0ara determinar la fórmula dimensional de la se empleará la siguiente fórmula física velocidad se
ANALISIS ANALISIS DIMENSIONA DIMENSIONALL CONCEPTO
El estudio de las distintas formas que adoptan las magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto de leyes, reglas y propiedades en un campo puramente matemático.
FINES
0ero como la distancia es una magnitud fundamental que es longitud ) y el tiempo es +, entonces
El Análisis Dimensional es el estudio matemático de las relaciones que guardan entre si todas las magnitudes físicas, ya que toda magnitud derivada puede ser expresada como una combinación algebraica de las magnitudes fundamentales.
1ue es la fórmula dimensional de la velocidad. dimensional de
• Relacionar una magnitud física cualquiera con otras elegidas como fundamentales. • Establecer el grado de verdad de una fórmula física. • Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo.
Esta tabla es sólo un e&tracto. MAGNITUDES DERI5ADAS
FÓRMULA DIMENSIONAL Es una igualdad que nos indica la dependencia fija de una magnitud cualquiera respecto de las que son fundamentales. En el Sistema Internacional las
unidades elegidas como fundamentales son las siguientes MAGNITUD FUNDAMENTAL Nombre Símbolo
UNIDAD BÁSICA Nombre Símbolo
1. Long!"#
L
me!ro
m
$. M%&%
M
'logr%mo
(g
). Tem*o
T
Seg"n#o
&
I
%m*ere
A
0
'eln
'
2. In!en&#%# L"mno&%
3
-%n#el%
-#
4. C%n!#%# #e S"&!%n-%
N
mol
mol
+. In!en&#%# #e Corren!e El,-!r-% . Tem*er%!"r% Termo#n/m-%
TABLA DE FÓRMULAS DIMENSIONALES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA
El operador empleado para trabajar una ecuación o fórmula dimensional serán los corc!etes " #, los mismos que encierran a una magnitud, así "trabajo# se lee $fórmula dimensional del trabajo%. En general en el sistema internacional la fórmula dimensional de una magnitud derivada $&% se e&presará por la matri' siguiente "&# ( )a *b +c Id e -f g
Are%7 S"*er8-e 5ol"men 5elo-#%# A-eler%-6n F"er:% Momen!o7 Tor;"e Tr%b%
F6rm"l% Dmen&on%l L$ L) LT91 LT9$ LMT9$ L$MT9$ L$MT9$ L$MT9) L91MT9$ T91 T9$ T T91 LMT91 L$MT)I91 L$MT)I9$ IT LMT)I91 L9$M91T+I$ L9)M L9$MT9$ LMT91 >91 L$T9$ >91 LI MT9$I91 L$MT9$I91 L9$3
a, b, c, d, e, f, g ( Son n/meros racionales 1
ECUACIONES DIMENSIONALES
PRINCIPIO DE OMOGENEIDAD DIMENSIONAL o #e FOURIER
Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes son conocidas y las otras o no lo son o tienen e&ponentes 2dimensiones3 desconocidas.
En toda ecuación dimensionalmente correcta, los t7rminos que se están sumando o restando deben tener igual ecuación dimensional.
Ejemplos 91
9$
%? @A LT @B LMT LMT 4onde las incognitas son magnitudes 5 y 6
9=
)
9$
b? L T L T 4onde las incógnitas son los e&ponentes & y tambi7n llamadas dimensiones.
)a ecuación dimensional del primer miembro de la ecuación debe ser igual a la del segundo miembro. Si es dimensionalmente correcto entonces se debe cumplir que
PROBLEMAS PROPUESTOS REGLAS 8. 5l operar con ecuaciones dimensionales, se pueden emplear todas las reglas algebraicas e&cepto las de suma y resta, en su lugar diremos que la suma y diferencia de magnitudes de la misma especie da como resultado otra magnitud de la misma especie. a3 "56# ( "5# "6#
C b3 D
C =
D
8. 5plicando las reglas del análisis dimensional, responde lo siguiente •)9)9C() • + : + ( C. • "D# ( C • "Sen 2ab3# ( C • "log &# ( C.. • 2C3 : 2)+B83 ( )+B8 • 2)*+;3 9 2C3 ( 2C3 2)*+ ;3 • )8+B; ( )&+y entonces & ( CA y ( C • +B8 ( )&+y entonces & ( CA y ( C • )+B; ( );&*&9y+' entonces & ( CA y ( C ;. allar la fórmula dimensional de 0 en la siguiente ecuación 0 ( 24ensidad32Felocidad3G B8 a3 )*+ b3 )*B8+B; c3 )*+; d3 )B8*+B; e3 *+B;
c3 "5n# ( "5#n d3 ) 9 ) 9 ) ( ) e3 + : + : + ( + ;. )a fórmula dimensional de todo ángulo, función trigonom7trica, logaritmo y en general toda cantidad adimensional o n/mero es la unidad. "<= rad# ( 8
"Sen <=># ( 8
"?@# ( 8
")og ;# ( 8
<. )as e&presiones que son e&ponentes no tienen unidades.
<. En la siguiente ecuación dimensionalmente !omog7nea se tiene que & ( d Sen 2ab&3 donde "&# ( ), "a# ( + Hcuál es la fórmula dimensional de $b% a3 +B8 b3 )B8 c3 )+ B8 B8 ; d3 ) + e3 ) ?. Encontrar la fórmula dimensional de 5 para que la ecuación sea dimensionalmente !omog7nea. 4π L ( L − b )Cosθ 2
?. +oda ecuación dimensional se escribe en forma de monomio enteroA si es fraccionario, se !ace entero con e&ponente negativo. LT M 2
( )*B8+
L T
3
( )+B<
J(
2
T 2 . A J ( 5celeración de la gravedad b ( distancia + ( 0eriodo a3 ) b3 ); d3 )B<* e3 )?
c3 )<
@. allar la fórmula dimensional de $0% si la ecuación es !omog7nea. 0 ( A12 B1 + A22 B2 + A32 B3 + ... 4onde 58, 5;, 5< C ( Felocidad 68, 6;, 6< C ( +iempo a3 );+B8 b3 )+B8 c3 ); d3 )+; e3 )<
88. )a fórmula física del periodo del p7ndulo está dada por + ( ; π)&gy. allar las dimensiones $&% e $y% + ( +iempo ) ( )ongitud del p7ndulo g ( 5celeración de gravedad π ( <,8?8K a3 8?, B8? b3 8;, B8; c3 8@, B8@ d3 B8K, 8K e3 8, ;
K. )a ecuación es dimensionalmente !omog7nea d b a ( 2 . p(Tgθ + Ctgθ ) Qr S a ( 5celeración S ( Lrea r y t ( 4istancia 1 ( Malor allar la fórmula dimensional de $b% a3 )@*<+B8 b3 )K*+B? c3 )N*+B? d3 )?*+B; e3 *)<+B;
8;. )a siguiente ecuación es dimensionalmente !omog7nea, !allar los valores de $&% e $y% O ( 0ω& 9 mFyr 4onde r ( RadioA O ( Ouer'a m ( masaA 0 ( Mantidad de movimiento F ( FelocidadA ω ( Felocidad angular a3 8A B; b3 8A ; c3 ;A B8 d3 ?A < e3 =A 8
N. 4eterminar la fórmula dimensional de α para que la ecuación sea dimensionalmente !omog7nea 2α03; 9 2βO3< ( π 0 ( 0resión O ( Ouer'a π ( <,8?8@P B8 ; B8 B8 ; a3 )* + b3 ) * + c3 )*+; d3 )B8*+B; e3 )= Q. allar las fórmulas dimensionales de α y β si la e&presión es dimensionalmente correcta 2!omog7nea3 αa 9 βb ( ab B δ a ( 4istanciaA b ( *asa B8 a3 "α# ( *A "β# ( )+ b3 "α# ( )A "β# ( * c3 "α# ( )B8A "β# ( * d3 "α# ( *A "β# ( ) e3 "α# ( *B8A "β# ( ) P. allar la fórmula dimensional de $&% si la e&presión es !omog7nea &(
M 5 R 2 V
−1
+
donde 5 ( masa a3 ) b3 * ; d3 ) * e3 *;
A Sen30º
c3 *+B8
8=. allar la fórmula dimensional de M en la siguiente e&presión mv P = Po e 2CTE − 1 v(velocidad m(masa E(energía +(temperatura 0(potencia. a3 ) b3 + c3 ; d3 B8 e3 * 2
8<. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta 0 ( d&Fyt' 4onde 0 0otencia 2unidad ( mGgsB<3 d 4ensidad 2masavolumen3 F Felocidad + +iempo allar el valor de <2yB<&32yB'3 a3 B; b3 B8 c3 8 d3 ; e3 < 8?. La ecuación siguiente:
dimensionalmente X
Y
homogénea
Z
a = b c d
a = potencia útil b = densidad absoluta c = radio de curva d = velocidad lineal Hallar x + y + z a) 2 b) 3 d) 5 e) 6
c) 4
8@. )a velocidad de una onda transversal en una cuerda elástica se establece con v ( OT uU donde O ( tensión en la cuerda u ( densidad lineal de cuerda 2Vgm3 allar su fórmula física a3 v ( O u b3 v ( O u c3 v ( √ 2Ou3 d3 v ( O u ; e3 v ( O u < 3
TAREA DOMICILIARIA
N. El volumen del fluido que pasa en unidad de tiempo por un tubo capilar, está colocado por
8. 4eterminar la fórmula dimensional de $J% 2 cia) J ( ( Fuerza)( Dis tan 2
( Masa)
a3 )B8*+B< d3 )B;*+B8
b3 )*+B< e3 )
1 π R 4 . P n 8 I
F(
c3 )<*B8+B;
;. )a siguiente ecuación nos define la velocidad F en función del tiempo 2+3 de un cuerpo que se despla'a sobre una superficie !ori'ontal F ( 5W Mos2W+3 allar "W# B8 B8 a3 )*+ b3 )+ c3 +B8 d3 +B; e3 +B<
R ( Radio I ( )ongitud 0 ( 0resión allar la fórmula dimensional de la viscosidad n a3 )B8*+B8 b3 );*+B; c3 )*+B; d3 )B8*+B; e3 )+B< Q. Muál será la fórmula dimensional de & para que la e&presión sea dimensionalmente correcta W
&( m(b
W +rabajo m *asa a3 ); b3 *); c3 *+;
2
+ n2 ) ! 5ltura d3 +B; e3 +B<
<. )a fórmula de la energía está dada por P. )a velocidad de una partícula en el interior de un fluido está dada por la fórmula
E ( Sen(w) z
Si X ( Lngulo de incidencia allar "'# a3 *B8)B;+; b3 *); c3 *B8);+ d3 *)+B8 e3 )+B8 ?. )a ecuación de estado de un gas ideal es *5 nRT p ( presión, F(volumen n(cantidad de sustancia +( temperatura termodinámica 4eterminar la fórmula dimensional de la constante Yniversal de los gases R a3 8 b3 );*;+B; c3 );*;+B;θB8 d3 );*+B;θB8B8 e3 );*<+B;θB8B; @. Indique la fórmula que no satisface el principio de !omogeneidad dimensional, si se sabe que d ( 4espla'amientoA F= ( Felocidad inicial F ( velocidad final, a ( 5celeración, g ( 5celeración de gravedad, t ( tiempo, ! ( altura. a3 2F3; ( 2F=3; 9 ;ad
2 b3 d ( (V 0 ) Sen 2θ
g
c3 d ( 2F=3.t9 e3 t (
1 2
d3 ! ( (V 0 ) Sen2θ
at;
2g
2V 0 Senθ
a+
F(
C
F Felocidad a3 *)+B8 d3 *+B8 4
= V
O Ouer'a b3 *+ e3 );
( A + B )
C
2
= F c3 *+B<
c
t
V 0
( I + m − 2n) R
8=. allar la fórmula dimensional de $&% e $y% xV F ( Felocidad 4 ( 4ensidad a3 *), );+ d3 *)B?+, *)BN
3
+ D.Sen37º = yAL2 5 ( Lrea ) ( )ongitud b3 *)<+, )+ c3 *);, )+B8 e3 );, +B8
88. En la siguiente ecuación !omog7nea y V & O ( pω 9 m= r allar & . y O Ouer'a m= ( *asa F(Felocidad r ( Radio de giro p Mantidad de movimiento 2masa.velocidad3 ω Felocidad angular 2ángulotiempo3 a3 8 b3 B8 c3 = d3 ; e3 B; 8;. )a ecuación que se muestra nos da la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre !(
A + B
t
b
+ +
F=A F ( Felocidad t ( +iempo R ( Radio I, m, n ( /meros allar las dimensiones de E ( 2bc3aG a3 )+B; b3 )8;+B8 c3 );+< d3 +B< e3 )
g
K. 4adas las siguientes e&presiones encontrar "5#
b
! ( 5ltura p ( 0eso
1 2
t ( +iempo g ( P,Q msG
4eterminar el valor de a3 = b3 8 d3
2
p gy t'
e3 2 2
E ( z x + y c3 ;
