Cbr Kalkulus II

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Critical Book Report adalah salah satu cara untuk mengkritik atau membandingkan isi buku satu sama lain untuk mengetahui kelemahan dan kelebihan suatu buku yang akan dikritik.Dalam kesempatan ini saya mengkritik dua buku,yaitu buku yang berjudul “Hitung Integral” karya Drs Wardiman dan diktat unimed dengan judul kalkulus integral karya Tim Dosen Matematika. Saya tertarik mengritik buku hitung integral karena saya ingin mendapatkan beberapa wawasan dari buku ini. Buku ini diterbitkan pada tahun 2000 oleh Hanindita Graha Widia di Yogyakarta. Belajar bagaimana menyeleaikan soal-soal matematika,terutama dalam hitung integral trigonometri.Sehingga mahasiswa dapat menyelesaikan soal integral dengan teori-teori,metode-metode dan contoh penyelesaian soal-soal yang terdapat di buku ini. 1.2 Permasalahan Sukar menyelesaikan soal-soal matematika terutama dalam menghitung integral trigonometri.

1.3 Tujuan Memenuhi tugas perkuliahan Mengetahui cara menyelesaikan soal-soal integral trigonometri yang sukar diselesaikan bagi mahasiswa.

BAB II PEMBAHASAN

A DATA BUKU NAMA PENULIS

: drs. Wardimaan

JUDUL BUKU

: Hitung Integral

TEMPAT TERBIT

: Yogyakarta

PENERBIT

: Buku Kedokteran EGC

TAHUN TERBIT

: 2003

JUMLAH KESELURUHAN HALAMAN

: 116 halaman

MATERI YANG DIKRITIK

: Integral Trigonometri

B. RINGKASAN MATERI Rumus-rumus

dalam

gonometri

yang

banyak

menyelesaikan integral adalah : 1.

𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1

2.

1 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

3.

1 + 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

4.

𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 2 ( 1 − cos 2𝑥 )

5.

𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =

6.

sin 𝑥 cos 𝑥 = sin 2𝑥

7.

sin 𝑥 cos 𝑦 = 2 [sin( 𝑥 − 𝑦 ) + sin ( 𝑥 + 𝑦 )]

8.

sin 𝑥 cos 𝑦 =

9.

cos x cos y = 2 [cos ( 𝑥 − 𝑦 ) + cos( 𝑥 + 𝑦 )]

1

1 2

( 1 + cos 2𝑥 ) 1 2

1 1 2

[cos( 𝑥 − 𝑦 ) − cos( 𝑥 + 𝑦)]

1

1

10. 1 − cos 𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛2 2 𝑥 1

11. 1 + cos 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑥

dipakai,sebagi

pembantu

dalam

1

12. 1 ± sin 𝑥 = 1 ± ( 𝑐𝑜𝑠 2 𝑝 − 𝑥) a)

Integral dari bentuk : ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡

( i ) Andaikan m bulat positif dan ganjil,misal m = 2k + 1,maka : ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑘 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 sin 𝑥 Sedang ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑘 𝑥 = ( 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 )𝑘 Jadi : ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑘 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = - ( 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 )𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑 (cos 𝑥 ) ( ii ) Andaikan bulat positif dan ganjil,misal n = 2k + 1,Maka : ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑘 𝑥 cos 𝑥 Sedang ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑘 𝑥 = ( 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 )𝑘 Jadi ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑘 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 ( 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 )𝑘 𝑑 (sin 𝑥 ) Contoh : 1. ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑑𝑥 Jawab : Disini cos x mempunyai pangkat ganjil,maka : ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 cos 𝑥 = (1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ) cos 𝑥 Jadi : ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥( 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ) cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 𝑑(sin 𝑥 ) 1

1

= 3 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 5 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + 𝐶 2. ∫ 𝑠𝑖𝑛3 3𝑥 𝑐𝑜𝑠 5 3𝑥 𝑑𝑥 Jawab : Oleh karenakedua suku mempunyai pangkat ganjil,maka kita rubah suku yang mempunyai pangkat terkecil. Jadi : ∫ 𝑠𝑖𝑛3 3𝑥 𝑐𝑜𝑠 5 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ ( 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 )𝑐𝑜𝑠 5 3𝑥 sin 3𝑥 𝑑𝑥 1

= − 3 ( 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 )𝑐𝑜𝑠 5 3𝑥 𝑑 (cos 3𝑥 ) 1

= 24 𝑐𝑜𝑠 8 3𝑥 −

1 18

𝑐𝑜𝑠 6 3𝑥 + 𝐶

( iii ) Jika m dan n bulat positif dan genap,maka integrial dari bentuk : ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥

Dirubah dengan menggunakan rumus-rumus : 1

1

𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 2 ( 1 − cos 2𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 2 ( 1 + cos 2𝑥 ) 1

sin 𝑥 cos 𝑥 = 2 sin 2𝑥 Contoh : ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 𝑠𝑖𝑛4 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (cos 3𝑥 sin 3𝑥 )2 𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 𝑑𝑥 =∫

𝑠𝑖𝑛2 6𝑥 1−cos 6𝑥 4

2

𝑑𝑥

1

= 8 ∫ ( 𝑠𝑖𝑛2 6𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 6𝑥 cos 6𝑥 )𝑑𝑥 = =

1 8 1 8

∫( ∫

1−cos 12 𝑥 2

𝑥

−

2

sin 12 𝑥 24

𝑠𝑖𝑛 2 6𝑥 cos 6𝑥 ) 𝑑𝑥 1

- 18 𝑠𝑖𝑛3 6𝑥 ) + 𝐶

( iv ) Jika m dan n biangan bulat negatif,misal m = -k dan n =-h,maka : ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫

𝑑𝑥

= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑘 𝑥 𝑠𝑒𝑐 ℎ 𝑥 𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑘 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥

=∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑘 𝑥 𝑠𝑒𝑐 ℎ−2 𝑥 𝑑 ( 𝑡𝑔 𝑥 ) = ∫(1+

=∫

1

𝑘 2

ℎ−2

) ( 1 + 𝑡𝑔2 𝑥 )2𝑑(𝑡𝑔 𝑥 ) 𝑡𝑔2 𝑥

𝑘+ℎ −1 ( 1+𝑡𝑔2 𝑥 ) 2

𝑑 ( 𝑡𝑔 𝑥)

𝑡𝑔 𝑘 𝑥

Dalam keadaan khusus,integral di atas direduksi menjadi bentuk : 𝑥 𝑑 (2 ) 𝑑𝑥 1 ∫ = ∫ 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑘 𝑥 2𝑘−1 𝑠𝑖𝑛𝑘 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑥 2 2

∫ Contoh : ∫

𝑑𝑥

= ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥

𝑝 2

𝑑 ( 𝑥+ ) 𝑠𝑖𝑛ℎ ( 𝑥+

𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2

2𝑥 𝑐𝑜𝑠4 2𝑥

Penyelesaian :1 ∫

𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥

𝑐𝑜𝑠4 2𝑥

= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 𝑠𝑒𝑐 4 2𝑥 𝑑𝑥

𝑝 ) 2

1 1 ∫ (1+ 2 ) ( 1 + 𝑡𝑔2 2𝑥 )𝑑 ( 𝑡𝑔 2𝑥 ) 2 𝑡𝑔 2𝑥

= 1

1

= 2 ∫ ( 2 + 𝑡𝑔2 2𝑥 + 𝑡𝑔2 2𝑥 ) 𝑑 (𝑡𝑔 2𝑥 ) 1

1

= tg 2x + 6 𝑡𝑔3 2𝑥 − 2 𝑡𝑔 2𝑥 + 𝐶 b. Integral dari bentuk : ∫ 𝑡𝑔𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Dimana m dan bulat,positif Bentuk integral dapat dirubah dengan menggunakan rumus : 𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 −1 atau 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 Contoh : ∫ 𝑐𝑡𝑔3 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑑𝑥 Penyelesaian : ∫ 𝑐𝑡𝑔3 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑡𝑔3 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑐𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 1

= − ∫ ( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 3 2𝑥 − 1 )𝑑 ( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝑥 ) 2

=

1 2

1

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝑥 − 6 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 3 2𝑥 + 𝐶

c. Integral dari bentuk : ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 ; ∫

sin 𝑚𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥; cos ∫ 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥

Didalam soal-soal ini digunakan rumus-rumus : 1



sin mx cos nx = 2 [sin( 𝑚 + 𝑛)𝑥 + sin(𝑚 − 𝑛)𝑥]



sin mx sin nx = 2 [cos(𝑚 − 𝑛) 𝑥 − cos(𝑚 + 𝑛)𝑥]



cos mx cos nx = 2 [cos(𝑚 − 𝑛)𝑥 + cos(𝑚 + 𝑛)𝑥]

1

1

Pembahasan Di buku wardiman hitung integral memiliki pendahuluan,tetapi dibuku diktat tidak memiliki pendahuluan. Dua buku ini memiliki konsep yang sama seperti rumus-rumusnya. Materi di buku diktat lebih mendalam daripada buku wardiman hitung integral. Di buku diktat memiliki variasi soal yang sulit dipahami,sedangkan buku wardiman hitung integral mudah dipahami bagi pembaca yang pemula untuk memahami integral trigonometri tersebut.

Kelebihan : 

Memiliki konsep materi yang sama seperti rumus-rumusnya



Memiliki metode yang sama untuk menyelesaikan soalnya



Memiliki variasi contoh soal

Perbedaan : 

Di buku diktat dijelaskan mendapatkan rumus integral tersebut,sedangkan di buku

wardiman hitung integral tidak dijelaskan. 

Dibuku diktat variasi soalnya lebih sulit dipahami,sedangkan buku wardiman tidak.

Kelebihan : 

Buku wardiman simple cara penjelasannya ,sedangkan buku diktat lebih terperinci.



Buku wardiman untuk menyelesaikan soal dengan menggunakan rumus umum yang

sudah terdapat dibuku ini,sedangkan buku diktat tidak.

Kekurangan 

Buku wardiman hitung integral banyak salah penulisan rumusnya dan membuat

pembaca tidak dapat memahami isi buku tersebut,sedangkan buku diktat tidak.

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan Buku hitung integral itu banyak mengalami kesalahan penulisan sehingga sulit dipahami bagi pembaca untuk memulai menyelesaikan soal soal integral.Metode dan prinsipnya buku wardiman dengan buku diktat ada kesamaan rumus-rumus umumnya dan pinsip-prinsipnya. 3.2 Saran Buku wardiman sebaiknya penulisan rumusnya diperbaiki untuk mudah dipahami bagi mahasiswa dan aplikasinya harus lebih banyak lagi.

DAFTAR PUSTAKA

Wardiman,dr.2000.Hitung Integral.Yogyakarta : Hanindita Graha Widia TIM MATEMATIKA UNIMED.Kalkulus Integral.Medan:Unimed