Teoria de Exponentes Cepu Apumgal

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA

TEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONES EXPONENCIALES Y VALOR NUMÉRICO TEORÍA DE EXPONENTES

[(

 am  

La teoría de exponentes tiene por finalidad estudiar todas las clases de exponentes que existen entre ellos, mediante leyes.

)

1. Producto de Bases Iguales

am = a n

10. Raíz de un producto

n a m .a n = a m+

n

2. Cocientes de Bases iguales

ab

n

3. Potencia de un Producto

a na = b nb

12. Potencia de radical

=a n .b n

(

4. Potencia de cociente

n

am

m n

5. Potencia negativa de un cociente b  =  a

donde a

n

a =mn a

1 an

r

s

a =mnrs

a

14. Introducción de un factor a un radical

≠0

8. Potencia de potencia m

=n a mp

OBS: m n

7. Exponente negativo

(a )

p

n

6. Exponente cero

a −n =

)

13. Radical de radical

n

an a   = n b b  

a 0 =1

=n a .n b

11. Raíz de un cociente

am = a m−n an

a   b 

mnrs

m n

−n

s

9. Raíz de una potencia

LEYES DE EXPONENTES

(ab )n

]  =a

n r

n n a m .n b = a mn .n b = a mn b

ECUACIONES EXPONENCIALES Son ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia, pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solución se debe tener cuenta: • Por igualdad de bases:

=a m.n

ax = ay ⇒ •

x =y

Igualdad en el exponente: Si x ≠ 0 ax = bx ⇒ Nota: no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se obtengan fuera a = b

OBS:

~ 53 ~

Si x ≠ 0, x ≠ 1

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA del conjunto de los números reales. •

0,04 =

Igualdad Base y Exponente

a a = x x =>

Si a ≠ 0, a

a =x

≠1

4 1 1 = = 2 = 5 −2 100 25 5

(5 −1 ) x −0.5

=>

5.5

1 2

= (5 −2 ) x −1

PROBLEMAS:

5 −x +0.5 = 5 −2 x +2 51,5

1. REDUCIR:

R =a

2 a +1 a +2

4 4

A) 2 B) -2

a

5 −x +0 , 5

E) 0

−2 x +2

x=3 Rpta. ( c )

Sol:

2 a +1

R =a

a +2

a +2

2

A) 2n

2 2+a

2 a.2 a a = 2 =2 2

22 3

4 4

B) 2n+1

C) 3n-1

=3

R=

2 n.2 4 − 2.2 n 2. 2 n.2 3

R=

2 n ( 2 4 − 2) 2. 2 n.2 3

Rpta ( a )

4 4 4 = 3 = =2 4x2 8 2

R=

16 − 2 16

R=

14 16 R=

2. RESOLVER:

(0,2) x −0 ,5 = (0,04 ) x −1 5 5 B) 2

C) 3

D) 7/8

E) N.A.

Sol:

a +2 a +2

Nota: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simplificar por Ejemplo: Si: a = 1

R =1

2 n +4 − 2(2 n ) 2( 2 n +3 )

R=

2 a +1

R=a

R =a

2 2.2

3. SIMPLIFICAR: 2a 2

2 a +1

R =a

A) 1

−1, 5

= 5 x – 1 = – 2x + 2

C) 1 D) –1

D) 4

x x = 1 x 22

4. RESOLVER:

E) 5

Sol:

Sol:Transformando

1 x x =  2  x

0,2 =

7 8

2 1 = = 5 −1 10 5

2

1

 1 2 x x =  4  x

~ 54 ~

. 2

Rpta. ( d )

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA .

2 4

.

2 4

1  x x =  4  x

1  x x =  4  x

Rpta ( d ) 7. Calcular el valor numérico de:

1 2

.

1  x x =  4  x

1

(625 ) 4 = 4 625 = 5

 ab + ba  E =  b1 + a 1+b  + b a   a 1− a

1 1 . 2 2

1  

 1  4  x x = 4  x

1

 1 4  

A) 16

.

 1  4  x x =  4  x

=>

x=

1−b

2

para ab = 2 y

B) 14

C) 8

1 4

Rpta ( c )

elevar 18 para obtener:

 a b.b + b a.a E =  b.b a b + b a .a  a −a

54

2

−b

2

 -1  sabemos que 0,5 =2 

 ( a b ) b + (b a ) a  E =  b ba a ab   (a ) + (b )  −a

B) 3/4

C) 1/2

D) 4/3

E) 2/5

Sol:

18x =

( 3 .2 ) 2

x

54

2

= 32.2 2

 3 32 32 x.2 x = 3 .2  3 2

3 .2 = 3 .2 2x

x=

x

−b

1  b b1a  a ab ( a ) + (b )  E =  b ba  (a ) + (b a ) a b   

Sea el exponente: x



   

3 4

1 −   2 2 2 + 2  E= 1  −  −2 2  2 + 2 

6. Hallar el valor de: 2 n +1

2 B) 125

2

2n

22

C) 625

( 625 ) 8 D) 5

1   4 + 2  E=   2+1  4 

2n

E) 1

Sol: n +1 n   2 2 .2 2 .2 2    

2  

=

2.2 n +2 n

.4   

625

82

=

 2 2 n.2 .2 2 n .2 2     

625 8

2n

=

2n

82

( 625 )

n

=

( 625 )

n 82 n 8 2 .4

2

 4 2 +1    2  E =  4 2 +1    4  

(625 )8 n 23.2 .4

2

1  21−1  (2) + ( 2 −1 ) 2   E=  (2) 2 -1 + ( 2 −1 ) 2   

1 2

3 4

A) 25

E) 10

Sol:

5. Calcular a qué exponente se debe A) 2/3

D) 12

ba = 0,5

=

~ 55 ~

2

2

2

2

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA  4  E =   2 E=

2

E = 16

E = 43

16 2 Rpta.

9. Calcular el valor de “n” en la ecuación:

(c)

 1  2n −1 4 2n +4 = 3  .3 3

8. SIMPLIFICAR:

A) 2 B) 4 C) –1/2

[( ) ] .[( x ) ] .[( x ) ] ...... 2 3

4 4 3

5 6 4

( n ( n +1)( n +2 )( n +3) )

Sabiendo que:

B) 32

C) 64

D) 256

D) 6

E) 3

Sol.:

n

factores.

A) 16 4096

Rpta ( c )

E =64

E=8

E = x2

3

 1  2n −1 4 2n +4 = 3  .3 3

16 3 = x

−1

3 .3 3

E)

2 n −1

−1+2 n −1

=3 =3

−1 + 2 n −1 =

Sol:

2 n +4 4

2 n +4 4

2n + 4 4

2n = 2n + 4 2 − 4 + 2.2 n = 2 n + 4 2.2 n − 2 n = 4 + 4 2n = 8

− 4 + 4.

Sabemos que: 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ........ + n(n+1) (n+2) =

n( n +1)( n + 2)( n + 3) 4

2 n = 23 n =3

Además por dato del problema

10.

Indicar el valor no entero que toma x, de manera que se cumpla la igualdad:

3

x =16 n ( n +1)( n +2 )( n +3) 

4x (2 x ) 3 = x +1 8 8

x −2

E = x 2.2.3 . x 4.3.4 . x 6.4.5 . .........

A) 1/3

E = x 2.2.3 +4.3.4

Sol.

+6.4.5 +.......... .

E = x 2 (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +.... )

E =x E =x

n ( n +1)( n +2 )( n +3) 2

E = 16

2 ( x −2 )

22x 23x x +1 = 23 23

2 ( x −2 )

22x 23x x +1 = 23 23

2 x −4

Reemplazando el valor de x: 3 n( n+ 1)( n + 2 )( n + 3)

B) –1/2 C) 5/4 D) 2/3 E) 5/3

Reduciendo ambos miembros tenemos:

n ( n +1)( n +2 )( n +3) 2. 4

  E = 16  

Rpta. E

n ( n+ 1)( n + 2 )( n + 3) 2

   

3 2

2

2 2 x −3 = x +1 2 3 x −3

2 x −3 2 x −4

=2

3 x −3 x +1

2 x − 3 3x − 3 = 2x − 4 x +1

Resolviendo:

~ 56 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA x=

5 4

2 +n 2

Si n n A) 40

x =3

v

Por dato del problema

x ∉Ζ

10.

5 x= 4

Entonces

=4;

mm

3

+m 3

=27. B) 41 C) 38 D) 3 mm

E) 36

Calcular “n” si: n −1 n −2 33 2 n.2 .2  ... = 32 Si:   ( 2 n −1) factores

Rpta.: C

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

2.

x −4

x +1

A) 1

n

=2

E) -8

2a , si:

A) 5 13.

a +4 1 = x x 2 16 + a A) 4 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8 x −0 , 5 (0,2) = (0,04 ) x −1 Resolver: 5 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 x

x

6.

Efectuar 2 n +2 + 2 n +4 + 2 n +6 M = n −2 2 + 2 n −4 + 2 n −6

14.

15.

8.

C) 5

9.

D) 7

Hallar: 5x + 10, si: 9 4 = 38 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 2 −x

B)

E) 10

y = x− x ; si se cumple que:

5

xx

x5

5

= 3125 C) 1/5

D) 55

E) 5-5

Si: P(x) = 3x + 5; Q(x) = 2x – 1 y R(x) = 3x + 2 Calcular: A = P (Q (R (0) ) )

Si: P(x) = 2x + 1; Q(x) = 2x – 1 Calcular: P (Q (x) )

A=

M(1, 0) + M( 0,1) M(1,1)

Rpta.: …………………..

E) 9 16.

Calcular: Q(Q(x)), si Q(x) = 3x – 2 Rpta.: …………………..

17.

Calcular: P (P (P (P (2) ) ) ) Si: P(x) = 2x – 1

x +4

Hallar el valor de M = m 6 n 4 ;

Si: M(x, y) = 2xy2 Calcular:

2 x + 2 x −1 + 2 x −2 + 2 x −3 + 2 x −4 = 248

B) 3

n

 62 =  C) 6 D) 8

Rpta.: …………………..

Resolver A) 1

x ny n

Rpta.: …………………..

A) 512 B) 256 C) 260 D) 181 E) N.A. 7.

Calcular:

x5 x

B) 1/2 C) –1/2 D) -1 E) 3/2 4

x n +y n

5

12.

−3 / 2

HALLAR

D) 64 E) 83

n −5

3 +3 3 n −5 + 3 n−7 C) -9 D) 9

x

5.

M =3

RESOLVER: x

4.

B) 3

Hallar:

 x y   + Si:  y x    A) 2 B) 4

SIMPLIFICAR:

A) 27

B) 121 C) 34

x +1

Hallar el valor de “x” en: 8 =4 es: A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 n −3

3.

11.

A) 201

E) 5

~ 57 ~


Rpta.: ………………….. 18.

Si: P(x) = x + 2 Calcular: A = P (P (P (P (3) ) ) )

27.

Rpta.: ………………….. 28.

Rpta.: …………………..

19.

20.

22.

Rpta.: ………………….. Si: P(x) = 3x + 5 Calcular: M = P(a + 2) – P(a - 2) Rpta.: …………………..

Rpta.: …………………..

30.

Si: P(x) = 5x + 3; R(x) = 3x + 2 Calcular: A = P(R(x)) Rpta.: …………………..

Si: P(x) = 5x + 3; R(x) = 3x + 2 Calcular: A = P(R(x))

31.

Del problema anterior. Calcular: B = R(P(x)) Rpta.: …………………..

32.

Si: P(x) = 3x + 4 Calcular: M = P(P(x))

Si: P(x) = x + 3; R(x) = 2x – 1 Calcular: A = P(R(2))

Del problema anterior. Calcular: B = R(P(x)) Rpta.: …………………..

Rpta.: …………………..

Si: P(x) = 3x + 4 Calcular: M = P(P(x)) Rpta.: …………………..

23.

Si: P(x) = 3x – 1 Calcular: A = P (P (P (2) ) ) Rpta.: …………………..

24.

Si: P(x) = 2x + 8 Calcular: A = P(a) + P(a - 1) Rpta.: …………………..

25.

Si: P(x) = 2x + 5 Calcular:

A=

P(1) + P(2) P( 0)

Rpta.: ………………….. 26.

Si: P(x, y) = 2xy – x + 3y Calcular: A = P(2; 3) + P(0; 1)

29.

Rpta.: ………………….. 21.

Si: P(x) = 2x – 4 Calcular: A = P(1) + P(2)

Si: P(x; y) = 5xy + x – y Calcular: P(1; 2) + P(2; 0) Rpta.: …………………..

~ 58 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA GR(y) = 7 GR(z) = 4

POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES, PRODUCTOS NOTABLES.

Nota: El valor numérico de un polinomio es el valor que toma dicho polinomio, cuando se reemplaza en él valores asignados a sus variables.

1. GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

• •

Monomio: Es la mínima expresión algebraica que tiene un solo término: Polinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos algebraicos. Recibe el nombre de binario cuando tiene 2 términos, trinomio cuando tiene 3 términos.

Ejm:

sea P(x) = x2 + 2x – 1

Hallar P(2)

 P(2) = 22 + 2.2 – 1 = 7 2. POLINOMIOS ESPECIALES

a) Grado de un monomio:

a) Polinomios Ordenados: Son los que

• Grado absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes de todas sus variables. • Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable referida a dicho monomio. Ejm:

presentan un “orden” ascendente o descendente en los exponentes de una de las variables que se toma como base. Ejm:

• P(x) = 8x5 – 2x3 + x – 3 • P(x,y) = 5x7y2 – 3x2y10 + 7x9y12 b) Polinomios completos: Son los que

M (x,y,z) = 3x5y7z3

tienen todos los exponentes (desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) de la variable que se toma como base.

GA = 5 + 7 + 3 = 15 GR(x) = 5 GR(y) = 7 GR(z) = 3

Ejm:

• P(x) = x4 – 2x2 + x + 10 +x3 • P(x,y) = 4x3 – 5x2y + 7xy2 + 8y3

b) Grado de un Polinomio: • Grado absoluto (G.A): Está dado

c) Polinomios Homogéneos: Son aquellos cuyos grados de sus términos son iguales:

por el término que tiene mayor grado absoluto. • Grado Relativo (G.R.): Está dado por el término de mayor exponente de la variable referida en dicho polinomio.

Ejm:

Ejm: P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7

d) Polinomios Idénticos: Son aquellos

5

+ 2x

P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7 5

+ 2x

grado=10 grado=11 grado= 9 grado=5

 G.A. = 11

• P(x,y) = x2 + 2xy + y2 • P(x,y,z) = 6x3 + 5xy2 – 1/5 xyz que se caracterizan por que sus términos semejantes tienen iguales coeficientes. Ejm:

ax2 + bx + cx ≡ mx2 + nx + p  a=m  b=n  c=p

e) Polinomios Idénticamente Nulos:

GR(x) = 5

Son aquellos que se caracterizan por que

~ 59 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA todos sus coeficiente son idénticos a cero. Ejm:

de cubos. (a + b)(a2 – ab + b2 ) = a3 + b3

2

2

P(x) = ax + bx +cx + d (a – b)(a2 + ab + b2 ) = a3 – b3  a= 0

b=0 c=0 d=0

f)

3. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x +ab g) Identidades de Legendre

a) Suma y Resta: Para sumar o restar expresiones algebraicas se suma o se resta términos semejantes.

(a + b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)

Nota: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes.

(a + b)2 – ( a – b)2 = 4ab

h) Identidades de Lagandre

b) Multiplicación

de expresiones algebraicas: Multiplicar expresiones algebraicas significa obtener una expresión denominada PRODUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador. Propiedades de la Multiplicación: i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. ii) El término independiente del producto es igual al producto de los términos independientes de los factores.

Producto de dos binomios que tienen un término común

(ax + by)2 + (bx – by)2 = (x2 + y2)(a2+b2) (ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) PROBLEMAS: 1. El grado del polinomio homogéneo. P(x, y) = m.x2m . yn+2 – mx2n . y 4m es: a) 4

PRODUCTOS NOTABLES

b) 3

c) 2

d) 1

e) 10

Sol:

Son productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar operaciones, por esto se el reconoce fácilmente.

Grado 1 Grado 2        2m n +2 2n P ( x, y ) = m.x . y − m.x . y 4 m

a) Binomio al cuadrado:

Grado 1 = Grado 2 2m + n + 2 = 2n + 4m 2 = n + 2m

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

grado = 2m + n + 2 grado = 2 + 2 = 4



b) Producto de una suma por su

Rpta ( a )

diferencia

1

(a + b) (a – b) = a2 – b2 c) Binomio al cubo 3

3

2

1

1

2. Si x + y = 2 ; xy =15 . Hallar 2

E=

3

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

a) 1/4

d) Trinomio al cuadrado

Sol:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

e) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma o diferencia

~ 60 ~

1 1 + x3 y3 b) 1/40 c) 1/10

d) 1/20

e) 1/80

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA 3

3

1   1  E =   +    x  y

a) –2

2 2  1 1  1  1 1 1    +    − . +     E = x x y y  x y      

(a (a

1  1 3  1 15 −12  − = . 2  4 15  2  60 

(a (a

Rpta ( b )

2

+ a −2 n ) = 36 2

n

− a −n ) + 2 = 6 2

− a −n ) = 4

(x

P(x) =

2

b) 520 e) 1610

d) 4

e) N.A.

Grado = 2 + 5 + 8 + ............ términos y de razón 3

20

Para hallar la suma:

De la condición:

an = a1 + ( n −1) r

1 1 4 + = x y x+y

an = 2 + (19 )( 3)

x+y 4 = xy x+y

S=

( x + y)2

S=

an = 59

= 4 xy

( a1 + an ) n

x 2 − 2 xy + y 2 = 0

( 2 + 59 ).20

( x − y) = 0



2

2 S = (61)(10 )

x 2 + 2 xy + y 2 = 4 xy

R=

c) 610

Sol:

Sol:

R=

a n −a −n =2

+1)( x 5 +1)( x 8 +1)...... n términos :

a) 220 d) 1220

1 1 4 + = Si: x y x+y



⇒

2

n

5. El grado del Polinomio es:

x +y x +2y 2y + + xy xy x +3 y

c) 1

2n

+ a −2 n ) − 2 = 34

Rpta ( d )

2

b) 3

2n

a 2 n − 2a n .a −n + a −2 n + 2a n .a −n = 6

3. ¿Cuál es el valor que asume

a) 2

e) 3.

a 2 n + a −2 n = 6

1 3  1 E = .  = // 2  60  40

R=

d) 2

a 4 n + 2.a 2 n .a −2 n + a −4 n − 2.a 2 n .a −2 n = 34

2  1 1  1 1  3     E = + +   x y   x y  − xy       

2

c) – 4

Sol:

2 2  1 1  1  1 1 1  1 1    E = + + 2 . . + −3. .     x y x   x y y x y     

E=

b) 5

S = 610 x

∴grado = 610

= y

x2 + y2 x +2 y 2y + + xy 2x x +3 y

Rpta ( c )

6. Si P(x+3) = 6x – 2 P ( F ( x) +8) = 30 x +58 Hallar el valor de

2 y2 3y 2 y 3 1 + + =2+ + =2+2 =4 2 y 2y 4y 2 2

E=

A) 1

Rpta. ( d )

4. Si: a 4 n + a −4 n = 34 , entonces a n − a −n es:

~ 61 ~

F ( 4)

B) 3

C) 5

Solución * P(x+3) = 6x – 2 P(x-3+3) = 6(x-3) – 2 P(x) = 6x – 20

D) 7

E) 9

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA 2

 a  a x 9  4 x 9  E =  4 9  + 2.4 9 .4 + a  a  x  x 

Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos: P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8) – 20 P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48 – 20 P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28 ………. (1) *

(

Entonces: F(4) = 5(4) + 5 = 25 Finalmente: F ( 4)

E = 25

7. Si el monomio

6 5

4 3

m

3x . 9 x . x . 2 x

el valor de “m” es: A) 2 B) 6 C) 9

D) 12

m

 a E −2 = 9 +  x  2

)

2

(E

2

)

2

(E

2

(

Rpta. C

−2

x9 a

   

2

2

)

 a  a x 9  x 9  =  9  + 2. 9 . + a  a  x  x 

2

a x9 + 2 + a x9 9 2 a x E2 − 2 = 9 + +2 a x 2

−2 =

)

(E

es 8,

x9 a

a + x9

E2 − 2 =

Igualando (1) y (2): 6F(x) + 28 = 30x + 58 6F(x) = 30x + 30 F(x) = 5x + 5

E =5

a x9 + 2 + a x9

E2 =

Por dato del problema: P(F(x)+8) = 30x + 58 ………… (2)

E=

2

2

− 2) = 7 + 2 2

2

E 2 −2 = 9

E2 =3+2

E) 16

Rpta. C

E = 5

Solución 3 x 6 .5 9 x 4 .3 x m . 2 x m

9. Si M = 4 a x

4 m m G.A. = 6 + + + 5 15 30

A) 1

Por dato del problema:

6+

4 m m + + =8 5 15 30

a x9 + = 7 , el valor de la x9 a

C)

5 D) 5

4 +2.3 4 +2.3 4 +... ∞

E

E = 4 + 2.E

E 3 = 4 + 2E E)

2

Dando valores a E, obtenemos que: E=2 Rpta. B

10. Si el polinomio ordenado, decreciente y

Supongamos que:

completo: P ( x) = x 2 a +1 + 2 x b +3 + 3 x c +2 +... posee 2c términos; hallar “a+b+c”. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16.

9

a 4 x Hallaremos E. + a x9

 a x 9  E = 4 9 + 4  x a  

3

3

Solución

E=4

E) N.A.

E = 3 4 + 2.3 4 + 2.3 4+...∞

a 4 x9 es: + a x9 B) 4

3

D) 4

E = 3 4 + 2.3 4 + 2.3 4 +... ∞ Hallaremos E.

Rpta. D

A)

C) 3

, su grado es:

Supongamos que:

m = 12

4

B) 2

El grado de M es:

180 + 24 + 2m + m = 240 3m = 36

expresión

4 +2.3 4 +2.3 4 +... ∞

Solución

multiplicando por 30 la ecuación anterior:

8. Sabiendo que

3

2

2

~ 62 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA Solución

A) x E) 5x

Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2c-1.

P( x) = x

2 c −1 

2 a +1

+ 2x

2 c −2

2 c −3

b +3

c +2



+ 3x



6.

+ ...

D) -3x2

Sea M =

Del tercer término obtenemos:

2c − 3 = c + 2

B) 2x3 C) ax4

( x + y )( x 2 + y 2 )( x 3 + y 3 )...( x n + y n )  1 1  1 1  1 1   1 1   +  2 + 2  3 + 3 ... n + n  y  x y  x y   x y  x

La suma de los grados relativos de M es:

c =5

A)

Del segundo término obtenemos:

b + 3 = 2c − 2

n(n +1) 2

B) n(n −1)

C) n(n +1)

b =5

n(n −1) 2

D)

E)

N.A.

Del segundo término obtenemos:

2a +1 = 2c −1

7.

a =4

Hallar el valor de “n”: 1

Por lo tanto:

a + b + c = 1 4

1 / 2 a −3 .1 / 4 b 3  6 n     =b    3 1/ 2 a  a 6 b −3

Rpta: C

A) 3

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.

Hallar m/n si el polinomio: P ( x; y ) = 3 x m y n ( 2 x 2 m +1 + 7 y 6 n +1 ) es

homogéneo. A) 1 B) 2 E) N.A. 2.

C) 3

8.

9.

Calcular:

P ( 2) + P (3) P (5 / 3)

2

3.

A) 1 4.

5.

a

B) 6

La suma de los coeficientes del polinomio homogéneo:

D) 5/4 E) 3/4 1 es: a3 D) -1 E) 2

P ( x; y ) = ax a + bx

C) 0

Si x a y b +2 +u + x b y a +2 son tres términos consecutivos de un polinomio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecientemente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y” de “u”. A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

a a −b

b

y12 +

a 3 13 b 2 b a x y + y b a

D) 9

E) N.A.

, es: A) 4

1  3 Si  a +  = 3 el valor de a + 

E) 7

a2 m3 + = 7 , calcular m3 a2

b

C) 3

D) 4

4

ax + b   a   =  x ,  ax − b   b 

B) 2

C) 6

a 2 4 m3 − m3 a2 A)3 B)4 C)5 D)1 E) 4 7

D) 0

 Sabiendo que P

A) 1/4

Siendo:

B) 5

10.

B) 5

C) 7

Efectuar el producto: x  1 + x 1 − x  3  − + − 2  ; Si x = 2,   1 − x 1 + x 4 x 4   

se tiene: A) 0 B) 3-16x

11.

La expresión: ( a + b 2 ).6 x a −b − ab .4 x a +b + (b − a ) x ;

reducida a un monomio es:

~ 63 ~

C) 3 D) 3+16x

E) N.A.

Calcular la suma de coeficientes del polinomio: P(x, y) = a2xa+7 – bxayb + abyb+4 Sabiendo que es homogéneo: a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39


12.

Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio homogéneo: P(x,y,z) = 2axaybzc + 2bxbyaz8 + 7cx4y6z3 a) 66 d) 46

13.

b) 15 e) 7

20.

c) 8

b) 30 e) 12

21.

c) 39

b) 12 e) -3

c) -6

a) 13 d) 12

b) 10 e) 8

23.

c) 9

Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado: P(x) = axa + (a + 2)x2 – (a – 1)x + (a + 3)xa-3 a) 12 d) 9

18.

Determinar:

b) 11 e) 8 E =

p +1 q

24.

c) 10 ; sabiendo que la

igualdad se cumple para todo valor de “x”: 27 – 6x = p(x – 2) + q(x + 1)

~ 64 ~

c) 36

b) 6 e) 15

c) 9

b) 2 e) 7

c) 3

Si el polinomio: 3ax2 + 8bx + 3a + 2bx2 + 12ax + 6 Es idénticamente nulo, calcular: (2a 3b) a) -12 d) 12

17.

b) 32 e) 92

Hallar: (m + n – 2p) en: (m – n – 2)x8 + (m + n – 5)x4 + (p - 1) ≡ 0 a) 1 d) 4

Dado el polinomio: P(x) = (n-1)xn-1 + (n-2)xn-2 + (2p+1)xq-3 + (q+1)xp+1 - 1 Es completo y ordenado, la suma de sus coeficientes es:

c) 7

Si: a(x + 5)2 – b(x - 5)2 ≡ 3(x + 5)2 + 4(2a + b)x Calcular: “a + b” a) 3 d) 12

22.

b) 6 e) 5

Si el polinomio: P(x) = 18xa-8 + 32xa-b+15 + 18xc-b+16 Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcular: “a + b + c” a) 18 d) 68

Si: P(x) = xa+b + 2xb+c + 3xc+d + 4xd+4 Es completo y ordenado ascendentemente. Calcular: abcd a) -12 d) 6

16.

a) 3 d) 8

Hallar (m + n + p) si se sabe que el polinomio: P(x) = xm-10 + 3xm-n+15 + 2xp-n+6 Es completo y ordenado descendentemente. a) 10 d) 58

15.

c) 16

Determinar (m + n + p), sabiendo que el polinomio: P(x, y) = 15xm+2yn – 6xn+1y2 – 3x2pyq + xq1 5 y Es homogéneo de grado 7. a) 23 d) 18

14.

b) 56 e) N.A.

19.

a) 0 b) -6 c) 4 d) -2 e) -8 Si: a(x + 4) + b(x - 3) ≡ 4x + 9 Calcular: a2 – b2

b) -10 e) 13

c) -13

Determinar el valor de “a” para que los polinomios: P(x) = x4 + 2x3 – 16x – 16 Q(x) = x2(x2 + x - a)2 + b(x2 + x)2 – a(x + 2)2 Sean idénticos : a) 2 d) 1

b) 4 e) 3

c) 6


25.

En cuanto excede la suma de coeficientes al grado del siguiente polinomio homogéneo: b

P( x, y ) = ax a

26.

b) 4 e) -1

b) 5 e) 4

b) 3 e) 15

b) 13 e) 18

32.

Hallar: (A + B + C) en: A(x + 1)(x - 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1) ≡ 6x2 + x - 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

33.

Hallar la suma de coeficientes de:

b) 3 e) 7

c) -4

− b2 y b

a

a −b + abz a

Si el polinomio es homogéneo.

34.

c) 1

35.

a) 70 b) 68 c) 10 d) 73 e) 74 Si: ab = 3 a3 + b3 = 28. Hallar: “a + b” a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

Si: x +

1 =3 x

4 Hallar: M = x +

c) 6 36.

37.

b) 47

d) 81

e) 37

Si: a2 – 5a - 1 = 0

a2

b) 25

d) 30

e) N.A.

c) 27

Si: a + b + c = 0. Calcular: ( a + b)2 + ( a + c)2 + (b + c)2 a2 + b2 + c2

b) 2

d) a2 + b2 + c2

c) a + b + c e) abc

Si: a + b + c = 0, simplificar: M=

~ 65 ~

c) 43

1

a) 23

a) 1

El polinomio: P(x, y) = mx2y + nx2y – 4x2y + mxy – xy nxy

1

a) 40

M=

38.

c) 3

x4

2 Calcular: E = a +

c) 14

c) 4

b

P( x, y, z) = a3x a

Si el polinomio: P(x) = (a + b - 2)x3 + (a + c - 3)x + (b + c - 5) Se anula para cualquier valor de “x”. Calcular: “a + b + c” a) 2 d) 5

31.

a

Hallar el valor de (I + V + A + N) Si los polinomios son idénticos: 6x2 + 15x + 24 ≡ I(x + A)2 + 3(x + V + N) a) 12 d) 17

30.

+ x3 y13 + y b

Si el polinomio: P(x) = 3x3a-9 + xa+b-3 + 6(x2)4b+a-c Es completo y ordenado crecientemente. Calcular: “a + b + c” a) 1 d) 10

29.

a a −b

Hallar (p - q) si se cumple que: 8x + 27 ≡ p(x + 4) + q(2x + 3) a) 7 d) 3

28.

b

a) 2 b) -4 c) -8 d) -10 e) -12 2 Si: (3a + 2b)x + (5a - 6b) ≡ 3x2 – 7 Hallar: 8a - 4b a) 1 d) -5

27.

+by 12 x

Es idénticamente nulo. Hallar: 4mn a) 15 b) 3 c) 2 d) 4 e) N.A.

a3 + b3 + c3 ( a + b)( a + c)( b + c)

a) 1

b) 3

d) -1

e) N.A.

c) -3


39.

Si: a + b = 6 Hallar:

40.

a2 + b2 = 30

2

2

a b + b a

M=

a) 63

b) 48

d) 70

e) 54

E=

2

2a b − 5ab

46.

b) -1

d) 3

e) 7

47.

Si:

Hallar:

43.

44.

(x + y)2 + (x + z)2 + ( y + z)2 xy + xz + yz

d) 3

e) -3

b) ab

d) a3b3

e) –ab

Si: a + b = 5 Hallar:

45.

c) -2

Si: a2 + b2 = 1 Reducir: M = (a4 + b4) - (a6 + b6) a) (a + b)2

E=

y

a2 b2 3 + + b a ab

b) 2

d) 17

e) 20

Si:

c) a2b2

a2 + b2 = 17

a) 1

c) 15

a b + =2 b a

Calcular:

M=

b) x16

Si:

c) x16 + 2y16 e) N.A.

x=

5− 3

y =

2 − 5

 x2 + y 2 + z 2 E =  xy + yz + xz 

x=a–b Y=b–c

b) 2

Si: x + y = 1. Calcular: (x - y)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8) + y16

Calcular:

e) N.A.

a) 1

e) 5

c) 3

z= 3− 2

z=c-a

M=

d) 4

c) 2

c) a8 – b8

d) a4 – b4

b) 2

d) y16

2

Si: a = 1 + b, calcular: (a + b)(b2 + a2)(b4 + a4) b) a8 + b8

a) 1

a) x8

3b3

a) 1

a) a8

42.

c) 12

Si: (a + b)2 = 4ab Hallar:

41.

y

7 a3 + 5b3 4 ab 2

~ 66 ~

  x2 y2 z2    + +   yz xz xy   

a) 8

b) 4

d) -3

e) 6

c) -6


DIVISIÓN, TEOREMA DEL RESTO, COCIENTES NOTABLES I.

 q(x) = 4x – 1 R(x) = x – 5

DIVISION ALGEBRAICA

b) Métodos de coeficientes separados Sólo se trabaja con los coeficientes y sus correspondientes signos.

Definición: La división Algebraica es una operación que consiste en obtener un cociente “q(x)” a partir de dos expresiones algebraicas llamadas dividendo “D(x)” y divisor “d(x)”. Quedará un resto o residuo “r(x)” cuando se trate de una división inexacta. D( x) = d ( x) . q( x) + r ( x)

-

4 4

- 9 8 - 1 1

División

inexacta

-

7 -4 4 3 2

1

D( x) = d ( x) . q ( x)

División

-

6

- 1 - 6 1

- 5

 q(x) = 4x – 1

exacta

R(x) = x – 5 Casos de la División: c) Método de Horner:

1) Cuando se trata de dos monomios: Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coeficientes y finalmente se dividen las letras aplicando teoría de exponentes. Ejm:

E=

Tenemos que dividir

4x3 − 9x 2 + 7x − 6 x2 − +1 2x se cambia su signo

Dividir:

− 32 x 5 y 8 z 10 −16 x 2 y z 8

E = 2x3 y 6 z 2

- 1

2) Cuando se trata de dos Polinomios:

1 2 - 1

Se puede utilizar cualquiera de los métodos siguientes: a) Método Normal b) Método de los coeficientes separados. c) Método de Horner d) Método de Ruffini. Ejm: Dividir

4 c o c ie n t e r e  q(x) = 4x – 1

-

x- 9 2 + x 7 43 + x 8 2 x- 4 - 22x + 3 x - 2+ x

9 8 - 1

s i d

METODO DE RUFFINI Se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio cuando el divisor es un binomio de primer grado.

Ordenando previamente tenemos 3

-

R(x) = x – 5

4x3 − 9x 2 + 7x − 6 x 2 − 2 x +1

a) Método Normal

4

4

x x -2 - 6 2 x + x 4 x - 1 -x 6 x 1 - 5

1 Ejm: Dividir: Procedimiento x+2=0 x = –2

~ 67 ~

x 3 − 2 x 2 + 3x + 9 x +2

u

o


1

-

- 2

2 -

1 c o

c i e

n

3

2 4

8 R

e

s t o

1 1

x m −a m es cociente notable x −a - 2 2 para cualquier valor de “m”

-

t e

3

x5 +a5 = x4 – x3a + x2a2 x +a

– xa3 + a4 DETERMINACIÓN DE CUALQUIERA DE UN C.N.

Resto = - 13 TEOREMA DEL RESTO

UN

TERMINO

Forma General :

Este teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuar la división. “El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la forma “ ax ± b ” es igual al valor numérico que adquiere dicho polinomio cuando se reemplaza en él, por

x m −a m = xm-1 + xm-2a + xm-3a2 + … + am-1 x −a t(k) = (signo) xm-k . ak-1

×

b ”. a

Regla para el signo:

Ejm:

( x + 5) 2 + ( y + 7)3 + 8 Hallar el resto en: y +8 ⇒y+8=0 y = -8 Resto = (-8 + 5)2 + (-8 + 7)3 +8 R = (-3)2 + (-1)3 + 8 R=9–1+8 R = 16 COCIENTES NOTABLES Se denominan cocientes notables a ciertos casos particulares de divisiones exactas. De tal forma que sin efectuar la división, se puede escribir su desarrollo.

Forma General: m ∈Z

1

Desarrollo de C.N. :

 q(x) = x2 – 4x + 11



9

CASO 4:

x m ± am x ±a

• •

Cuando el divisor es de la forma (x-a) el signo de cualquier término es positivo. Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan un lugar par son negativos y los que ocupan lugar impar son positivos.

ejemplo: Hallar el t(40) en el desarrollo del C.N. :

x150 − a100 x3 − a 2 solución:

( x 3 ) 50 − ( a 2 ) 50 x3 + a 2

donde

t(40) = -(x3)50-40 . (a2)40-1

+

t(40) = -x30 . a78

x m +am x +a cuando “m” es impar CASO 1:

x m −a m x +a cuando “m” es par

es cociente notable

PROBLEMAS:

1.

CASO 2:

es cociente notable

CASO 3:

x m +am no es cociente notable x −a

El resto de la división: nx n + (n −1). x n −1 + ( n − 2). x n −2 − 3n +16 x −1

a) 17 Solución

b) 13

c) 15

d) 21

e) 19

Por teorema del resto tenemos que: x = 1

~ 68 ~


Hallar nm.

 R = n.1n + (n −1). 1n −1 + (n − 2). 1n −2 − 3n +16

Rpta. B 2.

b) 20 c) 71

d) 110

|

( )

=

50

( )

25

( )

2

+ x2 − x2 + 3 x2 − 1

5.

m 2 −1

Rpta. B

Determinar el valor de “m” para que el

d) – 4

Por propiedad

6 m + 1 5m = 2m − 3 m

6m +1 5m / = 2m − 3 m / 6m +1 =5 2m − 3 6m +1 = 5( 2m − 3)

( x + a ) 7 − ( x7 + a7 ) c) 127a7

6m + 1 = 10 m −15 16 = 4m

Solución

m =4

Por teorema del resto: ==> R = ( − 2a + a ) 7 − ( (−2a)7 + a 7 ) R = ( − a ) − ( − 128 a + a 7

7

R = −a − ( − 127 a 7

R = −a + 127 a R = 126 a 7

7

)

7

e) 4

Solución

x + 2a

6.

Rpta. E

Hallar el resto de dividir ( x − 2) 2001 + ( x −1) 2000 + 7 ( x − 2)( x −1)

)

a) 3 b) 2x-1 c) 3x+2 d) 2x-4 e) x+4

7

Solución

Rpta. E

Para que la expresión:

Sabemos que: D(x) = d(x).q(x) + R(x) Como el divisor es de segundo grado entonces, el residuo tiene la forma de: R(x) = ax + b

(x ) − ( y ) n 3

4.

nm = 22 = 4

cociente notable. a) 3 b) –3 c) 2

El resto de la división :

7

(y )

5m x 6 m +1 − cociente sea x 2 m −3 −y m

y 50 + y 25 − y 2 + 3 y −1

b) –127a7 e) 126a7

3 −2

Entonces n = 2 , m = 2.

R = 150 + 125 – 12 +3 R=1+1–1+3 R=4 Rpta. A

a) 128a7 d) –126a7

d) 16 e) N.A.

x2.y 2 = xn.y m

e) N.A.

Por teorema del resto y = 1

3.

t( 2 ) = +( x n )

∴

x100 + x 50 − x 4 + 3 x2 = x2 −1 tomamos x2 = y

c) 9

t( 2 ) = x n . y m

Solución



b) 4

Solución m −k k −1 Sabemos que: t ( k ) = signo . A .B

Hallar el residuo de: x100 + x 50 − x 4 + 3 x2 −1

a) 4

a) 1

R = n + n − 1 + n − 2 − 3n + 16 R = 13

m 3

xn − ym

sea cociente notable y su segundo término en su desarrollo sea x2y2.

Reemplazando:

~ 69 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA ( x − 2) 2001 + ( x −1) 2000 + 7 = ( x − 2)( x −1).q ( x ) + ax + b

Si x = 2 : 0 + (−1)

2000

+ 7 = 0 + a.2 + b

a) 27

Aplicando teorema del resto a:

Si x = 1 : (−1)

+ 0 + 7 = 0 + a.1 + b



−1 + 7 = a + b a + b = 6 .........(**)

Resolviendo (*) y (**): 2a + b = 8



a +b = 6

a =2 b= 4 Por lo tanto: R(x) = 2x +4 Rpta. E

x 3 + x 2 − 3mx + 5  x =1: x −1 R1 = 1 + 1 − 3m + 5 R1 = 7 − 3m x 3 + x 2 − 3mx + 5  x =2: x −2 R2 = 8 + 4 − 6 m + 5 R2 = 17 − 6m

Por dato del problema: R1 = 2R2

7.

Hallar el resto en: ( x + 2) 82 − 4( x + 2) 63 + 5( x + 2) 24 + 3( x + 2) 3 − 7 x 2 + 4x + 5 a) x+2 b) 2x+1 c) 2x-1 d) x+1 e) x-1 Solución

[

9.

7 – 3m = 2(17 – 6m) 7 – 3m = 34 – 12m 9m = 27 m=3 Rpta. E Hallar el resto de dividir

( x −1)( x − 2)( x −3)( x − 4)( x − 5)( x − 6)

( x + 2) 82 − 4( x + 2) 63 + 5( x + 2) 24 + 3( x + 2) 3 − 7 entre x 2 − 7 x + 11 x 2 + 4x + 5 A) 1 B) 2 C) 3 82 63 24 3 ( x + 2) − 4( x + 2) + 5( x + 2) + 3( x + 2) − 7 Solución x 2 + 4x + 4 + 1 41 31 12 ( x + 2) 2 − 4 ( x + 2) 2 .( x + 2) + 5 ( x + 2) 2 + 3( x + 2) 2 .( x + 2) − 7 ( x + 2) 2 + 1 Hacemos que (x + 2)2 = y

]

[

]

e) 3

Solución

1 + 7 = 2a + b 2a + b = 8 ........ (*)

2001

b) 21 c) 18 d) 9

[

D) 4

E) 5

]

y 41 − 4 y 31 .( x + 2) + 5 y 12 + 3 y.( x + 2) − 7 = y +1

Por el teorema del resto: y = -1

( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5)( x − 6) x 2 − 7 x + 11

Resto = ( −1) 41 −4( −1) 31 .(x +2) +5( −1) 12 +3( −1).(x +2) −7

Multiplicando lo indicado tenemos: ( x 2 − 7 x + 6)( x 2 − 7 x + 10)( x 2 − 7 x + 12) x 2 − 7 x + 11

Re sto = −1 + 4( x + 2) + 5 − 3( x + 2) − 7

Re sto = −1 + 4 x + 8 + 5 − 3 x − 6 − 7 Re sto = x − 1

Hacemos que x 2 − 7 x = y

Rpta. E 8.

Hallar “m” para el polinomio x3 + x2 3mx + 5 al dividirlo entre x –1 dé como resto el doble de dividirlo entre x – 2.

=

( y + 6)( y +10 )( y +12 ) y +11

Por el teorema del resto: y = -11

~ 70 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA A) 3x – 91 B) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x – 191 E) N.A.

Re sto = ( −11 + 6)( −11 +10 )( −11 +12 ) Re sto = ( −5)( −1)(1)

Re sto = 5

Rpta. E 10.

Calcular el valor numérico del término central del cociente notable originado al dividir: ( x + y )100 − ( x − y )100 ( x + y)4 − ( x − y)4

para x = 3, y = 2 2 . A) 1 B) 2 Solución

a 2 m +3 − b m +7 sea a 2 m −2 − b m + 2 un cociente notable. De m2 + m+1. A)4 B)12 C)7 D)21 E)No es C.N.

C) 100 D) 200 E) 10000

[( x + y ) ]

[

4 25

]

5. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomio Q (x) si se sabe que es de tercer grado, su coeficiente principal es 1, es divisible por (x-2)(x+1) y carece de término cuadrático? A) 4 B) –5 C) 7 D) –4 E) 9

25

− ( x − y)4 ( x + y)4 − ( x − y)4 El término central ocupa el

25 +1 = 13 2

6. Calcular el 7mo. Término del cociente:

término, entonces k = 13. Aplicando la Ecuación:

x 75 − y 30 x5 − y 2

t ( k ) = signo . A m −k .B k −1 |

[

3. Hallar el término 21 en el siguiente 2x − x2 cociente notable: . 1 − 20 x −1 A) x+1 B) x C) x2+1 D) x2-1 E) x-1 4. Señalar "m" para que

( x + y )100 − ( x − y )100 = ( x + y)4 − ( x − y)4

t(13 ) = + ( x + y ) 4

2. Calcular A+B si la división 4 3 2 x − 2 x − 25 x + Ax + B es exacta. x 2 + x − 12 A)146 B)164 C)116 D)46 E)16

]

25 −13

[

[

] ] .[( x − y) ]

. ( x − y)4

t(13 ) = ( x + y ) 4

x 40 y15 x18 y12

A)

13 −1

12

4 12

[

t(13 ) = x 2 − y 2

]

A) 1 B) 2

Reemplazando los valores de “x” e “y”

[

= [9 − 8]

8. Cuando

]

48

=[1]

Rpta. A


resto de

P( x) (x + 3)(x +1)

D)

x 40 y 30

x a − y12 , xb − y c

E)

el

C) 3

D) 4 el

E) 5 polinomio

coeficientes decrecen de uno en uno a partir del primer término y un residuo de 2x-9. Hallar A+B-C+2D A) 7 B) -6 C) 12 D) -7 E) 0

48

1. Si: P(x)= (x+2)30 +3x – 192,

x 40 y 20

15 x 4 + Ax 3 + Bx 2 + Cx + D se divide entre 5 x 2 − x + 3 , se obtiene un cociente cuyos

48

=1

C)

término de lugar “k” de su desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c = 20 y a3 + c3 = 5840. Calcular k.

48

48

t(13 ) = (3) 2 − ( 2 2 ) 2

x 40 y12

7. Dado el cociente notable

t(13 ) = ( x + y ) 48 .( x − y ) 48

t(13 ) = [ ( x + y ).( x − y )]

B)

hallar el

9. El resto de dividir es:

~ 71 ~

( x + 2) 2 n + 3 x −192 , ( x + 3)( x +1)

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA A) 3x-91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x-191 E) x+9

10. Hallar el resto en: A) 0

B) 1

C) 3

a) -1 d) -2

( x −1) n +2 + x 2 n +1 x 2 − x +1 D) 5 E) N.A.

x2 + 2x + 2 x −1

a) 4 d) -1 B.

C.

G.

2x2 − 3x 2x − 1

c) 0

b) 4 e) 1

13. La siguiente división: b) 8 e) 0

c) -8

b) 4 e) 1

c) -1

c) 0

2x2 + bx + 4 x −3

tiene

resto 7. Hallar: “b” a) 8 d) -5

b) -2 e) 4

c) 0

14. Hallar el valor de “b” en la siguiente división:

bx 3 − 3x + 3x2 + 2 x +1

si el resto es

5. b) 5 e) -1

c) -2

a) 0 b) 4 c) 3 d) -1 e) -7 15. Hallar el valor de “b” si el resto de: x2 + 15 x −b

b) 4 e) -8

c) 5

8x 4 + 8x3 + 2x + 2 x +1

a) -4 d) 1

b) -2 e) -3

si el resto es 3.

a) -3 d) 2

x2 + x − 1 x −3

a) 2 d) 3 F.

c) 3

x2 + 6x + 8 x +1

a) 3 d) 0 E.

b) 5 e) 2

2x2 − 3x + b x −2

5x3 − 2x − 5x2 + 2 x −1

a) 3 d) 0 D.

a) 2 d) 3

12. Hallar “b” en la siguiente división:

x2 + 3x − 2 x −2

a) -2 d) 2

c) 0

3x2 + 5x 3x − 1

H.

11. Utilizando el Teorema del Resto, en cada una de las siguientes divisiones hallar el residuo respectivo: A.

b) 2 e) 1

b) 4 e) -1

es 40.

a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5 16. Indicar el resto en la siguiente división: 2x 7 − 4 x 6 + 2x + 3 x −2

a) -1 d) 2

c) 0

b) 7 e) 5

c) 0

17. Calcular el resto de: (3x − 5)2004 + (x − 1)2003 − 2 x −2

~ 72 ~


d) 3 a) 1 d) -1

b) 4 e) 0

c) 8

e) 1

23. Hallar el resto en la siguiente división: 4 x 5 − 8x 4 + 3x + 1 x −2

18. Calcular el resto de: x 4 + x6

a) 3 d) 0

x2 − 1

a) 2 d) 1

b) 3 e) 0

c) 2

(x − 1)2004 + (2x − 1)2003 + x − 1 x −1

2x2 − x + b x −1

a) 1 d) 2003

Si el resto que se obtiene es 7. b) 7 e) 1

20. La siguiente división:

x 4 + x2

3x2 + bx − 3 x −2

tiene

c) -4

21. Hallar el valor de “b” en la siguiente división: bx 3 + 2x2 + 4 + x x +1

Si el resto es 3. b) 2 e) 4

c) 3

22. Hallar el valor de “b” si el resto de la siguiente división: a) 4

x2 + 23 x −b

b) 2

c) 0

x2 − 1

b) -1 e) -7

a) 1 d) -1

b) 2 e) -1

25. Calcular el resto de:

c) 6

resto 5 Hallar: “b” a) -2 d) -5

c) 7

24. Calcular el resto de:

19. Hallar “b” en la siguiente división:

a) 5 d) 4

b) 2 e) 1

es 27. c) 5

~ 73 ~

a) 0 d) 3

b) 2 e) 4

c) 1


FACTORIZACIÓN: DIVERSOS MÉTODOS FACTORIZACIÓN

a) Diferencia

de Cuadrados: Es diferencia de cuadrados perfectos.

Factorización, es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de factores primos racionales y enteros: es decir, factorizar significa convertir una suma algebraica en producto de factores.

a2n – b2n = (an + bn) (an – bn) Ejemplo:

METODOS DE FACTORIZACIÓN

1.

⇒

FACTOR COMÚN: El factor común puede ser de tres tipos: • factor común monomio • factor común polinomio • factor común por agrupación

a2m + 2ambn + b2n = (am + bn)2 a2m – 2ambn + b2n = (am – bn)2 s ejemplo: Factorizar: x8 + 6x4y2 + 9y4

⇒ x8 + 6x4y2 + 9y4 = (x4)2 + 2 . x4 . 3y2 + (3y2)2

ejemplo: Factorizar:

= (x4 + 3y2)2

15a2b + 10a4b2 – 20a4b4

c) Suma o diferencia de cubos: Tiene dos cubos perfectos:

el factor común es: 5a2b ⇒ 15a2b + 10a4b2 – 20a4b4 = 5a2b (3 + 2a2b – 4a2b3)

a3m + b3n = (am + bn) (a2m – ambn + b2n)

b) Factor Común Polinomio: Cuando el aparece

es

a3m – b3n = (am – bn) (a2m + ambn + b2n)

un

Ejemplo: Factorizar: x9 + 8

5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z) el factor común es: xy – z ⇒ 5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z) = (xy – z) (5a – 3b + 4)

⇒

c) Factor Común por agrupación: Se busca agrupar términos de modo que vuelva a aparecer un factor común en todo el polinomio.

3.

ejemplo: Factorizar: xy – zy + xw – zw agrupamos de la forma siguiente:

2.

METODO

-

z y

x6 – y8 = (x3)2 – (y4)2 = (x3 + y4) (x3 – y4)

siguiente forma:

factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.

x y

Factorizar: x6 – y8

b) Trinomio Cuadrado Perfecto: Tiene la

a) Factor Común Monomio: Cuando el

factor común que polinomio. ejemplo:Factorizar:

una

+

x w

METODO DEL ASPA

a) Aspa Simple: Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:

• • -

z w

x9 + 8 = (x3)3 + 23 = (x3 + 2) [(x3)2 – x3 . 2 + 22] = (x3 + 2) (x6 – 2x3 + 4)

ax2n ± bxn ± c x2n ± bxn ± c

y(x – z) + w(x – z) (x – z) (y + w)

PROCEDIMIENTO:  Descomponemos los extremos en dos expresiones que multiplicadas los vuelve a reproducir.

DE IDENTIDADES

 Luego multiplicar en aspa y sumamos estos productos.

~ 74 ~

Este último debe

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA coincidir con el término central. 

I

-

Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado.

Ejemplo: Factorizar: P(x) = 8x – 2x - 3

8 2x

-

2 x

-

I I : -

9 x y 2 x y

I I I:

5 y 6 y

1 5 x 4 x

-

+ 7 x y - 1 1 y Luego la expresión factorizada es:

2

⇒

:

1 1 x

E = (3x – y – 2) (2x + 3y + 5)

3

c) Aspa Doble Especial: Se usa para factorizar polinomios de 4to. grado de la forma general:

2 x

41 x

4 x

- - 63 x

ax4

-

PROCEDIMIENTO:

2 x

∴P ( x ) = ( 2 x +1) ( 4 x −3)

 Se

b) Aspa Doble: Se aplica para factorizar polinomios de la forma: ax2n f

± bx3 ± cx2 ± dx ± e



± bxnyn ± cy2n ± dxn ± eyn ±

Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2 o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodar los términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algún término se completa con coeficiente cero. También el método de aspa doble se aplica para algunos polinomios de 4to. grado.





descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factores primos con signos adecuados. Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta manera se obtiene un término de 2do. grado. A este resultado se le debe sumar algebraicamente otro término de 2do. grado para que sea igual al tercer término. Con este otro término de 2do. grado colocado como tercer término del polinomio, se descompone en sus factores en forma conveniente.

Ejemplo: Factorizar: E = x4 – 10x3 + 2 19x – 18x + 9

Ejemplo: Factorizar: E = 6x2 + 7xy 2 – 3y + 11x – 11y – 10

Solución:

⇒ 6 2x

+

72 x y

-

3 x

3 y -

I

I I I

+

1 1 x

-

x4 1 1 y x2

y

x2

I I

-

-

3 1 0 x2 1 0

- 2

+

1 9 x

-

1 8 x

2

9 x

2

x

1 20 x

2 x Verificando los términos

3 y

5 Se observa que falta: 19x2 – 10x2 = 9x2 Se descompone 9x2 en factores en forma conveniente y se verifica el 2do. y 4to. término.

~ 75 ~

+

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA X

2

-

X9

I X

Luego el polinomio factorizado es:

9

( x – 1)(x2 +5x + 6)

I I

2

-

X

Finalmente (x – 1)(x + 3)(x + 2)

1

5. Verificando los términos: I

-

a) Reducción a diferencia de cuadrados

3 X

I I

1X 0

-

-

X9

-

X9 X9

Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una diferencia de cuadrados sumando y restando una misma expresión de tal manera que se complete el trinomio cuadrado perfecto.

1X 8

La expresión factorizada es: E = (x2 – 9x + 9)(x2 – x + 1) 4. MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOS Permite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte factores de primer grado de forma:

Ejm: Factorización E = 49x4 + 5x2y4 + y8 Solución: Se observa que los extremos son cuadrados perfectos Entonces:

x ±B ; A x ±B Es decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entonces P(x) es divisible por (x – a)

E = 49x4 + 5x2y4 + y8

Procedimiento:  Se determina por lo menos un cero del polinomio  De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o factor.  El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor obtenido mediante la regla de RUFFINI.

E = (7x2)2 + (y4)2 + 5x2y4 E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 – 14x2y2 + 5 x2y4 E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 + 5 x2y4 E = ( 7x2 +y4)2 – 9x2y4 E = ( 7x2 +y4)2 – (3xy2)2 E = ( 7x2 +y4 + 3xy2 ) ( 7x2 + y4 – 3xy2 )

Ejm:

b) Método de Sumas y Restas

Factorización: P(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6

Consiste en sumar y restar una Misma cantidad de tal manera que se forme una suma o diferencia de cubos y se presenta el factor:

Sol:

• •

•

METODO DE ARTIFICIO DE CALCULO

Se determina los posibles ceros del Polinomio para valores de: x = ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 Para x = – 1 P(-1) = (-1)3 + 6(-1)2 + 11(-1) + 6 = – 1 + 6-11 + 6 = 0 ¡ se anula ¡

x2 + x + 1

algunas veces también se completa el Polinomio

Luego (x + 1) es el factor del polinomio Dividiendo P(x) entre el factor obtenido por regla de RUFFINI:

1 - 1 1

6 - 1 5

ó x2 – x + 1

Ejm: Factorizar : E = x5 + x – 1 Solución: Sumando y restando x2

1 1 - 5 6

~ 76 ~

6 - 6

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA E = x 5 + x 2 − x 2 + x −1

x 3 + y 3 − 3 xy +1 x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 − 3 x 2 y − 3 xy 2 − 3 xy +1

E = x 5 + x 2 − ( x 2 − x +1) E = x 2 ( x +1)( x 2 − x +1) − ( x 2 − x +1)

( x + y ) 3 +1 − 3 x 2 y − 3 xy 2 − 3 xy ( x + y ) 3 +1 − 3 x 2 y − 3 xy 2 − 3 xy

E = ( x 2 − x +1)[ x 2 ( x +1) −1]

( x + y ) 3 +1 − 3 xy ( x + y +1)

E = x 2 ( x 3 +1) − ( x 2 − x +1)

[

E = ( x − x +1)( x + x −1) 2

3

]

( x + y + 1) ( x + y ) 2 − ( x + y ) + 1 − 3 xy ( x + y + 1) ( x + y + 1)[ x 2 + 2 xy + y 2 − x − y + 1 − 3 xy ]

2

( x + y +1)( x 2 − xy + y 2 − x − y +1)

c) Cambio de Variable:

Rpta. C

Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obtenga una forma de factorización mas simple. Ejm: Factorizar:

3.

E = ( x +1)( x −3)( x +4)( x −6) +38

Uno de los términos independientes de los factores simples de: E = x 5 + 4 x 4 − 10 x 2 − x + 6 es: a) –2 b) 4 c) 3 d) 6 e) –3

E = ( x 2 −2 x −3)( x 2 −2 x −24 ) +38

Solución

Haciendo: x2 – 2x = a

Por método de RUFFINI tenemos: 1 4 0 -10 6 1 1 5 5 -5

E = (a −3)( a −24 ) +38 E = a 2 −27 a +72 +38 E = a −27 a +110 E = (a −22 )( a −5)

-1 -6

2

1

5

5

-5

1

1

6

11

6

1 -1

6 -5

11 -6

6

-1

1 -2

5 -6

6

/

-2

1

3

/

2

PROBLEMAS:

1.

Factorizar:

( x + 3)( x + 2)( x +1) + ( x + 2)( x +1) + x +1 a) ( x +1)( x +3) 2 b) ( x + 2)( x + 3) c) ( x + 2) 2 ( x +1) d) ( x +1) 2 ( x + 3) e) ( x +1) 2 ( x + 3) 2

Solución (x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1) (x+1)[(x+3)(x+2) + x+2 + 1] (x+1)[x2+5x+6+x+3] (x+1)[x2+6x+9] (x+1)(x+3)2 Rpta. A 2.

-6

/

E = ( x −2 x −22 )( x −2 x −5) 2

/

Entonces E = (x-1)2(x+1)(x+2)(x+3) El término independiente buscado es 3. Rpta. C 4.

Factorizar: E = x2-y2+y(x-y)+x(x+y) +xy a) (2x+y)(2y-x) b) (2x-y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d) (2x+y)(x+y) e) N.A.

Factorizar: x3 + y3 – 3xy +1 a) (x+y+1)(x+y)2 b) (x+y+1)(x+y+1)2 c) (x+y+1)(x2-xy+y2-x-y+1) d) (x+y+1) (x2+y2-x-y+1) e) (x+y+1)(x2+y2-xy-x-y)

Solución

E = x 2 − y 2 + y ( x − y ) + x( x + y ) + xy E = x 2 − y 2 + xy − y 2 + x 2 + xy + xy E = 2 x 2 − 2 y 2 + 3 xy

Solución

~ 77 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA E = 2 x 2 − 2 y 2 + 4 xy − xy

en

E = x ( 2 x − y ) + 2 y ( −y + 2 x ) E = (2 x − y )( x + 2 y )

H ( x; y; z ) = x( x 2 + yz ) + z ( x 2 + y 2 ) − y 3

es: A) x-y B) x+y-z D) x-y+z E) x+z

Rpta. B 5.

Calcular el término independiente de uno de los factores de:

Solución

( x − 5)( x − 7)( x + 6)( x + 4) − 504

A) 9

B) 18 C) 6

D) 2

C) y+z

H ( x; y; z ) = x( x 2 + yz ) + z ( x 2 + y 2 ) − y 3

E) 12

H ( x; y; z ) = x 3 + xyz + zx 2 + zy 2 − y 3

Solución

H ( x; y; z ) = x 3 − y 3 + xyz + zx 2 + zy 2     

( x − 5)( x − 7)( x + 6)( x + 4) − 504

H ( x; y; z ) = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) + z ( xy + x 2 + y 2 ) H ( x; y; z ) = ( x 2 + xy + y 2 )( x − y + z )

= Multiplicando lo indicado tenemos:

Rpta. D

= ( x 2 − x − 20 )( x 2 − x − 42 ) − 504

8.

Hacemos que x − x = y 2

= ( y − 20 )( y − 42 ) − 504 = y 2 − 62 y + 840 − 504 = y 2 − 62 y + 336 = ( y − 56 )( y − 6)

Un factor de P(a;b) = 2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 2, es: A) 2a +3b – 1 B) 3a – 2b +1 C) a – b – 1 D) 2a + b –2 E) a + 3b – 2 Solución

Reemplazando el valor de y

2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 2 2a2 + 5ab –3b2–3a+5b–2

= ( x 2 − x − 56 )( x 2 − x − 6) = ( x −8)( x + 7)( x − 3)( x + 2)

Rpta. D. 6.

Un factor de: 2 x 2 + 1 − ( 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 ) A) 1 −2 xy − y 2 B) x 2 + y 2 +1 C) 1 − 2 xy + y 2 D) 1 + 2 xy + 2 y 2 E) 2 xy − 2 y 2 −1

Comprobando:

6ab − ab = 5ab 3b + 2b = 5b a − 4a = −3a

Solución

Por lo tanto los factores son: (2a – b + 1) (a + 3b – 2) Rpta. E

2 x 2 + 1 − ( 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 ) =

= 2 x 2 + 1 + x 4 − x 4 − (4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 ) = x 4 + 2 x 2 + 1 − ( x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 ) = ( x 2 +1) 2 − ( x + y ) 4

= ( x + 1) − ( ( x + y ) 2

[

2

)

9.

2 2

][

]

= ( x + 1) − ( x + y ) . ( x 2 + 1) + ( x + y ) 2 = [ x 2 + 1 − x 2 − 2 xy − y 2 ][. x 2 + 1 + x 2 + 2 xy + y 2 ] = (1 − 2 xy − y 2 )( 2 x 2 + 1 + 2 xy + y 2 ) Rpta. A

7.

2

2

Al factorizar el polinomio P ( x; y ) = 4 x 4 + 81 y 4 , y evaluar uno de

sus factores para x = y = 2 , se tiene: A) 8 B) –8 C) 22 D) –2 E) 34 Solución

P ( x; y ) = 4 x 4 + 81 y 4 P ( x; y ) = 4 x 4 + 36 x 2 y 2 + 81 y 4 − 36 x 2 y 2 P ( x; y ) = (2 x 2 + 9 y 2 ) 2 − 36 x 2 y 2 P ( x; y ) = (2 x 2 + 9 y 2 ) 2 − (6 xy ) 2

P ( x; y ) = ( 2 x 2 + 9 y 2 − 6 xy )( 2 x 2 + 9 y 2 + 6 xy )

El factor de grado uno respecto a “x”

~ 78 ~


4. Al factorizar la expresión 2 3 2 E = ( xy ) z − xyz ( py − qx ) − pq 2 x + 9 y − 6 xy = 2( 2 ) + 9( 2 ) − 6( 2 )( 2 ) ; uno de

Evaluando los factores para x = y = 2

2

2

2

= 4 + 18 − 12 = 10 2 x + 9 y + 6 xy = 2( 2 ) + 9( 2 ) + 6( 2 )( 2 ) 2

2

2

2

= 4 + 18 + 12 = 34 Rpta. E 10.

los factores es: A) x 2 y 2 z B) xy 2 z + q C) xy 2 z −q D) x 2 yz + p E) xyz - q 5. Factorizar P ( x : y; z ) = ( x + y + z )3 − x 3 − y 3 − z 3 , e

Hallar la suma de los términos independientes de los factores de:

indique el número de factores lineales primos. A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

a 2 + 4ab + 4b 2 + 7a + 14b + 10

A) 5 B) 7 Solución

C) 9

D) 10 E) 13

6. Factorizar F (n) = n 6 + 4n 4 + 3n 2 − 2n −1 , e indicar el producto de los coeficientes de uno de los factores. A) 8 B) 7 C) 3 D) 6 E) 9

a 2 + 4ab + 4b 2 + 7a + 14b + 10 = ( a 2 + 4ab + 4b 2 ) + ( 7a + 14b ) + 10

= ( a + 2b ) 2 + 7( a + 2b ) + 10 Haciendo a+2b=x = x 2 + 7 x + 10 = ( x + 5)( x + 2) Reemplazando el valor de x = ( a + 2b + 5)( a + 2b + 2 )

7. Si T ( y ) = ( y 2 −1)( y 2 − 4) − 3(2 y + 3) , entonces la suma de los factores es: A) 2y2-4 B)2y-4 C) y2+2y+5 D) y-5 E) N.A. 8. Uno de los factores de P(x) = x2 + x – 1 es: A) x2-x+1 B) x2+x+1 C) x2-x-1 D) x3-x2-1 E) x3+x2+1

Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; la suma es 7. Rpta. B

9. En


1. Factorizar: 8 x − 12 x + 6 x − 65 A) (2 x −5)3 B) (2 x +13 )3 C) ( 2 x + 5)( 4 x 2 + 4 x −13 ) D) (2 x + 5)3 E) ( 2 x − 5)( 4 x 2 + 4 x +13 ) 3

3. Si: R = ( a + b ) 3 + ( a + c ) 3 + ( a − b) 3 + ( a − c ) 3 .

Hallar la suma de los coeficientes de uno de los factores. B) 4

C) 6

polinomio

, señale uno de los factores primos. A) x+4y B)x+3y C) x+2y D) x-y E) N.A.

2

2. La suma de los términos independientes de los factores de: P = (x+1)(x+4)(x-3)(x-6) + 38 es: A) 27 B) –27 C) 22 D) –22 E) N.A.

A) 2

el

P ( x; y ) = x 2 ( x − y ) 2 −14 xy 2 ( x − y ) + 24 y 4

D) 8

E) N.A.

10. Al factorizar E(x) = 8x3-12x2+6x-65, la suma de los coeficientes de uno de los factores es: A) –1 B) –2 C) –3 D) 20 E) N.A. 11. Factorizar: P(x, y) = 5x2 + 16xy + 3y2 + 11x + 5y + 2; Señalar un factor primo. a) x + 3y + 1 d) x – y + 1 b) x + 3y + 2 e) 5x + y + 6 c) 2x + y + 5 12. Factorizar: F(x, y) = 6x2 – 7xy + 2y2 – 13x + 7y + 5; Indicar un factor primo:

~ 79 ~


a) 3x – 2y – 5 b) 3x – y c) 2x + y d) 3x + 5y e) 4x – 5y - 1 13. Factorizar: M(x, y) = 6x2 + 9xy + 5x – 6y – 6; dar el factor primo de menor suma de coeficientes. a) 2x + 3y – 3 b) 2x – 3y – 3 c) 3x 2 d) 3x + 2 e) 2x + 4y – 3

b) x – 11y + 3 c) x + 3y - 4

18. Factorize: Q(x) = x8 + 15x4 + 18x2 + 6x6 + 9; Indique un factor primo: a) x4 + 3x2 + 3 b) x4 + x2 + 3 c) x4 – x2 + 3

d) 4x + y + 8 e) 2x – 3y + 2

15. Factorizar: F(x, y) = 6x2 – xy2 – 2y2 + 17x – 2y + 12; indique un factor primo: a) 2x + y – 2 b) 3x – 2y – 3 c) 3x – 2y + 4

d) 2x + y - 4 e) 3x + 2y - 4

16. Factorizar: G(x, y) = 6x2 + 20y2 + x + 23xy + 6y – 2; señale el factor primo de mayor suma de coeficientes: a) 3x + 4y + 2 b) 2x + 5y + 1 c) 2x – 5y - 2

d) 3x – 4y + 2 e) 3x – 2y + 4

17. Factorize: H(x, y) = x2 + 5x + 4 + 9y – 9y2; señalar un factor primo: a) x + 3y – 2

d) x4 – 2x2 - 3 e) x4 + 2x2 + 3

19. Factorize: P(x) = 2x4 + 5x3 + 3x2 + 5x – 3; indique un factor primo:

14. Factorizar: N(x, y) = 8x2 + 2xy + 28x + 13y + 24; y señalar el factor primo trinomio: a) 2x + 3y + 3 b) 2x + 3y + 1 c) 4x + y + 4

e) x – 3y + 4

a) x2 + x + 1 b) x2 + x – 1 c) 2x2 – x - 2

d) 2x2 + x + 3 e) x2 + x + 3

20. Factorize: P(x, y) = x4 + x3y – 7x2y2 – xy3 + 6y4; indique la menor suma de coeficientes de un factor primo: a) 5 d) 4

b) 2 e) -1

c) 0

21. Factorizar: P(x) = x4 + x2 + 1; señalar el número de factores primos: a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

22. Factorizar: P(x) = x4 + 2x2 + 9; indique un término de un factor primo. a) x d) x2

b) 8x e) 9

c) 7x

23. Factorizar: P(x) = x4 + x2 + 25; señalar el número de factores primos:

d) x + 3y - 1

~ 80 ~


a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

24. Factorizar: M(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24; indicar un factor primo. a) x + 5 b) x + 10 c) x + 9 d) x + 4 e) x + 7

F(x) = x4 + 6x2 + 25 a) x2 + 2x + 5 +3 d) x2 + 4x + 1

b) 1 e) -3

c) 2

P(x) = x4 + 4x2 + 16; dar la suma de factores primos. a) 2(x2 + 2) 4) d) x2 + 5

c) 2(x2 +

e) x2 - 5

P(x) = x4 + 4; dar la suma de factores primos.

b) x2 + 1 e) x2 - 3

a) x2 + 2x 2(x2 + 2) d) 2(x2 + 4)

d) x + 3 e) x - 3

b) x(x + 3) e) x(x - 3)

32. Factorizar: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6; indique un factor primo.

27. Factorizar: P(x) = 3x4 – x3 – 23x2 + 9x – 36; dar el factor primo de mayor grado. a) 3x2 – x + 9 b) 3x2 – x – 3 c) 3x2 – x + 4

b) 2(x2 + 3)

31. Factorize:

26. Factorizar: P(x) = x4 + x3 – x2 + x – 2; dar el factor primo de mayor suma de coeficientes. a) x + 2 c) x2 + 4 d) x – 1

e) x2 – x + 7

30. Factorizar:

25. Factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6; señalar la suma de coeficientes de un factor primo: a) 0 d) -4

b) x2 + x + 1 c) x2 – x

a) x + 1 c) x + 2 d) x + 6

b) x – 1 e) x - 3

33. Factorizar: P(x) = x3 – 13x + 12; y reconoce un factor.

28. Factorizar: P(x) = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1; indique un factor primo.

a) x + 1 c) x + 4 d) x + 3

a) x2 + 3x – 3 d) x2 + 3x - 1 b) x2 + 2x – 1 e) x2 -2x + 1 c) x2 + x + 2 29. Factorize y señale un factor primo de:

~ 81 ~

b) x – 2 e) x - 4

c)


MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES, SIMPLIFICACIÓN I.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS Máximo común divisor: Para determinar el MCD se factorizan las expresiones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXPONENTE. Mínimo Común Divisor : Para determinar el MCM se factorizan las expresiones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con su MAYOR EXPONENTE. Ejm : Hallar el MCD y MCM de Ay B A = (x - 1) 7 (x +8) 5 (x +5) 3 B = (x +8)

3

(x +5)

9

 Suma y Resta: Tener presente lo siguiente: • Simplificar las fracciones si es necesario. • Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador de los denominadores. • Se divide el mínimo común denominador entre cada denominador y se multiplica por el numerador respectivo. • Finalmente simplificar la fracción obtenida.  Multiplicación y División :

(y +1)

•

Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y denominadores y luego multiplicar estos entre si. Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que actúa como divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.

Sol : MCD (A, B) = (x + 8) 3 (x + 5) 3 MCM (A, B) = (x - 1) 7 (x + 8) 5 (x + 5) 9 (y +1) II.

•

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo 1. : Efectuar

Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denominador donde este último es a lo menos de primer grado. Por ejemplo

2 3 + 2 x -1 x - 2x +1 2

2 x 2 - 3x 5 x-y 7 * 5 x - 6

Solución:

*

III.

2 3 + ( x +1) ( x - 1) ( x - 1)

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Para simplificar una fracción se factoriza el numerador y el denominador y se elimina los factores comunes que aceptan.

2( x - 1) +3( x +1) ( x +1) ( x - 1) 2 2 x - 2 +3 x +3 ( x +1) ( x - 1) 2

Ejm : Simplificar : x 2 - 5 x +6 E= 2ax - 6a

E=

2

5 x +1 ( x +1) ( x - 1)

( x - 3) (x - 2) 2a ( x - 3)

2

Ejemplo 2. Efectuar:

x- 2 2a Operaciones con Fracciones algebraicas: E=

Solución:

~ 82 ~

xy - 2 y 2 x 2 + 2xy + y 2 * x 2 - xy x 2 - 2xy

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA y( x - 2 y) (x + y) 2 * x ( x + y) x ( x - 2y)

cx a y 4

Entonces: 48 x n +1 y m +1 = cx a y 4 c = 48 n + 1 = a ==> 6 + 1 = a ==> a = 7 m + 1 = 4 ==> m = 3 Reemplazando en la Ec. : m – 1 = b 3 – 1 = b ==> b = 2 ab − k + m Por tanto: E = c − mb + n 72 − 4 + 3 E= 48 − 3 2 + 6

y ( x - 2 y )(x + y) 2 x ( x + y) x ( x - 2y) y (x +y) x2 PROBLEMAS:

1.

Hallar el Máximo Común Divisor de:

48 45 16 E= 15 E=

A = x 4 − x 3 − 6x 2 y B = x 4 + 7 x 3 + 16 x 2 + 12 x

a) x2(x+1) b) x(x+2) c) x(x+2)2 d) x+2 e) x2 Solución A = x 4 − x 3 − 6 x 2 = x 2 ( x 2 − x − 6) B = x 4 + 7 x 3 +16 x 2 +12 x = x( x 3 + 7 x 2 +16 x +12 ) = x( x + 3)( x + 2) 2

MCD(A,B) = x(x+2)

1 1 1 1 b) e) 2 c) 2 d) 1+x 1−x 1+ x 1− x 1 x −1

Solución

1 −b2 (1 + bx − b − x )(1 + bx + b + x) 1 −b 2 M = (1 + bx − b − x)(1 + bx + b + x) M =

Rpta.B

ab − k + m , siendo c − mb + n A = 3 x n −1 ( 4 y m +1 ) ; B = 2 x n +1 (8 y m −1 ) . Además el MCM de A y B es cx a y 4 y el MCD de A y B es kx 5 y b .

Calcular E =

2.

1−b2 (1 + bx ) 2 − (b + x ) 2

a)

= x 2 ( x − 3)( x + 2)



Simplificar: M =

3.

Rpta. E

4.

a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15

Simplificar a su mínima expresión: E=

x 2 − y 2 xy − y 2 − xy xy − x 2

a) x2 b) x – 2y c) x d)

xy − 2 y 2 xy

x y

Solución

Solución

A = 3 x n −1 ( 4 y m +1 ) =12 x n −1 y m +1 B = 2 x n +1 (8 y m −1 ) =16 x n +1 y m −1  MCD(A,B) = 4 x n −1 y m −1

x 2 − y 2 − y (−x + y ) − xy x( y − x) 2 2 x −y y ( y − x) E= + xy x( y − x) 2 2 x −y y E= + xy x x2 − y2 + y2 E= xy 2 x E= xy E=

por dato del problema MCD(A,B) = kx 5 y b . Entonces : 4 x n −1 y m −1 = kx 5 y b

k=4 n – 1 = 5 ==> n = 6 m–1=b  MCM(A,B) = 48 x n +1 y m +1 por dato del problema MCM(A,B) =

~ 83 ~

e)

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA E=

x y

− z 2 +15 z −26 = A( z −3)( z +2) + B ( z −1)( z +2) +C ( z −1)( z −3)

Rpta. E Si la expresión E =

5.

Dando valores a “z” en la Ec. anterior tenemos:

mx + q , es igual a nx − q 2

1; hallar el valor de F =

Si z = 1 :

n2 , sabiendo que mq

“x” toma un solo valor. a) 0

b) 1

c) 2

Si z = 3: d) 4

e) 8 Si z = -2: 5)

Solución Por dato del problema:

mx 2 + q =1 nx − q

-1 + 15 – 26 = A(-2)(3) -12 = -6A A=2 -9 + 45 – 26 = B(2)(5) 10 = 10B B=1 - 4 – 30 – 26 = C(-3)(- 60 = 15C C = -4

mx 2 + q = nx − q

mx 2 − nx + 2q = 0

Entonces: A + B + C = 2 +1 – 4 = -1 Rpta. E

La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grado, y también por dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, entonces: Para que “x” tenga una solución debe cumplir: b 2 − 4ac = 0 Reemplazando tenemos:

7.

( −n) 2 − 4.m.2q = 0 n 2 = 8mq

Finalmente: F =

Solución Sean: n2 mq

P(x) = A 2 x+ 2x − B   M (CP,QD) = x − 1 Entonces P y Q 2 Q(x) = A x− 4x + B

8mq mq

F =8

6.

F =

Sean P(x) = Ax2 + 2x – B; Q(x) = Ax2 – 4x + B. Si: (x-1) es el MCD de P y Q, hallar el cociente B/A. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Rpta. E

Descomponer en fracciones parciales: − z 2 + 15 z − 26 A B C = + + . La 3 2 z − 2z − 5z + 6 z − a z − b z − c suma “A + B + C” es igual a: a) 5 b) 2 c) 1 d) –2 e) –1 Solución − z 2 +15 z − 26 A B C = + + ( z −1)( z − 3)( z + 2) z − a z −b z −c − z 2 +15 z − 26 A B C = + + ( z −1)( z − 3)( z + 2) z −1 z − 3 z + 2 2 − z +15 z −26 = ( z −1)( z −3)( z + 2) A( z −3)( z +2) + B ( z −1)( z + 2) +C ( z −1)( z −3) ( z −1)( z −3)( z + 2)

~ 84 ~

son divisibles por x-1 Entonces x – 1 = 0 x=1 * En P(x) A(1)2 + 2(1) – B = 0 A – B = -2 ……. (1) * En Q(x) A(1)2 - 4(1) + B = 0 A + B = 4 …….. (2) Resolviendo Ec. (1) y (2): A – B = -2 A+B= 4 2A =2 A=1 B=3 Por lo tanto

B 3 = =3 A 1

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA B =3 A

8.

3M + 3N = 3  + − 3M + 5N = − 6

Rpta C

Efectuar y simplificar: 2 xy x − . El numerador es: x 3 + y 3 x 2 − xy + y 2

A) x(y-x) B) x(x+y) E) xy(x-y)

8N = -3

C) x-y D) x+y

Solución. 2 xy x − 2 = 3 x +y x − xy + y 2 2 xy x − 2 2 2 ( x + y )( x − xy + y ) x − xy + y 2 2 xy − x ( x + y ) = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )

10.

A) 28

Rpta. D

2

B) –8 C) 12 D) –6 E) 2

Solución 8 xy 4 x + 2 xy + y 2 K= 8x 3 + y 3  2y  1−  3 3  8x − y  2 x + y  2−

2

8 x 2 + 4 xy + 2 y 2 − 8 xy 4 x 2 + 2 xy + y 2 K= 3 8x + y 3  2 x + y − 2 y    8x 3 − y 3  2 x + y 

Hallar M + N para que se tenga:

y −6 M N = + y +5 y −3 y 2 + 2 y − 15

E) –3/8

8 x 2 − 4 xy + 2 y 2 4 x 2 + 2 xy + y 2 K= (2 x) 3 + y 3  2 x − y  (2 x) 3 − y 3  2 x + y 

Solución. y −6 M N = + y +5 y −3 y + 2 y − 15 y −6 M ( y − 3) + N ( y + 5) = ( y + 5)( y − 3) y 2 + 2 y −15 y −6 My − 3M + Ny + 5 N = ( y + 5)( y − 3) ( y + 5)( y − 3) 2

2( 4 x 2 − 2 xy + y 2 ) 4 x 2 + 2 xy + y 2 K= (2 x + y )(( 2 x ) 2 − 2 x. y + y 2 )  2 x − y  (2 x − y )(( 2 x) 2 + 2 x. y + y 2 )  2 x + y  2(4 x 2 − 2 xy + y 2 ) 4 x 2 + 2 xy + y 2 K= (2 x + y )( 4 x 2 − 2 xy + y 2 )  2 x − y  (2 x − y )( 4 x 2 + 2 xy + y 2 )  2 x + y 

Simplificando denominadores tenemos: y − 6 = My − 3M + Ny + 5 N

y − 6 = ( M + N ) y − 3M + 5 N

Entonces: M+N= 1 -3M +5N = -6

11 3 8 − = =1 8 8 8

8 xy 4 x + 2 xy + y 2 K= 8x 3 + y 3  2y  1−  3 3  8x − y  2 x + y 

El numerador es: x(y-x) Rpta. A

B) 3/8 C) 7/4 D) 1

11 8

Reducir la expresión: 2−

2 xy − x 2 − xy ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )

A) 11/8

M =

M + N = 1

xy − x 2 = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) x( y − x ) = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )

9.

−3 8

Por lo tanto: M + N =

3

=

N=

K=

2( 4 x 2 − 2 xy + y 2 )( 2 x − y )( 4 x 2 + 2 xy + y 2 )( 2 x + y ) ( 4 x 2 + 2 xy + y 2 )( 2 x + y )( 4 x 2 − 2 xy + y 2 )( 2 x − y )

Simplificando la Ec. Anterior tenemos:

~ 85 ~


Rpta. E

K =2

7.

N = a 4 − 2a 2 − 3

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

2.

El MCD de ( xy + y 2 ) 2 ; x 2 y − 2 xy 2 −3 y 3 ; ax 3 y + ay 4 ; x 2 y − y 3 ; es: A)x(x+y) B)x(x-y) C)y(x+y) D)y(x-y) E)N.A.

A) 3(a+1) (a+1)(a+2)

Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x2 y3z; B(x;y;z) = 4x3 y3 z2; C(x) = 6x4 A) 12 x 3 y 3 z B) 12 x 4 y 3 z 2 C) 4 2 2 72 x 4 y 3 z 2 3 6 x y z D) E) N.A.

9.

AB = ( x 6 +1) 2 − 4 x 6 ; MCM ( A, B ) = ( x 2 +1) 2 − 4 x 2 . Uno de MCD ( A, B )

El denominador es: A) a 2 + b 2 B) a 2 − b 2 C) b 2 − a 2 D)a+b E)a(a-b) Simplifique E =

los factores del MCD(A,B) es: A) x+1 B) x-1 C) x2-x-1 D) x2+x+1 E) x2+x-1

x n +1 y − xy n +1 . x 2 n +1 y − xy 2 n +1

10.

A) x n + y n B) x −n + y −n C) ( x n − y n )−1 D) ( x n + y n )−1 2 ( xn + y 4.

E)

)

n −1

E =3−

Reducir la expresión:

3 3−

11.

3 3−

2( x − 2) 3( x − 2) B) C) 2x −3 2 x −3 x +2 x +2 x −2 D) E) 2x −3 x +3 2x −3

3 x

A)

5.

Sabiendo que A(n+p)=m; C(m+n)=p; B(p+m)=n; reducir a su mínima expresión: J = A) –2

6.

AB + AC + BC 2 ABC − 1

B) –1 C) 0

D) 1

Simplificar la expresión: x 4 − 3 x 3 − 16 x 2 + 48 x . E= x 3 − 16 x A) x+2 B) x-3 C) x+4 D) x-5 E) x2-3 Hallar el MCD de los polinomios: P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1) Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6) a) (x + 2) b) (x + 2)(x - 3) c) (x + 2)2(x - 3)4

d) (x + 1)(x - 3) e) N.A.

12.

Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1) Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6) a) (x + 2)5(x - 3)5(x + 1)(x + 6) b) (x + 2)4(x - 3)4(x - 2) c) (x + 1)6(x - 1)6 d) (x + 2)2(x - 3)4 e) (x + 1)(x - 2)

13.

Hallar el MCD de los polinomios: P(x) = (x + 3)4(x2 + 1)6(x - 2)2(x + 7)6 Q(x) = (x + 7)2(x2 + 1)3(x - 2)4(x + 5)6 R(x) = (x + 5)4(x2 + 1)2(x - 2)3(x + 3)3

E) 2

Calcular: T÷ W Si: 1 T =a+ 1 b+ y 1 a+ b + ... 1 W =b+ 1 a+ 1 b+ a + ... A) a B) b C) a/b C) 2a E)2b

B) (a+1)(a+3) C) 2 D) a+1 E) a +1

8.

Efectúe y simplifique:  a 2 + ab a 2 − ab  (a 2 − b 2 ) ÷  2 ÷ 2 .  b + ab b − ab 

3.

Calcular el MCD de M = a 3 − 7 a − 6 y

a) (x2 + 1)(x - 2) 1)4(x - 2)3 b) (x2 + 1)2(x - 2)2

~ 86 ~

d) (x2 + e) N.A.


c) (x + 1)(x + 3) 14.

a) 2 d) 5

Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 3)4(x2 + 1)6(x - 2)2(x + 7)6 Q(x) = (x + 7)2(x2 + 1)3(x - 2)4(x + 5)6 R(x) = (x + 5)4(x2 + 1)2(x - 2)3(x + 3)3

19.

a) (x2 + 1)6(x - 2)4(x + 3)4(x + 7)6(x + 5)6 b) (x2 + 1)3(x - 2)2(x + 3)8(x + 7)5 c) (x + 1)(x - 2)(x + 5) d) (x2 + 1)(x - 2)(x + 3) e) N.A. 15.

20.

Hallar el MCD de los polinomios: P(x, y) = x3 – xy2 + x2y – y3 F(x, y) = x3 – xy2 – x2y + y3 C(x, y) = x4 – 2x2y2 + y4

a) a – b b2)2 d) (a2 – b2)3 17.

b) 2 e) 5

c) 3

Si los polinomios: A(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n B(x) = 2mx3 + 2nx2 + px - q admite como MCD a: 2x2 + 2x + 1 Hallar un divisor de B(x).

c) (a2 –

e) (a - b)3

a) x2 + 2x – 1 2x2 + x + 1 d) 3x – 1 22.

b) x – 2 e) x2 + 1

Determinar el grado del MCM de los polinomios: A(x) = x2 – 15x + 36 B(x) = x2 – 9 C(x) = x3 + 6x2 – 63x + 108

c) 3

B A

a) 1 d) 4 21.

Hallar el MCD de los polinomios: A(x) = 5x3 – 5x2 + 2x – 2 B(x) = 2x3 + 2x2 – 2x – 2 C(x) = x4 + x3 – x2 – x a) x2 – 1 c) x - 3 d) x – 1

18.

b) (a + b)3

b) 2 e) 5

Sean: M(x) = Ax2 + 2x – B T(x) = Ax2 – 4x + B Si (x - 1) es el MCD de M(x) y T(x), hallar:

Calcular el MCM de: A(a, b) = a2 – b2 B(a, b) = a2 – 2ab + b2 C(a, b) = a2 + 2ab + b2

c) 4

Si el MCD de los polinomios: M(x; y) = 48xn-2ym+1zn N(x; y) = 36xnym P(x; y) = 72xn-1ym-1 es x2y3; entonces “m2 – n2” es: a) 0 d) -4

a) x + y b) x – y 2 2 c) x – y d) (x + y)(x – 3y) e) N.A. 16.

b) 3 e) 6

~ 87 ~

c)

e) 2x + 1

Si el MCD de: P(x) = x3 – 7x2 + 16x – m F(x) = x3 – 8x2 + 21x - n es (x2 – 5x + 6). Hallar: “m + n” a) 30 d) 40

23.

b) x – 3

b) 20 e) -40

c) -30

Indicar el MCD de los polinomios: A(a, b) = a2 + ab – 6b2 B(a, b) = a2 – ab – 2b2 C(a, b) = a2 – 4ab + 4b2


a) a + b c) a – 2b d) a + 2b 24.

e) ab

26.

28.

Si:

A(x, y) = 12xn-1ym+1 B(x, y) = 16xn+1ym-1 cumple: MCM = α xay4; MCD = β x5yb Calcular: R=

25.

a) x2y4z6 d) xyz4

b) a – b

β+b −n α+ a −m

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 4 Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1) Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6)

a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8 b) (x + 7)4(x + 6)8 c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x 6)2(x + 2)3 d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2 e) (x + 7)4(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3 27.

Dados los polinomios: A(x; y; z) = x4y3z6 B(x; y; z) = x5y4z10 C(x; y; z) = x6y2z5 Indicar:

S=

b) x – 1 e) x2 + 1

Hallar el MCD de los polinomios: A(x) = (x + 2)6(x - 1)4(x - 2)6(x + 3)4 B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2 C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2 a) (x - 1)(x + 2) b) (x + 1)(x + 3) 1)2 c) (x - 1)2(x + 2)2

a) (x + 2)5(x - 3)5(x + 1)(x + 6) b) (x + 2)4(x - 3)4(x - 2) c) (x + 1)6(x - 1)6 d) (x + 2)2(x - 3)4 e) (x + 1)(x - 2) Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3 F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x - 6)2 S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2

MCM (A; B; C) MCD (A; B; C)

~ 88 ~

c) x2y2z5

Señale el MCD de los polinomios: A(x) = x4 – 1 B(x) = x2 – 3x + 2 a) x – 2 c) x + 1 d) x2 – 1

29.

b) x2y4z3 e) xyz

d) (x + 2)2 e) (x -


RADICACIÓN, VERDADERO VALOR, ECUACIONES E INECUACIONES RADICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polinomio. - Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y se llama polinomio dado, eliminándose la primera columna. - Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raíz hallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del primer termino de la raíz. - El cociente es el segundo termino de la raíz. Este segundo termino de la raíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino de la raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segundo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos términos que se habían bajado. - Se continúa hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor que el grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.

Radicación es la operación que consiste en hallar una cantidad algebraica “r”, llamada raíz, que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad dad “A”, llamada radicando. En general : Signo radical

A= r

n

→ A = rn índice radicando

raíz

Leyes de Signos : *

impar

*

impar

*

par

+ A =+ r

Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio :

− A =−r

x 4 - 10 x 3 + 29 x 2 - 20 x + 4 Solución:

+ A =+ r

Ejm 1. : Hallar

4

- 1 x 03 + 2 x 92 - 2 x 0 + 4

x4

par

* + A =imaginaria (esta raiz no tiene valor real) Raíz de un monomio : Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raíz del signo, luego la raíz del coeficiente y finalmente se dividen los exponentes de las letras entre el índice de la raíz.

-x 0

4

⇒

Ejm 2. : Hallar

4

3

16 x

y

20

z

8

= 2x

4

5

y z

2

− 27 x 12 y18 z 3

Procedimiento : Se ordena y se completa

- Se agrupa de 2 en 2 los términos, empezando por la derecha. - Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede ser un solo

2

(2 x - 5

2

x

x( - ) 5

0 + x 4 2 ( x 2 - 5 ) x= 2

x - 2

x + 2 0 - x 4 ( 2 2 - x1 _ _ _ 2

∴ x 4 - 10x 3 + 29x Radicales Dobles:

⇒ 3 − 27 x 12 y 18 z 3 = - 3x 4 y 6 z Raíz Cuadrada de un polinomio

-

2

4 -4

16

2(x 2) = 2

- 1 x 03 + 2 x 92 - 1 x 03 - 2 x 52 0

16 x 16 y 20 z 8

x2 - 5 +x 2

2

)

x- 1

0

0+ 2x ( ) 2

)

x

- 20x + 4 = x 2 - 5x + 2

Son aquellos en cuyo interior aparecen otros radicales ligados entre si por las operaciones de suma o resta. Forma general: A ± B Transformación de radicales dobles en radicales simples: Caso1: Radicales de la forma A ± B Este caso se podrá transformar en radicales simples solo si :

~ 89 ~

2

x

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA Solución: A -B = C Entonces: 2

Donde C es raíz exacta, si esto es cierto,

24 +16

2

=

24 +16

A −C 2

=

24 +2.(8)

=

24 +2

A +C A −C A− B = − 2 2

=

A +C A+ B = + 2

2+ 3

Solución: A = 2; B = 3 C=

A2 - B

2+ 3 =

2 +1 + 2

2+ 3 =

3 + 2

2 −1 2

16x8

1 2

1er Caso.- cuando el denominador irracional es un monomio de la forma:

A n

Ejm. 1. : Descomponer en radicales simples: 10 +2 21

Solución: 10 +2 21 tiene la forma de segundo caso entonces buscamos dos números que sumados sea 10 y multiplicados 21. Dichos números que cumplen son 7 y 3. Entonces :

Es decir:

A n

10 +2 21 = 7 + 3

=

Ejm. 2. : Descomponer en radicales simples : 11 + 120

Solución:

= 11 + 120

=

11 − 4 x 30

=

k

A n

a

k

.

n

a n −k

n

a n −k

Aa a n −k n

a n +k −k

An a n−k n

an

An a = a

n −k

3

3 3

⇒

6X5

3 3 32 33 9 33 9 33 9 3 . = = = = 9 3 3 3 3 32 3 3.3 32 3 33

6− 5

Ejm. 3. : Descomponer en radicales simples: 2

a

=

Ejem : Racionalizar

11  − 2 30 

24 +16

ak

Procedimiento: Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por una expresión de la forma: n a n−k que recibe el nombre de FACTOR RACIONALIZANTE

a + b ± 2 ab = a ± b

=

24  + 2 128 

16 +8

Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equivalente que sea racional. Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientes casos

Caso 2 : Radicales de la forma :

6+5

64.2

RACIONALIZACION

C = 22 - 3 = 4 - 3 C =1

Por tanto :

2

= 16 + 8 = 4 + 4x 2 =4 + 2 2

Ejm : Descomponer en radicales simples :

Entonces:

2

2do Caso.- Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se racionaliza

~ 90 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA multiplicando y dividiendo por su conjugada del

A a± b

denominador. De la forma:

3 7+ 2

Ejm. : Racionalizar :

3 = 7+ 2

(

)

E=

(

( =

3 7− 2 3 7− 2 = 7−2 5

(

)

)

(

a ±3 b

o

3

)

( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

5

10 − 5 3

(

4

(

4

=

=7

(

3

(

5 +3 2

)(

5 − 3 5.3 2 + 2

7 5 − 5.2 + 2 3

2

3

3

3

2

)

3

2

)

53 + 3 2 3

)

25 − 3 10 + 3 4 7(3 25 − 3 10 + 3 4 ) = 5+ 2 7

E=

4to Caso: Cuando el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índices iguales pero mayores que 3, de forma: n a ± n b Ejem. Racionalizar

5

2

5

2

5

10 − 5 3

3

3

4

5

2

2

x 2 − 2 x − 15 , para x = 5 x 2 − 25

⇒ Factorizando el numerador y denominador tenemos

E=

x 2 − 2 x − 15 x 2 − 25

E=

( x − 5)( x + 3) ( x + 5)( x − 5)

E=

x +3 x +5

14 10 − 5 3

⇒

~ 91 ~

Reemplazando nuevamente tenemos:

E=

5+3 8 = 5 + 5 10

E=

4 5

4

)

3 + 5 10 . 5 3 + 5 3

5 2 − 2.5 − 15 0 = , es indeterminado 0 5 2 − 25

= 3 25 − 3 10 + 3 4

E=

3 + 5 10

3

3

Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; para esto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar operaciones obtenemos 0/0 que es un resultado no definido o indeterminado. Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indeterminación.

2

(

3

5

2

Solución: Sustituyendo x = 5 en la fracción

7 ( 3 5 − 3 5. 3 2 + 3 2 2 ) 2

10 .4 + 5 10 5

E=

7 5 +3 2

3

5

2

Ejm 1: Hallar el verdadero valor de la fracción:

⇒ 2

)(

3

14 5 10 + 5 10 .5 3 + 5 10 .5 3 + 5 10 .5 3 + 5 3

Ejm.:

3

3

VERDADERO VALOR DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3

7 E=3 = 5+3 2

2

2

Nota.- Recordemos que

3

2

E = 2(5 10000 + 5 3000 + 5 900 + 5 270 + 5 81 )

a 2 ± 3 ab + 3 b 2

Racionalizar: E =

3

Simplificando:

3er caso: Cuando el denominador irracional es un binomio o trinomio cuyos radicales son de tercer orden. 3

(

4

14 5 10 + 5 10 .5 3 + 5 10 .5 3 + 5 10 .5 3 + 5 3 E= 7

)

3 7− 2 3 7− 2 = 7+ 2 7− 2 7 2 − 22

)(

E=

(

14 5 10 + 5 10 . 5 3 + 5 10 . 5 3 + 5 10 .5 3 + 5 3

)

4

)

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA Ejm. 2: Hallar el verdadero valor de la fracción:

B.

Según el número de Raíces o soluciones, las ecuaciones pueden ser:

x 2 − x −12 , para x = 4 x −2

E=

1.

Ecuaciones Compatibles.Cuando tienen solución. a su vez pueden ser:

Solución: sustituyendo x = 4 en la fracción tenemos

E=

E=

⇒

E=

E=

E=

0 0

-

x 2 − x −12 x −2

( x − 4)( x + 3).(

(

)(

x −2 .

Ejm: 3 +

x +2 x +2

( x − 4)( x + 3) (

)

x +2

2

)

( x − 4)( x + 3) (

x +2

x −4

(

x +2

-

)

)

x +3 = x +3

2.

Ecuaciones Incompatibles o absurdas.- cuando no tiene solución

)

Ejm.: E=(4+3)(2+ 2) E=(7)(4) = 28

x (3 x −1) + 5 = 3 x ( x + 3) −10 x + 6

5=6

ECUACIONES

C.

Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que queda satisfecha solo para algunos valores asignados a sus letras.

Según el tipo de coeficientes:

1.

2.

A. Según que sus incógnitas estén afectadas o no de radicales las ecuaciones pueden ser:

Ecuaciones Literales.- cuando al menos uno de sus coeficientes es letra Ejm.: ax + b = cx + d , donde x es la incógnita

1.

Ecuaciones Racionales.cuando sus incógnitas no están afectadas de radicales.

D.

Según el grado:

1. 2. 3.

1 x +1 = 5 2

Ecuaciones Irracionales.Cuando al menos una de sus incógnitas está afectada de radical x+

Ecuaciones numéricas: Cuando los coeficientes son números Ejm: x 2 + 5 x + 6 = 0

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES

2.

Compatibles Indeterminadas: cuando el número de raíces es limitado: Ejm.: ( 2 x −1) − ( x − 4 ) = 5 x − ( 2 + 4 x ) + 5

Reemplazando seremos:

x+

x x = 5 2

x = 10

x −4

E = ( x + 3)

Compatibles Determinadas: Cuando el número de raíces es limitado

Primer grado 5 x − 1 = 9 Segundo grado x 2 + 5 x + 6 = 0 Tercer grado: x 3 − 8 = 0

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Formula General

x =3

ax + b = 0

~ 92 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA ⇒ Identificando: a=1; b= -5: c=4

Siendo a y b coeficientes, x es la incógnita. La solución es

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a 5 ± 25 − 4.1.4 x= 2.1 5 ± 25 −16 x= 2 5 +3 8 x= = =4 5 ±3 2 2 x= 2 5 −3 2 x= = =1 2 2 x=

−b a

Ejm: Resolver: x − x 2 − 8 = 4 Solución: x −4 = x 2 −8

( x −4 ) 2

=

(

x 2 −8

)

2

x 2 −8 x +16 = x 2 −8 −8 x +16 = −8 16 +8 =8 x

x =3

Reemplazando x = 3 en la ecuación anterior llegamos 2 = 4

∴

La ecuación es incompatible.

C , S . = {1,4} Discusión de las raíces de la Ecuación de Segundo grado La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, dependen del valor del Discriminante (∆ ).

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Donde ∆ =b2 – 4ac

Estas ecuaciones se llaman también ecuaciones cuadráticas de la forma siguiente:

Analicemos los 3 casos:

a) sí ∆ > 0 , las dos raíces son reales y desiguales

ax + bx + c = 0 2

b) si ∆ = 0, las dos raíces son iguales y

Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita:

c)

reales si ∆ < 0, las dos raíces son complejas y conjugadas

Se resuelve mediante dos formas: a) Resolución por factorización Ejm: Resolver x 2 − 5x + 4 = 0

Propiedades de las Raíces.- Dada la Ec. ax 2 + bx + c = 0 sus raíces son:

( x − 4)( x −1) = 0

⇒

x −4 = 0

x −1 = 0 x =4

x =1

b) Resolución por fórmula General

x2 =

− b − b 2 − 4ac 2a

a) x1 + x 2 =

ax 2 + bx + c = 0 x=

− b + b 2 − 4ac 2a

Entonces:

Sea la ecuación:

Entonces

x1 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

b) x1 .x 2 =

−b a

c a

Formula General

Formación de Ecuación de segundo grado.-

Ejm.: Resolver x 2 − 5 x + 4 = 0

Sea x1 y x 2 raíces de ecuación

~ 93 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA * ( x ± a1 )( x ± a 2 )( x ± a n ) > 0 puede ser

Entonces la ecuación se formará así:

≥ 0, < 0, ≤ 0 donde a i son diferentes entre si

x 2 −( x1 +x 2 )x +x1 x 2 =0

DESIGUALDADES E INECUACIONES Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se establece entre dos números reales y que nos indica que tienen diferente valor. Si: a, b ∈ ℜ / a ≠ b ⇒ a > b ó a < b Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presenta por medio de Intervalos.

1. •

Nota: En lugar de ( x ± a ) puede ser ( cx ± a ) pero c > 0 PROCEDIMIENTO:

1. Se hallan todos los valores críticos

< a, b >

Intervalo abierto:

a < x < b

.

ó ( a, b )

(a, b ]

(raíces) de cada uno de los factores, ordenando en forma creciente sobre la recta real. 2. Se coloca entre estos VALORES CRITICOS los signos (+) y (-) en forma alternada de derecha a izquierda. 3. La solución de la inecuación estará dada por: • Zonas Positivas: Si el sentido de la última desigualdad es > ó ≥

ó

Intervalo cerrado: Intervalos mixtos: ó ]a, b ]

•

a ≤ x < b

[a, b[ 2.

≥ 0, < 0, ≤ 0 donde a i y bi son todos diferentes entre si

Clases de Intervalos:

]a, b[ • •

( x ± a1 )( x ± a2 ).......( x ± an ) > 0 También ( x ± b1 )( x ± b2 ).......( x ± bm )

a ≤ x ≤ b a < x ≤ b

[ a, b >

[a, b]

•

ó [a, b ) ó

Zonas Negativas: Si el sentido de la última desigualdad es < ó ≤ 4. Los valores críticos será parte de la solución cuando la desigualdad es ≤ ó ≥ de lo contrario no serán parte de la solución

Inecuaciones de 1er grado: Son aquellas que pueden reducirse a la forma

OBSERVACIÓN: a x

3.

ó

a x

+ b < 0

•

En lo posible debe tratarse que el coeficiente(principal) sea positivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo miembro figure el cero • Si la expresión (trinomio) no es factorizable, se resolverá como una ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces representan “Puntos Críticos” • Si las raíces son imaginarios, el trinomio se reemplaza por la unidad

Inecuaciones de 2do grado: Son aquellas que pueden reducirse a la forma ax

4.

+ b > 0

2

+ bx + c > 0

ó

a x

2

+ b x + c < 0

Inecuaciones de grado Superior: Son aquellas cuyo grado es mayor o igual que tres.

OBSERVACIÓN: para resolver inecuaciones de 2do grado y grado superior se recomienda usar el método de puntos críticos.

a  ≥ 0 los valores críticos b

En el cociente 

provenientes del denominador no forman parte de la solución (son abiertos)

METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER INECUACIONES: Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociente, y que luego de reducirla por factorización se obtiene una de las formas:

~ 94 ~

Sea n ∈Z +

a 2nb > 0 ⇔ b > 0 ∧ a ≠ 0 a 2 n .b > 0 ⇔ b > 0 ∨ a = 0

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA Tomamos los negativos:

a 2 n .b > 0 ⇔ b < 0 ∧ a ≠ 0 a 2 n .b ≤ 0 ⇔ b ≤ 0 ∨ a = 0

⇒ C.S . = x ∈ 5<,6 >

a 2 n +1b > 0 ⇔ ab > 0 a 2 n +1 .b ≥ 0 ⇔ ab ≥ 0 a 2 n +1b < 0 ⇔ ab < 0 2 n +1 a b ≤ 0 ⇔ ab ≤ 0

PROBLEMAS:

1.

a) d)

− x 3 + x 2 + 22 x − 40 ≥0 x( x + 7 )

Solución:

0

y

A = 4 x 3 − 3.x.C



10 = 4x3 - 3x(-2) 4x3 + 6x –10 = 0 2x3 + 3x –5 = 0 por tanteo x = 1

x >6 x −5



y = x2 - C y = 12 – (-2) y=3



Por lo tanto: 3

10 + 6 3 = 1 + 3

=1+ 2.

Rpta. D

3

33 2 3 4 −3 2 −2 a) 3 2 −1 b) − (3 4 +1) c) d) − (3 2 +1) e) 3 2 + 1

Racionalizar:

3

4 +1

Solución

Valores críticos: 6 y 5

33 2

+

+ 5

x+

C = -2

Ejemplo 2:

x −6 > 0 x −5 x − 6( x − 5) >0 x −5 x − 6 x + 30 >0 x −5 − 5 x + 30 >0 x −5 5 x − 30 <0 x −5 5( x − 6 ) <0 x −5

5 +1

C = 3 100 −108

⇒x ∈〈− ∞ ,−7〉 ∪[ − 5,0 > ∪[ 2,4]

Solución:

c)

C = 3 A2 − B

4

Como la inecuación es “ ≤ ” se toma los “negativos”

Resolver:

3 +2 5 −1

10 + 6 3 = 3 10 + 108 =



+ 2

e)

A = 10 B = 108 Sabemos que A = 4x3-3.x.C , y = x2-C

+ - 5

3 +1

3

Valores críticos 2, 4, -5, 0, -7

- 7

b)

3 −1

Solución

x 3 − x 2 − 22 x + 40 ≤0 x( x + 7 ) ( x − 2)( x − 4)( x + 5) x( x + 7 )

+

10 + 6 3

3

Ejemplo 1: Resolver:

Transformar a radicales simples:

2

2 −3 2 −2 2 = x3 3

6

~ 95 ~

Hacemos

3

2 = x ==>


Reemplazando tenemos:

a) x>0

3x 3x = 2 x − x − 2 ( x − 2)( x +1)

=

Solución

3 x( x 2 + 2 x + 4)( x 2 − x +1) ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)( x +1)( x 2 − x +1)

=

1 <2 x 1 x + −2 <0 x 2 x +1 − 2x <0 x ( x − 1) 2 <0 x ≠1 x 1 <0 x x <0 Rpta. B x+

3 x ( x 4 − x 3 + x 2 + 2 x 3 − 2 x 2 + 2 x + 4 x 2 − 4 x + 4) ( x 3 − 2 3 )( x 3 + 1)

=

=

3 x ( x 4 + x 3 + 3 x 2 − 2 x + 4) ( x 3 − 8)( x 3 + 1)

=

3( x 5 + x 4 + 3 x 3 − 2 x 2 + 4 x) ( x 3 − 8)( x 3 + 1)

3( x 3 .x 2 + x 3 .x + 3 x 3 − 2 x 2 + 4 x ) ( x 3 − 8)( x 3 + 1) =

3(2 x 2 + 2 x + 3.2 − 2 x 2 + 4 x ) (2 − 8)( 2 + 1) =

5.

a) [1/3;3] b) [-5;7] c) <-5;0] d) [-5;7> e) [0;7]

Rpta. D

Solución

La solución de la Inecuación: x − 9 x + 18 < 0 es:

Multiplicando por 3:

2

a) (3,6] e) (2,6)

b) (3,6)

c) [3,6]

2x – 5 < 1 – x + 15 3x < 21 x<7

d) [3,6)

Entonces: x ∈[ −5;7]

Solución

x 2 − 9 x + 18 < 0

(x-6)(x-3)<0

6.

puntos críticos: 3 y 6 +

3

+

En x +

4. es:

Rpta B.

Determinar el valor de “m” para que la ecuación x 2 + 2mx + m 2 = 0 tenga raíces iguales. a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2

6

Solución

Como la inecuación es < se toma los negativos. C.S. = (3,6)

Obtenga el conjunto solución de la siguiente inecuación: 2x − 5 1 − x ≤ + 5 para x ∈[ −5; ∞+] 3 3

3(6 x + 6) 18 ( x +1) = (−6)( 3) −18 = −( x +1) = −(3 2 +1)

3.

b) x<0 c) x = 0 d) x>2 e) x>2

Rpta. B

1 < 2 ; el valor de x correcto x

7.

~ 96 ~

Cuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la forma: ax2+bx+c=0. Se cumple: b2 – 4ac = 0 b2 = 4ac (2m)2 = 4.1.m2 4m2 = 4m2 m puede tomar cualquier número real. Rpta. A Efectuar:

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA 3 2

E=

−

9 + 2 18

A) 3

B) 2

4 3 8 + 2 12

C) 1

6

+

D) 0

E=

5 +2 6

E) N.A.

Reemplazando el valor de x

Solución 3 2

E=

E=

−

9 + 2 18

3 2 9 + 2 18 

6 +3

4 3 8 + 2 12

4 3

−

8 + 2 12 

6+ 2

6 x3

5 +2 6

6

+

6x2

4 2 2+ 2 4 2 E= 2 2

E=

6

+

3x2

3x2

Rpta. B

E =2

5 + 2 6

3 2 4 3 6 E= − + 6+ 3 6+ 2 3+ 2 3 2 ( 6 − 3) E= − ( 6 + 3 )( 6 − 3 )

9.

La diferencia de las raíces de la Ecuación x 2 − 3x + 2,16 = 0 , es: A) 3 B) 0 C) 0,6 D) 1,5 E) 2,16 Solución.

4 3( 6 − 2 ) 6( 3 − 2) + ( 6 + 2 )( 6 − 2 ) ( 3 + 2 )( 3 − 2 )

x 2 − 3 x + 2,16 = 0

216 =0 100 216 x 2 − 3x + =0 100 54 x 2 − 3x + =0 25

3 2 ( 6 − 3) 4 3( 6 − 2 ) 6( 3 − 2) − + 6 −3 6−2 3−2 3 2 ( 6 − 3) 4 3( 6 − 2 ) 6( 3 − 2) E= − + 3 4 1

x 2 − 3x +

E=

E=

4 2 2+x + 2

2 ( 6 − 3) − 3( 6 − 2 ) + 6 ( 3 − 2 )

E = 12 − 6 − 18 + 6 + 18 − 12 E =0

Multiplicando la Ec. Anterior por 25.

Rpta. D 8.

Calcular

el

25 x 2 − 75 x + 54 = 0

verdadero

valor

(5 x − 9)( 5 x − 6) = 0

de

 2+x − 2  4 2 , cuando x = 0. E =   x  

(

A) 0

B) 2

)

C) 1

D) 4

x=

9 5

x=

E) 6 Por tanto:

Solución

(

(

)

)(

)(

2+x − 2 2+x + 2 4 2 x 2+x + 2

( ) ( 2 + x ) − ( 2 ) (4 2 ) E= x( 2 + x + 2 ) 2+ x −2 E= (4 2 ) x( 2 + x + 2 ) 2

2

)(

x 4 2 x 2+x + 2 1 E= 4 2 2+x + 2 E=

(

9 6 3 − = = 0,6 5 5 5

Rpta. 0,6

 2+x − 2  4 2 E =   x  

E=

6 5

(

) 10.

x Hallar y en

A) 4/5

)

Solución

)

~ 97 ~

 x + y + x − y = 2 0   x + y − x − y = 1 0

B) 5/4 C) 3/4 D) 4/3 E) 125


x + y + x − y = 2 0 + x + y − x − y = 1 0 2 x+y

3. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente: (3 − x)3 + ( 4 + x)3 = 7 ; Hallar el valor de (3 − x) 2 + ( 4 + x) 2

= 30 x + y =15

x + y = 225

2a+3b. A) –8

......... (1)

Tenemos: x + y + x − y = 20

4. Al

x + y + x − y = 2 0  + − x + y + x − y = − 1 0 x −y =10 x − y =5

x − y = 25

a b − b a

racionalizar

a

,

se

obtiene: A) 4 ab − b B) ab − b C) b − a D) ab D) 4 b − b 5. El conjunto de solución de: x − 1 x + 1 x + 20 − = , es: x + 1 x −1 x2 −1 A) {−5} B) {− 4} C) {0} D) {4} E) {5}

x + y − x − y = 10 Multiplicando por –1 a la segunda Ecuación:

2

B) –6 C) –5 D) –4 E) –3

6. Resolver: 35 − x 2 − 2 x > 0 . El intervalo solución es: A)<-7;5] B)[-7;5> C)<-7;5> D)[-7;-5] E)N.A.

.......... (2)

De la Ec. (1) y (2):

x + y = 2 2 5 + x − y = 2 5

7. Resolver:

2 x +1 ≥3 . x +1

El intervalo de

solución es: A)[-2;-1> B)<-2;-1> C) D) [-2;-1] E)N.A.

2 x = 250 x = 1 2 5

<-2;-1]

y = 1 0 0

8. Hallar

el verdadero valor 3 1+ x − 1− x H= , cuando x=0. x A) 0 B) − ∞ C) D) 2/3 E) 3/2

x 125 5 Por lo tanto: y = 100 = 4 x 5 = y 4

Rpta. B PROBLEMAS PROPUESTOS

9. Hallar el verdadero valor de

1. Determinar el valor de 2 3 x −5 > 4 2 x − 4 A) x<3 B) x<4 C) 13

“x”

en:

5 +2 9 +2

a+ b

A) 12

7 −2

6

x = 64, es: A) 1 B) 2

C) 3

3

D) 4

+∞

x −8 para x −4

E) 5

D) x>4 10. Resolver:

2. Al Reducir: 7 +4

de

3

; se obtiene

; a>b. Hallar a+b. B) 14 C) 9 D) 11 E) 15

x2 < x +6 x −2

x ∈ <− ∞ ,2 > B) x ∈ <,3+ ∞> x ∈ −< ∞,2 > ∪ < 3,+ ∞> D)

A)

~ 98 ~

C)


x ∈ <− ∞ ,3 >

E)

11. Racionalizar:

x ∈ <, 2 + ∞>

e) N.A.

16. Racionalizar:

4 3

d) 5

;

xy 5z11

5

( 5 − 2 ) ( 7 + 2)

e indicar el denominador:


a) xyz c) x2y2z d) x2yz

a) 1 d) 9

b) xy2z3 e) N.A.

b) 2 e) N.A.

17. Racionalizar:

12. Racionalizar:

3

;

2 ab 3c5

b) abc e) N.A.

c) abc2

18. Racionalizar: 13. Racionalizar:

2 3

5

m2n3p 6

9 −2

c) 3

;

indicar el denominador: a) -1 b) 1 d) -2 e) N.A.

e indicar su denominador: a) ab2c3 d) ab2c

3 3

c) 2

xyz + abc

;

xyz − abc

;

;

indicar el denominador:

e indicar su numerador: a) 2

d)

5 5

b)

mnp m3n2p 4

c) mnp

m3n2p

e) N.A.

5

a) xyz + abc d) -1

b) xyz – abc c) 2 e) 1

19. Racionalizar: A=

14. Racionalizar:

1

12 + 2 35 + 12 − 2 35

a) c) 13

d)

e) N.A.

a

20. Racionalizar:

3− 5

b) 3

2x −

3

x

;

indicar el denominador:

e indicar el denominador: a) 2

3 3

;

a +1

1− a

1+

15. Racionalizar: 2 5

;

b)

a −1

c) b) 12 e) N.A.

a −1

indicar el numerador:

;

indicar el denominador: a) 11 d) 14

1

a) 1 d) 0

c) 4

~ 99 ~

b) 2 e) N.A.

c) x


26. :

5

21. Racionalizar: 2

3

(

5 +

3

7 −

3 3

7) 5

5

;

;

2 3 4

x y z


indicar el denominador: a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

22. Racionalizar:

c) 3

;

indicar el denominador: b) 5 e) N.A.

23. Racionalizar: 3

( 5+

c) 6

2 )(

e indicar el denominador: a) mn2c4 d) m3n2c 28. Racionalizar:

3

7 −

3

2)

;

a) xyz d) x3yz

e indicar su denominador: a) 7 d) 10

b) 8 e) N.A.

24. Racionalizar: 3

c) 9

3

xy +

3

y2

b) 2 e) x + y

25. Racionalizar: 3

a) 8 d) 2

x

−

3

5

5

x3 y 4 z

xyz

;

xy +

3

1

7 − 48

c) 1 a) 35 + 5 48 b) 35 − 6 48 c) 36 − 5 48 31. Racionalizar:

y2

b) -2 e) x - y

c) 3

5

d) 35 − 5 e) N.A.

5

( 5 − 2) ( 7 − 3)

a) 1 d) x + y

c) xy2z

b) 4 e) N.A.

30. Racionalizar:

3( x + y) 2

2

c) mn2c

b) x2yz e) N.A.

29. Racionalizar:

;

e indicar su denominador: a) -1 d) 5

b) mnc e) N.A.

5 +2 6 − 5 −2 6

5( x − y) x2 +

;

mn 3c 7

e indicar su denominador:

5

3

c) xy2z

5 3

8 + 11 −2 18

a) 4 d) 7

b) x2yz e) x3y2z

27. Racionalizar:

1

6 +2

a) xyz d) xyz2

c) 3

48

;

e indicar su denominador: a) 10

~ 100 ~

b) 11

c) 12


d) 13

e) 14

37. Racionalizar: 3

(

32. Racionalizar:

5 3

7−

3

a) 8

indicar el denominador: d) 11 a) 0 d) 2

b) -1 e) N.A.

c) 1

38. Racionalizar:

33. Racionalizar: 3

ab

a) xy + ab c) xa - yb d) ab – xy

a) 1 d) 4

b) xy – ab

m2n2 − 1 mn + 1

35. Racionalizar:

c) 1 e) mn - 1

mn + 1

4 3

2y −

3

y

a)

;

4 ( x + y)

d) -1

36. Racionalizar:

c) 2y

5

b) 2 e) N.A.

x2 + 2x + 1 = 0

x2 + 1 = 0

x2 + 5x + 2 = 0 Rpta.: _______________

;

indicar el denominador: b) 4 e) N.A.

;

Rpta.: _______________ c)

12 + 2 27 + 7 − 2 12

a) 5 d) 2

x +3 y

c) 10

Rpta.: _______________ b)

b) –y e) N.A.

;

c) 3

2. Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes:

indicar el denominador: a) y

4)

a) x2 + 2x + 1 = 0 b) x2 + x + 1 = 0 c) 5x2 + 2x + 3 = 0 d) 7x2 + 2x – 1 = 0 e) 3x2 – 2x + 5 = 0 f) x2 + 8x + 9 = 0

34. Racionalizar:

b)

3

1. Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:

e) N.A.

a) mn −1 d) mn + 1

7 −

indicar su denominador:

xy − ab xy −

3

2) (

b) 9 e) N.A.

3

3

2


;

6

5−

3

d)

x2 – 1 = 0 Rpta.: _______________

c) 3 e)

~ 101 ~

x2 – x + 1 = 0


Rpta.: _______________ f)

x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0 es (-6), entonces la otra raíz es:

5x2 + 3x + 1 = 0

a) -2 d) -4

Rpta.: _______________ g)

8.

7x2 + 4x – 2 = 0 Rpta.: _______________

h)

Rpta.: _______________

9.

3. Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2 + 5x + 1 = 0 Indicar el valor de: E = (x1 + x2)2 – 2x1x2 a) 20 d) 24

b) 21 e) 25

4. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10. (m - 2)x2 – (m + 5)x + 8 = 0 a) 25 d) 1/4 5.

b) 25/9 e) N.A.

c) 9/25

b) 7/2 e) 9

c) 5/2

6. En la ecuación 3x2 + 2ax + a2 – 6 = 0, ¿para qué valor de “a” las raíces serán iguales? (Raíz doble) a) ±1 d) ±4 7.

b) ±2 e) N.A.

b)

k>

13 24

e) N.A.

10. Indique los valores de k si en la ecuación: x2 – (k + 2)x + k + 1 = 0 su discriminante es igual a la suma de sus raíces. a) 1 ; 2 d) -1/2 ; 1

b) -2 ; 1/2 c) 2 ; -1 e) -2 ; -1

11. Formar las ecuaciones de 2º grado a partir de las raíces x1 y x2. a)

x1 = 3 ;

x2 = 1

Rpta.: _______________ b)

c) ±3

Si una de las raíces de la ecuación:

c) 4

Si la ecuación: x2 + 3x + 6k – 1 = 0 no tiene solución real, entonces se cumple: 5 24 25 c) k > 4 13 d) k > 24

Dada la ecuación: 9x2 + 5x + 1 = 0 con raíces “x1” y “x2”; calcular “k”. Si: 3(x1x2)k-4 = 1 a) 9/2 d) 4

b) -2 e) 6

a) k >

c) 23

c) -3

Si la ecuación: (b + 5)x2 + 3bx + b = 0 presenta raíces iguales. Hallar: “b” a) 0 d) 8

2x2 + 3x – 3 = 0

b) -1 e) N.A.

x1 = 5 ;

x2 = -2

Rpta.: _______________ c)

~ 102 ~

x1 = -3 ;

x2 = -4


Rpta.: _______________ d)

x1 = -2 ;

a) 1 d) 4

x2 = 2

Rpta.: _______________ x1 =

e)

3

; x2

x1 = 2 + 3

a) x2 + 3x + 1 = 0 + 5x + 1 = 0 b) x2 + 5x + 2 = 0 7x + 6 = 0 c) 3x2 + 4x + 1 = 0

=2 3

x2 = 2 − 3

;

Rpta.: _______________ 12.

13.

a)

1 6

1 c) − 2 9 d) − 2

b) −

3 2

sea igual al producto de las mismas. (k < 0)

15.

a) -3 b) -2 c) 0 d) -1 e) N.A. Hallar el valor de “k” en la ecuación: (k - 1)x2 – 5x + 3k – 7 = 0 para que una de las raíces de la ecuación sea la inversa multiplicativa de la otra.

2x2

e) x2 +

a) x2 – ax + 1 = 0 2x + 1 = 0 b) x2 + x + 2 = 0 25 = 0 c) x2 + 5x + 1 = 0 3x = 0 d) x2 – 7x + 2 = 0 7x + 1 = 0

e) 5x2 + f) x2 – g) x2 + h) 3x2 –

18. Siendo x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2 + 4x + 1 = 0 x +x  Indicar el valor de: A =  1 2   3x1 x2 

a) 4/3 d) -1/3 19.

b) -4/3 e) -3/4

−1

c) 1/3

Sea x1 y x2 raíces de la ecuación: x2 + 2ax + a2 = 0 Indicar:

2 e) − 9

14. Hallar el valor de “k” que hace la suma de las raíces de la ecuación: x2 + kx + 2x – k2 + 4 = 0

d)

17. Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes:

Sean las ecuaciones equivalentes: x2 + ax + 15 = 0 ……….. (I) 3x2 + 2x + b = 0 ……….. (II) Indicar: “a . b” a) 45/3 b) 30 c) 35 d) 2/3 e) 25/3 Calcular “a/b”, si las ecuaciones: 2ax2 – (8b - 3)x + 18 = 0 x2 + (b + 5)x + 6 = 0 son equivalentes (tienen las mismas raíces).

c) 3

16. Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:

Rpta.: _______________ f)

b) 2 e) 6

a) 4 d) 2

(x1 + x2 )2 + 2x1 x2 3x1x2

b) -2 e) 1

c) 3

20. Hallar “k”, si la suma de raíces de la ecuación es 20. (k - 3)x2 – (k + 4)x + 30 = 0 64

67

a) 3

b) 9

d) 19

e) − 64

64

19

19

c) 64

21. Indicar el valor de “m” si el producto de raíces es igual a la suma de las mismas en la ecuación: (m + 4)x2 – 2mx + 3m + 1 = 0

~ 103 ~


a) 1/2 d) 1/3

b) -2/3 e) -1/2

c) 2/3

22. Hallar “m”, si la ecuación presenta raíz doble. x2 – (m + 1)x + 25 = 0 a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 10 23. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 8. (m + 2)x2 – (7m + 6)x + 4m + 5 = 0 a) -1 b) -2 c) -6 d) -10 e) -12 24. 16.

Calcular: M = (1 + x1) (1 + x2) a) 1 d) 4

a) x1 = -2 b) x1 = 3 c) x1 = 5 d) x1 = − 2 e) x1 = 3 f) x1 = 6 31.

c) -3

26.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 Dadas las ecuaciones: mx2 + 5x + 10 = 0 ………..(I) 2x2 + nx + 2 = 0 ………..(II) Equivalentes (tienen las mismas raíces) Indicar el valor de: E = m + n a) 10 d) 11

b) -10 e) 3

32.

b) 1 e) 4

28. Hallar “a” si la ecuación presenta raíces simétricas: x2 + (a – 2)x + a2 + b = 0 Siendo: b > 5 a) 1 d) -1 29.

b) 3 e) 2

la

a b

ecuación

absurda:

Indique los posibles valores de “n” Rpta.: _____________ 33.

Resolver, si: x( a + b)2 + ( a + b) − ( a + b)( x + 1) + x + 1 a + b +1

es igual a: a2 + b2 – a – b + 1 + 2ab a) a – b c) a2 – b2 d) a + ab + 1 34.

b) a + b e) a + 1

Resolver:

x x x + + − 1 = abc − x( a + b + c) ab bc ac a +b +c abc a −b d) c

a)

c) 4

Sea la ecuación: 5x – 2x + 3 = 0 Donde: “x1” y “x2” son sus raíces 2

e)

n x + 5n 15 = 3x + 12 6

c) -11

c) 2

Dada

ab a −b

b)

2

27. Indicar el valor de “p” si una de las raíces es la inversa multiplicativa de la otra. (p + 2)x2 – 3x + 2p + 1 = 0 a) -1 d) 3

x + a x +b − =1 a b

ab a +b ab c) b−a b d) a

(m + 1)x – (m + 5)x + 10m + 4 = 0

25. Hallar “m”, si la ecuación tiene por raíz a la unidad, m > 0. 4x2 – 4x + m2 – m – 2 = 0

Resolver:

x2 = -1 x2 = 4 x2 = 3 x2 = 3 x2 = − 3 x2 = -1

a)

2

b) -2 e) -10

c) 3

30. Formar las ecuaciones de 2º Grado a partir de las raíces dadas x1 y x2.

Hallar “m”, si el producto de raíces es

a) -1 d) -4

b) 2 e) 5

35.

Resolver:

b)

abc a +b+c

ab c

e) a + b + c x +k − x −k x +k + x −k

Rpta.: _____________

~ 104 ~

c)

= k −1


36.

Si: x ≠ 0. Resolver: p px + q

+

43. q

qx + p

=

p2 + q2 pq + (p2 + q2 ) x

Rpta.: ____________ 37. Dividir el número 46 en 2 partes tales, que 1/7 de una, más 1/3 de la otra sumen 10. Hallar o indicar la mayor de las partes. a) 12 d) 24

b) 18 e) 28

44.

c) 22 45.

38. ¿Cuál es el número cuyos 3/4 menos 8, y la mitad más 5, dan 122? a) 60 d) 140

b) 80 e) 200

c) 100

40.

Resolver:

b) 30 e) 60

46.

41.

c) 20

b) 5 e) 12

48.

80

000

e) 45 000

b) 6/7 e) 11/3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

Resolver:

c) 3

3x − 9 5x − 12 =4− 5 3

b) 2 e) 6

c) 3

5x − 7 2x + 7 − = 3x − 14 2 3

Resolver: 2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1) Indicando el menor valor entero que adopta “x”. a) 1 d) 10

Resolver: (x - 1)(x - 2) + (x - 1)(x - 3) = 2(x - 2) (x – 3) a) 1 d) 3/7

19 − 2x 2x − 11 = 2 2

A = <-3; 20> B = <-1; 0>

5x x 4x   + 2x + 6  x − − = 450 000 3 3 9  

42.

Resolver: 2x −

Resolver: x +

c) 18

A = [1; 9] B = [6; 12]

c) 6

b)

b) 12 e) 40

A = <3; 6> B = <5; 12]

Resolver:

a) 90 000 c) 950 000 d) 9 500

a) 1 d) 36

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7 47. Para los pares de intervalos mostrados, graficar y dar el intervalo solución de: A ∪ B; A ∩ B; A – B; B - A

5 1  7 x 1  8 x− +  −  =4  6 3 6  5 7  9

a) 4 d) 10

x 3x 5x + − = 15 2 4 6

a) 1 d) 4

39. Repartirse 90 dólares entre 3 personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y ésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda? a) $35 d) 10

Resolver:

49.

Resolver:

b) 8 e) 9

c) 7

x +1 x −1 + ≥6 2 3

indicando el intervalo solución.

c) 7/3

~ 105 ~


a) x ∈ [7; +∞> b) x ∈ [1; +∞> x ∈ [-1; 1] d) x ∈ R e) x ∈ φ 50.

Resolver:

c)

x+2 x+6 x+3 + + ≤5 3 5 7

indicando el intervalo no solución. a) <4; +∞> c) <-1; 1> d) <-∞; 4> 51. Resolver solución de:

indicar

el

Ψ

Ψ

(x + 1)2 (x − 1)2 x < + 2 2 3

Ψ

x+

Ψ

(x + 2)2 – (x - 2)2 ≤ 16

Ψ

10(x + 5) > 9(x + 6) -x ≥ 7

Ψ

5(x + 1) > 7(x - 1)

Ψ

-2x + 3 ≥ x – 12

Si: a < b; a, b ∈ R+

a b b a x+ x ≥ + b a a b

a) x ≥ 1 c) x ≤ 1 d) x ≥ 2

e) N.A. e

-4x ≥ 24

Resolver:

b) <1; 4>

x 2−x − < x +1 3 2

Ψ

52.

Ψ

intervalo

b) x > 1 e) x ≤ 2

53. Hallar el mínimo valor entero de “x” en cada una de las siguientes inecuaciones.

x > 16 3

54.

Ψ

(x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x + 2) ≥ 10

Ψ

(x + 2)(x - 2) – (x + 1)2 ≤ 13

Ψ

2(x - 2) < 4(x - 3)

Ψ

-3x + 5 < 2x – 15

Resolver: (x + 1)(x + b) > x2 + 2ab Si: a + b < 0 a) x > 1 b) x > d) x ≤

55.

ab a +b

e) N.A.

Resolver: (x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ x3 + 6x2 + 10x + 12 a) x ≥ 10 c) x ≥ 6 d) x ≤ 6

56.

ab ab c) x < a +b a +b

b) x ≥ 4 e) x ∈ φ

Resolver:

x −1 x −2 x −3 x − 4 + ≤ + 2 3 4 5

Hallar el mayor valor que satisface la desigualdad. a) 2 d) -1

~ 106 ~

b) 1 e) -2

c) 0


57. En una tienda, 4 panetones cuestan la quinta parte del triple de 40 soles; mientras que en otra tienda 9 panetones tienen un costo de los dos tercios del triple de 27 soles. ¿En qué tienda cuesta más un panetón? 58. Un vendedor tiene 180 chocolates y 120 caramelos; en la mañana vende los 5/6 de chocolates y 3/4 de caramelos, de lo que queda, por la tarde vende la quinta parte de chocolates y la sexta parte de caramelos. ¿Qué vendió más, chocolates o caramelos? 59. Dos amas de casa reciben S/. 600 y S/. 500 de mensualidad para gastos. La primera debe gastar los 3/10 en alquiler de casa y los 3/5 del saldo en comida, mientras que la segunda debe gastar los 9/25 en alquiler y los 3/4 del saldo en comida. ¿Cuál de ellas gasta más en comida?

65. La edad de uno de mis hermanos es tal que su doble aumentado en 5 es menor que 19, y su triple aumentado en 7 es mayor que 25. Calcular la edad de mi hermano. 66.

62. La doceava parte del número de libros que hay en un estante más 7, es más que 13. ¿Puede haber 150 libros por lo menos en dicho estante? 63. La edad de mi abuelo es tal que sumada con 23, y dividida por 13, excede a 8. ¿Cuál es la menor edad que puede tener mi abuelo?

x +5 x −3 + >5 4 2

a) <-∞ ; 7> c) <-∞ ; -7> d) <-7; +∞ > 67.

Resolver:

68.

b) <7; +∞ > e) <1; +∞ >

3x − 2 x + 2 x − <1+ 4 3 5

a) <-∞ ; 10> +∞ > d) <10; +∞ >

b) <-∞ ; -10> c) <-10; e) <-∞ ; 13>

Resolver:

(3a − 2b)x (3b − 2a)x + 7b ≥ + 7a 5 5

(a < b)

60. La cantidad de alumnos en un aula es tal que dicha cantidad disminuida en 2, dividida luego por 4, es mayor que 6, ¿cuál es la menor cantidad de alumnos que puede tener dicho salón? 61. El número de bolas de un arbolito de navidad, disminuido en 12, y luego esta diferencia dividida por 7 resulta mayor que 3. ¿Cuál es el menor número de bolas que puede haber en dicho arbolito?

Resolver:

a) <-∞ ; 7] c) [5; +∞ > d) [7; +∞ >

b)

<-∞ ;

5]

e) [5; 7]

69. Resolver: x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x + 2)(x + 3) a) <-∞ ; -1> c) <-1; +∞ > d) <1; +∞ > 70.

b)

<-∞ ;

1>

e) <-1; 1>

Resolver: (x2 - 1)(x + 2) ≥ x(x + 1)2 a) <-∞; -1] c) [-1; 1] d) <-1; +∞]

b)

<-∞;

1]

e) [1; +∞]

71. Resolver, si “n” ∈ N y dar el mínimo valor de “x”.

x x x x + + + .... + ≥ 1 + 2 + 3 + .... + n 2 6 12 n(n + 1)

64. La quinta parte de diez, más el triple de la edad actual de mi profesor de matemática, excede a 29. Indicar la menor edad que puede tener mi profesor.

~ 107 ~


a)

n +1 2

(n

+

1)2

(n + 1)2 2

c) d)

b)

n2 2

e)

x −3 x 1 + x ≤ ≤ 2 5 2

(n − 1)2 2

72. Sean “m”, “n”, “p” ∈ R+ que verifican: (m + n + p)(m-1 + n-1 + p-1) ≥ a Hallar el mayor valor de “a” e indique como respuesta: a 3

a) 1 d) 6

76. Uno de los números pares que satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones:

a) -2 d) 5

x < 5 2

c) 3

x

+

y z x x w + + + + ≥A y z y w x

5 ; 6[ 2 5 e) ] − ; 3[ 3

c) ] −

∀ x; y;

z; w ∈ R+ a) 6 d) 4 74.

b) 2 e) 5

c) 3

78.

T =1+

2

+

1 3

+

1 4

+ .... +

d) [3; +∞ >

2003

79.

a) T ∈ <2 2004 - 2; +∞ > b) T ∈ <+∞ ; 2 2004 - 2> c) T ∈ <-∞ ; +∞ > d) T ∈ <- 2004 ; 2004 > e) T ∈ <-2; 2>

Resolver:

e) [37; +∞ >

3x + 4 x 2x + 1 − ≥8+ 2 5 3

a) <-∞ ; 10]

b)

[10;

+∞ >

c) <-∞ ; -10] d) [-10; +∞ >

75. ¿Cuántos números enteros satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones? 11 – 6x ≤ 1 – x < 7 – 2x b) 3 e) 6

b) [-3; +∞ >

c) <-∞ ; 3]

1

entonces:

a) 1 d) 5

2 5 ; [ 5 7 2 7 d) ] ; [ 5 2

5x − 1 3x − 2 x − ≤2+ 4 5 30

a) <-∞ ; -3]

Sea: 1

Resolver:

x −1 +1 1 2 < x+ 3 2

b) ] −

a) ]-3; -2[

73. Indique el máximo valor de “A” que satisface la siguiente desigualdad: y

c) 4

77. Hallar el conjunto solución correspondiente al siguiente sistema de inecuaciones:

a −1

b) 2 e) 9

b) 3 e) 6

80.

e) [-10; 10]

Si el intervalo solución de: 5(x + 1)2 – 3(x - 1)2 > 12x + 8 es: <-∞ ; a> ∪ . Hallar: “a b”

c) 4 a) -5 d) -2

~ 108 ~

b) 12 e) N.A.

c) 8


81. Sea la inecuación cuadrática: x2 – mx + p ≤ 0 cuya solución es: x ∈ [2; 4], indique:

a) 4 d) 60

p −m

b) 64 e) 65

c) 68

2

87. a) 1 d) -2 82.

b) -1 e) 3

c) 2

Hallar el número “M”, con la propiedad que ∀ x ∈ R 1 + 6x – x2 ≤ M a) 8 d) 12

b) 11 e) 10

a) -0,3 d) -1,3

c) 9

83. Sea la inecuación cuadrática: ax + (a + 3)x + 4 ≤ 0 si su conjunto solución es unitario, indique el menor valor de “a”. 2

a) 9 d) -9 84.

b) -1 e) 0

85.

5

; +∞ > e) φ

b) -35 e) 21

89.

c) 0

La inecuación cuadrática: x2 + ax + b > 0 {a, b} ⊂ Z, tiene como conjunto solución. R −[1 − 5 ; 1 + 5 ]

b) 0,2 e) 2

a > b

a)

< 1;

b)

< −∞; 1 > ∪ <

c)

< 1;

d)

< − ∞; 1 > ∪ <

e)

< − ∞;−

a ;+∞ > b

b > a b ;+∞ > a

a > ∪ < 1; + ∞ > b

Sean los conjuntos: A = {x ∈ R / x2 – x – 2 ≥ 0} B = {x ∈ R / x2 – 4x – 5 ≤ 0} Hallar: A ∩ B a) [2; 5] ∪ {-1} b) [-1; 2] ∪ [5; +∞ > c) <-∞ ; -1] ∪ [2; 5]

90.

Hallar: a2 – b3

~ 109 ~

c) 1,2

Resolver: ax + bx2 ≤ a + bx b
c) 1

Al resolver el sistema: x2 + x + 1 ≤ x + 50 < x2 – 3x + 50 su solución es: [a; b> ∪
86.

88.

Resolver: x2 + 10x + 27 ≥ 0 a) <-∞ ; +∞ > d) < −3 + b) <-∞ ; 5 − 3 > c) < −3 − 5 ; +∞ >

Hallar “a”, para que el sistema: 2x2 + 3x – 9 < 0 2x2 – 3x – 5 < 0 x>a tenga solución única en Z.

d) [2; 5] e) N.A.

Del problema anterior, hallar: A ∪ B


a) <-∞ ; +∞ > -1] d) <-∞ ; 2]

b) <-∞ ; 5]

c) <-∞ ;

e) N.A. 97.

91.

92.

Del problema 8, hallar: (A’ ∩ B’)

b)

2 ; 3> d) φ 3 2 < − ∞ ; > ∪ < 3; + ∞ > 3

98.

<3;

2

c) [ 3 ; 3] 93. Resolver: 3x2 – 7x + 4 > 0; indicar un intervalo. b)

3 < −∞ ; > 2

c) <-3; +∞ >

d) <-4; +∞ >

e)

<

95.

e) φ

Resolver: x3 + 1 < (x - 1)3

a)

[1 + 2 ; + ∞ >

e) R+

b) [3; +∞ >

c) <-∞ ;

e) φ

b) 2 e) 5

c) 3

101. Resolver: x2 + ab ≤ (a + b)x; a < b < 0 a) x ≥ a b) x ≥ b c) b ≤ x ≤ a d) a ≤ x ≤ b e) x ≥ a + b

b) <-3; +∞ >

Resolver: x2 – 2x – 1 ≥ 0 dar un intervalo de su solución.

b) <-5; +∞ >

Resolver: (x - 3)2 ≤ 0

a) 1 d) 4

a) x ∈ <0; 1> b) x ∈ <-∞ ; 1] c) x ∈ [-1; 0] d) x ∈ [-1; +∞ > e) x ∈ <-1; 1> 96.

Resolver: x2 – 6x + 25 < 11

a) <-∞ ; -2> ∪ <6; +∞ > d) <-∞ ; -6> ∪ <2; +∞ > b) <-2; 6> e) φ c) <-6; 2> 100. Resolver el sistema: x2 – 11x + 24 < 0 x2 – 9x + 20 > 0 dar como respuesta el número de valores enteros que la verifican.

1 ;4> 3

94. Resolver: x2 > 3; dar un intervalo de su solución. a) <-3; 3> c) <3; +∞ > d) R

< −∞ ; 1 − 2 >

e) φ

99. Hallar los valores de “m”, para que la ecuación cuadrática: (m + 3)x2 – 2mx + 4 = 0 tenga soluciones reales.

+∞ >

a) <-∞ ; 1>

c)

a) R 3] d) 3

<

e)

[1 − 2 ; 1 + 2 ]

a) <3; +∞ > c) φ d) R

a) {-1} b) <2 ; 5> c) <-1 ; 5> d) φ e) N.A. 2 Resolver: 3x – 11x + 6 < 0; su intervalo solución sera: a)

b)

102. Sea el sistema de ecuaciones: x2 – 8x – 9 ≤ 0 x≤ a si su conjunto solución es unitario, indique el valor de “a”. a) 8 d) -1

b) 8,5 e) 7

c) 9

103. Resolver: x( x − 5) +

d) R

~ 110 ~

3 3 < ( x − 4)( x − 1) + x −6 x −6


a) φ d)

b) R e)

a) [2; +∞ >

c)

c) [

104. Resolver: x2 + 10x + 27 ≤ 0 a) x ∈ φ

d)

b) x ∈ <-∞ ; +∞ > c) <-∞ ; -2>

e) <-∞ ; -3>

< − 2 − 1; − 2 + 1 >

2

5

3

2 3 ] ∪[ ; + ∞] 5 4

c) x ∈[ − 2 ; 4 ] d)

x ∈ < − ∞; −

e) x ∈ R

5 3 > ∪[ ; + ∞ > 2 4

I. De los siguientes enunciados, ¿cuántas son verdaderas? I. x2 > 0 → x ∈ R II. (x – 1)2 ≥ 0 → x ∈ R III. (x + 3)2 ≤ 0 → x ∈ R 3 2 

IV. (2x - 3)2 ≤ 0 → x ∈   V. x2 ≤ 0 → x ≤ 0 a) 1 d) 4

5 a) x ∈[ −2; 2 ]

c)

5 x ∈ <− ∞ ; 3 > ∪ [ ; + ∞ > 2 5 x ∈ <− ∞ ; − ] ∪ [2; + ∞ > 2 5

d) x ∈[ − 2 ; 2]

J.

108. Resolver: 2x2 – 7x + 6 ≤ 0

[ 0; 2 + 3 >

[2 − 3 ; 0 >

107. Resolver: x2 – x - 6 ≥ 0 dar el intervalo solución.

b) 2 e) 5

c) 3

Resolver: x2 – 4x + 1 < 0 dar un intervalo de su solución. a)

e) x ∈ R

a) <-∞ ; 2] ∪ <3; +∞ > d) <3; +∞ > b) <-∞ ; 2] ∪ [3; +∞ > e) <-∞ ; 2> c) [2; 3]

e) <4; +∞ >

a) [-3, 3] d) φ b) <-∞ ; -3] ∪ [3; +∞ > e) <-3; 3> c) R

106. Resolver: -2x2 – x + 10 ≤ 0

b)

3 ; 2] 2

109. Resolver: x2 ≤ 9 dar su intervalo solución.

3

b) x ∈< −∞ ; −

[−

3 ; 2] 2

d) <-∞ ; 2]

105. Resolver: (5 + 2x)(3 – 4x) ≥ 0 a) x ∈[ − 5 ; 4 ]

b)

b)

c) R

d) Hay dos respuestas e) φ 110. Resolver: x2 + 4x < 0 a) <-4, 0> b) <-3, 3> R – {-4, 0} d) R - <0, -4> e) R111. Resolver: 3x2 – 2x – 5 < 0 dar un intervalo de su solución.

~ 111 ~

c)


a) <-∞ ; -1>

c)

b)

<

5 ;+∞ > 3

5 < − 1; > 3

d) φ

e) R

K.

112. Resolver: x2 – 8x + 8 > 4 – 4x a) [2; +∞ > c) <2; +∞ > d) R – {2}

b)

<-∞ ;

c)

< 1 − 2; 1 + 2 >

d)

< − 2 − 1; 2 − 1 >

e)

< −2 − 2; 2 − 2 >

Halle el mayor valor de “k”, si: x2 – 10x + 40 ≥ k Satisface: ∀ x ∈ R

2>

a) 4 d) 7

e) φ

b) 5 e) 8

c) 6

113. Resolver: x2 + 2x – 1 < 0 a)

< − 2; 2 >

b)

< − 2 − 1; − 2 + 1 > VALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONES 3.

VALOR ABSOLUTO:

1.

VALOR ABSOLUTO.- Se llama Valor Absoluto de un número real x a un número no negativo, definido por:

 x , s ix ≥ 0 x=   − x , s ix < 0 2.

ECUACIONES ABSOLUTO

x =b

a)

x, y tenemos:

−x = x

e)

x 2 =x 2

f)

xy

x

2

b ≥ 0 y [ x = b ó x = − b]

Ejemplo: Resolver: x +5 =2 x −4

x = 0 ⇔ x= 0

b) c) d)

VALOR

Lo anterior establece que el universo dentro del cuál se resolverá está determinado por la condición b>0, y se resolverá primero.

TEOREMAS: Para todo

⇔

CON

Solución El universo está determinado: 2x – 4 > 0 2x > 4 x>2 ===> x ∈[ 2, ∞+ > x + 5 = 2x − 4 ó x + 5 = −2 x + 4 9= x ó 3 x = −1

=x y

=x2

x2 = x

~ 112 ~


x= 9 =>

x = − 13

ó

{ 9,− 13}

Observamos que 9 ∈Universo

• El producto cartesiano A x B; se define: A x B = { (a,b) / a

Sean A = { 1,2, 4 } B = { a, b } Entonces: A x B = { (1,a) (1,b) (2,a) (2,b) (4,a) (4,b)}

Por lo tanto el conjunto de solución es: C.S. = {9} INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Nota: si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano tiene m x n elementos.

Sean : x, a ∈R , entonces: 

x ≤ a ⇔ [ (a ≥ 0) y (− a ≤ x ≤ a)]

2. Relación: Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama una RELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B. R es una relación de A en B ⇔ R ⊂ A x B 2 Nota: Una relación de A y B es llamada también RELACION BINARIA.

x ≥ a ⇔ [ x ≥ a ó x ≤ a]

Ejm: Sean

R1 = { (5,2)} R2 = { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) } R3 = { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) }

⇔

( a + b)( a − b) ≥ 0

⇔

( a + b)( a − b) ≤ 0

etc.

Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }



Ejemplo: Resolver:

B = {1, 2 }

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaciones de A en B.

Dados a y b en los reales, se cumple: 

a ≤b

A = { 2, 3, 5 }

A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}



TEOREMAS:

a ≥b

∈A }

Ejm:

− ∉ U n iv e r s o



y b

Donde A y B son dos conjuntos y

1 3

4.

∈A

Dadas las relaciones: R1 = { (x,y) R2 = { (x,y)

x ≤5

Solución:

Hallar R1

Como 5 > 0 entonces: -5
∩

∈ AxA/x
Sol:

C.S. = x ∈[ − 5,5]

A x A = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) }

RELACIONES 1. Pares ordenados, Producto Cartesiano: • Los pares ordenados son dos elementos a y b, se denomina primera componente y segunda componente respectivamente. Se denota por (a, b).

 R1 = { (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) } R2 = { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1)} Por tanto: Hallar R1 ∩ R2 { (1,4)(2,3) }

~ 113 ~


f

3. Dominio y rango de Relaciones

A

⊂

Sea R una relación de A en B; es decir R A x B: • Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de R. • Se llama RANGO de la relación R al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de R.

•

Entonces: Dom (R) = { 1, 2, 3, 4 } Rang (R) = { 1, 2, 3 }

•

4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

d=

1

3

3

7

5

1 1

2. Dominio y rango de una función

Ejm. Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}

La distancia entre dos puntos R = (x1, y1) y T = (x2, y2) denotado por d = d(R,T) es:

B

Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros componentes de los pares ordenados de dicha función, Dom(f) = { x ∈ A, ∃ y ∈ B / y = f(x) } ⊂ A Rango Rang(f): Es el conjunto de segundos componentes de los pares ordenados de dicha función. Rang(f) = { y ∈ B / x ∈ Dom f ⊂ A } ⊂ B

Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

Dom(f) = {1, 3, 5} Rang(f) = {3, 7, 11}



FUNCIONES

1. Funciones: Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cual dos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente. Se distingue lo siguiente: - Conjunto de partida - Conjunto de llegada - Regla de correspondencia.

3. Gráfica de funciones • Si f es una función (de valor) real de una variable real se llama la GRAFICA de f al conjunto de pares ordenados de f cuando es considerado como un conjunto de puntos del plano. Ejm:

Ejm: Dados :

Trazar la gráfica de la siguiente función:

A = { 1, 3, 5 } B = { 3, 7, 1 }

f = { (x, y)

Hallar y graficar la función f = A → B definida por y = 2x +1

y hallar el Dominio y Rango de f.

→ → →

2

+1}

Sol:

Solución: si x = 1 si x = 3 si x = 5

∈ Ζx Ζ/y=x

y=3 y=7 y = 11  f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

gráficamente

~ 114 ~

x

....

-2

-1

0

1

2

....

y

....

5

2

1

2

5

....


y 5 4 3 2 1 -

2

-

1

1

x

2

Dom (f) = { ........ –2, -1, 0, 1, 2, ........ } = Z Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 } Ejm 2: Trazar la gráfica de la siguiente función f = { (x, y)

∈ RxR/y=x

2

Nota: Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más, tal gráfica no es función.

+1}

Hallar el dominio y rango de f

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sol: x

-2

-1

0

1

2

y

5

2

1

2

5

La función compuesta fog es aquella función tal qe: • Dom(fog) = {(x∈Dom g / g(x) ∈ Dom f} • (fog)(x) = f(g(x)) su regla de correspondencia

y 5 4 3

PROBLEMAS:

2 1 -

2

Dom(f) = R Rang(f) = [1,

-

1

∞

1

2

1.

x

Si f(x) = x2 + 2x + c; f(2) = 0, Entonces el valor de c es: a) 4 b) –4 c) 8 d) –8 e) 7 Solución

+

f(2) = 22 + 2.2 + c = 0 4+4 +c=0 c = -8 Rpta. D

>

La PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE FUNCIONES REALES de una variable real; es una función real si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de f a lo más en un punto. Ejm:

2.

Si [g(x)]2 + 2[g(x)] + 2 = x2 – 8x + 17. Determine g(x). a) x-5 b) x+17 c) x d) x-8 e) x2 Solución

[g(x)]2 + 2[g(x)] + 1 + 1 = x2 – 8x + 17

~ 115 ~


[g(x) + 1]2 + 1 = x2 – 8x + 17 [g(x) + 1]2 = x2 – 8x + 16 [g(x) + 1]2 = [x – 4]2 g(x) + 1 = x – 4 g(x) = x – 5 Rpta. A 3.

Solución Observamos que se debe cumplir:



-x2 + x + 6 > 0 x2 - x - 6 < 0 (x – 3)(x + 2) < 0

Hallar f(0) Si f(2x-1) = x Puntos críticos: 3 y –2

a) –1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1 Solución:

f(2x-1) = x Tomamos

-2

Entonces:

Entonces: Dom(f) = [-2;3]

2x-1 = y 2x = y + 1 x=



y +1 2

y +1 2 0 +1 f (0) = 2 1 f (0) = 2

Por tanto:

Dom ( f ) ∩ Rang ( f ) = [-2;3] ∩ [0,5/2] = [0,5/2] Rpta. B

Rpta. C


Si la relación R = {(1,2a); (2,7); (5,1); (1,3a-5); (7,9)} es una función, la suma de los elementos del rango de dicha función es:

1. Si E=

C) 3

D) 4

E) 5

3. Resolver 6 x +3 =18 +x A) {3,2} B) {−3,−3} C) {2,7} {−3} E) {1,2}

Rango = {10, 7, 1, 9}

4. Dada la función

f ( x) =

Dom ( f ) ∪ Ran ( f ) .

= 27

x +2

D) , hallar

A) [0,+∞> B) [-2,+∞> C) [2,+∞> <0,+∞> E) N.A.

Rpta. C

Sea la función f ( x ) = − x 2 + x + 6 . Hallar Dom ( f ) ∩ Rang ( f ). b) [0;5/2] c) [0;5/2>

2x . 2 x +1

x −1 y g ( x) = x 2 − x −1 , 2

hallar fog(3). A) 1 B) 2

Sustituyendo el valor de a. R = {(1,10); (2,7); (5,1); (7,9)}

=10 + 7 +1 + 9

g ( x) =

y

B) 3/7 C) –21 D) 21 E) –3

2. Dado f ( x) =

Mediante unicidad (1,2a) = (1,3a-5) 2a = 3a –5 ==> a = 5

a) <0;5/2> e) [-2;0]

2 x +1 2 x −1

f ( 2) + g (1) 1 − f ( 2). g (1)

A) –7/3

Solución

∑Elemento

f ( x) =

Hallar:

a) 22 b) 15 c) 27 d) 16 e) 10

5.

Para hallar el rango: Tabulando y graficando tenemos. Rang(f) = [0,5/2]

f ( y) =

4.

3

d) [-2;0>

D)

5. Sabiendo que G ( x + 3) = x 3 − 3 x 2 − 27 x , calcular G(-7). A) –370 B) –170 C) 170 D) 370 E) 2170

~ 116 ~

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA A=F

6. La gráfica de F ( x) = 2 − x −1 pasa por los puntos: A) (3,1); (0,3); (4,5) B) (10,-1); (2,1); (1,2) C) (-1,2);(2,-1);(2,10) D) (-4,2); (0,1) E) N.A. 7. Hallar

el

dominio

y

el

rango

de

 3x − 2, x < 1 f ( x) =  2  x , 1≤ x

9. Resolver 5 x +1 >2 x −8 A) –3
A) –5 ó 3/7 B) 5 C) –3/7 D) 5 ó 3/7 E) N.A. 11. Hallar “ab”, si el conjunto de pares ordenados representa una función. F = {(2; 3), (3; a - b), (2; a + b), (3; 1)} c) 3

12. De la función: F = {(2; 2a), (2; a2), (a; b), (a + 2; b), (4; 4)} Hallar: “a + b” a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) Hay 2 correctas 13. De la función: F = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)} Calcular:

c) 6

F(1) + F F(2) + F F(0) (1) (2)

b) 8 e) 16

c) 10

 2 − x; x ≥ 0 15. De la función: F = (x)  x + 3; x < 0  Hallar:

F

(F ) (3)

+F

(F ) ( −2)

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

–

3 x +1 =4 x −1

b) 2 e) 6

(F ) (3)

14. Dado: F = {(0; 1), (1; 2), (2; 3)} Hallar:

a) 6 d) 12 C)

+F

b) 5 e) 8

(0)

8. Si A = {2,4,6,8} y sea R una relación en A, definida por R = {(x,y)/ y es un múltiplo de x, x≠y}. Hallar la suma de los elementos de Rang(R). A) 18 B) 26 C) 6 D) 12 E) N.A.

a) 1 d) 4

a) 1 d) 7

F

A) (2,3) y (-∞,2) B) (1, ∞) y (-3, ∞) (-∞,∞) y (-∞,∞) D) R y R+ E) N.A.

10. Resolver

(F ) (2)

 − 1; x > 0  16. De la función: F =  0; x = 0 ( x)  1; x < 0  Obtener:

M =F

a) d) 17. Si: f(x) = 5x + 4 Hallar: f(3) a) 1 d) 17

(F ) (1)

+F

(F ) (– 1)

b) e)

c)

b) 2 e) 19

c) 3

18. Sea el costo de una tela en función de su medida “x” denotado por: C(x) = x + 1 (en soles) para 3 metros de tela cuanto debe invertir. (en soles)

~ 117 ~


a) 1 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

d) 3 e) 4 24. Hallar: f(3π ); si: f(x) = 5

19. Sea la función: f(x) = 5x + 3 f Hallar: (f( 0) ) a) 17 d) 20

b) 18 e) 21

a) 1 d) 4π

c) 19

20. Sea la función: f(x) = (x + 1) – (x - 1) – 4x Hallar: f( 3 + 2 − 5 ) 2

a) 1 d)

b) 0 e)

2 + 3

 x + 3 ; x ∈ − <;∞ − 9 >  f =  − x ; x ∈ [− 9; 4 > (x)  2  x − 2 0; x ∈ [4; + ∞ >

c) -1 5 − 3

Hallar: f(-1) + f(-10) + f(5) a) 0 d) 2

x 1 0 . F(x 8 5 ) Luego el producto de “a” y “b” es: F(x) = ax2 + b;

b) 12 e) 21

b) 1 c) 2

f(f(5) ) + f(f( 4) ) f(5) +1

a) 4 d) 8

b) 10 e) 2

E =

f( g(1) ) . g[ f(2) ] −(f( 0) )3 +2f( −2) g

(5)

y

x A

. f −21 (5)

a) 8 b) 3 c) 19 d) 15 e) 27 28. Dadas las siguientes graficas cuántas son funciones: y

2 3 4 5

c) 6

27. Si: F = {(0; -4); (-2; 1); (5; 4); (2; 5); (4; 8)} G = {(2; 4); (5; 3); (1; 2); (3; 3)} Hallar:

B 4 3 2 1

c) -1

c) 20

23. Dada la función: F: A → B Hallar:

a) 0

b) 1 e) -2

26. Si: F = {(2; a + 3), (2; 2a - 1), (4; b + 3), (a; 3b-1)} es una función, calcular: a - b

22. Dada la función F: A → B. Hallar la suma de elementos de: F A B a) 7 a-1 3 b) 5 1 a c) 2 3-2 d) 1 e) -1

E =

c) 3

25. Sea:

2

21. La tabla muestra los valores hallados para la función:

a) 15 d) 9

b) 2π e) 5

~ 118 ~

x


M = {(1; 2), (2; 3), (3; -4)} 29. Sea la función: F = {(3; 2), (5; 4), (6; 3), (7; 8)} Hallar: E = F(F(6)) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

Calcular: P[M(2)] + M[P(4)]

Si:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 30 117. Si el conjunto de pares ordenados representa una función:

a) 5 d) 8

b) 6 e) 3

c) 7

118. Sea: f = {(3; 1), (1; 3), (2; 3), (3; 2)}, una función. Hallar: f(1) + f(2) b) 3 e) 6

c) 4

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 120. Hallar el dominio de la función: F(x) = x + 9

f = {(1; 1+b), (3; ab), (1; 7), (4; 6), (3; 6),

a) R – {9} c) R d) R – {0}

(6; 2)} Hallar el valor de a + b. e) 9

= b +1

119. Sea: F = {(3; 2), (5; 8), (3; b), (5; a)}, una función. Hallar: A = (F(3) + F(5)) + a + b

Hallar: F(2) . F(3) . F(4)

d) 8

(f ) (f ) ( 4)

a) 1 d) 5

x +1 x −1

c) 7

f

entonces el valor de “b” es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 115. Sea la función F(x) = 3x + 10 Hallar: F(-5) a) -5 b) -10 c) -20 d) -15 e) -1

b) 6

e) 6

(9; b+1)}

c) 3

114. Sea: E = {(5; 4), (1; 2), (3; 8), (7; b), (5;b)} Hallar: “b”

a) 5

d) 5

c) 3

32. Sea la función definida por: f = {(3; 9), (a-1; b), (3; 2a-1); (b; 2b-3);

b) 2 e) 5

116. Sea la función: F(x) =

b) 4

c) 3

30. Dada la función: F = {(5; 4), (3; 2), (7; 8), (2; 5)} Indicar: E = F(F(F(3))) a) 1 d) 4

a) 2

b) R – {-9} e) R+

121. Hallar el dominio de la función: F(x) = 3x2 + 2x + 1 a) R – {3} c) R – {1}

31. Dadas las funciones: P = {(4; 3), (3; 6), (2;7)}

~ 119 ~

b) R – {2}


d) R

d) y ∈ R – {3} e) y ∈ R – {-3}

e) R-

122. Hallar el dominio de la función “f” definida en R por: f

( x)

a) R+ d) R – {2}

=−

x +3 2

b) R-

f

c) R e) R – {-2}

a) R+ d) R – {1}

b) Z

e) Z – {-5}

125. El F( x) =

b) 12 e) 18 dominio

de

( x)

=

1 1 − x2

b) [-1; 1> e) R

130. Sea la función, hallar el dominio de la función: y -1 0

1

x

5

a) <-∞ ; 5> -1> ∪ [0; 5> b) <-∞ ; 5> - {1} c) <-∞ ; 1> ∪ [0; 5> - {1}

función:

d) <-∞ ; e) N.A.

131. Hallar el rango de la siguiente función:

b) [0; 1] e) [-1; 1]

3 126. Si: f(x) = x2 – 4x + 2 y x ∈ <-1; 4> Hallar el dominio. a) R b) R+ c) [-1; 4] d) <-1; +∞ > e) <-1; 4> 127. Hallar el rango en: N(x) =

c) R e) R – {-1}

a) <-1; 1> c) <-1; 1] d) [-1; 1]

x +1 + 1 − x

a) [-1; 0] c) [0; 2] d) [-2; 0]

x2 + 1

b) R-

f

c) 14

la

x −1

129. Hallar el dominio, si:

c) R –

124. ¿Cuál es el rango de la función: F = {(1; 3), (2; 5), (1; a - 1), (2; b + 2), (a; b), (2b; a)}? Señale la suma de sus elementos. a) 10 d) 16

=

( x)

123. Hallar el dominio de la función “f” definida por: y = f(x) = x + 5 en el conjunto Z. a) R {5} d) Z – {5}

128. Hallar el dominio de la siguiente función:

3x + 2 x+4

1 x

a) <-∞ ; 3]

a) y ∈ R – {4} b) y ∈ R – {-4} c) y ∈ R

~ 120 ~

y

b)

<-∞ ;

c) <-∞ ; 3] d) <-∞ ; 2]

e) N.A.

0>


132. Hallar el dominio de la función: f(x) = |x 2| + 1

138. Hallar el dominio de una función “f” cuya regla de correspondencia es: f

a) R – {1} c) R – {-1} d) R – {-2}

( x)

b) R – {2}

5 − x +3

=

x −1

Indicar como respuesta la cantidad de valores que toma “x”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

e) R

133. Hallar el rango de la función: f(x) = -|x + 4|

139. Hallar el rango en: a) [0; 4] d) R

b) <-∞ ; 0] e) <-∞ ; -1]

c) R+

M

( x)

a) y ∈ R - {8} b) y ∈ R - {-8}

134. Hallar el rango de la función: f(x) = 3x2 + 12x + 20

c) y ∈ R+ d) y ∈ R-

a) [2; +∞ > c) [6; +∞ > d) [8; +∞ >

b)

[-4;

140. Hallar el rango de f(x) Si: x = 2, 3, 4

e) [10; +∞ >

b) <-∞ ; 0>

f

( x)

c)

<0;

e) R – {-2}

b)

<-∞ ;

x +1 , dar el máximo valor de x −1

a) 2 b) 3 c) d) 5/3 e) 5 141. Hallar el rango de la función: y

a) [-3; 3] b) [-1; 1] c) <-1; 1>

-2]

d) [0; 2> e) <-∞ ; -5]

137. Hallar el dominio de la función: f(x) = -3x2 – 2x + 5; x ∈ [-2; 3> a) [-2; 3> d) [0; 3>

=

rango.

136. Hallar el rango de la función: f(x) = -4x2 – 8x - 9 a) <-∞ ; -1] c) <-∞ ; -3] d) <-∞ ; -4]

e) y ∈ R - {1}

+∞ >

135. Hallar el dominio de la función: f(x) = -2x2 – 6x + 11 a) <-∞ ; +∞ > +∞ > d) R – {2}

x+2 x+8

=

-3

-1 0

1

3

x

e) N.A. 142. Hallar el dominio de la siguiente función: y a) [-5; 3>

b) [-2; 2> c) <-2; 3] e) <-1; 6>

b) [-5; 0> c) <-5; 0> d) [5; 0>

~ 121 ~

- 5 2

0 3

x


e) [-5; ∞ > 143. Reconocer el rango de la función: f = {(2; a), (2; 3a - 4), (3; a - 1), (4; a2)} a) {3; 6; 9} 4} d) {3; 5; 7} 144. Si:

f

( x)

=

b) {1; 2; 4}

c) {0; 2;

a) -21 c) -21/4 d) 21/4

a) 1 d) 17

b) 15 e) 19

c) 16

x −2 + x

a) <2; +∞ >

b)

[-2;

2]

150. Dada la función: f(x) = 5|x| - 3 Hallar: E = f(f(-3))

c) [-2; +∞ > d) [2; +∞ > e) <-∞ ; 2] 2 145. Sea la función: F(x) = x + 5x + 1 Indicar el mínimo valor que toma dicha función. b) 0 e) 25

c) -1

146. Para que valor de “x” la función será máxima. f(x) = -x2 - 25 a) 1 b) 25 c) -25 d) 0 e) -1 147. Hallar el valor de “x” de manera que la función “f” sea máxima: f(x) = x2 – 3x + 1 a) 3/2 d) -3/2

e) 21/3

149. Hallar el extremo de la función “f(x)” Siendo: f(x) = -x2 + 8x + 3

e) {2; 4; 6}

Calcular el dominio de dicha función.

a) 1 d) 10

b) -21/3

b) -2/3 e) 1/3

c) 2/3

148. Hallar el valor mínimo que puede tomar la función “f” donde: f(x) = x2 + 5x + 1

~ 122 ~

a) 55 d) 58

b) 56 e) 59

c) 57


CONCEPTO

∀ x > 0 ∧ a ∈ R+ - {1}

Se denomina logaritmo de un número real positivo, al exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesto. Entonces: LogbN = α

Ejemplos: 1. 3Log3 5 = 5 2. 8Log 89 = 9 3.

α

 N=b

(x

2

+1)

Log 5 ( x2 +1)

=5

Este sistema fue implemen tado por Briggs, cuya base Log N = LogN 10      es 10.

x∈R

DEFINICIÓN

α = Logaritmo α ∈R b = base

Este tipo de log aritmos se llaman log aritmos decimales

b>0 ; b≠ 1 N = número al cual se le toma logaritmo. N>0

Ejemplos:

Ejemplos:

1.

 Log525 = 2

;

por que: 25 = 5

 Log1/39 = -2

;

por que: 9 = (1/3)-2

 Log31 = 0

;

por que: 1 = 3º

2

2.

LogbN

=

N

Reemplazando: (1) en (2) Log N b =N

10

10 2 = x

Log

10

 x=2

10 3 = x

 x=3

Este sistema fue = log N implemen LnN   e  tado por Este tipo de log aritmo se conoce Neper como log aritmo natural de N cuya base es e ≅ 2.718…

………………(2)

b

Log1000  103 = 10x

=

Log

102 = 10x

IDENTIDAD FUNDAMENTAL

De la definición tenemos: α …………(1) Tenemos que: bα

Log100 

Identidad Fundamental

~ 123 ~


Ejemplos: 1.

Ln e  Log e e = x

 e1 = ex ,

x=1

2.

Lne5 = 5

3.

Lne6 = 6 Debemos saber: Log2 ≅ 0.3

Log10 = 1

Log3 ≅ 0.47

Log5 ≅ 0.69

PROPIEDADES

a) Log b 1 = 0

Ejemplo Log31 = 0

b) Log b b = 1

Ejemplo Log33 = 1

c)

;

log55 = 1

Logxab = Logxa + Logxb (a, b, x ∈ R+)

Ejemplo Log106 = Log102 + Log103 = 0,3 + 0,47 = 0,77

~ 124 ~


d)

Logx(a/b) = Logxa - Logxb

(a, b, x ∈ R ) +

Ejemplo 3 2 Log10 = Log103 - Log102

2)

Log 4 23 = 3

3)

Log

4)

Log

51

32

3 Log 2 3 4

32 = 2Log

21 =

5

3

1 Log 2 3 2

= 0,47 - 0,3 = 0,17 f) e) Log m N a

n

=

n Log a N m

(n ∈ R; m ∈

1 = Log a b Log a b

Propiedad Inversa

R; N > 0) Ejemplo

Propiedad del Sombrero 1)

1 = Log 2 3 Log 3

2)

1 = Log 2 6 Log 6

Ejemplo 1)

Log 3 32 = 5

2 Log 3 5 3

~ 125 ~

2

2


1.

Determina los siguientes logaritmos. a) 1 d) 3

a) Log10 = b) Log30 = c) Log

5. Hallar “x” en cada uno de los siguientes logaritmos:

3 = 2

a) Log39 = x

d) Log24 =

b) Log5625 = x

e) Log39 =

c) Log7343 = x

f) Log36 = 2.

3.

e) Log5x = 2 f) Logx25 = 2

Log 5 3 =

g) Logx36 = 2

5

Log 2 5

h) Logx25 =

7

Log 4 7 =

a)

3

b) c)

Log 5 4 4

d)

3

e)

4

f)

7

3

= 6.

=

E=

a) 0 d) 3

2Log 2 4 =

3Log 3 7 =

Log 2 5 45

Hallar: “E ” Si:

7.

Log 6 Log 2 + Log 3

b) 1 e) 4

c) 2

Indicar el valor de: 4 2 3 A = Log   + Log   + Log   2 2  23 2 4

=

a) 1 d) -1

Determinar el valor de: E = Log10 + Log1000 + 1 a) 3 d) 5

4.

d) Log2x = 3

Aplicando la identidad fundamental determinar el valor de las siguientes expresiones:

g)

A = Log104 + Logee5 + Ine b) 2 c) 5 e) 10

b) 2 e) 6

c) 4

8.

Determinar el valor de:

~ 126 ~

b) 2 e) 4

c) 0

Si:Log2 = 0,3 Log3 = 0,4 Hallar el valor de: E = Log39 + Log24 + Log6


a) 1,4 d) 4,9 9.

b) 4,3 e) 5,3

c) 4,7

Indicar el valor de:

−1 Calcular: E = Log 2 + Log 2 3 3

15.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Reducir: (Log23 + Log25) . Log152 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16.

Calcular:

M = Log M = Log

a) Log327 = b)

10.

Log

2

c)

Log

d)

Log

52

3

8

=

17.

Calcular:

3

=

18.

Indicar el valor de:

a) 1 d) 4

Calcular: Log a) 1 d) 0

b) 2 e) 5

Log

5

a) 4/3 d) 3/2

c) 3

1

b) 2 e) 5

Reducir:

b) 5/2 e) 4/5

c) 3

20.

c) 1/2

Log (Log10 + Lne ) 3

3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

El valor de “x” en la ecuación: Log ( x) =

1 1 Log (16 ) − Log (8) + 1 2 3

es: a) 18 d) 30

c) 3 21.

13.

1

32 3

3

  0,3  9 

b) 2 e) 4

32

27 + Log

31 / 2

Si: L = Log2(Log2256) Hallar: a) 1 d) 4

3

E = Log

19.

12.

3

=

Hallar “x” en:

2

64

53

x = Log 100 + 5

11.

1

14.

b) 20 e) 25

c) 10

Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4

Simplificar:  75   50   32  G = Log   − Log   + Log    16   81   243 

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

a) 0,5 d) 2 22.

Calcular: a) -1/4 d) 1/2

~ 127 ~

b) 1 e) -1/2 Log

16

Log

8

b) 4 e) -8

c) -5

2 2

c) -4


23.

(x + 1)( x + 3) 3 (x − 1)( x + 1) 2 ( x + 1)( x + 2) c) 2

b)

Calcular:  37   3   3  Log  + Log  − Log  2  23  2  74  2  92 

24.

a) 4 b) 1 c) 2 d) 5 e) 0 Indicar si es verdadero (V) o falso (F):

25.

I) LogN = (LogN10) ( ) II) Ln10 = 1 ……………………. ( ) III) Logbb2 = 2 ………………. ( ) Reducir:

29.

Calcular: Log

-1

Log 3 4 M = Log 16 8

a) 2/3 d) 2

(Log 3) −1 2

b) 3/2 e) 1

30.

1 3 50 + Log

0, 4 5

a) 5/6 d) 1/6 Reducir:

c) 1/2 2

a

  a  a   b   Log b b    

a) 1 d) 4

Se obtiene: a) bb-1 d) aab

b) b1-a e) aa-1

c) b1-b

31.

L og 2 5

Log 7 2

c) 1/2

Log 5 7

L og 8 5

1 Log 5 7

a) 2 d) 8

+

1

c) 3

a +b 2

b) 3 + a – b

a +b 3

 1  − Log    10 

b) 1 e) 0

b) 2 e) 5

Si: Log35 = a; Log32 = b Hallar: “Log3(2,7)” en función de “a” y “b” a)

Calcular: J =3 5

28.

2 2 5

Luego de reducir: b  a R = a Log a 

27.

0,32

b) 1/3 e) 5/3

A = Log 5

26.

e)

d) 3 – a – b

c) -1 32.

Calcular los siguientes logaritmos:

Calcular: E = lne + lne2 + lne3 + …… + lnex+1

a) Log864 =

a) (x + 1)(x + 2)

c) Log927 =

b) Log232 =

d) 1

d) Log12525 =

~ 128 ~

e) a – b - 3

c)


e) f) 33.

Log

8

Log

1 3

2 3

a) 1 d) 7

= =

41. Log

Hallar “x” en: a) 5 d) 1/5

34.

c) 1 49 1 − Log 7 5 7

Reducir: Log 7 5 + Log 7 b) 1 e) 3

Hallar: “E” 9

37.

38.

39.

46. 1 2

Hallar “x” en:

Log 5 2

b) 243 e) 36 Log

Hallar “x” en:

2 52

Log 5 Log 9 3 ) 3

c) 9

84 8 =x

b) 3/8 e) 8/25

Halle “x” de:

c) 16/5

Log ( x − 2) 3 =5

3

~ 129 ~

b) 45 e) 9

c) 15

b) 5 e) 6 y 5

c) 6

2 10 Log ( x +x) = 20

b) 3 e) 4 y 5

c) 2

Resolver: Log(x - 1) + Log(x - 2) = 2 a) 1 d) -2

c) 3

c) 3/2

El logaritmo de 0,0625 en base 2 es: a) 0,025 b) 0,25 c) 5 d) -4 e) -2 Hallar “x” de: Logx(x + 30) = 2

a) 4 d) 5

32

a) 1/8 d) 25/8 40.

1

c) 3

b) 2 e) 0

a) 81 d) 1/3

E = (3

a) 4 d) 7 45.

Reducir: A = Log 9 3 + Log16 2 +

Simplificar:

44.

9 3

b) 2 e) 18

a) 1 d) -1

43.

c) 2

E = Log 3 − Log

Hallar: a) 27 d) 25

b) 9 e) 27

a) 1 d) 9

b) 2 e) 2/5

c) 25 42.

c) 4

Calcular el logaritmo de 243 en base 27. a) 5 d) 5/3

1 Reducir: Log 2 + Log 2 3 3

a) 0 d) -1 36.

x2 = 2

b) 125 e) 1

a) 3 d) 32 35.

25

b) 3 e) 8

b) 0 e) -3

c) 3


~ 130 ~

Teoria de Exponentes Cepu Apumgal

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