Tema IV - Centro de Masa y Cantidad de Movimiento

M agnitu de dess y M edidas

TEMA IV - CENTRO DE MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENT M OVIMIENTO O – EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS

1.- Tres partículas de 3 Kg., 6 Kg. y 2 Kg., estás situadas respectivamente en

los puntos (2, -1, 0), (3, 6, 2) y (2, -1, 1). Calcular la posición del centro de masa del sistema. R: CM.= (2,55; 2,82; 1,27) m.

2.- Tres masas m1 = 2 Kg.; m2 = 1 Kg. y m 3 = 4 Kg. se encuentran en los

vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado. Calcular el CM. del sistema. R: CM. = (-0,43; 0,49) m.

3.- Una partícula de 2 Kg. se localiza sobre el eje X en X = 2,00 m y una

partícula de 6 Kg. esta sobre el eje X en X = -6,00 m. Encuentre el CM. del sistema de dos partículas. R: XCM. = -4,00 m.

4.- Una molécula de agua se compone de un átomo de oxigeno con dos

átomos de hidrógeno unidos a ella. El ángulo entre los dos enlaces es de 106º. Si cada enlace tiene 0,100 nm de largo ¿Dónde esta el centro de masa de la molécula?

Prof .: I ng. I skandar Arn eodo Universidad de Oriente – Venezuela © Copyright 2009

M agnitu de dess y M edidas didas..

Y

0,100 nm

R: XCM = 0,00673 nm YCM = 0 nm

H

53º X

O 53º 0,100 nm H

5.- El centro de masas del sistema formado por la tierra y la luna está situado

a 379440 Km. del centro de la luna. Si la distancia entre los dos astros es 38400 Km. 24

Calcular la masa de la luna. Masa de la tierra M T = 5,98x10 Kg. 22

R: ML = 7,1x10 Kg.

equivale a 329390 masas de la Tierra, y la distancia 6.- La masa del Sol equivale 8

media del centro del Sol al centro de la Tierra es igual a 1,496x10 Km. Si se consideran a la Tierra y al Sol como partículas, con cada masa concentrada en su centro geométrico. ¿A que distancia del centro del Sol esta el centro de masa del sistema Tierra – Sol? Sol? Compare esta distancia con el radio medio del Sol (6,960x10

5

Km.) R: CM. = 454 Km. (Dentro del Sol)

7.- La separación entre los átomos de hidrógeno y cloro de la molécula de

HCl es de casi 1,30x10 -10. Determine la posición del centro de masa de la molécula



cuando se mide desde el átomo de hidrógeno. (El cloro es 35 veces más masivo que el hidrógeno). R: XCM = 1,26x10

-10

m.

8.- Una partícula de 2,0 Kg. tiene una velocidad de (2,0i – 3,0j) m/s y una

partícula de 3,0 Kg. tiene una velocidad de (1,0i + 6,0j) m/s. Determine: a. Velocidad del centro de masa. b. Cantidad de movimiento total del sistema. R: a) VCM = (1,40i + 2,40j) m/s b) PT = (7,00i + 12,0j) Kg.m/s.

9.- Un sistema esta formado por tres partículas de 6, 8 y 12 Kg. localizadas en

los puntos P 1 (2, -3), P 2 (4, 1), P 3 (4, 1) respectivamente. La primera se mueve con una velocidad de 7 m/s formando un ángulo de 30º con el semieje positivo de las X, la segunda con una velocidad de 3 m/s sobre el eje Y en sentido positivo y la tercera con una velocidad de 2 m/s sobre el eje X con sentido negativo. Calcular: a. La posición inicial del CM. b. La velocidad del CM.

Y

CM. = (0,77; (0,77; 0,08) m R: a) CM. b) VCM = (0,48i + 1,73j) m/s

V2 M2 M3 V3

X

0 V1 30º M1



10.- Dos partículas de 2 Kg. y 3 Kg. se mueven con velocidades de 5 y 8 m/s

a lo largo del eje X la primera y a lo largo del eje Y la segunda ambas en sentido positivo. En un momento dado da do las partículas se encuentran en las posiciones (2, 0) y (0, -1) respectivamente. Calcular: a. La velocidad del CM. b. La cantidad de movimiento del sistema. c. La posición del CM. R: a) VCM = (2i + 4,8j) m/s

b) PT = (10i + 24j) Kg. m/s. c) r CM 0,6j) m. CM = (0,8i – 0,6j)

11.- Se dispara un proyectil con una velocidad de 400 m/s y un ángulo de

elevación de 60º. Cuando el proyectil se encuentra en el punto mas alto de su trayectoria explosiona dividiéndose en dos fragmentos iguales. Uno de ellos cae verticalmente ¿A que distancia del punto de lanzamiento caerá el otro fragmento? R: X2 = 21207m.

12.- Se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil de 40 Kg. con una

velocidad de 400 m/s. veinte segundos más tarde explosiona dividiéndose en dos fragmentos: El primer fragmento de 10 Kg. sale con una velocidad de 20 m/s en la misma dirección y sentido que se movía el proyectil en el instante de la explosión. Calcular: a. A que altura se produce la explosión. b. Que velocidad tenía el proyectil al explosionar. c. Con que velocidad sale el segundo fragmento. d. Velocidad del CM. 5 segundos después de la explosión. e. Posición, respecto al punto donde se produjo la explosión del CM a los 5 segundos. Prof .: I ng. I skandar Arn eodo Universidad de Oriente – Venezuela © Copyright 2009


R: a) 6040 m. b) 204 m/s. c) 265,33 m/s. d) 155 m/s. e) 897,5 m.

13.- Una explosión rompe una roca en tres trozos. Dos de ellos de 0,5 Kg. y 1

Kg. salen despedidos perpendicularmente con velocidades de 2i m/s y 3j m/s respectivamente el tercero sale con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál es la masa de la roca? R: M = 1,82 Kg.

14.- Dadas 2 partículas m1 = 1 Kg. y m2 = 4 Kg. cuyas posiciones están

definidas por: r 1 = (2, 0, -1) m. y r 2 = (0, 1, 0) m. Sus velocidades: V 1 = (1, 1, 1) m/s y V2 = (-1, 0, 1) m/s. Sobre m 1 actúa una fuerza F 1 = 2j N y sobre m2 F2 = 5i N. Calcular: a. Posición del CM. b. Velocidad del CM. c. Aceleración del CM. 0,2k) m. R: a) r CM CM = (0,4i + 0,8j – 0,2k) b) VCM = (-0,6i + 0,2j + k) m/s. c) aCM = (i + 0,4j) m/s 2.

15.- Se lanza un proyectil de 15 Kg. con un ángulo de elevación de 60º y una

velocidad de 400 m/s. Cuando se encuentra en el punto más alto de la trayectoria el proyectil hace explosión dividiéndose en dos fragmentos. El primero, de 5 Kg. cae verticalmente. ¿A que distancia de éste caerá el segundo fragmento? R: 10604,4 m.

16.- Una granada se desplaza horizontalmente con una velocidad de 8 m/s

explosiona en tres fragmentos iguales. Uno de ellos continúa moviéndose horizontalmente a 16 m/s, el segundo se desplaza hacia arriba formando un ángulo Prof .: I ng. I skandar Arn eodo Universidad de Oriente – Venezuela © Copyright 2009


de 45º y el tercero se desplaza formando un ángulo de 45º bajo la horizontal. Hallar la velocidad del segundo y el tercer fragmento. R: V2 = V3 = 5,63 m/s.

17.- Un bote de 2 Kg. explosiona rompiéndose en tres pedazos. Dos de ellos

tienen una masa de 0,5 Kg. cada uno y salen despedidos en direcciones perpendiculares con una velocidad de 20 m/s cada uno. Calcular: la dirección, sentido y magnitud con que se mueve el tercero después de la explosión. R: V3

= 14,4 m/s α = 45º III cuadrante.

18.- Una partícula de 5,0 Kg. tiene una velocidad de (2,0i

– 6,0j)

m/s.

Encuentre las componentes de la cantidad de movimiento y su magnitud. R: P = (10,0i – 30,0j) – 30,0j) Kg.m/s

│P│ = 31,62 Kg. m/s.

19.- Una bola de boliche de 6,00 Kg. se mueve en línea recta a 2,00 m/s.

¿Qué tan rápido debe moverse una bola de ping – pong pong de 2,45 gr. en una línea recta de manera que las dos bolas tengan la misma cantidad de movimiento? R: V = 4897,96 m/s.

20.- Un niño bota una gran pelota sobre una acera. El impulso lineal

entregado por la acera a la pelota es 2,00 N.S durante 1/800 seg. de contacto. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida por la acera sobre la pelota? R: F = 1600 Nj.

21.- Una gran pelota con una masa de 100 gr. se deja caer desde una altura de

3,0 m. Rebota hasta una altura de 2,0 m. ¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento lineal durante el choque con el piso? R: ΔP = 1,393 Kg.m/s Prof .: I ng. I skandar Arn eodo Universidad de Oriente – Venezuela © Copyright 2009


22.- En un juego de softball de lanzamientos lentos, una pelota de softball de

0,200 Kg. cruza el plato a una velocidad de 15,0 m/s y a un ángulo de 45º debajo de la horizontal. La pelota fue golpeada a 40,0 m/s, 30º sobre la horizontal. Determine: a. El impulso aplicado a la pelota. R: I = (9,05i + 6,12j) N.seg.

23.- Un balón de fútbol de 0,30 Kg. se lanza con una velocidad de 10 m/s. Un

jugador atrapa la pelota y la detiene en 0,020 seg. Determine: a. ¿Cuál es el impulso dado al balón? b. ¿Cuál es la fuerza promedio ejercida sobre el jugador? R: a) ΔP = -3 Kg.m/s.

b) F = - 150 N.

24.- Una pelota de béisbol de 0,20 Kg. se lanza con una velocidad de 30 m/s.

Luego es bateada directamente hacia el lanzador con una velocidad de 40 m/s. Determine: a. ¿Cuál es el impulso que recibe la pelota? b. ¿La fuerza promedio ejercida por el bate sobre la pelota si los dos están -3

en contacto durante 3x10 segundos? R: a)

ΔP = 14 Kg. m/s.

b) F = 4,67 Kn

25.- Un jugador de tenis recibe un tiro con la bola (0,060 Kg.) que viaja

horizontalmente a 50 m/s y lo regresa con la bola moviéndose horizontalmente a 40m/s con la dirección opuestota. ¿Cuál es el impulso dado a la bola por la raqueta? R: I = ΔP = 5,40i N.seg. N.se g.



26.- Una bola de acero de 2 Kg. golpea una pared con una velocidad de 10m/s

a un ángulo de 60º con la superficie. Rebota con la misma velocidad y ángulo. Si la bola esta en contacto con la pared 0,10 seg. se g. ¿Cuál es la fuerza promedio ejercida por la pared sobre la bola? Y

R: F = -346,4i N

60º

X

60º

27.- Una astronauta de 60 Kg. camina en el espacio alejada de la nave

espacial cuando la línea que la mantiene unida a la nave se rompe. Ella puede lanzar su tanque de oxigeno de 10 Kg. de manera que éste se aleje de la nave espacial con una velocidad de 12 m/s para impulsarse a si misma de regreso a la nave. Suponiendo que inicia su movimiento desde el reposo (respecto de la nave). Determine la distancia máxima a la cual puede estar del vehículo espacial cuando la línea se rompe e incluso regresar en menos de 60 segundos (es decir, el tiempo que puede estar sin respirar). R: X = 120m.

28.- Un astronauta de 80 Kg. trabaja en los motores de su nave, la cual deriva

por el espacio con velocidad constante. El astronauta, que desea mejor vista del universo se impulsa contra la nave y después se encuentra a si mismo 30 metros Prof .: I ng. I skandar Arn eodo Universidad de Oriente – Venezuela © Copyright 2009


detrás de la nave. Sin un medio de impulsión, la única manera de regresar a la nave es lanzar su llave de tuercas de 0,5 Kg. lejos de su nave. Si lanza la llave con una velocidad de 20 m/s. ¿Cuánto tarda el astronauta en llegar a la nave? R: t = 240 seg.



RESOLU RESOLU CI ÓN D E L OS PROBL PROBL EM AS.

1.- Problema.

X CM X CM Y CM Y CM Z CM Z CM

CM

m1 * X 1

m2 * X 2 m1

3* 2

6*3 3

m3

2*2

2 m2 * Y 2

6 18

6

m1 * Y 1 m1 3*

m2

m3 * X 3

1

m1 * Z 1

6*6

2*

m2

6*2 3

6

1

3

2

36

2

11

m2 * Z 2

m1 3* 0

m3 * Y 3 m3

6

2,55m

11

m2

3

4

2,82m

m3 * Z 3 m3

2 *1

2

0 12

2

1,27m

11

2,55; 2,82;1,27 m

2.- Problema.

Coordenadas de: m1 = (0, h) h

22

12

4 1

3

m1 = (0, 3 ) m2 = (1, 0) m3 = (-1, 0)



Y

M1

2m h M2

M3

0 1m X CM X CM Y CM Y CM

CM

m1 * X 1

X

m2 * X 2 m1

2* 0

m2

m3

1* 1

4

2 1 4 m1 * Y 1 m2 * Y 2 m1 2*

3

m3 * X 3

m2

1

0 1 4

0,43m

7 m3 * Y 3 m3

1* 0

4* 0

2* 3

2 1 4

0 7

0

0,49m

0,43; 0,49 m

3.- Problema.

X CM X CM

m1 * X 1 m1 2* 2

m2 * X 2 m2 6*

2

6

6

4

36 8

4,00m

4.- Problema.



Y

Coordenadas:

H 0,100 nm

O = (0, 0) H = (0,100*Cos 53º; 0,100*Sen 53º) H = (0,100*Cos 53º; -0,100*Se 53º)

53º X

O

mH = 1,008 u. mO = 15,999 u

53º 0,100 nm H X CM X CM Y CM Y CM

mi * X i

15,999 * 0

1,008 * 0,100 * Cos53º 15,999

Mt

1,008

1,008 * 0,100 * Cos53º 1,008

0,00673nm

mi * Y i

15,999 * 0

1,008 * 0,100 * Sen53º 15,999

Mt

1,008

1,008 *

0,100 * Sen53º

1,008

0nm

CM 0,00673; 0 nm

5.- Problema.

X CM

mt * X t mt

ml * X l ml

Ubicando el origen del sistema de referencia en la luna tenemos:



379440

5,98 x10

24

* 3840000

5,98 x10

379440 * 5,98 x1024

ml ml

5,98 x10

24

24

ml * 0

ml 5,98 x1024 * 3840000

ml

* 3840000

379440

5,98 x10

24

22

7,1 x10 Kg .

6.- Problema.

X CM

mt * X t

mS * X S

mt

mS

Masas de los astros: 22

mt = 5,98x10 Kg. 22

28

mS = 329390*mt = 329390*5,98x10 = 1,97x10 Kg. Ubicando el origen del sistema de referencia en la luna tenemos:

22

X CM X CM

8

5,98 x10 *1,496 x10 5,98 x10

22

28

1,97 x10 * 0

1,97 x10

28

454,114 Km Dentro del Sol

7.- Problema.

Masas de las moléculas. mCl = 35*mH mH = mH Ubicando el origen del sistema en el hidrógeno.



X CM X CM X CM X CM

mCl * X Cl

m H * X H

mCl

m H

35 * m H * 1,30 x10 35 * m H m H * 45,5 x10

10

0

m H 10

36 * m H 10

1,26 x10

m

8.- Problema.

V CM

m1 * V 1

m2 * V 2 mT

2,0 * 2,0i

3,0 j

ˆ

a)

V CM

4,0i

6,0 j

P T

M T * V CM

P T

ˆ

5,0 1,40i

ˆ

ˆ

18,0 j

ˆ

7,0i

ˆ

12,0 j

ˆ

5

s

2,40 j

ˆ

ˆ

ˆ

2,40 j m

5,0 * 1,40i 7,0i

6,0 j

3,0

3,0i

ˆ

V CM

b) P T

ˆ

2,0 ˆ

V CM

3,0 * 1,0i

ˆ

ˆ

12,0 j Kg . m ˆ

s

9.- Problema.



X CM X CM

a) Y CM Y CM

mi * X i

8* 4 6

Mt 0,77m mi * Y i

6*

3

12 *

2

20

8 12

8* 1 6

Mt 0,08m

26

12 * 1

8 12

2 26

0,77; 0,08 m

CM

V 1

7 * Cos30º i

V 2

3 j m

V 3

6* 2

7 * Sen30º j m

ˆ

ˆ

s

ˆ

s 2i m s ˆ

b) V CM

mi * V i

V CM

ˆ

36,37i

21 j

ˆ

24 j

ˆ

26 0,48i

ˆ

7 * Sen30º j

ˆ

6

Mt ˆ

V CM

6 * 7 * Cos30º i 24i

ˆ

12,37i

ˆ

8 * 3 j

ˆ

12

2i

ˆ

8 12 45 j

ˆ

26

1,73 j m ˆ

s

10.- Problema.

11.- Problema.



Y

/ s m 0 4 0 = V

V

60º

CM

1 0

2 X

X1 XCM X2

El centro de masa se mueve como si no hubiera explosión. Cuando los fragmentos llegan al suelo, el C.M. se encuentra en el punto del suelo donde llegaría el proyectil si no hubiera explosionado. Por lo tanto: X CM = Alcance máximo.

Calculamos el alcance máximo: Y

0

Y

Yo Vo * Sen * t

0

400 * Sen60 * t

t

400 * Sen60 4,9

1 * g * t 2 2

1 * 9,80 * t 2 2

70,69 seg .

Alcance: X CM

Xo Vo * Cos * t

X CM

14138m

400 * Cos60 * 70,69

er

Posición del 1 fragmento: Prof .: I ng. I skandar Arn eodo Universidad de Oriente – Venezuela © Copyright 2009


Como cae verticalmente desde el punto más alto su posición será: X CM

X 1

14138

2 7069 m

X 1

2

do

Para determinar la posición del 2 fragmento evaluamos la expresión para el centro de masa.

m1 * X 1

X CM m1

m2 * X 2

m1ç m2

m2

m

m * X 1 X 2

X CM

2*m X 1 X 2

* X CM X 2

2 * 14138

X 2

21207m

X 1 X 2

X 2 2 2 * X CM

X 1

7069

El segundo fragmento cae a 21207 m del lugar de lanzamiento inicial.

12.- Problema.

Y

a) Y Y

V CM

b) V CM V CM

Yo

Vo * t

400 * 20

1 * g * t 2 2 1 * 9,80 * 20 2

2

6040m

Vo gt 400

9,8 * 20

204 m

s



M T * V CM

m1 * V 1

c) 40 * 204

30 * V 2

10 * 20

8160

V 2

m2 * V 2

200

V 2

30

265,33 m

s

d) El C.M. se mueve como si no hubiese ocurrido la explosión, entonces:

V CM

Vo gt

V CM

400

V CM

155 m

9,8 * 25

s

Yo Vo * t

Y

d) Y

400 400 * 25

Y

6937 ,5m

1 * g * t 2 2 1 * 9,80 * 25 2

2

Posición del C.M. con respecto al punto de explosión: 6937,5

Y

6040

897,5m

13.- Problema.

La velocidad del C.M. permanece constante antes de la explosión. 0m

V CM

s

M T * V CM

m1 * V 1

0

0,5 * 2i

0

i

3 j

ˆ

m3

Como V 3

m3 * V 3

ˆ

i 1

m3 * V 3

m3 * V 3

ˆ

m3 * V 3 V 3

1 * 3 j

ˆ

ˆ

m2 * V 2

i

ˆ

3 j

ˆ

3

m3

j

ˆ

10 m

s.



V 3

V 3 X

2

V 3 y

2

2

1

10

2

3

m3

10

10

M T

m1

M T

1,82 Kg .

2

10

m2

m3

m3

m3

10

0,32 Kg .

m3

m3

0,5 1 0,32

Dirección con que salio el tercer fragmento. 3,12i

V 3

9,38 j.

ˆ

ˆ

V2

9,38

Tg

3,12 71,59º V1 α

V3

14.- Problema.

mi * r i

r CM

a) r CM r CM

V CM

b)

2i

4 * j

k ˆ

ˆ

1

M T

ˆ

4

k 4 j ˆ

ˆ

ˆ

5 0,4i

ˆ

0,8 j

0,2k m ˆ

ˆ

mi * V i

1* i

ˆ

j

ˆ

3i

4*

k ˆ

i

ˆ

k ˆ

5

M T ˆ

V CM

1 * 2i

j

ˆ

5

5k

.

ˆ

V CM

0,6i

ˆ

0,2 j

ˆ

k m s ˆ



M T aCM

c)

F ex t

2 j

5i

ˆ

aCM

ˆ

aCM

5

i

ˆ

0,4 j m ˆ

s 2

15.- Problema.

16.- Problema.

V2

45º

8 m/s

V1 = 16 m/s

45º

V3

V 2

V 2 * Cos 45 º i

V 2 * Sen Se n45 º j

V 3

V 3 * Cos 45 º i

V 3 * Sen Se n45 º j

V 3

16i

m1

m2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

M T * V CM

m3

m

m1 * V 1

3 * m * 8i

ˆ

m2 * V 2

m * 16i

m3 * V 3

m * V 2 * Cos 45º i

ˆ

ˆ

V 2 * Sen45º

m * V 3 * Cos45º i

ˆ

V 3 * Sen45º

Agrupando: 24mi

ˆ

16 0,71* V 2

0,71* V 3 mi

ˆ

0,71* V 2

0,71*V 3 m j

ˆ



24mi

16

ˆ

0 24 0 V 3

0,71 * V 2

0,71 * V 2 16

0,71 * V 3

0,71 * V 2

0,71 * V 2

0,71 * V 3 m

0,71 * V 3

0,71 * V 3

ec. I

ec. II

V 2

En ec.I 24

16 1,42 * V 2

V 2

5,63 m

V 3

s

17.- Problema.

VCM = 0 antes de la explosión. VCM permanece constante.

M T * V CM

m1 * V 1

m2 * V 2

M T

m1

m2

m3

m3

M T

m1

m2

0

0,5 * 20i

V 3

10i

ˆ

ˆ

10

V 3 tg

m3 * V 3

V2 m3

1 Kg .

0,5 * 20 j

1 * V 3

ˆ

10 j

ˆ

2

10 10

10

2

14,14 m

s.

V1

er

45º en el 3 cuadrante

18.- Problema.



P

m * V

P

10

5,0 * 2,0i

ˆ

6,0 j

10,0i

ˆ

ˆ

30,0 j Kg . m ˆ

s

31,62 Kg . m

30

s.

19.- Problema.

Cantidad de movimiento de la bola de boliche. P 1

6,0 Kg * 2 m

m * V

s

12 Kg . m

s

Cantidad de movimiento de la bola de ping – pong. pong. P 2

m * V

P 2

P 1

2,45 x10

V

3

3

2,45 x10 Kg * V

* V

12

4897,96 m

s

20.- Problema.

P

impulso

P F * t F F

P

2,00 N . s j 1 s 800

ˆ

t

1600 N j ˆ

1600N j

ˆ

21.- Problema.

P P f P i P f V f P f

m * V f 2 * 9,80 * 2 0,100 * 6,26

6,26 m s 0,626 Kg . m s



P i V i P f P

m * V i 7,67 m

2 * 9,80 * 3 0,100 *

s

0,767 Kg . m

7,67

0,626

0,767

s 1,393 Kg . m s

22.- Problema.


Tema IV - Centro de Masa y Cantidad de Movimiento

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