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FÍSICA II
ANÁLISIS DIMENSIONAL – TEORÍA
Unidad Nº1: “Recordando lo aprendido sobre el Análisis Dimensional y Vectorial”
Prof. Raúl Salvador Apaza Pilco 1
MAGNITUDES DERIVADAS.Algunas de las magnitudes derivadas que más se usan son las siguientes:
OBJETIVOS DEL TEMA Nº 1
Reconocer, diferenciar e interrelacionar las diferentes clases de magnitudes.
Velocidad (v)
Conocer las magnitudes y el uso correcto del Sistema Internacional de Unidades. Conocer las reglas y propiedades para el uso correcto de las Ecuaciones Dimensionales.
2
v=
espacio tiempo
v=
velocidad tiempo a=
v = LT -1
LONGITUD
M
a=
e [e] L ⇒ v = = t [t] T
MAGNITUDES FÍSICAS MASA
Aceleración (a)
L
TIEMPO
Todas estas cualidades de un objeto se pueden medir, ¿cómo? Comparado respecto a una unidad de medida de patrón que registra un instrumento calibrado y diseñado con este propósito. Así por ejemplo, la masa se mide en kilogramos (kg), usando una balanza, la longitud en metro, utilizando una cinta métrica, la presión en Pascal (Pa), etc.
a = LT -2
Fuerza (F) F = masa x aceleración
Trabajo (W) W = fuerza x distancia
F = m · a
W = F · d
F = M (LT -2 )
W = MLT -2 (L)
T
En nuestra práctica cotidiana, en ciertas circunstancias, requerimos precisar algunas características de una sustancia u objeto, tales como su masa, volumen, densidad, energía, temperatura, longitud, presión, fuerza, etc.
v [v] LT -1 ⇒ a = = t [t] T
F = MLT -2
W =ML2 T -2
Potencia (P) trabajo P= tiempo [W] P = [t] P =
Presión (ρ) fuerza ρ= área [F] ρ = [A]
ML2 T -2 T
ρ =
P = ML2 T -3 Área (A)
L2
ρ = ML -1 T -2 Volumen (V)
2
A = (Longitud)
MAGNITUDES FUNDAMENTALES.-
MLT -2
V = (Longitud)3
Magnitud
Unidad
Dimensión
A = L.L
V = L.L.L
Longitud
metro
L
A = L2
V = L3
Masa
kilogramo
M
Tiempo
segundo
T
Intensidad de Corriente Eléctrica
Ampere
I
Temperatura Termodinámica
Kelvin
θ
Intensidad Luminosa
Candela
Cantidad de Sustancia
A = L2 Densidad (D) masa D= volumen D =
mol
[M] M = [V] L3
V = L3 Frecuencia (f) 1 f= tiempo [1] f = [T]
J N
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D = ML-3
f = T -1 Cel. 952 010987
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FÍSICA II 3
ANÁLISIS DIMENSIONAL – TEORÍA
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Estudia la forma como se relacionan las magnitudes fundamentales con las derivadas. Toda unidad física, está asociada con una dimensión física. Así el metro es una medida de “longitud” (L), el kilogramo lo es de la “masa” (M), el segundo pertenece a la dimensión del “tiempo” (T). Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad pudiéndose expresarse como la combinación de las antes mencionadas. Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia, etc., pueden expresarse en términos de las dimensiones (L), (M) y (T).
4
b) Principio de homogeneidad dimensional: “Si una formula física se representa a través de una ecuación, cuyos términos se suman o restan, entonces la formula dimensional de cada uno de estos términos son iguales.”
A + B = D – E ⇒ A = B = D = [E] Hallar [D], en la siguiente fórmula dimensional:
F = v.D + m.l Donde: F = fuerza; v = velocidad; m = masa Reemplazando:
MLT -2 = LT -1[D] = M l M L T -2 L T -1
ECUACIONES DIMENSIONALES
Son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales; utilizando para ello las reglas básicas del algebra, menos la suma y la resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque solo operan en las magnitudes.
-
𝐿𝑜𝑔𝑁 = 1; también 𝑁 = 1
-
𝑆𝑒𝑛𝑀 = 1; también 𝑀 = 1
-
300 = 1
Ejemplo: Hallar [K] en la siguiente fórmula dimensional:
K = 2πAB Donde: π = 3,14; A = Longitud; B = aceleración Reemplazando: Tachamos
K = L1+1 T-2 K = L2T-2
Tenemos una triple igualdad, elegimos las igualdades que más nos convenga.
c) Propiedades adicionales: - Si A = B · C ⇒ A = B · [C] B
- Si A = ⇒ A = C
[B] [C]
- Si A = B ⇒ A = B n
- Si A =
n
m
B⇒ A =
1
⇒ A = [B]-1
B
m
[B]
TABLA DE FÓRMULAS DIMENSIONALES MÁS USADAS Fórmula Magnitud Derivada Dimensional
PROPIEDADES DIMENSIONALES.a) Las constantes adimensionales:(números) carecen de unidades, por lo tanto la “Ecuación Dimensional” de un número es la unidad (1). - 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 = 1
K = 2 π (L) (LT-2)
= [D]
[D] = MT -1
- Si A =
A: Se lee, “letra A” [A]: se lee, “ecuación dimensional de A”
Prof. Raúl Salvador Apaza Pilco
Ejemplo:
cualquier constante numérica y el resto se resuelve de la forma enseñada.
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Área o superficie Volumen o capacidad Velocidad lineal Aceleración lineal Aceleración de la Gravedad Fuerza, peso, tensión, reacción, fricción,
L2 L3 LT −1 LT −2 LT −2 MLT −2
Torque o Momento de una fuerza
ML2T −2
Trabajo mecánico, energía, calor Potencia Densidad Peso específico
ML2T −2 ML2T −3 ML−3 ML−2T −2 MLT −1
Impulso, ímpetu o impulsión Cantidad de movimiento o momentun lineal Presión Periodo Frecuencia angular Velocidad angular Aceleración angular
MLT −1 ML−1T −2 T T −1 T −1 T −2 Cel. 952 010987
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ANÁLISIS DIMENSIONAL – EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS RESUELTOS
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Hallar [X], si:
Con los conocimientos aprendidos en clase, resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno:
x D V2 A F= 2 Donde: F = fuerza; D = densidad; v = velocidad; A = área
2
[x] ML-3 LT -1 L2 MLT = 2
Las constantes numéricas valen 1.
* Simplificar y operar
MLT -2 = [x] ML-3 L2 T -2 L2 L = [x] L-3 + 2 + 2 L = [x] L [x] = 1 o
ACOS60 C senf B= logb V Donde: A = área; C = volumen; V = velocidad Reemplazando: * Transformar en términos M, L y T
B=
1 L2 2 L3
senf logb LT -1
B=
1 2 L3
1
1 LT -1
L1 L3 B= LT -1 B= B=
DV g
Donde: D = densidad; V = velocidad; g = aceleración -2 Rpta: ML b) En la siguiente fórmula física:
E = AV2 + BP
c) Sabiendo que el impulso es I = F.t, encontrar las dimensiones de “Z” para que las siguiente ecuación sea dimensionalmente correcta:
AI -
W = mZ Z
Donde: W = trabajo; F = fuerza; m = masa; t = tiempo -1 Rpta: LT d) Hallar (x + y) para que la siguiente ecuación sea dimensionalmente correcta:
a2 bx 2H senθ 3cy
* Simplificar y operar
L2
Pilco
2
Donde: E = energía; V = velocidad; P = presión; hallar: [A]/[B] -3 Rpta: ML
1
Determinar [B], si:
a) Hallar la dimensión de “E”, según la fórmula dimensionalmenteProf. homogénea: Raúl Salvador Apaza
E=
Reemplazando: * Transformar en términos M, L y T -2
TRABAJO DOMICILIARIO
Las identidades trigonométricas son constantes adimensionales y su valor dimensional es la unidad (1).
L1+3 LT -1 L4 LT -1
B = L4 - 1 T -1 = L3 T -1 GLOSARIO DE TÉRMINOS FÍSICOS.Busca los siguientes términos en tu diccionario y cópialos en tu cuaderno: - Física - Análisis - Magnitud - Dimensión - Masa - Ecuación - Longitud - Constante - Tiempo - Homogéneo
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Donde: H = altura; b = radio; a = velocidad; c = aceleración Rpta: 3 e) Determinar las dimensiones que tiene que tener “Q” para que la expresión propuesta sea dimensionalmente correcta:
W = 0,5mVα + AgH + BP α Q = Aα B Donde: V = velocidad; W = trabajo; m = masa; H = altura; P = potencia; g = gravedad; A y B son magnitudes desconocidas 1
Rpta: M 2 T 2 f) La fuerza de rozamiento que sufre una esfera dentro de un líquido, está dado por la siguiente fórmula empírica:
F = Knx ry Vz Donde: -1 -1 K = constante numérica; n = viscosidad (ML T ); r = radio; V = velocidad Hallar el valor de (2x+y+z) Rpta: 4
Cel. 952 010987
