TEORÍA DE EXPONENTES Introducción: Reconocemos al Álgebra como el lenguaje de la simbolización, en la cual asumiremos que “x” es una variable Real, es decir que puede asumir valores de: N , Z , Q , I y R. Dado el contexto simbólico del álgebra es necesario reconocer que existen “operaciones” a partir de monomios , por lo cual se hace necesario el uso de Reglas básicas. La simplificación en las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potencia y radicación con monomios, estarán regidas por las propiedades que a continuación mostramos: Potenciación
Radicación
Propiedad Producto de potencias de igual base.
Notación a x .a y = a x + y
Propiedad Raíz de un producto
Cociente de potencias de igual base a ≠ 0
ax = a x− y ay
Raíz de un cociente b>0
Potencia de potencia
( a x ) y = a xy
Potencia de un producto
( a.b) x = a x .b x
Potencia de una cociente b≠ 0
ax a = bx b
Exponente de exponente
a x = a(x
x
y
y
)
Raíz de raíz
Solución:
Cambio de índice
x 16 y 20
10
x 16
10
y 20
A=
A=
x y
( propiedad raíz de raíz ) ( propiedad raíz de un cociente )
16 10 20 10
( propiedad de potencia fraccionaria )
8
Resultado:
x5 A= 2 y
n m
n
n
k ∈Z ∧k ≥ 2
Para introducción y extracción de factores
( simplificando )
PRODUCTOS NOTABLES
a na = b nb
n
+
x 16 y 20
A = 10
a.b = n a .n b
n
Potencia de una raíz
Ejemplo: Simplificar: A = 5
Notación
n
a
b = n .m b m
= n am
a m = kn a km
a nb = a.n b
Las operaciones con polinomios ( dos o mas monomios ) es más compleja y requiere orden para su desarrollo. Es así que el producto de dos binomios “genera” la posibilidad de reconocer y hacer notable a “ciertos productos”, es allí donde se generan los Productos Notables, entendiéndose a éstos como aquellos productos que nos permiten “simplificar” expresiones algebraicas un poco más complejas. Al mismo tiempo la interpretación geométrica de los productos notables, nos permiten incrementar la habilidad para esquematizar y entender sus fórmulas. He aquí los Productos notables mas usados: Nombre 1.- Cuadrado de un binomio 2.- Cubo de un binomio 3.- Producto de dos binomios con un término en común. 4.- Producto de una suma por una diferencia. 5.- Producto de dos binomios de la forma: 6.- Identidades de Legendre 7.- Cuadrado de un trinomio 8.- Producto de la forma:
Desarrollo ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab ( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2 ( mx + a )( nx + b ) = mnx 2 + (an + bm ) x + ab ( a + b ) 2 − ( a − b) 2 = 4ab (a + b ) 2 + (a − b ) 2 = 2a 2 + 2b 2 (a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2( ab + ac + bc ) ( x + a )( x 2 − ax + a 2 ) = x 3 + a 3 ( x − a )( x 2 + ax + a 2 ) = x 3 − a 3
Ejemplo: Si a + b = 3 . Determine el valor de
M = b 3 + 9ab + a 3
Solución: Ordenando la expresión M, tenemos M = b 3 + 3ab ( 3) + a 3 M = a 3 + 3ab (a + b ) + b 3
M = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 M = (a + b) 3 M = ( 3) 3
Resultado
M = 27
FACTORIZACIÓN
Cada vez que tomamos una decisión en la vida, probablemente no solo hemos pensado en las consecuencias sino también en los “factores” que están relacionados directamente. En la industria o en cualquier otra actividad del hombre , los factores también pueden alterar un posible resultado; así , el cantante de un grupo musical identifica al grupo por su voz. La matemática, en especial el álgebra no está exenta de los “factores”, ya que toda expresión algebraica puede “factorizada”, es decir “expresarse en forma de factores”. Es por ello que los métodos de factorización, nos permitirán complementar el proceso de simplificación de expresiones algebraicas y resolver ecuaciones. Entonces, debemos entender a la Factorización como un proceso inverso a la descomposición. Los métodos básicos de factorización que debemos reconocer son: 1. Factorización por factor común. Observamos si la expresión a factorizar contiene uno o más elementos comunes (se entiende elemento común aquel monomio con igual base y exponente). Ejemplo: Factorizar : A = 2 x 2 y − 3 xy 2 + 5 x 3 y 5 Solución: Observemos que el monomio: xy , es común a todos los sumandos A = ( xy )( 2 x ) − ( xy )( 3 y ) + ( xy )( 5 x 2 y 4 ) (ordenando la expresión) Resultado:
A = ( xy )( 2 x − 3 y + 5 x 2 y 4 ) (retirando el factor común)
2. Factorización por agrupación de términos. Si no encontramos un “factor común” , observamos si “ordenando la expresión” podemos hallar expresiones comunes dos a dos. Ejemplo: Factorizar : B = ab + bc + ac + c 2 Solución: Observemos que no hay un factor común (monomio ) ; pero podemos ordenar. B = ab + bc + ac + cc (ordenando la expresión) B = b(a + c ) + c (a + c ) (factor común dos a dos) B = ( a + c )[ b + c ] (ahora tenemos un factor común (a+c) ) Resultado: B = (a + c )( b + c ) 3. Factorización de binomios ( utilizando los productos notables ). Si la expresión algebraica contiene dos monomios con exponentes mayores que 2, podemos observar que se trata del desarrollo de un producto notable. Para ello debemos “relacionar” con la expresión de un producto notable que más se “adecúe”, también será necesario reordenarlo. Ejemplo: Factorizar : C = y 3 − 27 Solución: Observemos que no hay un factor común y tampoco podemos agrupar. C = y 3 − 3 3 (ordenando la expresión, comparando con un producto notable) C = ( y − 3)( y 2 + 3 y + 3 2 ) (trasladamos el desarrollo a los factores) C = ( y − 3)( y 2 + 3 y + 9) (desarrollando los exponentes) Resultado: C = ( y − 3)( y 2 + 3 y + 9)
4.
Factorización de Trinomios de la forma : x 2 + bx + c .
Cuando observamos un trinomio, puede ser que éste sea “perfecto”, es decir que provenga del desarrollo de un “binomio al cuadrado”. Sin embargo cuando esto no sucede , debemos tomar la alternativa de “jugar con los números”. Este método consiste en hallar dos números, tales que en: 2 x 2 + bx + c p + q = b y pq = c entonces tendremos que: x + bx + c = ( x + p )( x + q ) . También se le denomina como el método de “aspa simple”. Ejemplo: Factorizar : D = x 2 + 5 x − 14 Solución: Observemos que el trinomio no proviene de un binomio al cuadrado, entonces debemos buscar dos cifras p y q , tales que la suma sea 5 y su producto 14.. D = x 2 + 5 x − 14
x x
7 = 7x (proponemos un factor de 14). -2 = -2x (deducimos el otro factor de 14 ) 5x (verificamos si la suma algebraica es el término central)
Resultado: D = x 2 + 5 x − 14 = ( x + 7 )( x − 5) 5. Factorización de trinomios completando cuadrados. También llamado el método del artificio, será empleado luego de verificar que no es posible factorizar por “aspa simple”. Para llevar a cabo nuestro objetivo (factorizar un trinomio), debemos recordar claramente como es del desarrollo de un “binomio al cuadrado”: (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 en el reconocemos la ubicación de los términos a y b . El método consiste en “completar un trinomio cualquiera” con el término que le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto. Por lo cual hemos de sistematizar el proceso. Sea un trinomio ordenado cualquiera: x 2 + bx + c 1)
b 2
2
Sumamos y restamos: el cuadrado de la mitad del término central
Asociamos y formamos el trinomio a 2 + 2ab + b 2 2 3) El trinomio es reducido a una expresión como : ( a + b ) y el saldo es ordenado. 2 2 4) Formamos una diferencia de cuadrados tales como: ( a + b ) − m siendo m el saldo. 2 2 5) Finalmente la diferencia de cuadrados se transforma en: ( a + b ) − m = ( a + b + m )( a + b − m ) Ejemplo: Factorizar : E = x 2 + 6 x + 2 2)
Solución: Observemos que ya está ordenado y el término central es 6. E = x 2 + 6 x + 2 + 3 2 − 3 2 (sumamos y restamos el cuadrado de la mitad de 6) E = ( x 2 + 6 x + 9) + 2 − 9 (asociamos y formamos el trinomio) E = ( x + 3) 2 − 7 (expresamos el binomio y ordenamos el saldo) 2 E = ( x + 3) 2 − ( 7 ) (formamos la diferencia de cuadrados) E = ( x + 3 + 7 )( x + 3 − 7 ) (transformamos la diferencia de cuadrados) Resultado:
E = ( x + 3 + 7 )( x + 3 − 7 )
