ellos, propone soluciones mediante el diseño de modelos matemáticos adecuados, que sean aplicables en condiciones similares. El conocimiento de la estructura y el funcionamiento de los ecosistemas brindan herramientas para su manejo y conservación con fines de sostenibilidad. Un ingeniero ambiental deber tener la capacidad de identificar, comprender, y proponer alternativas de solución a los problemas ambientales existentes en la comunidad, usando los conocimientos científicos, tecnológicos y matemáticos; usando el desarrollo sostenible en beneficio del hombre. En este caso El Límite es usado para estudiar un sistema de recolección y tratamiento de residuos, operar un sistema de tratamiento de aguas residuales, elaborar estudios de contaminación, diagnostico, evaluación y monitoreo de los ecosistemas. Muchos problemas ambientales dependen de alguna fórmula geométrica.
CONCLUSIONES
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Se tiene claridad de que un límite describe la tendencia de una función a medida que los parámetros se acercan a determinado valor, que puede ser un hueco o discontinuidad, que podemos redefinir en el supuesto de un proceso continuo sin interrupciones ni cambios desiguales.
Los límites son importantes en la ingeniería y las ciencias económicas porque nos ayudan a resolver y dar solución de una manera eficaz los problemas o dificultades que se nos presentan en el ejercicio de nuestra profesión en donde se haga necesaria la utilización de la misma.
P á g i n a | 15 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Guía de Actividades Momento 4. (2016) Recuperado http://campus06.unad.edu.co/ecbti05/pluginfile.php/35431/mod_forum/intro/Gui%CC%80a %20Trabajo%20Colaborativo%20No%202.%20CD%202016_1601_2_1.pdf
de:
MORA Ana Julia, (2009). Santillana. Guía del Docente Calculo. Bogotá. 34 Pág. Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad I. Pág. 39 - 85. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/4806 RUEDA LA ROTA, Fernando (2007). Santillana. Nuevas Matemáticas: Algebra, Geometría y Estadísticas. Bogotá.219- 222.Pág.
