Clase 1 - Logica Proposicional

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Clase 1 - Logica Proposicional  Home Uploaded by Carolina López Jaramillo 

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Taller de Logica 1

Tablas de Verdad

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Ejemplo de Sesion de

Universidad de las Américas Instituto de Matemáticas, Física y Estadística Clase 1: Lógica proposicional Segundo semestre de 2011

1

Objeti Objetiv vos de apre aprend ndiz izajes ajes

1.- Clasi…car las proposiciones y conectivos lógicos 2.- Distinguir Tautología, contradicción y contingencia 3.- Relacionar la lógica con el lenguaje usual 4.- Resolver problemas usando las propiedades de las lógica proposicional

2 2.1 2.1

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Lógi Lógica ca Propo Proposi sici cion onal al Intr Introdu oducc cció ión n

Una de las di…cultades para la comprensión de las matemáticas es la barrera del lenguaje matemático. La lógica es la ciencia que trata de las leyes, modos

Actividad_6_Traba (1)

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La lógica matemática o simbólica es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. Un gran matemático llamado Leibnitz había previsto la importancia de la lógica simbólica para toda la matemática, e hizo considerables progresos en la época aúnque solo en la segunda década del siglo XX consiguió la lógica matemática rango de capítulo principal de la matemática. Leibnitz imagino un "tipo de matemáticas universales" expresada a través de símbolos y a reglas adecuadas de combinación, enunció las propiedades principales de la adición y la multiplicación lógica, la negación, la identidad de ciertas propiedade. Finalmente en 1854 con Boole nacio la lógica simbólica y su formalización. En 1906 MacColl en su obra "Symbolic logic and its aplications" se preocupo de las expresiones verbales y sus signi…cados, de tal manera que no se produjeran contradicciones 2 . En nuestro curso, nosotros nos enfocaremos en la comprensión del lenguaje lógico, así como también en el algebra de proposiciones.

3

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Elementos de la Lógica Proposicional

Una proposición ( p;q;r;s;t; etc.) es una aseveración cuyo valor de verdad es Falso (F ) o Verdadera (V ). Ejemplo 1 124 es un número divisible por 4 (Proposición) Ejemplo 2 ¿Cuál es la hora a la que …naliza la clase? (No es proposición) Ejemplo 3 1 + 1 = 2 (Proposición, Verdadera) Ejemplo 4 1 < 3  2 (Proposición, Falsa) Ejemplo 5 Existe un número real x tal que x100  57x53  25x7 + 500 = 0

es una proposición, aunque determinar su valor de verdad requiere de un


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Ley del tercero excluído: Cada proposición es verdadera o falsa Ley de contradicción: ninguna proposición es verdadera y falsa A continuación señala cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles no: Enunciado x+y =1 Es Verano 2 + ( 1) = 1 2  12 = 1 Parece que va a llover

4

Proposición No proposición

Conectivos

Los conectivos son símbolos que nos permiten vincular (unir) proposiciones (proposición compuesta) Ejemplo 6 y ( ^), o ( _), entonces ( )), si y solo si ( ()), etc.

5

Tablas de Verdad

Nos permiten analizar los distintos valores que se obtienen en las proposiciones compuestas. 5.0.1

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Negación:

Sea p una proposición, y p la negación de p, es decir si p es una proposición falsa entonces p es una proposición verdadera, así como si p es verdadera entonces p es una proposición falsa, esto lo podemos describir en una tabla de verdad siguiente: p V F

p F V


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Ejemplo 7 Consideremos la siguiente proposición (Falsa): p : 3 < 2

Así la negación de la proposición: p : _____

Sean p y q proposiciones, de…nimos: 5.0.2

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Conjunción ( p ^ q )

Consideremos las siguientes proposiciones: p : Los gatos son mascotas q : Los perros son mascotas

Entonces podemos a…rmar que: Los perros y los gatos son mascotas: p ^ q Para analizar los valores de verdad de esta proposición compuesta, consideremos el siguiente ejemplo: "La Universidad entregará un obsequio a cada estudiante en la o…cina 801, para el retiro se solicita el carnet de identidad y el comprobante de matrícula del estudiante" Diremos que es la proposición compuesta p ^ q es verdadera si y solo si p y q son verdaderas: p V V F F

q V F V F

p^ q V F F F


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5.0.3

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La proposición p _ q es verdadera si al menos una de las componentes p o q es verdadera, también si ambas son verdaderas

Disyunción ( p _ q ):

p V V F F

5.0.4

q V F V F

q V F V F

p =) q V F V V

Disyunción exclusiva ( p Y q ): p V V F F

5.0.6

p_ q V V V F

Implicancia ( p =) q ): p V V F F

5.0.5

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q V F V F

pY q F V V F

Equivalencia ( p () q ):

También usado frecuentemente como " p si y solo si q ": p V V F F

q V F V F

p () q V F F V


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Observación 10 ( p _ q )  ( p =) q ) ; basta notar que ambas tablas de verdad coinciden.

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Observación 11 (( p =) q ) ^ (q =) p)) () ( p () q ) ; al igual que antes basta notar que ambas tablas de verdad coinciden.

6

Tautología, contradicción y contingencia

Diremos que una proposición compuesta es: 1. Tautología: Si es siempre verdadera independiente del valor de cada proposición. 2. Contradicción: Si es siempre falsa independiente de los valores de verdad de cada proposición. 3. Contengencia: Si no es Tautología, contradicción. Ejemplo 12 Determinar si la siguiente proposición compuesta p =) ( p ^ [ p _ q ])es o no Tautología Solución : Realizamos la tabla de Verdad: p V V F F

q V F V F

p_ q V V V F

p ^ [ p _ q ] V V F F

p =) V V V V

( p ^ [ p _ q ])

de lo cuál concluímos que la proposición es una Tautología Ejemplo 13 Pruebe si la siguiente proposición ( p =) q ) =) ( p ^ q )es o no una Tautología: Solución : p V V

q V F

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q F V

p =) q F V

p^q V F

p ^ q ( p =) q ) =) ( p ^ q ) F V V V


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Ejemplo 14 Veri…que que (( p =) q ) ^ (q =) p)) () ( p () q ) |

{z

}



es una tautología a través del uso de una tabla de Verdad. Ejercicio 15 Solución: p q p =) q q =) p ( p =) q ) ^ (q =) p) p () q V V F F

V F V F

V F V V

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V V F V

efectivamente es tautología.

V F F V

V F F V



V V V V


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