Tema 1 Lógica de Proposiciones Juan Ángel Aledo Sánchez Jaime Penabad Vázquez
Lógica de Proposiciones El conocimiento humano puede producirse bien por constatación de hechos o ideas (que se expresan mediante frases de tipo declarativo), bien como deducción de nuevas declaraciones a partir de otras iniciales. La deducción, como proceso que nos permite generar elementos de conocimiento a partir de otros ya conocidos, es el objeto de estudio de la lógica formal. Así, podemos considerar la lógica como la ciencia que estudia los modos de razonamiento formalmente válidos. La parte más elemental de la Lógica es la Lógica de Proposiciones, Proposiciones, que estudia la formación de expresiones moleculares o compuestas a partir de expresiones atómicas o simples , que se unen mediante el uso de lo que llamaremos conectivos , así como la verdad de dichas expresiones compuestas a partir de la verdad de las expresiones simples que las componen.
Lógica de Proposiciones El conocimiento humano puede producirse bien por constatación de hechos o ideas (que se expresan mediante frases de tipo declarativo), bien como deducción de nuevas declaraciones a partir de otras iniciales. La deducción, como proceso que nos permite generar elementos de conocimiento a partir de otros ya conocidos, es el objeto de estudio de la lógica formal. Así, podemos considerar la lógica como la ciencia que estudia los modos de razonamiento formalmente válidos. La parte más elemental de la Lógica es la Lógica de Proposiciones, Proposiciones, que estudia la formación de expresiones moleculares o compuestas a partir de expresiones atómicas o simples , que se unen mediante el uso de lo que llamaremos conectivos , así como la verdad de dichas expresiones compuestas a partir de la verdad de las expresiones simples que las componen.
Proposiciones Definición: Una proposición -o proposición simplesimple- es una expresión (del lenguaje ordinario) tal que: i) tiene sentido ii) afirma o niega algo iii) de la que se puede saber inequív inequívocame ocamente nte su verdad verdad Toda proposición admite dos valores de verdad, verdad, verdadero y falso,que denotaremos por V y F respectivamente. Desde el punto de vista de la Lógica de proposiciones sólo interesarán los enunciados declarativos expresados en el modo indicativo.
Proposiciones. Ejemplos Ejemplos: Discutir si las siguientes expresiones son o no proposiciones. Todo número entero es un número real 2 + 3 = 5. 1 + 2. C + O = CO . x + 1. x + 1 = 2 Mañana lloverá. Mañana será lunes. Ayer llovió E. Sábato es el mejor novelista argentino vivo El modelo social sueco es el más justo de Europa ¿Dónde?, ¿Cómo?, ¡Oh! Todos los días del año. Me gustaría saber pintar Es posible que suba el petróleo. Siempre hace frío en otoño 2
2
Variables Proposicionales Notación: El concepto de proposición se puede simbolizar mediante una variable proposicional. Una variable proposicional representa una proposición y para escribirlas usaremos letras minúsculas p,q,r,s,... Llamaremos P al conjunto de todas las proposiciones: P = { p : p es proposición }
Intuitivamente, una proposición simple o atómica puede considerarse como una unidad mínima de lenguaje con un contenido de información: - Siete es un número primo −→ Proposición simple - Juan y José son médicos≡Juan es médico y José es médico
Proposiciones Compuestas Una proposición compuesta o molecular es un enunciado formado por proposiciones (simples) que se unen mediante enlaces llamados conectivos, que son caracteres matemáticos que permiten unir varias proposiciones obteniendo así nuevas proposiciones. A la hora de obtener el valor de verdad de una proposición compuesta, resulta útil construir la correspondiente tabla de verdad, que es un esquema tabular que expresa el valor de verdad de una proposición compuesta a partir del valor de verdad de las proposiciones simples. La tabla de verdad de una proposición compuesta formada por n proposiciones simples tiene 2 filas. Los posibles valores de verdad, verdadero y falso, se representan por V o 1 y F o 0 respectivamente. n
Cuando dos proposiciones p y q , simples o compuestas, tienen siempre el mismo valor de verdad, escribiremos p = q o p ≡ q .
Conjunción Lógica Conectivo y: Dadas las proposiciones p, q ∈ P formamos la expresión ‘ p y q ’ tal que: i) tiene sentido ii) afirma o niega algo iii) su verdad viene dada por la tabla: p
q
p ∧ q
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
Conjunción Lógica Simbolizamos ‘y’ por ∧, de manera que para cualesquiera p, q ∈ P , p ∧ q ∈ P (¡proposición compuesta!). Por tanto ∧ es una operación interna en P , es decir, ∧ : P × P −→ P Ejemplos: 2 ∈ N y 1/2 ∈ Q. Todo triángulo es un polígono y algún polígono tiene cuatro lados. ∧ recoge el sentido de la conjunción ‘y’ usual, pero
formaliza también expresiones del tipo: No abre la Escuela, aunque es lunes. p es proposición simple, pero p y q es compuesta. Hoy no es festivo, mañana tampoco.
Disyunción Lógica Conectivo o: Dadas las proposiciones p, q ∈ P formamos la expresión ‘ p o q ’ tal que: i) tiene sentido ii) afirma o niega algo iii) su verdad viene dada por la tabla: p
q
p ∨ q
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
Disyunción Lógica Simbolizamos ‘o’ por ∨, de manera que para cualesquiera p, q ∈ P , p ∨ q ∈ P . Por tanto ∨ es una operación interna en P , es decir, ∨ : P × P −→ P Ejemplos: 2 ∈ N o 1/2 ∈ Q. Todo triángulo es un polígono o algún polígono es redondo. ∨ recoge el sentido de la conjunción ‘o’ inclusiva usual,
pero no formaliza expresiones del lenguaje ordinario del tipo (disyunciones exclusivas): Dentro o fuera. Culpable o inocente.
Conectivo Negación Conectivo no: Dada la proposición p ∈ P formamos la expresión ‘ no p’ tal que: i) tiene sentido ii) afirma o niega algo iii) su verdad viene dada por la tabla: p
p
V
F
F
V
′
Simbolizamos ‘ no p’ por p , de manera que para cualquier p ∈ P , p ∈ P . Así, puede interpretarse como una aplicación de P en P . ′
′
′
Algebra de Boole de Proposiciones Los conectivos ∧, ∨ satisfacen las propiedades: 1) Idempotente: p ∧ p = p, p ∨ p = p 2) Conmutativa: p ∧ q = q ∧ p, p ∨ q = q ∨ p 3)Asociativa: p ∧ (q ∧ r) = ( p ∧ q ) ∧ r, p ∨ (q ∨ r) = ( p ∨ q ) ∨ r 4) Absorción: p ∧ ( p ∨ q ) = p, p ∨ ( p ∧ q ) = p 5) Distributiva: p ∧ (q ∨ r) = ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r),
p ∨ (q ∧ r ) = ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r)
Algebra de Boole de Proposiciones Todas las expresiones anteriores son universales , es decir, se satisfacen para cualesquiera proposiciones p , q , r ∈ P . Por tanto pueden reescribirse usando el símbolo ∀ (cuantificador universal), que se interpreta como: Para todo, dado uno cualquiera, cualquiera que sea,... Por ejemplo, la propiedad conmutativa puede escribirse como ∀ p, q ∈ P , p ∧ q = q ∧ p, q ∨ p = p ∨ q
Llamaremos tautología a una proposición siempre verdadera, y la denotaremos por I . Asimismo, llamaremos contradicción a una proposición siempre falsa, y la denotaremos por O. La negación satisface los resultados: ′
p ∨ p = I ′
p ∧ p = O ′
p = p (Propiedad involutiva de la negación) ′′
Algebra de Boole de Proposiciones Las proposiciones O e I satisfacen las propiedades: 6) Existe O ∈ P tal que ∀ p ∈ P , p ∧ O = O, p ∨ O = p O se denomina elemento neutro. 7) Existe I ∈ P tal que ∀ p ∈ P , p ∧ I = p, p ∨ I = I I se denomina elemento universal. La existencia la representamos con el símbolo ∃, llamado cuantificador existencial, que se interpreta como: existe, existe uno, hay, hay uno, hay al menos uno,..., resultando 6)Existencia de elemento neutro: ∃O ∈ P | ∀ p ∈ P , p ∧ O = O, p ∨ O = p
7)Existencia de elemento universal: ∃I ∈ P | ∀ p ∈ P , p ∧ I = p, p ∨ I = I
Algebra de Boole de Proposiciones Por último, recogiendo propiedades anteriores de la negación se tiene que 8)Existencia de complementario: ∀ p ∈ P , ∃ p ∈ P | p ∧ p = O, p ∨ p = I ′
′
′
El objeto (P , ∧, ∨, , O , I ) en el que: P es el conjunto de proposiciones, ∧, ∨ son operaciones internas en P , es una aplicación de P en P , y O es una proposición siempre falsa e I ∈ P es una proposición siempre verdadera se llama Algebra de Boole de proposiciones, por verificarse las propiedades 1),2),. . . ,8) mencionadas: ′
′
Algebra de Boole de Proposiciones 1) Idempotente: ∀ p ∈ P , p ∧ p = p, p ∨ p = p 2) Conmutativa: ∀ p, q ∈ P , p ∧ q = q ∧ p, p ∨ q = q ∨ p 3) Asociativa: ∀ p, q, r ∈ P , p ∧ (q ∧ r) = ( p ∧ q ) ∧ r, p ∨ (q ∨ r ) = ( p ∨ q ) ∨ r
4) Absorción: ∀ p, q ∈ P , p ∧ ( p ∨ q ) = p, p ∨ ( p ∧ q ) = p
p ∧ (q ∨ r) = ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) 5) Distributiva: ∀ p, q, r ∈ P , p ∨ (q ∧ r) = ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r) 6) Existencia de elemento neutro:
∃O ∈ P | ∀ p ∈ P , p ∧ O = O, p ∨ O = p
7) Existencia de elemento universal: ∃I ∈ P | ∀ p ∈ P , p ∧ I = p, p ∨ I = I
8) Existencia de complementario: ∀ p ∈ P , ∃ p ∈ P | p ∧ p = O, p ∨ p = I ′
′
′
Algebra de Boole de Proposiciones Propiedades: En el álgebra (P , ∧, ∨, , O , I ) se verifica: p es única (para cada p) Leyes de Morgan: ′
′
( p ∧ q ) = p ∨ q ( p ∨ q ) = p ∧ q ′
′
′
′
′
′
Las Leyes de Morgan pueden generalizarse a un número finito arbitrario de proposiciones: ( p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ p ) = p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ p ( p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ p ) = p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ p ′
′
′
n
′
n
′
′
′ n
′ n
Implicación Lógica Conectivo si... entonces ...: Dadas las proposiciones p, q ∈ P formamos la expresión ‘si p entonces q ’ tal que: i) tiene sentido ii) afirma o niega algo iii) su verdad viene dada por la tabla: p
q
p ⇒ q
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
Implicación Lógica Simbolizamos ‘si p entonces q ’ por p ⇒ q , de manera que para cualesquiera p, q ∈ P , p ⇒ q ∈ P . A p ⇒ q se le denomina condicional o implicación. p se denomina hipótesis o antecedente. q se denomina tesis o consecuente
También se dice que p es condición suficiente para q y que q es condición necesaria para p. Ejemplos: Si 3 es un número natural entonces 3 es un número entero. Si hoy es martes entonces mañana es jueves.
Implicación Lógica También formaliza expresiones del tipo: Si el Júcar es navegable entonces Cuenca es puerto de mar. Si 2+3=6, el Tajo pasa por Albacete. Observar que si la hipótesis es falsa, la implicación es verdadera independientemente de la verdad de la tesis. Por p ⇒ q pueden formalizarse también expresiones del tipo: Todo número real es un cuadrado, si es positivo. Sube la temperatura, si sale el sol. Cuando Pavarotti cante la Traviata, iré al Palacio Real. Siempre que llega el domingo, aprovecho para leer.
Implicación Lógica Se verifica que ′
p ⇒ q = p ∨ q
En consecuencia, su negación viene dada por ′
′
′
′
( p ⇒ q ) = ( p ∨ q ) = p ∧ q
Expresiones asociadas a p ⇒ q , que llamaremos directa, son: q ⇒ p, llamada recíproca p ⇒ q , llamada contraria q ⇒ p , llamada contrarrecíproca p ∧ q , llamada negación ′
′
′
′
′
Se verifica que p ⇒ q = q ⇒ p ′
′
y q ⇒ p = p ⇒ q ′
′
Implicación Lógica Propiedades de la implicación: p ⇒ p p ∧ q ⇒ p p ⇒ p ∨ q p ⇒ I , 0 ⇒ p
[( p ⇒ q ) ∧ p] ⇒ q (Modus Ponens) [( p ⇒ q ) ∧ q ] ⇒ p (Modus Tollens) ′
′
[( p ∨ q ) ∧ p ] ⇒ q (Ley del Silogismo Disyuntivo) ′
[( p ∨ q ) ∧ ( p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ r (Dilema) [( p ∨ q ) ∧ ( p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ (r ∨ s) (D. Constructivo) [( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ ( p ⇒ r) (Transitiva) [ p ⇒ (q ⇒ r)] = [( p ∧ q ) ⇒ r ]
Equivalencia Lógica Conectivo ...si, y sólo si,...: Dadas las proposiciones p, q ∈ P formamos la expresión ‘ p si, y sólo si, q ’ tal que: i) tiene sentido ii) afirma o niega algo iii) su verdad viene dada por la tabla: p
q
p ⇔ q
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
Equivalencia Lógica Simbolizamos ‘ p si, y sólo si, q ’ por p ⇔ q , de manera que para cualesquiera p, q ∈ P , p ⇔ q ∈ P . p ⇔ q es una doble implicación, pues p ⇔ q = ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p)
y así p ⇔ q = ( p ∨ q ) ∧ (q ∨ p). Si p ⇔ q diremos que p equivale a q o que p y q son lógicamente equivalentes. También diremos que p es condición necesaria y suficiente para q . Ejemplos: p ⇒ q y p ∨ q son equivalentes p ⇒ q y q ⇒ p son equivalentes q ⇒ p y p ⇒ q son equivalentes ′
′
′
′
′
′
′
Disyunción Exclusiva Conectivo o ..., o ...: Dadas las proposiciones p, q ∈ P formamos la expresión ‘o p o q ’ tal que: i) tiene sentido ii) afirma o niega algo iii) su verdad viene dada por la tabla: p
q
p ⊻ q
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
Disyunción Exclusiva Simbolizamos ‘o p o q ’ por p ⊻ q , de manera que para cualesquiera p, q ∈ P , p ⊻ q ∈ P . p ⊻ q es una disyunción exclusiva, en el sentido de que es cierta cuando una, y sólo una, de las proposiciones p, q es cierta. Formaliza expresiones del tipo: Dentro o fuera. Culpable o inocente. Observar que ′
′
′
p ⊻ q = ( p ⇐⇒ q ) = ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q ).
Por p ⊻ q pueden formalizarse también expresiones del tipo ‘o bien p o bien q ’.
Formas de Demostración Matemática Un razonamiento formalmente válido es una implicación verdadera del tipo p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ p =⇒ q n
con p , p , . . . , p verdaderas simultáneamente. En esta situación, p , p , . . . , p se denominan premisas y q conclusión. En el tema siguiente diremos que q es consecuencia lógica o que se deduce de p , p , . . . , p . 1
2
n
1
2
n
1
2
n
Observar que decir que p ∧ p ∧ . . . ∧ p =⇒ q es un razonamiento formalmente válido, es equivalente a decir que es una tautología. 1
2
n
Formas de Demostrar un Teorema Un condicional p =⇒ q es un teorema si es verdadero siempre que p es verdadera, es decir, si es un razonamiento formalmente válido. Formas de demostrar un teorema p =⇒ q : Directa: Consiste en probar que si p es cierta, entonces también lo es q Contrarrecíproca: Consiste en probar que si q es falsa, entonces también lo es p Reducción al absurdo: Consiste en obtener una contradicción de suponer que p es verdadera y q falsa.
Sintaxis El lenguaje de la lógica de proposiciones se denota por L0 . El alfabeto de la lógica proposicional tiene por símbolos: Variables proposicionales: p , q , r , . . . Conectivos: ∧, ∨, , ⇒, ⇔, . . . Símbolos impropios, como símbolos de puntuación, paréntesis, etc. ′
Una fórmula proposicional es cualquier expresión escrita con variables proposicionales unidas mediante conectivos. Así, el conjunto de fórmulas proposicionales F del lenguaje L0 de la lógica proposicional se obtiene conforme a las reglas: Las variables proposicionales son fórmulas Si A y B son fórmulas, también lo son A ∧ B, A ∨ B, A , A ⇒ B, A ⇔ B ′
Sintaxis Como ya hemos visto, a partir de proposiciones simples y el empleo de conectivos se pueden construir fórmulas proposicionales sumamente complejas. En este sentido, el empleo de paréntesis y corchetes permite definir con precisión la proposición compuesta de que se trata y evitar así confusiones. Cuando la proposición compuesta está escrita sin paréntesis, el orden de prioridad de las operaciones es ′
,
{∧, ∨},
{=⇒, ⇐⇒}
Una función proposicional f de n variables es una aplicación f : P −→ P tal que f ( p1 , p2 , . . . , p ) es una fórmula proposicional. n
n
Como habitualmente se identifica una aplicación con el conjunto de sus imágenes, en el futuro identificaremos funciones y fórmulas proposicionales cuando nos interese.
Funciones Ejemplos: A continuación repasamos algunas de las funciones más utilizadas en los lenguajes de programación: AN D( p, q ) = p ∧ q OR( p, q ) = p ∨ q N OT ( p) = p
′
NAND( p, q ) = ( p ∧ q ) = p ∨ q ′
′
′
N OR( p, q ) = ( p ∨ q ) = p ∧ q ′
XOR( p, q ) = p ⊻ q
′
′
