BAB I RUMUS-RUMUS DASAR INTEGRAL
A. Pen Pendahu ahuluan luan
Konsep integral yang termuat dalam pokok bahasan ini akan membahas materi-mate materi-materi ri dasar yang pokok, pokok, khususnya khususnya materi materi dasar mengenai mengenai pengemban pengembangan gan konsep integral tak tentu. Dalam kegiatan belajar pertama akan di bahas tentang pengertian/ definisi tentang integral tak tentu, lalu dilanjutkan dengan mengenal berbagai rumus-rumus dasar integrasi yang kemudian digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam soal yang berkaitan dengan rumus-rumus dasar integrasi tersebut. Kemudian dalam kegiatan belajar yang kedua yang merupakan kelanjutan dari kegiatan belajar yang pertama akan di bahas mengenai integral parsial atau yang lebih dikenal dikenal dengan istilah integral integral sebagian-sebagian. Agar materi pada pokok bahasan ini dapat dikuasai dengan baik maka sangat diharapkan penguasaan materi khususnya materi Kalkulus I, Trigonometri, Aljabar Elementer dan sebagainya. Adapun tujuan pembelajarannya setelah perkuliahan materi pada pokok pokok bahasan ini diharapkan: a.
Dapat Dapat menj menjela elaskan skan konse konsep p dasar dasar inte integra grall tak tentu tentu
b.
Dapat menggunakan menggunakan rumus-rumus dasar integrasi integrasi
c.
Dapat menyelesaik menyelesaikan an soal-soal soal-soal yang berkaitan berkaitan dengan dengan rumus-ru rumus-rumus mus dasar dasar integrasi
d.
Dapat Dapat menje menjelas laskan kan defi definis nisii dari dari Integr Integral al Parsia Parsiall
e.
Dapat menyelesaik menyelesaikan an soal-soal soal-soal yang berkaitan berkaitan dengan dengan penggu penggunaan naan Integr Integral al Parsial
Kalkulus II
1
B. Ke Kegi giat atan an Bela Belaja jarr 1 1.
Inte Integr gral al Tak Tak Tert Terten entu tu (IND (INDEF EFIN INIT ITE E INTEG INTEGRA RAL) L)
Bila F(x) suatu fungsi yang mempunyai derivative F’(x) = f(x), maka F(x) disebut anti-derivative atau integral tak tertentu (indefinite integral) dari f(x), sedang f(x) disebut integran. integran. Integral tak tertentu dari suatu fungsi yang diketahui tidak tunggal. Contoh: x
3
3
x +7 x d dx
( x 3 )
3
d dx
adalah integral tak tertentu dari f(x) = 3x
2
adal adalah ah int integra egrall tak tak ter terten tentu dari ari f(x f(x)) = 3x 3x
2
2
– 9 adalah integral tak tertentu dari f(x) = 3x , karena ( x 3 7)
d dx
( x 3 9) 3 x 2. Maka integral tak tertentu dari f(x) = 3x
dapat ditulis secara umum x
3
2
konstan tanta ta integr integrasi asi + C, di mana C disebut kons
(constant of integration) yang sembarang. Untuk menyatakan integral tak tertentu dari f(x) ditulis dengan bentuk:
f ( x) dx Jadi,
3 x 2 dx x 3 C.
2. Rumus-Rum Rumus-Rumus us Integrasi Integrasi
d
1)
C. dx f ( x) dx f ( x) C.
2)
(u v) dx u dx
3)
tiap konsta stanta k u dx k u dx, k setia
Kalkulus II
v dx
2
4)
u
u m 1
du
m
du
m 1
C, m 1
5)
6)
a
7)
e du e
8)
sin u du cos u C
9)
cos u du
sin u C
10)
tg u du
ln sec u C
11)
ctg u du
ln sin u C
12)
se c u d u
ln sec u tg u C
13)
cosec u du
14)
sec
15)
16)
sec u tg u du sec u C
17)
cosec u ctg u du cosec u C
ln u C
u u
du
u
2
au ln a u
C , a 0 , a 1
C
ln co cosec u ctg u C
u du tg u C
cosec 2 u du ctg u C
Kalkulus II
3
18)
19)
20)
21)
22)
a
du
u2
2
du
a u 2
a
23)
24)
2
a
u a 2
du
a2
2
du 2
u2
du u 2 a2 du u2 a2
u
arc tg
a
arc sin
du
u
u
1
2
1
1 a
ln
2a
1
ln
2a
C
u a
C
ar c s e c
u a ua
u a ua
u a
C
C
C
ln u u 2 a2 C ln u u 2 a2 C
25)
u a 2 u 2 du 1 u a 2 u 2 1 a 2 arc sin C 2 2 a
26)
u 2 a 2 du 1
27)
u 2 a 2 du 1
2
2
u u 2 a2 1 u u 2 a2 1
2
2
a 2ln u u 2 a 2 C a 2 ln u
u 2 a2 C
3. CONTOH CONTOH-CO -CONTO NTOH H PENYE PENYELES LESAIA AIAN N SOAL Soal-Soal sesuai sesuai dengan rumus 1 s/d s/d 4
1.
2.
x dx 6
dx
x
3
x 7 7
C
x dx
Kalkulus II
3
x
31
3 1
C
1 2 x2
C
4
4
3.
4.
5.
4 z 3 3 3 z dz z dz C 3 4 z 3 C 4 3 1
dx 3
x
(2 x
x
2
2
2
2
x dx 1
3
3
C 3 x
1
3
C
3
5x 3) dx 2 x 2 dx 5 x dx 3 dx 2
5
3
2
x 3 x 2 3 x C
6.
1
(1 x) x dx x 2
x
3
(3 x 4)
2
dx 2
x
2
3
7.
2
5
5
2
x
3 2
dx
C
dx (9 x 2 24 x 16) dx
3 x 2 12x 2 16x C 8.
x 3 5 x 2 4 x
dx
2
(x 5 4x
2
1
4
2
x
x 2 5 x
) dx
C
9. Hitu Hitung ngla lah: h: a)
( x
3
b)
3
c)
d)
2) 2 3 x 2 dx ;
( x 2)
1
2
2
x dx ;
8 x 2 dx
( x
3
2)2
x 2 dx 4
x3 2
Kalkulus II
5
Penyelesaian: 3
Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan: u = x + 2, maka diferensial dari 2
u adalah: du = 3 x dx. a)
( x
u b)
3
2)2 3 x 2 dx
d u 1 u 3 C 1 ( x 3 2) 3 C . 3 3
2
( x 3 2)
1
2
2
( x 3 +2)
3
x 2 dx 1
2
9
c)
8 x 2 dx
( x
3
2) 2
1
du
2
2 9
3
u
2
C
C
8
x 2 dx ( x 3 2) 2
8 du
8
8
3
3( x 2)
u 1 C
d)
3
u
3 u2
C
3
x 2 dx
8 13 ( x 3 2) 3 3x 2 dx u 3 du 4 3 x 3 2
4 3 1 13 u 4 du (u 4 ) C 9 4
3
( x3 2) 4 C 9
10.
3 x
1 2 x 2 dx 2
Peny enyelesai esaiaan: Mi Misalk alkan
u = 1 – 2 x = u.
Maka
3 x 1 2 x 2 dx 3 3
du = - 4 x dx
4
u
1
2
x dx = -1/4 1/4 du
du 3
1 u 2 C 1 (1 2x 2 ) 2 C 2 2
Kalkulus II
6
11. Hitung Hitung::
( x 3) dx ( x 2 6 x )
1
3
Penyelesaian: 2
Misalk alkan: an: u = x + 6 x, x, maka du = (2 x + 6) dx atau du = 2 ( x x + 3) dx atau (x + 3) dx = ½ du
( x 3) dx ( x 2 6 x)
1
3
u
13
. 1 du 2
2
2
3 u 3 C 3 ( x 2 6x ) 3 C 4 4 12.
2 ( x 1) dx
1 1 ( x3 3x) 3 (3x 2 3) dx 3 ( x3 3x) 3
1
3
( x 3 3x )
13
d ( x 3 3x )
2 3 1 ( x 3 3x ) 3 C
32
2 1 ( x 3 3x ) 3 C 2
13.
( a x) x
2
dx ( a x ) 2 x
12
dx dx
2 ( a x ) 2 d ( a x ) 2
( a x)3 C 3
14.
x ( a
x )2 dx
x ( a 2 ax x) dx ( a x 2 x a x x ) dx
2 3
ax
3
2
x2 a
Kalkulus II
2 5
x
5
2
C
7
15.
x 2 2 x
( x 1)
2
dx
( x 1)
x
1 x 1
dx 1
2
dx
( x 1)2
( x 1)2 1
x2 2x 1 1
dx ( x 1) 1
2
C
Soal-soal sesuai dengan rumus 5 s/d 7
16.
17.
dx
x ln x C dx
3 dx
2 3 x 13
2 3x
13 18.
(2 ln x ) x
d (2 3 x) 2 3 x
13 ln 2 3 x C
dx
(2 ln x) d (ln x) (2 ln x) d (2 ln x) 3 1 (2 ln x) 2 C 2
19.
x dx
x
2
1
1
2
d ( x2 1) 1 2 x2 1 x2 1
2 x dx
1 2 ln x 2 1 C 20.
x 2 dx
1 2 x
21.
1 6
3
1 6 x 2dx 6
1 2x
3
1 1 2 x
3
6 1 2 x3
ln 1 2 x 3 C
(2 x 3) dx
1 2 x 2 x 2 dx 2 x ln x 2 C
Kalkulus II
8
22.
23.
( x 4) 4 ) dx 2 x 3
1 2x 8
2 2x 3
1
2 x 3
1
5
dx
1 2
2 x 3 5 2x 3
1
dx
5
dx 2 2 x 3 2 2x 3 dx
1
5
dx x ln 2 x 3 C 2 2 2 x 3 2 2
x
e x dx e d x e x C
24. 10 dx
10 x
x
e x dx
25.
26.
6e
27.
a e
x 3 x
ln10
C
2 e x d x 2 e
x
C
dx 2 e 3 x d 3 x 2 e 3 x C x
x
28.
x
ae dx ae dx C ln ae x
a x e x 1 ln a
e
x
C
3
1 e x dx,
Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan e 1 u du =e dx x
x
Maka:
e
x
29.
3
1 e x dx
u 3du =
1 4
u4 C
1
e 4
x
4
1 C
e 2 x dx
e
2 x
, misalkan e 2 x 1 u du 2 e 2 x dx. 1
Kalkulus II
9
Maka : e2x dx
e 1
30.
2 x
1
ln u +C +C 2
ln e 2 x 1 C
2
ae x b
ae
b
x
2
31.
1 du
1 2 u
e
ae x b
dx
x
1
ln
dx
ae x b
2 ae x ae x b ae x b
dx dx 2 ln
e x
1 e
x
e x 1 e x
dx
ae x b
C
ex
dx ln 1 e x C
C
oleh karena itu 1 e x 0 un untuk semua harga x, maka hasil integrasi dapat ditulis:
e
dx
x
1
1
32.
33.
e x dx
x 2
ln
e x 1 ex
C
1 dx 1 1 e x 2 e xd 1 x e x x
1 a 5 x e5 x a 5 x dx e5 x C 5 5 ln a
Soal-soal Soal-soal sesuai sesuai dengan dengan rumus rumus 8 s/d 17 1
1
1
1
34.
sin 2 x dx 2 sin 2 x. 2 dx 2 cos 2 x C
35.
4x sin 4 x dx 4 sin 4 x d 4x
Kalkulus II
1
1
cos 4 x C 4
10
36.
cos 2 x sin 2 x dx 2
1
2
2 x sin 2 x d 2x
1
2
2 x ( sin 2 x d 2x 2x)
cos 2
cos 2
1
1
cos 2
6
2
cos3 2 x C
37.
cos 3 ax dx
38.
tg 2 x dx
39.
40.
2 x d ( cos 2x)
1
1
3a
cos3 ax d (3ax )
sin 2 x
d (2 x )
1 3a
sin 3ax C
1 d cos2 x
2 co cos 2 x 2 cos 2 x 1 lncos2 x C 2 1 1 x ctg x2 dx c tg x 2 d ( x2 ) ln sin x 2 C 2 2
tg 2 x 1
2
dx
tg 2 2 x 2 tg 2x 1 dx sec2 2 x 1 dx 2 tan 2 x dx dx sec 2 2 x dx dx 2 tan 2 x dx dx
2 1
tan 2 x x
2 2
ln sec 2 x x C
tan 2 x ln se sec 2 x C 2 x 2 sec 2 x 3 dx =
41.
1
13 sec 2 x 3 dx 3 13 tg x 3 C 42.
sec 3t tg 3t dt 13 sec 3t tg 3t d (3t) 1 sec3t C 3
Kalkulus II
11
43.
cosec 3 x dx
44.
sec tg d sec 2 sec tg tg d 2 sec 2 sec tg 1 d
1 ctg 3 x C
2
3
2
2
2
2
2 tg 2 sec C 45.
46. 47.
sin x dx
se c 2
2 sin x d x 2 cos x C
x
1 2 tg dx
d ( tg )
d
cos ec 2 x ctg 2x
1+2 tg
1 2 tg C
sin 2 x dx 1 cos 2 x
1 2
d (cos 2x) 1- cos 2x
1 2 ln (1- cos 2x) + C
Soal-soal sesuai sesuai dengan rumus 18 s/d 20
48.
x
49.
50.
51.
dx 2
9
1 3 arc tg
d
arc sin sin arc
25 2 dx
x
x2 9
e x dx
1 e
2 x
52.
53.
x
1 x
4
5
de x
5
2
4 x 13
x 2
dx
C
x 3
C
arctg e x C
1 (e )
dx 2
C
3
sin 1 3 arc si
5 x dx
x
2
1 ( x )
2 2
5 2
arcsin x 2 C
pandang bentuk x 4x 13 , dapat ditulis menjadi 2
x 4x 4 9 (x 2) 9 maka: 2
Kalkulus II
2
12
dx
x
4 x 13
2
1 3 arc tg
54.
x
55.
x 2 3
dx
2x 5
2
2 dx 2 x - x 2
dx
( x 2)
9
2
d( x 2)
( x 2)
2
32
C d ( x 1)
( x 1)
2
2
2 dx
2
C
2 dx
2 (x 2 x)
x1
1 2 arc tg
2
9 4
( x 1 2) 2
x 1 2 2x 1 C 2 arc sin C 3 3 2
2 arc sin
Soal-soal Soal-soal sesuai sesuai den dengan gan rumus rumus 21 s/d s/d 27
dx
56.
x
57.
9 x
58.
4 9t
59.
4 sisin
60.
2
4 dx 2
4
dt
1 3
2
62.
2
dx 1 x x 2 dx 2 ax x
2
d (3x )
d (3t ) 2 (3t ) 2
4 si s in 2
1
2
ln
1 12 12
3x 2 3x 2
In
1 4 In
2 dx ( x 1 2) 2 3 4
1 4 x 2 dx 1 1
Kalkulus II
9 x 4 12 2
d sin
C
x2
1 3
cos d
61.
x 2
1 4 ln
2 dx (x a) a 2
2
C
2 3t
2 3t
C
2 + sin 2 si sin
C
In x 1 2
x2 x 1 C
In x a 2 ax x2 C
1 (2x)2 d (2x )
x 2
1 4x2 1 4 arc sin 2x + C
13
63.
5 3 x 2 dx 5 3x 2
64.
9 x 2 1 dx
65.
4 x 2 9 dx
66.
x 2 8 dx
67.
68.
69.
70.
71.
(1 2 x ) 1 x
2
2 x 1 x 2 1 ( x 1) 1 x
2
( x 3) x 2 4
x 2
2
x 2 2
72.
73.
4 x
arc sin (x
2
3 5
)+C
9 In 2x 4x2 9 C 4
x2 8 4 In x x2 8 C 1
dx
1 x
dx
2 x dx
dx
x dx
dx
2 x dx
1 x
dx
2
x2 1
1 x
2
x dx x2 4
10 4 x x 2 dx
x
1 In 3x 9x2 1 C 6
4 x2 9
2
2 3
9 x2 1
x
x
5
2
1 x2 1 dx 1 x
2
arc tg x In (1 x2 ) C
dx 2 x2 1 In In( x x2 1) + C
1 x2 arc sin x + C
3 dx x2 4
x2 4 3 In ( x x2 4 + C
10 4 x ( x 2) 2 dx
6 ( x 2) 2 dx
10 4 x x 2 3 In (x 2 10 4x x 2 ) + C
3 2 x x 2 dx (1 x) dx
1
4 ( x 1) 2 dx 8x 4 4
8 4x
x 1 2
3 2 x x2 2 arc sin
x 1 2
C
dx
2 4x 3 4x 3 1 (8 x 4) dx dx 2 1 2 8 4 x 4 x 3 (2 x 1) 2 4
2
1 8
In (4 x 2 4 x 3) +
Kalkulus II
1 16
In
2 x 3 2 x 3
C
14
74.
(3 x 2) dx
1 6 x 9 x
2
1 (1 (18 x 12) dx 6 1 6x 9x
1 (18 x 6) 18 6
1 6 x 9 x
2
1
1
6
2 2
In 1 6 x 9 x 2
75.
x 2 4 x x 2 4 2 x
76.
77.
4 x x
2
dx 1 2
dx 4
(2 x 3 ) dx
9 x
dx
2
12 x 8 18 x 12
1
9 9 x
12 x 8
2
x 3 5 4 x x
1 2
2
2 x 2 2
2
5 4 x x 2
2
dx 2 (3 x 1) 2
C
( 2 x 4) 8 4x x 2
1 (18 x 12) 39 9
dx
dx
x 2
9 x 2 12 x 8
2
C
dx
4
( 2 x 6) dx 5 4x x
x 2 3
( 2 x 4) 2 5 4x x
2
dx
9 ( x 2) 2
C
1 2x 1 2
2
dx 1 2
dx
1 2
dx ( x 2 1
3
dx
3 (3 (3 x 2)
2
2
4 x x2 4 arc sin
12 x 8
13
dx 1 2
dx 1 2
x ( x 2)
dx
2
3 x 1 2
2
2
6 1 6x 9x
3 x 1
dx
5 4 x x 2 + arc sin
78.
In
4x x 2
9 9x
( 18 x 6)
1
6 1 6 x 9x
1 (18 x 27) dx
( 2 x 4) dx
2 x 4 x 2
1 ( 18 x 6) dx
2x 4
2
) dx 1 3 x 3 x
dx
2x
2
1
C
1 3 x 3 x 1 2 2 arc tg x 2 C
Kalkulus II
15
79.
x
dx 4 9 In 2 x
3
1 3 ar arc si s in
80.
2
sin 8 x
9 sin 1 4
4
4 x
d ( In x)
dx
arc si s in 1 3 ar
4 9 In 2 x
3 2
( In x ) C
(In x ) C
dx 2
d (sin 4 x) 9 sin 4 4 x
sin 4 x co cos 4 x
dx 1 4
9 sin 4 4 x 1
12
arc tg
sin 2 4 x 3
sin 4 x d (sin 4 x) 9 sin 4 4 x
C
C. Ke Kegi giat atan an Bela Belaja jarr 2 1.
Integr Integral al Parsi Parsill (INTE (INTEGRA GRATIO TION N BY PARTS) PARTS)
Suatu bentuk integral yang sering timbul, ialah suatu integral yang integralnya merupakan hasil ganda dari suatu fungsi x dengan differensial dari fungsi x yang lain. Andaikan u dan v adalah fungsi dari x, maka dicari hasil dari bentuk :
u dv Dalam hitungan differensial telah diketahui, bahwa :
d (u . v) u dv v du atau
Maka :
u dv d (u . v) v du
u
d v
.
u
v
Agar kita dapat menggunakan rumus rumus ini, bentuk integral dari integral integral yang diketahui, harus dibuat menjadi dua bagian: satu bagian sesuai dengan bagian yang lain bersama-sama bersama-sama dengan
Kalkulus II
u
dan
dx sesuai dengan dv.
16
Untuk jelasnya, kita ambil beberapa contoh soal: 1. Tentukan x cos 2x dx Penyelesaiannya : Disini ada beberapa pilihan atau kemungkinan :
dv dx a) u x cos 2x , dv b) u cos 2x ,
dv x dx
c) u x , a)
dv cos 2x dx
Untuk u x cos 2x ,
du (cos 2x 2x sin 2x ) dx
dv = dx Maka :
u
v=x d v
.
u
v
x cos 2 x dx x . x cos 2 x x (cos 2 x 2 x sin 2 x) dx Ternyata hasil integralnya tidak lebih sederhana dari pada integral yang semula dengan bentuk ini tidak dipilih. b) Untuk u = cos 2x
, du = -2 sin 2x dx
dv x dx 1 2 dx 2 Maka :
u
v 1 2 x2
d v
.
x cos 2 x dx 1 2 x
2
u
cos 2 x
v
x
2
sin 2 x dx.
Ternyata hasil integralnya juga tidak lebih sederhana dari pada integral yang semula, dan bentuk ini tidak diambil (dipilih). c)
Untuk u u = x
, du = dx , v = v 1 2 sin 2 x
dv = cos 2 x dx Maka :
u
d v
.
u
v
x cos 2 x dx 1 2 dx sin 2x 1 2 sin 2x dx = 1 2 si sin 2 x 1 4 co cos 2 x C
Kalkulus II
17
2. Tent entukan : x e x dx Penyelesaian : Diambil : u = x
, du = dx
dv = e dx dx de x
Maka :
x
d v
u
x e
= e
,v .
u
x
v
dx = x e x e x dx
x
= x e e C x
x
: x 2 In x dx
3. Tent entukan
Penyelesaian : Diambil
, du
: u = In x dv = x dx d (1 3 x ) 2
Maka :
u
d v
x
2
3
.
u
1 x
dx
,v = 13 x
3
v
In x dx 1 3 x3 In x 1 3 x3
1 dx x
1 3 3 = 1 3 x In x x C 9 4. Tentukan
:
arc sin sin x dx arc
Penyelesaian
:
Diambil
sin x : u = arc sin
, du
dv = dx
, v = x.
Maka :
u
d v
.
u
Kalkulus II
1 x
2
dx
v
arc sin x dx x arc sin x x. x arc sin x
1
1 1 x
2
dx
1 x2 C .
18
5. Tentukan
: arc tg x dx
Penyelesaian
:
Diambil
: u = u arc tg x
,du
dv dx
Maka :
u
d v
1 1 x
dx
2
,v x
.
v
u
1
arc tg x dx x arc tg x x .1 x
2
dx
x arc tg x 1 2 In (1 x 2) C
: sec 3 x dx
6. Tentukan Penyelesaian
:
Diambil
: u = sec x
, du sec x tg x dx
dv sec2 x dx d (tg x )
Maka :
d v
u
sec
3
.
u
,v tg x v
x dx sec x tg x sec x tg 2 x dx
sec x tg x sec x (sec2 x 1) dx sec x tg x sec3 x dx sec x dx Suku kedua bagian sebelah kanan, dibawah kiri, maka terdapat :
2 sec3 x dx sec x tg x
se c
3
x dx 1 2 sec x tg x In (sec x tg x ) C
: x 2 sin x dx
7. Tentukan Penyelesaian
x
2
sec x dx
:
sin x dx x2 cosx x2 cos x 2 x cos x dx
x 2 cos x 2 x sin x x 2 cos x 2 x sin x 2 sin x dx
x 2 cos x 2x sin x 2 cos x C . Kalkulus II
19
: e 2 x sin x dx
8. Tentukan Peny Penyel elesa esaia ian n
: Bent Bentuk uk integ integra rall dia diata tass ini ini dapa dapatt dis disele elesa saik ikan an deng dengan an menggunakan dua cara.
a)
Bila diambil u e
2 x
, du 2e
2x
dx dx.
dv sin x dx dcos x Maka:
e
u
d v
.
u
v
sin x dx e 2 x cos 2 e 2 x cos x dx
2 x
Kemudian diambil lagi : u e
e
,v cos x
2 x
,v sin x
sin x dx e 2 x cos x 2 e 2 x siin x 4 e 2 x sin x dx.
2 x
Suku ketiga dari bagian kanan dibawah kiri, maka terdapat :
5 e 2 x sin x dx e 2 x ( 2 sin x cos x).
Jadi :
b)
1 e2 x sin x dx e2 x (2 sin x cos x ) C 5
Bila diambil u s in x , d u co s x d
dv e Maka :
e
2 x
u
2 x
d v
,v 1 2e
2x
dx .
u
v
sin xx dx 1 2 e 2 x sin x 1 2 e 2 x cos x dx
Kemudian diambil lagi : u cos x
, du du sin x dx
dv e 2 x dx Maka :
e
2 x
u
d v
.
u
,v 1 2 e2 x
v
sin x dx 1 2 e 2 x sin x 1 4 e 2 x cos x 1 4 e 2 x sin x dx.
Suku ketiga dari bagian kanan dibawa kiri, maka terdapat :
5
e 4
Kalkulus II
2 x
sin x dx 1 4 e2 x (2 sin x cos x ) C
20
Jadi :
1 e2 x sin x dx e2 x (2 sin x cos x ) C 5
9. Tentukan
:
x
1 x
Penyelesaian
:
Diambil
: u In
1 + x
.
1 x 2
dx In
1 x In
1 x 1 x
1 x 1 x
1 x 1 x
1 x 2 In :
x arc arc sin sin x 1 x 2
1 x 1 x
:
Diambil
: u = u arc sin x
Maka :
d v
u
Kalkulus II
x 1 x 2
.
2
dx
, v 1 x2
dx
1 x 2
2
2
x2
dx
dx 1 x2
2 arc sin + C
, du du
dx d 1 x2
u
x arc arc sin sin x dx 1 x 2
(1 x)
dx
Penyelesaian
dv
1 x
v
2
10. Tentukan
1 + x (1 x). (1 x ) ( 1)
d x d ( 1 x2 )
u
1 x 2 In
dx
,du
1 x
x
1 x
1 x 2
d v
u
2
x
dv
Maka :
1 x
In
1 1 x
2
dx
, v 1 x2
v
1 x arc sin x 2
1 x 2 1 x2
dx
21
1 x 2 arc sin x dx 1 x 2 arc sin x + x C .
: sec5 x dx
11. Tentukan Penyelesaian
:
Diambil
: u = u sec x
,du 3 sec3 x tg x dx
3
dv sec2 x dx dt dtg x
Maka :
d v
u
se c
5
.
u
, v tg x v
x dx sec3 x tg x 3 sec 3 x tg 2 x dx
Sedangkan tg x sec x 1, 2
s ec
5
2
x dx sec3 x tg x 3 sec 3 x (sec 3 x 1) dx
sec3 x tg x 3 sec 5 x dx 3 sec 3 x dx Suku kedua dari bagian kanan dibawah kiri, maka terdapat :
sec
3
x dx 1 2 sec x tg x In (sec x tg x ) C
(lihat contoh soal no.6), maka :
4 sec5 x dx sec3 x tg x
3 2
sec x tg x In (sec x tg
x) C
Jadi :
1
sec x dx 8 2 sec 5
Kalkulus II
3
x tg x 3 s ec x tg x In ( sec x tg x ) C
22
D. Rangk Rangkum uman an Mater Materii a.
Jika F x adalah fungsi dengan turunannya F ' x f x pada interval tertentu dari sumbu x, maka Anti-Derivative atau Integral Tak Tentu dari
f x diberikan oleh: F x C Dengan C sebarang konstanta, yang disebut sebagai Konstanta Integrasi b.
Anti Diferensiasi adalah proses menemukan anti-turunan dari suatu fungsi, dimana simbol
menyatakan operasi anti-diferensiasi dan ditulis dalam
bentuk:
f x
dx F x C
Dengan F ' x f x ekivalen dengan d F x f x dx c.
Karena Karena anti-dife anti-diferensi rensiasi asi adalah adalah operas operasii invers invers dari dari diferen diferensiasi siasi,, maka rumusrumusrumus anti-diferensiasi atau dengan kata lain rumus integralnya sebgai berikut:
d
1)
C. dx f ( x) dx f ( x) C.
2)
(u v) dx u dx
3)
tiap konsta stanta k u dx k u dx, k setia
4)
u
m
du
5)
6)
a
u u
Kalkulus II
du
u m 1 m 1
v dx
C, m 1
ln u C du
au ln a
C , a 0 , a 1
23
7)
e du e
8)
sin u du cos u C
9)
cos u du
sin u C
10)
tg u du
ln sec u C
11)
ctg u du
ln sin u C
12)
se c u d u
ln sec u tg u C
13)
cosec u du
14)
sec
15)
cosec
16)
sec u tg u du sec u C
17)
cosec u ctg u du cosec u C
18)
19)
20)
u
a
2
u
2
a u
Kalkulus II
ln co cosec u ctg u C
u du ctg u C
2
1
du
u
C
u du tg u C
2
du 2
u
2
a
arc sin
du u a 2
arc tg
2
1 a
u a
C
u a
C
ar c s e c
u a
C
24
21)
22)
d.
u
a
23)
24)
du
a2
2
du 2
u
2
du u 2 a2 du u2 a2
1 2a
1 2a
ln
ln
u a ua
u a ua
C
C
ln u u 2 a2 C ln u u 2 a2 C
25)
u a 2 u 2 du 1 u a 2 u 2 1 a 2 arc sin C 2 2 a
26)
u 2 a 2 du 1
2
u u 2 a2 1
2
a 2ln u u 2 a 2 C
Integral Integral Parsial Parsial biasa biasa disebut disebut sebagai sebagai Integral Integral Sebagian-seb Sebagian-sebagian agian yang secara secara sederhana integral parsial merupakan suatu bentuk integral yang separuhnya diintegralkan dan separuhnya lagi dideferensialkan. Jika u dan v merupakan fungsi yang dapat dideferensialkan terhadap x , maka secara simbolis integral parsial dirumuskan sebagai sebagai berikut:
e.
u
d v
.
u
v
Dalam integ integral ral parsial parsial yang perlu diperhatika diperhatikan n bahwa, bahwa, jika jika memilih memilih substitusi substitusi
u dan dv biasanya kita menginginkan menginginkan dv sebagai faktor integrasi yang paling rumit yang dapat langsung langsung diintegral diintegralkan kan dan
u sebagai fungsi yang
turunannya merupakan fungsi yang lebih sederhana.
Kalkulus II
25
E. Soal Soal Latihan Latihan 1 (Rumus (Rumus Dasar Dasar Integral Integral)) 1.
1 3
dx
x
3
Kunci :
2.
2
ax dx 2
Kunci :
3.
3
x ax C
4 x 2 2 x
2 x 2 4 x C
t (t
1) 2 dt
2
1
Kunci :
5.
x( x x
6
9) 2 dx
2
1
x 1
7.
x
1 2
2 y 2
(2 y ) 2 y C
4 x 3
3
2
x 3 8
dx
Kunc Ku ncii :
10.
x 2 4 ln x C
dy
Kunci :
9.
dx
dx
Kunci :
8.
x 2 9 C
ln x 2 x 1 C
Kunci :
x 2 4
( x 2 9) 2
5
2 x 1 2
(t 2 1) 3 C
3
Kunci :
6.
dx
x
Kunc Ku ncii :
4.
2
x 3 C
( x 2 1) 3
x 3 3 x
Kunci :
Kalkulus II
2
3
( x 3 8) 2 C
dx
1 2
3
( x 3 3x ) 2 C
26
11.
x
n 1
a bx n dx 2
Kunci :
( a bx n )
a bx n C
3bn ( x ln x ) 12. dx x 1 Kunci : x ln x C 2 sin 2 x 13. dx co s 4 2 x 1 Kunci : C 2 cos 2 x
2
sec x 14. dx 1 tan x
Kunci : 2
15.
1 1 tan x
C
2
a x3 3
dx
1
x 3 2
2
2
2
(a x ) a x 3 C 3
Kunci :
3
3
3
16.
1 ln x 2 2
Kunci :
17.
5
ln(l ln(ln n x )
x
ln x
1 ln x C
ln 2 ln x C
2 e (1 e ) dx dx x
x 5
Kunci :
19.
(1 ln x )2
dx
1
Kunci :
18.
dx
x
1 e x e x
Kunci :
Kalkulus II
1 6
(1 e x )6 C
dx 2
(1 e x ) 1 e x C 3
27
20.
x 2 4
x 1
dx 1
Kunci :
( x 1) 2 5 ln x 1 C
2 sec 2 x tan 2 x
21.
dx 3 sec 2 x 2 1 Kunci : ln 3 sec 2 x 2 C 6
22.
e
cos 2 x
sin 2 x dx
1
ecos 2 x C
Kunc Ku ncii :
23.
x 2
x
2
2
dx 2
Kunci :
24.
ln 2
2x
1
10
21 4 x ln 4
co tan 3 x
e
4 x
C
cos ec 2 3 x dx
Kunci :
26.
C
dx
4
Kunci :
25.
1 2 x
10 co tan 3 x 3 ln 10
C
2 e 3 x 5e x 2
dx e x 1 1 3 x 3 2 x Kunci : e e 3 e x 2 x 4 ln 1 e x C 3 2 e x 27. dx 1
x
1 e2
1 x
x cos x
1
x
2e 2 2 ln 1 e 2 C
Kunci :
28.
2
sin 2 x 2 dx
1 sin 3 x 2 C 6 1 29. s i n dx 2 x x 1 Kunci : cos C x Kunci :
Kalkulus II
28
30.
31.
32.
cos cos z sin sin z
dz sin 2 z Kunci : co sec z ln co sec z co tan z C
1 tan 2 x
dx cos 2 2 x 1 Kunci : (1 tan 2 x)3 C 6 dx
sin 3 x tan 3 x
1
Kunci :
33.
2
3 sin 3 x
cos3 x
1 sin x
C
dx
Kunci : sin x 1
34.
sin 3 x
1 cos x
dx
dx
co tan x
C
dx
1 sec ax ax 1
e 2 x 1
e
2 x
3
a
co tan ax x
x
1 a sin ax
C
dx
Kunci : x
38.
1
sin x
Kunci :
37.
x C
1 cos x Kunci :
36.
2
sin x C
1 cos x 1 cos 2
Kunci :
35.
1
2 3
ln 1 3e2 x C
dx x2 5
Kunci :
Kalkulus II
1 5
x 5 5 C
arc sec
29
39.
e2 x
1 e
dx
4 x
1
Kunci :
40.
2
dx
4 9 x 2
43.
sin 18 x
9 sin
4
45.
46.
sin 2 9 x arc tan C 27 3 1
sec 2 x
dx 1 4tan2 x 1 Kunci : arc sin 2 t an x C 2 dx
x
4 31 ln 2 2 x 31 31
31 ln ln 2 x C 2
arc sin 1
co s 2 x
sin
dx 2x 1 1 Kunci : arc tan si sin 2 x C 2 dx 2
3 x x 2 2 Kunci : arc sin (3 2 x ) C dx
2 x x
2
10
Kunc Ku ncii :
47.
dx
9x
Kunci :
44.
arc sin
3
Kunci :
42.
3 x C 2
1
Kunci :
41.
arc tan e2 x C
1 3
1 x C 3
arc tan
dx
1 x x Kunci :
Kalkulus II
2
2 3
3 2 3 x C 3
3 arc tan
30
48.
x
( 2 x 3)
ln x 2 6 x 13
Kunci :
49.
x
2 12 x 4 x 8
2
4 x x
2
y
x x 4
C
3y 1 1 5
5 ln
2 y 3 5 2 y 3 5
C
3 y 2 y 2 1 2
4 y 3 C 3
2 arc sin
dt 2
2t 3
Kunci :
56.
4
ln
dy
t
1
dy 2
Kunci :
55.
arc sin (3 2 x) C
dx
Kunci :
54.
2
2 ln x 2 1 3 arc tan x C
Kunci :
53.
1
dx
1
Kunci :
52.
dx
12 x 4 x 2 8
4 x 3
x
2
x 3 27 6 x x 2 C 6
Kunci :
51.
arc tan t an
3 arc sin 1
(5 4 x)
x 3 C 2
9
dx
27 6 x x 2
Kunci :
50.
dx
6 x 13
2
1 4
ln
t 3 t 1
C
du
8u 2 8u 15 1 Kunci : 2 ln 4
Kalkulus II
2 ( 2u 1) 8u2 8u 15 C
31
57.
3 x
dx 2
4x 1 1
Kunci :
58.
2
x 3
(5 x 1)
5
( x 1)
2
3 (3 x 2)
2
x x 6
1
ln 6 x x 2 C 2
dx 2
3 5 x
19
1
1
2
3
ln 4 3 x 2
(4 x 1)
3 ln
3 x 2 3 x 2
C
dx
2
4 5
3 5 x 2
(3 4 x) 3 x x 2 2
Kunci :
65.
3 x 3 x 2 9 C
dx
2
Kunci :
64.
3
3 ln
5 51 2 x 5 3 19 5 x x ln C x 2 2 4 2
(3 x 4)
1
2
Kunci :
63.
ln
19 5 x x
4 3 x
x 2 16 C
dx
2
Kunci :
62.
3 x 2 9
3
Kunci :
61.
C
dx
2 3 x 9
6 x x
3 x 3
x 2 16 3 ln x
Kunci :
60.
3 x 1
dx
2 x 16
Kunci :
59.
ln
1 5
5 ln
5 x 3 5 x 2 C
dx
4 3 x x 2 2 3 arc sin(2 x 3) C
16 9 x 2 dx
Kunci :
Kalkulus II
8 3 x x 16 9 x 2 arc sin si n C 2 3 4
1
32
66.
5 2 x x 2 dx 1 1 8 x 1 2 1 8 x 1 2 16 x 4 x 128 ln 8 x 4 x C
Kunci :
67.
2 x x 2 dx
x 1
Kunci :
68.
2
2 x x dx 2
Kunci :
69.
x
2
2
2
3
19 3
2
6
ln x 2 x 1
2x 1 1 2
1 6
ln
2 x 1 3 2 x 1 3
C
dx
ln 2 x 2 2 x 1
3x 1
1 8
3 ln
(2 x 1 3 ) (2 x 1 3 )
C
dx
ln 2 x 2 2 x 1
51 12
ln
6 x 1 5 6 x 1 5
C
12 4 x x 2 dx
Kunc Ku ncii :
75.
C
dx
(3 x 8)
9 x
arc sin si n ( x 1) C
9 1 1 2 x 2 1 2 x 5 4 x x 2 Sin 3
( 2 x 7)
2 x
Kunci :
74.
2
6 x 4 x 8 3 x 2 3 arc sin 4 C 2 3
x 1
Kunci :
73.
1
1
(8 3 x)
Kunci :
72.
2
( x 1) 2 x x 2
5 4 x x 2 dx
Kunci :
71.
1
8 3 x 2 dx
Kunci :
70.
5 2 x x 2 2 ln x 1 5 2 x x 2 C
1 2
x 2 C 4
( x 2) 12 4 x x2 8 arc sin si n
x 2 4 x dx
Kunci :
Kalkulus II
1 2
( x 2) x 2 4 x 2 ln ( x 2) x 2 4 x C
33
76.
x 2 6 x 7 dx 1
Kunci :
77.
x
x 1 2 dx
1 x 2
1 2
dx e
1 x 2
1
1
x
x e 1 ln e 2 e 1 C x
2
3 2 x x 2 dx
Kunci :
80.
2 x 1 1 2 x 1 2 3 2 3 2 4 1 2 x 1 2 3 2x 1 x x 1 ln x 2 x 1 C 8 2 2 2
e 1 e x
Kunci :
79.
x2 6 x 7 C
3
2
Kunci :
78.
2
( x 3) 3) x2 6 x 7 8 ln x 3
1 2
x 1 C 2
( x 1) 3 2 x x2 2 Sin 1
x 2 6 x 11 dx
Kunci :
Kalkulus II
1 2
( x 3) x2 6 x 11 ln ( x 3)
x2 6 x 11 C
34
F. Soal Soal Latih Latihan an 2 (Inte (Integral gral Parsial) Parsial) 1.
ln x
( x 1)
x 1
2 ln x
Kunci :
dx
1
x 1 1
2 ln
x 1 1
( x 1) 2 2.
x sec
2
C
x dx
Kunci : x tan x ln Cos x C
3.
x
1 x 2 dx
3
3
Kunci :
4.
ln 2 x
dx
x
1
Kunci :
5.
1
e
3 x
2
1 2
x 2 1 C
2 13
e3 x cos 2 x
3 13
e 3 x sin 2 x C
cos ec x dx 3
ln
2
1
1
2
2
co tan x co sec x ln co sec x co tan x C
Kunci :
8.
x 2 arc sec x
si n 2 x d x
Kunci :
7.
ln 3 x C
3 x arc sec x dx
Kunci :
6.
5
1 2 2 x (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ) 2 C 3 15
x dx
Kunci : x(ln x 2 ln x 2) C 2
9.
x
x 1 dx
2
Kunci :
10.
x e
3 x
2
3
x
2
x( x 1)
4
2
15
5
( x 1) 2 C
dx
Kunci :
11.
3
1
2
1
2
x 2 e x e x C 2
2
e 3 x dx
Kunci :
Kalkulus II
1 27
e3 x ( x 2 6 x 2) C
35
12.
ln ( x 1) x 1
2 x 1 ln x 1 4 x 1 C
Kunci :
13.
ln x
( x 1)
dx
2
dx
Kunci :
ln x
ln
x 1
x x 1
C
14. x 2 e x dx
15.
16.
Kunci :
e x ( x 2 2 x 2) C
arc tan arc
x dx
Kunci :
x arc tan x x arc tan x C
x dx 2
arc co sec
Kunci :
17.
x 2 ln x x2 4 C 2
x arc ar c co sec
arc cos cos 2 x dx arc Kunci :
x cos 2 x
1 2
1 4 x 2 C
n
18. x ln x dx 1 x n 1 ln x C n 1 n 1 1
Kunci :
19. x a x dx
a x C ln a ln a x
a
Kunci :
20. x Cos 2 2 x dx Kunci :
21.
e
t 4
( x
x 2
2 t
1 8
x sin si n 4 x
1 32
cos 4 x C
Sin
dt 4
Kunci :
22.
1
2
t
t t c o s s i n 4 C 2 1 4 4e
4
2 x 5) e x dx
Kunci :
Kalkulus II
e x ( x 2 5) C
36
23.
( x
2
5 x 6) cos 2 x dx
Kunci :
24.
1
( x 2 5 x 6) sin 2 x
2
1 4
( 2 x 5) cos 2 x
1 4
sin 2 x C
sin (ln x) dx 1 Kunci : x sin ln x cos ln x C 2
1 x dx 1 x 1 2 1 x 1 x 1 Kunci : x ln x ln C 2 2 x 1 1 x 26. x 2 1 x dx 25.
x ln
Kunci :
27.
3
2
x (1 x ) 2
2
3
arc sin sin x ) (arc
2
8 15
5
x (1 x ) 2
16 105
7
(1 x ) 2 C
dx 2
Kunci : x arc sin x 2 x 2 1 x2 arc sin x C
28.
y
2
sin y dy
Kunci :
29.
x sin
2
3 x dx
Kunci :
30.
x 2
1
x sin 6 x
1 72
cos 6 x C
e
3 x
x
2
1
3
5
1
3 2 2
x arc sin s in x arc sin x x 1 x x (1 x ) C 4 32 32 16 x cos dx 3
Kunci :
32.
1
2 12 3 x arc sin x dx
Kunci :
31.
y 2 cos y 2 y sin y 2 cos y C
3 28
4
2
x 27 3 x x 28 e cos 3 C 3 28
e3 x sin
Cos x dx
Kunci : x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x C
33.
x dx 2 x 1 4 2 x Kunci : x sin 2 x x2 arc sin 2 2 2 arc sin
Kalkulus II
C
37
34.
arc sin
x
2 1 x arc sin s in
Kunci :
35.
x arc sin x
x (arc tan x ) 1
( x
2
2
ln
2
arc sin x 2 1 x 4 C
2
dx
arc tan x
2
x
2
1 x arc tan x
1 2
ln 1 x 2 C
2 x 3) ln x dx 1 1 3 2 1 x x 3x x 3 x 2 3x C 2 3 9
Kunci :
38.
x 2 x C
dx
x 2
Kunci :
37.
2
1
Kunci :
36.
dx
1 x
ln x
( x 1 x 2 ) dx
Kunci : x ln x 1 x 2 1 x 2 C
39.
x
1 x 2
1 x 2
xe x
(1 x)
dx
arc sin x
Kunci :
40.
3
2
Kunci :
1
x 1
2
x 1
ln
C
dx
xe x
e x C
1 x x arc tan x 41. dx (1 x 2 ) 2 arc tan x 1 x Kunci : arc tan x C 2 2 2 x 1 4 4 x 1
42.
Si n 1 x x 2
Kunci :
Kalkulus II
dx
Sin 1 x x
Sin 1 1 x 2 C
38
