Solución de ejercicio propuesto Espiral Logarítmica Spira Mirabilis
Presentado por. IVON SUNAME DIAZ PALACIO JOHN EDINSON CIBO ALFAREZ FRANCISCO JAVIER MORENO ROMERO JOHN ALEJANDRO GOMEZ GARZON OSCAR JAVIER MUNOZ MARTINEZ
PRESENTADO A Diego Arévalo INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS CALCULO BOGOTÁ D.C. 2018
Ejercicio La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma
Donde a y b son números reales positivos.
Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad: 1. Muestre que la magnitud de la curva.
De acuerdo a esto decimos que:
2. Muestre que el vector tangente a la curva es.
3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión
La rapidez está dada por
4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión
Teniendo en cuenta que:
Por definición de producto que se tiene entre vectores tenemos lo siguiente:
Por tanto, si el angulo entre los vectores:
Es continua en su dominio
Podemos concluir que la línea radial y tangencial son perpendiculares.
Podemos observar a partir de este resultado que la línea radial y tangencial son paralelas.
7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo) Es una curva espiral logarítmica que aparece frecuentemente en la naturaleza. Su nombre proviene de la expresión de una de sus ecuaciones. Jakob Bernoulli dedico un libro que llamo Spira Mirabilis, que quiere decir espiral maravillosa. De acuerdo a sus características cualquier línea recta al origen cortará a la espiral logarítmica con el mismo ángulo α, que pued e calcularse (en radianes) como arctan(1/ln(b)). El grado de la espiral es el ángulo (constante) que la espiral posee con circunferencias centradas en el origen. Puede calcularse como arctan(ln (b)). Una espiral logarítmica de grado 0 (b = 0) es una circunferencia; el caso límite es una espiral logarítmica de grado 90 (b = 0 o b = ∞) es una línea recta desde el origen.
