LÓGICA PROPOSICIONAL
Operaciones Proposicionales VARIABLES CONJUNCIÓN
p
q
DISYUNCIÓN DISYUNCIÓN NEGACIÓN NEGACIÓN CONDICIONAL BICONDICIONAL NEGACIÓN DÉBIL FUERTE ALTERNA CONJUNTA
p v q
p
v q
p
q
p
q
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
p
q
F
V
p
p | q
p
F
V
V
V
V
V
V
F
q
Simbolización de esquemas moleculares 1. a) Si Cristal gana el campeonato, entonces Alianza queda en segundo lugar y Universitario no gana todos los partidos restantes. b) Universitario gana todos los partidos restantes pues Cristal gana el campeonato o Alianza queda en segundo lugar. c) O bien, si Cristal gana el campeonato, entonces Alianza queda en segundo lugar, o bien Universitario gana todos los partidos restantes si Alianza no queda en segundo lugar. 2. Si es después de las 7 de la noche, noche, entonces la puerta está cerrada cerrada y el profesor no me dejará ingresar 3. Si no es el caso que Juan sea un comerciante o un próspero ingeniero, entonces es director de una compañía de teatro.
4.
5. Si estudias, serás un buen ingeniero. Si no lo haces, el fracaso te acompañará. acompañará. 6. Eres sincero o no lo eres. Si eres sincero, podrás podrás superarte; si no lo eres , no tendrás buenos amigos.
7.
8. La leyes de la mecánica son exactas si Newton dice la verdad, si y sólo si el movimiento no es relativo. 9. Si has escogido bien tu carrera, te esforzarás y triunfarás. Si no triunfas, no has escogido bien tu carrera o no te has esforzado. 10. Sean p= hace frío; q= Está lloviendo y r = Rafael esté enfermo. Traducir: a) v
( ( ( (
Evaluación de Esquemas Moleculares por medio de Tablas de Valores de Verdad. Evaluar un esquema molecular por medio de tablas de valores de verdad, consiste en obtener los valores del conectivo de mayor jerarquía presente en la proposición, a partir de los valores de verdad de cada una de las proposiciones simples (atómicas) que la conforman. Un esquema molecular es: cuando en su columna resultado hay por lo menos una verdad y una CONSISTENTE falsedad cuando los valores de verdad de su conectivo de mayor jerarquía son TAUTOLÓGICO todos verdaderos CONTRADICTORIO cuando en su columna resultado son todos falsos
EJEMPLO: evaluar los siguientes esquemas moleculares por medio de tablas de valores de verdad 1.
( ( (
2.
{( ( } [ (]
3.
( (
Solución
( ( (
1.
p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r ( V F V F V F V F
( F F V V V V V V
F F F V V F V F
F V F V V F V F
V V V V V V V F
( V V V F V V V F
Por lo tanto el sistema es CONSISTENTE o CONTINGENTE 2. El sistema es TAUTOLÓGICO 3. El sistema es CONTRADICTORIO
VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN MOLECULAR Cuando se desea hallar el valor de verdad de una proposición molecular, por tablas de valores de verdad, se procede de forma abreviada, utilizando solamente la fila que contiene los valores de verdad de las proposiciones atómicas que intervienen o, también,
usando niveles EJEMPLO: Determinar el valor de verdad de la proposición:
Solución p: 2 + 3 = 6 (F) q: 2 = 3
(F)
r: 2 < 3
(V)
Simbolizando tenemos: ( (
( (
p q r F F V
F
V
V
F
F
Utilizando niveles
( ( F
F
F
F
V
V
V
V
F F
F Por lo tanto, la proposición es FALSA. EJEMPLO:
( ( ( (
Si se sabe que la proposición es verdadera y la proposición es falsa, hallar el valor de verdad de la proposición:
Solución
F V
V V
También:
( V V V
F F
F
Ahora, como p es F, q es V, r es V y t es V, hallamos el valor de verdad de la proposición:
( ( V F
V
F
V
F
)
F
F
V
V
F
V
F
F Por lo tanto, la proposición es FALSA
EJERCICIO: Sabiendo
que la proposición simbolizada por es verdadera, hallar el valor de verdad de:
( ( ( ( v (
IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA a) IMPLICACIÓN Cuando tratamos de la condicional observamos que muchas veces no hay relación entre las proposiciones que la constituyen. Sin embargo, la mayor parte de los condicionales útiles dentro del lenguaje científico y, en especial dentro de la matemática, contienen proposiciones que se relacionan de alguna forma, como por ejemplo: “Si un triángulo es Isósceles, entonces sus ángulos interiores son iguales”
DEFINICIÓN: Decimos que una proposición p implica a otra proposición q, o que q se deduce de p, si no se verifica que p sea verdadera y q sea falsa, o también si q es verdadera siempre que p sea falsa. La relación p implica a q se denota . DEFINICIÓN: Un esquema o una proposición A implica a otro esquema o
proposición B, cuando unidos por el condicional “ ”, estando A como antecedente y B como consecuente, el resultado es una TAUTOLOGÍA.
Ejemplo: Determinar si la proposición “Un número es mayor que cero si es positivo aunque sea primo”, implica a la proposición “Un número es mayor que cero puesto que no es primo”
Solución p= Un número es mayor que cero q= Un número es positivo r = Un número es (sea) primo Simbolizando tenemos:
p q r V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
(
( ( V F F F V F V F
V V F F V V V V
V F V F V F V F
V V V V V V V V
F V F V F V F V
V V V V V F V F
V V V V F F F F
Por lo tanto la proposición A implica a la proposición B
b)EQUIVALENCIA Cuando tratamos de la bicondicional, observamos que en muchos casos no hay relación entre las proposiciones que la constituyen, sin embargo, la generalidad de los bicondicionales útiles en el lenguaje científico y, en especial dentro de la matemática, contiene proposiciones que se relacionan de alguna manera, como por ejemplo: “Un cuadrilátero es un cuadrado si y sólo si el cuadrilátero es regular”
DEFINICIÓN: se dice que una proposición p es equivalente a otra proposición q, si se verifica que p implica a q y q implica a p, es decir:
( (
DEFINICIÓN: Decimos que una proposición p es equivalente a otra proposición q, si p y q tienen los mismos valores de verdad. La equivalencia se denota
ó también
DEFINICIÓN: Dos esquemas A y B, son equivalentes, cuando unidos por el bicondicional “” el resultado es una TAUTOLOGÍA
DEFINICIÓN:
Dos esquemas o dos proposiciones son equivalentes, cuando tienen los mismos valores de verdad en sus columnas principales.
Ejemplo: Determinar cuáles de las proposiciones siguientes son equivalentes:
A= Si los números enteros son reales, entonces con números enteros se forman fracciones; sin embargo, los números reales no son divisibles por cero a pesar de que con números enteros se forman fracciones.
B= No es el caso que los números reales son divisibles por cero o con números enteros no se forman fracciones.
C= O con números enteros se forman fracciones o los números enteros no son reales; no obstante, con números enteros se forman fracciones a la vez que los números reales no son divisibles por cero.
Solución Simbolizando la proposiciones simples p= Los números enteros son reales q= Con números enteros se forman fracciones r = Los números reales son divisibles por cero
Simbolizando los esquemas A= B= C=
( ( ( ( (
Evaluando los esquemas p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
( ( V V F F V V V V
F V F F F V F F
F V F F F V F F
(
F V F F F V F F
V F V V V F V V
( ( V V F F F F V V
F V F F F F F F
F V F F F V F F
Por lo tanto, como los esquemas A y B son iguales, entonces
LEYES LÓGICAS Un esquema molecular es una ley lógica, si y sólo si, cualquiera que sea la interpretación formalmente correcta que se haga del mismo, dé como resultado una verdad lógica, es decir, una TAUTOLOGÍA.
A. PRINCIPIOS LÓGICOS En la lógica tradicional son conocidas las tautologías con el nombre de principios lógicos y son los siguientes:
1. PRINCIPIO DE IDENTIDAD: Toda proposición es idéntica a sí misma
2. PRINCIPIO DE NO CONTRADICCIÓN: Es imposible que una proposición sea verdadera y falsa a la vez.
( 3. PRINCIPIO DEL TERCIO EXCLUIDO: Una proposición o es verdadera o es falsa; no hay una tercera posibilidad.
( B. EQUIVALENCIAS NOTABLES: Son leyes lógicas que sirven para transformar esquemas o proposiciones, y obtener sus respectivas equivalencias.
1. DOBLE NEGACIÓN (DN): Dos negaciones de igual alcance equivale a una afirmación
2. IDEMPOTENCIA (Idem): las variables que se repiten en una cadena de conjunciones o disyunciones, se pueden eliminar
De la conjunción
De la disyunción
3. CONMUTATIVIDAD (Conm) si en las proposiciones conjuntivas o disyuntivas se permutan sus respectivos componentes, sus equivalencias significan lo mismo.
De la conjunción
De la disyunción
4. ASOCIATIVA (Asoc) si en un esquema conjuntivo o disyuntivo, aparece más de una conjunción o disyunción, éstas pueden agruparse indistintamente
De la Conjunción
( ( De la Disyunción
( ( 5. DISTRIBUTIVIDAD (Dist) i) De la Conjunción respecto a la Disyunción
( ( ( ii)De la Disyunción respecto a la Conjunción
( ( ( 6. LEYES de DE MORGAN (De M) i) Negación de una Conjunción
(
ii)Negación de una Disyunción
(
7. DE COMPLEMENTACIÓN (Comp)
8. DE IDENTIDAD (Ident)
9. ABSORSIÓN
( ( ( ( DEFINICIÓN DE LA CONDICIONAL
( CONDICIONALES ASOCIADAS
Sea la condicional: que llamaremos DIRECTA, en conexión con ella se presentan otras tres, obtenidas por permutaciones o negaciones del antecedente y consecuente, así:
DIRECTA RECÍPROCA CONTRARIA CONTRARECÍPROCA
Se verifica mediante tablas de valores de verdad, que las siguientes bicondicionales son tautologías.
( ( ( ) ( Es decir:
( ( ( ) (
