TEMA 6. LÓGICA DE ENUNCIADOS La lógica elemental se divide en: lógica de enunciados lógica de predicados Ambas utilizan un lenguaje propio artificial o formalización de un lenguaje natural que permite analizar las proposiciones del lenguaje natural. El cometido de la lógica clásica elemental es determinar si nuestros razonamientos, independientemente de su contenido, son correctos o incorrectos. Por razonamientos o argumentos! se entiende un conjunto de proposiciones de tal manera manera que, una de las cuales, denominad denominadaa conclusión del conclusión del razonamiento, pueda presentarse como consecuencia de las demás proposiciones, llamadas premisas del razonamiento. En la lógica e enunciaos enunciaos la unidad m"nima es es el enunciao, enunciao, es decir, un segmento ling#"stico que tiene sentido completo por s" mismo: m ismo: Esta fiesta es muy divertida Esta fiesta es muy divertida y la música es muy buena
Para que un enunciado sea tal, tiene que poder atribu"rsele valores de !era o "alsea. En el caso caso de las las dos dos orac oracio ione nes s ante anteri rior ores es,, la verd verdad ad o fals falsed edad ad habr habrá á de determinarse empíricamente, comprobando si, de hecho, la fiesta es divertida y buena la música. En este caso, además, la dificultad es a$n ma%or %a que se trata
de una afirmación subjetiva. La lógica de enunciados o lógica proposicional!, trata del estudio de la composición de enunciados mediante conectores %, o, si...entonces, etc.! % se fundamenta en el principio e #i!alencia, #i!alencia, seg$n el cual, todo enunciado es verdadero o falso, pero nunca ambas cosas a la vez. Podemos decir, por lo tanto, que la lógica de enunciados se dedica a formalizar las proposiciones del lenguaje natural en un lenguaje simbólico % a definir los conectores, estudiando las le%es de combinación o deducción de los enunciados que las contienen. En la lógica e preicaos se preicaos se formaliza % estudia la oración atendiendo a los dos t&rminos que la componen: el su$e%o & el preicao. LOS ENUNCIADOS
'a (emos visto que la unidad m"nima de este tipo de lógica es el enunciado o segmento ling#"stico con sentido completo. Los enunciados pueden ser: '. Simples o a%ómicos( no a%ómicos( no tienen conectores de ninguna clase Ejemplos: El Tajo es un río. En esta fiesta hay 20 personas
). Compues%os o moleculares( utilizan moleculares( utilizan conectores que unen varios segmentos ling#"sticos: Ejemplo: En esta fiesta hay 20 personas y poca cervea
LOS CONECTO*ES de CONECTO*ES de los enunciados moleculares son: •
•
•
•
•
NEGACIÓN( se representa por el s"mbolo + ó ) . As", el enunciado ,p se leer"a leer"a como como:: * no p*+ p*+ *no *no es cier cierto to que p*+ p*+ *ni p*. El enunciado no es verdad !ue no sea puntual se se formular"a: ,,p, ,,p, donde p es la variable que representa a ser puntual . CON-UNCIÓN( su CON-UNCIÓN( su s"mbolo es una v ma%$scula al rev&s: podemos utilizar tambi&n el signo ! El enunciado : viajo a la "ndia y a #hina se formular"a: i c , c , donde i es la variable que representa a viajar a "ndia % c es la variable que viajar a #hina. representa a p c r se se leerá: $p y c y r * p y tambi%n c, y además r !. !. DIS/UNCIÓN( u DIS/UNCIÓN( u s"mbolo es 0 como la inicial de la l a dis%unción latina *vel* % se traduce por o. El enunciado : &&e'ar% en tren o en avi(n se formular"a: % 0 a, dond dondee % es la variable variable que repres represent entaa lle'ar en tren % a la variable que representa lle'ar en avi(n. CONDICIONALO IM1LICADO*( u s"mbolo es 23 23 % se traduce por: si....entonces. El enunciado: si vienes pronto, iremos al cine se formular"a: p 223c , donde p es la variable que representa al antecendente venir pronto % c a la variable ir al cine. p 223 4 5 223 r se se leerá como: si p entonces 5 entonces r p implica 5 entonces r !. !. 7ICONDICIONAL O COIM1LICADO*( u COIM1LICADO*( u s"mbolo es 823 % 823 % se lee: si y s(lo si o tambi&n: cuando y s(lamente cuando. El enunciado si y s(lo si respetas formular"a: r 8223 m, m, donde r es la variable que el debe deberr eres eres mora moral l se formular"a: representa respetar el deber % % m la variable ser moral .
-ormalizar un lenguaje consiste en traducirlo a otro, atendiendo simplemente a los aspectos formales. omo %a sabemos, la lógica sólo atiende a la validez formal, (aciendo caso omiso a los contenidos, por lo que formalizaremos los enunciados del lenguaje natural siguiendo criterios puramente formales. /o (a% reglas automáticas para formalizar los enunciados del lenguaje ordinario. 0a% que $ver$ lo que el enunciado dice % $traducir$ despu&s al lenguaje formal. 1odo lo que podemos decir es que al formalizar un enunciado complejo del lenguaje natural debemos siempre: '.2dentificar los enunciados simples que lo componen ). Asignar a cada enunciado simple una variable proposicional p,q,r...! 9.onstruir la estructura del enunciado con las variables proposicionales % las conectivas. Ejemplo: i Luis está contento entonces 3odolfo no lo está. p4 Luis está contento q4 3odolfo está contento -ormalización: p5 6q
7tro ejemplo. Luis va al cine si % sólo si (a% una peli polic"aca % ma8ana no tiene e9amen. p 4 Luis va al cine q 4 ponen una peli polic"aca r 4 Luis ma8ana tiene e9amen -ormalización: p q;6r! Ejemplo: i no (a% ruidos % no estás sordo, entonces debes o"rme. p 4 0a% ruido q 4 Estás sordo r 4
-ormalización: 6p;6q! 5 r
Ejemplo: 2r& al cine o al teatro, si viene Parrado. p 4 2r& al cine q 4 2r& al teatro r 4 viene Parrado -ormalización: r 5 pvq!
Ejemplo: En caso de que venga Parrado, vendrán =amora % átedra. p 4 >ue venga Parrado q 4 >ue venga =amora r 4 >ue venga átedra -ormalización: p5 q;r!
Ejemplo: 7 Parrado debe estudiar % aprobar, o no debe estudiar. p 4 Parrado debe estudiar q 4 Parrado debe aprobar -ormalización: p;q! ? 6p
3ealiza la formalización de los siguientes enunciados: @.Llueve .Llueve % (ace frio B./o llueve % no (ace frio C.i llueve (ace frio D.Llueve o no (ace frio ./o es cierto que no me guste bailar
F.Ge gusta bailar % leer libros de ciencia ficción. H.i los gatos de mi (ermana no soltaran tanto pelo me gustar"a acariciarlos. I.i % sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creer"a que (a% vida e9traterrestre. @J.Kna de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energ$meno. @@. i los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensar"a que esto% como una regadera % dejar"a que me internaran en un psiquiátrico. @.Prefiero ir de vacaciones o estar sin (acer nada si tengo tiempo para ello % no tengo que ir a trabajar. @B.i al tutor se le va el cartón, no aprobará nadie. @C.i (a% guerra, no crecerá el paro ni la inflación. @D.El tutor se irá a 0aai o a anc$n, si % sólo si le toca la loter"a % no se lo gasta en la ruleta. @.El 3atoncito P&rez es un invento, % si lo mismo ocurre con Papa /oel, entonces los ni8os son enga8ados. @F.uando la bolsa baja muc(o, entonces es conveniente comprar+ % cuando la bolsa sube muc(o, tambi&n es conveniente comprar. @H.Aumentará la inflación % disminuirá el paro, sólo si se fabrica moneda o (a% guerra. @I.i el aumento de la inflación implica la disminución de la balanza de pagos, entonces, si no disminu%e la balanza de pagos no aumenta la inflación. J.i bebes no conduzcas. @./o es posible estar en la procesión % tocar las campanas. .in justicia no puede (aber aut&ntica paz B.abemos que los muertos son poderosos soberanos+ quizás nos asombre saber que son tambi&n los peores enemigos. C.uando uno no tiene imaginación, la muerte es poca cosa+ pero si uno la tiene, la muerte es demasiado. D.1engo entendido que el 3eal Gadrid no va a ganar la liga % que el ?alencia tampoco. i esto es as", (abrá problemas con los aficionados. .i la suegra se pone pesada, entonces el marido se irá de casa % la esposa se irá de vacaciones F.i la suegra se pone pesada, entonces el marido se irá de casa, % de todos modos la esposa se irá de vacaciones. H.i la suegra se pone pesada, entonces, si el marido se va de casa, la esposa se irá de vacaciones. I.i la suegra se pone pesada, entonces, o bien el marido se irá de casa o bien la esposa se irá de vacaciones. BJ.i la suegra se pone pesada % el marido se va de casa, entonces la esposa se irá de vacaciones.
[email protected] la suegra se pone pesada, o bien, si el marido se va de casa, la esposa se va de vacaciones.
B.i la suegra se pone pesada o el marido se va de casa, entonces la esposa se irá de vacaciones. BB.i la suegra no se pone pesada, entonces ni el marido se irá de casa ni la esposa se irá de vacaciones. BC.i no se da el caso de que la suegra se ponga pesada, entonces el marido no se irá de casa % la esposa no se irá de vacaciones. BD./o se da el caso de que, si la suegra se pone pesada, entonces el marido se irá de casa % la esposa se irá de vacaciones. B.La suegra se pondrá pesada si el marido se va de casa. BF.La suegra se pondrá pesada sólo si el marido se va de casa. BH.>ue la suegra se ponga pesada es una condición suficiente para que el marido se va%a de casa. BI.>ue el marido se va%a de casa es una condición necesaria para que la esposa se va%a de vacaciones. CJ.La suegra no se pondrá pesada a no ser que el marido se va%a de casa.
[email protected] marido se irá de casa si % sólo si la suegra se pone pesada. C.>ue la suegra se ponga pesada es condición necesaria % suficiente para que el marido se va%a de casa. CB.iempre que la suegra se pone pesada, el marido se va de casa. )).*#uando se hubieren acabado los mil a+os, será atanás soltado de su prisi(n y saldrá a e-traviar a las naciones !ue moran en los cuatro án'ulos de la tierra, a o' y a /a'o', y reunirlos para la 'uerra 1pocalipsis, 20, 3 y 45. )6. 7an sido fusilados todos a!uellos !ue presentaban al'una tara somática o defendían ideas disolventes. )8.i la tarde está oscura, me invadirá el optimismo. )3. #uando al'uien escribe como 9or'es, puede disculpársele todo )4.e puede decir !ue /ar- era un he'eliano, con tal de !ue se aclare en !u% sentido y hasta !u% punto. ). En caso de !ue sople el viento, podremos nave'ar a vela. 60. ;e haberlo meditado bien, no me hubiera atrevido a escribir este libro. 6<.Ese lapso, corto !uiá si se le mide por el calendario, es interminablemente lar'o cuando, como yo, se ha 'alopado a trav%s de %l. 1=af>a5 62.#uando ?andolph #arter cumpli( los treinta a+os, perdi( la llave de la puerta de los sue+os 1&ovecraft5 6@.#uando naci( 9uonarroti, /ercurio y Aenus ascendían, triunfales, desnudos, hacia el trono de Búpiter 1/. /újica &aíne5 6).#uando en el jue'o no intervienen el amor y el odio, la mujer jue'a de manera mediocre 1Cietsche5 66. #uando empiece la 'uerra, !uiá nuestros hermanos se tranformen 19recht5 68. no ser !ue se produca un mila'ro, esta será la última ve !ue 7enry Be>yll piense con su propio cerebro y vea su ima'en reflejada en el espejo 1?. &. tevenson5
DF.i se ganan las elecciones % nuestros representantes acceden al poder, confiaremos en ellos si % solo si cumplen sus promesas % el poder no les corrompe. DH.la 1elevision modifica sus esquemas % renueva su programacion o se producira una (uida masiva de telespectadores % veremos las calles inundadas de gente. DI.i el 3( de la futura madre es negativo, debe analizarse inmediatamente despues de cada parto la sangre del recien nacido %, si esta es 3( positivo, (a de administrarse a la parturienta el suero apropiado si se desean evitar complicaciones a otros (ijos. J.i el (ombre es moral, no esta determinado univocamente por el ambiente % cabe e9igirle cuenta de sus elecciones. @.El (idro9ido de aluminio es maleable %, a igualdad de peso, mejor conductor de la electricidad que el cobre. .i -ranMestein cruza nuestras calles, (a de indicar que % cuantos fines persigue, % si miente, le daremos con las puertas en las narices, pero si dice la verdad, le invitaremos a cenar. B.i perseveras en tus decisiones % no cedes al desaliento frente a los obstaculos, entonces comprobaras como el e9ito te sonrie. C.
u& ocurre si queremos formalizar un razonamiento con varias premisas % una conclusiónO. Para poder realizar este tipo de ejercicios debemos saber lo siguiente. • •
ada frase es una premisa % por lo tanto asi tendremos que indicarlo. La conclusión suele aparecer en la $ltima frase, aunque no siempre a de ser as", % suele venir precedida por sentencias del tipo: por tantoQ, es asiQ, en consecuenciaQ, etc. La conclusión del razonamiento la formalizaremos utilizando el s"mbolo R colocándolo al principio de la formalización. Estos son algunos ejemplos de razonamientos con varias premisas. i continua la investigacion, surgiran nuevas evidencias. i surgen nuevas evidencias, entonces varios dirigentes se veran implicados. i varios dirigentes estan implicados, los periodicos dejaran de (ablar del caso. i la continuacion de la investigacion implica que los periodicos dejen de (ablardel caso, entonces, el surgimiento de nuevas evidencias implica que la investigacion continua. La investigacion no continua. Por tanto, no surgiran nuevas evidencias. pS ontinua la investigacion qS urgen nuevas evidencias
rS ?arios dirigentes se veran implicados. sS Los periodicos dejaran de (ablar del caso. @: p 5 q : q 5 r B: r 5 s C: p 5 s! 5 q 5 p! D: p onclusion: q ￢
￢
1al % como aparece en el ejemplo realiza tus los siguientes ejercicios: @.Pepe es contable o Pepe es actor, pero no ambas cosas a la vez. i no es contable, no llevará bien las cuentas de su casa. Es seguro que Pepe es actor. En consecuencia, Pepe no llevará bien las cuentas de su casa. .i Parrado está contento % (ace sol, va al parque. i Parrado va al parque se encontrará con =amora. 0o% Parrado está contento % (ace sol. Entonces, =amora está en el parque. B.i vo% a tu casa, cenaremos mu% tarde. i no vo%, me perder& el partido de f$tbol de esta noc(e. Es seguro que o vo% a tu casa o no vo%. Por lo tanto, es seguro que o cenaremos mu% tarde o me perder& el partido de f$tbol de esta noc(e. C.i sigues corriendo tanto, te caes o te cansas. i te caes, ma8ana no irás al campeonato. eguro que no vas a dejar de correr tanto. As" que seguro que ma8ana no irás al campeonato. D.La 1ierra gira alrededor del ol o el ol alrededor de la 1ierra. i la 1ierra gira alrededor del ol deber"amos apreciar una variación en el brillo de las estrellas a lo largo del a8o o en su posición con respecto a un observador terrestre. /o se aprecia variación en el brillo de las estrellas a lo largo del a8o. 1ampoco se aprecia una variación en su posición con respecto a un observador terrestre. Luego el ol gira alrededor de la 1ierra. .i no apruebo la reválida no obtengo el t"tulo de Tac(illerato. i apruebo la reválida entonces es que tengo los conocimientos suficientes de @U. % U. de Tac(illerato. i tengo los conocimientos suficientes de @U. % U. de Tac(illerato, entonces o me e9plican en clase el temario o aprendo lo que no me e9plican. /o me e9plican en clase el temario. /o aprendo lo que no me e9plican. Luego no obtengo el t"tulo de Tac(illerato. F.El ni8o era inteligente % algo pazguato. i era torpecillo al moverse, pod"a resultar un peligro para los platos % vasos en la cafeter"a. A resultas de esto, la due8a lo puso a fregar el suelo. ?olcó el cubo de la fregona. Al dejar pringado todo de agua sucia del cubo, la due8a lo quitó de esa tarea. H.i el ni8o no (ubiera sido tan listo, la due8a de la cafeter"a le (abr"a bajado el sueldo. Pero &sta no pudo (acer tal cosa. Lo que s" (izo fue ec(arle una enorme
reprimenda. Estaba claro que al pobre ni8o le volver"a a caer una buena cada vez que metiera la pata. I.El gato es azul si el perro es verde. Pero el perro es verde si no es cierto que el perro no es verde. i el gato es azul entonces no es posible que si el perro es verde % si el perro no es verde entonces no es rojo entonces el gato es rojo o azul o no. @J.Aristoteles nacio en Estagira % fue tutor de Alejandro Gagno. Pero si nacio en Estagira fue de nacionalidad macedonica. Por tanto Aristoteles fue de nacionalidad macedonica. @@. ocrates no cometeria una mala accion. i devuelve mal por mal, estara cometiendo una mala accion. i rompe un acuerdo con el Estado porque (a sido injustamente condenado, esta devolviendo mal por mal. Por tanto, si el (uir de la prision significa romper un acuerdo por (aber sido injustamente castigado, ocrates no (uira de la prision. @.i la pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conservacion de la persona, entonces, si supone la destruccion total de la persona, imposibilita la correccion del penado. 2mposibilita la correccion del penado solo si es condenable eticamente. La pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conservacion de la persona. Por tanto, si la pena de muerte supone la destruccion total de la persona e imposibilita la correccion del penado, es condenable eticamente. @B.i el numero n es positivo, entonces n es positivo. i n es negativo, entonces n es positivo. / es positivo o negativo. En consecuencia, n es positivo. @C.los libros de la Tiblioteca de Alejandria contienen las ensenanzas del oran o no las contienen. i contienen las ensenanzas del oran son superfluos, % si son superfluos deben ser quemados. i no contienen las ensenanzas del oran son nocivos, % si son nocivos deben ser quemados. Por consiguiente, los libros de la Tiblioteca de Alejandria deben ser quemados. TA7LAS DE 0E*DAD.
Kna tabla de verdad es un gráfico construido mecánicamente que nos muestra los posibles valores de verdad de un enunciado molecular. on su construcción podemos descubrir tres cosas:
@. :órmula %au%ológica( el enunciado molecular que (emos analizado va a ser, en su conjunto, siempre !eraero, independientemente de la verdad o falsedad de cada uno de los enunciados que lo componen.
. :órmula con%ingen%e( el enunciado molecular que (emos analizado va a ser, en su conjunto, unas !eces !eraero & o%ras "also, dependiendo de la verdad o falsedad de los enunciados que lo componen.
B. :órmula con%raic%oria( el enunciado molecular que (emos analizado va a ser, en su conjunto, siempre "also, independientemente de la verdad o falsedad de cada uno de los enunciados que lo componen.
Nómo se constru%e una tabla de la verdadO ?amos a construir como ejemplo la tabla de verdad de la fórmula 6p5q! 5 6q5p! @. e dibuja una cruz % en su parte superior izquierda se escriben todas las variables proposicionales que intervienen.
pq
. e asignan valores de verdad a las variables de modo que se den todas las combinaciones posibles. Este n$mero se obtiene elevando al n$mero de variables proposicionales que tengamos en este caso ser"a elevar al cuadrado por lo que C será el n$mero de combinaciones posibles!.
pq vv v f fv f f
B. En la parte superior derec(a se escribe la fórmula completa que queremos analizar % pones debajo de cada variable proposicional los distintos valores de verdad que %a le (emos asignado en el paso anterior. pq
6p5q! 5 6q5p!
vv
v
v
v v
vf
v
f
f
v
fv
f
v
v
f
f f
f
f
f
f
C. iguiendo las reglas que damos a continuación % partiendo de los elementos más simples (asta los más complejos, vamos viendo todas las opciones posibles: V i nos encontramos con la fórmula más simple ;p, aplicamos la siguiente regla:
p
6p
v
f
f
v
V in nos encontramos con una conjunción: p;q, aplicamos la siguiente regla:
p
;
q
v
!
v
v
"
f
f
"
v
f
"
f
ólo será verdadera en el caso en que ambas variables sean verdaderas. V i nos encontramos con una dis%unción: p?q, aplicaremos la siguiente regla:
p
?
q
v
!
v
v
!
f
f
!
v
f
"
f
erá verdadera cuando alguna de las variables sea verdadera. V i nos encontramos con un condicional: p5q, aplicaremos la siguiente regla:
p
5
q
v
!
v
v
"
f
f
!
v
f
!
f
erá falso sólo en el caso en que el antecedente sea verdadero % el consecuente falso. V i nos encontramos con un bicondicional: pq, aplicaremos la siguiente regla:
p
q
v
!
v
v
"
f
f
"
v
f
!
f
erá verdadera en el caso en que ambos valores de verdad coincidan. Entonces volvemos a la fórmula del ejemplo % aplicamos estas reglas desde las fórmulas más simples (asta las más complejas, (asta que lleguemos al final.
pq
6p5q! 5 6q5p!
vv
f vv v ! fvvv
vf
f v vf
! v f v v
fv
v f v v ! f v v f
ff
v f f f ! v f v f
omo vemos, todos los valores de verdad que nos dan como resultado son verdaderos, por lo que en esta fórmula, independientemente de que las premisas sean verdaderas o falsas, siempre nos dará un razonamiento verdadero, es decir, que de las premisas siempre llegaremos a la conclusión, por lo que estamos ante una fórmula tautológica. Ejemplos para la pizarra: @. p Wp ? p;q!X . 6p?q! 6p; 6q! Le% de
Ejercicios: @. p5 6q!5 6p5 6q! . Wp?q! ; 6pX5 q B. W6q5 p! ; 6p5 6r!X5 W6q?p!5pX C. Wp;q! ? r5 p!X5 6p ; 6r! D. Wp5 q?r!X 6Wp5 q?r!X . YWp5 6q! ; q?r!X ; p Z5r F. p v ¬ p !
∧
q
H. p
→
∧
q
I. p
∧ ¬ p
q !
!
→
∧ ¬ q
→
r
p
!
@J. p
∧ ¬ q
@@. p
→
!
q !
@. p v q !
→
q v
→
¬
@C. [ p
→ ¬ r ↔ ¬
@D. q
q !
∧
r
→ ¬ p
@.p → q @F. p
∧
@H. p
↔
∧
q ! q !
r !] p
→
¬ p ∧
!
↔
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r v s t
] → [
q v r !
↔ [ ¬
p
t !
→
∧ ¬ q
J. p
→
@.
¬ p →
. p
→
∧
r !
q !
r !
∧
∧
→
→ {
] → [ ¬ r →
q
p
→
@I. p ∧ q ! v r ∧
!
q !
→
@B. p ∧ q ! v ∧
!
¬ q → ¬ p
p
∧
¬ r
r
q
q
→
s !
∧
→
r !
s !
→
q
∧
∧
∧ ¬
v
¬ p ∧
q !
]
] ∧
r
∧
s !
p
→
∧
¬
q
¬
→
r !
q !
¬ q ∧ ¬ r
∧
p
¬ p ∧
q
∧
r !
p v q !
p
] →
∧
r ! ] v q
→
∧ [ ¬ s
!
r !
↔
→
r
!
q !
} →
→
¬ p v ¬ s! ] }
] ]
p
∧
q
∧
r !
r ! ∧
s !
Para poder realizar la tabla de verdad de un razonamiento seguiremos los siguientes pasos. @. Kniremos las premisas a trav&s de la conjunción. . El conjunto de premisas lo uniremos con la conclusión a trav&s del implicador. LA DEDUCCIÓN EN LA LÓGICA 1*O1OSICIONAL.
7tro m&todo para comprobar si nos encontramos ante una inferencia o razonamiento formalmente válido es la deducción, que consiste en pasar de los enunciados declarativos que constitu%en las premisas al enunciado que constitu%e la conclusión aplicando una serie de reglas denominadas reglas e in"erencia. uando sea posible el paso de las premisas a la conclusión aplicando estas reglas será porque nos encontramos ante un razonamiento formalmente válido. uando esto no sea posible, nos encontraremos ante un razonamiento no válido podr"a ser contingente o contradictorio!. <=u> signi"ica eucir? La deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado [ conclusiónV a partir de otros! [premisas!V mediante la aplicación de reglas de inferencia.
es una caena euc%i!a?. Es una secuencia finita de enunciados de los cuales uno, la conclusión, se sigue necesariamente de los anteriores. ada enunciado que forma parte de una determinada cadena deductiva, constitu%e una l"nea de derivación. 7bservaciones t&cnicas: -
Las distintas l"neas de derivación se colocarán una debajo de otra, numeradas correlativamente a partir del uno. Las l"neas correspondientes a las premisas iniciales irán provistas de un guión que precederá al n$mero que tengan asignado. i la l"nea corresponde a una fórmula inferida, se indicará a su derec(a la regla aplicada % las premisas utilizadas en la operación. e8alaremos con un s"mbolo parecido a una 1 volcada la conclusión a la que queremos llegar R!.
Ejemplo: \@ p 5q
Rq
\ p B q E.2 @, !
Las l"neas @ % van precedidas de un guión, lo cual indica que se trata de premisas iniciales.
La l"nea B, que es la conclusión inferida, se (a obtenido aplicando la regla Eliminaci(n del implicador sobre las fórmulas de las l"neas @ % . manera puee o#%enerse la conclusión? a! La conclusión puede obtenerse directamente aplicando reglas de inferencia sobre las premisas iniciales. Ejemplos: 2! \@ p 5 r ? n! \ m 5 p \B m Cp
E.2 , B!
Dr?n
E.2 @, C!
b! uando en el desarrollo de la derivación es necesario utilizar premisas adicionales supuestos no contemplados en las premisas dadas!, decimos que la derivación es subordinada, esto es, la obtención de la conclusión se subordina a la utilización de tales supuestos. 7bservaciones t&cnicas: -
Las l"neas de derivación que introducen provisionalmente supuestos no contemplados en las premisas iniciales, deberán llevar una se8al en escuadra mirando (acia abajo: \@ p 5 q \ m 5 p ]B m . . .
El significado de dic(a se8al es: sup(n'ase por el momentoD
-
Los supuestos provisionales deberán ser cancelados antes de establecer la conclusión. Kn supuesto provisional queda cancelado cuando, en una l"nea posterior de dic(a derivación, se obtiene una fórmula tal que permite la deducción inmediata de otra fórmula que es independiente del referido supuesto. La cancelación de un supuesto se e9presa cerrando la escuadra: ]B supuesto . . . . ^n fórmula obtenida a partir del supuesto
c! En caso de que la conclusión no pueda obtenerse por los m&todos %a rese8ados, recurriremos a la derivación indirecta o reducci(n al absurdo.
La reducción al absurdo consiste en suponer como premisa provisional la negación de la fórmula que se pretende demostrar % obtener, mediante este supuesto, una contradicción A ; ) A!. La consecuencia lógica será la negación del supuesto, esto es, la afirmación de la conclusión deseada. La reducción al absurdo se fundamenta en el principio lógico que e9clu%e aquellas (ipótesis de las que pueda derivarse una contradicción. i de un enunciado m! se sigue una contradicción r ; ) r, por ejemplo!, el enunciado debe ser rec(azado. 7bservaciones t&cnicas: -
-
Las l"neas de derivación que introducen el supuesto la negación de la conclusión! % la contradicción obtenida, observarán las condiciones relativas a los supuestos provisionales % a la cancelación de los mismos que %a (emos comentado. A8adamos que todo supuesto provisional % toda fórmula que de aqu&l se derive % quede incluida entre ambas escuadras una vez el supuesto se (a cancelado, no podrá volver a utilizarse como elemento de nuevas inferencias.
0a% innumerables reglas de inferencia tantas como fórmulas tautológicas puedas construir mediante tablas de verdad!. in embargo, e9isten algunas que son mu% $tiles %a que se repiten en la ma%or"a de los razonamientos. Las reglas fundamentales serán las siguientes: Eliminación e la con$unción.2 Simp' @Simp) 2 4Simpli"icación
A7 BBBB A@7 i en una deducción tenemos A;T podemos afirmar A, podemos afirmar T o bien A % luego T.
In%roucción e la con$unción.2 1ro. 41rouc%o A 7 BBBBBBB A7 @ 7A i en una deducción tenemos A % más tarde aparece T aunque e9istan muc(os elementos entre ambas!, podremos afirmar A;T o T;A. Eliminación el conicional o implicaor o Mous 1onens 2 M1
A7 A BBBBBB 7
Para sacar conclusiones de un condicional siempre tendremos que conseguir el antecedente. i en una deducción tenemos un condicional % su antecedente, podremos
afirmar su consecuente. Es decir, si el antecedente es verdadero, el consecuente es NECESA*IAMENTE verdadero. In%roucción el conicional o implicaor TD 4Teorema e la Deucción.
A . . F7 BBBB A7 i tenemos dos enunciados declarativos o dos fórmulas cualesquiera, podemos afirmarlas a modo de condicional. i suponemos un enunciado cualquiera A! % de &l se deduce o deriva otro T! es que es consecuencia su%a %, por tanto, podemos establecer una implicación entre ellos. In%roucción e la is&unción A ' @A) 4Aición
A BBBBBBBBBB A07 @ 70A
i tenemos cualquier fórmula o enunciado declarativo, podemos afirmar la misma fórmula o enunciada seguida de otra fórmula cualquiera, siempre que la unamos con una dis%unción. Esto se basa en que para que una dis%unción sea verdadera es necesario que al menos uno de sus t&rminos lo sea, es decir, que si tenemos un enunciado que es verdad, le a8adamos lo que le a8adamos a trav&s de la dis%unción, la e9presión resultante seguirá siendo verdad.
Eliminación e la is&unción Cas 4prue#a por casos
A07 A FC 7 FC C La e9plicación es que si una dis%unción es verdadera % de la suposición de cada uno de sus t&rminos se sigue la misma conclusión, podemos afirmar esa conclusión como un enunciado verdadero.
In%roucción e la negación o *euc%io a a#surum A#s
A F7 ;7 BBBBBB ;A
i nos encontramos una contradicción cualquiera precedida de cualquier fórmula, podemos enunciar la misma fórmula negada. 7 lo que es lo mismo, si un enunciado, tomado como verdadero, nos conduce a una contradicción, es que es falso, lo podemos negar.
Eliminación e la negación DN 4o#le negación
;;A BBBBB A
Eliminación el #iconicional o coimplicaor ECO
A7 BBBBBBBBBBBB A7 @ 7A
In%roucción el #iconicional o coimplicaor ICO
A7 7A BBBBBB A7 @ 7A
Kna vez conocemos las reglas básicas de deducción, vamos a ver algunas reglas derivadas. ólo vamos a ver algunas, pero e9isten muc("simas más.
-3AE A -73GAL2=A3 <. 2. @. ). 6.
Tolivia no tiene puerto de mar @ Era de noc(e, pero llov"a En el mundo todo es como es % sucede como sucede B i (a% riesgo de lluvia, baja el barómetro+ pero el barómetro no baja. Por tanto, no (a% riesgo de lluvia. C Esto% esperando noticias de -rancia % me encuentro mu% nerviosoD
i la tarde está oscura, me invadirá el optimismo i se puede plantear una cuestión, tambi&n puede resolverseF. i los empresarios integran la clase de &lite de cualquier sociedad % su poder sigue siendo enorme, no se entiende que (a%a podido darse una intervención p$blica tan amplia H . i (acemos los e9ámenes, nos quedamos tranquilos+ pero si los (acemos % no los aprobamos no nos quedamos tranquilosI La mejor comunidad pol"tica es la formada por los ciudadanos <0. de clase media@J i traicionas a los amigos % no eres leal, ni piadoso, entonces <<. consigues el 2mperio, pero no consigues la gloria@@ Puede ser que va%amos a Alcázar o a riptana, pero en ambos <2. casos al llegar descansaremos@. ólo en el caso de que valoremos el trabajo triunfaremos en el <@. mundo acad&mico@B abemos %a que los muertos son poderosos soberanos, pero <). es posible que a(ora nos asombre averiguar que son tambi&n considerados como enemigos@C uando alguien escribe como Torges, puede disculpársele <6. todo@D 8. 3. 4.
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Los que tuvieron medios para (acerlo, (u%eron+ los que no (u%eron se suicidaron@ i la contracción del corazón coincide con la dilatación de las <3. arterias, o bien la contracción del corazón impele sangre a las arterias o bien la dilatación de las arterias aspira sangre del corazón@F i los sentidos nos enga8an, el conocimiento (umano no es <4. algo seguro. Pero tenemos que s" (a% conocimiento seguro. Por eso podemos afirmar que no siempre nos enga8an los sentidos. @H En caso de que sople el viento, podremos navegar a vela.@I <. in justicia no puede (aber paz aut&nticaJ 20. Tien pensado, no (a% por qu& ser bienpensante @ 2<. i jugamos a la loter"a, % nos toca, entonces nos vamos a los 22. Andes. _ugamos a la loter"a, % si nos toca nos vamos a los AndesB 2@. A no ser que se produzca un milagro, esta será la $ltima vez que el doctor _eM%ll piense con su propio cerebro % vea su imagen reflejada en el espejo C
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/o (abiendo vino, no (a% amor Eur"pides! B@ e puede decir que Gar9 era un (egeliano, con tal de que se aclare en qu& sentido % (asta qu& puntoB e venc"an las marioplumas % todo se resolviraba en un @2. profundo p"niceQ _ulio ortázar!BB @0. @<.
@@. i la sociedad de los hombres ha de ser siempre como ahora, entonces la corrupci(n es eterna. ero la corrupci(n no es eterna, por tanto no ha de ser siempre como ahora la sociedad de los hombres.@) @). i florecen las hortensias se marchitan los tulipanes. ero ocurre !ue no se marchitan los tulipanes, por tanto no florecen las hortensias@6 Ese lapso, corto quizá si se le mide por el calendario, es @6.
interminablemente largo cuando, como %o, se (a galopado a trav&s de &l afMa!B uando se (ubieren acabado los mil a8os, será atanás @8. soltado de su prisión % saldrá a e9traviar a las naciones que moran en los cuatro ángulos de la tierra, a og % a Gagog, % reunirlos para la guerraQ Apocalipsis, J, FVH BF
imbolizar las siguientes e9presiones: 31 32 33 34 35 36 37
@. /o es cierto que la lógica sea dif"cil. . /o ocurre que S D. B. Pedro no es m&dico. C. 1odo lo que t$ dices es falso. D. /o es verdad que todo lo que t$ digas sea falso. . La cuadratura del c"rculo es imposible. F. /o es el caso que lo infinito est& limitado por algo. H. Es imposible que no sea cierto lo que dices. I. El sol no es una estrella. @J. /o es verdad que el sol no sea una estrella.
E-E*CICIOS DE A1LICACIÓN 9 @@. Estos problemas no son mu% dif"ciles para m", aunque (e tardado en resolverlos. @. Los tejados son de pizarra % las puertas de madera. @B. Ella tiene la luz, tiene el perfume, el color % la l"nea. @C. Ge van bien los estudios pero no apruebo. @D. antaban, bailaban, jugaban % re"an. @. /o es cierto que cantaran % bailaran. @F. /o creo en lo que dices %, sin embargo, sigo confiando en ti. @H. /i puedo pro(ibirlo ni puedo tolerarlo. @I. La riqueza a%uda a ser feliz, pero la cultura todav"a más. J. Llegó, vio % venció.
E-E*CICIOS DE A1LICACIÓN H @.
BJ. ' el mu% maleducado, %a se rascaba una oreja, %a se rascaba el sobaco.
E-E*CICIOS DE A1LICACIÓN B@. Para poder vivir, basta con tener un trabajo fijo. B. e convertirá en un demócrata con tal de que pueda ocupar un cargo. BB. 0ace fr"o, luego no es verano. BC. El (ombre es un animal pol"tico, por tanto no es un salvaje. BD. i (o% es lunes, ma8ana no será jueves. B. uando (a% abundancia, desaparece la miseria. BF. i no crees en
E-E*CICIOS DE A1LICACIÓN 6 C@. Kn mineral es metal si % sólo si es un buen conductor de la electricidad. C. La suma de los ángulos de un triángulo equivale a @HJU. CB.
