TEMA 05: ESTIMACION ESTADISTICA DE PARÁMETROS I.- Estimación puntual (sta!"stica !sc#ipti$a% Parámetro
Estimadores
µ: media poblacional poblacional
=
: Varianza poblacional
, media muestral =
P: proporción poblacional poblacional
; varianza muestral
= , proporción muestral
PROPIEDADES DE &OS 'ENOS ESTIMADORES. a). inss)umint*: inss)umint*: E () = ! b). +icincia Estimador con varianza m"nima:
E=
=#
c). C*nsistncia. $ medida medida %ue el tama&o t ama&o de la muestra aumenta los estimadores tienden a acercarse al valor del parámetro. ' ! Su+icincia.loss esti d). Su+icincia.lo estima mado dore ress son son sui suici cien ente tess si util utiliz izan an la mao maorr cant cantid idad ad de observaciones observaciones para calentarse. *d = *e =
= +a media es más suiciente %ue los demás indicadores. II.- Int#$al*s ! c*n+ian,a. = P (-
)=-
1emplazando =
2enemos enem os P
//// ////// ////.. /.. 0 en 0
=-
P (- -
)=-
P ( 3
)=-
P ( -
)=-
Int#$al* ! c*n+ian,a al ( -
%
-
%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la m!ia:
c*n*ci!a.
/%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la m!ia:
!sc*n*ci!a.
a%.P*laci*ns )#an!s (1n2 s ma3*# i)ual 4u 0%. %.P*laci*ns p4u6as (1n2 s mn*# 4u 0%. =
, n-
t - student.
%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la $a#ian,a.
7%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la !i+#ncia nt# !*s m!ias.
supuestos conocidos -
4 -
3
4 -
=# 5%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la !i+#ncia nt# !*s m!ias.
supuestos desconocidos
a%.P*laci*ns )#an!s. %.P*laci*ns p4u6as. .%. $a#ian,as supust*s i)uals
=
=
:
: varianza con5unta
to= t(-678, n3n8-8)
./%. $a#ian,as supust*s !istintas
:
=
=
8%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la p#*p*#ción. -
9P9 3
9%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la !i+#ncia ! !*s p#*p*#ci*ns. (
)
#
E#cici*s: . na muestra aleatoria de << o>ares de una vecindad indica %ue el promedio de los in>resos mensuales es de ?<<. Encuentre un intervalo de conianza del @? A para la media poblacional de los in>resos de todos los o>ares de la vecindad. Bupon>a 4 = C <<. Bolución: D: in>reso mensual : promedio de los in>resos mensuales C ?<< 4: C<< n: << = C ?<< ( - ) = <.@? =
=
= .@ =
= <
@. = FG<.F
remplazando ?<<
.@ (<)
?@.
Hnterpretación: El @? A de los ciudadanos tienen un in>reso promedio de C FG<.F ?@.
8. n análisis de investi>ación de mercado esco>e una muestra aleatoria de << clientes de un con5unto de ?<< clientes de una >ran tienda %ue declara maor in>reso a C ?<<<. +a encuesta de los clientes de la muestra >astaron en la tienda en promedio C 8?<<. Bi con este valor de la muestra se estima %ue el >asto promedio de la población inita suma de 8FF a 8??F IJuK nivel de conianza se utilizaL Bupon>a %ue la desviación estándar es 4 = M<<. Bolución: N: in>reso D: >asto : >asto promedio n = << = C 8?<< ' = población inita 4 = C << ( - ) = IL
8FF
8??F
-
M. En un estudio socioeconómico se orma una muestra aleatoria de << comerciantes inormales se encontró entre otros datos los si>uientes: un in>reso medio de s7. ?<,<< solo en M< A tiene in>resos superiores a s7. G<,<<.
a. Estimar la proporción de todos los comentarios con in>resos superiores a s7. G<<,<< mediante un intervalo de conianza de @G A. b. Bi la proporción de todos los comerciales con in>resos superiores a s7. G<<,<< se estima entre 8<,< A M@,@F A IJuK >rado de conianza se utilizoL. D: numero de comerciantes con in>resos superiores a s7. G<<,<<. = <,M<, n = <<
- = <,@G =
= <.<8 =
=
= <,<
- = <,@@
= 8,MM
=
= <,
En la ormula <.M< 8.MM (<.
resos superiores a G<<,<< var"a entre el @ A a F A.
Be estima entre 8<,< A <,8<<
M@,@F A
<,M@@F
-
3
H>ualemos ( ) 3
= <,M@@F
<,M< 3 3 =
(<,
( - ) = P ( =P(
) )
= = = 8 (<, @GF) Q = <, @@8 <, @O = @O A. F. Be %uiere estimar la dierencia entre dos promedios de tiempo (en minutos) %ue utilizan dos operarios para realizar determinada tarea. Bupon>a %ue las poblaciones de los dos tiempos se distribuen normalmente con varianza comRn. Estime la dierencia entre los dos promedios poblacionales mediante un
intervalo de conianza de @? A si el re>istro de tiempos en cada operario an dado: = ; 8 = M?; = F = MG; = -
= IL Sesconocidas. ///////////////.0
= <,@?
-
- <,@O?
=
=
= 8,
= MG Q M? = M
=
=
=
= 8
= ,G<8G 1emplazando en 0 tenemos: M,G Be>Rn el @? A aventa5a al operario 8 entre <,G ,G minutos. ?.
na irma distribue dos marcas de cerveza en una reciente encuesta se encontró %ue < de 8< la marca $ ?< de G< preieren la marca T. use un intervalo de conianza del @@ A sea la dierencia de proporciones con el in de determinar si son dierentes las proporciones de dierencias poblacionales. *arca U$
= 8<;
*arca UT
= G<;
( -
= <
8
= ?<
=
= <,?<<
=
= <,8?
///////////////.0 ) = <,@@
-
=
= <,@@?
=
= 8,?G
=
<,
8,?G (<,
uando el intervalo de conianza inclue a
. Be esco>e una muestra de M tiendas se encuentra %ue las ventas de la semana de un determinado producto de consumo popular tiene una deviación estándar i>ual a C se supone %ue las ventas del producto tienen distribución normal. Estimar +a varianza +a desviación estándar poblacional mediante un intervalo de conianza del @? A Dat*s. W = C ; n = M
= 1emplazando
= 8M,MF
=
= F,F<
PRE'A DE ;IPOTESIS. XHPY2EBHB: solución anticipada al problema %ue necesita ser demostrada es una airmación o con5etura sobre el problema. ;ipótsis sta!"stica: es una airmación o con5etura sobre los parámetros de la población o sobre el comportamiento de una variable aleatoria. Por e5m. Tip*s !
:!
;
:!
:! ; :! Em: D: in>reso mensual de encuestados. c)
:µ=
G<<,<<;
:µ
G<<,<<
:µ
G<<,<<;
:µ
G<<,<<
:µ
G<<,<<;
:µ
G<<,<<
Em: D: numero de personas %ue preieren un producto [. : p = <, F? ; :p :p
;
:p
:p
;
:p
P#ua ! una
verdadero Error tipo H
also Secisión correcta
$ceptar
Probabilidad :
Probabilidad:
Secisión correcta Probabilidad:
Error tipo HH Probabilidad :
= p (recazo
7
= p (acepto
7
es verdadero) es also)
= nivel de si>niicancia. R)i*ns c#"ticas 3 ! acptación. (2ipo de colas de las pruebas) a)
:!= :! Prueba de dos colas ( ) 1$: re>ión de aceptación 1: re>ión critica o de recazo.
Y
1..
b)
1..
:!
:! Prueba de la cola iz%uierda.
! \ 1
(2, D8, ])
< 1$
c)
:! :! Prueba de cola dereca.
! \ < 1 1$ R)la ! !cisión. Bi el estad"stico de prueba (
) cae en la re>ión de aceptación, entonces
aceptamos ; si cae en la re>ión critica recazamos Esta!"stic* ! p#ua: =
aceptamos
.
.
P#*c!imint* ! P#ua ! ;ipótsis. ]ormulación de la ipótesis :!= ! ! :!
!
!
Especiicar el tama&o del nivel de si>niicación ( ) Seinir las re>iones de aceptación recazo (1$ 1) alcular en estad"stico de prueba despuKs de seleccionarlo apropiadamente. Secisión estad"stica. $ceptar o recaza , se>Rn comparación del estad"stico de prueba re>iones (1$ 1). Secisión estad"stica en tKrminos del problema planteado (interpretación de resultados).
PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE NA MEDIA. A. Supust*: si la varianza es conocida. P#*a# la
1EX$$ BH:
ola dereca Sos colas
=
1$
estad"stico de prueba.
1$ =
;^
Em: un proceso automatico llena latas de palmito. Bi el peso medio de las lata llenas es de F<<>r. Be airma %ue el proceso esta controlado, en caso contrario el proceso no esta controlado. En el proceso de estado se a determinado %ue los pesos de las latas llenas tiene una desviación estándar de 8<>r. Bi una muestra aleatoria de << latas llenas de palmito a dado el peso medio de M@?>r, a la interro>ación se podr"a concluir %ue el proceso esta uera de control al nivel de si>niicación del ? A. S*lución: : µ =F<<>r. (proceso controlado) :µ
F<<>r. (proceso descontrolado)
= ? A = <, =
=
=
=
=
.@
= - 8,? en >raico se ubica en la re>ión critica.
= - 8,?
-
= - ,@
cae en la re>ión critica.
1ecazamos = F<<>r. El proceso esta descontrolado. '. Supust*: si la varianza P#*a# la
es desconocida. :
=
2H+H$ P1ET$ SE:
1EX$$ BH:
ola iz%uierda ola dereca Sos colas
=
estad"stico de prueba.
1$
1$ =
;
^
N*ta: la población es normal. Em: las ca5as de cierto tipo de cereal procesado por una ábrica deben tener un contenido promedio de <>r. Por una %ue5a ante en deensor del consumidor de %ue tales ca5as de cereal tienen menos contenido, un inspector tomo una muestra aleatoria de < ca5as encontrando los si>uientes pesos de cereal en >ramos ?O; ?O; M; G?; ; ?@; 8; ?@; ?G; ?. IEs razonable %ue el inspector multe al abricante utilicen un nivel del ? A supon>an %ue los contenidos tienen distribución normalL Se los datos podemos sacar :µ
<>r (no lo multe al abricante)
:µ
<>r (multe al abricante)
= ? A = <, = =
=
= =
=
= -,GMM.
= - ,M en >raico se ubica en la re>ión aceptación.
= - ,M
= - ,GMM
cae en la re>ión aceptación.
$ceptamos : u = <>r. 'o se multa al abricante. PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE &A >ARIAN?A. Supust*: si lo parámetros son desconocida. P#*a# la
:
=
2H+H$ P1ET$ SE:
1EX$$ BH:
ola iz%uierda ola dereca Sos colas
=
estad"stico de prueba.
1$
1$ =
;
N*ta: la población es normal. Em: una muestra de sobres de cierto producto cuos pesos se distribuen normalmente a dado una desviación estándar de <, >ramos. tilizando un nivel de si>niicación del ? A, es valido inerir %ue la varianza de los pesos de tales sobres es maor de <, 8? :
= <, 8?
:
<, 8?
= <,
=
=
=
= 8,
= = 8?
= 8F,@@
8?
= 8,. cae en la 1$
$ceptamos : = <,8? 'o es valido inerir %ue la varianza es maor %ue <,8?. PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE &A RA?=N DE DOS >ARIAN?AS. Supust*: población normal. P#*a# la
1EX$$ BH:
ola iz%uierda ola dereca Sos colas
1$
Estad"stico de prueba. ;
^
; Em: los tiempos en minutos para realizar cierta tarea observada en < ombres < mu5eres ueron:
Xombres: ?<; F?; F@; ?<; MG; ?G; ?M; FO; FG; ??
=
*u5eres: ??; ?; ?O; ?; ?G; ?M; ?F; ?@; <; ?O
=
Buponiendo _poblaciones normales Ise podr"a concluir %ue las varianzas poblacionales son dierentesL = ? A. =
=
= ? A = <,
=
=
=
= <,8FG
= F,<8?
=
=
= ,?8 cae en la re>ión critica.
1ecazamos = = +as varianzas poblaciones son dierentes. PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE DOS MEDIA. A. Supust*: si la varianza es conocida (población normal) P#*a# la
<
-
<
-
<
= 1$ =
=< 1EX$$ BH:
ola iz%uierda ola dereca Sos colas
estad"stico de prueba ;^
1$
N*ta: para poblaciones no normales.
M<
aproZ. Varianza desconocida. Em: una ábrica %uiere comparar dos marcas $ T; para abricar un tipo de art"culo. Ybserva dos muestras aleatorias de < art"culos procesados por $ T respectivamente encuentra %ue las medias respectivas son 8M< @< se>undos. Bupon>a se>undos al nivel de si>niicancia del ? A, Ise puede inerir %ue la ma%uina T es mas rápida %ue la ma%uina $L Solución:
-
<
-
<
= <, =
= <,@?
= ,F
=
=
= 8,
1
=
=
1ecazamos
= 8,
<
$ceptamos < +a marca T utiliza menos tiempo en el proceso de abricación. '. Supust*: si la $a#ian,as s*n !sc*n*ci!as (p*lación n*#mal% Y'21Y+$ +$ 2H+H$ 1EX$$ P1ET$ SE: $+2E1'$2HV$ BH: ola iz%uierda < -
<
-
<
=
1$ =
ola dereca Sos colas
estad"stico de prueba.
1$
Em: se %uiere determinar la dierencia entre los promedios de tiempos (en minutos) %ue utilizan los ombres las mu5eres para realizar determinada tarea con este in se esco>en < ombres mu5eres resultado los tiempos promedios respectivos F< M? minutos desviaciones estándares respectivas @ G minutos. Bupon>a %ue las poblaciones de ambos tiempos son independientes se distribuen normalmente con varianzas i>uales. $l nivel de si>niicación del A. IEste tiempo promedio de ombres maor al tiempo promedio de mu5eresL Bolución: -
=<
-
<
= <,< =
= 8,F
Se varianzas desconocidas i>uales entra a tallar la varianza con5unta.
=
=
=
=
= ,
=
= O8,?
= , 1$ aceptamos =< 'o eZiste dierencia entre ombres mures para realizar la tarea es decir al A pero si este porcenta5e aumenta los resultados pueden ser otros. C. Supust*: si la $a#ian,as s*n !sc*n*ci!as (p*lación n*#mal% Y'21Y+$ +$ 2H+H$ 1EX$$ P1ET$ SE: $+2E1'$2HV$ BH: ola iz%uierda <
=
1$ =
-
<
-
<
ola dereca Sos colas
estad"stico de prueba.
;
=
1$
Em: una compa&"a debe decidir cual de dos tipos de componente electrónica va ad%uirir $ o T ace una prueba de ? componentes esco>idos al azar para cada marca resultando = G<<< = 8?<< oras para $ O<<< = G<< oras para T. supon>a poblaciones normales con varianzas dierentes. Pruebe la ipótesis nula %ue los rendimientos medios son i>uales contra la alternativa de %ue $ rinde mas %ue T use = ?A. Dat*s: 8 =
= G<<<
8=
O<<<
= 8?<<; = G<<;
=?
= ?A.
=?
S*lución: -
=<
-
<
= <, =
=
=
= 8,<8
=
=
=
= 8,<8
= <, G?
$ceptamos =< 2ienen rendimientos i>uales $ T. PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE NA PROPORCION. Be resume en la si>uiente tabla: P#*a# la
1EX$$ BH:
ola dereca Sos colas
1$
=
estad"stico de prueba
1$ =
;^
Em: una ábrica airma %ue el M
<, M<
= A = <, < =
=
=8, ?G
=
=
=
= <, 8?
= - 8, G
Be acepta %ue = M< A. +a airmación del abricante es correcta. PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE DOS PROPORCIONES. Be resume en la si>uiente tabla: P#*a# la
-
ola dereca
-
Sos colas
-
=
1$ =
1EX$$ BH:
estad"stico de prueba.
;
^
Población ininita.
1$
Em: una empresa de estudio de mercado %uiere saber si un producto promocionado a nivel nacional lo ad%uieren en maor porcenta5e %ue las mu5eres si en dos muestras aleatorias independientes de @<< ombres G<< mu5eres se encontró %ue 8O< ombres 8<< mu5eres ad%uieren el producto, Iuál es su decisiónL Dat*s: = <,
= @<<; = G<<
8
= 8O<;
= 8<<
= =
= <,M< = <,8?
S*lución: -
=<
-
<
= <,
= 8,
=
=
=
= 8,M.
Be acepta %ue =< Por tanto ombres mu5eres ad%uieren la misma cantidad. PRE'A DE INDEPENDENCIA. +as pruebas de ipótesis de independencia implican dos variables cate>óricas (cualitativas) lo %ue se prueba es la suposición de %ue las dos variables son estad"sticamente independientes para cada recuencia observada en una celda a una recuencia esperada %ue se calcula a partir de sus ipótesis nula especiicada %ue se supone verdadera. @*#mulación ! la
Ni$l ! si)ni+icación 3 tip* ! p#ua (R)i*ns% Sado
Calcula# l sta!"stic* ! p#ua. Dat*s *s#$a!*s. >a#ial >a#ial ' A
T*tal
2otal
Dat*s sp#a!*s ( >a#ial A
%
>a#ial '
T*tal
2otal
Ent*ncs: (Estad"stico de prueba) Sonde: : calcular. Dcisión sta!"stica. Dcisión n tB#min* !l p#*lma. Em: en un proceso de producción se re>istro el numero de ob5etos deectuosos clasiicándolos por turnos de producción por ma%uina de producción. +as recuencias observadas se re>istran en el cuadro dado posteriormente. Veriicar al nivel de si>niicación del ? A si el numero de ob5etos, deectuosos producidos por la ma%uina e independiente de los turnos de producción. 2$T+$ SE Y'2H'`E'H$ M0M Satos Ybservados TRNOS MAINAS A ' *a&ana O? @< 2arde O< G? 'oce @? G? 2otal 8F< 8< $
=
= G8.@
C G? O< O? 8M<
T*tal 8?< 8?? 8?? OM< T
=
= @<.G8
$
=
= OM.@O
=
= OG.OO
$
=
= GM.GF
=
= O<.G@
T
=
= G@.
=
= G<.MF
T
=
= G<.M<
Satos Esperados ( TRNOS *a&ana 2arde 'oce 2otal
%
MAINAS A ' C G8,@ G@.
T*tal
El numero de ob5etos deectuosos población por la ma%uina no dependen de los turnos. : El numero de ob5etos deectuosos población por la ma%uina si dependen de los turnos. = <. -
=
= @.F@
= <.@?
=
M.GO Be acepta El numero de ob5etos deectuosos población por la ma%uina no dependen de los turnos. 'o a relación no depende, los ob5etos producidos por la ma%uina.