227
TORSION DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
El primer análisis correcto del efecto de la torsión en barras prismáticas de sección transversal transversal no circular fue presentado por Saint Venant Venant en en 1855. Los resultados del del estud estudio io de Saint Saint Venant nant indica indican n que, que, en genera general, l, con con ecep ecepci ción ón de
los
miembros con secciones transversales circulares, toda sección se alabeará ! por lo tanto no permanecerá plana cuando la barra se tuer"a. El tratamiento matemático de este tipo de problema está más allá del alcance de este teto, sin embargo la aplicación de las fórmulas obtenidas es de muc#a utilidad practica para el cálculo de los valores máimos de esfuer"os ! ángulos de torsión$ por lo que indicaremos resultados obtenidos de la teoría matemática de la para algunas barras rectas con sección no circular. elasticidad para
Figura 4.9
Para una barra cuadrada sometid sometida a a torsión, torsión, conside consideran rando do un ra"onami ra"onamient ento o simi simila larr al que que se #i"o #i"o para para barr barras as circ circul ular ares es,, podr podr%a %a demo demost stra rars rse e que que las las diagonales diagonales de la sección de la barra ! las l%neas l%neas que unen los puntos puntos medios de de los lados permanecen rectos. Sin embargo debido a la simetr%a aial de la barra, cualquier otra l%nea de la sección cambia de forma cuando la barra es torsionada !
228
la sección transversal misma se saldrá de su propio plano. &oncluimos entonces que las secciones no circulares se alabean cuando soportan cargas de torsión. 'or consiguiente las deformaciones por cortante no var%an linealmente a partir del e(e central. En particular, en un elemento c)bico peque*o locali"ado en una esquina de la sección transversal de una barra cuadrada sometida a torsión como el que se indica en la figura +.1$ puesto que la cara del elemento perpendicular al e(e Y es parte de la superficie libre de la barra, todos los esfuer"os en dic#a cara deben ser nulos. -s%, refirindonos al cubo separado escribimos/ τ zx = 0 , τ zy = 0
τ yx = 0
τ yz = 0
'or lo tanto, no #a! esfuer"os cortantes en las esquinas de la sección transversal de la barra. Esto se verifica fácilmente torciendo un modelo de cauc#o. Se observa que no ocurren esfuer"os a lo largo de las aristas de la barra en tanto que las ma!ores deformaciones !$ por consiguiente los grandes esfuer"os, ocurren a lo largo de la l%nea central de cada una de las caras de la barra.
Figura 4.10 'resentamos a continuación, resultados obtenidos de la teoría matemática de la
elasticidad para barras rectas con sección rectangular uniforme . 0esignando con L la longitud de la barra$ ! con a ! b respectivamente el lado más anc#o ! el más angosto de la sección transversal ! por el momento de torsión aplicado a la barra, encontramos que el máximo esfuero cortante ocurre a lo
229
largo de la línea central de la cara mas anc!a de la barra ! está dado por la fórmula/ τ máx
T
=
C 1 a b
2+.113
2
φ =
! el ángulo de torsión, por/
TL C 2 a b3 G
2+.143
Los coeficientes & 1 ! & 4 dependen )nicamente de la ra"ón ab ! se indican en la
"abla 4.1. Las ecuaciones +.11 ! +.14 son válidas )nicamente en el intervalo elástico. "#$%# 4.1 &'(F)&)(*"(S P#+# $#++#S +(&"#*,-%#+(S # "'+S)'* ab
&1
1. 1.4 1.5 4. 4.5 . +. 5. 1.
.48 .417 .41 .4+6 .458 .469 .484 .471 .14 .
∞
&4
1
.1+6 .1661 .1758 .447 .4+7 .46 .481 .471 .14 .
1 τ m a
b
L
a
#*#%',)# ( %# /(/$+#*# :na membrana elástica #omognea unida a un marco r%gido del mismo contorno que la pie"a de análisis solicitada a torsión$ ! sometida a una presión uniforme interna constitu!e un análogo de la barra a torsión. Es decir, la determinación de la deformación de la membrana depende de la solución de la misma ecuación diferencial parcial que la determinación de los esfuer"os cortantes en la barra. -s% refirindonos a la figura +.11, si ; es un punto de la sección transversal de la barra, ! ;< el punto correspondiente de la membrana$ el esfuer"o cortante
τ
en ; tendrá la misma dirección que la tangente
#ori"ontal a la membrana en ;< ! su magnitud será proporcional a la máima pendiente de la membrana en ;< 2esta es la pendiente medida en una dirección perpendicular a la tangente #ori"ontal en ;<3. -demás el momento de torsión aplicado será proporcional al volumen entre la membrana ! el plano del marco fi(o. τ = k 1 x mmáx
T = k 2 xVol
230
En el caso de la membrana de la figura +.7, que está unida a un marco rectangular, la ma!or de las pendientes máimas ocurre en el punto medio =< del lado ma!or del marco. -s% verificamos que el máimo esfuer"o cortante en una barra de sección rectangular ocurrirá en el punto medio * del lado mas largo de la sección.
>igura +.11.
La analog%a de la membrana puede utili"arse con igual efectividad para visuali"ar los esfuer"os cortantes en cualquier barra recta con sección uniforme no circular. - continuación se indican resultados correspondientes a otras formas de sección de uso práctico .
S(&&)* (%)P")&#/ El esfuer"o cortante máimo act)a en los etremos del e(e menor ! viene dado por la relación/ τ máx =
16 T
π b 2 h
(4.14)
El ángulo de torsión, φ =
4π 2T J x L
G x A 4
( 4.15)
231
donde/
J = A =
π
(bh3
64 π b h
+ hb3 )
4
#
b
"+)#*,-%' (-)%#"(+'. El esfuer"o cortante máimo act)a en el centro de los lados 2puntos ?m@ de la figura3/ τ máx
=
20 T
(4.16)
b3
El ángulo de torsión,
#
m
m
m
b
T x L
46.2 x TL φ = = 4 0.6 xJG b G
(4.17)
2(3#,'*' +(,-%#+. τ máx =
T 0.217 x A d
φ =
T x L
(4.18)
2
0.13 xA d G
donde ?d@ es el diámetro del c%rculo inscrito ! - el área de la sección.
'&"','*' +(,-%#+ / τ máx =
T 0.223 x A d
φ =
T x L 2
(4.18)
0.13 xAd G
0onde - ! d significan lo indicado para el #eágono.
"+#P(&)'/ En el caso de un trapecio isósceles pueden obtenerse unos valores aproimados apara el esfuer"o cortante máimo ! el ángulo de
232
torsión reempla"ando el trapecio por un rectángulo eui5alente, obtenido como se indica con l%nea punteada en la figura +.1. 0esde el &.A. del trapecio se tra"an las perpendiculares B& ! &0 a los lados
B
0 &
laterales ! despus se tra"an las verticales
2&.A.3
que pasan por B ! 0. Las ecuaciones dadas para sección rectangular dan aproimadamente los valores de τ máx ! φ correspondientes al trapecio de la figura +.11
Para cualuier e6e macio , se obtiene valor aproimado del ángulo de torsión reempla"ando la sección por otra el%ptica ?equivalente@ de la misma área # ! del mismo momento polar de inercia J . 'or consiguiente el valor aproimado de φ viene dado por/
φ =
4π x T xL xJ G xA4
( 4.20)
P+'$%(/# 4.17 La barra empotrada mostrada en la figura es de aluminio 661C "8 ! tiene una sección transversal en forma de triángulo equilátero. 0etermine el par de torsión " mas grande que puede aplicarse al etremo de la barra si el esfuer"o cortante permisible es
τ perm = 8 ksi !
el ángulo de
torsión máimo permitido en su etremo es de .4 rad. Dqu par de torsión puede aplicarse a una flec#a de sección circular #ec#a con la misma cantidad de material
233
+ p i e s
-
F 6 ,
u l g , p 1 5
S'%-&)* El par de reacción en el empotramiento / T A = T El diagrama de momento torsor nos indica que el par de torsión interno en cualquier sección transversal a lo largo del e(e de la flec#a es constante e igual a .
-
1 0G1 2lbCpul3
&on las fórmulas 2+.163 ! 2+.193 para τ máx ! τ perm =
20 T
;
3
b
3
20 T
2
8(10 ) lb / pu lg =
φ /
(1,5 pul )
3
T = 1 350 lb − pu lg
ambin, φ perm
=
46 T L 4
b Gal
0.02 rad =
T = 170 lb − pu lg
46 T ( 4 pies )(12 pu lg/ pie)
(1.5 pu lg ) 4 [3.7(106 )lb / pu lg2 ]
Rpta.
'or comparación, se ve que el par de torsión a considerar es regido por el ángulo de torsión permisible.
⇒
" H 19 lb-pulg
234
Sección trans5ersal circular .
Si se va #a usar la misma cantidad de
aluminio para una flec#a de igual longitud con sección transversal circular, el radio de sta lo obtenemos de/ π 4
d 2
=
1 2
⇒
(1,5) x(1,5 sen 60º )
Esfuer"o permisible/
τ Máx
d = 1,14 pu lg
=
16T 3
π d
⇒
3
8 x10
=
16 T
π (1,14)
3
0e donde " H 4 19 lbCpulg φ perm
=
TL J Gal
⇒
0,02 rad =
T (4 x12) 4
6
(π / 32)(1,114) (3,7 x10 )
0e donde " H 4 lbCpulg =uevamente, el torque por ángulo de torsión es el considerado. =ótese que el e(e con sección circular puede soportar un torque 9I ma!or que el que soporta el e(e con sección triangular TORSION EN TUBOS DE PARED DELGADA
En el caso de tubos de pared delgada sometidos a carga de torsión se obtiene una buena aproimación de la distribución de esfuer"os por análisis directo ! simple, aplicando las condiciones de equilibrio. &onsideremos un árbol #ueco de sección no circular sometido a un momento torsor 2figura +.143. Separemos un elemento #$ de la pared ! tracemos su .&.%.
235
1
∆ K
B
t
B
tB
> B
∆S
J
-
∆ > -
J
t -
" 1
Figura 4.17 &ondiciones de equilibrio del elemento diferencial/
∑ X = 0
⇒ A = B
(4.21)
Las fuer"as son el producto del esfuer"o promedio por el área donde act)an/ A
=τ A x (t A x ∆ X ) ;
⇒
τ A x t A = τ B x t B
B
=τ B x (t B x ∆X )
( 4.22)
&omo el elemento -B fue escogido arbitrariamente, la ecuación 2+.443 epresa que el producto del esfuer"o cortante longitudinal τ ! del espesor t de la pared es constante. 0esignando por este producto, se tiene / ! = τ x t
2constante3
2+.43
=o #abiendo componente ortogonal del esfuer"o cortante a las caras superior e inferior de este elemento, las mismas que son parte de la superficie libre$ tanto interna como eterna, los esfuer"os en estas caras son nulos. Se sigue que las componentes del esfuer"o cortante en las otras caras en la dirección indicada por l%neas punteadas son tambin nulas.
236
t
∆
Figura 4.13
0ebemos notar la analog%a eistente
ra"ón, al producto τ x t lo
entre la distribución de esfuer"os
denominaremos flujo de corte
cortantes τ en la sección transversal de un tubo de pared delgada ! la distribución de velocidades ?v@ del t
agua que flu!e a travs de un canal q H τ t
cerrado de altura unitaria ! anc#o variable. Si la velocidad v del agua var%a de un punto a otro debido a la variación del anc#o ?b@ del canal, la ra"ón de flu(o / ; H v b permanece constante a travs del canal, tal como τ
t en la ecuación 2+.43. 'or esta
>igura +.1+
- continuación deduciremos una relación entre el momento torsor " ! el flu(o de corte ! en la pared del árbol #ueco. &onsideremos un peque*o elemento de la sección de la pared de longitud
ds figura +.153/
ρ
dS
t
d>
L
237
>igura +.15
d = τ dA = τ (tds)
⇒
d = ! ds
El momento de esta fuer"a con respecto a un punto arbitrario ?o@ dentro de la cavidad del elemento se obtiene multiplicando dF por la distancia ρ desde ?o@ a la l%nea de acción de dF . dM o
= ρ x d = ρ (!ds) = !( ρ ds)
ρ
L
dS
d-M d>
-M
>igura +.16.
En la figura +.16 se observa que/ ρ ds = 2(dA) 0onde d- M es el área del triángulo sombreado de la figura 2+.173 ⇒
dM o = ! x 2dA
Segunda condición de equilibrio/ T = T = 2! ∫ dA
∫ dM o ⇒
∑ M o = 0
= ∫ ! x 2 dA
T = 2!A
(4.24)
donde -M es el área incluida dentro de la l%nea central de la sección transversal de la pared, ! se le denomina como área media. 2figura +.163.
0espe(ando de esta epresión ! reempla"ando en la ecuación +.4,
obtenemos para los esfuer"os cortantes/
τ =
T
(4.25)
2t x A
El ángulo de torsión de un árbol #ueco de pared delgada, puede obtenerse usando el mtodo de energ%a/ φ =
TL
ds
∫ t 4 A G
( 4.26)
donde la integral se calcula a lo largo de la l%nea central de la sección de la pared.
P+'$%(/# 4.1: 0eterminar el valor máimo momento torsor ;"< que se puede aplicar al con(unto de barras, de tal manera que no se produ"can giros ma!ores que .45 radianes ! que no se sobrepase el esfuer"o cortante admisible de 1 200 k#$ / "m2 .
ómese
G = 800 k#$ / "m2
4
+
, , 4
E
0 -
B 45,
& 45,
1,,,
1,,,
, 1 H t Sección -&
:nidades en mm
%&L'C()*+ ra"amos el &% del elemento.
1 -
41
+1 1E
1 0 B
&
E
, 5
Sección &E
Ecuación de equilibrio/
T A + T , = 7 T
(1)
Las secciones - ! e permanecen fi(as$ por tanto el ángulo de torsión de la sección e respecto a la sección - es nulo. φ , / A = 0 φ , / A = 0 = φ C / A + φ - / C + φ , / -
( 2)
El ángulo de torsión para la sección rectangular #ueca de pared delgada lo evaluamos por la ecuación/
T L
φC A/ = ∑ 2 ∫d s 4 G A( )
&omo el espesor t es constante/
L AT B L(− AT B+ ) C φ AC/ = 2∫ds+ 2 ∫ds (3) AG( 4 )t AG( 4 )
T A (− AT+ ) φ AC/ = 2 ds+ 2 ds (3−a) AG( 4 )t AG( 4 )
∫∫
L AB L BC ∫ d s = per.metro de A
En este caso tenemos/
∫ d s = 2(10 + 20) = 60 "m. A = 10 × 20 = 200 "m 2
Luego/
( )2
4 G A∗ t
L AB
=
( )2
4 G A∗ t
L BC
2
=
4 × 800( 200) × 1 25
= 512 × 104
Neempla"ando valores en 2Ca3/ φ A / "
=
60 515 ×10
4
( 2 T A − T )
( 4)
'ara el tramo de barra con sección circular 2maci"a3 φ - / C =
( − 3 T + T A ) LC J C-G
J C- = J -, = J C-GC LCφ C / - =
=
π - 4
32 J -, G -, L -,
, φ - =
( − 7 T + T A ) L -, J -, G
,
= =
π
( 5) 4 ; J C- = J -, = 100 "m y G = 800
32 625 π × 800 32 × 100
=
625 π 4
T A − 3 T T − 7 T ∧ φ - / , = A 625 π 625 π 4
4
Sustitu!endo las relaciones 2+3 ! 253 en 23
( 5)
/# "m
2
60 512 × 10
( 2 T A − T ) + 4
4 625 π
( T A − 3 T + T A − 7 T ) = 0
60 4 × 10 + 4 625 π 512 10 × = 4.974 T T A = 120 8 + 4 625 π 512 × 10 ⇒ T A ≅ 5 T ; y de (1) ! T , = 2 T T
0e acuerdo a este resultado/ φ C / A
=
φ C / , φ A
C
4 625 π
60(2 x5T − T 4
512 x10
4
( 2 T A − 10 T ) =
625 π
=
54 3
512 x10
(10 T − 10 T ) = 0
= φ máx. φ máx ≤ 0.025 rad .
'or condición del problema/
⇒
=
54 512 000
T = 0.025
→
T ≅ 237 k#$ − "m
0ebemos verificar tambin la condición de [τ adm ] 'ara la sección rectangular #ueca/ τ máx
=
τ máx
=
T A
en el tramo -B
∗
2 t A
5 T 2 1 200
≤ 1 200 = [τ A-M ] ⇒
T = 96 000 k#$ − "m
'ara sección circular/ τ máx
=
16 T
π d 3
16 ( T A − 3 T ) 3
π d
≤ [τ A-M ] =
16 T
π d 3
= 1 200 ⇒
T = 29 452.43 k#$ − "m
'or lo tanto el torque T que puede aplicarse es.
T = 237 k#$ − "m
P+'$%(/# 4.14 El sistema está formado por una barra #& de sección circular ! dos/
tubos $& = &. Los tres elementos están unidos a una planc#a r%gida
1- H 8, OgfCm
en & ! el tubo B& está empotrado -
en su etremo B. 0etermine m 5 . ,
a3 El torsor " para que no se
B
ecedan los esfuer"os máimos m 6 . ,
en cada material.
&
b3 El valor de " para que el giro φ A
=0
c3 El valor de " para que el giro φ -
m 5 . 1
=0 0
10
'lanc#a
%&L'C(0* 0&L del con(unto/
" $ es la reacción en el empotramiento $
- H 8, OgfCm
0
&
B B
0
-
,.5 m
Equilibrio/
,.6 m
1.5 m
T B = T - − T A
a3 ra"amos los diagramas de momento torsor Gáimo valor de " para que no fallen los materiales/ En el tubo &$ el esfuer"o cortante máimo/
τ =
(T - ) 4 ≤ 420 x10 π 2 x(0.008) x( (0.142 2 ) 4
⇒
T - = 1064.23 k#$ − m
0
&
B B
0 -
1.5 m
,.6 m
0 0G B - H 8, OgfCm &
-
-
En el tubo $& , el esfuer"o cortante máimo τ =
(T - − T A ) 4 ≤ 600 x10 π 2 x (0.005) x ( (0.0952 ) 4
∴
el valor máimo para el torque " es/ τ =
En el e(e #& act)a -/ τ Máx
⇒ T - = 80 + 425.40 = 505.40 k#$ − m
16(T A )
π (0.05)3
T -
= 505,40 k#$ − m
= 40 743.665T A
= 3259 493.23 k#$ / m2 = 325.95 k#$ / "m2
b3 'ara que se cumpla φ A
= 0 , implica que/
80 x1,1 (
π 32
(T -
=
4
9
x0.05 ) x(8,4 x10 )
φ A / B = 0
4(
π 4
⇒ φ A / C + φ C / B = 0
− 80) x0.6
(
2 2
π x 0,095
9
x 0,095 ) x(3,5 x10 )
0,005
)
" H8P5, H +15, >gf?m c3 'ara que se cumpla φ - = 0 , implica que/ φ - / C = φ C / B T - x1,5 4(
π 4
2 2
9
x0,142 ) x( 2,8 x10 ) T -
=
80 0.123
π x 0,142 = 0.008
(T -
x
= 650,4 k#$ − m
'NBLEG-S 'N':ESS.
4(
π 4
− 80) x0,6 2 2
( 9
x0,095 ) x(3,5 x10 )
π x 0,095 0,005
)
'.'. +.C
El tubo de acero tiene una sección transversal el%ptica con las
dimensiones medias mostradas ! un espesor constante t H .4 pulg. Si el esfuer"o cortante permisible es τ perm = 8 ksi ! el tubo dene resistir un par de torsión H 45 lbC @ie,
