Superposicion de Fuente y Vortice Epiral Final

Universidad Nacional de Cajamarca Facultad de Ingeniería Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

INDICE

INDICE............................................ ................................................................... ............................................. ............................................ .................................... .............. 1 I.

INRODUCCION ............................................ ................................................................... ............................................. .................................... .............. 2

II. OBJETIVOS................................. OBJETIVOS....................................................... ............................................ ............................................. ................................. .......... 2 III.

MARCO TEORICO ........................................... ................................................................. ............................................ ............................. ....... 3

SUPERPOSICION DE FUENTE Y VORTICE EPIRAL ............................................ ............................................ 3 FORMACION DE VORTICES............................................ ................................................................... ........................................ ................. 3 VORTICIDAD........................................................... ................................................................................. ............................................. ............................. ...... 3 PERFILES VORTICIDAD ......................... ............................................... ............................................ ............................................ ...................... 4 VORTICE ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ............................. ...... 4 CIRCULACION ............................................. ................................................................... ............................................ ........................................ .................. 6 CIRCULACION EN FLUJOS IRROTACIONALES ............................................ .................................................. ...... 6 VORTICE FORZADO .......................................... ................................................................ ............................................ ................................. ........... 7 VORTICE LIBRE ESPIRAL .............................................................. .................................................................................... ......................... ... 7 VORTICE DE REMOLINO .......................................... ................................................................ ............................................ ......................... ... 9 APLICACIONES DE VORTICES ........................................... .................................................................. .................................. ........... 10 SUPERPOSICION DE FUENTE O SUMIDERO Y CORRIENTE RECTILINEA (OVALO DE RANKINE) ............................................. ................................................................... ............................................ ........................ 11 FLUJO POTENCIAL .............................................................. ..................................................................................... ................................... ............ 11 FUNCION CORRIENTE (Ψ) (Ψ) . ..................................................... ........................................................................... ............................... ......... 12 FLUJO BIDEMENSIONAL COMPRESIBLE E INCOMPRESIBLE ...................... ...................... 12 CORRIENTE RECTILINEA ........................................... ................................................................. .......................................... .................... 13 FUENTE Y SUMIDERO ............................................................ .................................................................................. ............................... ......... 14 OVALO DE RANKINE ................................................ ...................................................................... ............................................ ........................ 15 IV.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONE RECOMENDACIONES S .......................................... .................................................. ........ 16

V. BIBLIOGRAFIA............................................ ................................................................... ............................................. .................................. ............ 16

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I.

INRODUCCION

Dentro de la mecánica de fluidos se desarrollan una cantidad considerada de conceptos los cuales hacen referencia a flujos estáticos y dinámicos, pero además se desarrollan diversas características y estudios sobre los flujos, entonces dentro de estos estudios llegamos a flujos en orificios y a su vez dentro de esta parte encontramos el concepto de vórtice. Simple y llanamente para comenzar haremos referencia a la definición de vórtice: “Vórtice es el remolino que se observa, cuando un líquido se desliza por un orificio abierto en el fondo de un depósito de poca profundidad.” Además de esto veremos los conceptos de superposición de fuente y sumidero, y ovalo de Rankine Nosotros mencionamos entonces que el vórtice es la forma remolinada la cual un fluido se desaloja por el fondo de un depósito; como por ejemplo la forma como el agua baja por las cañerías del desagüe, el movimiento de las aguas marinas por los océanos y demás situaciones cotidianas.

II.

OBJETIVOS

 Entender el concepto de superposición de fuente y vórtice espiral  Aplicar estos temas a la ingeniera y darles su aplicación en la realidad  Analizar los conceptos y aplicaciones relacionados con la vida cotidiana  Ver el comportamiento de un vórtice espiral  Observar como se obtiene y como se forma el ovalo de Rankine.

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III.

MARCO TEORICO

SUPERPOSICION DE FUENTE Y VORTICE EPIRAL

El procedimiento que se seguirá en esta sección será examinar ciertas combinaciones de flujos simples con el propósito de interpretar patrones de flujo físicamente significativos a partir de cada combinación. Esto puede parece r al lector como un procedimiento de “ir hacia atrás”, es decir, primero aparece una solución (la escogencia de los flujos simples que deben superponerse) seguida de esfuerzos por averiguar cuál problema se ha resuelto (la interpretación del patrón de flujo combinado). Las consideraciones siguientes pueden ayudar a justificar este procedimiento. 1. En realidad, establecer un flujo incompresible, irrotacional y bidimensional para cualquier problema dado suele ser muy difícil, si no imposible, utilizando métodos analíticos directos. Sin embargo, pueden utilizarse métodos numéricos, como las diferencias finitas, los elementos finitos y los elementos frontera. También, pueden establecerse soluciones aproximadas para problemas dados, mediante una extensión de la técnica de superposición. 2. A pesar de la ineficacia de este estudio como herramienta directa para solucionar problemas dados, aún es necesario como fundamento para explorar el uso de técnicas matemáticas y numéricas más complejas. Asimismo, con ayuda de este método fundamental pueden iniciarse en forma más efectiva investigaciones experimentales y pueden interpretarse más fácilmente los resultados. FORMACION DE VORTICES

Los vórtices pueden ser formados por inestabilidades de corrientes, por la interacción aire-mar, por diferencias de densidad en diferentes masas de agua o por la separación de un flujo causado por un cambio abrupto en la topografía, entre otros. Estos vórtices, junto con las corrientes oceánicas, son responsables del transporte de masas de agua, nutrientes y sedimentos. VORTICIDAD

Un concepto clave en la dinámica de vórtices es la vorticidad, un vector que describe el movimiento giratorio local en un punto en el fluido, como sería percibida por un observador que se mueve junto con él. Conceptualmente, la vorticidad se puede observar mediante la colocación de una pequeña bola áspera en el punto en cuestión, libre de moverse con el fluido, y la observación de la forma en que gira alrededor de su centro. La dirección del vector de vorticidad sería la dirección del eje de rotación de esta bola imaginaria mientras que su longitud sería proporcional a la velocidad an gular de la bola.

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PERFILES VORTICIDAD

La vorticidad en un vórtice depende de cómo la velocidad v de las partículas varía a medida que la distancia r desde el eje. Hay dos casos especiales importantes: Si el fluido gira como un cuerpo rígido - es decir, si v aumenta proporcionalmente a r una pequeña bola llevado por el flujo también girar alrededor de su centro como si fuera parte de ese cuerpo rígido. En este caso, es la misma en todas partes: su dirección es paralela al eje de giro, y su magnitud es el doble de la velocidad angular de todo el fluido. Si la velocidad v de partículas es inversamente proporcional a la distancia r, entonces la bola de prueba imaginaria no gire sobre sí misma, sino que mantendrá la misma orientación mientras se mueve en un círculo alrededor de la línea de vórtice. En este caso, la verticidad es cero en cualquier punto no en esa línea, y el flujo se dice que es irrotacional.

VORTICE

El flujo circula alrededor del origen intensificándose su velocidad del infinito hacia el origen, o mejor dicho la velocidad tangencial aumenta inversamente con el radio

F igura 1: Vórtice libre

F uente: M. White, 2004 En esta singularidad las líneas de corriente son circulares o concéntricas y las líneas equipotenciales son radiales. Es un flujo muy útil que puede crearse fácilmente escogiendo la función corriente de la fuente como potencial de velocidad del vórtice. Hacemos

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F igura 2: Análisis del vórtice

F uente: M. White, 2004 Función potencial para el vórtice:

Como vemos es un flujo circulatorio en el cual la velocidad tangencial aumenta mientras disminuye el radio; de tal manera que el origen de coordenadas se tenga velocidad infinita y en donde Ψ y Φ no están definidas. K será llamada intensidad del vórtice y tiene las mismas dimensiones que la fuente. La circulación para este tipo de flujo no se anula cuando se integra en un circuito que encierra al núcleo del vórtice.

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CIRCULACION

La circulación se define como la integral de línea, sobre una curva cerrada, de la componente tangencial de la velocidad a lo largo de la curva, es decir.

Aplicando el teorema de Stokes se obtiene además que

Se ve que si el flujo es irrotacional, ∇ ×  = 0 entonces no existirá circulación. Como se verá más adelante la circulación posee gran importancia en la teoría de la sustentación En coordenadas cilíndricas la ecuación de Laplace para la función corriente la ecuación de continuidad y las componentes de la velocidad se expresan respectivamente por las siguientes relaciones.

CIRCULACION EN FLUJOS IRROTACIONALES

Con la ayuda del teorema de Stokes y la definición de irrotacionalidad, se ve que la circulación en cualquier región simplemente conexa de un flujo irrotacional es cero para cualquier trayectoria cerrada, debido a que siempre puede asociarse una superficie envolvente con una trayectoria para la cual (rot V), es cero

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por la condición de irrotacionalidad. Para regiones múltiplemente conexas la circula ción alrededor de ciertas trayectorias, no puede calcularse utilizando el teorema de Stokes. Sin embargo, trayectorias que no encierren el cuerpo infinito tienen circulación cero para flujo irrotacional. La circulación alrededor de cuerpos infinitos en flujos bidimensionales tiene una gran importancia en la teoría de sustentación aerodinámica.

VORTICE FORZADO

El fluido se mueve como un sólido respecto a un eje, no existe esfuerzo cortante en él, y la única aceleración que ocurre se dirige radialmente hacia adentro hacia el eje de rotación, debido a la presencia de la fuerza centrípeta. VORTICE LIBRE ESPIRAL

Un vórtice libre, cada partícula se mueve en una trayectoria circular con velocidad que varía inversamente proporcional a la distancia r desde el centro. Otra caract erística es que luego de tener el recipiente donde gira el fluido, este sigue girando (Inercia). Si se superpone un flujo radial sobre el flujo concéntrico que acaba de describir, entonces las sendas serán espirales. Si el flujo sale de un recipiente de poca profundidad por un agujero en el fondo, la superficie del líquido tomara cierta forma, con un núcleo de aire succionando hacia abajo por el agujero.

F igura 3: Perfil del vórtice

F uente: AutoCAD

En una línea de corriente

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En 1 y 2 no tienen igual presión debido a la fuerza centrifuga

Igualando

Integramos

Por lo tanto

cuando:

entonces como cte = r*v se cumple la característica del vórtice li bre espiral donde V=cte/r, r y V son inversamente proporcional, por lo tanto, el fluido no se comporta como un solido Forma del vórtice libre

Sustituimos v por K/r (Ecuación de Drall), entonces:

Por lo tano tenemos la ecuación de una Hipérbola

En las dimensiones del centro se cumple un vórtice forzado y hacia afuera un vórtice libre

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F igura 4: Vórtice libre

F uente: M. White, 2004 VORTICE DE REMOLINO

Como su nombre lo indica, una porción de este flujo se asemeja aparte del remolino comúnmente encontrado cuando se rema en un bote. Si se toma como vertical, existe una región exterior sombreada donde el flujo es aproximadamente bidimensional, cuando se observa desde arriba en la dirección -z. A distancias razonablemente grandes del “núcleo” que se muestra más oscuro, el movimiento esencialmente ocurre a lo largo de trayectorias circulares con una velocidad que disminuye al aumentar el radio. En est a región, el vórtice “matemático” presentado en esta sección da una buena representación del flujo. La falta de correlación en el núcleo resulta del incremento de la acción viscosa debido a los altos gradientes de velocidad que existen en esta región y que son proporcionales a l/P. Recuérdese que en esencia éste es el mecanismo que causa la falta de correlación entre flujos no viscosos y flujos reales de gases, aunque tengan viscosidades pequeñas. Ahora se analiza la superficie libre del remolino Considérense los puntos localizados en r, y r2separados por una corta distancia Ar cerca del núcleo del remolino. Por consiguiente, la ecuación de Bernoulli para estas partículas de flujo luego de notar que la presión en la superficie libre es  se convierte en:

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APLICACIONES DE VORTICES

F igura 5: Formación de un remolino en el mar

F uente: Google imágenes

F igura 6: Formación de vórtice en el inodoro

F uente: Propia

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F igura 7: Vórtice en el mar

F uente: Google imágenes SUPERPOSICION DE FUENTE O SUMIDERO Y CORRIENTE RECTILINEA (OVALO DE RANKINE)

FLUJO POTENCIAL

Este tipo de flujo se denomina así ya que es posible definir una función potencial (φ ) mediante la cual podemos representar un campo de velocidades. La condición necesaria para la existencia de la función potencial es que el flujo sea irrotacional, es decir, ∇ ×⃗ = 0. En las regiones del flujo donde no existan gradientes de velocidad el flujo podrá ser considerado como irrotacional, y en una zona donde existan gradientes de velocidad se denomina capa limite.

F igura 8: Flujo irrotacional y capa limite sobre un cuerpo


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Ecuación de Laplace:

FUNCION CORRIENTE (Ψ)

Se basa en el principio de la continuidad y las propiedades de la línea de corriente. Además, se puede definir una función escalar llamada función de corriente cuando se tiene los siguientes tipos de flujos  Flujo Bidimensional incompresible  Flujo Bidimensional compresible estacionario

FLUJO BIDEMENSIONAL COMPRESIBLE E INCOMPRESIBLE

 Se dice que un flujo es incompresible si la densidad permanece prácticamente

constante. Por lo tanto, el volumen permanece inalterado.  El flujo compresible es aquel que en los cambios de densidad en un punto a otro son despreciables. Figura 9: Flujo Bidimensional incompresible


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F igura 10: Caudal entre líneas de corriente

F uente: Google imágenes- función corriente La variación del valor de la función de corriente, entre dos líneas de corriente, esta relacionado con el caudal que pasa entre ellas. La ecuación de continuidad aplicada a la figura queda:

CORRIENTE RECTILINEA

Es una corriente de velocidad constante (U∞ = cte.) tiene derivadas nulas y, por tanto, satisface la condición de irrotacionalidad y la ecuación de continuidad. Supóngase primero que el flujo es unidireccional en la dirección del eje x; las funciones φ y ψ resultantes son:

Integrando se obtiene:

Las constantes de integración C1 y C2 no afectan ni a las velocidades ni a las presiones, por tanto, se pueden ignorar. Estas funciones se han representado en la figura siguiente

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F igura 11: Esquema de un flujo potencial. Corriente libre

F uente: Lux M 2010 a) Corriente Horizontal b) Corriente con un ángulo de inclinación FUENTE Y SUMIDERO

Consideraremos ahora un fluido que fluye en forma radial a partir de un punto y en todas las direcciones. Es la razón volumétrica de fluido, por unidad de profundidad, que sale de la fuente, por conservación de la masa se debe cumplir que :

Despejando Vr tenemos

F igura 12: Fuente o sumidero en plano x-y


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Esquema de un flujo producido por una fuente.

F igura 13: flujo producido por una fuente

F uente: Google imágenes-flujo a) Líneas de corriente b) Líneas Equipotenciales OVALO DE RANKINE

Cuando una fuente y un sumidero de igual intensidad se colocan equidistantes del origen de coordenadas, inmersos en una corriente uniforme (u0 x) y todo el fluido de la fuente es absorbido por el sumidero, aparece una línea de corriente divisoria, definida entre el fluido de la corriente uniforme y el fluido transferido de la fuente al sumidero, línea que puede considerarse como la intersección con el plano (x,y) de la superficie de un cilindro de forma ovoidal, conocido como ovalo de Rankine. El ovalo de Rankine tiene por ecuaciones, para las líneas equipotenciales y de corriente, de acuerdo con la figura

Los semiejes del óvalo, L y h dependen de la intensidad relativa de la fuente y de la corriente uniforme, es decir, de la relación Cuando se aumenta la relación

 

 

; la línea oval es, ψ = 0.

, desde 0 a valores elevados, la forma del óvalo

aumenta de tamaño y espesor, desde una placa plana de longitud (2 a), hasta un cilindro casi circular.

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F igura 14: Ovalo de Rankine

F uente: M. White, 2004

IV.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

 Se logro analizar el concepto de las funciones de corriente quedando demostrado

a través del desarrollo de ejercicios.  Se analizaron las interpretaciones "geométricas y físicas de las funciones de

corriente  Se reconocieron los campos de aplicación de las funciones de corriente en la

ingeniería

V.

BIBLIOGRAFIA

 CENGEL

Y CIMBALA, J. (2006). MECANICA FUNDAMENTOS Y APLICACIONES. MEXICO

DE

FLUIDOS,

 M. WHITE F, (2004) MECANICA DE FLUIDOS, MADRID-MC GRAW  SOTELO AVILA, G (2000) HODRULICA GENERAL, MEXICO: LIMUSA

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Superposicion de Fuente y Vortice Epiral Final

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