Guía Matemática Nombre del Profesor:
Francisco Arratia Camus
Sector de Aprendizaje: Matemtica! Unidad: "#$ica de %ro%osiciones!
En esta unidad:
Reconocers & a%'icars 'os conectores '#$icos en distintas %ro%osiciones formu'adas! formu'adas! Reso'(ers a tra()s de ta*'as de (erdad 'a (erosimi'itud de distintas %ro%osiciones! Reso'(ers desafíos +ue in(o'ucren 'os contenidos de '#$ica en su reso'uci#n!
Francisco Francisco Arratia Camus Página
MARZO 2010 Guía N° 1
Nombre del Estudiante: ___________________________________
Diferenciado
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Raíces
Nivel: NM3
!G"#A MA$EMA$"#A!
,!- CONC./O FNDAM.NA".! ,!1!- D.F,N,C,ON! "a "#$ica Matemtica es una RAMA ms de "A MA.MA,CA como 'o son %or e4em%'o "a Aritm)tica .' A'$e*ra "a Geometría etc!5 con sus e'ementos %ro%ios de tra*a4o con sus o%eraciones %articu'ares *ien definidas & +ue so'o son ('idas en su conte6to & con sus %ro*'emas es%ecíficos & +ue es 'o +ue en con4unto caracteri7a a cada una de e''as! ,!2!- .".M.NO D. RA8A9O! "os e'ementos de tra*a4o de "a "#$ica Matemticas es decir 'os entes matemticos con 'os cua'es & so*re 'os cua'es (a a o%erar son 'as /RO/O,C,ON.! "as %ro%osiciones son a 'a "#$ica Matemtica 'o +ue 'os Natura'es son a 'a Aritm)tica5 'os Raciona'es a' A'$e*ra5 'as Funciones a' C'cu'o etc! & a' i$ua' +ue en estos casos 'as %ro%osiciones tienen su definici#n +ue es:
/RO/O,C,ON.: na /ro%osici#n es un enunciado +ue %uede ser Fa'so ;F< o (erdadero ;=< %ero NO am*as cosas a 'a (e7 o nin$una de e''as en forma simu'tnea!
.n $enera' 'as %ro%osiciones se indican mediante 'as 'etras min>scu'as a %artir de 'a ?%@ %or e4em%'o: %: .' es un n>mero /AR! +: .' 1B es un n>mero /R,MO! r: .' B NO es di(isi*'e entre 3! Dado +ue 'a dis%oni*i'idad de ?'etras@ a %artir de 'a ?%@ es 'imitada entonces se uti'i7an 'os su*índices en cada una de e''as %ara am%'iar nuestra dis%oni*i'idad de e'ementos! /or e4em%'o: %1: on 'as de 'a tarde! %2: .sta c'ase es de F,,CA! %3: n %o'inomio es deri(a*'e en todos 'os rea'es! %! .' n>mero π es irraciona'! %B: i un n>mero es /AR entonces es di(isi*'e entre DO! %: "a suma de 'os n$u'os internos de un trin$u'o NO es i$ua' a DO rectos! .9.RC,C,O No! 1! =a'ida 'as si$uientes /ro%osiciones! • %1: odo %o'inomio de Grado 2 tiene so'uci#n en 'os rea'es! • %2: oda ecuaci#n 'inea' tiene so'uci#n en 'os raciona'es! • %3: oda ecuaci#n 'inea' tiene so'uci#n en 'os natura'es! • %: n %o'inomio es 'inea' si e' $rado ma&or es 1! • %B: "os %o'inomios ace%tan e6%onentes fraccionarios! • %: .' n>mero E NO es /AR N, es /R,MO! • %: .' cinco es un n>mero /R,MO! • %: .' es di(isor de' B0! • %E: 6 10 H 0 NO tiene so'uci#n en 'os enteros!
,!3!- O/.RAC,ON. D. "A "OG,CA MA.MA,CA! Continuando con nuestro es+uema definiremos aIora 'as o%eraciones %ermitidas en 'a "#$ica Matemtica! am*i)n en este caso son DO 'as O%eraciones *sicas & con 'as cua'es Iaremos todo 'o %ermitido en esta rama de 'as matemticas! a'es o%eraciones son: "A CON9NC,ON J "A D,JNC,ON! in em*ar$o antes de definir'as es necesario definir 'o +ue se conoce como: Francisco Arratia Camus Página
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Raíces
!PE%A#"!N &"NA%"A' Una !peraci(n &inaria es una %e)la de #orrespondencia mediante 'a cua' a cada %ar ordenado de un con4unto A6A 'e corres%onde uno & so'o un e'emento de' mismo con4unto A! Se)*n la definici(n anterior+ una !peraci(n &inaria se define para los elementos de un #onjunto A , solamente será válida para ellos' Así a cada Par de elementos del #onjunto le corresponderá UN! , S!! UN elemento del mismo conjunto' Es lo -ue se llama una !peraci(n #errada' .iene a ser una funci(n -ue tiene como dominio al producto cartesiano A/A , como codominio al conjunto A' Es decir:
f : A×A→A Ejemplos: p0: a suma N! es cerrada en el conjunto de los "mpares'
"a suma de DO im%ares nos da un n>mero +ue es /AR! %2: .' %roducto es cerrado en 'os im%ares! .' %roducto de DO im%ares siem%re es un im%ar! %3: .' %roducto NO es cerrado en 'os %rimos! .' %roducto de dos n>meros %rimos NO es un n>mero %rimo! %: "a com%osici#n de funciones es una o%eraci#n cerrada! "a com%osici#n de DO funci#n define a otra funci#n! %B: "a raí7 cuadrada es cerrada en 'os com%'e4os! odo n>mero com%'e4o %osee dos raíces! De acuerdo con 'o anterior , una o%eraci#n *inaria se define entre DO e'ementos de' con4unto & %or definici#n es cerrada entonces cada una de 'as o%eraciones de 'a "#$ica Matemtica nos dar como resu'tado ORA %ro%osici#n 'a +ue de acuerdo con su definici#n tam*i)n %odr ser F o =5 a %artir de ta' condici#n se definen ta'es o%eraciones en 'os si$uientes t)rminos:
D,JNC,ON! a 1is,unci(n es una !peraci(n &inaria de la ()ica Matemática definida entre DO %ro%osiciones & +ue da como resu'tado otra %ro%osici#n +ue ser =.RDAD.RA si a' menos una de 'as %ro%osiciones o%eradas es (erdadera en caso contrario es FA"A!
An'isis de 'a Definici#n: 1!- na definici#n se DA & se ace%ta COMO ('ida &a +ue de inicio es una de 'as R.G"A con 'as +ue se (a a tra*a4ar en cada rama de 'a matemtica! "o +ue se 'e %ide a 'a definici#n es +ue NO se contradi$a con e' cuer%o de conocimientos ace%tados & demostrados como ('idos +ue conforman a 'a matemtica como metaciencia! 2!- e define entre DO %ro%osiciones ? % ? & ? + ?! 3!- e re%resente mediante e' sím*o'o ? ∨ ? & se 'ee como ? o ?! Así: % ∨ +: se 'ee como: ?% o + ?! !- .' resu'tado es ORA %ro%osici#n característica Ieredada %or ser una O%eraci#n 8inaria! B!- iendo e' resu'tado de una dis&unci#n otra %ro%osici#n %or definici#n esta %uede ser F o =! !- Así esta O%eraci#n se define a %artir de (a'idar 'a %ro%osici#n resu'tante! !- "a +ue es F si am*as ? % & + ? son F simu'tneamente! !- Fina'mente con todas 'as com*inaciones +ue %odamos o*tener con 'os (a'ores de (erdad de 'as %ro%osiciones o%eradas se constru&e una ta*'a de (erdad 'a +ue nos define es+uemticamente )sta o%eraci#n en 'a forma si$uiente:
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p
-
p -
= = F F
= F = F
= = = F
#!N2UN#"!N' a #onjunci(n es una !peraci(n &inaria de la ()ica Matemática definida entre DO %ro%osiciones & +ue da como resu'tado otra %ro%osici#n +ue ser =.RDAD.RA si & so'o sí 'as %ro%osiciones o%eradas son (erdaderas simu'tneamente!
An'isis de 'a Definici#n: 1!- Nue(amente esta definici#n se DA & se ace%ta COMO ('ida de acuerdo a 'o ac'arado en e' %unto 1 de' an'isis %ara 'a dis&unci#n! 2!- e define entre DO %ro%osiciones ? % ? & ? + ?! 3!- e re%resente mediante e' sím*o'o ? ∧ ? & se 'ee como ? & ?! Así: % ∧ +: se 'ee como: ?% & + ?! !- .' resu'tado es ORA %ro%osici#n característica Ieredada %or ser una O%eraci#n 8inaria! B!- iendo e' resu'tado de una con4unci#n otra %ro%osici#n %or definici#n esta %uede ser F o =! !- Asi esta O%eraci#n se define a %artir de (a'idar 'a %ro%osici#n resu'tante! !- "a +ue es = si am*as ? % & + ? son = simu'tneamente en caso contrario es F! !- Fina'mente tam*i)n en este caso %odemos construir una ta*'a de (erdad 'a +ue nos define es+uemticamente )sta o%eraci#n en 'a forma si$uiente: p
-
p ∧ -
= = F F
= F = F
= F F F
9unto con esta DO o%eraciones 8inarias se define otra o%eraci#n +ue se a%'ica so*re una so'a %ro%osici#n es decir NO es una o%eraci#n *inaria! a' o%eraci#n es 'a N.GAC,ON 'a +ue se define en 'os t)rminos si$uientes:
NEGA#"!N a ne)aci(n de una proposici(n 3 p 3 dada+ es otra proposici(n +ue ser = si 'a %ro%osici#n o%erada es F & (ice(ersa es F si 'a ori$ina' es =! .sta o%eraci#n se re%resenta mediante e' sím*o'o ? ∼ ? & se 'ee como ? No @
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"a corres%ondiente ta*'a de (erdad es: p
p
=
F
F
=
.4em%'os: .fect>e 'as o%eraciones indicadas con 'as si$uientes %ro%osiciones! =a'íde'as! %1: "a suma es cerrada en 'os %ares! %2: .' %roducto es cerrado en 'os im%ares! %1 ∨ %2: "a suma es cerrada en 'os %ares o e' %roducto es cerrado en 'os im%ares! ; = < %1 ∧ %2: "a suma es cerrada en 'os %ares & e' %roducto es cerrado en 'os im%ares! ; = e 'as si$uientes o%eraciones! =a'íde'as! ati' %ara +ue ten$a sentido! .s de todos sa*ido & a'$una (e7 Iemos IecIo uso de ta' recurso +ue cuando +ueremos desacreditar o recIa7ar a'$o e' recurso inmediato es decir +ue ese a'$o ?NO ,.N. "OG,CA@! "o +ue esto si$nifica desde e' %unto de (ista '#$ico es +ue ese a'$o +ue estamos recIa7ando no %uede so%ortar un %roceso ri$uroso de an'isis '#$ico IecIo a %artir & con 'os conocimientos +ue asumimos todos %oseemos! .n todo caso ace%tar o recIa7ar e' conocimiento +ue continuamente nos est ''e$ando & ante e' cua' for7osamente tenemos +ue reaccionar im%'ica necesariamente un %roceso de an'isis '#$ico mu& minucioso! o'amente así estaremos en %osi*i'idad de recIa7ar o ace%tar como (erdadero ta' conocimiento! Fina'mente casi siem%re ta' conocimiento est e6%resado mediante una %ro%osici#n! /or otro 'ado %uesto +ue 'a (erdad NO es a*so'uta & menos 'a cotidiana &a +ue su (a'or se encuentra contaminado de a'$una forma %or e' conte6to %articu'ar de cada indi(iduo ace%tar o recIa7ar 'os conocimientos como (erdaderos mucIas (eces ''e$a a ser una cuesti#n %ersona' en 'a +ue 'os as%ectos su*4eti(os son determinantes! Fina'mente & de acuerdo con 'os estudios de 'a construcci#n de' conocimiento como e' fi'#sofo Kant so'amente 'as (erdades +ue se e6traen mediante 'as matemticas son a*so'utas %or 'o tanto & como e' títu'o 'o indica 'os conocimientos de nuestro inter)s & 'os +ue fina'mente mode'aremos sern >nica & e6c'usi(amente 'os Francisco Arratia Camus Página
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conocimiento matemticos! .s decir so'amente %ro%osiciones +ue in(o'ucren conocimiento de 'as matemticas sern 'os +ue estudiaremos & e(entua'mente (a'idaremos! AIora *ien LC#mo sa*er si un ra7onamiento es correcto! Dado +ue e' resu'tado de un ra7onamiento (a a estar e6%resado mediante una %ro%osici#n & esta %ro%osici#n (a a ser facti*'e de e6%resar mediante 'as o%eraciones '#$icas entonces si 'a ta*'a de (erdad asociada a 'a o%eraci#n es correcta e' ra7onamiento tam*i)n 'o ser desde e' %unto de (ista de 'a '#$ica!
A.NC,ON! odo conocimiento como resu'tado de un ra7onamiento de*e ser e6%resa*'e mediante 'as o%eraciones de 'a '#$ica matemtica! .s decir toda e6%resi#n de 'a '#$ica matemtica +ue in(o'ucre %ro%osiciones con4unciones dis&unciones &Po ne$aciones re%resenta un ra7onamiento & como &a 'o Iemos mencionado 'a (a'idaci#n de ta'es o%eraciones se rea'i7a mediante 'a corres%ondiente ta*'a de (erdad %or 'o tanto:
•
N RAZONAM,.N0O: er =.RDAD.RO si su ta*'a de (erdad 'o es tam*i)n inde%endientemente de 'os (a'ores de (erdad o fa'sedad de 'as %ro%osiciones in(o'ucradas en )'! ;Ra7onamiento 0auto'#$ico o 0auto'o$ía
/or 'o anteriormente dicIo so'amente 'os ra7onamientos tauto'#$icos sern de nuestro inter)s! /ero: LC#mo %odemos mode'ar un ra7onamiento! /ara 'o$rar 'o anterior es necesario identificar en %rimera instancia e' ra7onamiento MA e'ementa' +ue %ueda e6istir! .sto si$nifica a'$o así como identificar e' ra7onamiento mínimo %osi*'e +ue se %ueda dar! a' ra7onamiento mínimo es 'a ,NF.R.NC,A MA.R,A" ''amada tam*i)n sim%'emente inferencia '#$ica 'a cua' se define como:
,NF.R.NC,A MA.R,A"! .s 'a forma ms e'ementa' +ue ado%ta una Ra7onamiento en 'a "#$ica Matemtica! e define entre DO %ro%osiciones: na 'a %rimera ''amada Antecedente o Qi%#tesis & otra 'a se$unda Consecuente o 0esis! Dado +ue es 'a cone6i#n entre DO %ro%osiciones entonces nos da como resu'tado otra %ro%osici#n +ue ser = si am*as son = o si e' Antecedente es F inde%endientemente de' Consecuente! e re%resenta mediante e' sím*o'o ? → ? & se 'ee: ?i ! ! !.ntonces ! ! ! @ así en 'a inferencia ?% → +@ 'a 'eemos: i % entonces +!
De acuerdo con 'a definici#n anterior tendremos 'a si$uiente a*'a de =erdad +ue nos %ermite (a'idar una ,nferencia! p
-
p
= =
= F
= F
-
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F F
= F
= =
.4em%'o: Con 'as si$uientes %ro%osiciones constru&a 'as ,nferencias +ue se %iden! =a'íde'as! %: & 10 son n>meros %ares! +: 10 es un n>mero /ar! ameros im%ares! +: B 6 E es un n>mero im%ar! a
D.F,N,C,ON: Dos e6%resiones de 'a "#$ica Matemtica son e+ui(a'entes & re%resentan e' mismo ra7onamiento si tiene 'a misma ta*'a de (erdad! .s decir si %ara 'a misma com*inaci#n de (a'ores de (erdad de 'as %ro%osiciones in(o'ucradas e' resu'tado tiene tam*i)n e' mismo (a'or de (erdad!
"a definici#n anterior nos %ermite o*tener e' Mode'o Matemtico de 'a ,nferencia "#$ica! in entrara en deta''es diremos +ue ta' Mode'o est dado %or 'a e6%resi#n: ∼ % ∨ + Francisco Arratia Camus Página
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i em%'eamos 'as definiciones +ue Iemos dado %ara o*tener 'a a*'a de =erdad de esta e6%resi#n (eremos +ue es id)ntica a 'a de 'a ,nferencia "#$ica %or 'o tanto am*as son e+ui(a'entes %or 'o +ue 'a ,nferencia 'a %odemos e6%resar %ara efectos de an'isis mediante esta ecuaci#n! .9.RC,C,O No! ! O*teniendo 'a a*'a de =erdad (erifi+ue 'a identidad entre 'a ,nferencia "#$ica & 'a .cuaci#n anterior! AIora sí &a estamos en %osi*i'idad de Mode'ar Ra7onamientos! in em*ar$o: LC#mo %odemos traducir un ra7onamiento a una .cuaci#n de 'a "#$ica! .sto 'o (eremos en e' %unto si$uiente! ,!B!- "A "OG,CA D. "A D.MORAC,ON! "a "#$ica de 'a Demostraci#n es una de 'as %ocas ramas de 'as Matemticas +ue Ian trascendido a tra()s de' desarro''o de 'a Iumanidad & tiene como o*4eti(o:
CONF.R,R". A "O CONOC,M,.N0O MA0.MA0,CO "A CA0.GOR,A D. =.RDAD. A8O"0A .N /AR0,C"AR CON0.S0O!
.sto si$nifica +ue todo conocimiento matemtico +ue se desarro''a & %or consecuencia se enuncia como nue(o a medida +ue 'a ciencia a(an7a for7osamente de*e ca*er en e' %a+uete co$nosciti(o +ue en su momento es ace%tado como ta' & de*e a(enirse a 'as re$'as de' 4ue$o +ue en su momento estn esta*'ecidas! Cuando no se da este caso casi siem%re 'a 'ucIa %ara +ue ta' conocimiento se %reser(e a sido a costa de 'a %ro%ia (ida de 'os im%u'sores! .ntonces cuando un nue(o conocimiento es enunciado 'a inercia a ace%tar'o es e'e(ada & en %rimera instancia se *usca desacreditar'o mediante 'o +ue (endría a ser .' /rimer M)todo de Demostraci#n +ue es:
." CON0RA.9.M/"O Consiste *sica en %resentar un e4em%'o +ue nie$ue 'a ase(eraci#n +ue e' conocimiento est enunciando!
An'isis de' M)todo: 1!- .strictamente Ia*'ando este M)todo no es un M)todo %ara demostrar +ue A"GO es (erdadero sino %ara e(idenciar +ue ese A"GO es fa'so mediante e' fci' recurso de dar un e4em%'o +ue in(a'ida e' conocimiento de aIí su nom*re de Contrae4em%'o! .9.M/"O: %1: odos 'os %eces son o(í%aros! %2: odos 'os seres Iumanos tiene DO *ra7os! /3: oda funci#n continua es deri(a*'e! /: odo cuer%o +ue se de4e a 'a 'i*re acci#n de 'a $ra(edad tiende a caer! "a forma ms aca*ada en e' sentido de 'a %erfecci#n de un ra7onamiento es e' +ue se da en 'a Demostraci#n de un enunciado matemtico! Demostrar +ue una %ro%osici#n +ue encierra un conocimiento matemtico es (erdadera ser en %rimera instancia e' %unto de nuestro inter)s! .s decir nuestro tra*a4o ser efectuar una demostraci#n Francisco Arratia Camus Página
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& (erificar +ue e' ra7onamiento in(o'ucrado es '#$icamente correcto! De acuerdo con 'os estudiosos de' ema demostrar +ue una %ro%osici#n es =.RDAD.RA es 'a %rinci%a' acti(idad de' "#$ico! na (e7 +ue e' enunciado a su%erado 'a %rue*a continua de 'os Contrae4em%'os es decir una (e7 +ue ta' enunciado ?tiene (isos de ser (erdadero@ entonces (iene e' %roceso de Demostraci#n! Así de%endiendo de' enunciado en %articu'ar se em%'ear e' M)todo de Demostraci#n ms adecuado sin em*ar$o e' t)rmino adecuado en ocasiones im%'ica +ue nin$uno otro M)todo es a%'ica*'e %or 'as características intrínsecas de' enunciado mismo!
.' M)todo %or e6ce'encia de 'a demostraci#n matemtica es: M.0ODO D,R.C0O /arte de' consecuente o Qi%#tesis & em%'eado definiciones %ro%iedades &Po conocimientos %re(iamente demostrados a %artir de e''a formamos una cadena de ,nferencias "#$icas 'a +uede manera natura' nos ''e(a a 'a 0esis!
An'isis de' M)todo! 1!- .s e' M)todo de Demostraci#n %or e6ce'encia de 'a Matemtica! 2!- e dice +ue es un m)todo constructi(ista &a +ue e' conocimiento se constru&e mediante 'a demostraci#n! 3!- Nos ''e(a directamente de 'a Qi%#tesis a 'a esis! !- "a Qi%#tesis siem%re es (erdadera! B!- A %artir de e''a se deri(a una %ro%osici#n cu&a (eracidad de*e demostrarse! !- "a %ro%osici#n fina' siem%re es 'a esis! !- .' ra7onamiento es una auto'o$ía! .s decir su a*'a de =erdad siem%re es =erdadera inde%endientemente de 'os (a'ores +ue ado%ten 'as %ro%osiciones! !- .' M)todo se %'antea se$>n se muestra ense$uida: %:
;Qi%#tesis< % → %1 : ; O*tenida de %< %1 → %2 : ;O*tenida de %1< %2 → %3 : ;O*tenida de %2< ! ! ! %n → + : ;O*tenida de %n< _________ + ;esis
En se muestra ense$uida: [ % ∧ ; % → %1 < ∧ ; %1 → %2 < ∧ ; %2 → %3 < ∧ !
! ! ; %n → + < ]
→ +
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%3 < ∧ ! ! ! ; ∼%n ∨ + < ] ∨ +
.9.M/"O J .9.RC,C,O!ameros %ares es un n>mero %ar! %2: "a suma de dos n>meros im%ares es un n>mero %ar! %3: .' %roducto de dos n>meros %ares es un n>mero %ar! %: .' %roducto de dos n>meros im%ares es im%ar!
*
M.0ODO ,ND,R.C0O! .ste M)todo es seme4ante a' M)todo Directo con 'a (ariante de +ue 'a 0esis ne$ada se con(ierte en Qi%#tesis & esta ne$ada en a+ue''a definiendo así 'o +ue se conoce como ,nferencia Contra%ositi(a a %artir de 'a cua' se efect>a 'a demostraci#n!
An'isis de' M)todo! 1!- e %arte de 'a ,nferencia de' M)todo Directo dada %or: % → + 2!- e$>n 'a definici#n 'a inferencia uti'i7ada es: ∼+ → ∼% 3!- Am*as son an'o$as en e' sentido de +ue su ta*'a de (erdad es id)ntica! !- No se demuestra +ue +: 'a tesis sea (erdadera! B!- e demuestra +ue si ∼+ es (erdadera entonces ∼% tam*i)n 'o es! !- De 'o anterior se infiere +ue si % es (erdadera entonces + tam*i)n 'o es se$>n 'o dicIo en e' %unto 3! !- "a mecnica de 'a demostraci#n es 'a misma +ue %ara e' M)todo Directo! .9.M/"O: ti'i7ando e' M)todo ,ndirecto demuestre +ue: amero /AR! +: n es un n>mero /AR! % → + : i n2 es /AR entonces n tam*i)n es /AR! *mero irraciona' & 8 es un n>mero Raciona'! Francisco Arratia Camus
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+: A 8 es un n>mero irraciona'! % → +: i A es un n>mero ,rraciona' & 8 es un n>mero Raciona' entonces su suma A 8 es un n>mero irraciona'! No o*stante +ue 'os dos m)todos anteriores em%'ean e' mismo ra7onamiento en e' sentido de +ue sus ecuaciones %ro%osiciona'es tienen 'a misma ta*'a de (erdad como &a indicamos en e' M)todo ,ndirecto NO se demuestra D,R.CAM.N. 'a (eracidad de 'a esis *a4o e' su%uesto de +ue 'a Ii%#tesis sea (erdadera! /or 'o tanto este m)todo NO tiene e' mismo $rado de ace%taci#n +ue e' M)todo Directo sin em*ar$o dado +ue 'as %ro%osiciones como 'a de' e4em%'o NO admiten otra %osi*i'idad de demostraci#n este M)todo tiene +ue em%'earse como %rocedimiento a'terno de demostraci#n! De i$ua' manera e6isten otras %ro%osiciones +ue so'amente se %ueden demostrar mediante e' M)todo conocido como:
R.DCC,ON A" A8RDO ;CON0RAD,CC,ON< .ste M)todo consiste en construir una cadena de ,nferencias "#$icas tomando como Ii%#tesis de %artida 'a ne$aci#n de 'a tesis & en e' %roceso ''e$amos a una %ro%osici#n +ue se contradice con e' Ii%#tesis o con a'$una otra %ro%osici#n intermedia cu&a (eracidad &a Ia sido demostrada!
An'isis de' M)todo: 1!- "a seme4an7a con 'os anteriores es +ue tam*i)n es 'a construcci#n de una cadena de inferencias '#$icas! 2!- in em*ar$o NO se demuestra 'a (eracidad de 'a esis su%uesta 'a (eracidad de 'a Qi%#tesis! 3!- am%oco se infiere 'a (eracidad de 'a esis des%u)s de demostrar 'a (eracidad de 'a ne$aci#n de 'a Qi%#tesis *a4o e' su%uesto de 'a (eracidad de 'a ne$aci#n de 'a esis! !- .' M)todo %arte de ne$ando 'a tesis construir 'a cadena de inferencias '#$icas! B!- .n e' %roceso se ''e$a a una %ro%osici#n +ue se contradice con 'a Qi%#tesis de %artida o con a'$una otra %ro%osici#n cu&a (eracidad &a Ia sido demostrado! !- De a+uí se infiere +ue 'a ne$aci#n de 'a tesis NO %uede ser (erdadera es decir de*e ser fa'da! !- /or 'o tanto 'a esis no ne$ada de*e ser (erdadera! !- "a cadena de inferencias '#$icas se detiene cuando sur$e 'a contradicci#n & entonces o*tenemos 'as conc'usiones! .9.M/"O!ti'i7ando e' M)todo de Reducci#n a' A*surdo demuestre +ue ?"a Raí7 de 2 es un n>mero irraciona'@! .6isten %ro%osiciones +ue en su enunciado contiene di(ersas a'ternati(as como a+ue''as +ue se definen en e' cam%o de 'os n>meros rea'es como %or e4em%'o: %: "a deri(ada fT;6< de una funci#n f;6< (a'uada en un %unto crítico es cero! A' %retender demostrar 'a (eracidad de esta %ro%osici#n de*emos de demostrar +ue 'as %ro%osiciones a'ternas: %1: "a deri(ada fT;6< de una funci#n f;6< (a'uada en un %unto crítico es ne$ati(a! %2: "a deri(ada fT;6< de una funci#n f;6< (a'uada en un %unto crítico es %ositi(a! son fa'sas! .n estos casos se em%'ea 'o +ue se conoce como M)todo de: Francisco Arratia Camus
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D,JNC,ON D. CAO! Consiste *sicamente en em%'ear a'$uno de 'os m)todos anteriores %ara cada una de 'as a'ternati(as +ue %uede ado%tar muestra %ro%osici#n a demostrar!
.9.M/"O: Demuestre 'a %ro%osici#n anterior em%'eando una Do*'e Reducci#n a' a*surdo! Fina'mente en Matemticas se %resentan un serie de %ro%osiciones cu&a (a'ide7 est restrin$ida a 'os e'ementos de un con4unto %re(iamente definido! /or e4em%'o sean 'as %ro%osiciones: %1: "a uma de 'os %rimeros ?n@ natura'es est dada %or: ;n<;n1
n su*con4unto de e''os! AIora +ue si e' con4unto de (a'ide7 es finito demostrar 'a (eracidad de 'a %ro%osici#n se o*tiene mediante (erificaci#n directa %or e4em%'o si decimos +ue: %3: "a suma de 'os %rimeros B0 natura'es es 12B! /ara com%ro*ar su (eracidad *asta con efectuar 'a suma! .m%ero si e' con4unto es infinito ta' (erificaci#n %or (a'idaci#n directa adems de no %oderse efectuar carece de sentido %or 'o tanto se %'antea 'a %re$unta: LC#mo %odemos demostrar este 'a (eracidad de este ti%o de %ro%osiciones! "a res%uesta a ta' %re$unta es +ue ta' demostraci#n se efect>a mediante e':
M.0ODO D. ,NDCC,ON MA0.MA0,CA! ea %;6< una %ro%osici#n definida en a'$>n con4unto *ien ordenado 8! 1! i ta' %ro%osici#n se cum%'e %ara e' %rimer e'emento! & 2! i su%oniendo +ue ta' %ro%osici#n se cum%'e %ara e' e'emento ?U@ 3! /odemos demostrar +ue se cum%'e %ara e' e'emento ?U1@ .ntonces ta' %ro%osici#n se cum%'e %ara todo e'emento U de' con4unto 8!
An'isis de 'a definici#n: 1!- "a %ro%osici#n se enuncia en un con4unto 8 8ien Ordenado +ue es a+ue' +ue: a
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E2E%#"#"!S'
1! O8VN "A A8"A D. =.RDAD D. "A ,G,.N. .S/R.,ON. /RO/O,C,ONA".: • ;% ∧ +< ∨ %T ∨ +T • ;% ∧ +< ∨ %T • ;% ∧ +T< ∨ ;%T ∧ +< • ;% ∧ + ∧ r< ∨ ;%T ∧ + ∧ rT< ∨ ;%T ∧ +T ∧ rT< 2! =.R,F,CA W. CADA NA D. "A ,G,.N. .S/R.,ON. . NA AO"OGXA! • %⇒ % • % ∧ ; % ⇒ +< ⇒ + • %T⇒ ; % ⇒ +< • Y;% ⇒ +< ∧ ;+ ⇒ r< ⇒ ;%⇒r< • ;% ⇒ +< ⇒ [Y% ∨ ;+ ∧ r< ⇔ +∧ ;% ∨ r<}
E2E%#"#"!S P%!PUES$!S' %esuelve los si)uientes ejercicios en tu cuaderno' 0'45 i 'a %ro%osici#n ;;∼% ∧ +< r<↔ ;% ∨ ∼%< es (erdadera & =";r
si$uientes %ro%osiciones: %: 6H0 es 'a >nica so'uci#n de 'a ecuaci#n 62 6H0 +: 6H0 es una so'uci#n de 'a ecuaci#n 62 6H0 r: "a ecuaci#n 62 - 1H0 tiene so'uci#n en e' con4unto de 'os n>meros rea'es
.ncuentra e' (a'or '#$ico de 'as %ro%osiciones: i< ;% ∧ +<∨ r ii< % ∧ ;+∨ r< iii< ;% ∧ +<↔ ∼ r i(< ;∼r<→;;∼% < ∧ +< 7'45 i 'a %ro%osici#n ;%∨+<→;r∧%< es fa'sa & =";+
,
p
r
; % → +< es fa'sa encuentra e' (a'or '#$ico %ara: p -5
-
,
p -5
iv) =";%< H 1 =";+< H 0 & =";r< H 1 p -5 r p -5 r
p
5 encuentra e' (a'or '#$ico %ara: p r5
-
p5
;'45 Cinco ami$os com%iten una carrera en 'a +ue no Iu*o em%ates & cada uno Iace su dec'araci#n a' ''e$ar
meta! .sta*'ecer e' orden de ''e$ada si cada uno di4o a' menos una (erdad en su dec'araci#n: Francisco Arratia Camus
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a 'a
ito: Die$o: /ato: 9uan: antia$o:
9uan ''e$# %rimero & &o se$undo 9uan ''e$# se$undo & &o cuarto antia$o ''e$# +uinto & &o tercero /ato ''e$# %rimero & &o +uinto 9uan ''e$# tercero & &o cuarto
<'45 n
.studiante de' Co'e$io anta Cru7 de CIicureo +ui7o ser detecti(e & se %one a in(esti$ar un crimen''e$ando a com%ro*ar +ue 'as si$uientes anotaciones +ue rea'i7# son todas (erdaderas: .' ma&ordomo de 'a casa o 'a es%osa de' difunto cometieron e' asesinato i e' ma&ordomo cometi# e' asesinato entonces este no ocurri# antes de 'a medianocIe i e' testimonio de 'a es%osa es (erdadero entonces e' asesinato ocurri# antes de medianocIe i e' testimonio de 'a es%osa es fa'so entonces 'a 'u7 de casa no se a%a$# a medianocIe "as 'uces de casa se a%a$aron a 'a medianocIe & e' ma&ordomo no es mi''onario LC#mo determin# +ui)n es e' asesino
Francisco Arratia Camus
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