UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Prof. DORIS HINESTROZA GUTIERREZ
CAPITULO I
INTRODUCCION A LA LOGICA MATEMATICA Con esta introducc introducci´ i´ on o n de la L´ogica ogica preten pretendem demos os estudi estudiar ar cierto ciertoss princi principio pioss import importan antes tes para para el estudi estudioo de la matem´atica. atica. Definici´ on. on. Una proposi proposici´ ci´ on on es una oraci´on on declarativa completa con un signi ficado bien de finido y de la cual podemos decir que es verdadera o falsa. Por ejemplo las oraciones: “el oro es un metal precioso”, 2+3=5, 2+3=8 son proposiciones. Consideraremos Consider aremos proposi p roposiciones ciones en su forma m´as as simple (at´omicas) y las proposiciones compuestas, como aquellas formadas por proposiciones simple mediante t´ erminos erminos de enlace. Una proposici´on simple es una proposici´on on sin t´ermin erm inos os de enlace.Los t´erminos erminos de enlace se usan para formar nuevas proposiciones a partir de proposiciones at´omicas. Por ejemplo, consideremos las siguientes proposiciones at´omicas, Hoy es Domingo. No hay clase. Mediante un t´ ermino ermino de enlace podemos p odemos formar una nueva nueva proposici´on on compuesta. Por ejemplo Hoy es Domingo y no hay clase El t´ ermino ermino de enlace que hemos utilizado es “y”. Cuando tenemos una proposici´ on on molecular es importante determinar las proposiciones at´ omicas omicas que la componen. TERMINOS DE ENLACE
Los t´ erminos erminos de enlace entre proposiciones que utilizaremos son: ¿ y À, ¿ o À, ¿ no À, ¿ si..., si..., entonces entonces À . Simb´olicamente olicamente representaremos representaremos estos t´ erminos erminos de enlace por ∧, ∨, ∼, =⇒, respectivamente. Claramen Claramente te al utilizar utilizar un t´ ermino ermino de enlace enlace entre entre dos o m´as as proposiciones at´omicas omicas obtendremos proposiciones compuestas. Observemos que el t´ ermino ermino de enlace ¿ no À act´ ua sobre una sola proposici´on, ua on, mientras que los dem´as as t´ermin erm inos os de enlaces act´uan uan sobre dos proposicion proposiciones. es. Algunos ejemplos en las que utilizan los t´erminos erminos de enlace son los siguientes Si estamos en diciembre entonces pronto llegar´a la Navidad Hoy es lunes y hay clases El viento arrasar´a las nubes o llover´a con seguridad. No tendremos clase en el d´ıa de hoy.
Vamos a simbolizar cualquier proposici´on con las letras p, q, r, s, t, etc.. La regla fundamental de la l´ogica es,
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La ley del medio excluido. Toda proposici´on on debe ser verdadera o falsa, pero no puede ser ambas cosas, ni puede ser ninguna de las dos cosas.
Vamos a comenzar con algunas proposiciones cuyo valor de verdad es intuitivamente claro. 1. Si p no es cierta, claramente ∼p es verdadera. Si p es cierta entonces ∼p es falsa. (La ley del medio excluido). 2. p ∧ q es verdadera si y s´olo olo si ambas son verdaderas. 3. p ∨ q es verdadera si y s´olo olo si p es verdadera o q es verdadera. 4. La propos pro posici´ ici´on on p ⇒ q (p implica q) se conoce como proposici´on on condicional; a p se le llama antecedente y a q el consecuente. Se acostumbra con esta implicaci´on decir que p es condici´on on suficiente para q; q es condici´on on necesaria para p. Tambi´ en en podemo po demoss decir de cir que p es la hip´otesis otesis y q es la conclusi´on. on. Diremos que p ⇒ q es falsa cuando ´unicamen unicamente te en el caso donde p es verdadera y q es falsa. La proposici´on on q ⇒ p se le llama la rec´ıproca de la proposici´on on p ⇒ q. Es necesario que nos demos cuenta de que p ⇒ q no garantiza que q ⇒ p. Por ejemplo, x = 3 =⇒ x2 = 9 es verdadera, pero la rec´ıproca x2 = 9 =⇒ x = 3 es falsa.
PROPOSICION BICONDICIONAL Es la proposi´on on expresada s´ımbolicamente por p ⇐⇒ q es una combinaci´on on de las dos proposicio proposiciones nes condicionales condicionales p =⇒ q y q =⇒ p. El s´ımbolo de enlace ⇐⇒ se lee “si y s´ olo olo si”o “necesario y su ficiente” La proposici´on on p ⇐⇒ q ser´ a verdadera si p y q son verdaderas o p y q son falsas. Por ejemplo, Un tri´angulo angulo tiene tres lados iguales ⇐⇒el tri´angulo angulo es equilatero. INFERENCIA LOGICA
La idea de inferencia se puede expresar diciendo que de proposiciones verdaderas (premisas verdaderas) se obtienen s´ olo olo conclusiones conclusiones que son verdaderas. verdaderas. Es decir decir de premisas premisas verdaderas, verdaderas, entonces entonces las conclusiones conclusiones que se derivan derivan de ellas l´ogicamente, ogicamente, han de ser verdaderas. Se dice q es consecuencia l´ ogica ogica de p, (p ⇒ q) si p verdadera implica q es verdadera Se dice que un razonamiento es v´ alido alido si la conclusi´on on es consecuencia l´ogica ogica de las premisas.
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REGLAS REGLAS DE INFERENCI INFERENCIA A Cada una de las premisas P que se dan a continuaci´on on se consideran verdaderas y por lo tanto sus conclusiones tambi´en en son s on verdader verd aderas. as. ı
Regla 1 (PP) (Modus Ponendo Ponens) P1 : p =⇒ q P2 : p Conclusi´ on on : q
Regla 2 (TT) (Modus Tollendo Tollens) P1 : p =⇒ q P2 :∼ q Conclusi´ on on : ∼ p Regla 3 (TP) Modus Tollendo Ponens
P1 : p ∨ q P2 :∼ p Conclusi´ on on : q
P1 : p ∨ q P2 :∼ q Conclusi´ on on : p Regla 4 (S) Simpli ficaci´on on
P1 : p ∧ q Conclusi´ on on : p
P1 : p ∧ q Conclusi´ on on : q Regla 5 (DN) Doble negaci´on on P1 :∼ (∼ p) Conclusi´ on on : p
:
Regla 6 (A) Ley de Adjunci´on on P1: p P2: q Conclusi´ on on : p ∧ q
P1 : q P2 : p Conclusi´ on on : q ∧ p
Regla 7 (HS) Silogismo Hipot´etico P1 : p ⇒ q P2 : q ⇒ r Conclusi´ on on : p ⇒ r
Regla 8 (DP) Simpli ficaci´ on on disyuntiva disyuntiva P1 : p ∨ p Conclusi´ on on : p Regla 9 (De Morgans)
P1 :∼ (p ∧ q) Conclusi´ on on : ∼ p∨ ∼ q
P1:∼ (p ∨ q) Conclusi´ on on : ∼ p∧ ∼ q Regla 10 Leyes conmutativas conmutativas
P1 : p ∧ q Conclusi´ on on : q ∧ q
P1 : p ∨ q Conclusi´ on on : q ∨ p
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PROPOSICION ABIERTA Una proposici´on on abierta P ( P (x) es un enunciado sobre una variable x que se convierte en una proposici´on cada vez que la variable x se sustituye por un valor particular x . o
Ejemplo 1 P ( P (x) : 2x + 3 ≤ 0 es una proposici´on on abierta. Se convierte en proposici´on on para cada n´umero umero definido x . En particular P ( P (−2) es cierta mientras que P (0) P (0) es falsa. o
6 0, Ejemplo 2 A(x) : x2 ≤ 0. Si suponemo suponemoss que x toma valores reales, claramente A(x0 ) es falsa para todo x0 = mientras que P (0) P (0) es verdadera.
CUANTIFICADORES LOGICOS Frecuentemente recuentemente las proposiciones prop osiciones abiertas se utilizan con ciertas expresiones llamadas cuantificadores, cadores, con los cuales se determina el valor de verdad de la proposici´on resultante.Los siguientes ser´an an los cuanti ficadores que usaremos: 1. Cuanti Cuantificador universal, para todo x, representado simb´olicamente olicamente por ∀x. 2. Cuanti Cuantificador existencial, para alg´ un un x, representado simb´olicamente olicamente por ∃x. 3. Cuanti Cuantificador de existencia y unicidad, existe un unico u ´ nico x, representado simb´olicamente olicamente por ∃!x. Observaci´ on on 1. La frase “para cada x” se usa en el mismo sentido que la frase “para todo x”. Observaci´ on on 2. Si una propiedad es compartida por todos los elementos de un conjunto B, escribiremos: escribiremos: “Todo x en B tiene la propiedad P ”, Simb´olicamente, ∀x ∈ C, P ( P (x)
Observaci´ on on 3. Si una propiedad es compartida por uno o varios elementos de un conjunto C, escribiremos: escribiremos: “Alg´ un x en C tiene la propiedad P ”, Simb´olicamente, un olicamente, ∃x ∈ C, P ( P (x) Ejemplo 1. ∀x(x2 ≥ 0) es una proposici´on on verdadera. Ejemplo 2. Para todo x existe alg´un un y tal que x + y = 0, 0 , simb´olicamente olicamente esta proposici´on on es (∀x) (∃y )(x )(x + y = 0) Esta proposici´on on es verdadera, ya que dado x arbitrario tomamos y = −x. Observaci´ on on 3. Hay que tener cuidado con expresiones del tipo ( ∀x) (∃y ) y (∃y ) (∀x) las cuales no tienen el mismo significado. Por ejemplo si H representa los seres humanos, podriamos decir: Para todo x ∈ H existe y ∈ H tal que y es la madre de x. Simb´olicamente olicamente se representa por (∀x ∈ H ) (∃y ∈ H )(y )(y = m(x)) Ahora estudiemos la proposici´on on Existe y ∈ H tal que para todo x ∈ H , y es la madre x. Simb´olicamente olicamente se representa por (∃y ∈ H ) (∀x ∈ H ) (y = m(x)) Observemos que la primera proposici´on es cierta mientras que la segunda es falsa. Observaci´ on o n 4. La negaci´on on de la proposici´on on “Todo x en B tiene la propiedad P ”, simb´olicamente ∼ (∀x ∈ C, P ( P (x)), )), es “Existe alg´un un x en B que no tiene la propiedad P ”, Simb´olicamente, olicamente, ∃x ∈ C, ∼ P ( P (x). Observaci´ on o n 5. La negaci´on on de la proposici´on on “Existe x en C tiene la propiedad P ”, simb´olicamente olicamente ∼ (∃x ∈ C, P ( P (x)), )), es “Para todo x en C, x que no tiene la propiedad P ”, Simb´olicamente, olicamente, ∀x ∈ C, ∼ P ( P (x). Por ejemplo, las negaciones de las siguientes proposiciones son:
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Todos los los hombr hombres es son son mortale mortales. s.
Su negaci negaci´´on es
Alg´ un un hombre es inmortal.
Alg´ un hombre es inmortal
Su negaci´on on es
Todos los los homb hombres res son son morta mortales les..
M´ etodos eto dos de demostrac demos traci´ i´ on on
Demostraci´ on on directa Tratamos de demostrar lo siguiente: Si H entonces T donde, H es la hip´otesis otesis y T es la conclusi´ conclusi´ on. on. La demostrac demostraci´ i´ on directa consiste en comenzar con algo conocido y proceder paso por paso usando las leyes de on inferenci inferenciaa y de otros resultados resultados conocidos hasta llegar al resultado resultado esperado. Podemos Podemos decir que una demostraci´ demostraci´on directa es una cadena de proposiciones de la forma:
P P 1 P 2 o
P
n
P +1 n
: H (Hip´ otesis) otesis) : H =⇒ q 1 : q 1 =⇒ q 2 .. . : q −1 =⇒ q : q =⇒ T (conclusi´ on) on) n
n
n
Las reglas de inferencia garantizan la validez de la conclusi´on T . Ejemplo. Demostrar que la multiplicaci´on de un numero entero par por un entero impar es un entero par. Es de la forma Si H entonces T , esto es, si m es par y n es impar entonces mn es par. Su demostraci´on on directa es como sigue:
P P 1 P 2 P 3 P 4 T o
: : : : : :
m es par y n es impar m es par y n es impar =⇒ m = 2r, 2 r, y n = 2s 2 s + 1 para enteros ´unicos unicos r y s. m = 2r, 2 r, y n = 2s 2 s + 1 =⇒ mn = 2r 2 r(2s (2s + 1) mn = 2r 2 r(2s (2s + 1) =⇒ mn = 2[r 2[ r(2s (2s + 1)] mn = 2[r 2[ r(2s (2s + 1)] =⇒ mn es par mn es par (la conclusi´on on a la queriamos llegar)
Observemos que hemos utilizado repetidamente la regla de inferencia 1. Demostraci´ on on indirecta Algunas veces la demostraci´on on directa tiene algunas di ficultades cultades y se opta por establec establecer er la demostraci´ demostraci´on on utilizando una f´ormula ormula equivalente. equivalente. mencionaremos dos tipos de demostraci´ on on indirecta.
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1. Demostraci´on on por la contrarec´iproca iproc a conocida con ocida tambi´en en como c omo demostraci´ de mostraci´on por contraposici´on. on. utilizam utilizamos os la propiedad (H =⇒ T ) T ) ⇐⇒ (∼ T =⇒∼ H ) Consiste en demostrar la validez de ∼ T =⇒∼ H usando la demostraci´on on directa; la equivalencia implicar´a la validez de H =⇒ T . Ejemplo. Para que el producto de dos n´umeros umeros enteros sea par es necesario que por lo menos uno de los dos sea par. Escribiendo en la forma H =⇒ T tenemos que si mn es un entero par, entonces m es par o n es par. Teniendo en cuenta que ∼ (p ∨ q) ⇐⇒∼ p∧ ∼ q (Ley de Morgans). La contra-rec´ıproca se leer´ıa: Si m es impar y n es impar entonces mn es impar. La demostraci´on on directa es como sigue: m = 2s 2 s + 1 y n = 2t 2 t + 1 =⇒ mn = (2s (2 s + 1)(2t 1)(2t + 1) = 2h 2 h + 1 donde h = 2ts 2 ts + t + s. Entonces queda demostrado que mn es impar. Demostraci´ on on por contradic contr adicci´ ci´ on on Este tipo de demostraci´on on tiene su sustentaci´on on en las siguientes equivalencias l´ogicas ogicas 1. ∼ (H =⇒ T ) T ) ⇐⇒ H ∧ ∼ T 2. H ∧ ∼ T =⇒ R∧ ∼ R ⇐⇒ H =⇒ T El m´etodo etodo consiste en suponer que el contenido del teorema es falso. Seg´un 1, esto significa que siendo la hip´otesis otesis H verdadera la conclusi´on on T puede ser falsa. En todo razonamie razonamiento nto las premisas premisas se toman toman como verdaderas. verdaderas. Por eso se escribe el supuesto H ∧ ∼ T . Este supuesto tiene como consecuencia l´ogica ogica la contradici´on on R∧ ∼ R y seg´ un un 2 esto implicaria que H =⇒ T es verdadera, lo cual finaliza la demostraci´on. on. Ejemplo. Demostrar que el cuadrado de la raz´on on de dos enteros no puede ser exactamente 2. 2. a 2 La proposici´on on dice que si a y b son dos enteros entonces ( ) = 2 . Para demostrar esta proposici´on on demostraremos 6 2. b a que su negativa es falsa. En consecuencia tenemos que demostrar que si a y b son dos enteros entonces ( )2 = 2 no b es posible. posible. Vamos a suponer sup oner sin s in p´erdida erdida de generalidad ge neralidad que a y b no tienen factores comunes. Vamos a suponer que la negaci´on de la proposici´on on es cierta es decir que a ( )2 = 2 b entonces a2 = 2b 2 b2 . El segundo t´ ermino ermino implica que a2 es un entero par y por la demostraci´on on anterior a es par. O sea a = 2s 2s donde s es alg´ un un entero. entero. Substituy Substituyendo endo el valor valor de a obtenemos 4s 4s2 = 2b2 , lo cual implica que b2 es par y por lo tanto b es par, esto es, b = 2t 2 t. El hecho que a = 2s 2 s y b = 2t 2 t significa que a y b tiene como factor com´un un 2, en contra a 2 de la suposici´on on de que a/b no tiene tiene factores factores comunes. comunes. Consecuen Consecuenteme temente nte no es cierto que ( ) = 2. 2 . Esto completa b la demostraci´on. on. Demostraci´ on on por disyunci´ on on de casos Aplicando la regla de inferencias podemos mostrar la validez del siguiente razonamiento
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P 1 : p ∨ q P 2 : p =⇒ r P 3 : q =⇒ r Conclusi´ on: o n: r Hacemos uso de este razonamiento en teoremas cuya hip´otesis puede partirse en casos mutuamente excluyentes, cada uno de los cuales conduce igualmente a la conclusi´on prevista. Ejemplo. El cuadrado de todo entero, o es un m´ultiplo de 4 o di fiere de un m´ultiplo ultiplo de 4 en 1. Esto es, n enter enteroo =⇒ n2 = 4t 4 t o n2 = 4t 4 t + 1 para alg´un un entero t.
Puesto Puesto que n es entero la separamos en dos casos: n es par o n es impar (p ( p ∨ q) (i) Si n es par ⇒ n = 2s 2 s para alg´ un un entero s. =⇒ n2 = 4s 4 s2 , es decir n2 es m´ ultiplo ultiplo de 4. 4. (ii) Si n es impar ⇒ n = 2t + 1 para alg´un un entero t. =⇒ n2 = 4t2 + 4t 4 t + 1 = 4u 4 u + 1, 1 , es decir n2 difiere de un m´ ultiplo ultiplo de 4. 4 . en 1. Demostraci´ on por contraejemplo on Cuando hemos probado la validez de la implicaci´on p =⇒ q, frecuentemente se trata de investigar la validez de la reciproca q =⇒ p. Empezamos analizando casos particulares que satisfagan la hip´otesis q y confrontamos la validez o no de la conclusi´on on p. Si damos un ejemplo donde la conclusi´on resulta falsa, tenemos que q∧ ∼ p es verdadera.Puesto verdadera.Puesto que ∼ (q =⇒ p) ⇐⇒ q∧ ∼ p se sigue por las reglas de inferencia que ∼ (q =⇒ p) es verdadera y por lo tanto q =⇒ p es falsa. El determinar la falsedad de q =⇒ p mediante un caso particular se denomina un contraejemplo. Ejemplo. Si n es un entero primo entonces n es impar. Es una implicaci implicaci´´on on falsa por que n = 2 es primo y sin embargo es par. En este caso, n = 2 es un contraejemplo.
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