Prueba Física de Frontera
Integrantes: Nicolás Barrios, Camila González, Yasna Yasna Hurtado, Matías Mesias, Carlos Nuñez y Loreto Vergara.
Fecha: 28/11/2014
Problema 2
| 〉 |〉 |〉 ̂ = ℏ| 〉〈| + |〉〈| + |〉〈 | + |〉〈|
Una partícula puede moverse entre 3 compartimientos. El vector de estado asociado a cada compartimiento lo denotaremos como:
,
y y
respectivamente. respectivamente.
Si la dinámica de esta partícula está gobernada por el siguiente Hamiltoniano:
Encuentre los autovalores (autoenergías) y los autovectores (autoestados) del Hamiltoniano. Desarrollo Se define las siguientes bases:
| 〉 = 100 〈 | = 1 0 00
|〉 = 010 |〉 = 001 〈| = 0 1 00 〈| = 0 0 11 | 〉〈| = 100 0 1 00 = 000 100 000 |〉〈| = 010 0 0 11 = 000 000 001 |〉〈 | = 010 1 0 00 = 010 000 000 |〉〈| = 001 0 1 00 = 000 001 000
Calculando el producto de los ket y bra, tenemos:
∴̂ = ℏ010 101 001 Para calcular los autovalores y las autoenergías del Hamiltoniano, es necesario diagonalizar la matriz, para esto utilizamos lo siguiente:
̂|Ψ〉 =|Ψ〉 con i=1,2,3 ∴ℏ010 101 001|Ψ〉=|Ψ〉 |Ψ〉= |Ψ〉=
(Ecuación de Autovalores)
Se definen los siguientes autovalores para las respectivas autoenergías:
|Ψ〉=
Resolviendo para cada autovalor:
̂|Ψ〉=|Ψ〉 ̂|Ψ〉=|Ψ〉 ̂|Ψ〉=|Ψ〉 ℏ010 101 001= ℏ010 101 001= ℏ010 101 001= ℏ+ = ℏ+ = ℏ+ = Por igualación, para cada caso obtendremos las siguientes ecuaciones:
ℏ = ℏℏ + ==
(1.1) (1.2) (1.3)
ℏ = ℏℏ + ==
(2.1) (2.2) (2.3)
Para encontrar los autovalores en función de a, b y c, ocupamos: corresponde a la matriz identidad. De manera general, lo anterior queda:
ℏ = ℏℏ + == ̂ −=0
(3.1) (3.2) (3.3)
, donde
ℏ010 101 001−100 010 001=0 ℏ−0 −ℏℏ −ℏ0 =0
Calculando el determinante de la matriz
Nombramos
− −ℏ+ℏ=0 − +ℏ+ℏ=0 − +2ℏ=0 2ℏ −=0 =0; =√ 2ℏ; =−√ 2ℏ =√ 2ℏ, =0, =−√ 2ℏ ℏ = √ 2ℏ ℏ + = √ 2ℏ ℏ = √ 2ℏ = √ 2 + = √ 2 = √ 2 = √ 2 =√ 2 = √ 2 = √ √ 22 =
Reemplazando
en 1.1, 1.2 y 1.3
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Luego tenemos:
Con las igualdades anteriores realizamos un sistema de ecuaciones, para dete rminar
Por lo tanto:
,
:
Reemplazando
1 |Ψ〉=√ 2= √ 12 ℏ = ℏ + = ℏ = = 0 + = 0 → =− = 0 |Ψ〉=−0= −110
en 2.1, 2.2 y 2.3
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Luego tenemos:
Por lo tanto:
Finalmente reemplazando
en 3.1, 3.2 y 3.3
ℏ = ℏ + = ℏ = = −√ 2 + = −√ 2 = −√ 2 =− √ 2 =−√ 2 (3.1)
(3.2)
(3.3)
Luego tenemos:
Con las igualdades anteriores realizamos un sistema de ecuaciones, para determinar
,
:
Por lo tanto:
Normalizando:
=− √ 2 =− −√ 2√ 2 = 1 |Ψ〉=−√ 2= −√ 1 2
⟨Ψ|Ψ∗⟩=1 ⟨Ψ|Ψ∗⟩=1 ⟨Ψ|Ψ∗⟩=1 ( √ 2 )√ 2 0 − −0 ( −√ 2 )−√ 2 +0+ =1 +24 =1+ =1 +2 + =1 2 =1 1 4 =1 1 = 12 = 4 1 = 114 = √ 2 =+ 2 = 2 |Ψ〉= 12 √ 112 1 1 |Ψ〉= √ 2 −10 |Ψ〉= 12 −√ 11 2 Ψ, Ψ, Ψ 1 1 ⟨Ψ|Ψ⟩= 2√ 2 1 √ 2 1−10 = 2√ 12 1+0−1=0 1 1 ⟨Ψ|Ψ⟩= 4 1 √ 2 1−√ 1 2= 14 1−2+1=0 1 1 ⟨Ψ|Ψ⟩= 2√ 2 1 0 − 1−√ 1 2= 2√ 12 1+0−1=0
Por lo tanto:
Resta probar que
son ortogonales:
1 1 ⟨Ψ|Ψ⟩= 2√ 2 1 0 − 1√ 12= 2√ 12 1+0−1=0 1 1 ⟨Ψ|Ψ⟩= 4 1 −√ 2 1√ 12= 14 1−2+1=0 1 1 ⟨Ψ|Ψ⟩= 2√ 2 1 −√ 2 1−10 = 2√ 12 1+0−1=0 =√ =02ℏ =−√ 2ℏ 1 1 |Ψ〉= 2 √ 12 |Ψ〉= √ 12 −110 1 1 |Ψ〉= 2 −√ 1 2
Finalmente, los valores para las autoenergías y autovalores, respectivamente, son:
