TEK614102 KALKULUS II Ahmad Shulhany Semester II, 2016/2017 23&24 Februari 2017
Ahmad Shulhany •
Gedung letter U, Lt. Lt. 2, ruang dosen
•
HP. 089628306141
•
E-mail:
[email protected]
Ahmad Shulhany •
Gedung letter U, Lt. Lt. 2, ruang dosen
•
HP. 089628306141
•
E-mail:
[email protected]
Silabus TEK614102 • •
•
• •
•
• •
•
•
Integral Fungsi transenden Teknik pengintegralan Integral tak wajar Penggunaan Integral Integral Persamaan Persamaan diferensial biasa Penggunaan persamaan persamaan diferensial Integral ganda Suplemen: Teori graf dan supply chain management Suplemen: Membuat karya tulis ilmiah matematika sederhana
Tujuan Umum Perkuliahan Perkuliah an Setelah mengikuti perkuliahan Kalkulus II, mahasiswa diharapkan memiliki: 1. Keterampilan Keterampilan teknis baku baku dan keterampilan keterampilan matematis matematis praktis yang didukung oleh fakta, konsep, prinsip, prosedur, dan penalaran yang sesuai; 2. Pola berpikir yang kritis, logis, logis, dan sistematis, serta kreativitas dalam pemecahan masalah yang terkait dengan matematika, khususnya kalkulus; 3. Kemampuan mengkomunikasikan mengkomunikasikan hasil pemikiran pemikiran dan pekerjaannya pekerjaannya baik secara lisan maupun tulisan; 4. Kesiapan untuk mempelajarai mata kuliah lain, yang memerlukan matematika kalkulus sebagai prasyarat, secara mandiri.
Penilaian •
•
•
•
•
UAS, 8 Juni (kimia) 9 juni (elektro), seluruh materi, 40% UTS, 13 April, materi sebelum UTS, 30% Ujian re-evaluasi, 15 juni (kimia) 16 juni (elektro), bagi mahasiswa yang mendapat nilai D atau E, seluruh materi, penilaian sesuai kebijakan dosen Kuis, waktunya waktunya tidak tentu, maksimal 5 kali, 20% Tugas individu, tugas kelompok, kehadiran dan keaktifan di kelas, 10%
Tambahan nilai 1. Membuat artikel ilmiah matematika matematika sederhana, 10% 2. Memenangkan perlombaan, sesuai kebijakan kebijakan dosen, <10%
Jadwal dan Interval Nilai •
Teknik Kimia Kelas A, kamis 7.30 – 10.00
•
Teknik Kimia Kelas B, kamis 10.00 - 12.30
•
Teknik Kimia Kelas C, kamis 13.10 - 15.40
•
Teknik Elektro Kelas A, kamis 7.30 – 10.00
•
Teknik Elektro Kelas B, kamis 13.10 - 15.40
Interval Nilai dalam Huruf
80 ≤ ≤ 100; 73 ≤ < 80; 65 ≤ < 73; 57 ≤ < 65; 50 ≤ < 57; 35 ≤ < 50; 35 ≤ ≤ 0.
Buku Referensi •
•
•
Dale Varberg, Edwin Purcell, and Steve Rigdon. Calculus, Prentice Hall, 2007. Edisi ke-9. G.B. Tomas. Calculus Pearson Education, lnc. 2006. 12 th Edition. James Stewart, Calculus, Brooks/Cole Publishing Company, 1999, 4th ed.
•
Koko Martono, Kalkulus, Penerbit Erlangga, 1999.
•
Frank Ayres, Calculus, Schaum Outlines, 2006, 4 th ed.
•
Slide perkuliahan Kalkulus I dan Kalkulus II oleh Prof. Hendra Gunawan.
Ada Pertanyaan?
Pra-Materi •
Turunan
Kecepatan Sesaat Misalkan terdapat sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus menurut persamaan x=x (t ), dengan x=x (t ) menyatakan posisi benda tersebut pada saat t . Kecepatan rata-rata dari t=a s.d. t=b adalah
[ −()] V [a,b]= − Cat: Kecepatan rata-rata adalah jarak antara posisi pertama ke posisi kedua dibagi dengan jarak tempuhnya.
Kecepatan sesaat pada saat t=a adalah
() = lim , = lim → →
Contoh: Sebuah benda jatuh bebas dari ketinggian 100 m, sehingga tingginya pada saat t adalah ℎ = 100 4,8 . Berapakah kecepatannya pada saat = 1? Jawab:
ℎ ℎ(1) 4,8(1 ) 1 = lim = lim → → 1 1 = lim 4,8 1 = 9,6 / →
Misalkan kita mempunyai fungsi = () yang grafiknya cukup mulus, khususnya di sekitar = , sehingga mempunyai garis singgung di titik , (lihat gambar di samping). Gradien garis lurus yang melalui , dan , adalah
[ ] = ( ) Gradien garis singgung pada grafik = () di , adalah = lim →
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada kurva Jawab: Gradien garis singgungnya adalah
= di titik (1,1).
1 1 = lim = lim = lim 1 = 2 → → 1 → 1
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
1 = 2( 1)
1. Sebuah bisnis berhasil baik sedemikian sehingga keuntungan total (terakumulasi) setelah t tahun adalah 1000 rupiah. Berapa laju keuntungan sesaat (atau keuntungan marjinal) pada = 2 ? 2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y titik = 2,5.
= 3 2 di
Bentuk limit khusus yang sebelumnya dipelajari disebut sebagai turunan. Definisi: Fungsi = () dikatakan mempunyai turunan di a, apabila limit berikut ada:
lim →
Turunan f di a didefinisikan sama dengan limit ini, dan dilambangkan dengan f’ (a).
Catatan: Dengan substitusi
= ℎ kita peroleh ℎ = lim → ℎ
Asalkan limit ini ada.
= dan = 1. Kita hitung 1 1 ℎ 1 1 ℎ 1 = lim = lim = lim (2 ℎ) = 2 → → → ℎ ℎ
Contoh: Misalkan
Jadi, f mempunyai turunan di 1 dan f’ (1)=2.
Tentukan turunan dari
= menggunakan limit
Jawab: Cara 1
ℎ 2ℎ ℎ = = lim = lim = lim (2 ℎ) → → → ℎ ℎ = 2.
Cara 2
() () = = lim = lim = lim( ) = 2. → → →
Notasi
Dibaca
Karakteristik
aksen (prime)
Singkat tetapi tanpa peubah bebas
aksen (prime)
Singkat dan disertai peubah bebas
Notasi Leibniz disertai makna sebagai derivative (turunan)
Notasi Leibniz disertai nama fungsi
dari ()
Masukkan berupa = (), operatornya
dari
Notasi operator, fungsi, dan peubahnya
dot (titik)
Notasi Newton untuk turunan fungsi terhadap waktu
′ ′() ()
, keluarannya berupa ′
= ′()
Jika f mempunyai turunan di a, maka f kontinu di a.
Namun, sebaliknya tidak berlaku. Kekontinuan di a tidak menjamin adanya turunan di a.
Fungsi = () dikatakan terdiferensialkan pada interval buka (hingga atau tak-hingga) jika terdiferensialkan di setiap titik pada . Fungsi = () dikatakan terdiferensialkan pada interval tutup [,] (hingga atau tak-hingga) jika terdiferensialkan di setiap titik pada selang buka (, ), memiliki turunan kanan di dan turunan kiri di .
1. Jika () 2. 3. 4. 5. 6.
= (konstanta), maka ’() = 0. Jika () = (fungsi identitas), maka ’() = 1 . Jika = (fungsi pangkat dengan bilangan bulat positif), maka ′ = − . Aturan kelipatan konstanta: k = . . Aturan jumlah: = . Aturan hasil kali: . = . . .
7. Aturan hasil bagi:
′ =
− () [()]
Tentukan turunan fungsi berikut: 1.
2.
= ( 1). − g = . +
1. Jika () 2. 3. 4. 5. 6.
= sin , maka ’() = cos . Jika () = cos , maka ’() = sin . Jika () = tan , maka ’() = . Jika () = cot , maka ’() = . Jika () = sec , maka ’() = sec tan . Jika () = csc , maka ’() = csc cot .
Tentukan turunan dari: a. b. c.
() = . () = sin tan . ℎ() = cos.
Jika mempunyai turunan di dan mempunyai turunan di = (), maka ∘ mempunyai turunan di dengan
∘
= . .
Contoh:
= ( ) . Tentukan ′ . Jawab: Misalkan = = () dan = . Maka = ( ∘ )(). Di sini ′ = dan ′ = . Menurut Aturan Diketahui
Rantai,
() = . = [ ] . = ( ) .
Menggunakan Aturan Rantai, tentukan turunan dari:
= 1. b. = sin 4 . a.
Pada gambar di samping, tampak bahwa pertambahan sebesar ∆ pada
menyebabkan pertambahan sebesar ∆ pada , dengan ∆ = ∆ () Bagi kedua ruas dengan ∆, kita peroleh
∆ ∆ () = ∆ ∆
Jika ∆ →
∆ +∆ − () , maka lim ∆ = lim ∆ ∆→ ∆→
Leibniz menggunakan lambang
=
(), maka =
′()
= ′().
∆ untuk menyatakan lim . Jadi jika ∆→ ∆
Catatan: dalam notasi ini, merupakan satu kesatuan, bukan hasil bagi antara dan . Contoh : jika
= , maka = .
Dengan notasi Leibniz, Aturan rantai berbunyi: Jika = () dan = (), maka:
= . .
Contoh : misalkan = ( ) = dengan
= . Maka = . = . = ( ) .
() Turunan kedua () () Turunan ketiga ′′′ ′′′() () Turunan ke-4 () () () Turunan Pertama
′ ′()
()
Contoh:
()
Jika
() ()
…
Turunan ke-n
() () ()
()
= sin2 , maka = , = =
, , dst
1. Tentukan =
(). Tentukan .
2. Tentukan rumus umum turunan ke- dari
= .
Misalkan fungsi dari yang termuat secara implisit dalam bentuk , = . Turunan fungsi implisit adalah proses menentukan
turunan dengan menggangap merupakan fungsi dari dengan
menggunakan aturan rantai.
Contoh: Misalkan kita memiliki persamaan
=
dan ingin menentukan persamaan garis singgung pada grafik persamaan tersebut di (,). Masalahnya adalah bagaimana
menghitung , padahal kita tidak memiliki rumus eksplisist untuk dalam . Secara implisit, kita dapat menurunkan kedua ruas terhadap dengan menggunakan Aturan Rantai (dengan mengingat bahwa merupakan fungsi dari )
= =
Di titik
, , kita hitung
= =
Jadi persamaan garis singgungnya adalah
=
Atau
=
Dengan turunan fungsi implisit, kita dapat membuktikan Aturan Pangkat Rasional berikut:
= terdiferensialkan di setiap titik-dalam dari daerah asal fungsi turunan − dengan aturan = − . Jika bilangan rasional, maka fungsi
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva titik , . 2. Diberikan persamaan
=
= di
, tentukan dan .
= = disebut turunan (derivative) dari . Sedangkan disebut diferensial dari , sama halnya dengan merupakan diferensial dari . Diferensial merupakan selisih dari peubah (variabel). Jika = (), maka merupakan peubah bebas dan merupakan peubah terikat (pada ).
Turunan merupakan hasil pembagian antara dua buah variabel.
Pernyataan “turunan dari
adalah ” adalah benar.
Pernyataan “diferensial dari adalah ” adalah salah. Seharusnya “diferensial dari adalah dikali dengan diferensial ”. Ditulis ( ) = .
Aturan Turunan
Aturan Diferensial
= = = = = −
= = = = ( ) = −
Jika dan merupakan dua peubah yang berkaitan dan masing-masing
berubah terhadap waktu () , maka dan merupakan dua laju yang berkaitan.
Contoh: Air dituangkan ke dalam tangki berbentuk kerucut terbalik dengan laju 8 . Jika tinggi tangki tersebut adalah dan jari-jari permukaan atasnya , seberapa cepatkah permukaan air naik pada saat tingginya ?
Jawab: Misalkan menyatakan volume, jari-jari permukaan, dan tinggi air. Maka
Di sini
=
, sehingga
=
=
Turunkan kedua ruas terhadap , kita peroleh
= Diketahui = . Jadi, pada saat = , kita mempunyai =
4 sehingga
=
.
1. Sebuah pesawat terbang ke arah utara dengan laju 800 km/jam , melintas di atas Alun‐Alun pada pukul 12.00. Sebuah pesawat lain terbang ke arah timur dengan laju 750 km/jam , melintasi Alun‐Alun pada pukul 12.15. Jika kedua pesawat tersebut terbang pada ketinggian yang sama, seberapa cepat jarak di antara keduanya bertambah pada pukul 13.15? 2. Sebuah tangga yang panjangnya 2 m bersandar di dinding. Jika ujung bawah tangga ditarik sepanjang lantai menjauhi dinding dengan laju 0,2 m/detik, seberapa cepatkah ujung atas tangga bergeser menuruni dinding pada saat ujung bawah tangga berjarak 0,4 m dari dinding?
Dari ∆ = ∆ () diperoleh ∆ = ∆ () Jika hampiran untuk ∆ adalah ′()∆, maka hampiran untuk ∆ adalah
∆ ≈ ′()∆
Persamaan garis singgung di titik (,()) pada kurva adalah = ′()( ) atau = ′()( ).
Untuk = ∆ , persamaan ini dapat ditulis = ′()∆ , sehingga hampiran nilai fungsi dengan diferensial adalah hampiran dengan menggunakan nilai di garis singgungnya.
Contoh: Tentukan nilai hampiran
dari = ,
Jawab: Perhatikan fungsi
=
.
Nilai hampiran: . . =
= dengan = , = − , dan
= ≈ 27 28 27 =
Sebuah tangki percobaan terdiri dari tabung tegak berdiameter 20 cm dan tinggi 1 meter disertai dua buah setengah bola di bagian atas dan di bagian bawahnya. Jika tangki akan dilapisi cat setebal 1 mm, taksirlah banyaknya cat yang diperlukan dengan diferensial.
Karena yang diukur adalah diameter tabung, maka untuk diameter tabung cm tebalnya cat yang akan melapisi tabung adalah 0,2 cm. Volume tangki untuk diameter tabung cm dan tinggi tabung cm adalah
= = Akan ditentukan ∆ = ∆ () untuk = dan ∆ = , .
Berdasarkan hampiran diferensial,
∆ ≈ = ∆ = ∆ Untuk = 20 dan ∆ = 0,2 diperoleh ∆ ≈ = , = = =
Cara Lain: Dengan menghitung luas permukaan,
= . = . . . =
Karena tebal cat adalah 0,1 cm, maka memerlukan cat , = = .
1. Tentukan nilai hampiran
dari = .
2. Sebuah bola plastic mempunyai diameter 10 cm. bila tebal plastik tersebut adalah 0,2 cm , taksirlah volume udara di dalam bola tersebut dengan menggunakan diferensial. [Gunakan juga taksiran ≈ ]
Individu Membuat esai tentang integral. (Anti turunan, integral tak tentu, pengenalan persamaan diferensal, notasi jumlah dan sigma, integral tentu dan limit jumlah, teorema dasar kalkulus I, teorema dasar kalkulus II, sifat-sifat integral tentu, aturam penggantian pada kalkulasi integral, pengintegralan numerik)
Dengan ketentuan: Tulis tangan, kertas A4, dikumpulkan tgl 2 Maret (teknik kimia) dan 3 maret (teknik elektro) sebelum perkuliahan. Penilaian berdasarkan penjelasan yang detail dan lengkap.
