INTRODUCCION A LA TORSION EN BARRAS DE SECCIONES CIRCULARES En ingeniería, En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento un momento sobre el eje el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma o prisma mecánico, como mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza p ieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él. El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos: 1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección. 2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.
DEFORMACIÓN POR TORSIÓN DE UN EJE CIRCULAR El par de torsión es un momento que tiende a torcer un elemento sobre su eje
longitudinal. impo rtancia en el diseño de ejes e jes o árboles de transmisión Su efecto es de gran importancia utilizados en vehículos y maquinarias. Observe que:
La torsión ocasiona que los círculos se conserven como círculos y que cada línea longitudinal de la cuadrícula se deforme en una hélice que interseca los círculos en ángulos iguales.
Las secciones transversales de los extremos a lo largo del eje seguirán siendo planas.
Las líneas radiales se conservan rectas durante la deformación
Fórmula de la Torsión
Cuando un par de torsión externo se aplica sobre un eje, éste genera un par de torsióncorrespondiente. Si el material es elástico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke.
En consecuencia cualquier variación lineal en la deformación cortante conducirá a una correspondiente variación lineal en el esfuerzo cortante a lo largo de cualquier línea radial ubicada en la sección transversal. Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección transversal en función de la posición radial ρ del elemento.
Ahora es posible aplicar la condición de que el par de torsión producido por la distribución de esfuerzos sobre toda la sección transversal sea equivalente al par de torsión interno resultante T en la sección, lo cual mantendrá al eje en equilibrio.
ESFUERZO Y DEFORMACION DE BARRAS CIRCULARES Consideremos un eje circular unido a un soporte fijo en el extremo como se muestra en la figura. Si se aplica un torque T en el otro extremo, el eje quedas sometido a torsión y su extremo libre rota un ángulo ϕ llamado ángulo de torsión. Dentro de los ciertos límites en ángulo es proporcional a T al igual que a la longitud L del eje. El ángulo detorsión para un eje del mismo material y la misma sección, pero de longitud doble, se duplicara bajo el mismo torque T.Cuando se somete a torsión un eje circular, toda sección transversal permanece plana es decir mientras las diferentes secciones transversales a lo largo del eje rotan diferentes cantidades, toda sección lo hace como una losa rígida. El hecho de que las secciones de un eje circular permanezcan planas se debe a su simetría axial. Considérese los puntos c y d situados en la circunferencia de la sección transversal del eje y sean c`y d` sus posiciones después que el eje ha sido sometido a torsión. La simetría axial del eje y de la carga requieren que la rotación que hubiera llevado la debe ahora llevar d`a c`. Así c`y d`deben estar en una circunferencia y el arco c`, d`debe ser igual a cd . Todas las secciones están sometidas a al mismo torque T y un observador que mire el eje desde A concluida la carga hace que cualquier circulo dibujado en el eje se aleje de el. Se pondrá un observador en B para quien las cargas dadas parecen lo mismo (uno en dirección
de las manecillas del reloj en la parte delantera y otro en dirección contraria a las agujas en la parte posterior, llegara a la conclusión opuesta es decir que el circulo se mueva hacia el. Ahora se determina la distribución de deformaciones cortantes en el eje circular de longitud L y radio c que se ha sometido a torsión en un ángulo ϕ. Extrayendo del eje un cilindro de radio r considérese el pequ eño elemento cuadrado formado por 2 círculos adyacentes y 2 rectas adyacentes trazadas en la superficie del cilindro después de aplicar cualquier carga. Como se somete el eje a un torque el elemento se transforma en un rombo. Como los círculos que definen 2 de los lados del elemento considerado aquí permanecen constantes la deformación adyacente ϓ debe ser igual al angulo entre las líneas AB y A`B. Para valores pequeños de ϓ debe expresarse la longitud de arco AA`como AA`= Lϓ. Pero por parte AA`=ƥ*ϕ o ϓ= ƥϕ/L
Donde ϓ y ϕ están expresados en radianes. La ecuación obtenida muestra que, como pudo haberse anticipado, la deformación constante ϓ en un punto dado de un eje sometido a torsión es proporcional al ángulo de torsión ϕ. También muestra que ϓ es proporcional a la distancia ƥ de el eje hasta el punto considerado. Así la la deformación constante en el eje circular varia linealmente con la distancia al centro del eje.Se sigue que la deformación cortante es en la superficie del eje, donde ƥ=ϲ. Se tiene: ϓmax= cϕ/L eliminando ϕ de las ecuaciones puede expresarse la deformación cortante ϓ a una distancia ƥ del eje como: ϓ= ƥ/c(ϓmax)
ESFUERZO Y DEFORMACION EN EJES Deformación En un eje circular sometido a torsión, toda sección transversal permanece plana y sin distorsión. Por lo tanto, para la deformación cortante en un elemento pequeño con lados paralelos y perpendiculares al eje de la flecha y a una distancia ρ del eje:
=
La deformación a cortante en una flecha circular varía linealmente con la distancia desde el eje de la flecha. La deformación es máxima en la superficie del eje, donde ρ es igual al radio c del eje.
=
=
Esfuerzos Cortantes en el Rango Elástico Dentro del rango elástico, el esfuerzo cortante τ en una flecha circular también varía linealmente con la distancia desde el eje de la flecha.
=
τ=Gγ
Para la torsión elástica:
=
=
Para un eje sólido = 4 y para un eje hueco de radio interior r 1 y radio exterior r 2:
=
(4
4 )
POTENCIA Las principales especificaciones que deben cumplirse en el diseño de un eje de transmisión son la potencia que se va transmitir y la velocidad de rotación del eje. Para determinar el torque en el eje recuérdese que en dinámica elemental la potencia P asociada con la rotación de un cuerpo rigido sometido a un torque T es: = donde ω es la velocidad angular en radianes por segundo. Pero ω=rf donde f es la frecuencia de la rotación es decir el numero de revoluciones por segundo. La unidad de frecuencia es − y se lee en hertz (Hz).sustituyendo a ω en la siguiente ecuación se obtiene :
= 2 Si se usan unidades SI verifíquese que con f en Hz y T en N*m la potencia queda en N*m/s es decir en vatios (W). resolviendo la ecuación para T se obtiene el torque ejercido sobre el eje que transmite una potencia P a una frecuencia de rotación f. = / Donde P, f y T están expresadas en las unidades indicadas anteriormente. Después de haber determinado el torque T que se aplicara al eje habiendo elegido el material por utilizar el diseñador llevara los torques de T y del máximo esfuerzo admisible a la ecuación elástica .despejando a J/c
= /Ʈ
Y se obtiene asi el mismo valor admisible para el parámetro J/c verifíquese que si se usan unidades SI, Testara en N*m, Ʈmax en pa( N/M) y J/c estará en 3 . Cuando se usan unidades americanas la frecuencia esta dada en rpm y la poten cia en caballos (hp). Es entonces necesario expresar la frecuencia en revoluciones por segundo8hertz) y la potencia en pies*lb/s o pulg*lb/s mediante el uso de las relaciones siguientes :
1 =
1 60 −
=
1 60
1 hp=550lb*pies/s=6600lb*pulg/s Si expresamos la potencia en pulg*lb/s la ecuación dará el valor del torque T en lb*pulg. Llevando este valor de T a la ecuación expresando Ʈmax en psi, se obtiene el valor del parámetro J/c en .
ESFUERZO Y DEFORMACION EN BARRAS NO CIRCULARES Una barra cuadrada retiene la misma apariencia solo si se rota 9 0º o 180º. Siguiendo una línea de razonamiento similar a las usadas en la sección 3.3 se podría demostrar que las diagonales de la sección cuadrada de la barra y las líneas que unen los puntos medios de los lados de esa sección permanecen rectos. Considérese un pequeño elemento cubico en la esquina de una sección transversal de una barra cuadrada sometida a torsión y elíjanse los ejes coordenados paralelos a los ejes del elemento. Como la cara del elemento perpendicular al eje y es parte de la superficie de la barra todos los esfuerzos en esa cara deben ser 0 refiriéndose a la figura 3.45 se escribe: Ʈyx=0 Ʈyz= 0 y Por la misma razón todos los esfuerzos en la cara del elemento perpendicular al eje z deben Ʈzy=0 ser 0 y se tiene:Ʈzx=0 y De la primera ecuación se desprende que: Ʈxy=0
y
Ʈxz=0
De modo que ambas componentes del esfuerzo cortante en la cara del elemento perpendicular al eje de la barra son nulas. Si se somete a torsión un modelo de caucho de barra cuadrada se verifica fácilmente que a lo largo de los filos de la barra no ocurren deformaciones y por tanto tampoco esfuerzos , mientras que las deformaciones y esfuerzos máximos ocurren a lo largo de la línea central de cada cara de la barra. Llamando L la longitud de la barra a y b el lado mas ancho y el mas angosto, respectivamente , de la sección transversal, T la magnitud de los torques aplicados a la barra , se tiene que el esfuerzo cortante máximo ocurre a lo largo de la línea central de la cra mas ancha de la barra y es igual a:
Ʈ =
de otro lado el angulo de torsión puede expresarse como:
=
3
Los coeficientes dependen solo de la relación a/by se presenta en la tabla 3.1 para valores de dicha relación. Note que la ecuaciones son validas solo dentro del rango elástico.
Tala 3.1 coeficientes para barras rectangulares sometidas a torsión Nótese en la tabla 3.1 que para a/b≥ 5 los coeficientes c1 y c2son iguales . puede demostrarse que para tales valores de a/b se tiene C1=c2=1/3(1-0.630b/a (para a/b≥5 solamente) La distribución de esfuerzos cortantes en un elemento no circular puede visualizarse más fácilmente mediante la analogía de la membrana. Una membrana homogénea y elástica unida a un marco fijo sometida a presión uniforme en uno de sus lados constituye un caso análogo
de la barra de torsión es decir la determinación de la deformación de la membrana depende de la solución de la misma ecuación diferencial parcial como la determinación de los esfuerzos cortantes en la barra más específicamente si Q es un punto de la sección transversal de la barra y Q`el punto correspondiente de la membrana El esfuerzo cortante Ʈ en Q tendrá la misma dirección que la tangente horizontal a la membrana en Q` y su magnitud será proporcional a la máxima pendiente de la membrana en Q`.
