resume kalkulus semester 1

4

RESUME MATERI KALKULUS SEMESTER I
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Ujian Tengah Semester (UTS)

Dosen : Sukarni, ST

Disusun oleh :
Sarifatrurrohmah (5021201013)
Titien Lutfiana Sari (5021201014)
Marta Monika (5021201008)

JURUSAN TEKNIK INDUSTRI
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI
PONDOK MODERN SUMBER DAYA AT-TAQWA
(STT POMOSDA)
Nganjuk – Jawa Timur
Tahun 2012

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah memberi rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas ini dengan baik sembari juga sholawat salam kepada Nabiyallah Muhammad SAW yang syafa'atnya kita nantikan di hari akhir.
Penulis menyusun makalah ini dengan tujuan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Kalkulus dan juga penyusun mengharapkan agar makalah ini dapat bermanfaat dan menambah pengetahuan bagi penulis secara khusus juga kepada para pembaca secara umum.
Penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu dalam penyelesaian makalah ini, diantaranya kepada Bapak Sukarni,ST yang telah membimbing penulis dalam mata kuliah Kalkulus juga kepada kedua orang tua yang telah mendukung dalam bidang moril maupun materiil, juga kepada pihak yang telah membantu dalam pembuatan makalah ini yang tidak penulis sebutkan satu persatu.
Akhirnya penulis menyadari makalah masih jauh dari kata baik, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun guna perbaikan di masa yang akan datang.

Tanjunganom, 04 Desember 2012

Penyusun

DAFTAR ISI

Contents
KATA PENGANTAR 2
DAFTAR ISI 3
BAB I 4
PENDAHULUAN 4
Latar Belakang 4
Rumusan masalah 4
Tujuan 4
BAB II 5
PEMBAHASAN 5
SISTEM BILANGAN REAL 5
SISTEM BILANGAN 5
Bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional 5
1.2 Bilangan Real 6
SISTEM BILANGAN REAL 7
Sifat komutatif 8
Sifat asosiatif 8
Sifat distibutif 8
Hukum kanselasi 9
Sifat pembagi nol 9
HARGA MUTLAK 9
GARIS BILANGAN 10
ARITMATIKA MODULO 11
Teorema Euclidean 11
Algoritma Euclidean 12
Relatif Prima 12
Aritmetika Modulo 13
Kongruen 14
Teorema Fermat. 15
B. PERSAMAAN DAN GARIS SINGGUNG 17
Persamaan Garis Singgung Parabola Dengan Puncak (0,0) 17
Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m 17
Persamaan garis singgung parabola melalui titik (x1 , y1)x1, y1 19
Persamaan garis singgung parabola dengan puncak (a.b) 21
Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m 21
2. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) 23
III. FUNGSI DAN LIMIT 26
1 Teorema 26
2 Bentuk Tak Tentu 26
3 Limit Fungsi Aljabar 26
3.1 Bentuk 27
3.2 Limit Bentuk 27
3.3 Limit Bentuk 28
3.4 Limit Bentuk 29
4. Limit Fungsi Trigonometri 30
4.1 Limit Bentuk 31
4.3 Limit Bentuk 31
5 Limit Deret Konvergen 31
Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi 33
IV. TURUNAN / DIFERENSIAL 35
RUMUS RUMUS 35
PENGGUNAAN TURUNAN 35

BAB I
PENDAHULUAN

Latar Belakang
Buku ini memuat materi-materi dasar yang diperlukan dalam mempelajari kalkulus. Beberapa materi yang disampaikan hanyalah merupakan review, namun demikian ada pula beberapa yang masih baru.

Rumusan masalah
Berdasarkan uraian latar belakang diatas ,maka dapat di tentukan rumusan masalah dalam makalah ini seperti :
Apa yang dimaksud sistem bilangan real ?
Apa yang di maksud persamaan dan garis singgung ?
Apa yang di maksud fungsi dan limit ?
Apa yang di maksud turunan diferensial ?

Tujuan
Untuk mengetahui sistem bilangan real
Untuk mengetahui persamaan dan garis singgung
Untuk mengetahui fungsi dan limit
Untuk mengetahui turunan diferensial

BAB II
PEMBAHASAN

SISTEM BILANGAN REAL
SISTEM BILANGAN
Sistem bilangan adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang teristimewa dan penting adalah himpunan bilangan real. Tetapi apakah bilangan real itu dan bagaimana sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya diperlukan beberapa sistem bilangan yang lebih sederhana.
Bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional
Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli. Himpunan bilangan asli biasanya dinyatakan dengan A, namun banyak literatur menggunakan N (natural), yakni:. Jika ke dalam N ditambahkan elemen 0 maka terbentuklah yaitu himpunan bilangan cacah. Selanjutnya, jika himpunan bilangan cacah digabungkan dengan himpunan yang terdiri dari negatif bilangan-bilangan asli maka terbentuklah himpunan bilangan bulat yang biasa dinyatakan dengan B atau Z (Zahlen), yakni . Sehingga seringkali himpunan bilangan asli disebut dengan himpunan bilangan bulat positif.
Bilamana kita mencoba mengukur panjang, berat, tegangan listrik dan lain-lain, maka bilangan-bilangan bulat tidak memadai untuk memberi ukuran tersebut. Sehingga hasil bagi (rasio) dari bilangan bulat haruslah dipertimbangkan, yaitu bilangan-bilangan seperti: ; ; ; dan lain-lain. Selanjutnya didefinisikan suatu bilangan yang dinyatakan dengan p dan q bilangan bulat dan q 0, disebut bilangan rasional.
Himpunan bilangan rasional biasa dinyatakan dengan Q, maka himpunan bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai
Dalam perkembangan, ternyata bilangan rasional tidak cukup untuk menampung semua kebutuhan akan bilangan dalam matematika, tidak mampu mengukur semua ukuran panjang. Dari berbagai sifat bilangan rasional, ternyata ada titik-titik pada garis bilangan yang tidak bias dinyatakan dengan bilangan rasional
Perhatikan bahwa merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 1 satuan. Bilangan ini tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat atau untuk setiap p, q Z dan q 0, sehingga bukan bilangan rasional, demikian juga 3, 25, , dan lain-lain.
11Bilangan yang tidak dapat dinyatakan ke bentuk bilangan rasional diistilahkan dengan bilangan irrasional (IR).
1
1

1.2 Bilangan Real
Sekumpulan bilangan-bilangan rasional atau irrasional disebut himpunan bilangan real dan dinyatakan dengan R, sehingga himpunan bilangan real merupakan gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional. . Himpunan bilangan real dapat dipandang sebagai kumpulan titik-titik sepanjang sebuah garis lurus yang disebut garis bilangan real. Setiap titik menyatakan satu bilangan real atau setiap bilangan real dapat dinyatakan oleh sebuah titik dalam garis bilangan real.
01-1-223
0
1
-1
-2
2

3

Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan bulatBil. asliSecara umum himpunan bilangan real memuat himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional. Himpunan bilangan rasional memuat himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan bulat memuat himpunan bilangan asli. Hubungan tersebut dinyatakan dan Qc R dilukiskan seperti diagram disamping.

Bilangan Real

Bilangan Rasional

Bilangan bulat
Bil. asli
Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.
Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca "a elemen S". Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca "a bukan elemen S".
Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:

Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa untuk sebarang himpunan A.
Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting.
Himpunan semua bilangan asli adalah . Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya dan untuk setiap . Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z,

SISTEM BILANGAN REAL
Sebagaimana dijelaskan diatas bahwa sistem adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya, sehingga sistem bilangan real adalah himpunan yang terdiri dari bilangan real beserta sifat-sifat yang dimilikinya. Adapun beberapa sifat bilangan real akan diuraikan sebagai berikut, Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

2.1 Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Sifat komutatif
(i).
Sifat asosiatif

Sifat distibutif

(i).
(ii).
(iii).
(i).
(ii).
(iii).
(i). , untuk setiap bilangan .
(ii). tak terdefinisikan.
(iii). , untuk setiap bilangan .

Hukum kanselasi
(i). Jika dan maka .
(ii). Jika maka .
Sifat pembagi nol
Jika maka atau .
Elemen-elemen identitas
Elemen identitas terhadap penjumlahan adalah 0 yang memenuhi x + 0 = x, xR
Elemen identitas terhadap perkalilan adalah 1 yang memenuhi x1 = x, x R
Invers (balikan)
Setiap bilangan real x mempunyai balikan aditif (invers terhadap penjumlahan) yang disebut negative x atau -x yang memenuhi x + (-x) = 0
Setiap bilangan x mempunyai balikan perkalian (invers terhadap perkalian) yang disebut kebalikan atau x-1, yang memenuhi x x-1 = 1
2.2 Sifat-sifat Urutan
Trikotomi
Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu diantara yang berikut berlaku: atau x = y atau x > y
Ketransitifan : dan y < z x < z
Penambahan : x + z < y + z
Perkalian
Bilangan z positif, x < y xz < yz
Jika z negatif, x < y xz > yz

HARGA MUTLAK
Pada kepentingan tertentu, diperlukan bilangan yang selalu positif. Sebagai missal jarak suatu kota ke kota yang lain, jarak dari suatu titik ke titik yang lain. Dalam system bilangan real, bilangan yang tidak pernah negative didefinisikan sebagai harga mutlak
Definisi 1.1
Harga mutlak, dituliskan dimana x real adalah:
(1) = x , jika x > 0
(2) = -x , jika x < 0
(3) = 0 , jika x = 0
Beberapa sifat dari harga mutlak diberikan sebagai berikut:
(1) Untuk a dan b real, berlaku
(2) Jika a > 0 maka < a -a < x < a
Akibat dari sifat-sifat di atas adalah :
(3) Jika a > 0 , maka a -a x a
(4) Jika a > 0 , maka > a x < -a atau x > a
jika a > 0 , maka a x -a
(5) Jika a dan b real maka
(6) Jika a dan b real maka (disebut ketidaksamaan segitiga)
(7) Jika a dan b real, maka

GARIS BILANGAN
Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan dengan titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan dst. (Perhatikan Gambar 1.1.3)

2 1 0 1 2 3
2 1 0 1 2 3
Gambar 1.1.3
Gambar 1.1.3

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula Garis Bilangan Real.
ARITMATIKA MODULO
Teorema Euclidean
Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r
(remainder), sedemikian sehingga
m = nq + r (1)
dengan 0 r Contoh 2.
1987 dibagi dengan 97 memberikan hasil bagi 20 dan sisa 47,
yaitu 1987 = 97x20 + 47
–22 dibagi dengan 3 memberikan hasil bagi –8 dan sisa 2, yaitu –22 = 3(–8) + 2, tetapi –22 = 3(–7) – 1 salah karena r = –1 tidak memenuhi syarat 0 r
Pembagi Bersama Terbesar (PBB) (faktor persekutuan terbesar/FPB)
Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBB – greatest common divisor atau gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian sehingga d " a dan d"b. Dalam hal ini kita nyatakan bahwa PBB(a, b) = d.
Contoh 3.
Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45;
Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36; Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9 PBB(45, 36) = 9.
Algoritma Euclidean
Algoritma Euclidean adalah algoritma untuk mencari PBB dari dua buah bilangan bulat. Euclid, penemu algoritma Euclidean adalah seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam bukunya yang terkenal, Element.
Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m n). Algoritma
Euclidean berikut mencari pembagi bersama terbesar dari m dan n.
Jika n = 0 maka m adalah PBB(m, n) ; stop.
tetapi jika n 0, lanjutkan ke langkah 2.
Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya.
Ganti nilai m dengan nilai n dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali ke langkah 1.

Contoh 4. m = 80, n = 12 dan dipenuhi syarat m n

Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 4, maka PBB(80, 12) = 4.

Relatif Prima
Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBB(a, b) = 1.
Contoh 5.
20 dan 3 relatif prima sebab PBB(20, 3) = 1.
Begitu juga 7 dan 11 relatif prima karena PBB(7, 11) = 1.
Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima sebab PBB(20, 5) = 5 1.
Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga
ma + nb = 1 (2)
Contoh 6.
Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBB(20, 3) =1, atau dapat ditulis
2 . 20 + (–13) . 3 = 1 dengan m = 2 dan n = –13.
Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBB(20, 5) = 5 1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakan dalam m . 20 + n . 5 = 1.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Suatu bilangan positif d disebut kelipatan persekutuan terkecil bilangan a dan b jika :
d kelipatan a dan b, jadi a"d dan b"d
untuk setiap bilangan e kelipatan dari a dan b, maka d"e
Kelipatan persekutuan terkecil d dari bilangan a dan b dinotasikan dengan KPK(a,b)=d.
Aritmetika Modulo
Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca "a modulo m") memberikan sisa jika a dibagi dengan m.
Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r {0, 1, 2, …, m – 1}.
Contoh 7.
Beberapa hasil operasi dengan operator modulo:
23 mod 5 = 3 (23 = 5 x 4 + 3)
27 mod 3 = 0 (27 = 3 x 9 + 0)
6 mod 8 = 6 (6 = 8 x 0 + 6)
0 mod 12 = 0 (0 = 12 x 0 + 0)
– 41 mod 9 = 4 (–41 = 9 (–5) + 4)
– 39 mod 13 = 0 (–39 = 13(–3) + 0)
Penjelasan (v): Karena a negatif, bagi "a" dengan m mendapatkan sisa r'.
Maka a mod m = m – r' bila r' 0. Jadi "– 41" mod 9 = 5, sehingga –41 mod 9 = 9 – 5 = 4.

Kongruen
Misalnya 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3, maka dikatakan 38 13 (mod 5) (baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5).
Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a b (mod m) jika m habis membagi a – b.
Dengan kata lain, bilangan bulat a dikatakan kongruen dengan b modulo m jika a dan b memberikan sisa yang sama apabila dibagi m.
Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a / b (mod m) .
Contoh 8.
17 2 (mod 3) ( 3 habis membagi 17 – 2 = 15)
–7 15 (mod 11) (11 habis membagi –7 – 15 = –22)
12 / 2 (mod 7) (7 tidak habis membagi 12 – 2 = 10 )
–7 / 15 (mod 3) (3 tidak habis membagi –7 – 15 = –22)

a b (mod m) dapat pula dituliskan dalam hubungan
a = b + km (3)
yang dalam hal ini k adalah bilangan bulat.
Contoh 9 :
17 2 (mod 3) dapat ditulis sebagai 17 = 2 + 5 x 3
–7 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai –7 = 15 + (–2)11
Berdasarkan definisi aritmetika modulo, kita dapat menuliskan a mod m = r
sebagai a r (mod m)

Contoh 10.
Beberapa hasil operasi dengan operator modulo berikut:
23 mod 5 = 3 dapat ditulis sebagai 23 3 (mod 5)
– 41 mod 9 = 4 dapat ditulis sebagai –41 4 (mod 9)
– 39 mod 13 = 0 dapat ditulis sebagai – 39 0 (mod 13)

Teorema Fermat.
Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dengan p, yaitu PBB(a, p) = 1, maka ap–1 1 (mod p)
Contoh 11.
Kita akan menguji apakah 17 dan 21 bilangan prima atau bukan.
Kita mengambil nilai a = 2 karena PBB(17, 2) = 1 dan PBB(21, 2) = 1.

Untuk 17
217–1 = 65536 1 (mod 17) karena 17 tidak membagi 65536 – 1 = 65535 (65535: 17 = 3855).
Untuk 21,
221–1 =1048576 \ 1 (mod 21) karena 21 tidak habis membagi 1048576 – 1 = 1048575.

B. PERSAMAAN DAN GARIS SINGGUNG
Persamaan Garis Singgung Parabola Dengan Puncak (0,0)
Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m
Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola y2 = -4px dan : y = mx + b maka mx + b2= -4px
m2x 2+2mbx+b2+4px=0 x + b2 + 4px = 0
m2x 2+2mb+4pxx+b2=04p )x + b2 = 0
Garis menyinggung parabola y2 = -4pxy2=-4px, maka berlaku D = 0, sehingga b2 – 4ac = 0
42b2+4p2-4m2b2=0(2mb + 4p )2 – 4 m2 b2 = 0
42b2+4p2-16mbρ+16p2-4m2b2=0 = 0
16mbp =
mb =
16mbρ=-16p2 mb = - p
b =
Subtitusi b=-pm b = pada persamaan garis , diperoleh y = mx +
Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y2=-4px y2 = -4px dengan gradien m adalah y=mx-pm y = mx +
Misalnya titik P (x1, y1) px1y1 terletak pada parabola x2 = 4py x2=4py dan
: y = mx+b, maka x2=4pmx+b
x2=4pmx-4pb
Garis menyinggung parabola x2 = 4py, x2=4ρy maka beraku D = 0, sehingga: b2 – 4ac = 0
yxy1 = mx – pm 2y = mx + cP(x,y)
y
x
y1 = mx – pm 2
y = mx + c
P(x,y)
b2-4ac=0
16p2m2=-16pb
Subtitusi b=-pm2 pada persamaan garis y=mx-pm2, diperoleh y = mx
Jadi persamaan garis singgung pada parabola x2 = 4py x2=4py dengan gradien m adalah y = mx-pm2 y = mx
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel berikut ini:
No
Persamaan parabola
Persamaan garis singgung
1.
y2 = 4px
y = mx +
2.
y2=-4py
y=mx-pm
3.
x2=4py
y = mx-pm2 y = mx
4.
x2=-4py
y = mx+pm2

Persamaan garis singgung parabola melalui titik (x1 , y1)x1, y1
Persamaan garis singgung y melalui titik x1y1 P (x1, y1) yang terletak pada parabola y2=-4py, dapat dinyatakan sebagai:

Dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:
y2=-4px x=y2-4p
Dititik (x1, y1) x1, y1: : m = m= -2py2
nilai m = m= -2py2 m=-2py2 didistribusikan ke persamaan diperoleh

Dengan demikian persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
y1y = -2p (x +x1y-y1=-2py1x-x1 )y1y-y1=-2px+2px1

Persamaan garis singgung yang melalui titik x1y1 P (x1, y1) px1,y1 yang terletak pada parabola x2x2=-4py = - 4py, dapat dinyatakan sebagai
y-y1=mx-x1 dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:

x2=-4py dxdy=y-2p
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti pada tabel dibawah ini:
No
Persamaan parabola
1
y2y2=4py = 4px
y1 y =2p (x + x1)
2
y2 = - 4px
y1 y y1y=-2pxx+x1 = - 2p (x + x1)
3
x2x2=4py = 4py
x1x=2py+y1 x1 x = 2p (y + y1 )
4
x2x2=-4py = - 4py
x1x=-2py+y1 x1 x = - 2p (y + y1 )

Persamaan garis singgung parabola dengan puncak (a.b)
Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m
Untuk parabola dengan bentuk umum x-a2=4pmx+n-b (x – a)2 = 4p (y – b)
Dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan mensubstitusikan y = mx + n ke dalam persamaan parabola
(x –a)2 = 4p (y – b)
Subtitusi y = mx + n
(x –a)2 = 4p (mx + n – b)
x2 – 2ax + a2 = 4pmx + 4p(n - b)
x2 – 2ax + a2 – 4pmx – 4p(n – b) = 0
x2 – 2ax – 4pmx + a2 – 4p(n – b) = 0
x2 + ( -2a – 4pm)x + a2 – 4p(n – b) = 0x2+2a-4pmx+a2-4pn-b=0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D= 0
-2ax-4ρmx2-4.1.-4pn-b+a2=0 n-b=-ma+pm2 ( -2a – 4pm)2 – 4.1.(-4p(n – b ) + a2 = 0
4a2 + 16pma + 16pm2 + 16p ( n – b) – 4a2 = 0
16pma + 16p2m2 + 16p (n – b) = 0
--------------------------------------------------------------------- : 16p
ma + pm2 + (n – b) =0
(n – b) = -ma – pm2
n = -ma – pm2 + b
yxy-b = m(x-a) – pm 2y = mx + nP(x,y)Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p (y – b) diperoleh dengan cara mensubstitusikan nilai n = -ma – pm2 + b pada y = mx + n
y
x
y-b = m(x-a) – pm 2
y = mx + n
P(x,y)
y = mx + n
y = mx + ( -ma – pm2 + b)
y = mx – ma – pm2 + b
y – b = m( x – a ) – pm2

n=-ma+ρm2+b
y=mx+-ma+pm2+by=mx-ma-pm2+b
Untuk p dengan bentuk umum (y – b)2 = 4p( x – a) dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh garis singgungnya dengan mensubstitusikan garis y = mx + n ke dalam persamaan parabola
(y – b)2 = 4p( x – a)
((mx + n) – b)2 = 4p(x – a)
(mx – n) 2 – 2(mx + n)b + b2 = 4p( x - a)
m2x2 + 2mxn + n2 – 2mbx - 2bn + b2 = 4p( x – a)
m2x2 + 2mnx – 2mbx – 4px + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0
m2x2 + (2mn – 2mb – 4p)x + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0 y-b2=4ρx-a
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0
(( 2mn – 2mb) – 4p)2 – 4m2(4pa - 2bn + n2 + b2) = 02mn-2mb-4p2-4m22bn+n2+b2=0
4m2n2 – 8m2nb – 4m2b2 – 16mnp + 16mbp +16p2 – 16m2pa + 8m2bn – 4m2n2 – 4m2b2 = 02mn-2mb2-2 2m2-mb4p-16p2-16m2pa-8m2bn-4m2n2-4m2-b2=0
4m2n2-8m2bn-4m2-b2-16mnp+16mnp+16p2-16m2pa+8m2bn-4m2n2-4m2-b2=0 - 16mnp + 16mbp + 16p2 – 16m2pa = 0
---------------------------------------------------------- : 16p
- mn + mb + p – m2a = 0-16mnp+16mbp+16p2a-16m2pa=16p
- mn = - mb + m2a – p - mn-mb+p-m2a=0
- mn = m (ma – b) – p - mn=-mb-m2a-p
- mn=m ma-b-pn = - (ma – b) –
Subtitusi nilai n pd persamaan y = mx + n
y = mx + n
y = mx + (- ma + b) –
(y – b) = m(x – a) -

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel di bawah ini.
No
Persamaan parabola
1
(y-b)2=4p (x-a)(y – b)2 = 4p( x – a)
(y-b)=m(x-a)-pm
2
(y – b)2 = - 4p( x – a) (y-b)2=-4p (x-a)
y-b=mx-a+pm
3
(x-a)2=4p(y-b)
(y-b)=m(x-a)-pm2
4
(x-a)2=-4p(y-b)
y-b=mx-a+pm2

2. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1)(X1, Y1)
Persamaan garis singgung parabola (y – b)2 = 4p( x – a) (y-b)2=4p(x-a) di titik P (x1, y1)(X1, Y1)(X1, Y1)
y1-b2=4px1-a (y-b)2=4p (x-a)(y1 – b)2 = 4p( x1 – a)
y12 – 2by1 + b2 = (4p (x1 – a)
y12 = 2by1 –b2 + 4px(x1 – a) .........(i)
Persamaan garis singgung melalui P (x1, y1)(X1, Y1)(X1, Y1)
(X1, Y1) adalah (y – y1) = m (x – x1)............(ii)
(y-y1) = m (x-x1)…..(ii)Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
(y-b)2=4p1x-a x-a=14p1(y-b)2
Jadi m di titik P (x1, y1) = dydx=2-py1-b ……(iii)
Subtitusi (iii) ke (ii)
y-y1=m(x-x1) y-y1y1-b=2p(x-x1)
yy1–by-y12+by1=2p(x-x1)Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (IV)
yy1–by-y12+by1=2px-2px1
Persamaan garis singgung parabola (x-a)2=4p(y-b)(x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1, y1)
p (X1, Y1)
Persamaan garis singgung melalui p(x1, y1) (x1,y1) adalah
(y – y1) = m (x – x1)(y-y1)=m(x-x1) ……………….(ii)
Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
(x1-a)2=4p(y-b) (y-b)dx=14p.2(x-a) dydx=(x-a)2p
jadi m = m=dydx=x1-a2p
Subtitusi persamaan ini ke persamaan (ii)
(y-y1)=m(x-x1)
(y-y1)=x1-a2p(x-x1)2p(y-y1)=x1-a(x-x1)Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (iv)
2py-2py1=x2-xx1-x12-ax-ax1

xx1-2ax1—a2+4p(y1-b)-ax-ax1Jadi persamaan garis singgung parabola (x-a)2=4p(y-b)(x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1, y1)
(x-a)2=4p(y1-b) (x-a)(x1-a)=2p(y+y1-2p)(x – a) (x1 – a) = 2p (y +y1 - 2p)
Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti tabel dibawah ini:

No
Persamaan parabola
1
(y-b)2=4p(x-a) (y – b)2 = 4p( x – a)
(y – b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)
2
(y-b)2=-4p(x-a) (y-b)2=4p (x-a)(y – b)2 = - 4p( x – a)
(y – b) (y1 – b) = - 2p (x +x1 - 2a)
3
(x1-a)2=4p(y-b) (x-a)2=4p(y-b)(x – a)2 = 4p(y – b)
(x – a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)
4
(x1-a)2=-4p(y-b) (x-a)2=4p(y-b)(x – a)2 = - 4p(y – b)
(x – a)(x1 – a) = - 2p ( y + y1 -2b)

III. FUNGSI DAN LIMIT
1 Teorema
1. 4.
2. 5. dengan
3. , c = konstanta 6.
2 Bentuk Tak Tentu
Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :
1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu, misalnya : .
2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya :
3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :
Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu.
3 Limit Fungsi Aljabar
Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka
Contoh : 1.
2.
Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu yaitu : .

3.1 Bentuk
Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian "mencoret" faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

Catatan :
1. Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi dengan (x a)
2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 0
3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.
Contoh :
1.
2.
3.

3.2 Limit Bentuk
Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : .

Contoh :
1.
2.
3.
Kesimpulan:
Jika

maka: 1. untuk n = m
2. untuk n < m
3. atau - untuk n > m
4. (kesimpulan (1))
5. (kesimpulan (2))
6. (kesimpulan (3))
3.3 Limit Bentuk
Limit ini umumnya memuat bentuk akar :

Cara Penyelesaian :
1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

2. Bentuknya berubah menjadi
3. Selesaikan seperti pada (2.4.2)
Contoh:
1.

pangkat tertinggi pembilang 1, pangkat tertinggi penyebut 1, sebab
pangkat tertinggi pembilang 1, pangkat tertinggi penyebut 1, sebab

2.
pangkat tertinggi pembilang 2, pangkat tertinggi penyebut 1.
pangkat tertinggi pembilang 2, pangkat tertinggi penyebut 1.
Secara umum:

1) jika a = p
2) jika a > p
3) - jika a < p
3.
4.
5.
3.4 Limit Bentuk
Definisi :
Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :
x bilangan real1.

x bilangan real
2.
Contoh :
1.
2.
3.
4. Limit Fungsi Trigonometri
Teorema :
1.
2.
Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi, maka:
Contoh :
1.
2.
Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu : .
4.1 Limit Bentuk
1.
2.
3.

4.2 Limit Bentuk
Limit bentukdapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk .
Contoh :

4.3 Limit Bentuk
Limit bentukdapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk .
Contoh :

5 Limit Deret Konvergen
Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio (pembanding) : 1 < r < 1.
Teorema :
S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen
a : U1 : suku pertama
r : rasio, yaitu
Contoh :
1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :
a) b)
Jawab : a) b)
2. Hitung limit berikut :
a) b)
Jawab : a)
b)
3. Ubahlah menjadi pecahan biasa !
a) 0,6666 ..... b) 0,242424 .....
Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....
b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +
4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu !
Jawab : ...... (1)
U2 + U4 + U6 + ... = 4
ar + ar3 + ar5 + ... = 4
...... (2)

Persamaan (1) :
Rasio = dan suku pertama = 6
Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempat sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !

RDCSQ525255PBAJawab :
R
D
C
S
Q
52
52
5
5
P
B
A

Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2.Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2.Rasio luas = Jumlah semua bujursangkar =
Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2.
Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2.
Rasio luas =
Jumlah semua bujursangkar =

Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi
Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya jika .
Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu :
1. f(a) terdefinisi (ada)
2. terdefinisi ada
3.
Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung) di x =a.
yf(a)f(x)xaf(x) kontinu di x = a, sebab 1.Perhatikan gambar berikut :
y
f(a)
f(x)
x
a
f(x) kontinu di x = a,
sebab

1.

yf(a)f(x)xaf(x) diskontinu di x = a,sebab tidak ada2.
y
f(a)
f(x)
x
a
f(x) diskontinu di x = a,
sebab tidak ada
2.

f(x) diskontinu di x = a, sebab f(a)yf(a)f(x)xa3.
f(x) diskontinu di x = a,
sebab f(a)
y
f(a)
f(x)
x
a
3.

Contoh :
1. Tunjukkan bahwa fungsi kontinu di x = 1
Jawab : 1) f(1) terdefinisi
2) terdefinisi

3) Jadi fungsi kontinu di x =1.
2. Selidiki apakah fungsi kontinu di x = 3
Jawab : 1) (tidak terdefinisi)
Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3
3. Selidiki apakah fungsi
kontinu di x = 2
Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi)
2)
(terdefinisi)
3) , berarti f(x) diskontinu di x = 1

IV. TURUNAN / DIFERENSIAL

Turunan fungsi f adalah f ' yang nilainya pada
bilangan x dan didefinisikan oleh :

f ' ( x) lim f ( x + h) - f ( x )
h 0 h

untuk semua x dengan limit tersebut ada.

RUMUS RUMUS

PENGGUNAAN TURUNAN
Gradien garis singgung kurva.

Persamaan gradien garis singgung di kurva f (x) = f'(x) Gradien garis singgung di (a,b) adalah f'(a)
Mengetahui suatu fungsi naik/turun.
Untuk fungsi y = f(x) :
fungsi turun bila f'(x) < 0
fungsi naik bila f'(x) > 0
Menentukan titik stasioner/ekstrim
Fungsi y = f(x), maka
Titik stasioner terjadi di x = a dan y = f(a) bila f'(a) = 0. Selanjutnya
(a, f(a)) titik minimum jika f"(a) > 0
(a, f(a)) titik maksimum jika f"(a) < 0 (iii) (a, f(a)) titik belok jika f"(a) = 0
Bagaimana cara menentukan kecepatan ( v )dan percepatan ( a )

Bila jaraj tempuh S = S(t), maka Kecepatan v = dS/dt = S' percepatan a = dv/dt = dS2/dt2 = S"

resume kalkulus semester 1

Recommend Documents