TEORÍA DE EXPONENTESTEORÍA DE EXPONENTES
TEORÍA DE EXPONENTES
TEORÍA DE EXPONENTES
La teoría de Exponentes se basa fundamentalmente en las propiedades de la Potenciación y de la radiación, por lo tanto, para una mejor comprensión definiremos las operaciones de potenciación y luego explicaremos cada una de sus propiedades.
LA POTENCIACIÓN:
Es una operación que abrevia la multiplicación:
Donde : a es la base
n es el exponente
an es la potencia o resultado.
Ejemplos:
a) 32 = 3 x 3 = 9
b)
c) ( 0.1 )3 = ( 0.1 ) ( 0.1 ) ( 0.1 ) = 0.001
LA RADICACIÓN:
Es una operación inversa a la potenciación :
Ejemplos :
a)
b)
c)
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION Y LA RADICACION
1. Producto de Bases Iguales:
Es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de sumar los exponentes iniciales. Su forma general es:
am . an = a m + n
Ejemplos :
a) 23 . 25 = 23 + 5 = 28
b) ( - 5 )2 ( - 5 )4 = ( - 5 )2 + 4 = 5 6
c)
2. Cociente de Bases Iguales:
Es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de restar ambos exponentes.
Su forma general es:
Ejemplos :
a)
b)
c)
3. Potencia de un Producto:
Es igual al producto de sus factores, cada uno afectados con el mismo exponente. Su forma general es : ( a . b )n = an . bn
Ejemplos:
a) ( 5 x 3 )2 = 52 x 32
b) ( 7 . )3 = 73 ()3
c)
d)
4. Potencia de un Cociente:
Es igual al cociente de sus factores, cada uno afectados con el mismo exponente. Su forma general es:
Ejemplos :
a)
b)
c)
d)
5. Potencia de Potencias:
Es igual a una potencia de la misma base, cuyos exponentes se multiplican. Su forma general es:
( a m ) n = a m . n
Ejemplos :
a)
b)
c)
NOTA:
Cuando se presentan varios exponentes, esta propiedad recibe el nombre de cadena de potencia, cuya forma general se representa así :
6. Potencia de Exponentes:
Presenta la siguiente forma:
La solución de este caso especial, se efectúa en forma progresiva de arriba hacia abajo tal como indica la flecha.
Ejemplos:
c) Hallar "E" :
, si aa = 2
Transformamos la expresión así :
7. Exponente Nulo:
Todo término con exponente cero, es igual a la unidad, tal que la base sea diferente de cero. Su forma general es : a0 = 1
Ejemplos :
a) 7 0 = 1
b) ( 3) 0 = 1
c)
d) Comprobando esta propiedad se tiene :
1 = a0 a0 = 1
8. Exponente negativo
Toda base con exponente negativo es igual a su recíproco o inverso con exponente positivo. Su forma general es :
Ejemplos:
a)
b)
c)
Comprobando esta propiedad tenemos :
9. Exponentes fraccionarios
Todo término con exponente fraccionario es equivalente a un radical de la siguiente forma :
Ejemplo:
a)
b)
c)
d)
sabemos que :
10. Raíz de un Producto:
Es igual al producto de cada factor bajo el mismo radical siendo su forma general la siguiente :
Ejemplo:
a)
b)
c)
d) Comprobando esta propiedad, en su forma general tenemos :
Luego por potencia de un producto, se transforma en :
Finalmente por exponente fraccionario
tenemos:
11. Raíz de un cociente
Es igual al cociente de cada término bajo el mismo radical cuya forma general es :
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
12. Raíz de Raíz:
Es igual al radicando cuyo índice del radical resultante es el producto de los índices dados. Su forma general es :
Ejemplos :
a)
b)
c)
13. Potencia de un radical
Esta propiedad es una aplicación del exponente fraccionario cuya forma general es :
Ejemplos:
a)
b)
c)
d) Comprobando esta propiedad tenemos:
PROBLEMAS RESUELTOS
01. Simplifica la siguiente expresión:
Solución
Aplicando las propiedades tenemos por la raíz de un cociente:
Luego aplicamos la propiedad del exponente fraccionario:
Finalmente aplicamos la propiedad 2: Cociente de bases iguales .
02. Halla el doble de E, si :
E = ( 2m + n )- 1 ( 2m + n – 1 )
Solución:
Aplicando la propiedad del exponente fraccionario al primer factor, se tiene:
Luego, por el cociente de bases iguales y simplificando los exponentes se obtiene :
E = 2m + n – 1 – m – n
E = 2-1
Por el exponente negativo resulta :
E = 2 – 1 = 1/2
Finalmente, como se trata de obtener el doble de esta expresión:
03. Calcula el valor de M, si:
Solución:
Resolviendo el primer factor según la propiedad 11 ( raíz de raíz ) y 8 ( exponente fraccionario ) tenemos:
Luego por el producto de bases iguales, resulta :
04. Simplifica :
Solución:
Este ejercicio a diferencia del anterior empezaremos eliminando los radicales y agrupando bases iguales, tenemos :
Aplicando la potencia de potencia, resulta :
05. Halla la mitad de la expresión P, si:
Solución:
Resolviendo primeramente las operaciones que se encuentran en la base (corchete) tenemos :
Luego simplificamos el exponente:
Por lo tanto la expresión P queda reducida según ( 1 ) y ( 2 ) a:
Finalmente, la mitad de P es:
06. Determinar el resultado de simplificar:
R =
Solución:
Teniendo en cuenta que :
1)
2)
En el numerador efectuamos la potencia de potencia:
R =
Tenemos potencia de la misma base en el numerador y denominador.
R =
R = x2 . y2
07. Determinar el resultado de simplificar:
S =
Solución:
Teniendo en cuenta que :
(1)
(2)
(3)
En primer lugar eliminamos los radicales
S =
Obsérvese que tenemos una división de dos potencias de la misma base.
S =
S =
S =
08. Calcular el resultado de simplificar:
P =
Solución:
Recordando que:
Vamos a introducir la "x" al siguiente radical.
P =
P =
Nuevamente repetimos la misma operación:
P =
P =
P =
09. Determinar el resultado de simplificar:
Solución:
Recordando que:
1)
2)
S =
Transformando lo que está con línea punteada:
S = 1
10. Calcular el resultado de simplificar, 31 a > 2b.
Solución:
Expresando, además teniendo en cuenta que tenemos a la vista la división de 2 radicales del mismo índice:
Efectuando las operaciones con las potencias de la misma base:
E=
= 35
PRACTICA DE CLASE
Indicar el resultado de efectuar:
01. = ..............................................
02. = .......................................
03. = .......................................
04. = ...................................................
05. = .............................................
06. = .......................................
07. = .............................................
08. = ...............................................
09. = ..........................................
10. = .............................................
11. Cuál es el resultado de simplificar :
a) 21 b)18 c)49
d) 7 e) –1/14
12. Indicar el resultado de simplificar
a) x+1 b) x c)
d) e)
13. Marcar el resultado de efectuar:
a) 1/4 b) c)
d) n e) 1
14. Calcular el resultado de simplificar:
a) 1 b) 1/2 c) ¼
d) 7/8 e) 1/8
15. Determinar el resultado de simplificar .
a) b) c)
d) e)
16. Cual es el equivalente de la expresión
a) a b) c)
d) e) 1
17. Simplifica:
a) 3 b) 1/3 c) - 1/3
d) - 3 e) N.a.
18. Halla el valor de E, si :
a) 3 b) – 2 c) 4
d) 8 e) N.a.
19. Simplifica la expresión:
a) ab b) b4 c) b6
d) a3b6 e) N.a.
20. Calcular el valor de A:
a) n b) 2n c) n2
d) e) N.a.
PROBLEMAS PROPUESTOS N° 1
01. Calcular el valor de "k"
a) 15 b) 21 c) 5/6
d) 18 e) N.a.
02. Simplificar:
a) a + b + c b) an + bn + cn c) 1
d) abc e) N.a.
03. Indicar el valor que se obtiene al efectuar :
a) 10 b) 15a c) 20
d) 1 e) N.a.
04. Calcular el valor de "R", si :
a) 2 b) 64 c) 5
d) 125 e) N.a.
05. Calcular el valor de "S" :
S =
a) 8 b) 4 c) 4
d) 2 e) N.a.
06. Efectuar:
a) 8 b) 4 c)
d) 2 e) N.a.
07. Simplificar:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 5 e) 2/5
08. Calcular:
a) 1/9 b) 2 c) - 3
d) 4 e) 1/3
09. Efectúa :
a) 4 b) 2 c) 1
d) 1/2 e) 1/4
10. Reducir:
a) x5 b) x4 c) x3
d) x2 e) N.a.
11. Hallar :
a) 1/2 b) - 1/2 c) 2
d) – 2 e) 1
12. Hallar el valor de E, si:
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8 e) N.a.
13. Calcular la octava parte de la expresión P, si sabemos que:
a) 24 b) 16 c) 4
d) 3 e) N.a.
14. Efectúa:
a) 5 b)10 c) 15
d) 20 e) N.a.
15. Halla el valor de la expresión :
a) 2 b) 4 c) 6
d) 12 e) N.a.
16. Si , calcula :
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) N.a.
17. Calcula el valor de :
a) 64 b) 32 c) 16
d) 4 e) N.a.
18. Resuelve la expresión :
a) 1 b) 3 c) 6
d) 18 e) N.a.
19. Calcula el valor de M, si :
a) 32 b) 48 c) 60
d) 64 e) N.a.
20. ¿Cuánto se debe aumentar a la expresión :
para que el resultado sea
a) b) c)
d) 5 e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01. Simplifica:
a) 729 b) 81 c) 9
d) 3 e) 1/729
02. Efectúa:
a) x12 b) c)
d) e) N.a.
03. Reduce:
a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 1/4 e) N.a.
04. Calcular:
a) 2 b) 3 c) 1
d) 5 e) 4
05. Efectuar:
a) 3 b) 5 c) 8
d) 10 e) 12
06. Reducir:
a) 1 b) 3 c) 5
d) 2 e) 7
07. Reducir:
a) x2 b) y c) xy
d) y2 e) x
08. Reducir:
a) 3/2 b) 2/3 c) 4/9
d) 9/4 e) 27/8
09. Operar:
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 4 e) N.a.
10. Señalar el resultado que se obtiene al simplificar
a) 2 b) 2/3 c) 2/5
d) 4/5 e) N.a.
ECUACIONES EXPONENCIALES
01. Resolver:
Rpta. .............................
02. Resolver:
Rpta. .............................
03. Resolver:
Rpta. .............................
04. Resolver:
05. Al resolver:
06. Resolver :
07. Calcular "x", si a > 1
Rpta. .............................
08. Resolver:
Rpta. .............................
09. Resolver:
Rpta. .............................
10. Resolver:
Rpta. .............................
11.Resolver:
Rpta. .............................
12. Calcular "x":
a) – 3 b) 2 c) 1/3 d) 1/2 e) 2/3
13. Resolver:
5 x + 1 + 5 x + 2 + 5 x + 3 + 5 x + 4 = 780 (25) 6
a) 12 b) 11 c) 10 d) 5 e) 25
14. Resolver :
4 x + 4 x+1 = 40 Rpta:
15. Resolver : 9 x+2 = 9x + 240
a) 2 b) 2,5 c) 0,5 d) 1,5 e) 3
