Kalkulus – 1
MODUL – 9 T U R U N A N LANJUTAN
di x = /2, turunan ini bernilai –6, yang karena itu merupaka kemiringan garis singgung yang diinginkan. Persamaan garis ini adalah…
y 0 6 x
2
CONTOH 3 Perhatikan kincir riang (Ferris wheel) yang jari-jarinya 30 kaki, berputar berlawanan berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan kecepatan sudut 2 radian/detik. Sebarpa cepat dudukan pada pelek naik (dalam arah tegak) pada saat ia berada 15 kaki di atas garis mendatar yang melalui pusat kincir ? Penyelesaian Kita dapat menganggap bahwa kincir berpusat di titik asal dan bahwa dudukan P berada di (30, 0) pada saat t = 0 (Gambar 3). Jadi pada saat t, P telah bergerak melalui sudut 2t radian, sehingga mempunyai koorinat (30 cos 2t, 30 sin 2t). laju pada saat P naik merupakan turunan koorinat tegak 30 sin 2t diukur pada nilai t yang sesuai. Menurut Contoh 2, Dx(30 sin 2t) = 60 cos 2t Nilai t yang sesuai untuk perhitungan turunan ini adalah t = /12, karena 30 sin (2 . /12) = 15. Kita menyimpulkan menyimpulkan bahwa bahwa pada t = /12, dudukan P naik naik pada.
60 3 / 2 51,96kaki per det ik 2
60 cos 2.
Sekali kita telah mengetahui turunan fungsi sinus dan kosinus, turunan fungsifungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan aturan hasilbagi. Hasil-hasil ini diringkaskan dalam Teorema B. untuk buktinya, lihat soal-soal 5-8. Teorema B Dxtan x = sec2 x
Dxcot x = csc2 x
Dxsec x = sec x tan x
Dxcsc x = -csc x cot x
Soal-Soal Dalam soal-soal 1-14, carilah Dxy, 1. y = 2 sin x + 3 cos x
2. Y = sin2 x
3. y = sin2 x + cos2 x
4. Y = 1 – cos2x
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I
1
5. y = sec x = 1/cos x 7. y tan x 9. y
6. Y = csc x = 1/sin x
sin x
8. y cos x
cos x
sin x cos x
sin x
sin x cos x
10. y
cos x
cos x
tan x
x cos x sin x
11. y = x2 cos x
12. y
13. y = tan2 x
14. Y = sec3x
x 2 1
15. Carilah persamaan garis singgung pada y = cos x di x =1 16. Carilah persamaan garis singgung pada y = cot x di y
4
17. Tinjaulah kincir ria (Ferris whell) pada contoh 3. Pada laju berapakah dudukan pada pelek bergerak secara mendatar ketia t =
/4 detik (yakni,
kapankah dudukan mencapai puncak kincir)? 18. Padang kincir ria berjari-jari 20 desimeter berputar berlawanan arah perputaran jarum pada kecepatan sudut sebesar 1 radian/detik. Satu dudukan pada pelek berada di (2-,0) pada saat t = 0. (a) Berapakah koordinatnya pada saat t = /6? (b) Seberapa cepatkah kenaikannya (secara vertikal) di t = /6? (c) Seberapa
cepatkah
kenaikannya
(secara
vertikal)
pada
saat
laju
percepatnya?. 19. Carilah persamaan garis singgung terhadap y = tan x pada x = 0 20. Carilah semua titik pada grafik y = tan 2 x di mana garis singgungnya horizontal. 21. Carilah semua titik pada grafik y = 9 sin x cos x di mana garis singgungnya horizontal 22. Anggaplah f(x) = x – sin x. carilah semua titik pada grafik y = f(x) di mana garis singgungnya mendatar. Carilah semua titik pada grafik y = f(x) di mana garis singgungnya memiliki kemiringan 2. 23. Perlihatkan bahwa kurva y =
2 sin xdan y
2 cos x Saling berpotongan
tegak lurus pada sebuah titik tertentu dengan 0 < x < /2.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I
2
24. Pada saat t detik, pusat sebuah pelampung gabus berada sejauh 2 sin t centimeter di atas (atau di bawah) permukaan air. Berapakah kecepatan pelampung pada saat t = 0, /2, ?
ATURAN RANTAI Bayangkan jika anda harus mencari turunan dari F(x) = (2x2 – 4x + 1)60 Pertama Anda harus mengalikan 60 faktor kuadrat 2x 2 = 4x + 1 dan kemudian mendiferensiasikan polinomial berderajat 120 yang dihasilkan. Atau, bagaimana dengan mencoba mencari turunan G(x) = sin 3x Kita mungkin dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mereduksinya menjadi sesuatu yang bergantung pada sin x dan cos a dan kemudian menggunakan aturan-aturan dari subbab sebelumnya. Untunglah terdapat cara yang lebih baik. setelah anda mempelajari Aturan Rantai, Anda akan mampu menuliskan jawaban. F‟*x0 = 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)
Dan G‟(x) = 3 cos 2x
Aturan
Rantai
sedemikian
mendiferensiasikan
fungsi
pentingnya tanpa
sehingga
menggunakannya.
Anda
akan
Tetapi
agar
jarang dapat
menyatakan aturan tersebut sebagaimana mestinya, kita perlu menekankan pentingnya x dalam cara penulsian D x ini. Notasi Dx
Lambang Dxy harus dibaca “turunan y terhadap x”; mengukur
seberapa cepat y berubah terhadap x. indeks bawah x menunjukan bahwa x diperlakukan sebagai perubah dasar. Jadi jika y = s 2x3, kita dapat menuliskan. Dxy = 3s2x2
dan
Dsy = 2sx3
Dalam kasus pertama, s diperlakukan sebagai konstanta dan x adalah peubah dasar; dalam kasus kedua, x adalah konstanta dan s adalah peubah dasar. Contoh berikut merupakan contoh penting. Andaikan y = u60 dan u = 2x 2 – 4x + 1. Maka Duy = 60u59 dan Dxu = 4x – 4. Tetapi perhatikan bahwa ketika
mensubstitusikan u = 2x2 – 4x + 1 dalam y = u60, kita dapatkan y = (2x2 – 4x + 1)60
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I
3
Dengan demikian cukup beralasan untuk mempertanyakan D xy. Apa Dxy bagaimana kaitannya terhadap D uy dan Dxu? Secara lebih umum, bagaimana Anda mendiferensiasikan suatu fungsi komposit ? Diferensiasi Fungsi Komposit
Jika Ida dapat mengetik dua kali lebih cepat
dari pada Tini da Tini dapat mengetik tiga kali lebih cepat dari pada Dono, maka Ida dapat mengetik 2 . 3 = 6 kali lebih cepat dari pada Dono. Kedua laju tersebut dikalikan. Tinjaulah fungsi komposit y = f(g(x). karena turunan menunjukkan laju perubahan, kita dapat mengatakan y berubah secepat Duy kali u u berubah secepat Dxu kali x Kelihatannya beralasan untuk menyimpulkan bahwa y berubah secapat Duy . Dxu kali x Ini memang benar dan kita akan menyarankan suatu bukti dalam subbab berikutnya. Hasilnya disebut Aturan Rantai. Teorema A Aturan Rantai Andaikan y = f(u) dan u = g(x). jika g terdiferenmsiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f o g, di definisikan oleh (f o g) (x) = f(g(x) terdiferensiasikan di x dan (f o g)‟(x) = f‟(g(x))g‟(x)
Yakni Atau
Dx (f(g(x)) = f‟(g(x))g‟(x) Dxy = DuyDxu Mungkin akan membantu jika anda mengingatnya dengan cara ini;
turunan fungsional komposit adalah turunan fungsi terluar yang dihitung pada fungsi yang lebih dalam dikali dengan turunan. Penerapan Aturan rantai
Kita mulai dengan contoh (2x 2 – 4x + 1)60 yang
diperkenalkan pada permulaan subbab ini. CONTOH 1 Jika y = (2x2 – 4x + 1)60, carilah Dxy Penyelesaian Kita memikirkan y sebagai pangkat 60 dari sebuah fungsi x; yaitu y = u60
dan u = 2x2 – 4x + 1
Fungsi terluar adalah u 60 dan fungsi yang lebih dalam adalah 2x 2 – 4x + 1, maka Dxy
= Duy ; Dxu = (60u59) (4x – 4) = 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I
4
CONTOH 2 Jika y = 1/(2x5 – 7), carilah Dxy Penyelesaian Pikirkanlah fungsi tersebut menjadi 1
y
u
3
u 3
u 2 x 5 7
dan
Jadi D x y Du y. D x u
4 4 = 3u 10 x
=
3 u
4
. 10 x
4
30 x 4 = (2 x 5 7) 4 CONTOH 3 Jika y = sin (x3 – 3x), carilah Dxy Kita boleh menuliskan
Penyelesaian
y = sin u dan u = x3 – 3x Karenanya, Dxy
= Dxy „ Dxu = (cos u) . (3x2 – 3) = [cos(x3 – 3x)] . (3x2 – 3) = (3x2 – 3) cos(x3 – 3x)
CONTOH 4
t 3 2t 1 Dt 4 t 3
13
Penyelesaian Pikirkanlah hal ini sebagai Dty, dengan menganggap y u
13
dan u
t 3 2t 1 t 4 3
Kemudian Aturan Rantai diikuti oleh Aturan Hasilbagi memberikan Dty = Duy . Dtu
t
4
13u
12
33t 2 2 t 3 2t 14t 3
t
4
3
2
12
t 3 2t 1 t 6 6t 4 4t 3 9t 2 6 . 13 4 4 2 t 3 (t 3) PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I
5
Anda akan segera mempelajari untuk membuat pengenalan dalam hati tentang peubah antara tanpa benar-benar menuliskannya. Jadi seorang pakar segera menuliskan. D x (cos 3 x) ( sin 3 x) . 3 3 sin 3 x
D x x 3 sin x
6
6 x 3 sin x53 x 2 cos x
4
3
t t cos3t t ( sin 3t )3 Dt 4 cos2 3t cos 3t cos3t 4t (cos 3t 3t sin 3t ) 3
5
cos 3t
Penerapan Aturan Rantai Lebih dari Sekali
Kadang-kadang ketika kita
menggunakan Aturan Rantai pada sebuah fungsi komposit, kita menemukan bahwa turunan dan fungsi yang lebih dalam juga memerlukan Aturan Rantai. Dalam kasus seperti ini, kita harus menggunakan Aturan Rantai untuk kedua kalinya. CONTOH 5 carilah Dxsin3(4x) Penyeelsaian Ingatlah bahwa sin3(4x) = [sin(4x)] 3, maka kita melihat hal ini sebagai sebuah fungsi kubik dari x. jadi, dengan menggunakan aturan “turunan
fungsi terluar dihitung pada fungsi yang lebih dalam dikali dengan fungsi yang lebih dalam”, kita memperoleh 3 31 D x sin ( 4 x ) D x [sin( 4 x)] D x [sin( 4 x)]
Laku kita menggunakan aturan rantai sekali lagi untuk turunan fungsi yang lebih dalam Dxsin3(4x)
= 2[sin(4x)]3-1 Dxsin(4x) = 3[sin(4x)]2 cos(4x) Dx(4x) = 3[sin(4x)]2 cos(4x)4 = 12 cos(4x) sin2(4x)
CONTOH 6 Carilah Dxsin[cos(x2)]. Penyelesaian Dxsin[cos(x2)] = cos[cod(x2)] . [-sin(x2)] . 2x = -2x sin(x2) cos[cos(x2)] CONTOH 7 Saat matahari terbenam dibelakang bangunan setinggi 120 kaki, bayangan bangunan bertambah. Seberapa cepat bayangan tersebut bertambah (dalam kaki per detik ketiak sinar matahari membuat sudut /4?. (lihat gambar 1).
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I
6
