RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Grety N. Torres Ticona
LÓGICA PROPOSICIONAL Estudia la inferencia o razonamiento, estableciendo los principios y métodos para para determinar su validez. validez.
7. ENUNCIADO
8.
Frase u oración que se utliza en el lenguaje común. PROPOSICIÓN (Enunciado cerrado) Afrma algo
P. Simples S imples (Aómicas! mon"dicas)# $na Afrmación P. Compuesta
ENUNCIADO ABIERTO (+unción
CLASES
9.
NO PROPOSICIÓN
®unas Eclamaciones eseos *rdenes udas re+ranes
V V F V
∼ ( p ∧ q ) ≡ ( ∼ p ∨ ∼ q ) b) ∼ ( p ∨ q ) ≡ ( ∼ p ∧ ∼ q ) Ley del Condiional a) p → q ≡ ∼ p ∨ q Leyes del Biondiional a) p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) b) p ↔ q ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q ) Disyuni!n *ue(te a) p ∆ q ≡ ( p ↔ q ) b) p ∆ q ≡ ( p ∨ ∼ q ) ∧( p ∨ q ) Leyes de la A#so(i!n a) p ∧ ( p ∨ q ) ≡ p b) p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p c) p ∧ ( ∼ p ∨ q ) ≡ p ∧ q d) p ∨ ( ∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q Leyes de T(ansposii!n a) ( p→ p → q ) ≡ ( ∼ q → ∼ p ) b) p ↔ q ) ≡ ( ∼ q ↔ ∼ p ) ( p↔ a)
10.
11.
'ro'osicional) (%oleculares)# Son &. sim'les enlazadas
OPERACIÓN LÓGICA
SÍMBOLO
TABLA DE VERDAD p V V F F
p
p
p
q
∧
∨ q V V V F
→ ↔
V F V F
q V F F F
q V F V V
p q V F F V
p
∆
p
q F V V F
↑ q F V V V
Conjunción
p
↓
q F F F V
F F V V
#isyunción débil o inclusiva #isyunción fuerte o e$clusiva ,
Tautología: Si la l a matriz principal tiene valores verdaderos. Contradicción: Si la matriz principal tiene valores falsos. Contingencia: Si la matriz tiene valores verdaderos y falsos.
Condicional directa o implicación
EQUIVALENCIAS NOTABLES 1. Ley de Involui!n I nvolui!n "do#le ne$ai!n%& ( p )= p 2. Ley de Idempotenia a) p ∧ p ≡ p b) p ∨ p ≡ p 3. Leyes Conmuta'vas a) p ∧ q ≡ q ∧ p b) p ∨ q ≡ q ∨ p
Condicional indirecta
'icondicional
p↔q≡q↔p 4. Leyes Asoia'vas a) ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r ) b) ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r ) c) p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ ( q ↔ r ) ( p↔ 5. Leyes Dist(i#u'vas a) r ∨ ( p ∧ q ) ≡ ( r ∨ p ) ∧ ( r ∨ q ) b) r ∧ ( p ∨ q ) ≡ ( r ∧ p ) ∨ ( r ∧ q ) c) r → ( p ∧ q ) ≡ ( r → p ) ∧ ( r → q ) 6. Leyes de )o($an c)
(eación (eación alterna o barra de S)affer (eación conjunta o flec)a de (icod
LOCUCIÓN
y, pero, aunque, sin embaro, no obstante, también, as! como, a la ∧ , ∧¿ vez, vez, tan tan como como,, al iua iuall que, que, incluso, as! mismo, adem"s. o, u, salvo lvo, a menos que, ∨ e$cepto. △ , ⨁, % & o&
∨ Si & entonces, de modo que, por lo tanto, conclusión, lueo, por consiuie consiuiente, nte, derivamo derivamos, s, por lo tanto, o, se infie infiere re,, se dedu deduce ce,, → , ⊃ tant implica, por eso, es obvio, de all! que, que, por por ello ello,, es cond condic ició ión n suficiente para&, solo si. Siem Siempr pree que, que, ya que, que, pues pues,, puesto que, supone que, porque, a condición de que, dado que, es ← condición necesaria para, cada vez que, cuando, debido a que. Si y solo si, solamente si, cuando y solo cuando, entonces y solo entonces, es idéntico, idéntico, cada vez ↔ ,≡ entonces, que y solo solo si, si, es cond condic ició ión n necesaria y suficiente para. (o, es falso que, , no es cierto , ¬ , ´ que, no es verdad que. (o& o no &, Es i ncompatible.
↑ ,/ ,
|
(i& ni&
↓
12. +o(mas No(males 1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Grety N. Torres Ticona
a) Pa(a la onuni!n& V ∧ V ≡ V V ∧ p ≡ p F ∧ p ≡ F b) Pa(a la disyuni!n& F ∨ F ≡ F F ∨ p ≡ p V ∨ p ≡ V PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
Conmutado( e((ado& &ermie el 'aso de la corriene e ,nerru'ores
Conmutado( a#ie(to& ,m'ide el 'aso de la corrien
9erbo
Todo tacneño es peruano
sujeto
P redicado
TIPOS
C,+($,* % S+, ( p ∧ q )
Cuantificador
TIPOS
!ORMA LINGUÍSTICA
S
*niversal afirmativa *niversal neativa articular afirmativa articular neativa
"IAGRAMA "E #ENN
+odo S es P
9
NEGACIÓN LÓGICA
C,+($,* % a+a* ( p ∨ q )
l-n S no es P
S 9
q s
9
(in-n S es P
s
&
l-n S es P
1. #e los enunciados siuientes:
(in-n S es P
V s
l-n S no es P
EERCICIOS "ESARROLLA"OS
l-n S es P
9
s
+odo S es P
CUANTIFICADORES LÓGICOS
/0lear"s temprano
Salude al inreso por favor.
El cuadrado de todo n-mero real es positivo.
El pisco es peruano.
2 am in t)e *niversity.
Con una Variable
C$a%&'(a*+ U%,-+/a
C$a%&'(a*+ E,/%(,a
∀ x
∃ x
(Universalizador o generalizador) &ara odo &ara cada &ara cualquier Cualquiera que sea Sean odos los &ara cada una de las
/Cu"ntos son proposiciones 31
(Partculazador o exisencializador) Eise Algunos Eisa al menos un /anos! cieros! muc0os Eise 'or lo menos un &ocos! muc0os 1a2 al menos un que
!ORMALIACIÓN LÓGICA
NEGACIÓN LÓGICA
+odo S es P
∀ x ( S x → P x )
∃ x ( S x ∧∼ P x
(in-n S es P
∀ x ( S x → P x
∃ x (S x ∧ P x )
∃ x ( S x ∧ P x )
∀ x ( S x → P x
∃ x ( S x ∧∼ P x
∀ x ( S x → P x )
l-n S es P l-n S no es P
C35
#36
E37
SOLUCIÓN:
Con dos Variables !ORMA LINGUÍSTICA
'34
/0lear"s temprano preunta3
8(o es proposición, por ser
Salude al inreso por favor. 8(o es proposición, por ser una orden3
El cuadrado de todo n-mero real es positivo. 8Si es proposición3
El pisco es peruano. 8Si es proposición3
2 am in t)e *niversity. 8Si es proposición3 ∴
5 son proposiciones C09E: C
2. #e los enunciados:
CIRCUITOS LÓGICOS
2≠ 4
2 x
4
: es una proposición simple.
+ 4 =5 , es una proposición simple. 2 x + 4 ≤ 5 , Es una proposición compuesta. 2 + 4 ≤ 5 , es una proposición compuesta.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 399
'39
C3999
#399
Grety N. Torres Ticona
E3
C09E:
SOLUCIÓN:
5. 0a proposición: Si )ay )umedad, entonces las plantas
crecen. Es equivalente a decir: 3 0as plantas crecen y )ay )umedad. '3 Si las plantas no crecen no )ay )umedad. C3 (o )ay )umedad y las plantas crecen. #3 0as plantas no crecen y )ay )umedad. E3 +odas las anteriores.
2≠ 4
: es una proposición simple. 83 8#os no es iual a cuatro es proposición compuesta, por el tener adverbio ;no<3 2 x
+ 4 =5
, es una proposición simple. 83
8Es un enunciado abierto porque tiene variable3
2 x
+ 4 ≤5
, Es una proposición compuesta. 83 8Es un enunciado abierto porque tiene variable3 2
SOLUCIÓN:
+4 ≤ 5
, es una proposición compuesta. 893 8#os m"s cuatro es menor o iual a cinco, es compuesta porque tiene conectivo3 C09E: '
Simbolizando la proposición con:
p: )ay )umedad q: las plantas crecen Se obtiene:
p→ q ≡ q → p 8+ransposición3 C09E: '
3. #adas las proposiciones: ;+endremos muc)as flores en
el jard!n= si la estación es propicia y las semillas no est"n maloradas<, la simbolización correcta es:
6. #ados los siuientes esquemas tautolóicos:
( p △ q ) ↔ ( (q → q)
2. 22.
(q ∧ r ) → p p→ ( q ∧ r ) q ∧( r → p) (q → p ) ∧ r p ∧ ( q ∧ r )
3 '3 C3 #3 E3
Calcule los valores veritativos de p, q y r. 3999
( p △ q ) ↔ (
p → r ) ≡V F △ V V →V V V
p← ( q ∧ r ) ≡ ( q ∧ r ) → p
#e 22:
C09E:
(q →
q ) ≡V
V F F
4. #adas las proposiciones: 2nés )abla alem"n= 2nés )abla
inlés= 2nés )abla francés. Simboliza la siuiente proposición compuesta: (o es cierto que 2nés no )abla francés y alem"n sino inlés.
#onde:
p≡ F q ≡V r ≡V C09E: #
7. Si se sabe que
[ ( r ∧ p ) ∧ q ] [(r ∧ p )∧ q ] [( r ∧ p )∧ q ] [( r ∧ p )∨ q ] [ ( r ∧ p ) ∨ q ]
E3
p ∧ q ≡ F y
q → r ≡ F , Cuales
son los valores de verdad de: 2. 22. 222.
[ ( p → r ) ∧ q ] → ( r ∨ q ) ( p→ q ) ∧ ( q → ∼ q ) [ ( p ∧ r ) ∨ q ] ↔ ( p → q )
399
'39
C3999
#39
SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
Simbolizando la proposición con:
p: 2nés )abla alem"n q: 2nés )abla inles r : 2nés )abla francés
Si
Se obtiene:
>eemplazando
[(
E3
#e los esquemas, resolvemos primero 8223 para reemplazar en 823 #e 2:
Se obtiene:
#3
#399
¿
p: tendremos muc)as flores en el jard!n q: la estación es propicia r : las semillas est"n maloradas
C3
C39
+enemos los esquemas tautolóicos:
Simbolizando la proposición con:
'3
'39
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN:
3
p→r)
p ∧ q ≡ F q → r ≡ F F V V F
r ∧ p ) ∧ q ]
I) 5
[ ( p → r ) ∧ q ] → ( r ∨ q )
#onde:
p≡ F q ≡V r ≡ F
E399
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Grety N. Torres Ticona
[ ( F → F ) ∧ V ] → ( F ∨ V ) [ ( V ) ∧ V ] → ( V )
C09E: 9. #e la falsedad de la proposición:
[ V ] → V
( p→
V
, determinar el valor de verdad
de los esquemas moleculares.
(
I)
( p→ q ) ∧ ( q → ∼ q ) ( F →V ) ∧ (V → ∼ V ) ( V ) ∧ ( F ) II)
II) III)
F
p ∧ ∼ q ) ∨∼ q [ (∼ r ∨q ) ↔ ( q ∨ r ) ] ∧ s ( p→ q ) → ( p ∨ q ) ∧∼ q
3
[ ( p ∧ r ) ∨ q ] ↔ ( p → q ) [ ( F ∧ F ) ∨ V ] ↔ ( F →V ) [ ( F ) ∨ V ] ↔ (V ) III)
'399
C399
#399
#onde:
la falsedad:
( p→
q ) ∨ (∼ r → s ) ≡ F V FV F F F
p≡ V q ≡V r ≡ F s ≡ F
>eemplazando:
V C09E: E
∼ ( p ∧ q ) → r es falso, se?ale
Si la proposición:
I.
∼ ( p ∧ q ) → r
II.
( ∼ p → q ) ∧ (∼ q →r ) ∧ p ∼ ( ∼ p → q ) ∧∼ ( q →r ) ∧ ( p ∨ q )
3
'3999
C399
#399
SOLUCIÓN: Si:
I)
(
p ∧ ∼ q ) ∨ ∼ q ≡ ∼ q ≡ F
II)
[ (∼r ∨q )↔ (
q ∨r) ]∧ s
[ ( ∼ F ∨ V ) ↔ ( V ∨ F ) ] ∧ F [ ( V ) ↔ ( F ) ] ∧ F
el valor de verdad de las siuientes e$presiones.
III.
E3999
SOLUCIÓN:
V ↔ V
8.
q ) ∨ (∼ r → s )
[ F ] ∧ F F E399
III)
( p→ q ) → ( p ∨ q ) ∧ ∼ q
( V ∨ V ) ∧∼ V F
∼ ( p ∧ q ) → r ≡ F
F V F
#onde:
r ≡ F p ∧ q ≡ F
C09E:
>eemplazando 10. El valor de :
p∧ ∼ (∼ q ∨r )
I)
∼ [ ( ∼ p ∨ q ) ∨ ( r → q ) ] ∧ [ ( ∼ p ∨ q ) → ( q ∧∼ p ) ]
p ∧ q ∧∼ r F ∧∼ r F II)
es verdadera. @allar el valor de verdad de p, q y r.
( ∼ p → q ) ∧ (∼ q →r ) ∧ p ( p ∨ q ) ∧ ( q ∨ F ) ∧ p p ∧ ( p ∨ q ) ∧ ( q ∨ F )
399
C399
#39
E39
SOLUCIÓN: Se tiene:
p ∧ q F III)
'399
∼ [ ( ∼ p ∨ q ) ∨ ( r → q ) ] ∧ [ ( ∼ p ∨ q ) → ( q ∧ ∼ p ) ] ≡V F F V F F F ∼ F V V
∼ ( ∼ p → q ) ∧∼ ( q →r ) ∧ ( p ∨ q )
∼ ( p ∨ q ) ∧∼ ( ∼ q ∨ r ) ∧ ( p ∨ q )
( ∼ p ∧ ∼ q ) ∧ ( q ∧ ∼ r ) ∧ ( p ∨ q )
#onde:
∼ p ∧ ∼ q ∧ q ∧ ∼ r ∧ ( p ∨ q )
p≡ V q ≡ F r ≡V
∼ p ∧ ∼ q ∧ q ∧ ∼ r ∼ p ∧ F ∧ V ∼ p ∧ F F 6
C09E:
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Grety N. Torres Ticona
{ ( F → t ) → p }∧ F { ( V ) → p } ∧ F
11. Si la proposición: ;Es
falso que, )ablamos y no trabajamos< es falsa, entonces podemos afirmar que: 3 @ablamos y trabajamos. '3 (o )ablamos o trabajamos. C3 Si trabajamos entonces trabajamos. #3 +rabajamos si y solo si )ablamos. E3 Si trabajamos, no )ablamos.
{ V } ∧ F F
{ ( ∼ r ∨ p ) ↔ q } △ q F } △ F
III)
{ ( V ∨ p ) ↔ { ( V ) ↔V } △ F
SOLUCIÓN:
{ V } △ F
Simbolizando la proposición con: p: @ablamos q: +rabajamos Se obtiene:
V #onde:
( p ∧ ∼ q ) ≡ F V V ∼ V
C09E: '
p≡ V q ≡ F
13. #e la falsedad:
( p→
q ) ∨ (∼ r → s )
@alle el valor de verdad de los siuientes esquemas moleculares.
>eemplazando y analizando las alternativas:
( (
q ∨ ∼ s) → p r ∧ s ) ↔( p → q ) p→ [ q → ( s → r ) ]
I.
A) p ∧ q ≡V ∧ F ≡ F B) ∼ p ∨ q ≡ ∼ V ∨ F ≡ F C) p → q ≡ V → F ≡ F D) q ↔ p ≡ F ↔V ≡ F E) q → p ≡ F → ∼ V ≡V
II. III. 39
'399
C3
#e la falsedad:
#onde:
( p→
q ) ∨ ( ∼ r → s )= F V FV F F F
12. Si la proposición:
es falsa.
( (
I)
[ ( ∼ p ∨ r ) △ p ] ↔ q { ( r → t ) → p } ∧ q
II. III.
'399
C39
q ∨ ∼ s) → p V ∨ ∼ V ) → V
( F ) → F F
{ ( ∼ r ∨ p ) ↔ q } △ q
3999
p≡ V q ≡V r ≡ F s ≡V
>eemplazando:
0as siuientes proposiciones son:
I.
E39
SOLUCIÓN: C09E: E
{ ( p ∧ q ) ∨∼ r } → q
#399
II) #399
(
r ∧s ) ↔( p → q )
( F ∧ V ) ↔ ( ( V ) ↔ ( V )
E39
V → V )
SOLUCIÓN:
{ ( p ∧ q ) ∨∼ r }→ q ≡ F
III)
#onde:
p≡ p q ≡ F r ≡ F
p ∧ F F V V F
[ ( ∼ p ∨ r ) △ p ] ↔ [ ( ∼ p ∨ F ) △ p ] ↔V [ ( ∼ p ) △ p ] ↔ V
V → [ V → ( F ) ] V → [ V ] F C09E: C
q
14. >eduzca la siuiente proposición: (o es cierto que >icardo
sea una persona tranquila y un doctor, entonces >icardo es maestro o no es una persona tranquila= adem"s >icardo es maestro.
[ V ] ↔ V V II)
[ q → (s → r )]
V → [ V → ( V → F ) ]
>eemplazando:
I)
p→
3 '3
{ ( r → t ) → p } ∧ q 7
>icardo es tranquilo. >icardo es doctor.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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C3 >icardo es tranquilo y doctor. #3 >icardo es maestro. E3 >icardo es doctor y maestro.
17. Esquematice
la siuiente proposición utilizando el lenuaje lóico: Si #avid no trabaja podr!a estudiar= para que ello le suceda, su )ermana Bola debe trabajar, por ende, dejar!a de estudiar.
#3
∼ ( r ∨∼ s ) → ( p ∨ q ) ( p ∨ q ) → ( r → ∼ s ) ( r → s ) → (∼ p → q ) ∼ ( r → ∼ s ) ∨ ( p ∧ q )
E3
( r → ∼ s ) → (∼ p → q )
3
SOLUCIÓN:
'3
Simbolizando la proposición con: p: >icardo es tranquilo q: >icardo es un doctor r : >icardo es un maestro Se obtiene:
C3
[ ∼ ( p ∧ q ) → ( r ∨ p ) ] ∧ r [ ( p ∧ q ) ∨ ( r ∨ p ) ] ∧ r [ ( p ∧ q ) ∨ r ∨∼ p ] ∧ r
SOLUCIÓN: Simbolizando la proposición con: p: #avid trabaja q: #avid estudia r : Bola trabaja s: Bola estudiar!a Se obtiene:
8bsorciAn3
r
r : >icardo es maestro. C09E: #
( ∼ p → q ) ← ( r → ∼ s ) ≡ ( r → ∼ s ) → ( ∼ p → q )
15. Si se cumple que:
p∗ q ≡ ∼ p ∧ q p ∇ q ≡ p ∨ q
C09E: E
>eduzca:
{ q ∇ [ ( p ∨ ( r ∗s ) ) ∧ p ] } → [ (
18. Simplificar:
p∗∼ q ) ∇ q ]
( p → q ) ↔ ( q → p ) 3p
3p
'3pvq
C3
#3q
p
p ∨ q
E3 ∼ q
C3 E3
p∧ q p↔ q
#3
SOLUCIÓN: ( p → q ) ↔ ( q → p ) ( q → p ) ↔ ( p→ q ) [ ( q → p ) → ( p→ q ) ] ∧ [ ( p → q ) → ( q → p ) ]
SOLUCIÓN:
{ q ∇ [ ( p ∨ ( r ∗s ) ) ∧ p ] } → [ (
'3q
p∗∼ q ) ∇ q ]
{q ∇ [ p ] } → [ ( p ∧ ∼ q ) ∨ q ]
[ ( q ∨ p ) ∨ ( ∼ p ∨ q ) ] ∧ [∼ (∼ p ∨ q ) ∨ ( ∼ q ∨ p ) ] [ ( q ∧∼ p ) ∨∼ p ∨ q ] ∧ [ ( p ∧∼ q ) ∨∼ q ∨ p ]
{ q ∨ p } → ∼ q ∼ { q ∨ p } ∨∼ q { ∼ q ∧∼ p } ∨∼ q
[ ∼ p ∨ q ] ∧ [ ∼ q ∨ p ] [ p → q ] ∧ [ q → p ]
∼q
p↔ q C09E: E
C09E: E
Equivalencias:
16. Simplifique:
{
p↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) p↔ q ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧∼ q ) p↔ q ≡ ∼ q ↔ p 19. (o aprend! lóica dado que no aprend! matem"tica= ya que
}
∼ [ p ∧ ( q ∨∼ r ∨ s ∨ p ) ] → [ p ∨ ( p ∧ r ) ] → ( r ∧ s ∧ 39
p∨ q E3 ( r ∧ s ) ∨ ∼ t '3
C3
#3
p→ q
aprendo matem"tica o lóica. #e lo anterior, se concluye que: 3 (o aprendo matem"tica ni lóica '3 prendo matem"tica y lóica C3 prendo matem"tica o lóica #3 (o es cierto que, aprenda lóica pero no matem"tica. E3 (o es cierto que, aprenda matem"tica pero no lóica.
SOLUCIÓN:
{
}
∼ [ p ∧ ( q ∨∼ r ∨ s ∨ p ) ] → [ p ∨ ( p ∧ r ) ] → ( r ∧ s ∧∼
∼ { [ p ] → [ p ] } → ( r ∧ s ∧ ∼ t ) ∼ { V } → ( r ∧ s ∧∼ t ) F → ( r ∧ s ∧ ∼ t ) ≡V
SOLUCIÓN: Simbolizando la proposición con: p: prend! lóica
C09E:
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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q: prend! matem"tica
SOLUCIÓN:
Se obtiene:
= p ∨ [ { [ ( p ∧ q ) ∨ r ] ∧ r } ∧ {[ ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( p ∨ q ) ] ∨ r }] = p ∨ [ { r } ∧ {[ ( p ∨ q ) ] ∨ r }] = p ∨ [ r ∧ { p ∨ q ∨ r } ] = p ∨ r
( p ← q ) ← ( q ∨ p ) ( ∼ p ∨ q ) ∨∼ ( q ∨ p ) ∼ p ∨ q ∨ ( ∼ q ∧ ∼ p ) ∼ p ∨ q ∼ ( p ∧ ∼ q ) ∴
C09E: (o es cierto que, aprenda lóica pero no 23. #e
las siuientes proposiciones, )alle cuales son equivalentes: 2. Es necesario que Sof!a no vaya al cine para que termine su tarea. 22. (o es cierto que Sof!a termine su tarea y vaya al cine. 222. Sof!a no terminar" su tarea y no ir" al cine.
matem"tica C09E: #
p∗q ≡ ( q → p ) p ⋕ q ≡ p∗∼ q
20. Si
E= [ ( p ⋕ q ) ⋕ ( p∗ p ) ]∗ p
>educir: 3p
=
'3 E3
32 y 222
C3 q
p p∨ q
#3
I) II) III)
E = [ ( p ⋕ q ) ⋕ ( p∗ p ) ]∗ p
[ ( q → p ) ⋕ ( p → p ) ]∗ p
24. Simplificar:
[ ( ∼ q → p ) ∧∼ ( ∼ p → q ) ] ∨ [ p → q ] Se obtiene: 3 q ∨ p
'3 ∼ q ∨ p
p ∧ q #3 ∼ p ∨ q
p ⊡ q ≡ ∼ p ∧ q = >eduzca: [ ( p ⊡ ∼ p ) ] → [ ( p ⊡ q ) ⊡ q ] 21. Si
C3
3 ∼ ( p ∧ q ) E
SOLUCIÓN:
E3 ∼ p
[(∼q →
p ) ∧∼ ( ∼ p → q ) ] ∨ [ p → q ]
[ ( q ∨ p ) ∧∼ ( p ∨ q ) ] ∨ [∼ p ∨ q ] [ ( q ∨ p ) ∧∼ p ∧ q ] ∨ ∼ p ∨∼ q
SOLUCIÓN:
[ ( p ⊡ ∼ p ) ] → [ ( p ⊡ q ) ⊡ q ] [ ( ∼ p ∧ ∼ p ) ] → [ ( ∼ p ∧ q ) ⊡ q ] ∼ p → [ ∼ ( ∼ p ∧ q ) ∧ q ] ∼ p → [ ( p ∨ ∼ q ) ∧ q ]
∼ p ∨ ∼ q ∼ ( p ∧ q ) C09E: E
∼ p → ( p ∧ q ) p ∨ ( p ∧ q ) p
25. Simplifique:
[ ∼ ( p ∧ ∼ q ) → ( ∼ p ∨ r ) ] ∧∼ [ ∼ q → 3 ∼ q
C09E: C
∼ p ∧ q p ∨ ∼ q
22. Simplifique:
R= p ∨
2 y 22 son equivalentes C09E: '
C09E: '
#3q
q → p ≡ q ∨ ∼ p ∼ ( q ∧ p ) ≡ ∼ p ∨∼ q ∼ q ∧∼ p
∴
V [ ( F ) → ( q → p ) ]∗ p V ∗ p p→ V p ∨ F ∼ p
C3p
#3+odas E3(inuna.
Simbolizando la proposición con: p: Sof!a va al cine q: Sof!a termina su tarea Se obtiene:
p∗ q ≡ ( q → p ) = p ⋕ q ≡ p∗∼ q ≡ q → p
'39
C322 y 222
SOLUCIÓN:
q
SOLUCIÓN:
3
'32 y 22
[ {[ ( p ∧ q ) ∨ r ] ∧ r } ∧ {[ ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( p ∨ q ) ] ∨ r
'3 p ∨ q C3 p∨ r E3 q ∧∼ r q ∨ r #3 q ∨∼ r
3
p∧ ∼ q #3 ∼ q ∨ p '3
C3 3 E
SOLUCIÓN: [ ∼ ( p ∧ ∼ q ) → ( ∼ p ∨ r ) ] ∧ ∼ [ ∼ q → p ]
[ ( p ∧ ∼ q ) ∨ ( ∼ p ∨ r ) ] ∧∼ [ q ∨ D
p]
p]
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Grety N. Torres Ticona
[ ( p ∧ ∼ q ) ∧∼ p ∨ r ] ∧∼ q ∧ p
28. #eterminar los esquemas m"s simples de la proposición:
∼ [ ∼ ( p ∧ q ) → ∼ q ] ∨ p
[ ∼ q ∧∼ p ∨ r ] ∧∼ q ∧ p ∼ q ∧ p
3 q
'3
p C3 p ∨ q
#3
p∧ q
E 3
p→ q
C09E: E
SOLUCIÓN: 26. ormalice el siuiente enunciado:
Simplificando:
Si uan es m-sico, entonces uan es cantante= pero uan no es m-sico, por lo tanto es cantante. 2ualmente uan es compositor, adem"s, si uan no )ubiera sido compositor, entonces ser!a cantante. 2ndique su e$presión equivalente m"s simple.
! "! C! #! $!
∼ [ ∼ ( p ∧ q ) → ∼ q ] ∨ p ∼ [ ( p ∧ q ) ∨∼ q ] ∨ p
[ ( ∼ p ∨ ∼ q ) ∧ q ] ∨ p [ ∼ p ∧ q ] ∨ p
uan es m-sico y cantante. uan es cantante y compositor uan es m-sico y compositor. uan es cantante o m-sico. uan es compositor o cantante.
q ∨ p ≡ p ∨ q C09E: C 29. /Cu"ntas
SOLUCIÓN:
proposiciones continuación
Simbolizando la proposición con: p: uan es m-sico q: uan es cantante r : uan es compositor
2. Carlos no fué a trabajar y visitó a Far!a. 22. Carlos fué a trabajar y no visitó a Far!a. 222. Es falso que, Carlos fué a trabajar y visitó a Far!a. 29. Carlos no fué a trabajar o visitó a Far!a. 9. Si Carlos fué a trabajar entonces no visitó a Far!a.
Se obtiene:
31 '34
[ ( p → q ) ∧ (∼ p → q ) ] ∧ r ∧ ( ∼ r → q ) [ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ q ) ] ∧ r ∧ ( r ∨ q ) [ q ∨ ( ∼ p ∧ p ) ] ∧ r [ q ∨ ( ∼ p ∧ p ) ] ∧ r [ q ∨ ( F ) ] ∧ r
#36
2223 293 93
C09E:
[( p → q ) → ( p ∧ q ) ] ∨ ( p ∧ r ) p
C3 q
E37
∼ ( p ∧ q ) es neación ∼ p ∨ q es disyunción p→ q es condicional
27. *tilizando las leyes lóicas simplifique:
'3
a
Se obtiene: 23 ∼ p ∧ q es conjunción 223 p ∧ ∼ q es conjunción
uan es cantante y compositor
p∨ q
muestran
Simbolizando la proposición con: p: Carlos fué a trabajar q: Carlos visitó a Far!a
C09E: '
3
se
SOLUCIÓN:
q ∧r ∴
C35
neativas
30. 0a proposición: ;#aniel no maneja si est" cansado<, es
#3
p→ q
verdadera, se puede afirmar que: 3 '3 C3 #3 E3
3 q → r E
SOLUCIÓN: Simplificando:
[( p → q )→ ( p ∧ q ) ] ∨ ( p ∧ r ) [ ∼(∼ p ∨ q ) ∨ ( p ∧ q ) ] ∨ ( p ∧ r ) [( p ∧∼ q ) ∨ ( p ∧ q ) ] ∨ ( p ∧ r ) [ p ∧ (∼ q ∨ q )] ∨ ( p ∧ r ) [ p ∧ (V ) ] ∨ ( p ∧ r )
(o es cierto que, #aniel no maneja y est" cansado. (o es cierto que, #aniel maneja y no est" cansado. (o es cierto que, #aniel maneja y est" cansado. (o es cierto que, #aniel no maneja y est" cansado. (o es cierto que, #aniel no maneja.
SOLUCIÓN: Simbolizando la proposición con:
p: #aniel maneja q: #aniel est" cansado
p ∨ ( p ∧ r )
Se obtiene:
∼ p ← q ≡ q → p ≡ q ∨ ∼ p ≡ ∼ ( p ∧ q )
p
C09E: C
C09E: ' G
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Grety N. Torres Ticona
∼ p ∨ p ∨ q ∨ q V ∨ q V
31. Sea:
s:9oy al coleio suponiendo que t es falsa y s es verdadera, se?alar el valor veritativo de las siuientes proposiciones.
∴
Es tautolo!a C09E: E
399
'3999
C39
#399
E39 34. l near la proposición: ;'ety dice que Coco no tiene 17
a?os<, se obtiene:
SOLUCIÓN:
3 '3 C3 #3 E3
Simbolizando la proposición con: s: 9oy al coleio ≡V t : #uermo )asta el 1H4 d!a ≡ F
'ety dice que Coco tiene 17 a?os. 'ety no dice que Coco tiene 17 a?os. 'ety no dice que Coco no tiene 17 a?os. 'ety dice que Coco tiene menos de 17 a?os. 'ety no dice que Coco tiene m"s de 17 a?os.
SOLUCIÓN: >eemplazando se obtiene:
23 223 2223
0a proposición mencionada es simple predicativa, e$iste verbo 8dice3 y la caracter!stica del predicado 8Coco no tiene 17 a?os3
∼ s ∧ t ≡ ∼ V ∧ F ≡ F s ∨∼ t ≡V ∨∼ F ≡ V t←s≡ F←V ≡F
l near la proposición, se niea el verbo y mantiene la misma caracter!stica. 'ety no dice= que Coco no tiene 17 a?os C09E: E (iea el verbo
Caracter!stica
C09E: C
32. Simplifique el esquema molecular:
{[ 3
( q → p ) → ( p →q ) ] ∧ ( p → p '3 ∼ p
}
q) ∨ q
C3
35. Se tiene acceso a las siuientes proposiciones:
p ∨ ∼ q #3
I +odos los docentes son personas cultas. I lunos docentes no son inenieros. or lo tanto, se puede concluir que:
∼ q E 3 q
SOLUCIÓN: 3 '3 C3 #3 E3
{[
( q → p ) → ( p →q ) ] ∧ ( p → q ) }∨ q [ ( q ∨ p ) ∨ (∼ p ∨ q ) ] ∧ ( ∼ p ∨ q ) } ∨ q {[ ∼ q ∨ p ∨ ( p ∧∼ q ) ] ∧ ( ∼ p ∨ q ) } ∨ q { [ ∼ q ∨ p ] ∧ ( ∼ p ∨ q ) } ∨ q { ∼ q ∧ ( p ∨ p ) }∨ q { ∼ q ∧ (V ) } ∨ q
0os inenieros son cultos. +odos los inenieros son docentes. +odas las personas cultas son docentes. lunas personas cultas no son inenieros. 0os que no son inenieros no son cultos.
SOLUCIÓN: ∀ ( D → P . C . ) ∃ ( D ∧ ∼ I ) ∃( ∼ I ∧ P .C .) ≡ ∃ ( P .C . ∧ ∼ I )
q C09E: # ∴
lunas personas cultas no son inenieros. C09E: # 36. 0a neación de ;+odos los rect"nulos son paraleloramos<, es:
33. l simplificar:
[ ( p → q ) → p ] → q
, se obtiene:
A) ∼ p ∧ q B) ∼ p ∨ ∼ q C) ∼ p ∧ ∼ q D) p ∨ q E) *na +autolo!a
3 '3 C3 #3 E3
+odos los rect"nulos no son paraleloramos. +odos los no rect"nulos no son paraleloramos. lunos rect"nulos no son paraleloramos. lunos rect"nulos son paraleloramos. +odos los no rect"nulos son paraleloramos.
SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: Simplificando:
or teor!a sabemos que:
[ ( p → q ) → p ] → q [ ( p ∨ q ) ∨ p ] ∨ q
- Todos los rect"nulos son paraleloramos Su neación ser!a: J
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Grety N. Torres Ticona E3 lunos intelientes son zurdos.
- lgunos rect"nulos no son paraleloramos
SOLUCIÓN:
C09E: C 37. Si: +odo matem"tico es cient!fico, concluimos que: 3 (in-n matem"tico es cient!fico. '3 (o todo matem"tico es cient!fico. C3 lunos matem"ticos no son cient!ficos. #3 +odo cient!fico es matem"tico E3 (o es cierto que todo cient!fico sea no matem"tico.
∀ ( → I ) ∃ ( ∧ ! ) ∃ ( ! ∧ I ) ≡ ∃ ( I ∧ ! ) ∴
41. #e las premisas: ;(in-n reo es libre< y ;todo sentenciado
SOLUCIÓN:
es reo<, se concluye: 3 +odo sentenciado es libre. '3 (in-n sentenciado es libre. C3 +odo libre es no sentenciado. #3 (in-n sentenciado no es libre. E3 (in-n reo es libre.
+odo matem"tico es cient!fico:
∀ ( M →C ) ≡ ∀ ( ∼ C → ∼ M ) ∴
(o es cierto que todo cient!fico sea no matem"tico. C09E: E
SOLUCIÓN:
38. (in-n escritor es considerado apol!tico, entonces:
3 '3 C3 #3 E3
∀ ( R → ∼ " ) ∀ (S → R) ∀ ( S → ∼ " )
+odo pol!tico es escritor. (in-n pol!tico es escritor. +odo apol!tico es escritor. +odo escritor es pol!tico. (in-n no pol!tico es escritor
∴
42. 0a neación de:
;0a mitad de universidad<
(in-n escritor es considerado apol!tico: ∴
(
A ) ) ≡ ∀ ( E → A )
postulantes
inresaron
a
la
3 '3
+odos inresaron a la universidad. Es falso que, alunos postulantes )ayan inresado a la universidad. C3 lunos postulantes no inresaron a la universidad. #3 lunos inresaron a la universidad. E3 +odas cumplen.
39. Si:
+odos los insectos son invertebrados.
lunos insectos son coleópteros. Entonces: 3 +odo coleóptero es invertebrado. '3 l-n coleóptero es invertebrado. C3 (in-n coleóptero es insecto. #3 +odo insecto es coleóptero. E3 l-n coleóptero es vertebrado.
SOLUCIÓN: 0a mitad de los postulantes inresaron a la universidad:
∃ ( P ∧ ) Negación: ∼ [ ∃ ( P ∧ ) ] ≡ ∀ ( P→ ∼ )
SOLUCIÓN:
∴
Es falso que, alunos postulantes )ayan inresado a la universidad. C09E: '
∀ ( I → Inv . ) ∃ ( I ∧ C ) ∃ ( C ∧ Inv . )
43. 0a neación de: ;lunas especies est"n en peliro de
∴ l-n coleóptero es invertebrado.
e$tinción< es: 3 '3 C3 #3 E3
C09E: ' 40. #adas las proposiciones:
los
Ser" equivalente a:
+odo escritor es pol!tico. C09E: #
(in-n sentenciado es libre. C09E: E
SOLUCIÓN: ∀ ( E →
lunos intelientes son zurdos. C09E: E
+odos los que estudian en la *('K son intelientes.
lunos que estudian en la *('K son zurdos. #etermine la proposición correcta: 3 (in-n zurdo estudia en la *('K. '3 +odos los que estudian en la *('K no son zurdos. C3 +odos los zurdos no son intelientes. #3 +odos los intelientes no son zurdos.
lunas especies no est"n en peliro de e$tinción. +odas las especies est"n en peliro de e$tinción. (inuna especie no est" en peliro de e$tinción. 9arias especies no est"n en peliro de e$tinción. (inuna especie est" en peliro de e$tinción.
SOLUCIÓN: lunas especies est"n en peliro de e$tinción:
∃ ( E ∧ P ) 1L
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Grety N. Torres Ticona
∼ [ ∃ ( E ∧ P ) ] ≡ ∀ ( E → ∼ P )
Negación: ∴
(inuna especie est" en peliro de e$tinción. C09E: E
#3
p∧ q
SOLUCIÓN: Simbolizando el circuito se obtiene:
44. Si:
{[ ( ∼ p ∨ q ∨ p ) ∧ (∼ q ∨ p ∨ q ) ] ∨∼ p } ∧∼ p
Fuc)os de los que ofrendan la vida son valientes.
'3q C3 ∽ p E3 ∽ q
3p
∼ p
+odos los valientes van a la loria. Entonces:
3 '3 C3 #3 E3
C09E: C
(adie que ofrenda la vida va a la loria. +odos los valientes van a la loria. Fuc)os de los que ofrendan la vida van a la loria. +odo aquel que ofrenda la vida va a la loria. lunas personas van a la loria.
47. Simplificar la proposición que representa al circuito:
SOLUCIÓN: ∃ ( # ∧ V ) ∀ (V → $ )
3r
∃(# ∧$) ∴
'3s
C3 t
#3 ∼ s
E3 ∽ r
SOLUCIÓN:
Fuc)os de los que ofrendan la vida van a la
loria
Simbolizando el circuito se obtiene:
{∼ s ∧ t ∧ [ ( ∼ s ∧ t ) ∨∼ r ] ∧ ∼ t } ∨ r
C09E: C
{ ∼ s ∧ t ∧∼ t } ∨ r
45. Simplificar la proposición que corresponde al circuito:
{ ∼ s ∧ F } ∨ r F ∨ r r C09E:
A
3p
3
'3q
C3 ∽ p
#3
48. Simplificar el circuito:
p→ q
E3 ∽ q
SOLUCIÓN: Simbolizando el circuito se obtiene: 3p
[ ( ∼ p ∧ q ) ∨ q ] ∨ ( ∼ q ∨ p ) } p ∧ { [ q ] ∨ ( ∼ q ∨ p ) } p ∧
'3q
C3
p∧ q
#3
p∨ q
E3 ∽ p
SOLUCIÓN:
p ∧ { q ∨∼ q ∨ p } p
¿
@acemos sustitución de variables Simbolizando el circuito se obtiene: 23 0ado izquierdo del circuito
C09E:
[ ( p ∨ ∼ q ) ∧ ( q ∨ ∼ p ) ] ∨ [ (∼ p ∧ q ) ∨ ( ∼ q ∧ p ) ]
46. >educir el siuiente circuito:
[ % ∧ n ] ∨ [ ∼ % ∨∼ n ] p ∨ ∼ p ≡ V 223 lado derec)o del circuito
[ ( p ∨ ∼ q ) ∧ q ] ∨ [ ( ∼ p ∧ q ) ∨ p ] [ p ∧ q ] ∨ [ q ∨ p ] [ p ∧ q ] ∨ q ∨ p q ∨ p 11
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Grety N. Torres Ticona
SOLUCIÓN:
inalmente, juntando 2 y 22:
V ∧ ( q ∨ p ) ≡ p ∨ q
[ ( q ∨∼ q ) ∧ ( p ∨ ( q ∧ ∼ p ) ) ∧ q ] ∨ [ q ∧ ∼ q ∧ ( p ∨∼ q ) ]
C09E: #
[ ( V ) ∧ ( p ∨ q ) ∧ q ] ∨ [ q ∧ ∼ q ] [ ( V ) ∧ q ] ∨ [ F ]
49. 2ndique la simbolización correcta del siuiente circuito
lóico:
[ q ] ∨ [ F ] q C09E: #
>eto1:
[ ( p ∨ p ) → ( q ∨ q ) ] ∧ ( p → q ) [ ( p ∨ p ) → ( q ∨ q ) ] ∨ ( p → q ) [ ( q ∧ q ) → ( p ∨ p ) ] ∧ ( q → p ) [ ( p ∧ p ) → ( q ∧ q ) ] ∧ ( p ∨ q ) [ ( p ∧ p ) → ( q ∨ q ) ] ∧ ( p → q )
A) B) C)
1
2
1
2
3
3
1
2
1
2
3
3
1
2
3
3
1
D) E)
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
3
3
3
SOLUCIÓN: Simbolizando el circuito se obtiene:
[ q ∨∼ p ∨∼ p [ ∼ p ∨∼ p ∨ q 1
1
1
2
2
∨ q2 ] ∧ ( ∼ p3 ∨ q3 )
1
∨ q2 ] ∧ ( ∼ p3 ∨ q3 )
q ∼ ( p1 ∧ p2 ) ∨ (¿ ¿ 1 ∨ q 2)
¿ ¿ ¿
q ( p1 ∧ p 2) → (¿ ¿ 1 ∨ q2 )
¿ ¿ ¿
C09E: E 50. Simplifique y dé el equivalente del siuiente circuito lóico.
A) B) C) D) E)
∼ q ∧ p p∨ ∼ q ∼ p ∧ q q ∼ p
14
